Michael Kofier. Mathematica. Einführung, Anwendung, Referenz Version 3 ADDISON-WESLEY

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1 Michael Kofier Mathematica Einführung, Anwendung, Referenz Version 3 ADDISON-WESLEY An imprint of Addison Wesley Longman, Inc. Bonn * Rcading, Massachusetts Menlo Park, California New York Harlow, England Don Mills, Ontario Sydney Mexico City Madrid Amsterdam

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort 17 Konzeption 19 I Einführung 21 1 Was ist Mathematica? 23 Mit Mathematica rechnen 24 Polynome 24 Lösung von Gleichungen 25 Listen, Matrizenrechnung 26 Grenzwerte, Summen, Produkte 27 Differentiation und Integration 27 Differentialgleichungen 28 Reihenentwicklung 29 Fourier- und Laplace-Transformation 29 Vektoranalysis in verschiedenen Koordinatensystemen 30 Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung 30 Interpolations- und Regressionsfunktionen 31 Grafik 32 Programmierung 36 2 Bedienung 37 Die ersten Kommandos 38 Grafik und Animation 42 Gestaltungsmöglichkeiten in Notebooks, Zellen 44 Preferences 48 Ausdruck, Export und Import von Fremdformaten 50 Online-Hilfe, Internet, MathSource 51 Tasten kürzel 54

3 Inhaltsverzeichnis Formeleingabe 57 Paletten 58 Brüche 58 Wurzeln und Potenzen 59 Indizes 59 Over- und Underscript 60 Integrale, Summen und Produkte 61 Matrizen 62 Sonderzeichen I: Buchstaben 62 Sonderzeichen II: Mathematische Symbole und Operatoren 63 Eingabeerleichterungen 64 Zusammenfassung der wichtigsten Tastenkürzel 66 Mathematica als Taschenrechner verwenden 69 Grundrechenarten 70 Numerische und symbolische Auswertung 70 Rechengenauigkeit 71 Komplexe Zahlen, Matrizen, Statistik 72 Mit Mathematica durchs Abitur 75 Gedämpfte Schwingung 76 Rechnen mit komplexen Zahlen 77 Kurvendiskussion 0 Extremwertrechnung 1 82 Extremwertrechnung 2, Volumenintegral 84 Parametrische Gleichung in explizite Form umwandeln 86 Numerische Lösung einer transzendenten Gleichung 88 Rechtwinkliger Schnitt zwischen Kreis und quadratischer Kurve 90 Vektorrechnung, Umkreis zu einem Dreieck 93 Vektorrechnung, Schnitt Kugel-Gerade 95 Lineare Optimierung 97 Simulation 98 Überlebensregeln 101 Vorsicht beim Anschreiben von Produkten 102 Setzen Sie den Strichpunkt richtig ein 102 Vorsicht bei der Verwendung des Unterstrichs 104 Vorsicht bei der Verwendung zusammengesetzter oder modifizierter Symbole 104 Setzen Sie die richtigen Klammertypen ein 106 Setzen Sie die Operatoren =, := und == richtig ein 107 Setzen Sie die Operatoren -J- und /. richtig ein 109

4 Inhaltsverzeichnis 9 Setzen Sie den Operator / / richtig ein 111 Verwenden Sie die richtige Syntax bei der Definition von Funktionen 112 Vorsicht bei numerischen Berechnungen 116 Beachten Sie die globale Gültigkeit von Symbolen 118 Der richtige Umgang mit Zwischenergebnissen 119 Der richtige Umgang mit Packages 121 Zweifeln Sie die Ergebnisse von Mathematica an 123 II Grundlagen Symbole, Variablen und Konstanten 127 Einführung 128 Variablen und Konstanten 130 Attribute 135 Modifizierte Symbole 137 Optionen 139 Sy nta xzusammenf assung Selbstdefinierte Funktionen und Operatoren 143 Funktionen ohne Parameter 144 Funktionen mit Parameter 144 Funktionsparameter (Muster, Bedingungen, Typenkontrolle) 150 Funktionen stückweise zusammensetzen 155 'Pure functions' 158 Eigene Operatoren definieren (Notation-Package) 159 Syntaxzusammenfassung Umgang mit Listen 167 Listen im alltäglichen Umgang mit Mathematica 168 Listen erzeugen 169 Listeneigenschaften ermitteln 172 Level-Spezifikation 175 Auf Listenelemente zugreifen 176 Listen manipulieren 179 Funktionen auf Listen anwenden 184 Beispiele 188 Syntaxzusammenfassung Elementare Konstanten, Funktionen und Operatoren 199 Elementare Objekte 200 Konstanten 200

5 Inhaltsverzeichnis Operatoren 200 Mathematische Funktionen 205 Nachgestellte Kommandos (postfix-notation) 208 III Mathematik Komplexe Zahlen Elementare Funktionen zur Bearbeitung komplexer Zahlen 214 Komplexe Zahlen mit getrenntem Real- und Imaginärteil 215 Das Package Algebra*ReIm v 215 Syntaxzusammenfassung Bearbeitung und Vereinfachung mathematischer Ausdrücke 219 Mathematicas Versuch zu vereinfachen: Simplify 220 Expansion von Produkten 224 Faktorisierung von Summen 226 Polynome und rationale Funktionen 227 Trigonometrische Ausdrücke 231 Bearbeitung umfangreicher und/ oder multivariabler Ausdrücke 233 Syntaxzusammenfassung Gleichungen analytisch und numerisch lösen 245 Gleichungen analytisch lösen 246 Gleichungen numerisch lösen 253 Spezialkommandos 255 Syntaxzusammenfassung Vektoren und Matrizen, lineare Algebra 263 Vektoren 264 Matrizen erzeugen 266 Zugriff auf Matrixelemente 269 Mit Matrizen rechnen 271 Lineare Gleichungssysteme lösen 274 Matrixtransformationen 275 Eigenwerte und Eigenvektoren 277 Orthonormalbasis berechnen 277 Syntaxzusammenfassung Grenzwerte, Summen und Produkte 283 Symbolische Grenzwertberechnung 284 Numerische Grenzwertberechnung

6 Inhaltsverzeichnis 11 Symbolische Berechnung von Summen 289 Numerische Berechnung von Summen 292 Produkte 294 Syntaxzusammenfassung Differentiation 297 Partielle Differentiation nach einer Variablen 298 Partielle Differentiation von multivariablen Funktionen 299 Totales Differential 301 Umgang mit Funktionen, Variablen und Konstanten 302 Numerische Differentiation mit ND 304 Syntaxzusammenfassung Integration 307 Symbolische Integration 308 Numerische Integration 312 Uneigentliche Integrale 320 Integration komplexer Funktionen, Residuen 323 Kontrolle der Integration 329 Syntaxzusammenfassung Differentialgleichungen 337 Differentialgleichungen symbolisch lösen 338 Lösungen von Differentialgleichungen weiterverwenden 341 Systeme von Differentialgleichungen 344 Numerische Lösung von Differentialgleichungen 346 Grafische Darstellung von Differentialgleichungen 349 Partielle Differentialgleichungen 356 Syntaxzusammenfassung Minima und Maxima, lineare Optimierung 363 Lokale Minima und Maxima 364 Lineare Optimierung 365 Syntaxzusammenfassung Regressions- und Interpolationsfunktionen 369 Exakte Interpolation durch gegebene Punkte 370 Interpolationspolynome 372 Spline-Interpolation (SplineFit) 372 Näherungskurven an gegebene Datenpunkte (Fit) 376 Mehrdimensionale Näherungsfunktionen (Fit) 378

7 12 Inhaltsverzeichnis Trigonometrische Regressionsfunktionen (TrigFit) 380 Nichtlineare Regressionsfunktionen (NonlinearFit) 381 Syntaxzusammenfassung Reihenentwicklungen 383 Reihenentwicklungen durchführen 384 Reihenentwicklungen numerisch auswerten 385 Reihenentwicklungen weiterverarbeiten 386 Differentialgleichungen mit Reihenentwicklungen lösen 389 Rationale Näherungsfunktionen 392 Syntaxzusammenfassung Fourier-Transformation 399 Fourier-Transformation für diskrete Daten 400 Analyse und Verarbeitung von Meßdaten 401 Fourier-Transformation analytischer Funktionen 403 Fourier-Reihenentwicklung für periodische Funktionen 405 Lösung von Differentialgleichungen mit Fourier-Reihen 407 Syntaxzusammenfassung Laplace- und Z-Transformation 413 Laplace-Transformation 414 Lösung von Differentialgleichungen mit der Laplace-Transformation 415 Z-Transformation 419 Lösung von Differenzengleichungen mit der Z-Transformation 420 Syntaxzusammenfassung Vektoranalysis 423 Koordinatensystem einstellen 424 Koordinaten transf ormationen 425 Elementare Rechenoperationen 427 Integrale in verschiedenen Koordinatensystemen 428 Gradient und Laplace-Operator für skalare Funktionen 429 Divergenz und Rotation 431 Gauß scher und Stokescher Integralsatz 432 Syntaxzusammenfassung 433

8 Inhaltsverzeichnis 13 IV Grafik Grafik I: 2D-Grafik (Punkte, Kurven) 437 Die Darstellung von Kurvenfunktionen mit Plot 438 Plot-Argumente mit Evaluate auswerten 439 Kurven in Polarkoordinaten (PolarPlot) 440 Darstellung der Fläche zwischen zwei Kurven (FilledPlot) 441 Parametrische Funktionen (ParametricPlot) 442 Implizit definierte Funktionen zeichnen 443 Punktgrafiken 445 Syntaxzusammenfassung Grafik II: 3D-Grafik (Flächen, Körper) 447 Dreidimensionale Darstellung von Flächen (Plot3D) 448 Dreidimensionale Flächen mit Schatten (ShadowPlot3D) 450 3D-Flächen aus Listen darstellen (ListPlot3D) 450 Parametrische Funktionen dreidimensional darstellen (ParametricPlot3D) 452 Rotationskörper (SurfaceOfRevolution) 454 Dreidimensionale Punktgrafiken (ScatterPlot3D) 455 Syntaxzusammenfassung Grafik III: Optionen 459 Bildausschnitt, Proportionen, Blickpunkt 460 Koordinatenachsen und -rahmen 464 Beschriftung 468 Punkt- und Linienformen 471 Farben und Schattierung 473 Beleuchtung von 3D-Grafiken 476 Syntaxzusammenfassung Grafik IV: Spezialkommandos 485 Grafiken mit logarithmischem Maßstab 486 Zweidimensionale Rastergrafik 487 Darstellung zweidimensionaler Punktmengen 489 Abbildung komplexer Funktionen 492 Vektorfelder 495 Mehrere Grafiken kombinieren 498 Bewegte Grafik (Animation) 502 Syntaxzusammenfassung 505

9 14 Inhaltsverzeichnis 29 Grafik V: Interna 509 Grafiktypen 510 3DGraphics-Objekte erzeugen und bearbeiten 514 Grafikexport (Display) 519 Syntaxzusammenfassung 522 V Programmierung Programmieren I: Grundlagen 5 27 Prozedurale Programmierung 528 Geschwindigkeitsoptimierung, Compile 536 Dateien lesen und schreiben 540 Syntaxzusammenfassung Programmieren II: Neue Kommandos und Packages 551 Definition neuer Kommandos 552 Optionale Parameter, Defaultparameter, Optionen 554 Packages 558 Der prinzipielle Aufbau von einem Package Programmieren III: Grafikprogrammierung 567 Durchsichtige 3D-Objekte (CutOut) 568 TubePlot3D Programmieren IV: MathLink 577 Neue Mathematica-Kommandos in C programmieren 578 Mathematica-Kommandos in eigenständigen C-Programmen nutzen 594 MathLink und Visual Basic 602 VI Mathematische Dokumente Mathematische Dokumente mit Mathematica 607 Einführung 608 Umgang mit Style-Dateien 612 Zellgruppen bequem öffnen /schließen 616 Querverweise, Anzeige dynamischer Werte 617 N um erierung von Überschriften 618 Kopf- und Fußzeilen 619 Seitenumbruch, Optimierung des Ausdrucks 621

10 Inhaltsverzeichnis Mathematische Dokumente mit BT^X 623 Einführung 624 Update des ETEX-Exportfilter 626 Probleme und Lösungsansätze 630 Der Satz dieses Buchs Mathematische Dokumente mit Word für Windows 635 Formeln 636 Grafiken 640 A Tips und Tricks 641 Mathematica von der CD-ROM starten / installieren (Unix) 642 Optimale Konfiguration 642 Die Sondertasten Backspace, Entf, Posl und Ende (Unix) 643 Probleme beim Neuzeichnen von Notebooks 644 Verbesserung der Bildschirmdarstellung (Linux) 645 Zellen automatisch ausführen 646 Suchen und Ersetzen für mathematische Sonderzeichen 646 Defekte Notebooks / 2.n-Notebooks 647 Datenaustausch Mathematica <-+ Maple 647 PostScript-Probleme 649 Ausdruck von Notebooks und Grafiken 649 Export von Grafiken 650 Boundingbox-Probleme 652 Falsche EPS-Header (ETE>C-Export) 655 PostScript-Zeichensatzprobleme 655 B Mathematica-Kurs der TFH-Berlin 659 Wie bearbeiten Sie diesen Kurs? 660 Was erwartet Sie? 660 Wie benutzen Sie die Notebook-Oberfläche? 661 Inhalt der einzelnen Dateien 661 C Der Inhalt der CD-ROM 667 D Quellenverzeichnis 669 Stichwortverzeichnis 671