2 Optik Einleitung Geometrische Optik Grundaxiome Die optische Abbildung Phänomene der geometrischen Optik 7

Transkript

1 Optik. Eileitug. Geometrische Optik 3.. Grudaxiome 3.. Die optische Abbildug 6..3 Phäomee der geometrische Optik Totalrelexio Durchgag durch plaparallele Platte Ablekug durch Prisme Hohlspiegel..3.4.sphärischer Spiegel..3.4.parabolischer Spiegel Abbildug mit eiem Hohlspiegel 3..4 Lise Brechug a eier gekrümmte Fläche Düe Lise (d <<, ) Dicke Lise..4.4 Lisesysteme...5 Liseehler Sphärische Aberratio Chromatische Aberratio Astigmatismus Das Auge Liseehler des Auges: äumliches Aulösugsvermöge des Auges Optische Vergrößerugsistrumete Die Lupe Das Mikroskop Das Ferrohr Geometrische Optik i der Atmosphäre egeboge 35.3 Welleoptik Zweistrahlitererez Itererez a eier plaparallele Platte Michelso - Itererometer 4.3. Vielstrahl - Itererez Plaparallele Platte mit elexiosvermöge icht << Kohärez Beugug Beugug am Eiachspalt Beugug a der Kreisblede Beugug a Komplemetärläche Beugug am Mehrachspalt (Gitter) Das Aulösugsvermöge optischer Istrumete Abbe sche Theorie der Abbildug 6

2 Optik. Eileitug Optik ist die Lehre vo der Ausbreitug des Lichtes : Traditiosgemäß Eiteilug i Gebiete: Geometrische Optik Geradliige Lichtausbreitug i Strahle. Näherug ür de Fall, daß geometrische Abmessuge groß gegeüber Welleläge Beispiel: Bild I( α) D si' π si α λ D π si α λ Im Grezall D >> λ: I(α) δ(α ) Bild Lichtausbreitug ausschließlich i Vorwärtsrichtug α

3 3 (keie Itesität ür gebogee Ausbreitug α > ) Deiitio: Lichtstrahl Normale - ichtug zur Phaseläche Für ebee Welle: Strahl H k, ausgehed vo der Quelle Lichtbüdel äumlich Ausbreitugsrichtug begrezte Welle mit edlicher Ausdehug B >> λ. Bild Welleoptik Alle optische Phäomee, die ur durch Welleeigeschate des Lichts erklärt werde köe (Beugug, Itererez,...). Auällig da, we a) geometrische Abmessuge λ b) Ausdehug des Lichtbüdels λ Quateoptik Absorptio bzw. Emissio vo Licht (Elektromagetische Strahlug) im Mikrokosmos (Atome etc.) i Form vo Quate ( Photoe ) mit Eigeschate. Eergie Impuls E D ω p H D k E Masse m c Photoe verhalte sich wie Teilche Welle Teilche - Dualismus. Geometrische Optik.. Grudaxiome Lichtausbreitug erolgt i Form geradliiger Strahle (-büdel).

4 4 Bild elexiosgesetz Lichtstrahle werde a Grezläche zwische zwei optisch verschiedee Medie (uterschiedlicher Brechugsidex ) teilweise relektiert. Bild Verallgemeierug au gekrümmte Grezläche : Bild

5 5 Brechugsgesetz (Sellius) Lichtstrahle werde beim Durchgag durch Grezläche zwische zwei optisch verschiedee Medie gebroche, Bild Verallgemeierug au gekrümmte Grezläche : Bild Fermat sches Prizip Licht, das vo eiem Pukt P ausgesetzt wird, erreicht P immer au dem Weg, der der kürzeste Lauzeit etspricht. Beispiel: Brechug Bild

6 6 r d x² ; r d + ( d x)² + r t ; c r t c t t + t d c + x² + d + ( d x) c ² t soll miimal sei t ( d x) x! dt si α siβ dx r c r c c c Bezeichug: Medie mit größere heiße optisch dichter (ud umgekehrt). Beachte: Optische Dichte i.a. abhägig vo der Frequez des Lichtes, da (ω) Welleläge d. Lichtes ist abhägig vo optischer Dichte λ Frequez des Lichts ist uabhägig vo.. Die optische Abbildug Ziel: Licht, das vo Pukt P ausgeht, i Pukt P wieder zu vereiige. λ Bild Begrie: virtuelles Bild Abbildug, welche das Auge (Gehir) täuscht.

7 7 Beispiel: ebeer Spiegel Bild Ei ebeer Spiegel bildet eie Gegestad AB i ei gleich großes Bild A B ab (: Abbildug). reales Bild Abbildug, welche au Schirm dargestellt werde ka. Beispiel: Lochkamera Bild Schematische Darstellug eier Lochkamera...3 Phäomee der geometrische Optik..3. Totalrelexio Übergag vo optisch dichtere optisch düere Medium

8 8 Bild Für alle Eiallswikel α > α g : Vollstädige elexio, da Licht icht i das Medium eidrige ka. Awedug: Laserspiegel durch rechtwikliges Prisma. Bild siα g 5, α g 4,8..3. Durchgag durch plaparallele Platte. Parallelverschiebug des Lichtstrahls β β ud si α si β si α siβ dsi α cos α ² siα Bild

9 Ablekug durch Prisme Bild Ablekug δ eies Lichtstrahls durch ei Prisma. δ α β + β γ siα Brechugsgesetz siβ + α γ siα siβ δ δ( α ) α siα arcsi si arcsi Miimaler Ablekwikel ist da gegebe, we gilt δ dα dα + dα d! dα dα! d α dα dβ dβ cosβ cos α cos α cosβ dα dβ dβ dα cos α cosβ cos α cosβ ( ) si ² α si ² α ² si ² α ² si ² α ür ur erüllbar, alls α α Kleister Ablekugswikel ür symmetrische Durchgag! δ α γ mi ud β γ δ + γ γ si mi si α si "Prismeormel"

10 Wichtige olle des Prismas i der Optik: Spektrale Zerlegug des Lichtes, da (ω) (λ ) δ mi δ mi (γ,) δ mi (λ ) Normale Dispersio: immt mit wachsedem λ ab. Bild Im Bereich ormaler Dispersio (d/dλ < ) wird blaues Licht stärker gebroche als rotes Licht. Bild Dispersioskurve (λ) ür verschiedee Prismematerialie.

11 ..3.4 Hohlspiegel sphärischer Spiegel Bild Strahlegag am sphärische Spiegel Da das Dreieck MFS gleichscheklig ist, gilt: [ cos( π α) ] ² a² a " + cos"! α cos ² α cos ² α d² ² Für de Fall d << ( paraxiale Strahle ) ist a ~ Breweite ~. Parallele paraxiale Strahle werde i de Brepukt F abgebildet.

12 x γ y x α α γ δ α a y x y(x) Bild Strahleverlau a eiem parabolische Spiegel parabolischer Spiegel γ α δ π α π α γ ta γ dy dx (Steigug der Spiegelkurve y(x)) x a ta x ( α) ta( γ) Bedigug ür eie este Brepukt (uabhägig vo x!) a + y(x)! ta x! ( γ) + y(x) mit ta γ ta γ + ta² γ x dy dx dy dx! + y(x) Diese Bedigug wird erüllt ür x² y. 4

13 3 x parabolischer Spiegel y ² 4 (otatios Parabolid) bildet ei paralleles Lichtbüdel exakt i eie Pukt ab bildet eie puktörmige Lichtquelle i ei paralleles Büdel ab Abbildug mit eiem Hohlspiegel G F B g b Bild. G B B b G g Strahlesätze Abbildugsmaßstab: B G b g b g ( b ) ( g ) b+ g + g b Abbildugsgleichug ür achseahe (paraxiale) Strahle.

14 4..4 Lise..4. Brechug a eier gekrümmte Fläche. Bild Zur Deiitio der Breweite eier sphärisch gekrümmte Grezläche. γ α β b siβ a b si γ b si ( α β) siβ a si α cosβ cos α siβ Wieder Näherug ür α, β << cosα cosβ siβ si α + a ~ + si α siβ si α siβ Brechugsgesetz: siα siβ ~ Parallel eiallede paraxiale Strahle werde im Brepukt F mit Breweite vereiigt. Aalog: ~

15 5 Abbildug mit sphärischer Grezläche Bild Y g y ( ) b ta ϕ ta γ β γ β ta δ ta y ta γ γ ( α γ) α γ Mit β α y y y α b g y + g b uabhägig vo y bzw. δ alle vo A ausgehede paraxiale Strahle kreuze sich i B. Beachte: hitere Breweite ist bestimmbar durch g b vordere Breweite ist bestimmbar durch b g Bezeichug: et ma die Brechkrat der Fläche Kombiatio zweier brecheder Fläche :

16 6..4. Düe Lise (d <<, ) Bild Abbildug eier Lichtquelle A au de Pukt B durch eie Lise mit de Krümmugsradius,. Schritt G bildet durch. Grezläche i B ab. g + b Schritt Bild B wird durch. Grezläche abgebildet i B. g b d d ür düe Lise ud, + b d b + ( ) g b (Additio der Brechkräte) Betrachte wieder g (parallel eiallede Strahle). Da geht b (Breweite) ( ) Lisemacher Formel Beachte: ist egativ, da Krümmug umgekehrt wie Krümmug der Fläche ist Die Breweite ist au beide Seite gleich! Sei g g ud b b

17 7 + "Gauß sche Abbildugsgleichug" düer Lise. g b Beispiele ür verschiedee Lisetype. Bild Beispiele ür verschiedee Lisetype: (a) kovex kovex bikovex, (b) pla kovex, (c) kovex kokav, (d) bikokav, (e) kokav pla, () ichtsphärische Lise. Beispiel: Plakovexlise > Bild Beispiel: Bikovexlise mit gleiche Krümmugsradie -. ( ) Abbildug mit eier düe Lise :

18 8 Beispiel: Bikovexlise Bild Zeicherische Kostruktio der Abbildug durch eie düe Lise. Ersetze die Brechug a de Kugelläche durch eie gedachte Brechug a der Mittelebee Abbildugsmaßstab ( Vergrößerug ) B b m G g Beachte: ( g ) ( b ) ² Newto sche Abbildugsgleichug ür g wird b, m ür g < ergibt sich ei virtuelles Bild Bild Virtuelles Bild.

19 9 Gezeichete Strahle ud sid ur Modelle zur leichte Kostruktio des Bildpuktes (uabhägig vo tatsächlicher Ausdehug der Lise). Lisedurchmesser legt die Lichtstärke der Abbildug est. Bild Für adere Lisetype sid die Vorzeiche vo ud zu modiiziere Beispiel : Bikokavlise ("Zerstreuugslise") Bild Zerstreuugslise

20 Für alle g > : virtuelles Bild mit ( < ; g > ); m b g g Strahl durch Zetrum symmetrischer Lise wird icht abgelekt. Der Strahl durch die Lisemitte wird icht abgelekt, soder ur um parallel versetzt. Für d (düe Lise) ka verachlässigt werde. Die Brechug a de beide Fläche hebt sich au. Parallelversatz: cos α d diα ür d ² si ² α Schräg eialledes paralleles Lichtbüdel wird im Pukt i der Breebee vereiigt. Bild D ta α α (ür kleie α)

21 ..4.3 Dicke Lise Bild Zur Deiitio der Hauptebee eie dicke Lise. ohe Herleitug: ( ) d ( ) + Breweite d ( ) d ; d ( ) d Bildkostruktio mit dicker Lise : h h G F F B g b Bild Strahlekostruktio ür die Abbildug mit eier dicke Lise. Abbildugsgleichug + bleibt erhalte. g b

22 ..4.4 Lisesysteme. Betrachte Kombiatio zweier (düer) Lise im Abstad d. Bild Abbildug durch ei System zweier Lise, dere Abstad d größer als die Summe der beide Breweite ist. Das vo L erzeugte Zwischebild B wird vo L i B abgebildet. Zur Bildkostruktio beutze Strahl (durch g F ) ud de Mittelpuktstrahl. g b g g b b d g g b g g d g g d g g b b ausrechebar als Fuktio vo g Zur Berechug der Lage der Brepukte F betrachte Grezall g g d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d g b " + "! " " optische Tubusläge Damit ist die Lage vo F bestimmt (vgl. Strahl 3) Problem: Bestimme eue Hauptebee des Gesamtsystems so, daß wieder die Abbildugsgleichug b g +

23 3 gilt. echug ergibt: b ( g ) d + d d : Abstad der hitere Hauptebee h (gesamt) vo (der hitere Hauptebee h () ) der Lise. Ebeso: b g d! d ( ) d : Abstad der vordere Hauptebee h (gesamt) vo (der hitere Hauptebee h () ) der Lise. Eisetze ür lieert: d + Gesamtbreweite des Systems. Im Grezall d << + Brechkräte D i addiere sich! i Dimesio: [D i ] m - Dioptrie Bemerkug: d > + > < d < + < > d +

24 4..5 Liseehler..5. Sphärische Aberratio (Bereits besproche; Abweichug der Breweite ür achseere Strahle) Bild Zur Herleitug der Abhägigkeit (h) der Breweite bei der Brechug a eier Kugelläche. Zur Herleitug der Abhägigkeit (h) der Breweite bei der Brechug a eier Kugelläche. α β γ β si b ( ) α β γ si b si b a α α α α α β α β α β si si si si si si cos cos si si a d d d d d d r a Beispiel : Autragug vo gege d x ür eie Brechugsidex.5

25 5 Weiterhi existiert bei gleicher Breweite güstigere ud ugüstigere Liseorm. Beispiel: Plakovexlise Bild Uterschiedliche sphärische Aberratio bei de zwei verschiedee Orietieruge eier pla kovexe Lise egel: Stärker gekrümmte Fläche muß dem Strahlebüdel mit gerigere Öugswikel zugewadt sei. Weiter Möglichkeite zur Verrigerug der sphärische Aberratio. Ausbledug der achseere Strahle (Helligkeitsverlust) Lisekombiatio (Sammel- ud Zerstreuugslise) icht sphärische Lise..5. Chromatische Aberratio Veräderug der Breweite durch Frequezabhägigkeit des Brechugsidexes.

26 6 Bild Chromatische Aberratio ormale Dispersio: ( ) ( ) blau rot λ λ > ( )( ) : ( ) ( ) rot blau λ < λ Bild Achromat ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r! b b b r b r b Bedigug ür achromatische Abbildug Astigmatismus Falls Krümmuge zweier zueiader sekrechter Meridiaschitte der Lise ugleich:

27 7 uterschiedliche Breweite ür vertikales ud horizotales Lichtbüdel. Bild Astigmatismus bei der Abbildug eies schräge Lichtbüdels. (a) Perspektivische Asicht; Lichtbüdel - Querschitt i de Ebee im Abstad x, b M, x, b S, x 3. Korrektur z.b. durch Kombiatio vo sphärischer Lise ud Zyliderlise. Bild Astigmatische Abbildug durch eie ZyliderliseAstigmatismus wird auch beobachtet a sphärischer Lise beim Durchgag eies schiee Lichtbüdels. Astigmatismus wird auch beobachtet a sphärischer Lise beim Durchgag eies schiee LichtbüdelsOptische Istrumete

28 Das Auge. Bild Aubau des Auges. Lise: Verstellbare Breweite durch Streckug mit dem Augemuskel Akkomodatio des Auges au uterschiedliche Gegestadsweite uedlich weit eterte Gegestad (g, mm) ahe Gegestad (g mi cm, 9 mm) Achtug:, da Brechugsidex au beide Seite der Lise verschiede. Iris: Verstellbare Blede zur Adaptio a Lichtstärke (ud egulatio der Schäretiee) mm Detektore: Zäpche sid arbempidlich, aber relativ uempidlich ausgeutzt bei Helligkeit Dichte etwa 4 / mm² Abstad ca. 8 µm

29 9 Stäbche sid ur schwarz weiß empidlich, aber wesetlich empidlicher. ausgeutzt bei Dukelheit Detektierbarer Itesitätsbereich: -7 W W (gesamte Leistug durch Pupille) -7 W/cm² W/cm² (Itesität) 8 mm mm Liseehler des Auges: Kurzsichtigkeit: Bild Kurzsichtigkeit ud ihre Korrektur durch eie Zerstreuugslise. Korrektur durch Zerstreuugslise. Weitsichtigkeit: Bild Weitsichtigkeit mit Korrektur durch eie Sammellise. Astigmatismus: Korrektur durch Zyliderateil der Lise äumliches Aulösugsvermöge des Auges.

30 3 Bild Deiitio des Sehwikels ε Wichtige vom Gehir registrierte Größe: Abstad zweier Bildpukte (> mi 8 µm) Sehwikel ε mit ta ε G g ε G g ist ei subjektives Maß ür Größe eies Gegestads. ( je äher, desto größer!) Weiter gilt die (ür uterschiedliche Breweite geeralisierte Abbildugsgleichug: + g b Miimal schare Sehweite g mi cm Ermüdugsreie Adaptio über Lägere Zeit möglich ür g s 5 cm "deutliche Sehweite. [Wichtig ür die Deiitio des Vergrößerug optischer Istrumete.] Miimal aulösbarer Sehwikel ε mi bestimmt durch Zäpcheabstad mi 8 µm. µ ε mi 8 m 4 4 ' b mm..5.5 Optische Vergrößerugsistrumete Deiitio: Abbildugsmaßstab B G b Vergrößerug! g Vergrößerug deiiert ahad der Veräderug des Sehwikels: V Sehwikel ε des Gegestads i Eterug s ( 5 cm)

31 3 Vergrößerug: V Sehwkel ε mit Istrumet Sehwikel ε ohe Istrumet (bei s g ε ε ) Die Lupe. Bild Vergrößerug des Sehwikels ε durch eie Lupe i dere Breebee der Gegestad G liegt. ta ε G Gegestad i Breebee. ε Auge muß icht akkomodiere! (b ) Mit Lupe: ε Ohe Lupe: ε G G s V L ε ε s Das Mikroskop. Bild Grudprizip des Strahlegags im Mikroskop. Es gilt:

32 3 B b G g g vergrößerter Sehwikel: B ta ε G b g Zur Erzielug hoher Vergrößerug ist ot: g < B >> G Weiter: Okular wirkt als Lupe ür Zwischebild B b+ d d ε ta ε G g d G Sehwikel ohe Mikroskop: ε G s Vergrößerug: V M d s Beispiel: gegebe:,5 cm cm d cm s 5 cm d M s V Die Höchste mögliche erreichbare Vergrößerug mit eiem Lichtmikroskop beträgt V M.

33 Das Ferrohr Kepler sches Ferrohr Bild (a) Zur Vergrößerug des Ferrohrs. (b) Bestimmug des Wikeldurchmessers eies Plaete als Wikel ε zwische de Strahle vo etgegegesetzte adpukte A ud B. B ta ε ε ta ε B ε Vergrößerug eies sehr weit eterte Gegestads: V ε F ε (d.h. >>, umgekehrt wie beim Mikroskop)

34 34 Galilei sches Ferrohr Bild Ferrohr mit eier Zerstreuugslise als Okular (Galilei sches Ferrohr). (a) Wikelvergrößerug bei uedlich etertem Gegestad; (b) Erzeugug eies aurechte Bildes bei edlicher Gegestadsweite. ta ε B ta ε B Vergrößerug eies sehr weit eterte Gegestads: V ε F ε Uterschied zum Kepler sche Ferrohr: Kepler: Galilei: umgedrehtes Bild aurechtes Bild

35 35..6 Geometrische Optik i der Atmosphäre..6. egeboge Phäome: Brechug ud elexio des Soelichtes a egetrope Spektralzerlegug Bild (a) Zur Berechug des Ablekwikels δ als Fuktio des Abstades z. (b) Itesität des egeboges als Fuktio des Ablekwikels ür rotes ud blaues Licht. d d ϕ α + ϕβ + ϕ ϕ d arcsi arcsi Wichtig: ϕ d besitzt Extremum bei d 4 ² 3

36 36 Viele Strahle werde uter ϕ m ϕ 4 ² 3 abgelekt. Besodere Helligkeit (Verstärkug) uter diesem Wikel. Mit,33 ϕ m 4 Da (λ) ϕ m ϕ m (λ) Spektralzerlegug ϕ blau rot m < ϕ m Bild Beobachtugsbediguge ür eie egeboge. Bild Erklärug der Etstehug vo Haupt- ud Neberegeboge.

37 37.3 Welleoptik Falls Näherug d >> λ icht mehr erüllt Welleeigeschate des Lichts sid wichtig Itererez ud Beugug vo Lichtwelle Kozepte der Welleoptik: Betrachte zwei Lichtstrahle, welche uterschiedliche Wegläge r, r durchlaue. Phaseuterschied der zu beide Strahle gehörede Welle. π ϕ k r λ r Deiitio: i r i optische Wegläge s r r Gaguterschied der Strahle/Welle P Spiegel S Spiegel Bild s ( l l ).3. Zweistrahlitererez Itesität der Lichtwelle (Helligkeit) im Pukt P I ε ( E ) c + E π ϕ s λ destruktive Itererez ε c E () () () ( ε c [ E E + E E cos ϕ] ) ( m ) s + λ ϕ ( m + ) π E () () E E

38 38 kostruktive Itererez s m λ ϕ m π E + () () E E I max ε c E + ( E + ) > I I scheibar ei Widerspruch! Aber: Es gibt keie kostruktive Itererez ohe gleichzeitig destruktive Itererez a adere Stelle des aums! gemittelt über de gesamte aum ist stets I I+ I (Eergieerhaltug) Für E () E () I max 4I I mi Beispiele ür Zweistrahlitererez :

39 Itererez a eier plaparallele Platte Bild Zur Berechug des Gaguterschieds bei der Itererez a eier plaparallele durchsichtige Platte (a) im relektierte Licht; (b) im trasmittierte Licht elexiosvermöge sei klei gege I I I' T I ( ) I s x d cos β y dtaβ x ysiα Gaguterschied der Strahle ud : d d siβ d dsi² β s siα cosβ cosβ cosβ cos² β d d cos β d ² si² α cosβ Weiter: Phasesprüge bei elexio beachte! egel: Falls H E sekrecht zur Eiallsebee ( Ebee, welche durch H k - Vektor ud Grezlächeormale augespat wird) Phasesprug um π bei elexio am optisch dichtere Material kei Phasesprug bei elexio am optisch düere Material (komplizierter ür H E parallel zur Eiallsebee) Phasesprug um π ür relektierte Strahl Daraus ergibt dich der Gesamt-Phaseuterschied zwische ud als π ϕ s π λ (elexio) ϕ π s λ (Trasmissio)

40 4 kostruktive Itererez ür ϕ m π d ( m ) ² si²α + λ destruktive Itererez ür ( m + ) π ϕ d ² si²α mλ Dies sid Bediguge ür de Wikel α!. Bild Auahme der Itererezrige im relektierte Licht eie mit divergeter Argolaserstrahlug beleuchtete plaparallele Glasplatte.3.. Michelso - Itererometer Bild Schematische Darstellug des Michelso Itererometers. Amplitude der Wellei B : Amplitude der Welle i B : E E () () E E T T gleich! uabhägig vo E () i( ωt +ϕ ) E e E ( ) i( ωt+ϕ ) E e

41 4 mit ϕ ϕ π ϕ λ π λ ( s s ) + π s + π Eischub: ealisatio des Strahlteilers Amplitude der Gesamtwelle i B E [ + cos ] ' E T ϕ Itesität i B: [ + ϕ] I T cos I kostruktive Itererez: cos ϕ ϕ π m s ( m + ) λ I max I 4 T Mit T wird T maximal ür T,5 I max I (Das Michelso Itererometer verhält sich dabei wie ei idealer Umlekspiegel.)

42 4 destruktive Itererez: cos ϕ ϕ ( m + ) π I mi s m λ (Dabei wird das gesamte Licht i die Quelle zurückrelektiert.) Bemerkug: Michaelso Itererometer ka zur Bestimmug der Welleläge des Lichts beutzt werde (oder zur geaue Lägemessug). Falls das eiallede Licht icht exakt parallel ist. igsystem i B! Bild Etstehug eies Itererezrigsystems bei divergeter eialleder Welle..3. Vielstrahl - Itererez Überlagerug vieler Strahle (Welle) (z.b. durch Mehrachrelexio) Amplitude der Gesamtwelle: (m) im ϕ E ee e m m Strahle I E ²

43 Plaparallele Platte mit elexiosvermöge icht << ( m) { E } : Am e lexio ( m) { E } : Bm Trasmissio Bild Vielstrahlitererez a zwei plaparallele Grezschichte mit dem elexiosvermöge ud dem Abstad d. A A A ( ) A allgemei: Am+ A m ür m ( ) B A allgemei: Bm+ Bm ür m Gesamtamplitude i elexio p ( ) E () r A Am e im + ϕ m p E () ( ) + e e m r i ϕ m im ϕ A (! -, da Phasesprug A A um π!) E () r A + e i ϕ [ e ] ( ) i ϕ e i ϕ p Betrachte de Grezall p (sehr viele elexioe): () r i ϕ E ~A + ( ) e i e ϕ Itesität der relektierte Gesamtwelle I c () r ε E i ϕ e i A e ϕ

44 44 I e c ε A " "! " e I i ϕ i ϕ I ( cos ϕ) ( cos ϕ) i si ϕ i si ϕ I ( cos ϕ) + si ϕ ( cos ϕ) + si ϕ I cos ϕ + cos ϕ I I ( + ) 4 si ϕ + 4 si ϕ Aalog: Itesität der trasmittierte Gesamtwelle I T I ( ) ( + ) + 4 si ϕ Beachte: I T + I I, da Absorptio verachlässigt. Deiitio: 4 : F ( ) mit I I T I I ϕ F si ϕ + F si ϕ + F si π ϕ d ² si ² α λ Airy Formel

45 45 Bild Trasmissio T I T/I eier plaparallelel Platte bei sekrechtem Lichteiall als Fuktio der Phasedierez ϕ ür verschiedee Werte des elexiosvermöge. Zur Deiitio der Fiesse F*. Diskussio: Maximale durchgelassee Itesität ϕ si ² ϕ mπ d ² si ² α m λ I max T I Miimale durchgelassee Itesität ür ϕ si ² ( m + ) π ϕ λ d ² si ² α ( m + ) mi T I I + F Halbwertsbreite der Trasmissiosmaxima I IT ϕ si² si ² ϕ F F

46 46 Für F >> ϕ si² ϕ ~ F ϕ ~ F volle Halbwertsbreite ε F 4 F Variatio der Trasmissio etweder durch Variatio vo (λ, d est), d λ (λ, α est) oder (α, d est) Fabry Perot Itererometer" werde z. B. zur Messug der Welleläge verwedet. Trasmissiosmaxima bei λ m d ² si ² α m λ λm + λ m d ² si ² α m m + reier Spektralbereich λ δλ π π ε 4 F π Fiesse.3.. Kohärez Meist: Kei streg moochromatisches Licht (uedlich ausgedehte ebee Welle mit exakt eier Frequez) soder edliche spektrale Breite δν δλ Bildug vo edlich lage Wellezüge "Wellepakete" (durch Überlagerug)

47 47 Bild. Eekt: Zwei Wellezüge köe mit ester Phasebeziehug itereriere, we s L Beispiel: Michelso Itererometer I I max max + I I mi mi exp s L Bild Trasmittierte Itesität I bei eier eiallede Welle mit spektraler Badbreite ν. s < L: I I + I + Ikohäret I + I + II cos( ϕ) kohärete Überlagerug Für s > L mittel sich ϕ heraus cos ( ϕ) I I + I ikohärete Überlagerug Bezeichug: L Kohärezläge der Strahlug, abhägig vo Strahlugserzeugug Wodurch ist L bestimmt? Betrachte hierzu wieder die Überlagerug zweier Welle mit uterschiedliche Frequeze ν, ν. Phaseuterschied a bestimmtem Pukt im aum: ϕ () π ( ν ν ) t π ν t t Nach Kohärezzeit t c ν ist ϕ π.

48 48 Falls ν der spektrale Breite der Strahlug etspricht existiere alle Phase zwische ud π, mittel sich daher weg Bild Spektralverteilug I Bild Aus der Kohärezzeit t c ergibt sich die Kohärezläge L als c λ L c tc ν ν ν Typische Werte: (ür sichtbares Licht) Glühemmissio ( ν ν 5 Hz) L λ ( eiige mm) Spektralliie eizeler Atome ( ν 6 Hz) L,5 cm Laserlicht ( ν MHz khz) L 3 m 3 km.3.3 Beugug Das Phäome der Beugug wurde allgemei bereits im Teil behadelt! Für Lichtwelle gelte alle dort hergeleitete Tatsache atürlich aalog.

49 Beugug am Eiachspalt Bild Fresel - Beugug a eiem Spalt. gezeigt sid vo liks ach rechts die Itesitätsverteiluge i der Nahzoe, i eier mittlere Eterug ud i sehr großer Eterug, wo ma die bekate Frauehoer - Beugug erhält. Beobachtete Itesitätsverteilug hiter dem Spalt hägt ab vom Beobachtugsabstad a. D a << ² λ a D² λ D a >> ² λ : Naheld ( Fresel Beugug ) : Übergagszoe : Fereld ( Frauhoer Beugug) Itesitätsverteilug prizipiell beschriebe durch Fresel Kirchho Beugugsitegral ( r,t) cost dx dy E H Spaltläche e r ikr (vgl. rüher) H Im Naheld muß Er (, t) umerisch gelöst werde! Iteressat ist die Itesitätsverteilug i Abhägigkeit vo der Spaltbreite!

50 5 Bild Itesitätsverteilug i Abhägigkeit vo der Spaltbreite. I der Ferzoe reduziert sich die Beugugserscheiug au die Wikelbedigug. Bild Beugug am Spalt ud die Itesitätsverteilug i der Ferzoe. I D si ² π si α λ D π si α λ ( α) I (vgl. rüher) Itererezmiima ür D si α m λ dukle Streie parallel zum Lägsspalt Itererezmaxima ür D si α ~ λ ( m + ) helle Streie parallel zum Lägsspalt Frauhoer Beugug (am Spalt)

51 5 Itesitätsverteilug Bild Itesitätsverteilug I(α) bei der Beugug am Spalt ür verschiedee Werte des Verhältisses λ/d vo Welleläge λ zu Spaltbreite D Beugug a der Kreisblede Situatio ählich wie beim Spalt, aber durch otatiossymmetrie doch etwas aders. Bild Bezeichugsweise ür die Fresel Beugug a eier Kate. Die Lösug des Fresel Itegrals lieert im Grezall r, a. I πd J si α λ πd siα λ ( α) I mit J (x): Bessel Fuktio. Ordug

52 5 Bild Die erste drei Bessel Fuktioe. +k æxö ( ) ç è ø J ( x ) å k k! Γ( + k + ) Bild Itesitätsverteilug des Beugugsmusters a eier Kreisblede. Nullstelle bei: π π λ D si α,π Þ si α, λ D λ D si α,6π Þ si α,6 λ D Bezeichug: zetrales Beugugsscheibche : Kreis vom Durchmesser des. Beugugsmiimums (. dukler ig) : Airy Scheibche

53 53 Bemerkug: Der tatsächliche Durchmesser des Airy-Scheibches hägt vo der Art der Betrachtug ab. Bei der Frauhoer Beugug ot beutzte Aordug: Bild ta α si α λ, D D λ,44 D Beugug a Komplemetärläche Diskussio der Feldverteilug hiter komplemetäre Objekte (Spalt mit Breite D Draht mit Dicke D oder Lochblede Kreisblede) mit Hile des Huyges-Prizips

54 54 E H H H H ( r, t) E( r, t) E( r, t) E( r, t) Bild Äquivalez der Beugug a eiem Spalt der Breite D ud der a eiem Draht der Dicke D. E r H t E H r t E H r t (, ) + (, ) (, ) E E E H H I ( r) I I I r + I r () ( ) Folge: Beobachtug eier "iverse" Beugugsstruktur a Komplemetärobjekt Trick: Bestrahlug mit räumlich begreztem Lichtbüdel (Laserstrahl) ud Beobachtug außerhalb des Strahls. dort ist E H H E r E r I ( ) ( ) H ( r) I H r ( ) Bild

55 55 Babiet Theorem: Gleiche Beugugsstrukture a Komlemetärobjekte bei Betrachtug außerhalb des Bereichs der geometrische Optik Beugug am Mehrachspalt (Gitter) Betrachte eie Aordug vo N Spalte mit Breite D ud Abstad d Bild Beugugsgitter vo N parallele Spalte, das sekrecht vo eier ebee Lichtwelle beleuchtet wird. Frauhoer Beugugseekte : Beugug a jede Eizelspalt (Spaltbreite D wichtig) Itererez der vo verschiedee Spalte ausgehede Strahlug (d wichtig) Beobachtete Itesität: I ( α) I D d si ² π si α si ² N π si α λ λ D d π si α si ² π si α " λ "" """! " "" λ """! Beugug am Eizelspalt N Quelle im Abstad d Diskussio: Itererezmaxima da, we. Faktor maximal ( ), d.h. d siπ si α π

56 56 π d si α mπ λ d si α m λ a diese Stelle ist I(α) I Eizelspalt (α) Bezeichug: Beugugsmaxima m - ter Ordug (Hauptmaxima) Beachte: Zahl der Hauptmaxima ist beschräkt d mmax λ Itererezmiima ür. Faktor d sin si π α π d Nπ si α mπ π λ d si α m N ud d siπ si α π m N ( (N ) Miima (N ) Nebemaxima zwische Hauptmaxima) oder d siπ si α π D si α mλ

57 57 Bild Itesitätsverteilug I(α) bei eiem Beugugsgitter mit acht Spalte, bei dem d/d ist. I die zweite Itererzordug gelagt wege des Beugugsmiimums kei Licht. Für D (D < λ) I(α) I N Quelle (α) (. Faktor) Beugug am Gitter

58 58 Bild Bild Gitter - Spektrograph Bild Gittermoochromator

59 Das Aulösugsvermöge optischer Istrumete Betrachte Abbildug mit sphärischer Lise (z.b. Objektiv im Ferrohr). Beugug a kreisörmiger Öug mit Durchmesser D (Liseöug, Eitrittspupille) Bild Beugugsbedigte Itesitätsverteilug i der Breebee vo L bei puktörmiger Lichtquelle. Abbildug icht i eie Pukt (geometrische Optik), soder i Beugugsstruktur mit zetralem Scheibche vom Durchmesser λ d 44, D Bild Überlagerug der gerade och aulösbare Bilder zweier Lichtquelle. ayleigh Kriterium ür beugugsbegrezte Aulösug.

60 6 Bild Zum beugugsbegrezete Aulösugsvermöge. Trebarkeit zweier Beugugsstrukture ur da, we d d > δ mi d d mi λ,44 D λ, D Beugugsbegrezte Wikelaulösug (uabhägig vo ) Deiitio: Wikelaulösugsvermöge W δ mi D, λ.3.4. Abbe sche Theorie der Abbildug Bild Erst Abbe: Midestes das Beugugsmaximum. Ordug muß i Breebee abgebildet werde ud zum Aubau des reelle Bilds B beitrage. αmax > α mit,5 λ si α,63 δ Im Mikroskop: g~ Maximal erassbarer Öugswikel,5 ür eie Spalt ud,63 ür eie Lochblede

61 6 ta α max D Deiitio: Numerische Apertur NA si α max δ mi,5 λ,63 NA Objekte mit Ausdehug δ < δ mi sid icht abbildbar. Bemerkug: Dies gilt ür ei mit parallelem Licht beleuchtetes Objekt. Für selbstleuchtedes Objekt Bild ayleigh Kriterium: λ d> d, b D Weiter: d δ b g λ g λ δmi, b, D b D g Da im Mikroskop g :

62 6 δ mi λ, D