Konvergenz von Punktprozessen

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1 KAPITEL 1 Kovergez vo Puktprozesse I iesem Kapitel were wir Verteilugskovergez er Puktprozesse eiführe u eiige Beispiele betrachte, i ee Poisso Prozesse als Grezwerte vo Puktprozesse er seltee Ereigisse etstehe. Usere Darstellug ist sehr uvollstäig, für mehr Eizelheite verweise wir auf as Buch vo S. Resick Extreme values, regular variatio a poit processes Vage Kovergez Im Folgee sei E ei lokal kompakter separabler metrischer Raum. Zuerst were wir eie Kovergezbegriff für Rao Maße auf E (u somit auch für Zählmaße auf E) eiführe. Defiitio Eie Mege B E heißt relativ kompakt, we ihr Abschluss B kompakt ist. Beispiel Eie Mege B R ist relativ kompakt geau a, we sie beschräkt ist. Defiitio Eie Folge vo Rao Maße µ 1, µ 2,... auf E kovergiert vage gege ei Rao Maß µ, we lim µ (B) = µ(b) für alle relativ kompakte Borel Mege B E mit µ( B) =. Bezeichug: µ v µ. Warum i obiger Defiitio π( B) = gelte muss, soll folgees Beispiel veraschauliche. Beispiel Betrachte folgee Rao Maße auf R: µ = δ 1/ u µ = δ. Für as offee Itervall B = (, 2) gilt µ (B) = 1 für alle N, aber µ(b) =. Hätte wir i er Defiitio er vage Kovergez ie Forerug µ( B) = weggelasse, so würe µ icht gege µ kovergiere. Das wäre ei sehr uatürlicher Kovergezbegriff. Hier si eiige eifache Beispiele er vage Kovergez. Beispiel Sei µ as Maß mit er Dichte 1 [,] auf R. Da kovergiert µ vage gege as Lebesgue Maß auf R. 1

2 Beispiel Sei µ = δ. Da kovergiert µ vage gege as Null Maß. Wir were u eie äquivalete Defiitio er vage Kovergez formuliere. Zuerst müsse wir stetige Fuktioe mit kompaktem Träger efiiere, ie wir als Testfuktioe beutze were. Defiitio Eie Fuktio f : E R hat kompakte Träger, falls es eie kompakte Mege K E gibt mit f(t) = für alle t E\K. Defiitio Die Mege aller stetige Fuktioe auf E mit kompaktem Träger sei mit C c (E) bezeichet. Es sei C + c (E) ie Mege aller f C c (E) mit f. Nu formuliere wir eie äquivalete Defiitio er vage Kovergez. Satz Seie µ 1, µ 2,... u µ Rao Maße auf E. Da si ie folgee Aussage äquivalet: v (1) µ µ. (2) Für alle f C c + (E) gilt lim E f(x)µ (x) = f(x)µ(x). E Beweis. Weggelasse. Aufgabe Zeige Sie, ass ma im obige Satz C c + (E) urch C c (E) ersetze ka. Beispiel Sei µ = 1 i Z δ i/. Da kovergiert µ vage gege as Lebesgue Maß auf R. I er Tat, für jees f C c (R) gilt f(t)µ (t) = 1 ( ) i f f(t)t, R R a Riema Summe gege as Riema Itegral kovergiere. i Z 1.2. Verteilugskovergez vo Puktprozesse Sei π ei Puktprozess (= ei zufälliges Zählmaß) auf E u seie B 1,..., B k E kompakte Mege. Da ist (π(b 1 ),..., π(b k )) ei k-imesioaler Zufallsvektor mit Werte i N k. Vektore ieser Art heiße auch elich-imesioale Verteiluge vo π. Wir efiiere u ie Verteilugskovergez vo Puktprozesse. 2

3 Defiitio Seie π, π 1, π 2,... Puktprozesse auf E. Wir sage, ass π gege π i Verteilug kovergiert, falls für alle relativ kompakte Borel Mege B 1,..., B k mit π( B i ) = f.s. gilt, ass (π (B 1 ),..., π (B k )) (π(b 1),..., π(b k )). Mit aere Worte gilt für alle m 1,..., m k N : lim P[π (B 1 ) = m 1,..., π (B k ) = m k ] = P[π(B 1 ) = m 1,..., π(b k ) = m k ]. Bezeichug: π π. Die Beigug i er obige Defiitio ist icht leicht zu überprüfe. Es ist viel ageehmer, ie folgee Charakterisierug er Verteilugskovergez vo Puktprozesse zu beutze. Satz Seie π 1, π 2,... u π Puktprozesse auf E, a si ie folgee Aussage äquivalet: (1) π π. (2) Für alle f C c + (E) gilt x π f(x) x π f(x). (3) Für alle f C c + (E) gilt lim π π (f) = ψ π (f),.h. [ { }] [ { lim E exp x π f(x) = E exp x π f(x) }]. Beweis. Weggelasse. Bemerkug Um ie Verteilugskovergez er Puktprozesse zu zeige, reicht es also ie Kovergez er Laplace Fuktioale für jee Testfuktio f C + c (E) achzuweise. Im Folgee were wir eie Reihe vo Beispiele er Verteilugskovergez vo Puktprozesse betrachte Beroulli Experimete mit kleier Erfolgswahrscheilichkeit Wir betrachte eie Serie aus uabhägige Beroulli Experimete mit eier sehr kleie Erfolgswahrscheilichkeit p. Die Erfolge i eier solche Serie si emetspreche sehr selte, e ie mittlere Wartezeit auf e erste Erfolg ist 1/p. Wir iteressiere us für e Puktprozess er Zeitpukte T 1, T 2,..., zu ee ma Erfolge beobachtet. Der ächste Satz behauptet, ass er Puktprozess, er aus e Pukte pt 1, pt 2,... besteht, für kleies p urch eie Poisso Puktprozess mit Itesität 1 approximiert were ka. 3

4 Satz Für jees N sei eie Folge ε i, i Z, vo uabhägige u ietisch verteilte Zufallsvariable mit P[ε i = 1] = p, P[ε i = ] = 1 p gegebe, wobei lim p = λ [, ). Da gilt ie folgee Verteilugskovergez vo Puktprozesse auf R: π := i Z ε i δ i PPP(λt). Beweis. Wir were Satz beutze. Für f C c + (R) efiiere wir ie Laplace Fuktioale [ { }] [ { }] ψ (f) = E exp x π f(x), ψ(f) = E exp x π wobei π ei homogeer Poisso Puktprozess auf R mit kostater Itesität λ sei. Es reicht zu zeige, ass lim ψ (f) = ψ(f). Wege er Uabhägigkeit er Familie ε i, i Z, gilt: [ { ψ (f) = E exp ( ) }] i ε i f = E e ε if( i ) = Ee ε if( i ) = (e i Z i Z i Z i Z(1+p f( i ) 1)). Mit er Approximatio log(1 + x) = x + o(x) (für x ) ergibt sich log ψ (f) = i Z log(1 + p (e f( i ) 1)) = i Z f(x) p (e f( i ) 1) + R, wobei R ei Restterm ist, für e wir später zeige were, ass lim R =. Es folgt, ass lim log ψ (f) = lim (p ) 1 (e f( i ) 1) = λ (e f(t) 1)t, i Z wobei letzteres eifach ie Defiitio es Riema Itegrals ist. Zusammefasse gilt also { } lim ψ (f) = exp λ (1 e f(t) )t, was em Laplace Fuktioal eies Poisso Puktprozesses mit Itesität λ etspricht. Mit Satz folgt, ass π := ε i δ i PPP(λt). i Z Der Restterm R ka wie folgt abgeschätzt were. Es gilt R = ( ) log(1 + p (e f( i ) 1)) p (e f( i ) 1) 1 p 2 2 (e f( i ) 1) 2, i Z wobei wir ie Ugleichug log(1 + x) x x 2 /2 für x > beutzt habe. Die Fuktio f hat eie kompakte Träger, also verschwiet sie außerhalb eies Itervalls [ A, A]. Es 4 R R i Z,

5 folgt, ass höchstes 2A Werte vo f(i/) (u somit höchstes 2A Summae i er obige Summe) ugleich si. Somit ergibt sich R 2AMp 2 = o(1), wobei M as Supremum vo (e f 1) 2 ist u wir beutzt habe, ass lim p 2 =. Als Aweug es obige Satzes were wir u zeige, ass ie Zeitpukte, zu ee eie Folge vo u.i.v. Zufallsvariable eie sehr hohe Schwellewert überschreitet, ach eier Normierug gege eie Poisso Puktprozess kovergiere Abbilug 1. Überschreituge eies hohe Schwellewerts i eier Folge vo u.i.v. Zufallsvariable Satz Seie X i, i Z, u.i.v. Zufallsvariable mit Verteilugsfuktio F. Sei u eie Folge mit lim F (u ) = λ [, ). Da gilt ie folgee Verteilugskovergez vo Puktprozesse auf R: i Z:X i >u δ i PPP(λt). Beweis. Betrachte ie Zufallsvariable ε i := 1 Xi >u, i Z. Diese ehme Werte u 1 a, u es sei p := P[ε i = 1]. Da ist lim p = lim P[ε i = 1] = lim F (u ) = λ. Damit si ie Beiguge vo Satz erfüllt u ie Behauptug folgt Kovergez er Biomialpuktprozesse gege ie Poisso Puktprozesse I iesem Abschitt beweise wir eie allgemeie Satz über ie Kovergez eier Folge vo Biomialpuktprozesse gege eie Poisso Puktprozess. 5

6 Satz Für alle N seie Y 1,..., Y : Ω E u.i.v. Zufallselemete mit Werte i E u Verteilug µ. D.h. µ sei ei Wahrscheilichkeitsmaß auf E mit µ (B) = P[Y 1 B] für alle Borel Mege B E. Es gelte außerem für ei Rao Maß µ auf E, ass v µ µ. Da gilt ie folgee Verteilugskovergez vo Puktprozesse auf E: π := δ Yi PPP(µ). Beispiel Seie Y 1,..., Y gleichverteilt auf em Quarat [, ] 2. Da ist µ ei Wahrscheilichkeitsmaß mit er Dichte 1 1 [, ] u ma ka leicht zeige, ass µ 2 vage gege as Lebesgue Maß auf er Viertelebee [, ) 2 kovergiert. Es folgt, ass δ Y i gege eie Poisso Puktprozess mit Itesität 1 auf er Viertelebee kovergiert. Beweis vo Satz Sei f C c + (E), a gilt { ψ (f) := E exp } { } f(x) = E exp f(y i ) = E x π e f(yi). Wege er Uabhägigkeit er Zufallsvariable Y 1,..., Y ka ma iese Ausruck wie folgt schreibe: ( ψ (f) = Ee f(yi) = e f(t) E µ (t) = 1 (1 ) e f(t) )µ (t). v E Wege µ (t) µ(t) für folgt schließlich: ( E ψ (f) = 1 (1 ) { } e f(t) )µ (t) exp (1 e f(t) )µ(t), E was as Laplace Fuktioal eies Poisso Puktprozesses mit Itesität µ ist. Mit Satz folgt, ass π i Verteilug gege PPP(µ) kovergiert Kovergez er extreme Orugsstatistike: Gumbel Fall I iesem Abschitt were wir zeige, ass ie obere extreme Orugsstatistike eier u.i.v. Stichprobe aus em Gumbel Max Aziehugsbereich urch eie Poisso Puktprozess approximiert were köe. Die beie aere Max Aziehugsbereiche were im ächste Abschitt behaelt. 6

7 Satz Seie X1, X2,... u.i.v. Zufallsvariable aus em Max Aziehugsbereich x er Gumbel Verteilug Λ(x) = e e,.h. es gebe Folge a > u b R mit max{x1,..., X } a (1.5.1) Λ. b Da gilt ie folgee Verteilugskovergez er Puktprozesse auf R: X π := δ Xi a PPP(e t t). b Abbilug 2. Drei uabha gige Realisieruge es Poisso Puktprozesses mit Itesita t e t auf R. Das Bil zeigt as Itervall [ 5, 3]. Bemerkug Sei π er Poisso Puktprozess mit Itesita t e t auf R. Fu r jees x R ist ie Azahl er Pukte vo π im Itervall (x, ) fast sicher elich, e es gilt Z t e t = Poi(e x ). π((x, )) Poi x Isbesoere ist ie erwartete Azahl er Pukte auf er positive Halbachse gleich 1. Auf er aere Seite, ist ie Azahl er Pukte im Itervall (, x) fast sicher uelich, e Z x t e t = Poi( ). π((, x)) Poi Wir ko e also ie Pukte vo π absteige aore: Y1 > Y2 >... u es gilt lim Y =. Wie ist u Y1 verteilt? Der obige Satz la sst vermute, ass Y1 eie Gumbel Verteilug habe sollte. Das ist i er Tat richtig, e x P[Y1 x] = P[π((x, )) = ] = e e, a π((x, )) Poi(e x ). Aufgabe Bestimme Sie ie Verteilug vo Yk, k N. Aufgabe Bestimme Sie ie gemeisame Dichte es Vektors (Y1,..., Yk ). Beweisiee vo Satz Wir wisse, ass ie Kovergez i (1.5.1) geau a gilt, we lim P[X1 > a + tb ] = e t 7

8 für alle t R. Wir efiiere Y i := X i a b B B(R). Da gilt für Mege B er Form [t, ): [ X1 a µ ([t, )) = P[Y 1 t] = P Betrachte wir als ächstes Mege B er Form [t 1, t 2 ): µ ([t 1, t 2 )) = µ ([t 1, )) µ ([t 2, )) e t 1 e t 2 = für i = 1,..., u µ (B) := P[Y 1 B] für b ] t e t. t2 t 1 e t t = µ([t 1, t 2 )). Dieser Beweislogik folge lässt sich ie Kovergez auch für beliebige relativ kompakte Borel Mege B R zeige: lim µ (B) = µ(b), worauf wir hier verzichte wolle. Mit Satz folgt ie Behauptug. Beispiel Seie X 1, X 2,... uabhägige u ietisch expoetialverteilte Zufallsvariable mit Parameter 1,.h. P[X i > t] = e t für t >. Da gilt ach Satz?? Mit Satz folgt u max{x 1,..., X } log δ Xi log e e x. PPP(e t t). Beispiel Seie X 1, X 2,... uabhägige u ietisch staarormalverteilte Zufallsvariable. Wir habe bereits gezeigt, ass 2 log (max{x1,..., X } a ) e e x mit a = 2 log 1 2 log log +log 2 π 2 log. Es folgt mit Satz 1.5.1, ass δ 2 log (X i a ) PPP(e t t). Im ächste Satz gebe wir eie explizite Kostruktio es Poisso Puktprozesses π PPP(e t t) als eie Trasformatio es homogee Poisso Puktprozesses =1 δ P mit Itesität 1 a. Propositio Es sei =1 δ P ei homogeer Poisso Puktprozess mit Itesität 1 auf (, ). Da gilt δ log P PPP(e t t). =1 8

9 Abbilug 3. Poisso Puktprozess mit Itesität 1 (horizotale Achse) wir mit er Trasformatio T (x) = log x auf e Poisso Puktprozess mit Itesität e t (vertikale Achse) trasformiert. Beweis. Wir beutze e Trasformatiossatz für Poisso Puktprozesse für ie Abbilug T : (, ) R, T (x) = log x. Sei ν as Lebesgue Maß auf (, ). Mit em Trasformatiossatz für Poisso Puktprozesse folgt: δ T (P) PPP(T ν). =1 Wir müsse och achweise, ass ie Dichte es Bilmaßes T ν gleich e t ist. Es gilt (T ν)((a, b)) = ν(t 1 ((a, b))) = ν((e b, e a )) = e a e b = b a e t t. Deshalb folgt ie Behauptug. Aus er Kovergez er Puktprozesse i Satz folgt ie Kovergez er extreme Orugsstatistike. Wir were hier keie exakte Beweis gebe. Die Iee besteht ari, ass ma ie extreme Orugsstatistike als ei stetiges Fuktioal es Puktprozesses asehe ka. Nach em Satz über ie stetige Abbilug folgt aus er Verteilugskovergez er Puktprozesse ie Verteilugskovergez er extreme Orugsstatistike. Wir erier a ie Notatio M (k) = X k+1:, k = 1,...,. Korollar Uter Voraussetzuge vo Satz gilt für alle k N ( ) M (1) a,..., M (k) a (Y 1,..., Y k ), b b wobei Y 1 > Y 2 >... ie Pukte es Poisso Puktprozesses π mit Itesität e t auf R seie. 9

10 1.6. Kovergez er extreme Orugsstatistike: Fre chet u Weibull Fall I Satz habe wir Zufallsvariable aus em Max Aziehugsbereich er Gumbel Verteilug betrachtet. Nu formuliere wir eie a hliche Satz fu r e Max Aziehugsbereich er Fre chet Verteilug. Satz Seie X1, X2,... u.i.v. Zufallsvariable aus em Max Aziehugsbereich er Fre chet Verteilug Φα, α >,.h. es gebe eie Folge b > mit max{x1,..., X } (1.6.1) Φα. b Da gilt ie folgee Kovergez er Puktprozesse auf (, ): α X δ Xi PPP α+1 t. b t P Dabei beeutet ie Notatio, ass alle Pukte Xi mit Xi aus er Summe per Kovetio ausgeschlosse were Abbilug 4. Drei uabha gige Realisieruge es Poisso Puktprozesses mit Itesita t t 2 t auf (, ). Das Bil zeigt as Itervall [, 1]. Bemerkug Sei π er Poisso Puktprozess mit Itesita t αt (α+1) auf (, ). Fu r jees x > ist ie Azahl er Pukte vo π im Itervall (x, ) fast sicher elich, e es gilt Z αt (α+1) t π((x, )) Poi = Poi(x α ). x Auf er aere Seite ist ie Azahl er Pukte im Itervall (, x) fast sicher uelich, e Z x (α+1) π((, x)) Poi αt t = Poi( ). Aufgabe Es sei Y1 > Y2 >... > ie absteigee Aorug er Pukte vo π. Zeige Sie, ass Y1 Fre chet verteilt mit Parameter α ist. Bestimme Sie ie Verteilug vo Yk, k N, u ie gemeisame Verteilug vo (Y1,..., Yk ). Beweisiee vo Satz Beigug (1.6.1) gilt geau a, we 1 lim P[X1 b t] = α t 1

11 für alle t >. Wir efiiere ie Zufallsvariable Y i = X i b 1 Xi >. Es sei µ ie Verteilug vo Y i. Wir betrachte zuerst Mege er Form [t, ): 1 µ ([t, )) = P[Y i t] = P[X 1 tb ] t. α Betrachte wir u Mege er Form [t 1, t 2 ) mit < t 1 < t 2 : 1 µ ([t 1, t 2 )) = µ ([t 1, )) µ ([t 2, )) t α 1 1 t α 2 = t2 t 1 α t. tα+1 Dieser Beweislogik folge lässt sich ie Kovergez auch für beliebige relativ kompakte Borel Mege B (, ) zeige, worauf wir hier verzichte wolle. Es folgt: lim µ α (B) = t. tα+1 Damit ist Satz awebar u ie Behauptug ist bewiese. Beispiel Seie X 1, X 2,... u.i.v. Pareto-verteilt mit Parameter α >,.h. P[X i > t] = 1 für alle t > 1. Wir habe i Satz?? gezeigt, ass Pareto verteilte Zufallsvariable t α im Max Aziehugsbereich er Fréchet Verteilug liege, ämlich Mit Satz gilt a auf (, ): max{x 1,..., X } δ X i 1/α 1/α B Φ α. ( α ) PPP t t. α+1 1 Beispiel Es seie X 1, X 2,... Cauchy verteilt mit Dichte, t R. Wir wisse, π(1+t 2 ) ass max{x 1,..., X } Φ α. Somit folgt aus Satz 1.6.1, ass auf (, ),..., X i >,..., X i < δ X i ( α ) PPP t t. α+1 Aus Symmetriegrüe folgt aber auch, ass auf (, ) δ X i PPP ( α t ( t) α+1 Ma ka sogar beie Fälle vereiige u zeige, ass auf E = R\{} gilt ( ) α δ X i PPP t. t α+1 Es sei bemerkt, ass wir e Pukt ausschließe müsse, e ie Pukte es Poisso Puktprozesses auf er rechte Seite häufe sich a er Stelle. 11 ).

12 Zum Schluss betrachte wir och e Max Aziehugsbereich er Weibull Verteilug Ψ α. Satz Seie X 1, X 2,... u.i.v. Zufallsvariable aus em Max Aziehugsbereich er Weibull Verteilug Ψ α, α >,.h. er rechte Epukt x sei elich u es gebe eie Folge b > mit max{x 1,..., X } x b Ψ α. Da gilt ie folgee Kovergez vo Puktprozesse auf (, ): Beweis. Weggelasse. δ X i x b PPP ( α( t) α 1 t ). Beispiel Seie X 1, X 2,... uabhägig u ietisch gleichverteilt auf [, 1]. Es gilt: (max{x 1,..., X } 1) Da folgt aus Satz 1.6.6, ass Aus Symmetriegrüe gilt auch δ (Xi 1) δ Xi ex = Ψ 1 (x), x <. PPP(t) auf (, ). PPP(t) auf (, ) Kovergez er Rekorzeite gege eie Poisso Puktprozess Seie X 1, X 2,... u.i.v. Zufallsvariable mit stetiger Verteilugsfuktio F. Wir beutze ie Notatio M = max{x 1,..., X } für as Maximum er erste Zufallsvariable bzw. ξ j = 1 Xj >M j 1, j = 1, 2,... für ie Iikatorvariable es Ereigisses, ass zum Zeitpukt j ei euer Rekor aufgestellt wir. Die ebefalls bereits behaelte Rekorzeite L(1), L(2),... were weiterhi wie folgt efiiert: L(1) = 1 u L( + 1) = mi{j > L() : ξ j = 1}, = 1, 2,.... Der ächste Satz behauptet, ass ie Folge er Rekorzeite wie ei Poisso Puktprozess aussieht, we ma sie aus eier sehr große Etferug betrachtet. Satz Es gilt π := δ L(i) ( ) t PPP t auf (, ). 12

13 Beweis. Wir zeige ie Kovergez er Laplace Fuktioale. Sei f C c + (, ). Es gilt { ψ (f) := E exp } { ( ) } { L(i) ( ) } j f(x) = E exp f = E exp ξ j f, x π weil ξ j immer a ist, we kei Rekor a Stelle j vorliegt. Ma ka obiges auch wie folgt schreibe u wege er Uabhägigkeit er ξ j ach Satz vo Réyi umforme: { ( )} j { ( )} j ψ (f) = E exp ξ j f = E exp ξ j f = (1 1j + 1j ) j e f( ), wobei sich ie letzte Gleichheit ergibt, a ebefalls mit em Satz vo Réyi P[ξ j = 1] = 1 P[ξ j = ] = 1 gilt. Es folgt: j ( log ψ (f) = log ( e f( j ) 1) ) 1 ( ) = e f( j ) 1 + R, j j wobei hier R ei Restterm ist, er, wie wir später zeige were, gege geht, u wir ie Tayloretwicklug log(1 + x) = x + o(x) im Auge behalte. Defiiert ma ( ) j g = 1 ( ) e f( j ) 1 j/ u lässt gege uelich gehe, so folgt: log ψ (f) = 1 ( ) e f( j ) 1 + R j g(t)t = ( e f(t) 1 ) t t, wobei wir hier ie Kovergez eier Riema Summe gege as Riema Itegral beutzt habe. Schließlich ist zu beobachte, ass { lim ψ ( (t) = exp e f(t) 1 ) } t, t was ie Laplace Trasformierte eies Poisso Puktprozesses auf (, ) mit Itesität 1 t ist. Zu zeige ist ur och, ass lim R =. Mit er Ugleichug log(1 + x) x 1 2 x2 ergibt sich, ass R 1 2 was ie Behauptug beweist. 1 ( ) e f( j 2 j 2 ) 1 1 = 2 1 ( ) j g Kovergez gege e Extremwertprozess g 2 (t)t, I e vorherige Abschitte habe wir Sätze über ie Kovergez er obere Orugsstatistike gege Poisso Puktprozesse formuliert. Ma ka iese Sätze erweiter iem ma ie Positioe er Beobachtuge berücksichtigt, wo extrem große Werte auftrete. 13

14 Satz Seie X1, X2,... u.i.v. Zufallsvariable aus em Max Aziehugsbereich x er Gumbel Verteilug Λ(x) = e e,.h. es gebe Folge a > u b R mit max{x1,..., X } a (1.8.1) Λ. b Da gilt ie folgee Verteilugskovergez er Puktprozesse auf [, 1] R: X π := δ( i, Xi a ) PPP(s e t t). b Beweis. Weggelasse. Der Puktprozess auf er rechte Seite ka wie folgt kostruiert were. Seie Y1 > Y2 >... ie Pukte es Poisso Puktprozesses mit Itesita t e t auf R. Uabha gig avo seie U1, U2,... u.i.v. Zufallsvariable, ie gleichverteilt auf em Itervall [, 1] si. Da gilt X δ(ui,yi ) PPP(s e t t) Abbilug 5. Poisso Puktprozesse aus Sa tze u Der obige Satz macht e folgee fuktioale Grezwertzsatz fu r e Maximumsprozess plausibel. Zuerst beo tige wir eie Defiitio. 14

15 Defiitio Der stochastische Prozess {Z t : t [, 1]} mit Z t = heißt er Gumbel Extremwertprozess. max i N: U i t Y i Satz Uter Voraussetzuge vo Satz kovergiert er Prozess {(M [t] b )/a : t [, 1]} gege e Gumbel Extremwertprozess im Sie er elich imesioale Verteiluge. D.h. für alle < t 1 <... < t k 1 gilt ( ) M[t1 ] b a,..., M [t k ] b a (Z t 1,..., Z tk ). Beweis. Weggelasse. Ähliche Sätze ka ma auch für ie beie aere Max Aziehugsbereiche formuliere. Wir betrachte hier ur e Fréchet Fall. Satz Seie X 1, X 2,... u.i.v. Zufallsvariable aus em Max Aziehugsbereich er Fréchet Verteilug Φ α, α >,.h. es gebe eie Folge b > mit (1.8.2) max{x 1,..., X } b Φ α. Da gilt ie folgee Kovergez er Puktprozesse auf [, 1] (, ): δ ( i, X i ) b ( PPP s α ) t t. α+1 Dabei beeutet ie Notatio, ass alle Pukte X i mit X i aus er Summe per Kovetio ausgeschlosse were. Beweis. Weggelasse Allgemeier Extremwertprozess Seie X 1, X 2,... uabhägige u ietisch verteilte Zufallsvariable mit Verteilugsfuktio F. Sei M = max{x 1,..., X }. Es gilt M 1 M 2 M Im ächste Satz beschreibe wir ie elich imesioale Verteiluge es Prozesses M 1, M 2,

16 Satz Seie t 1 < t 2 <... < t k, mit t i N u x 1,..., x k R. Die Verteilug vo (M t1,..., M t ) ist gegebe urch: P[M t1 x 1,..., M tk x k ] = F t k t k 1 (x k )F t k 1 t k 2 (mi{x k 1, x k })... F t 1 (mi{x 1,..., x k }). Bemerkug Es gilt ie Markov Eigeschaft: P[M +1 u M 1 = m 1,..., M = m ] = P[M +1 u M = m ]. Der ächste Satz zeigt, ass ma e Maximumsprozess (M t ) t N i eie Extremwertprozess (Z t ) t i stetiger Zeit eibette ka. Es sei x bzw. x er like bzw. er rechte Epukt er Verteilugsfuktio F. Satz Sei π = k=1 δ (X k,y k ) PPP(µ) auf [, ) (x, x ] mit µ((a, b] (c, ]) = (b a) (log F () log F (c)). Sei Z t = sup{y k : X k t} mit t. Da gilt (M t ) t N = (Z t ) t N. Beweis. Seie t 1 < t 2 <... < t k mit t i N, a gilt: P[Z t1 u 1,..., Z tk u k ] = P[π(A j ) = für alle j = 1,..., k] = P [ π ( A j ) = ], wobei hier A j = [t j 1, t j ] (mi{u k, u k 1,..., u j }, x ). Obiges lässt sich, a π ei Poisso Puktprozess ist, zu Folgeem vereifache: k k P[Z t1 u 1,..., Z tk u k ] = e µ( k A j) = e µ(aj) = e (t j t j 1 ) log F (mi{u k,u k 1,...,u j }). Somit gilt P[Z t1 u 1,..., Z tk u k ] = P[M t1 u 1,..., M tk u k ]. Beispiel Für F (x) = e e x stimmt er Prozess Z t mit em obe eigeführte Gumbel Extremwertprozess überei. *** 16