W. P. Minorski Aufgabensammlung der höheren Mathematik

Transkript

1 W. P. Minorski Aufgabensammlung der höheren Mathematik

2 Viewegs Fachbücher der Technik

3 w. P. Minorski Aufgabensammlung der höheren Mathematik 5. Auflage Mit 92 Bildern und 2570 Aufgaben mit Lösungen Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

4 Aus dem Russischen übersetzt von Eberhard Lacher, Schwarzenberg und Gerhard Liebold, Karl Marx-Stadt Bearbeitung der deutschsprachigen Ausgabe von Heillz Birnbaum, Leipzig Titel der Originalausgabe: C60PHHIC,aJla'l no Bblcwei< MaTeMaTHICe 7. Auflage Staatlicher Verlag für physikalisch-mathematische Literatur, Moskau 1962 ISBN ISBN (ebook) DOI / Copyright 1973 by Springer Fachmedien Wiesbaden Ursprünglich erschienen bei VEB Fachbuchverlag Leipzig Satz: Offizin Andersen Nexö, Leipzig Fotomechanischer Nachdruck: Leipziger Druckhaus. Grafischer Großbetrieb Ill/18/203

5 Vorwort zur deutschsprachigen Ausgabe Gute Studienergebnisse setzen in der Mathematik nicht nur Kenntnisse, sondern auch Fertigkeiten voraus. Dies zu erreichen, bedarf es einer umfangreichen und unablässigen Übung im Lösen mathematischer Aufgaben. Das vorliegende Buch von Minorski setzt mit seiner großen Anzahl von Übungsaufgaben eine alte Tradition fort und ergänzt die vorhandenen Lehrbücher, in denen - entsprechend ihrem Charakter - nicht genügend Raum für ein reichhaltiges Aufgabenmaterial zur Verfügung steht. Die in der deutschen Auflage vorgenommenen Überarbeitungen verfolgten insbesondere das Ziel, in der Darstellungsform und Symbolik mathematischer Sachverhalte zu einer Übereinstimmung mit hiesigen Lehrbüchern zu gelangen und die Übersichtlichkeit durch straffere und günstigere Anordnung der Aufgaben und deren Lösungen zu erhöhen.' Die den einzelnen Aufgabenkomplexen vorangestellten, leitfadenähnlich dargestellten Sätze und Formeln wurden drucktechnisch so gestaltet, daß sie sich gut von den Aufgaben abheben. In einigen Punkten erfolgten aus Gründen der bei uns üblichen Erklärungen und Definitionen Überarbeitungen, die sich besonders auf den Funktionsbegriff, Grenzwertprozesse und den Vektor bezogen. Die Schreibweise verschiedener Relationen und Größensymbole wurde so verändert, daß sie weitgehend mit unserer Literatur übereinstimmen. Die Aufgaben wurden nachgerechnet und deren Lösungen, teils mit Lösungsweg, am Ende der Sammlung übersichtlich aufgeführt. Weitere Hinweise und Wünsche, die einer Verbesserung der Aufgabensammlung dienen, nehmen wir dankbar entgegen. Verlag und Bearbeiter

6 Aus dem Vorwort zur dritten Auflage In der vorliegenden Aufgabensammlung wurden Aufgaben und Beispiele aus der analytischen Geometrie und der mathematischen Analysis ausgewählt und methodisch erläutert. Sie umfassen den gesamten Lehrstoff der höheren Mathematik für Höhere Technische Lehranstalten. Am Beginn eines jeden Paragraphen sind die Formeln, Definitionen und andere kurze Erläuterungen zur Theorie angeführt, die für die Lösung der folgenden Aufgaben unbedingt erforderlich sind. Am Ende eines jeden Paragraphen der Aufgabensammlung sind Wiederholungsaufgaben ang<:;führt, die etwa ein Drittel des gesamten Materials der Aufgabensammlung darstellen. Diese Besonderheit wird dem Dozenten bei der Auswahl von Aufgaben für Klassenarbeiten und für Hausarbeiten bzw. bei Wiederholungen vor Kontrollarbeiten helfen. Außerdem läßt sich bei einer derartigen Verteilung der Aufgaben leicht das Minimum festlegen, das für die Aneignung des Lehrstoffs unbedingt erforderlich ist, das man auch den Fernstudenten vorschlagen kann oder das sich für die Arbeit im Abendstudium eignet. Die Aufgabensammlung kann sowohl für die Arbeit unter der Anleitung eines Dozenten als auch für das Selbststudium des Lehrstoffs der höheren Mathematik in den Höheren Technischen Lehranstalten benutzt werden, da für alle Aufgaben (außer den zeichnerischen) die Lösungen angegeben sind, für einige auch die Lösungswege ; außerdem sind zu vielen Aufgaben im Text oder in den Lösungen Hinweise für den L5sungsgang gegeben. Die kurzen Erläuterungen zur Theorie helfen ebenfalls. Bei der Verbesserung des Buches wurden vom Autor viele Bemerkungen aus der Kritik des Dozenten L.E.Sadowski (Erfolge der mathematischen Wissenschaften, 1954, Teil I), aber auch die Bemerkungen und Hinweise in Betracht gezogen, die mündlich durch E. B. Wachowski, W.B. Gurjewitsch, G.1. Saporoshez, M. A. SchI/Iman und andere Dozenten gegeben wurden. Der Autor übermittelt seinen herzlichen Dank allen Fachkollegen, die durch ihre kritischen Bemerkungen zur Verbesserung des Buches beigetragen haben; er dankt außerdem dem Dozenten R. J. Schostak für die sorgfältige Vorbereitung der Lösungen zu den Aufgaben, die in die zweite Auflage neu eingearbeitet wurden, und dem Redakteur A. T. Zwetkow für die Zusammenstellung und gute Ausführung der Tabellen im Anhang des Buches. W.Minorski

7 Inhaltsverzeichnis I. Analytische Geometrie der Ebene Punktkoordinaten auf der Geraden und in der Ebene. Der Abstand zweier Punkte Teilung einer Strecke im gegebenen Verhältnis. Flächeninhalt eines Dreiecks, Flächeninhalt von Vielecken..., Gleichung einer Kurve Gleichung der Geraden: 1. in Normalform, 2. in allgemeiner Form, 3. in Achsenabschnittsform Winkel zwischen zwei Geraden. Gleichung des Büschels aller Geraden, die durch einen gegebenen Punkt gehen. Gleichung der Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht (Zweipunktegleichung). Schnittpunkt zweier Geraden Die (Hessesche) Normalform der Geradengleichung. Abstand eines Punktes von einer Geraden. Gleichungen der Winkelhalbierenden. Gleichung eines Büschels von Geraden, die durch den Schnittpunkt zweier gegebener Geraden gehen Vermischte Aufgaben zur Geometrie der Geraden Kreis Ellipse Hyperbel Parabel Leitlinien, Durchmesser und Tangenten von Kurven 2. Ordnung Transformation caitesischer Koordinaten. Die Parabeln y = ax 2 + bx + c und x = ay2 + by + c. Die Hyperbel x' y = k Vermischte Aufgaben zu Kurven 2. Ordnung Allgemeine Gleichung einer Kurve 2. Ordnung Polarkoordinaten Algebraische Kurven 3. und höherer Ordnung Transzendente Kurven Vektoralgebra Addition von Vektoren. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Rechtwinklige Koordinaten eines Punktes und eines Vektors im Raum Skalarprodukt zweier Vektoren Vektorprodukt zweier Vektoren Gemischtes Produkt dreier Vektoren (Spatprodukt) Analytische Geometrie des Raumes Gleichung einer Ebene Grundlegende Aufgaben zur Ebene Gleichungen der Geraden Gerade und Ebene Sphärische und zylindrische Flächen Konische Flächen und Rotationsflächen Ellipsoid, Hyperboloide, Paraboloide

8 8 Inhaltsverzeichnis 4. Höhere Algebra Determinanten Lineare Gleichungssysteme Komplexe Zahlen Gleichungen höheren Grades. Näherungsweise Lösung einer Gleichung Einführung in die Analysis Veränderliche Größen und Funktionen Zahlenfolgen. Grenzwert einer Veränderlichen. Grenzwert einer Funktion Grenzwerteigenschaften. Bestimmung einfacher.. unbestimmter Aus- 0" OCI drüc~e" der Form 0 und sm" hm ~"(-+O IX Unbestimmte Ausdrücke" der Form,,00-00" und,,0. 00" Vermischte Beispiele zur Berechnung von Grenzwerten Ableitung der Arkusfunktion Ableitung der Hyperbelfunktionen Vermischte Beispiele und Aufgaben zur Differentiation Ableitungen höherer Ordnung Ableitung impliziter Funktionen Differential einer Funktion Parameterdarstellung einer Kurvengleichung Anwendungen der Ableitung einer Funktion Geschwindigkeit und Beschleunigung Hauptsätze der Differentialrechnung Bestimmung unbestimmter Ausdrücke; I'Hospitalsche Regel Steigen und Fallen einer Funktion. Maximum und Minimum Extremwertaufgaben Konvexität und Konkavität. Wendepunkte einer Kurve Ordnung kleiner - gegen Null Kurvendiskussion strebender Größen Stetigkeit einer Funktion Asymptoten Die Zahl e Ableitung und Differential Ableitung algebraischer und trigonometrischer Funktionen Ableitung der Funktion einer Funktion Tangente und Normale einer ebenen Kurve Fälle der Nichtdifferenzierbarkeit stetiger Funktionen Ableitung der Logarithmus- und Exponentialfunktion Unbestimmtes Integral Unbestimmtes I"ntegral. Integral einer Summe Integration durch Substitution Integrale von der Form f dx 2 " x ±af~a2d~ x2 ' f k mit Angabe geeigneter Substitutionen Partielle Integration Integration trigonometrischer Funktionen Integration rationaler algebraischer Funktionen

9 Inhaltsverzeichnis 8.7. Integration einiger irrationaler algebraischer Funktionen Integration einiger transzendenter Funktionen Integration der Hyperbelfunktionen. Substitution durch Hyperbelfunktionen Vermischte Beispiele zur Integration Bestimmtes Integral Berechnung des bestimmten Integrals Flächenberechnung Volumen eines Rotationskörpers Bogenlänge eines ebenen Kurvenstücks Oberfläche eines Rotationskörpers Aufgaben aus der Physik Uneigentliche Integrale Mittelwert einer Funktion Die (Sehnen-) Trapezformel und die Simpsonsche Regel Krümmung ebener und räumlicher Kurven.... " Krümmung einer ebenen Kurve. Krümmungsmittelpunkt und Krümmungsradius. Evolute Bogenlänge einer Raumkurve Ableitung einer Vektorfunktion nach einem Skalar und ihre mechanische und geometrische Bedeutung. Begleitendes Dreibein einer Kurve Krümmung und Windung einer Raumkurve Partielle 'Ableitungen, vollständige Differentiale und deren Anwendung Funktionen zweier Veränderlicher und ihre geometrische Darstellung Partielle Ableitungen 1. Ordnung Vollständiges Differential 1. Ordnung Ableitungen mittelbarer Funktionen Ableitungen impliziter Funktionen Partielle Ableitungen und vollständige Differentiale höherer Ordnung Integration vollständiger Differentiale Singuläre Punkte einer ebenen Kurve Enveloppe einer ebenen Kurvenschar Tangentialfläche und Flächennormale... " Skalares Feld. Niveaulinien und Niveauflächen. Ableitung nach einer gegebenen Richtung. Gradient Extremum einer Funktion zweier Veränderlicher Differentialgleichungen Begriff der Differentialgleichung Integration der Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Trennung der Veränderlichen. Orthogonale Trajektorien Differentialgleichungen 1.0rdnung 1. homogene, 2. lineare, 3. Bernoullische Differentialgleichungen, die Differentiale eines Produkts oder Quotienten enthalten Differentialgleichungen 1. Ordnung, die ein vollständiges Differential enthalten. Integrierender Faktor Differentialgleichungen 1. Ordnung, die nicht nach y' aufgelöst sind. Gleichungen von Lagrange und Clairaut... " 194 9

10 10 Inhaltsverzeichnis ]2.7. Differentialgleichungen höherer Ordnung, die sich auf Gleichungen niedrigerer Ordnung zurückführen lassen... ] Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Lineare inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten... ] Beispiele von Differentialgleichungen verschiedener Typen Lineare Eulersche Differentialgleichung Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Lineare (partielle) Differentialgleichungen 2. Ordnung (Methode der Charakteristiken) Doppel-, Dreijach- ulld Kurve11- integrale Flächenberechnung mit Hilfe des Doppelintegrals Schwerpunkt und Trägheitsmoment einer Fläche bei homogener Massenverteilung (Dichte e = ]) Berechnung des Rauminhalts mit Hilfe des Doppelintegrals Inhalt gekrümmter Flächen Dreifachintegral und seine Anwendung Kurvenintegral. Greellscher Integralsatz Oberflächenintegrale. Integralsätze von Gauß-Ostrogradski und Stokes Reihen Zahlenreihen Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe Potenzreihen Taylor- und MacLaurin-Reihen ]4.5. Anwendung von Reihen bei Näherungsberechnungen ] 4.6. Taylor-Reihe einer Funktion zweier Veränderlicher ]4.7. Fourier-Reihe. Fourierschesintegral 226 Lösungen Anhang (Kurven, Tabellen)