SCHWERKRAFT, FIGUR, SEISMIK UND AUFBAU DER ERDE

Transkript

1 SCHWERKRAFT, FIGUR, SEISMIK UND AUFBAU DER ERDE NORBERT I. KÖMLE Vorlesung über 2 Wochenstunden an der Karl-Franzens-Universität Graz SS 2009 Institut für Weltraumforschung, Österreichische Akademie der Wissenschaften, Schmiedlstrasse 6, A-8042 Graz. norbert.koemle@oeaw.ac.at 1

2 2 N.I. Kömle 1 Überblick 1.1 Themenbereiche Die Vorlesung behandelt zwei große Themenbereiche: 1. Seismik und innerer Aufbau der Erde: Fragestellung und Grundlagen der Seismologie Kontinuumsmechanik im Festkörper: Spannung und Verformung Wellenausbreitung in Festkörpern Tektonik, Erdbeben, Vulkanismus Seismische Methoden zur Erforschung der inneren Struktur der Erde 2. Die Figur der Erde unter der Einwirkung äußerer Kräfte: Erdfigur unter dem Einfluß von Rotation und Schwerkraft Gezeiten Literatur: Walter Kerz Einführung in die Geophysik I. BI-Hochschultaschenbücher, Band 275 (1969, 1989). Michael Cara Geophysik. Springer-Verlag (1994). T. Lay and T.C. Wallace Modern Global Seismology. Academic Press (1995). K. Aki and P.G. Richards Quantitative Seismology. University Science Books, Sausalito, California (2002). Wolfgang Torge Geodesy. DeGruyter-Verlag (2001). Porleifur Einarsson Geology of Iceland. Mal og menning, Reykjavik (1991).

3 Innerer Aufbau und Figur der Erde Innerer Aufbau Radiale Schichtung Die Erde hat infolge ihrer Eigen-Gravitation eine annähernd kugelförmige Gestalt. Sie ist jedoch in ihrem Inneren nicht homogen, sondern aus konzentrisch übereinander gelagerten Schichten aufgebaut, die sich in ihrem physikalischen Zustand und in ihrer chemischen Zusammensetzung stark unterscheiden. Man spricht von chemischer und physikalischer Differenzierung des Erdkörpers in Erdkruste Erdmantel (oberer und unterer) Erdkern (innerer und äusserer) Die einzelnen Schichten sind durch scharfe Grenzflächen (Diskontinuitäten) getrennt, wie in Fig. 1 dargestellt. Die Übergang von der Erdkruste in den Erdmantel wird häufig als Mohorovicic-Diskontinuität (Moho) bezeichnet. Eine andere gebräuchliche Einteilung ist in Lithosphäre: Das felsige Material ist sehr starr (sehr geringe Viskosität) und reagiert auf einwirkende Kräfte mit Bruch. Asthenosphäre: Konvektion und plastischen Fließen des Materials infolge von Temperaturunterschieden ist auf geologischen Zeitskalen möglich. Kern Während Kruste und Mantel hauptsächlich aus Gesteinen bestehen, ist der Erdkern metallisch (hauptsächlich Eisen und Nickel). Vermutlich ist der äussere Erdkern flüssig, der innere jedoch wieder fest. Konvektionsbewegungen im Erdkern gelten auch als die Ursache für die Existenz des erdmagnetischen Feldes. Die Feststellung der oben beschriebenen inneren Struktur des Erdkörpers ist nur möglich, weil die Erde als ganzes sich wie ein elastischer Körper verhält und jede durch innere oder äussere Ereignisse verurachte Erschütterung an einem beliebigen Ort sich in Form von elastischen Wellen fortpflanzt und damit durch an der Erdoberfläche befindliche Meßstationen aufgezeichnet werden kann. Die Wissenschaft der Seismologie befaßt sich im wesentlichen mit der Interpretation solcher Seismogramme, um daraus Erkenntnisse über den inneren Aufbau des Erdkörpers und über die Natur und die Lage der verursachenden Ereignisse (Vulkanausbrüche, Erdbeben, unterirdische Atomexplosionen, Meteoriteneinschläge, etc.) zu gewinnen.

4 4 N.I. Kömle Figure 1: Innerer Aufbau des Erdkörpers: Radiale Schichtung in Kruste, Mantel und Kern. Schicht Dicke [km] Dichte [kgm 3 ] Chem. Zusammensetzung Kruste Silikate unterer Bereich: Andesite, Basalt Oberer Mantel Peridodite, Eclogite, Olivine, Spinel, Garnete, Pyroxene, Petovskite, Oxyde Unterer Mantel Magnesium, Silizium Oxyde Äusserer Kern Eisen ++ Sauerstoff, Schwefel, Nickel Innerer Kern Eisen ++ Sauerstoff, Schwefel, Nickel GESAMTDICKE 6401 Table 1: Daten des Erdinneren (Ref: Robertson: The interior of the Earth).

5 Innerer Aufbau und Figur der Erde Krustendynamik Plattentektonik Vulkanismus Ref: Understanding Plate Motions [This Dynamic Earth, USGS]: Auch die Struktur der Erdkruste ist nicht homogen. Sie ist aus einzelnen Platten aufgebaut, die gegeneinander langsame Driftbewegungen ausführen. Man kann sich vorstellen, dass die Platten der Kruste auf dem Erdmantel schwimmen, da die Dichte des Gesteins von außen nach innen zunimmt. Es gibt 2 Typen von Platten: Ozeanische Platten: Dicke einige Kilometer Kontinentale Platten: Dicke einige 10 Kilometer Die Bewegungen der einzelnen Platten gegeneinander sind sehr langsam (etwa einige cm/jahr). Dennoch sind sie mit den heutigen technischen Mitteln messbar, vor allem mit Hilfe der Satelliten-Technologie. Folgende Methoden werden hierfür angewandt: VLBI (Very Long Baseline Interferometry) GPS (Global Positioning System) SLR (Satellite Laser Ranging) An den Plattengrenzen kommt es häufig zu Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Platten, die je nach Plattentyp und nach der Relativbewegung der aneinanderstoßenden Platten unterschiedlich sind. Man unterscheidet 4 Typen von Plattengrenzen: Divergierende Grenzen (divergent boundaries) hier kommt frisches Material aus dem Erdmantel an die Oberfläche und es wird durch Abkühlung des Mantelmaterials neues Krustenmaterial erzeugt. Konvergierende Grenzen (convergent boundaries) hier wird Krustenmaterial zerstört, während sich eine Platte unter die andere schiebt (subduction process). Transformationsgrenzen (transform boundaries) hier wird Krustenmaterial weder erzeugt noch zerstört, die Plattengrenzen gleiten horizontal aneinander vorbei und üben Reibungskräfte aufeinander aus. Platten-Randzonen (plate boundary zones) breite Gürtel, wo der Verlauf der Ränder schlecht erkennbar ist und die Natur der Wechselwirkung unklar ist.

6 6 N.I. Kömle Alle diese Wechselwirkungen können zwischen zwei ozeanischen Platten, zwischen zwei kontinentalen Platten, oder zwischen einer ozeanischen und einer kontinentalen Platte auftreten. Die oben beschriebenen Typen sind in Fig. 2 dargestellt. Figure 2: Die Erdkruste ist aus sogenannten Platten aufgebaut, die sich relativ zueinander horizontal und vertikal bewegen. Reibungskräfte zwischen den Platten führen zu Erdbeben und Vulkanismus.

7 Innerer Aufbau und Figur der Erde 7 Die oben beschriebenen Plattenbewegungen sind die Hauptursache für das Auftreten von Erdbeben und Vulkanismus an der Erdoberfläche. Sie führen zum Aufbau mechanischer Spannungen in der Erdkruste, die sich durch kurzzeitige Ereignisse (Riss- und Spaltenbildung in der Erdkruste) ausgleichen. Dabei gelangt häufig Magma aus dem Erdmantel an die Erdoberfläche. Erdbeben und Vulkanismus treten bevorzugt entlang der tektonischen Bruchzonen auf, die sich an den Rändern der ozeanischen und kontinentalen Platten befinden. Die folgenden Abbildungen zeigen einige Beispiele: Ring of Fire um dem Pazifik: Der pazifische Ozean ist von zahlreichen Bruchzonen begrenzt, wo Bewegungen der Erdkruste regelmäßig Beben und Vulkanausbrüche verursachen (Fig. 3). Mittelatlantischer Rücken: auseinanderdriftende ozeanische Platten (ist geologisch als Grenzbereich zwischen Amerika und Eurasien zu betrachten). Diese Grenze verläuft u.a. quer durch Island (Fig. 4 und Fig. 5). San-Andreas-Falte: Die pazifische ozeanische Platte gleitet hier mit ca. 5 cm/jahr entlang der nordamerikanischen Kontinentalplatte. Die San-Andreas- Falte verläuft quer durch Kalifornien. Von ihr weg verlaufen zahlreiche Bruchzonen am Meeresgrund des Pazifik (Fig. 5). Indien und Himalaya: Der Zusammenstoß des indischen Subkontinents mit der eurasischen Platte verursachte vor ca. 50 Millionen Jahren die Entstehung des höchsten Gebirges der Welt (Himalaya) und des höchsten Hochplateaus der Welt, der Tibetischen Hochebene (Fig. 7). Figure 3: Der Pazifische Ozean wird von einem Ring of Fire begrenzt.

8 8 N.I. Ko mle Figure 4: Links: Der mittelatlantische Ru cken, eine typische Dehnungszone zwischen zwei ozeanischen Platten. Rechts: Verlauf des mittelatlantischen Ru ckens durch die Insel Island. Figure 5: Zwei Gebiete entlang des mittelatlantischen Ru ckens in Island. Links: Bruchzone bei Thingvellier. Rechts: Vulkanausbru che aus der Krafla-Spalte in Nordosten Islands.

9 Innerer Aufbau und Figur der Erde 9 Figure 6: San-Andreas-Falte: Eine typische Transformations-Falte, an der die pazifische ozeanische Platte an der nordamerikanischen Kontinentalplatte entlang gleitet. Sie verläuft quer durch Kalifornien. Figure 7: Die Bewegung des indischen Subkontinents in Verlauf der Erdgeschichte und sein Zusammenstoß mit der Eurasischen Platte.

10 10 N.I. Kömle 1.4 Seismische Wellen Grundsätzlich können in einem von einer Oberfläche begrenzten elastischen Festkörper, in dem durch äußere oder innere Verformung Spannungen erzeugt werden, 4 verschiedene Typen von Wellen auftreten, wie sie in Fig. 8 gezeigt sind: P-Wellen: Kompressionswellen ähnlich den Schallwellen in einem Gas, bei denen sich die Dichte des Materials perodisch ändert. P = Primary wave. Schwingungsrichtung der Massenelemente identisch mit Ausbreitungsrichtung der Welle (Longitudinalwellen). S-Wellen: Scherungswellen, bei denen sich die Dichte des Materials nicht ändert. S = Secondary wave. Schwingungsrichtung der Massenelemente senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Wellen (Transversalwellen). P- und S-Wellen können sich im Inneren eines jeden Festkörpers ausbreiten, unabängig von Vorhandensein einer Begrenzung durch eine freie Oberfläche. Sie werden daher Körperwellen (body waves) genannt. Zusätzlich zu dem Körperwellen können sich entlang einer freien Oberfläche zwei Typen von Oberflächenwellen ausbreiten. Sie entstehen durch Wechselwirkung der P- und S-Wellen mit den Randbedingungen an einer freien Oberfläche (oder einer inneren Grenzschicht in einem geschichteten Medium). Rayleigh-Wellen: Transversalwellen, Teilchen schwingen senkrecht zur begrenzenden Oberfläche und zur Ausbreitungsrichtung der Welle; schwingende Teilchen führen elliptische Bewegungen in der Ebene senkrecht zur begrenzenden Oberfläche aus. Love-Wellen: Transversalwellen, Teilchen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Wellen parallel zur begrenzenden Oberfläche. P-Wellen haben die grösste Ausbreitungsgeschwindigkeit, gefolgt von den S-Wellen, Love- Wellen und Rayleigh-Wellen. Dementsprechend werden die verschiedenen Wellentypen, die von derselben Quelle ausgehen, an einem entfernten Punkt zu unterschiedlichen Zeiten registriert. Beispiel: Seismogramm von einem Beben in Chile (Fig. 9).

11 Innerer Aufbau und Figur der Erde 11 Figure 8: Wellentypen, die in einem von einer Oberfläche begrenzten Festkörper auftreten können: (a) P-Wellen; (b) S-Wellen; (c) Love-Wellen; (d) Rayleigh-Wellen. (Ref. Lay Figure 1.2).

12 12 N.I. Kömle Figure 9: Aufzeichnung der Bodenschwingungen von einem Beben in Chile vom 3. März 1985 durch eine Mess-Station in Harvard, Massachusetts. Oben: vertikale Komponente der Bodenverschiebung in µm; mitte: Nord-Süd-Komponente; unten: Ost-West-Komponente. (Ref. Lay Figure 1-1).

13 Innerer Aufbau und Figur der Erde 13 2 Seismologie Seismologie ist eine angewandte Wissenschaft. Sie befasst sich im weitesten Sinne mit den dynamischen Vorgängen im (festen) Erdkörper. Um diese Vorgänge physikalisch zu beschreiben, benötigt man Methoden aus folgenden Teilgebieten der Physik: Theorie der elastischen und plastischen Verformung von Festkörpern (Kontinuumsmechanik) Theorie der Wellenausbreitung in Festkörpern Der praktische Nutzen der Seismologie liegt vor allem auf 2 Gebieten: Verständnis der in Zusammenhang mit Erdbeben auftretenden Phänomene. Ziel: Möglichkeit einer Erdbebenvorhersage Erkenntnisse über den inneren Aufbau der Erde 2.1 Klassifizierung und Auswirkungen von Erdbeben Definition: Erdbeben sind Vibrationen des Erdbodens, die entstehen, wenn eine seismische Welle durch den Untergrund läuft. Ursache von Erdbebenwellen: Natürliche Bruchvorgänge im Grenzbereich oder in der Mitte tektonischer Platten, aus denen die Erdkruste aufgebaut ist (Spaltenbildung in der Kruste, um die durch langsame Plattenbewegungen aufgebauten Spannungen auszugleichen). Künstlich ausgelöste unterirdische Explosionen (Sprengungen, Atomexplosionen). Kategorisierung von Beben nach der Herdtiefe: Normale Beben: 0 70 km Mitteltiefe Beben: km Tiefherdbeben: km Ca. 85% aller registrierten Beben sind normale Beben, 12 % mitteltiefe Beben und 3% Tiefherdbeben. Das Auftreten von Bebenherden ist auf die Erdkruste und die oberste Schicht des Erdmantels begrenzt. In Tiefen > 720 km wurde noch nie ein Bebenherd identifiziert.

14 14 N.I. Kömle Weitere Definitionen: Der Ausgangspunkt eines Bebens (Quelle von der sich die Erschütterungen ausbreiten) wird als HYPOZENTRUM bezeichnet. Das Hypozentrum befindet sich in der Regel unter der Erdoberfläche. Das EPIZENTRUM ist der Punkt an der Erdoberfläche, der dem Hypozentrum am nächsten ist (senkrecht über dem Hypozentrum). Dort sind in der Regel auch die Auswirkungen eines Bebens am stärksten zu spüren. Maßzahlen für die makroseismische Aktivität: MSK-Skala: Grad I - Grad XII; gibt eine Maßzahl für die Stärke eines Bebens, die sich an der Wahrnehmbarkeit durch Personen bzw. an den an Bauten und in der Natur angerichteten Zerstörungen orientiert (Tabelle 2.1). Mercalli-Skala: Grad I - Grad XII; sehr ähnlich der MSK-Skala. Richter-Skala: Logarithmische Maßzahl, deren Wert von der Amplitude des von einen bestimmten Seismometertyp (Wood-Anderson-Seismometer) aufgezeichneten Signals abhängt. Momenten-Magnitudenskala (Mw): Wird durch Modellierung des Bruchvorganges am Erdbebenherd und Vergleich mit gemessenen Seismogrammen ermittelt. Sie ergibt sich als Produkt physikalischer und geometrischer Parameter am Erdbebenherd: Fläche der Bruchzone Mittlere Verschiebung des Materials in der Bruchzone Scherfestigkeit des Materials Magnitude nach Richter: Die Richter-Skala ist eine logarithmische Maßzahl, die 1935 von C.F. Richter zur Charakterisierung der kalifornischen Erdbeben eingeführt wurde. Es besteht eine Analogie zur Größenklassen-Einteilung (Magnitude) der Sternhelligkeiten. Bestimmung der Magnitude M eines Bebens nach Richter: Ursprünglich wurden identische Seismographen (Wood-Anderson-Seismometer) verwendet, die in unterschiedlichen Abständen vom Epizentrum eines Bebens aufgestellt waren. Die Magnitude ist definiert als M = log [ ] A(D) = log A(D) log A 0 (D) (1) A 0 (D)

15 Innerer Aufbau und Figur der Erde 15 Hierbei ist D der Abstand des Seismographen vom Epizentrum und A der maximale durch ein Beben verursachte Amplitidenausschlag am Seismogramm (Amplitude der Bodenbewegung). log A 0 (D) entspricht einer unteren Grenzkurve, bei der ein Beben gerade nicht mehr auf dem Seismogramm erkennbar ist. Diesem wird M = 0 zugeordnet. Gl. (1) impliziert eine lineare Abnahme von log A mit der Distanz D vom Epizentrum des Bebens. Erläuterung: Beben der Stärke M = 3 verursachen einen Ausschlag von 1 mm am Seismographen, wenn der Seismograph in 100 km Abstand vom Epizentum steht. Ist in der gleichen Distanz vom Epizentrum der Ausschlag 1 cm (10 x stärkeres Beben), so wird ihm die Magnitude M = 4 zugeordnet, ein Ausschlag von 0.1 mm entspricht einem Beben der Stärke M = 2. MSK Stärke Personen Bauten Natur M Richter I unmerklich nicht spürbar 1 II sehr leicht vereinzelt spürbar 2 III leicht vor allem für 3 ruhende Personen deutlich spürbar IV mäßig stark in Häusern Fenster klirren 4 allgemein spürbar aufweckend V ziemlich stark im Freien Verputz an Häusern 5 allgemein spürbar bröckelt ab, hängende Gegenstände pendeln, Verschieben von Bildern VI stark erschreckend Kamine und Verputz vereinzelt Risse beschädigt im feuchten Boden VII sehr stark viele flüchten mäßige Schäden, vereinzelt Erd ins Freie vor allem an alten rutsche an steilen Gebäuden, Kamine fallen Abhängen herunter VIII zerstörend allgemeiner Schäden an vielen Veränderungen in Schrecken alten Häusern, Quellen, Erdrutsche Rohrleitungsbrüche an Straßendämmen IX verwüstend Panik starke Schäden an Bodenrisse, schwachen Gebäuden, Bergstürze, viele Schäden auch an gut Erdrutsche gebauten Häusern, Zerbrechen von unterirdischen Rohrleitungen X vernichtend allgemeine Panik Backsteinbauten werden Abgleiten von lockerem zerstört, Verbiegen von Boden an Hängen, Eisenbahnschienen Aufstau neuer Seen XI Katastrophe nur wenige Gebäude umfangreiche Ver halten stand, Rohr- änderungen des leitungen brechen Erdbodens, Flutwellen XII große Kata- Hoch- und Tiefbauten tiefgreifende Umge- 9 strophe werden zerstört staltung der Erdoberfläche, Flutwellen Table 2: Vereinfachte Version der 12-teiligen MSK (Medvedev, Sponheuer, Karnik) - Skala zur Quantifizierung der Stärke von Erdbeben (nach Cara Tabelle 2.1). In der letzten Spalte sind die zugehörigen Werte auf der Richter-Skala angegeben.

16 16 N.I. Kömle 2.2 Seismische Energie und Erdbebenhäufigkeit Aus der Magnitude M läßt sich auch die bei einem Beben freigesetzte seismische Energie (in Joule) durch eine einfache empirische Formel ermitteln: Veranschaulichung: E = 10 ( M) (2) Das Tsunami-Beben 2004 im indischen Ozean setzte eine seismische Energie von 100 Gigatonnen TNT frei ( = 7 Millionen Hiroshima-Atombomben; 1 Megatonne TNT = J) Der Wert auf der Richterskala wurde auf etwa 9.3 geschätzt, stärker als die meisten bekannten Katastrophenbeben. M Anzahl/Jahr Table 3: Häufigkeitsverteilung der Erdbeben weltweit (nach Kerz S. 33).

17 Innerer Aufbau und Figur der Erde Kontinuumsmechanik In den folgenden Absätzen werden einige grundlegende Begriffe der Kontinuumsmechanik und deren gegenseitiger Zusammenhang eingeführt, die die Grundlage für das Verständnis seismischer Wellen bilden. Jeder Festkörper, der durch äußere oder innere Kräfte verformt wird, hat das Bestreben, seine ursprüngliche (natürliche) Form wieder anzunehmen, sobald keine Kräfte mehr auf ihn einwirken. Dies gilt, solange die Deformationen klein genug sind, dass kein Fließen oder Brechen auftritt. Zur mathematischen Beschreibung wird meistens die Lagrange sche Betrachtungsweise gewählt, d.h. man beschreibt die Verschiebung einzelner infinitesimaler Massenelemente in einem Koordinatensystem als Funktion vn Ort und Zeit. Deformation (strain) resultiert aus der (infinitesimalen) Verschiebung (displacement) benachbarter Massenpunkte. Es gibt 2 Arten von Deformation (Fig. 10): 1. Dehnung und Kompression (normal strain) infolge der Einwirkung paralleler Kräftepaare (Zug- und Druckkräfte). ε normal = lim s 0 ( s ) s s (3) 2. Scherung (shear strain) infolge der Einwirkung von Scherkräften: ε shear = 1 2 ( ) π lim s 1 0, s θ (4) Um den Zusammenhang zwischen strain (Deformation) und stress (Spannung) zu illustrieren, betrachte im einfachsten Fall die Längenänderung einer Feder als Funktion der auf die Endpunkte der Feder einwirkenden Kraft. Solange keine plastische Verformung oder Bruch stattfindet, ändert sich die Länge der Feder um den Betrag δl, wenn die Kraft entlang der Längsrichtung der Feder um den Betrag δf erhöht wird: δl = a δf (5) wobei a eine Konstante (Federkonstante) ist. Sie bestimmt die Steifigkeit der Feder. Gl. (5) ist das sogenannte Hooke sche Gesetz in seiner einfachsten Form. Aus dem Hooke schen Gesetz und den Grundgesetzen der Mechanik (actio = reactio) lassen sich sowohl das Auftreten von Schwingungsvorgängen als auch die Ausbreitung von Wellen in einen Festkörper als Folge zeitlich und örtlich veränderlicher Kräfte vollständig ableiten. Zur Beschreibung seismischer Wellen ist allerdings die eindimensionale Betrachtungsweise nicht ausreichend. Für einen 3-dimensionalen elastischen Körper, der beliebigen Kräften ausgesetzt ist, gelten die Gesetze der Kontinuumsmechanik.

18 18 N.I. Kömle Figure 10: Relative Längenänderungen (a) und Scherung (b) in einem Festkörper. (Ref. Lay Figure 2.1) Deformation und Verschiebung (strain and displacement) Jedes Massenelement in einen Volumen V nimmt eine bestimmte Position P ein, die in einem kartesischen Koordinatensystem als Ortsvektor (x 1, x 2, x 3 ) dargestellt werden kann. Werden Massenelemente aus ihrer Ruhelage verschoben (z. B. durch die Einwirkung von Kräften), so ändern sich auch die Abstände und die Verbindungsrichtung der verschobenen Massenpunkte (Fig. 11). Die Verschiebung (displacement) eines Massenpunkts läßt sich ebenfalls als Vektor

19 Innerer Aufbau und Figur der Erde 19 schreiben. s = (s 1, s 2, s 3 ) (6) Die aus den Verschiebungen der Massenpunkte resultierende innere und äußere Verformung eines Körpers in einem beliebigen Punkt ist im allgemeinen ein Tensor zweiter Stufe und kann durch eine (3 3) Matrix dargestellt werden: ε = ε 11 ε 12 ε 13 ε 21 ε 22 ε 23 ε 31 ε 32 ε 33 Die einzelnen Komponenten dieses Tensors sind identisch mit den räumlichen Ableitungen der relativen Verschiebung (displacement) der Massenpunkte aus ihrer Ruhelage. Die 9 Komponenten Komponenten des strain-tensors lauten: ε 11 = s 1 x 1 ε 12 = 1 ( s2 + s ) 1 2 x 1 x 2 ε 13 = 1 ( s1 + s ) 3 2 x 3 x 1 ε 21 = 1 ( s2 + s ) 1 2 x 1 x 2 ε 22 = s 2 x 2 ε 23 = 1 ( s2 + s ) 3 2 x 3 x 2 ε 31 = 1 ( s1 + s ) 3 2 x 3 x 1 ε 32 = 1 ( s2 + s ) 3 2 x 3 x 2 ε 33 = s 3 x 3 (7) Der strain-tensor ist symmetrisch, d.h. ε ij = ε ji. Die diagonalen Komponenten (i = j) beschreiben Volumensänderungen (Expansion oder Kontraktion des Körpers), die Komponenten mit (i j) beschreiben Winkeländerungen (Scherung).

20 20 N.I. Kömle Was bedeuten die einzelnen Komponenten ε ij des strain-tensors? Indices i = j beschreiben Längenänderungen: Index 1: bezieht sich auf die Richtung des betrachteten Linienelements (z.b. dx 1, dx 2, dx 3 ); Index 2: beschreibt die Längenänderung des betrachteten Linienelements (Dehnung oder Verkürzung). s s s s s s s s s Figure 11: Verschiebung von Massenpunkten in einem kartesischen Koordinatensystem und entsprechende Änderung der Länge von Linienelementen (nach Lay Figure 2.2). Die Spur des strain-tensors T r(ε) = ε 11 + ε 22 + ε 33 = s (8) beschreibt Kompression oder Expansion eines Volumens (cubic dilatation) Wenn V 0 = dx 1 dx 2 dx 3, dann ist V 1 = (1 + ε 11 ) dx 1 (1 + ε 22 ) dx 2 (1 + ε 33 ) dx 3 (9)

21 Innerer Aufbau und Figur der Erde 21 Indices i j beschreiben Richtungsänderungen: Betrachte 2 Linienelemente, die ursprünglich orthogonal zueinander stehen und jeweils einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Infinitesimale Drehung um diesen Punkt führt ebenfalls zu einer Deformation, die durch die ungleich indizierten Tensorelemente beschrieben wird. Index 1: bezieht sich auf die Richtung des ersten Linienelements (z.b. dx 1 ); Index 2: bezieht sich auf die Richtung des dazu senkrechten Linienelements (z.b. dx 2 oder dx 2 ). In kompakter Index-Notation läßt sich der strain-tensor auch schreiben als ε ij = 1 2 ( si + s ) j x j x i (10) Spannung (stress) Es gibt grundsätzlich zwei Arten von Kräften, die auf einen Festkörper einwirken können: 1. Volumens-Kräfte (body forces), Beispiel: Gravitationskraft (F = mg) 2. Kontakt- oder Oberflächenkräfte (contact forces), Beispiel: Reibungskräfte zwischen Oberflächen, etc. Figure 12: Definition von Kräften die auf ein Volumenselement im Punkt P wirken und zu einer entsprechenden Verformung des Körpers führen. Wenn der Körper elastisch ist, nimmt er seine ursprüngliche Form wieder an sobald die Kräfte verschwinden. Ist ein Körper Oberflächen- oder Volumenskräften ausgesetzt, so ändert sich die Position der Massenelemente in seinem Inneren. Ein elastischer Körper ist stets bestrebt, seine ursprüngliche Form wieder anzunehmen und baut daher in seinem Inneren Spannungen auf, die den einwirkenden äußeren Kräften entgegenwirken (actio = reactio). Die innere

22 22 N.I. Kömle Spannung (stress) kann ähnlich wie die Verformung durch einen Tensor 2. Stufe dargestellt werden: σ = σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 stress und strain bedingen sich gegenseitig und hängen über das Hooke sche Gesetz zusammen, das sich für einen isotropen, elastischen Festkörper in kompakter Index- Schreibweise in folgender Form schreiben lässt: σ ij = λ ε kk δ ij + 2µ ε ij (11) wobei i, j = 1, 2, 3. Es liefert den Zusammenhang zwischen den Komponenten des stress- Tensors und den Komponenten des strain-tensors für jeden Index (ij). λ und µ sind die beiden Lame-Konstanten die die elastischen Eigenschaften des betracheten Materials bestimmen. Figure 13: Darstellung von Kräften in einem kartesischen Koordinatensystem. In expliziter Form ausgeschrieben repräsentiert Gl. (11) ein Set von 9 Gleichungen, die Reaktion des Körpers bei einer Verformung in eine bestimmte Koordinatenrichtung beschreiben:

23 Innerer Aufbau und Figur der Erde 23 σ 11 = λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) + 2µ ε 11 σ 12 = 2µ ε 12 σ 13 = 2µ ε 13 σ 21 = 2µ ε 21 σ 22 = λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) + 2µ ε 22 σ 23 = 2µ ε 23 σ 31 = 2µ ε 31 σ 32 = 2µ ε 32 σ 33 = λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) + 2µ ε 33 (12) Beziehungen zwischen den Lame-Konstanten und anderen häufig verwendeten Elastizitätsparametern: Elastizitätsmodul (Young s modulus): E = µ(3λ + 2µ) λ + µ (13) Poisson-Zahl (Poisson s ratio): ν = λ 2(λ + µ) (14) Kompressionsmodul (bulk modulus): K = 3λ + 2µ 3 (15) Anschauliche Bedeutung der Elastizitätsparameter: Elastizitätsmodul E: Verhältnis der Zugkraft, die in der Achse einer zylindrischen Probe herrscht, zur relativel Längenänderung. Poisson-Zahl ν : Wird ein zylindrischer Körper in axialer Richtung durch eine Krafteinwirkung (Zug) gedehnt, so verkleinert sich gleichzeitig sein Durchmesser. Die Poisson-Zahl ist das Verhältnis von relativer Durchmesseränderung zur Längenänderung des Körpers. Kompressionsmodul K: Verhältnis zwischen dem Druck, der auf einen kugelförmigen Körper ausgeübt wird zu der damit verbundenen Volumenänderung. Scherungsmodul µ: Ist identisch mit der ersten Lame-Konstante. Sie gibt den Widerstand eines Körpers gegen Formänderung (bei gleichbleibendem Volumen) an. Für Flüssigkeiten ist er daher Null.

24 24 N.I. Kömle Die Lame-Konstante λ selbst hat keine unmittelbare anschauliche Bedeutung, sie erlaubt aber die mathematisch einfachste Formulierung des Hooke schen Gesetzes für einen isotropen elastischen Körper. Bedeutung der Komponenten des stress-tensors in einem kartesischen Koordinatensystem (Fig. 12 und Fig. 13:) stress-komponenten senkrecht zur x 1 -Achse: F 1 σ 11 = lim A 1 0 A 1 F 2 σ 12 = lim A 1 0 A 1 F 3 σ 13 = lim A 1 0 A 1 Index 1: beschreibt die Normalenrichtung zur betrachteten Ebene; Index 2: beschreibt die Kraftkomponente in der Normalenrichtung. σ 11 ist die Kraft (pro Flächeneinheit), die in x 1 -Richtung wirkt, σ 12 und σ 13 sind die Kraftkomponenten die in der x 2 -x 3 Ebene wirken. Analog kann man die anderen Komponenten definieren. Auch der stress-tensor ist symmetrisch, d.h. er hat nur 6 unabhängige Komponenten. Tensoren 2. Stufe beschreiben Beziehungen zwischen Vektorfeldern. Sie sind daher ebenso wie Vektoren koordinatenabhängig. Der stress-tensor kann durch Lösung eines Eigenwertproblems diagonalisiert werden. Probleme in der Kontinuumsmechanik laufen häufig auf die Lösung von Eigenwertproblemen hinaus. Eigenwerte sind sogenannte Tensorinvarianten, d.h. sie sind nicht koordinatenabhängig. Nach Berechnung der Eigenwerte eines stress-tensors kann man auch die zugehörigen Eigenvektoren angeben. Anschauliche Bedeutung der Eigenvektoren des stress-tensors: In diesem (orthogonalen) Koordinatensystem wirken lokal nur Zug- und Druckkräfte, es gibt keine Scherkräfte (da die nicht diagonalen Matrixelemente Null sind!). Diese für einen bestimmten Spannungszustand bevorzugte Koordinatensystem bezeichnet man als principal stress axes. Sie entsprechen meist den Richtungen wo Zug- oder Druckkräfte maximal oder minimal sind. Eine N N Matrix hat N Eigenwerte λ n. Die Eigenwerte berechnet man indem man λ von den Diagonalelementen abzieht und die Determinante bildet. Das resultierende Polynom hat N Lösungen für λ. Die zugehörigen Eigenvektoren berechnet man durch Lösung des linearen Gleichungssystems σ 11 λ σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 λ σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 λ x 1 x 2 x 3 = 0

25 Innerer Aufbau und Figur der Erde 25 Kombinationen von stress-komponenten, die häufig gebraucht werden, sind die hydrostatische Spannung (hydrostatic stress) P und die deviatorische Spannung (deviatoric stress) D: P = σ 11 + σ 22 + σ 33 3 (16) D ij = σ ij + P δ ij (17) 2.4 Navier Gleichung Um die Bewegung eines Massenpunkts in einem Festkörper unter der Einwirkung beliebiger Kräfte zu beschreiben, geht man von der Newton schen Bewegungsgleichung aus: Kraft = Masse Beschleunigung Daraus ergibt sich durch einmalige Integration nach der Zeit die Geschwindigkeit v(t) und durch zweimalige Integration die Position r(t). Die Bewegungsgleichung beschreibt die Veränderung der Position eines Massenelements in einem isotropen elastischen Festkörper als Funktion der Zeit unter der Einwirkung beliebiger Kräfte. Sie lautet in Index-Schreibweise: ϱ 2 s i t 2 = F i + σ ij x j (18) Hiebei steht links die Trägheitskraft und rechts die Vektorsumme aller Körper- und Kontaktkräfte. In Kombination mit dem Hooke schen Gesetz folgt daraus die gesamte Theorie der Wellenausbreitung in einem elastischen Festkörper, die die Grundlage für die Interpretation von Seismogrammen ist. Für ein isotropes elastisches Medium erhält man die sogenannte Navier-Gleichung : oder in alternativer Formulierung ϱ 2 s = (λ + µ) ( s) + µ s (19) t2 ϱ 2 s = (λ + 2µ) ( s) µ( s) (20) t2 wobei die aus der Vektoranalysis bekannte Beziehung

26 26 N.I. Kömle verwendet wurde. s = ( s) ( s) (21) Sämtliche in der Seismik auftretenden Wellentypen sind spezielle Lösungen dieser Gleichung. 2.5 S- und P-Wellen im isotropen elastischen Medium Mit den Grundlagen des vorigen Kapitels lassen sich nun die Eigenschaften der elastischen Wellen in einem isotropen Medium berechnen. Ansatz für das displacement Feld s( r, t): s( r, t) = φ + ψ (22) Hierbei ist φ ein rotor-freies skalares Potential-Feld ( φ = 0) und ψ ein divergenzfreies Vektorpotential-Feld ( ψ = 0). Setzt man diesen Ansatz in die Navier Gleichung (20) ein, so zerfällt sie in zwei unabhängige Terme, von denen jeder für sich Null sein muss. Man erhält je eine partielle Differentialgleichung für φ und ψ: 2 φ t 2 [ ] λ + 2µ φ = 0 (23) ρ [ ] µ ψ = 0 (24) ρ 2 ψ t 2 Die Faktoren vor dem -Operator haben die Dimension (m/s) 2. Sie geben die Ausbreitungsgeschwindigkeit der der jeweiligen Gleichung zugehörigen Wellenmoden an. Ihre Werte hängen von den Lame-Konstanten λ, µ und von der Dichte ρ des Mediums ab. Man erhält 2 Wellengeschwindigkeiten: (25) c P = c S = λ + 2µ µ ρ ρ (26) (27) (28) c P ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der P-Wellen, c S ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der S-Wellen.

27 Innerer Aufbau und Figur der Erde 27 P-Wellen breiten sich immer schneller aus als S-Wellen und erreichen daher einen Empfänger zuerst wenn sie den gleichen Weg durchlaufen. Für die Gesteine der Erdkruste ist bekannt dass die Poisson-Zahl ν 1/4 ist, daher ist λ µ und es ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit der P-Wellen c P 3 c S c S (29) Der übliche Weg um Wellenlösungen zu finden beinhaltet 2 Schritte: Separation der Variablen Harmonische Wellenfunktionen als Lösungsansatz Als Ergebnis soll man für jeden Wellentyp die Positionsänderungen aller Massenelemente im Medium (displacements) als Funktion der Zeit sowie die Ausbreitungsrichtung und Geschwindigkeit der Welle (Flächen konstanter Phase) erhalten. Einige Definitionen: Frequenz: f = Schwingungen pro sec Kreisfrequenz: ω = 2πf Wellenlänge: Λ = räumlicher Abstand zwischen 2 Punkten gleicher Phase Wellenvektor: k; k = k = 2π/Λ Phasengeschwindigkeit der Welle: c = Λf = ω/k Gruppengeschwindigkeit eines Wellenzugs: ω/ k Lösungen für P Wellen: Eindimensionaler Fall: Betrachte zuerst eindimensionalen Fall (Fig. 14): In diesem Fall lautet die Bewegungsgleichung, welche die displacements s der Massenpunkte entlang der x-achse beschreibt: ϱ 2 s t = σ 11 2 x (30) stress und strain-tensor sind skalar und das Hooke sche Gesetz hat die einfache Form Damit erhält man für die Bewegungsgleichung σ 11 = E ε 11 (31) ρ 2 s t 2 = E 2 s x 2 (32)

28 28 N.I. Kömle Figure 14: Ausbreitung von P-Wellen in einem elastischen Stab (nach Lay Fig. 2.8). oder mit c = E ϱ 2 s t 2 = c2 2 s x 2 (33) Dies ist eine Wellengleichung für s, für die als allgemeine analytische Lösung die sog. D Alembert sche Lösung bekannt ist: s(x, t) = f(x ct) + g(x + ct) (34) f und g beschreiben beliebige Wellenformen, die sich mit der Geschwindigkeit c in ±x- Richtung ausbreiten. Die Argumente (x ± ct) werden als Phase bezeichnet. Die Funktionen f, g beschreiben die Form der Welle (Wellenfront). Separation der Variablen: s(x, t) = X(x) T (t) 1 d 2 T (t) = c 2 1 d 2 X(x) (35) T (t) dt 2 X(x) dx 2 Gl. (35) ist nur erfüllbar, wenn jede Seite für sich gleich einer Konstanten ist, die wir mit ω 2 bezeichnen. Man erhält dann zwei gekoppelte gewöhnliche Differentialgleichungen, für die es Standard-Lösungsansätze mittels harmonischer Funktionen gibt: d 2 T (t) dt 2 + ω 2 T (t) = 0 d 2 X(x) dx 2 + ω2 c X(x) 2 = 0 (36) Diese Gleichungen werden durch harmonische Wellenfunktionen der Form s(x, t) = Ae iω(t± x c ) = A cos [ω(t ± x ] c ) + i A sin [ω(t ± x ] c ) (37)

29 Innerer Aufbau und Figur der Erde 29 erfüllt. Beachte: Physikalisch sinnvolle Lösungen treten stets als komplex-konjugierte Paare auf und sind daher immer reell. Die allgemeine Lösung des Gleichungssystems (36) enthält 4 Konstanten, die durch die Anfangs- und Randbedingungen des Problems bestimmt werden: s(x, t) = C 1 e +iω(t+ x c ) + C 2 e +iω(t x c ) + C 3 e iω(t+ x c ) + C 4 e iω(t x c ) + (38) Diese Lösung beschreibt harmonische Wellen mit der Kreisfrequenz ω, die sich vom Ausgangspunkt in ±x-richtung mit der Geschwindigkeit c ausbreiten. Bezug zur Seismik: Seismische Wellen enthalten ein weites Spektrum von Frequenzen, zwischen f 100 Hz bis f 10 4 Hz Seismographen zeichnen die Schwingungen s(x, t) an einem festen Raumpunkt x 0 auf. Dreidimensionaler Fall für P-Wellen: Wir betrachten wieder ein kartesisches Koordinatensystem mit Ortsvektoren r = (x, y, z) (oder in gleichwertiger Schreibweise: r = (x 1, x 2, x 3 ). Im dreidimensionalen Fall ist es notwendig, zuerst Lösungen für das Potential φ zu suchen, aus dem sich dann die displacements in den verschiedenen Koordinatenrichtungen leicht ableiten lassen: Gleichung für das Wellenpotential φ: s P = φ = φ x φ y φ z 2 φ t 2 = c2 P ( 2 ) φ x + 2 φ 2 y + 2 φ 2 z 2 (39) Separation der Variablen: φ(x, y, z, t) = X(x)Y (y)z(z)t (t) (40) führt zu vier gekoppelten Wellengleichungen (analog zum eindimensionalen Fall):

30 30 N.I. Kömle d 2 T (t) + ω 2 T (t) dt 2 = 0 d 2 X(x) + k dx 1X(x) 2 2 = 0 d 2 Y (y) + k dy 2Y 2 (y) 2 = 0 d 2 Z(z) + k dz 3Z(z) 2 2 = 0 (41) Auch hier gilt der allgemeine Zusammenhang zwischen Wellenvektor, Kreisfrequenz und Wellengeschwindigkeit: k k k 2 3 = ω2 c 2 P (42) und man kann (wie im 1D-Fall) harmonische Lösungen ansetzen: φ( r, t) = A e ±i(ωt±k 1x±k 2 y±k 3 z) (43) Dieser Lösungsansatz entspricht ebenen Wellen, die sich in jede Richtung frei ausbreiten können (Fig. 15). Betrachte nur Wellen in der xz-ebene, d.h. φ y = 0, k 2 = 0. Punkte konstanter Phase C breiten sich dann nach folgender Gleichung aus: ωt k 1 x k 3 z = C phase (44) Aus Fig. 15a und dem allgemeinen Zusammenhang k = ω/c ergibt sich für die Komponenten des Wellenvektors k 1 = ω c sin β = ωp k 2 = ω c cos β = ωη (45) Die in Gl. (45) definierten Parameter p (seismic ray parameter, horizontal slowness) und η (vertical slowness) sind wichtige Größen, die in der Auswertung von Seismogrammen häufig verwendet werden. Berechne nun für den betrachteten Fall (Wellenvektor in der xz-ebene) die zugehörigen displacements.

31 Innerer Aufbau und Figur der Erde 31 β β Figure 15: Ausbreitung der P-Wellen in einem elastischen Medium (nach Lay Fig. 2.11). Potential φ: φ = A e ±i(ωt±k 1x±k 3 z) (46) displacement-vektor: s P = φ = ik 1 A e ±i(ωt±k 1x±k 3 z) 0 ik 3 A e ±i(ωt±k 1x±k 3 z) Verhältnis der displacements in vertikaler und horizontaler Richtung: s P 3 s P 1 = k 3 k 1 = η p (47) P-Wellen verursachen Teilchenbewegungen senkrecht zur zugehörigen Wellenfront und damit parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle. P-Wellen sind Longitudinalwellen, die mit Dichteänderungen im Medium einhergehen.

32 32 N.I. Kömle 3D-Lösungen für S-Wellen: Eine ähnliche Analyse läßt sich auch für die S-Wellen (Scherwellen) durchführen. Gleichung für das Vektorpotential der S-Wellen: 2 ψ t 2 = c2 2 ψ S x + 2 ψ 2 y + 2 ψ (48) 2 z 2 Lösungsansatz mit harmonischen Wellen: ψ( r, t) = B e ±i(ωt±k 1x±k 2 y±k 3 z) (49) wobei in diesem Fall k = ω/c S ist. ψ = (ψ1, ψ 2, ψ 3 ). Die displacements s S sind dann als Rotor des Vektorpotentials gegeben: s S = ψ = ψ 3 ψ 2 y z ψ 1 ψ 3 z x ψ 1 ψ 2 x y Betrachte wieder Wellen in der xz-ebene, sodass k 2 = 0 und ψ i y = 0. In der Seismik übliche Konvention: z = 0 (xz-ebene) Erdoberfläche z-achse Tiefe unter der Oberfläche Durch Scherwellen erzeugte displacements der Teilchen: SV -Komponente: vertikal Partikelbewegung auf xz-ebene beschränkt, vertikale Komponente (z-richtung) vorhanden. SH-Komponente: horizontal Partikelbewegung nur in y-richtung, d.h. rein horizontal.

33 Innerer Aufbau und Figur der Erde 33 Eine Analyse des Wellenvektors der S Wellen analog zu der der P Wellen zeigt: Scherwellen verursachen displacements in der Ebene der Wellenfront, d.h. senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Wellen. Dies gilt sowohl für die SV als auch für die SH-Komponenten. S-Wellen sind reine Transversalwellen. Im Gegensatz zu den P-Wellen spielt bei den S-Wellen die Polarisations- Richtung eine Rolle, die die Orientierung der Schwingungsebene festlegt. Das gesamte displacement der Partikel erhält man durch Addition der P- uns S- Komponenten: s = s P + s S = φ ψ 2 x z ψ 1 ψ 3 z x φ + ψ 2 x x SH-Wellen breiten sich parallel zur Erdoberfläche aus. Die Schwingungsrichtung ist senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, aber ebenfalls parallel zur Oberfläche. SV -Wellen breiten ebenfalls parallel zur Erdoberfläche aus, die Schwingungsrichtung der Partikel ist aber senkrecht zur Oberfläche.

34 34 N.I. Kömle Oberflächenwellen: Im folgenden betrachten wir die Eigenschaften von Wellen, die sich primär entlang von Grenzflächen (z.b. der Erdoberfläche) ausbreiten. Der für die Seismik wichtigste Wellentyp sind die Rayleigh-Wellen. Ihre Eigenschaften findet man durch eine ähnliche Analyse wie bei den P und S Raumwellen. Betrachte kartesisches Koordinatensystem mit (x,y) Ebene als Oberfläche und Wellenausbreitung in x-richtung; z-achse vertikal nach unten (ins Erdinnere): Für den displacement Vektor gilt wieder und als Ansatz für die Wellenpotentiale schreibt man s( r, t) = φ + ψ (50) φ = Ae αz e ±i(kx ωt) (51) ψ = ψ y = Be βz e ±i(kx ωt) e y, ψ x = 0, ψ z = 0 (52) Der Unterschied zu den Ansätzen für Raumwellen ist, dass man hier eine Dämpfung der Wellenamplituden in z-richtung annehmen muss, um die Wellenenergie längs der Oberfläche zu leiten. Nun gelten wieder separate Wellengleichungen für die beiden Potentiale, in denen jeweils die Phasengeschwindigkeiten für die P- und S-Wellen vorkommen: φ = 1 2 φ (53) c 2 P t 2 ψ = 1 2 ψ (54) c 2 S t 2 Differenzieren der Ansätze für φ und ψ und Einsetzen in die Wellengleichungen liefert den Zusammenhang zwischen Wellenzahl, Frequenz und Dämpfungsfaktoren für die beiden Wellentypen: α 2 k 2 = ω2 c 2 P (55) β 2 k 2 = ω2 c 2 S (56) Berechne nun die Ausdrücke für φ und φ in kartesischen Koordinaten, um die Komponenten des displacement Vektors zu erhalten:

35 Innerer Aufbau und Figur der Erde 35 φ ψ x z s = 0 φ + ψ z x = ikae αz βbe i(kx ωt) 0 αae αz βbe i(kx ωt) α, β müssen entweder rein reell oder rein imaginär sein (weil k,ω reel sind). Für Oberflächenwellen müssen nun 2 Randbedingungen gelten: Randbedingung 1: für z muss s 0 gehen; daraus folgt dass α, β rein reell und < 0 sein müssen (exponentielle Dämpfung). Randbedingung 2: An der Oberfläche (z = 0) müssen alle Kräfte verschwinden. D.h. für die Komponenten des Spannungstensors (stress) gilt bei z = 0: σ 31 = σ 32 = σ 33 = 0; zur allgemeinen Berechnung des Spannungstensors berechnet man zunächst den Deformationstensor (strain) und findet dann mit Hilfe des Hooke schen Gesetzes die benötigtem Komponenten des Spannungstensors (diese enthalten die Lame-Konstanten λ und µ): σ 31 = µ[2ikαae αz (k 2 + β 2 )Be βz ]e i(kx ωt) (57) σ 33 = {[λ(α 2 k 2 ) + 2µα 2 ]Ae αz + 2iµkβBe βz }e i(kx ωt) (58) Dies ergibt ein lineares Gleichungssystem für die Amplituden A, B, wenn man es für z = 0 auswertet. Daraus findet man eine Beziehung zwischen der Phasengeschwindigkeit der Rayleighwellen in ebener Geometrie und den bekannten Geschwindigkeiten der P- und S-Wellen in einem ungebundenem Medium (verwende C R = ω/k): 1 c2 R 1 c2 R c 2 P c 2 S = ( 1 c2 R 2c 2 S ) 2 (59) Hier wurde die in der Erdkruste in guter Näherung erfüllte Annahme, dass λ µ ist, verwendet. Numerisch findet man C R 0.919c S. Für die Dämpfung der Rayleighwellen mit zunehmender Tiefe ergibt sich folgende Abhängigkeit von der Wellenlänge Λ: α 1.4/Λ, β 2.5/Λ. Je grösser die Wellenlänge, desto tiefer dringen die Wellen ein. Rayleighwellen sind elliptisch polarisiert. Rayleighwellen werden besonders in der Prospektionsseismik und zur kleinräumigen Tomographie der Erdkruste und des Erdmantels eingesetzt. Bei der Ausbreitung entlang der Eroberfläche von einem Epizentrum aus verlieren Rayleighwellen nur langsam ihre Energie. Deshalb sind sie in hohem Maße für die bei Erdbeben auftretenden Zerstörungen verantwortlich.

36 36 N.I. Kömle 2.6 Brechung und Reflexion seismischer Wellen Für zahlreiche Probleme in der Seismik lässt sich ähnlich wie in der geometrischen Optik die Ausbreitung der seismischen Energie durch die wesentlich einfachere Strahlentheorie ersetzen. Voraussetzung ist dass die Wellenlänge klein gegenüber der Struktur, in der sich die Wellen ausbreiten, ist. Huyghens sches Prinzip: Von jedem Punkt einer Wellenfront gehen Sekundärwellen aus, die miteinander interferieren. Die resultierende Wellenfront ist die Überlagerung aller Sekundärwellen. Fermat sches Prinzip: Strahlen laufen immer so, dass sie in der kürzestmöglichen Zeit vom Ort A zum Ort B gelangen. Figure 16: Zur Definition von Wellenfront und Strahlenweg: Die Richtung des Strahls ist immer senkrecht zur zugehörigen Wellenfront. Der Strahl gibt die Ausbreitungsrichtung der Welle an (nach Lay Fig. 3.1.) Brechungsgesetz an ebenen Grenzflächen An der Grenzfläche zwischen zwei homogenen Medien tritt Reflexion und Brechung auf (Snellnius sches Brechungsgesetz). Für Brechungs- und Reflexionswinkel gelten folgende Gleichungen (s. Fig. 17): sin α sin β = v l1 v l2 sin α = v l1 sin γ v t1 sin α = v l1 sin δ v t2 (60)

37 Innerer Aufbau und Figur der Erde 37 Figure 17: Brechung und Reflexion seismischer Wellen an eine Grenzfläche zwischen 2 Medien in ebener Geometrie (nach Kerz Fig. 12). An Grenzflächen können sich seismische Strahlen in verschiedene Komponenten aufspalten. Beispiel: Eine unter dem dem Winkel α einfallende P-Welle wird bei Reflexion oder Brechung an der Grenzfläche in eine P-Welle und eine S-Welle aufgespalten, die sich dann mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in unterschiedliche Richtungen (gegeben durch die obigen Gleichungen) ausbreiten. Brechungsgesetz an kugelförmigen Grenzflächen An einer kugelförmigen Grenzfläche ändert sich die Richtung des Normalenvekrors r mit dem Ort. In diesem Fall erhält man gemäß (Fig. 18) folgende geometrische Beziehung (Sinussatz): r 1 r 2 = sin α sin(π β 1 ) = sin α (61) sin β 1 Anderseits gilt an der Reflexionsfläche (Punkt N) das Brechungsgesetz in seiner ursprünglichen Form:

38 38 N.I. Kömle Figure 18: Das Brechungsgesetz an kugeförmigen Grenzflächen (nach Kerz Fig. 14). Damit erhält man das Brechungsgesetz für Kugelflächen: sin α sin β 2 = v 1 v 2 (62) r 1 sin β 1 r 2 sin β 2 = v 1 v 2 (63) Wenn sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit als Funktion der Tiefe kontinuierlich ändert (v = v(r)), erhält man ein verallgemeinertes Brechungsgesetz der Form r sin β v(r) = const = p (64) wobei β jeweils der lokale Winkel zwischen der Strahlrichtung und der radialen Richtung ist. Die Konstante p ist der sog. Strahlparameter (seismic parameter, ray parameter, horizontal slowness). In einem vereinfachten Erdmodell (konstante Ausbreitungsgeschwindigkeit der seismischen Wellen innerhalb der einzelnen Schichten) sind sie Strahlenwege geradlinig und ihre

39 Innerer Aufbau und Figur der Erde 39 Figure 19: Brechung seismischer Wellen an Grenzschichten in Erdinneren, wenn innerhalb jeder Schicht die Dichte konstant ist (nach Kerz Fig. 13). Richtung ändert sich nur an den Grenzschichten. Effekte wie Fokussierung und Schattenwirkung lassen sich schon mit Hilfe eines derart vereinfachten Modells reproduzieren (Fig. 19). Tatsächlich nimmt die Geschwindigkeit der seismischen Wellen im Erdmantel mit der Tiefe zu. Die Strahlenwege sind daher gekrümmt (siehe Fig. 20). Figure 20: Form der seismischen Strahlenwege, wenn die Geschwindigkeit der seismischen Wellen von der Tiefe abhängt. In dem gezeichneten Fall nimmt die Geschwindigkeit mit der Tiefe zu, wie im Erdmantel beobachtet (nach Lay Fig. 3.19)..

40 40 N.I. Kömle 2.7 Nomenklatur seismischer Wellen Um den Strahlenweg der verschiedenen seismischen Wellen, die sich von einem Hypozentrun im Erdinneren ausbreiten, zu beschreiben, wird in der Seismik eine eigene Nomenklatur verwendet, die in der Regel aus einer Sequenz von Groß- und Kleinbuchstaben besteht, welche sich auf den Wellentyp und die Grenzschicht beziehen, an denen der Strahl gebrochen und/oder reflektiert wird (siehe Tabelle 2.7). Symbol Beschreibung P, p P-Welle (longitudinal) Körperwelle S, s S-Welle (transversal) Körperwelle R Rayleigh-Welle (elliptisch polarisiert), senkrecht zur Grenzschicht L, LQ Love-Welle (Querwelle) Oberflächenwelle m, n Moho-Grenzschicht c äußerer Kern (flüssig) K innerer Kern (fest) P g, S g, R g, L g Seismische Wellen in der obersten Kruste (g Granit) Table 4: Zur Nomenklatur seismischer Strahlen Figure 21: Direkter Strahlenweg (a) und Tiefenphasen (b) bei der Ausbreiting seismischer Wellen im Erdinneren. P, S : P- und S-Wellen, die nach unten (von der Erdoberfläche weg) laufen; p, s : P- und S-Wellen, die nach oben (zur Erdoberfläche hin) laufen; Beispiele für seismische Strahlenwege und deren Beschreibung mithilfe der in der Tabelle angeführten Symbole werden in den folgenden Abbildungen gegeben. Direkter Strahl: läuft ohne Reflexion oder Brechung an einer Grenzschicht vom Hypozentrum zur Empfangsstation (Seismograph) an der Erdoberfläche (P, p, S, s). Tiefenphasen: werden ein- oder mehrmals an der Erdoberfläche reflektiert, bevor sie die Empfangsstation erreichen.

41 Innerer Aufbau und Figur der Erde 41 Figure 22: Oben: Verlauf eines PKP-Strahls, der in den Erdkern eintritt ; unten: Strahlen, die zu P- und pp-wellen (links) bzw. P und PS-Wellen führen (nach Cara Fig ). Figure 23: Krümmung der Strahlenwege infolge der mit der Tiefe zunehmenden Ausbreitungsgeschwindigkeit der seismischen Wellen und der Brechung an den Grenzschichten (nach Lay Fig.8.2).

42 42 N.I. Kömle Figure 24: Brechung und Reflexion seismischer Wellen im Erdinneren. Die Krümmung der Strahlenwege kommt durch die Zunahme der Dichte (und damit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen) mit der Tiefe (nach Kerz Fig. 16). Qualitative Interpretation der Strahlenwege: Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen c E ρ Im Erdmantel nimmt c mit der Tiefe zu, daher krümmen sich die Strahlen zurück in Richtung Erdoberfläche (Brechung vom Lot). An der Kern/Mantel-Grenze nimmt die Geschwindigkeit stark ab (Brechung zum Lot, ausserdem können sich nur P-Wellen ausbreiten, da die Viskosität sehr klein wird). Weiter nach innen nimmt die Geschwindigkeit wieder zu weil der innere Erdkern wieder fest ist!). An den Grenzflächen der einzelnen Schichten kann sich auch der Typ der Strahlen ändern, z.b. P P, S

43 Innerer Aufbau und Figur der Erde Strahlentheorie und Laufzeitkurven Eikonalgleichung Allgemein wird die Gleichung, die den Verlauf der Strahlenwege in einem Medium beschreibt, als Eikonalgleichung bezeichnet. Sie ergibt sich aus der allgemeinen Wellengleichung, wenn man den ortsabhängigen Teil ( k r) durch eine Funktion W ( r)(ω/c 0 ) ersetzt und den Grenzfall hoher Frequenzen (kleiner Wellenlängen) betrachtet. Die Funktion W (x, y, z) beschreibt dann den Verlauf der Strahlenwege. Die Eikonalgleichung ist in 3D kartesischer Geometrie durch folgende DGL zweiter Ordnung gegeben: ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 W W W + + = x y z c 2 ref [c(x, y, z)] 2 (65) Wie in der Optik kann man auch für die seismischen Strahlen einen Brechungsindex definieren: n(x, y, z) = c ref c(x, y, z) (66) wobei c ref eine Referenzgeschwindigkeit ist (üblicherweise die Wellengeschwindigkeit an der Oberfläche). Zur Interpretation eines Seismogramms ist es notwendig, den Verlauf der seismischen Strahlen vom der Quelle (Erdbebenherd) bis zum Austritt an der Erdoberfläche zu kennen. Anders ausgedrückt: Wo kommt ein Strahl, der unter einem Winkel α zum Lot austritt, an die Erdoberfläche zurück? Laufzeitkurven in einer ebenen Geometrie Betrachte zunächst die Form der Strahlen in einem ebenen Halbraum, in dem die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen (bzw. der Brechungsindex des Mediums) nur von der Tiefe abhängig ist. Wenn n = n(z) ist, kann man man den Verlauf eines Strahls der anfangs unter einem Winkel α in das Medium eintritt, berechnen (s. Lay Seite 73ff.): Sei α der lokale Winkel des betrachteten Strahls zur z-achse. Aus der Geometrie (Fig. 25 und Fig. 26) ergeben sich folgende Gleichungen: sin α = dx ds = cp cos α = dz ds = 1 sin 2 α = 1 c 2 p 2 (67)

44 44 N.I. Kömle Daraus erhält man direkt den Zusammenhang zwischen dx und dz als Funktion des lokalen Einfallswinkels α bzw. des Strahlparameters p: dx = cp dz (68) 1 c2 p2 Der Strahlparameter (ray parameter, horizontal slowness) hat auch eine anschaulich Bedeutung: p = 0 entspricht einem Einfallswinkel beim Startpunkt senkrecht zur Oberfläche (α = 0), p = 1/c entspricht einem horizontalen Einfallswinkel (α = π/2). Allgemein gilt p = sin α. Dies entspricht dem Snell schen Brechungsgesetz, wie man es aus dem Fermat schen Prinzip ableiten c kann. Figure 25: 3D-Geometrie und Schnitt durch die x z-ebene für einen Strahlenverlauf mit n=n(z) Der Abstand X, wo der Strahl mit dem Strahlparameter p (entsprechend einem bestimmten anfänglichen Einfallswinkel α) wieder an die Oberfläche kommt, ergibt sich durch Integration über z von 0 bis zur maximalen Tiefe des Strahls z max (Scheitelpunkt): zmax X(p) = 2 0 cp dz (69) 1 c2 p2 Der Faktor 2 ist dadurch bedingt dass der absteigende und der aufsteigende Teil der Kurve