Labor Regelungstechnik. Versuch 6 Magnetische Aufhängung

Transkript

1 Fakultät Elektrotechnik Institut für Elektrische Anlagen und Automatisierungstechnik Labor Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. Dagmar Meyer Dipl.-Ing. Kris Rohrmann Versuch 6

2 Inhalt ZIELE DES VERSUCHS... 4 VORAUSGESETZTE KENNTNISSE BTHEORIE BEinführung BLinearisierung BLinearisierung des Fadenpendels BVollständiges Nyquist-Kriterium BDER VERSUCHSAUFBAU Beschreibung des Aufbaus BSystembeschreibung BPrinzipschaltbild des Versuchsaufbaus Blockschaltbild der Anordnung BUnterlagerter Stromregelkreis BDistanzsensor BMechanischer Teil BPID-Regler Bedienoberfläche AUFGABEN ZUR VERSUCHSVORBEREITUNG Linearisierung Ermittlung der Übertragungsfunktion BStabilitätsuntersuchung der Strecke BResultierende Übertragungsfunktion Bode-Diagramm BAnwendung des vollständigen Nyquist-Kriteriums...18 LabRT_V6 0 / Seite von 1

3 4 1BAUFGABEN ZUR VERSUCHSDURCHFÜHRUNG BStreckenverhalten ohne Regler BEinstellung des Stromes i 0 im Arbeitspunkt BEinstellung des PID-Reglers BEinstellung des PD-Reglers BStabilitätsgrenzen des PID-Reglers BSimulation des Regelkreises mit PID-Regler...0 LabRT_V6 0 / Seite 3 von 1

4 Ziele des Versuchs Der Versuch verfolgt drei wesentliche Zielstellungen: Untersuchung der Eigenschaften nichtlinearer Regelstrecken Praktische Untersuchungen an einer nichtlinearen Regelstrecke Vergleich mit einer linearen Simulation Nach der Vorbereitung und Durchführung des Versuchs sollten Sie über folgende Kenntnisse und Fertigkeiten verfügen: Sie können nichtlineare Regelstrecken mit gegebener nichtlinearer Differentialgleichung durch Anwendung einer Taylorreihenentwicklung am Arbeitspunkt linearisieren. Sie sind nach Abschluss des Versuches in der Lage, eine Regelung für eine instabile Regelstrecke experimentell unter Zuhilfenahme von Bodediagrammen einzustellen. Sie können anhand einer gegebenen Modellbeschreibung ein komplexes Simulationsmodell mit einer Regelung in Simulink erstellen. Sie kennen die Grenzen der Gültigkeit eines linearisierten Streckenmodells für den Reglerentwurf. Sie kennen das Verfahren der grafischen Stabilitätsanalyse im Bodediagramm für Regelkreise mit nichtlinearen Strecken und können dieses praktisch anwenden. Vorausgesetzte Kenntnisse Neben den in diesem Laborskript erläuterten theoretischen Grundlagen zur Linearisierung eines nichtlinearen Streckenmodells am Arbeitspunkt und zur Stabilität von Regelreisen mit instabilen Strecken werden in diesem Versuch insbesondere folgende Kenntnisse aus zuvor besuchten Lehrveranstaltungen vorausgesetzt: Linearisierung - Linearisierung einer nichtlinearen Differentialgleichung am Arbeitspunkt - Überführung der linearisierten Dgl. in eine Übertragungsfunktion - Grafische Darstellung von Werten und Formatierung der Diagramme Stabilität von Regelkreisen - Vollständiges Nyquist-Kriterium - Anwendung des vollständigen Nyquist-Kriteriums im Bodediagramm - Grenzen bei Anwendung auf ein linearisiertes Modell LabRT_V6 0 / Seite 4 von 1

5 1 0BTheorie 1.1 3BEinführung Ziel dieses Versuches ist die Auslegung und Analyse der Positionsregelung eines frei schwebenden Objektes in einem magnetischen Feld. Hierbei sollen vor allem die Begriffe Instabilität und nichtlineares System in der praktischen Anwendung erläutert werden. Die Realisierung erfolgt mittels eines digitalen Reglers, welcher wahlweise als P-, PI- oder PID- Regler betrieben werden kann. Aufgrund der relativ einfachen mathematischen Zusammenhänge wird im Folgenden ein mathematisches Modell der Regelstrecke entwickelt, welches als Basis für den Reglerentwurf dienen kann. 1. 4BLinearisierung Die Suche nach formalen Beschreibungen physikalischer Systeme wird teilweise unter vereinfachenden Annahmen durchgeführt. So wird beispielsweise bei der Beschreibung eines Fadenpendels nur die Auslenkung um kleine Winkel betrachtet. Dadurch kann der Term sin( ) in der Bewegungsgleichung durch ersetzt werden und es ergibt sich eine vereinfachte lineare Differentialgleichung (siehe Abschnitt 1.3). Formal ergibt sich die Lösung durch Anwendung der mathematischen Methode der Linearisierung, die im Folgenden beschrieben wird. Stetige Funktionen f(x), die an der Stelle x = x 0 beliebig oft differenzierbar sind, können in eine spezielle Potenzreihe, die Taylorreihe entwickelt werden. Die allgemeine Form der Taylorreihe für Funktionen einer Veränderlichen lautet: xx xx xx 0 0 ( n) 0 f ( x) f( x0) f '( x0) f ''( x0)... f ( x0) Rn (1.1) 1!! n! wobei R n das Restglied bei vorzeitigem Abbruch der Reihenentwicklung darstellt. Der Abbruch der Reihenentwicklung nach dem linearen Glied liefert unter Vernachlässigung des Restgliedes eine lineare Funktion: f ( x) f ( x ) f '( x ) x x (1.) 1! Aus Gl. 1. folgt direkt der Zusammenhang für Funktionen mehrerer Variabler. Im Sinne der Linearisierung und der Übersicht wird nur der lineare Teil der Taylorreihe mehrerer Veränderlicher angegeben: x x x x x x f( x) f( x0 ) f( x) f( x)... f( x) x x x n n0 xx0 xx0 xx0 1 1! 1! n 1! n (1.3) ( x x ) Die auftretenden Terme n n0 werden daher im Folgenden mit stellen anschaulich die Auslenkung aus der Ruhelage dar und xn bezeichnet. Somit lautet die Taylorreihe für den Entwicklungspunkt x 0 (Ruhelage) in der endgültigen Form: x x x f x f x f x f x f x ! 1! 1! 1 ( ) ( 0) ( ) ( )... ( ) xx xx xx x1 x xn n (1.4) LabRT_V6 0 / Seite 5 von 1

6 1.3 5BLinearisierung des Fadenpendels Als Beispiel soll das einfache Fadenpendel linearisiert werden. Die nachfolgende Abbildung skizziert die interessierenden Kräfte und Größen dieser Anordnung. d s m dt m g sin() s m m g cos() m g Bild 1-1 Fadenpendel mit eingezeichneten Kräften Aus dem Gleichgewicht der Kräfte erhält man den Ansatz: d s m g sin m (1.5) dt Mit s l folgt daraus: d l gsin dt (1.6) d g sin dt l Prinzipielle Vorgehensweise zur Linearisierung einer DGL: 1. Bestimmen der nichtlinearen Terme. Linearisieren der nichtlinearen Terme 3. Einsetzen der Linearisierten Terme in die DGL 4. Ersetzen aller Differenzen-Ausdrücke durch 5. Berechnen der Ruhelage und Einsetzen in die DGL LabRT_V6 0 / Seite 6 von 1

7 Anwendung auf das Beispiel des Fadenpendels: 1. Der einzige nichtlineare Term der Anordnung ist sin.. Für diesen Ausdruck ergibt sich die Taylorreihe: sin sin cos (1.7) Einsetzen der gefundenen Linearisierung in die DGL: d g sin cos dt l 4. Ersetzen der Differenzen-Terme (1.9) Das bedeutet aber: (1.8) 0 (1.10) und daher: d d( ) dt dt ( 0 ist eine Konstante!) (1.11) d dt Eingesetzt in die linearisierte DGL: g sin 0cos0 l (1.1) 5. Berechnung der Ruhelage und Einsetzen in die DGL Im Arbeitspunkt (Ruhelage) ist keine momentane Auslenkung aus der Ruhelage vorhanden. Das bedeutet, alle -Größen, welche die Auslenkung beschreiben, sind gleich null zu setzen. Außerdem ist die Ruhelage ein stationärer Zustand, in dem alle Ausgleichs- und Bewegungsvorgänge abgeschlossen sind. Daher sind die dynamischen Anteile (alle Ableitungen) der DGL ebenfalls zu null zu setzen. Zusammengefasst: 0; 0 g 0 sin 0 0 l sin 0 0 (1.13) 0 0 Es ergibt sich die erwartete Ruhelage bei 0, welche nun durch ein abschließendes Einsetzen in Gl. 1.1 die gesuchte linearisierte DGL für kleine Auslenkungen um den Arbeitspunkt 0 ergibt. g sin 0 0 cos0 0 l g l (1.14) LabRT_V6 0 / Seite 7 von 1

8 1.4 6BVollständiges Nyquist-Kriterium Die vorliegende Strecke der magnetischen Aufhängung ist ohne Regler instabil und kann nur mit einem korrekt parametrierten Regler stabilisiert werden. Zur Untersuchung der Stabilität von Strecke und Regler soll im Weiteren das vollständige Nyquist-Kriterium herangezogen werden0f1. Allgemeine Definition des vollständigen Stabilitätskriteriums nach Nyquist Besitzt die Übertragungsfunktion F k (p) des offenen Kreises n r Pole mit positivem Realteil und n i Pole auf der imaginären Achse, dann ist der geschlossene Kreis genau dann stabil, wenn der vom "kritischen Punkt" (-1, j 0) an die Ortskurve F k (jω) gezogene Fahrstrahl beim Durchlaufen der Ortskurve im Bereich 0 ω eine Winkeländerung von nr ni (1.15) beschreibt. Da eine Betrachtung von Ortskurven oftmals eher unhandlich und wenig anschaulich ist, kann das Nyquist-Kriterium auch in das Bode-Diagramm übertragen werden. Auch hier wird der offene Kreis aus Regler und Strecke betrachtet und man gelangt zu folgenden Aussagen bezüglich der Stabilität. Der geschlossene Regelkreis ist genau dann stabil, wenn gilt: S S p p S S n n nr nr 1 ni ; K k > 0 kein Pol im Ursprung, n i = 0; K k < 0 0 oder 1 Pol im Ursprung, 0;1 1 Doppelpol im Ursprung, i n ; K k > 0 1 Pol im Ursprung, n i = 1; K k < 0 K k : Verstärkung des offenen Regelkreises (Kreisverstärkung) S p : Anzahl der positiven Schnittpunkte des Phasenwinkels k mit der Linie. Gezählt werden nur die Schnittpunkte, für die gilt: F j! k 1 S n : Anzahl der negativen Schnittpunkte des Phasenwinkels k mit der Linie. Gezählt werden nur die Schnittpunkte, für die gilt: F j! k 1 n r : Anzahl der Pole in der rechten p-halbebene n i : Anzahl der Pole auf der imaginären Achse 1 Weist die betrachtete Übertragungsfunktion des offenen Kreises F k (p) einen positiven Realteil (hier der Fall!), und/oder mehr als zwei Polstellen im Ursprung auf, muss zur Untersuchung der Stabilität das vollständige Nyquist-Kriterium anstatt des vereinfachten Kriteriums benutzt werden. LabRT_V6 0 / Seite 8 von 1

9 Das Zählschema zum Ermitteln der Schnittpunkte S n / S p ist aus Bild 1- ersichtlich. Bild 1- Fallbeispiele zur Stabilitätsuntersuchung LabRT_V6 0 / Seite 9 von 1

10 1BDer Versuchsaufbau.1 7Beschreibung des Aufbaus Die nachfolgende Abbildung zeigt schematisch den mechanischen Aufbau des Versuchs: i Spule Eisenkern Regelspule x Pendel (Eisenstab) mechanische Begrenzungen Führung x m Lasersensor Bild -1 Schematische Skizze des mechanischen Aufbaus Die zu regelnde Größe des Systems ist der vertikale Abstand x des Pendels vom Eisenkern der Spule. Die Messung des Abstandes erfolgt mit einem Laser-Distanzsensor, der den Abstand x m zwischen Pendel und Sensor erfasst. Diese Messgröße wird in den zu regelnden Abstand x umgerechnet. Als Stellgröße dient der Spulenstrom i des Elektromagneten im zulässigen Bereich von 0 bis 1 A. In horizontaler Richtung stabilisiert sich das Pendel weitgehend selbst, da das inhomogene Feld des Magneten in der Mitte am stärksten ist und das Pendel am unteren Ende ein zusätzliches Gewicht hat. Daher läuft das Pendel in der etwas größeren Führung des Aufbaus auch reibungsfrei und stets zentriert. LabRT_V6 0 / Seite 10 von 1

11 . 8BSystembeschreibung..1 1BPrinzipschaltbild des Versuchsaufbaus i Spule Ansteuerung H-Brücke PWM-Signal der Stromsensor Messelektronik Integrierte H-Brücke Stromregelung Positionsregelung PC Linux mit Echtzeiterweiterung Ethernet Analoge Messkarte x m Bedienung und Visualisierung Ethernet PC Windows 7 LabVIEW Bild - Prinzipschaltbild des Versuchsaufbaus Der Messwert des Lasersensors wird mit Hilfe einer PCI-Messkarte erfasst. Diese befindet sich in einem PC, auf dem das Betriebssystem Linux mit der Echtzeiterweiterung RTAI läuft. Die Erfassung des Spulenstromes i Spule erfolgt mit einem Stromsensor (LEM-Modul). Der Wert wird in einer Elektronik aufbereitet und dann ebenfalls über die Messkarte an den Linux-PC übertragen. Auf dem Linux-PC laufen die Stromregelung für den Spulenstrom (innere Regelschleife) und die Positionsregelung für das Pendel (äußere Regelschleife) als Kaskadenregelung ab. Der Stromsollwert wird über den analogen Ausgang der Messkarte an den Microcontroller übertragen. Dieser generiert daraus das zur Ansteuerung der H-Brücke notwenige PWM-Signal. LabRT_V6 0 / Seite 11 von 1

12 .. 13Blockschaltbild der Anordnung x 10 x m 1 Bild -3 Blockschaltbild der Anordnung Tabelle -1 Bedeutung der Blöcke des Blockschaltbildes Nr. Bedeutung Realisierung 1 Distanzsensor Lasersensor Messumformer und Umrechung des Signals Ansteuerelektronik, Linux-PC 3 Sollwertvorgabe für die Auslenkung aus dem AP x 0 (Bedienoberfläche) 4 Digitaler Positionsregler mit PID-T 1 -Verhalten Linux-PC 5 Digitaler Stromregler mit PI-Verhalten Linux-PC 6 Ansteuerung des Stellgliedes Microcontroller + H-Brücke 7 Messumformer Stromsensor (LEM-Modul) 8 Vorgabe des Ruhestromes i 0 (Bedienoberfläche) 9 Vorgabe eines Störsprunges Störsprung i 0 (Bedienoberfläche) 10 Aktor Elektromagnet LabRT_V6 0 / Seite 1 von 1

13 ..3 14BUnterlagerter Stromregelkreis Der Stromkreis des Elektromagneten besteht aus einer Induktivität L S, dem ohmschen Widerstand R S der Spulenwicklung und dem Innenwiderstand R i der internen Spannungsquelle. Daraus resultiert ein PT 1 -Verhalten mit der Übertragungsfunktion K L S S 1 F ( p) mit S TS und K S. (.1) TS p 1 RS R R i S Diese Strecke wird mit einem fest eingestellten PI-Regler geregelt. Für den geschlossenen Stromregelkreis ergibt sich dann näherungsweise folgende Übertragungsfunktion: 1 FS 1( p) (.) T p 1 S BDistanzsensor Der Laser-Distanzsensor liefert ein Spannungssignal im Bereich von 0 10 V. Aufgrund der sehr guten Linearität der Kennlinie des Sensors kann dieser als ideales P-Glied angesehen werden. F S (p) = K S (.3)..5 16BMechanischer Teil Für die magnetische Kraft eines Elektromagneten gilt näherungsweise der nur im homogenen Feld exakte Zusammenhang: I dl 1 1 F mit: L ~ L C1 (.4) dx R R R Da R l >> R e erhält man für die Induktivität: 1 Rl m e l 1 1 L C C x mit: C C A 1 0 (.5) Und damit für die Kraft F in hier ausreichender Näherung: 1 d C i ( t) x i ( t) F C mit: dx x ( t) C C (.6) Da an dieser Stelle nur der Betrag der Kraft von Interesse ist, wird aus Gl..6: () F (.7) () i t C x t Unter Beachtung der Richtungen der Kräfte in Bild -4 kann man nun die DGL des Systems aufstellen. LabRT_V6 0 / Seite 13 von 1

14 F m x 0 x i mg mx Fm C x mx mg t mx mg C x t i (.8) Bild -4 Kräfte am Pendel..6 17BPID-Regler Die Positionsregelung erfolgt auf dem Linux-PC mit einem digitalen PID-Regler, der für die Berechnung der Parameter als analoger Regler betrachtet werden kann. Der Regler ist in der Parallelstruktur realisiert, weil sich diese Struktur besser für die Implementierung als Rechnerprogramm eignet als die üblicherweise für die Reglerauslegung verwendete Produktform. P KP e I KI 1 0,1s p u DT 1 KD TV p T p 1 V Bild -5 PID-Regler in Parallelstruktur Zur Untersuchung des Regelkreisverhaltens ist es sinnvoll, den PID Regler in der bekannten Produktform (.9) darzustellen. (Im Weiteren werden die Größen der Produktform zur Unterscheidung stets durch ein * gekennzeichnet.) Die Übertragungsfunktion des PID-Reglers in Parallelstruktur lässt sich direkt aus dem Blockschaltbild ablesen: LabRT_V6 0 / Seite 14 von 1

15 1 TD p FR ( p) K P K I K D (.10) 0,1s p T p 1 Die einstellbaren Parameter in der Bedienoberfläche sind K P, K I, K D und T D. D Die Aufgabe besteht nun darin, einen Zusammenhang zwischen diesen Einstellwerten und den Rechengrößen aus der Produktform (Gl..9) herzustellen. Zuerst wird Gl..10 durch Ausklammern und Einführen neuer Bezeichnungen auf folgende Form gebracht: 1 TD p F ( p) K 1 (.11) R P TN p T 1 p 1 Durch Bilden des Hauptnenners und Ausmultiplizieren innerhalb der eckigen Klammern ergibt sich schließlich: T T T p T T D 1 N N 1 p 1 FR ( p) K (.1) P TNT1 p TN p Es gilt dabei folgender Bezug zwischen den auf der Bedienoberfläche einstellbaren Parametern und den Reglerparametern aus Gl..11 K K T I D D K P 10 s T K T 1 P N T T D 1 (.13) Mittels Koeffizientenvergleich zwischen F R (p) und F R *(p) kann an dieser Stelle der Zusammenhang zwischen beiden Parametersätzen bestimmt werden. Das Ergebnis lautet: (.14) Durch Gl..14 können die so bestimmten Werte T N, T D, T 1 und K p direkt in die Einstellgrößen des Reglers umgerechnet werden. Dies ist im weiteren Verlauf des Versuches nicht notwendig, allerdings konnte gezeigt werden, dass die Reglerstrukturen sich auch bei komplexeren Reglern durchaus ineinander überführen lassen. LabRT_V6 0 / Seite 15 von 1

16 .3 9Bedienoberfläche Für den Versuch steht eine in LabVIEW programmierte Bedienoberfläche zur Verfügung, welche die Einstellung der Reglerparameter sowie die grafische Darstellung und Aufzeichnung von Messwerten ermöglicht. Außerdem wird das Bode-Diagramm des Regelkreises mit den aktuell eingestellten Reglerparametern als Hilfsmittel für die Reglereinstellung dargestellt. Wichtig: Die Bodediagramme werden aus einem linearisierten Modell erzeugt. Die Stabilitätsaussage des Bodediagramms kann also in einigen Grenzfällen von der Realität abweichen. Sie sind nur als Hilfestellung zum Auffinden stabiler Reglerparameter gedacht. Bild -6 Bedienoberfläche zum Laborversuch Die Einstellung des Arbeitspunktes, der durch die Ruhelage x 0 und den hierfür notwendigen Strom i 0 definiert ist, erfolgt links unten. Rechts unten kann ein Führungsgrößensprung vorgegeben werden. Bei der Vorgabe handelt es sich um die gewünschte Auslenkung aus der Ruhelage (Arbeitspunkt). Wahlweise kann auch das Störverhalten untersucht werden, indem eine sprungförmige Störgröße auf den Spulenstrom aufgebracht wird. LabRT_V6 0 / Seite 16 von 1

17 3 Aufgaben zur Versuchsvorbereitung Die Vorbereitungsaufgaben sind Bestandteil des Versuchs und müssen zu Hause vor dem Versuch bearbeitet werden. Die Ergebnisse werden für die Durchführung benötigt. Daher ist die Durchführung eines Versuches ohne Vorlage der Vorbereitungsaufgaben nicht möglich. Die zugehörigen Berechnungen müssen am Versuchstag in handschriftlicher Form vorzulegen und werden vom Laborbetreuer mit einem Testat versehen. Die testierte handschriftliche Fassung ist dem Laborbericht beizufügen und soll auf keinen Fall im Rahmen des Laborberichtes nochmals abgeschrieben oder abgetippt werden. Auf dem PC erstellte Vorbereitungen werden nicht akzeptiert sie gelten als nicht angefertigt. 3.1 Linearisierung Linearisieren Sie die Differentialgleichung für die magnetische Aufhängung mittels Taylorreihenentwicklung. 3. Ermittlung der Übertragungsfunktion Bestimmen Sie die Ruhelage und ermitteln Sie durch Transformation in den Bildbereich die Übertragungsfunktion F S3 (p) des mechanischen Streckenteils. Vor der Transformation sollten Sie nachstehende Vereinfachungen in die DGL einsetzen: T x C und Ks3 (3.1) g mg 0 m BStabilitätsuntersuchung der Strecke Untersuchen Sie die Übertragungsfunktion F S3 (p) auf Stabilität, z. B. durch Betrachtung der Polstellen. Entspricht das Ergebnis Ihren Erwartungen? 3.4 0BResultierende Übertragungsfunktion Stellen Sie die resultierende Übertragungsfunktion F ges (p) für die gesamte Streckenanordnung (Elektromagnet, Stromregelkreis, Distanzsensor) auf. F S1 (p) F S (p) F S3 (p) F ges (p) Bild 3-1: Zusammensetzung der Streckenübertragungsfunktion Zur Kontrolle Ihrer Berechnungen hier das Endergebnis: F ges K K K K ( p) (1 T p) (1 T p ) (1 T p) (1 T p ) s1 s s3 s s1 m s1 m (3.) K K K K mit: s s1 s s3 LabRT_V6 0 / Seite 17 von 1

18 3.5 1Bode-Diagramm Konstruieren Sie das maßstäbliche Bode-Diagramm für die Streckenübertragungsfunktion F ges (p). (Kleiner Hinweis zur Konstruktion: (1-T m p ) Dritte Binomische-Formel... ) Für die Parameter der Übertragungsfunktion gelten näherungsweise folgende Werte: T m = 3 ms T S1 = 11,5 ms K S = 0, BAnwendung des vollständigen Nyquist-Kriteriums Weisen Sie anhand des Bode-Diagramms nach, dass die Regelstrecke mit einem P- oder PI- Regler nicht stabilisierbar ist, während dies mit einem PD-Regler möglich ist. Bedenken Sie, dass ein P-Regler mit negativer Verstärkung eine konstante Phasenlage von 180 hat! Die auch mit einem PID-Regler mögliche Stabilisierung muss an dieser Stelle nicht untersucht werden. Was schafft der PD-Regler, wozu P- und PI-Regler nicht in der Lage sind? Stellen Sie Bedingungen für die Parameter des PD-Reglers zum Erfüllen des Stabilitätskriteriums auf. LabRT_V6 0 / Seite 18 von 1

19 4 1BAufgaben zur Versuchsdurchführung 4.1 3BStreckenverhalten ohne Regler Um die Messwertaufnahme am Versuchsaufbau zu aktivieren, muss kurzzeitig die P- Verstärkung des Reglers auf einen Wert >0 eingestellt werden. Überprüfen Sie anschließend durch manuelles Bewegen des Pendels, ob im Diagramm Messwerte angezeigt werden. Für diesen Versuchsteil müssen nun alle Reglerparameter den Wert 0 aufweisen, damit der Regelkreis aufgetrennt ist. Der Elektromagnet ist somit stromlos und das Pendel befindet sich am unteren Anschlag. Stellen Sie nun in der Bedienoberfläche den Arbeitspunkt x 0 auf den Wert -,5 mm ein. Versuchen Sie, durch langsame Erhöhung des Offsets i 0 für den Strom, das Pendel zum Schweben zu bringen. Erhalten Sie eine stabile Lage, in welcher das Pendel schwebt? Erläutern und verknüpfen Sie die Beobachtungen mit dem Begriff Instabilität! Warum gelingt es nicht, einen dauerhaft stabilen Punkt einzustellen? 4. 4BEinstellung des Stromes i 0 im Arbeitspunkt Zunächst muss der Spulenstrom i 0 im Arbeitspunkt so eingestellt werden, dass die Gewichtskraft des Pendels kompensiert wird. Hierzu wird ein PID-Regler so eingestellt, dass er die Strecke stabilisiert. Aufgrund des I-Anteils des Reglers wird der vorgegebene Sollwert, d. h. der eingestellte Positionswert x 0 am Arbeitspunkt, exakt erreicht. Der Strom, der sich im stationären Zustand ergibt, entspricht dem Strom, der zur Kompensation der Gewichtskraft notwendig ist. Nehmen Sie folgende Einstellungen vor: Ruhelage: x 0 = -,5 mm Reglerparameter: K P = 100 K I = 00 K D = 00 T D = 3 ms Zeichnen Sie eine Messreihe im stationären Zustand auf und speichern Sie diese ab. Der stationäre Wert des Spulenstromes kann nun aus der gespeicherten Datei exakt bestimmt werden. Stellen Sie den ermittelten Wert als Ruhestrom i 0 ein und verändern Sie diesen im Verlauf des Versuches nicht mehr BEinstellung des PID-Reglers Optimieren Sie manuell die Parameter des PID-Reglers, indem Sie Führungs- und Störsprungantworten aufzeichnen. Verwenden Sie hierbei die Bode-Diagramme, die rechts oben in der Bedienoberfläche angezeigt werden, als Hilfsmittel Zeichnen Sie jeweils die Führungs- und Störsprungantwort mit den von Ihnen als optimal eingeschätzten Reglerparametern für Ihren Laborbericht auf. Notieren Sie die gefunden Werte der Reglerparameter. LabRT_V6 0 / Seite 19 von 1

20 4.4 6BEinstellung des PD-Reglers Wiederholen Sie die Reglereinstellung nun für einen PD-Regler. Verwenden Sie auch hier das Bode-Diagramm als Hilfsmittel! 4.5 7BStabilitätsgrenzen des PID-Reglers Wie in der Vorbereitung deutlich wurde, sind der P- und der D-Anteil des Reglers entscheidende Faktoren für die Stabilität. Um dies experimentell nachzuweisen, sollen nun Sprungantworten für veränderte Werte von K D und K P aufgenommen werden. Stellen Sie hierzu als Ausgangspunkt wieder den PID-Regler mit den von Ihnen optimierten Parametern ein. 1. Verkleinern Sie K P schrittweise und nehmen Sie zwei markante Sprungantworten im instabilen und im grenzstabilen Bereich auf.. Vergrößern Sie nun K P ausgehend vom ursprünglich eingestellten Wert und nehmen Sie ebenfalls zwei charakteristische Sprungantworten auf. 3. Stellen Sie K P zurück auf seinen ursprünglichen Wert und wiederholen Sie die Messungen 1. und. für den Parameter K D. Dokumentieren Sie alle Sprungantworten für Ihren Laborbericht. Interpretieren Sie die Ergebnisse BSimulation des Regelkreises mit PID-Regler Entwerfen Sie ein Simulink-Modell der kompletten Kaskadenregelung aus innerem Stromregelkreis und äußerem Positionsregelkreis. Wenn Sie hierzu den Positionsregler in Parallelstruktur (vgl. Bild -5) realisieren, können Sie die im praktischen Versuch eingestellten Werte des Reglers direkt ohne Umrechnung in Simulink übernehmen. Wichtige Hinweise zur Erstellung des Simulink -Modells Definieren Sie alle Parameter (Reglerparameter, Streckenparameter) in einem Matlab m-file. Achtung: Kein Function-File erstellen, denn dann erzeugen Sie lokale Variablen, die nach Beendigung der Funktion automatisch wieder aus dem Workspace entfernt werden. Verwenden Sie die gleichen Bezeichnungen für die Parameter wie in diesem Laborumdruck. Verwenden Sie innerhalb der Übertragungsblöcke in Ihrem Simulink -Modell die im m- File definierten Variablen. Diese müssen vor der Ausführung der Simulation durch Aufruf des m-files in den Workspace geladen werden. LabRT_V6 0 / Seite 0 von 1

21 Streckenmodell Das reale schwebende Pendel verhält sich nicht genauso wie das theoretisch ermittelte Modell. Daher wurde eine experimentelle Modellidentifikation durchgeführt, um ein möglichst realitätsnahes Modell der Strecke zu erhalten. Diese Identifikation hat folgende Übertragungsfunktion für den mechanischen Streckenanteil (F S3 (p)) ergeben: K S 3 FS ( p) (3.3) 3 T p 1T p 1 S 31 S 3 Für die Parameter wurden folgende Werte ermittelt: K T T S3 S31 S3 10, , 38 ms 7,853 ms 3 m/a Es handelt sich demzufolge um ein System mit negativer Verstärkung und zwei unterschiedlichen reellen Polen, von denen einer in der rechten Halbebene liegt. Stromregelkreis Die Übertragungsfunktion der Spule (vgl. Gl..1) K S FS ( p) (3.4) T p 1 hat die Parameterwerte K S = 0,1 A/V T S = 10 ms S Der als PI-Regler ausgeführte Stromregler ist wie folgt eingestellt: K Pi = 19,0 V/A T Ni = 5,18 ms Wählen Sie für den Führungssprung in der Simulation eine Höhe von 0,5 mm und vergleichen Sie das Ergebnis qualitativ mit einer Führungssprungantwort von 0,5 mm an der realen Strecke. Wodurch könnten auftretende Unterschiede verursacht werden? LabRT_V6 0 / Seite 1 von 1