STOCHASTISCHE Betrachtung eines Lebensversicherungsvertrags

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1 STOCHASTISCHE Betrachtung eines Lebensversicherungsvertrags Zufallsvariable der zukünftigen Lebensdauer T () mit Verteilung G( t) = Pr( T t) und Dichte g ( t) dt = Pr( t < T < t + dt) T () ist als stochastischer Prozess Grundlage für die Beschreibung des Lebensversicherungsvertrags Monte-Carlo Simulation: Beschreibung möglicher Lebenswege (Szeanarien) für eine Person mit Alter mittels einer Sterbetafel q gleichverteilten Zufallszahlen ε t am Intervall ( 0,1) und interpretiere den Ausgang einer Realisation von ε t als Tod der Person mit Alter + t, wenn ε t einen Wert kleiner als Anwendung für einen Versicherungsvertrag: q + annimmt. t und Für einen lebenslangen Rentenkontrakt in Höhe von R, abgeschlossen mit Alter ergibt sich der Barwert Vertrag als stochastischer Prozess gegeben durch PV als dem PV L r( t) = Rv(, t) mit Diskontierungsfunktion v, z.b. vt (, ) = e und r als konstanten Zinssatz t= und berechne diesen für Realisationen der möglichen Lebenswege für diese Person. Ähnlich geht man beim Ablebenskontrakt vor Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 1

2 Beispiel: Lebenserwartung sowie Barwert des Renten- und Ablebenskontrakts mittels MC-Simulation Alter zu Beginn 20 Geschlecht (m/w) m Zinssatz in % 3,0% Pension p.a. 100 Ablebenssumme Ermittlung der Verteilung für T nach Formeln und durch Simulation: siehe auch EXCEL-Tabelle MC_Barwerte.ls 0,040 Dichte und Verteilung der Lebensdauer (nach Formeln) 100% 60 Dichte und Verteilung der Lebensdauer (MC Simulation) 100% 0,035 0,030 0,025 90% 80% 70% 60% % 80% 70% 60% 0,020 50% 30 50% 0,015 0,010 0,005 40% 30% 20% 10% % 30% 20% 10% 0, Alter 0% Alter 0% Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 2

3 Die Barwertberechnung erfolgt in Höhe des Erwartungswertes nach den klassischen Formeln der Versicherungsmathematik und für die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable und führt zu folgenden Ergebnissen: PV mittels MC Simulation Rentenbarwert 60 Dichte und Verteilung der Rentenbarwerte (MC Simulation) 100% 90% E[PV] deterministisch E[PV] MC Simulation Median Standardabw 381 Schiefe -2,80 90 % Quantil % Quantil % Quantil % Quantil Barwert 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Ablebensbarwert 60 Dichte und Verteilung der Ablebensbarwerte (MC Simulation) 100% E[PV] deterministisch 616 E[PV] MC Simulation 621 Median 524 Standardabw 333 Schiefe 2,80 90 % Quantil % Quantil % Quantil % Quantil Barwert 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 3

4 Prämienansätze: Erwartungswertprinzip P (1 λ) E( PV ) = +, λ > 0 Sicherheitsspanne proportional zum Erwartungswert der zukünftigen Zahlungen. Standardabweichungsprinzip P E( PV ) β Var( PV ) = +, β > 0 Sicherheitsspanne, welche zur Standardabweichung proportional ist. Nutzenfunktionsprinzip In diesem Fall wird eine faire Prämie bezogen auf eine Nutzenfunktion ermittelt. Dies unterstellt, dass der Versicherer seinen Nutzen aus dem Gewinn des Vertrags in Form einer Funktion U(y) formuliert. Die Prämie P für den Versicherungsvertrag nach dem Nutzenprinzip ergibt sich aus der Lösung der Gleichung U( y) E( U( y PV P)) = + implizite Gleichung für die Prämie Wenn P die Lösung dieser Gleichung ist, dann ist für den Versicherer der Nutzen seines Vermögens ohne Abschluss eines Vertrags (linke Seite) gleich dem erwarteten Nutzen nach Abschluss des Vertrags (rechte Seite). Ein Versicherungsunternehmen ist bezüglich der Nutzenfunktion - indifferent gegenüber dem Vertragsabschluss Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 4

5 Für den Fall einer linearen Nutzenfunktion mit U( y) P = E( PV ). Der Ansatz einer linearen Nutzenfunktion (formal: U ( y) 0 Einschätzung risikoneutral ist. = ky (mit einer Konstanten k) gelangt man zum Ergebnis = ) bedeutet, dass der Investor in seiner ay Für die Nutzenfunktion die Form U( y) = (1 e )/ a, a> 0 (Eponentialprinzip), ergibt sich folgende Lösung P 1 log( ( apv = E e )) a Der Parameter a ist hierbei ein Maß für die Risikoaversion und man kann zeigen, dass für a -> 0 P mit der Nettoprämie übereinstimmt (risikoneutral). Wenn hingegen a sehr groß angesetzt wird, dann ist die Prämie gleich dem maimalen Verlust aus dem Versicherungsvertrag (etrem risikoavers). Für den Parameter a=0,1% bzw. a = 1 % ergeben sich folgende Nutzenfunktionen: Nutzen a=0,1% a=1% Nutzenfunktion U() = (1-ep(-a))/a 100 Vermögen Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 5

6 Auswirkung der Nutzenfunktion auf die Prämienberechnung: Alter 60, weiblich, konstanter Zins r= 3%, Rente 100 p.a. / Ablebenssumme Rentenkontrakt % NettoPr Ablebenskontrakt % NettoPr Nettoprämie Standardabweichung % % Schiefe -0,85 0,85 Median % % 90% Quantil % % 95% Quantil % % 98% Quantil % % 99% Quantil % % Eponentialprämie a= 0,1% % % Eponentialprämie a= 1% % % Beobachtungen: - auch bei geringer Risikoaversion (a=0,1%) Prämien nach Eponentialprinzip höher als Nettoprämien - Ablebenskontrakt wesentlich riskanter (siehe z.b. 99% Quantil, oder auch nach Eponentialprinzip) - Standardabweichung (bzw. Varianz) für beide Kontrakte etwa gleich: als Risikomaß hier ungeeignet? Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 6

7 Übungsaufgabe (Computer-Modell I): Ermitteln Sie ausgehend von dem ersten Beispiel (Vorlage: MC-Barwert.ls) mittels Simulation folgendes: 1) Verteilungsfunktion bzw. Dichte des Barwerts für den Renten- und den Ablebenskontrakt bei stochastischem Zins. Verwenden Sie dazu das Vasicek-Modell mit den folgenden Parametern: m 3% r 0 5% κ 0,5 σ 1% Hinweis: Um die erforderlichen Datenmengen zu reduzieren, können Sie die Zinspfade vereinfacht in Jahresschritten rechnen und die Bewertung für ein fies Alter (z.b. 60, weiblich) implementieren. 2) Berechen Sie jeweils die Prämie nach den drei genannten Prinzipien, wobei Sie eine Nutzenfunktion durch das Eponentialprinzip mit Parameter a=0,1% und a=1% unterstellen. 3) Erstellen Sie eine vereinfachte Sensitivitätsanalyse bezüglich der Parameter κ, σ des Vasicek-Modells bezüglich der Auswirkung auf die Prämienhöhe. Geben Sie insbesondere die prozentuellen Abweichung der Prämie nach dem Eponentialprinzip (a=1%) gegenüber dem Modell mit konstantem Zins r=3% an Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 7

8 Beispiel für die Anwendung der Simulationsrechnung in der Lebensversicherung: Für einen Lebensversicherungsvertrag (Er- und Ablebenskontrakt) liegen folgende Angaben vor: Alter 50 Geschlecht w Laufzeit (Jahre) 10 Erlebensversicherungssumme Ablebensversicherungssumme Zinssatz (in % p.a.) 2,75% Sterbetafel 1990/92 Prämienzahlung (vorschüssig) einmalig/laufend Aus diesem Vertrag kann mit Hilfe der bekannten Methoden der Versicherungsmathematik die (faire) Prämie ermittelt werden; siehe EXCEL-Tabelle LV_G&V_Simulation.ls Auf dieser Grundlage berechnen sich weiters die Deckungsrückstellung und die Aufteilung der Prämie (laufend oder Einmalzahlung) in den Spar- und Versicherungsanteil nach dem deterministischen Modell. Schließlich wird für jedes Jahr eine Gewinn- und Verlustrechnung erstellt, wobei wir annehmen, dass die rechnungsmäßigen Annahmen (Sterblichkeit und Kapitalertrag) erfüllt werden. Der Gesamtverlust L aus dem Vertrag ist jedoch eine Zufallsvariable, deren Varianz durch folgende Formel gegeben ist (siehe Abschnitt 1.2.3): 2t+ 2 2 L) = v ( ct+ 1 V+ t, t+ 1) p. t+ 1q+ t var( wobei c t die Höhe der Ablebensleistung im Jahr t bezeichnet Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 8

9 Übungsaufgabe (Computer-Modell II): Ermitteln Sie ausgehend von dem vorangegangenen Beispiel (siehe LV_G&V_Simulation.ls) folgendes: 1) Berechnung nach den Methoden der Versicherungsmathematik (deterministisch): a) Entwicklung der Deckungsrückstellung V + t im Erwartungswert über die Vertragsdauer b) Höhe der Deckungsrückstellung, wenn der Versicherte nicht stirbt ( V + t / p, t ) c) Spar- und Versicherungsprämien im Erwartungswert für jedes Jahr des Vertrages d) Erwartungswert der G&V pro Jahr und gesamt (diskontieren!) sowie die Varianz des Verlusts 2) Berechnen Sie weiters mittels MC-Simulation die möglichen Entwicklungen des Vertrags aufgrund der Sterblichkeitsannahmen folgendes: a) Erwartungswert und Varianz der Prämien für jedes Jahr b) Erwartungswert und Varianz der Leistungen für jedes Jahr c) Erwartungswert und Varianz der G&V für jedes Jahr d) Verteilung des Gesamtverlusts aus dem Vertrag (diskontiert!) bzw. deren statistische Kennzahlen 3) Vergleichen Sie die berechneten Erwartungswerte aus 2) mit den Ergebnissen von 1) und die Varianz des Gesamtverlusts aus der Simulationsrechnung mit dem Formelwert gemäß der deterministischen Methode. Wie können Sie über allfällige Abweichungen interpretiert werden? Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 9

10 Beispiel: Kapitalgarantie bei einem Spar- und Annuitätenkontrakt Im Jahr 2004 besteht ein Guthaben von Geldeinheiten (vorhandene Deckungsrückstellung), in den folgenden 3 Jahren wird jeweils eine Prämie von Geldeinheiten einbezahlt. Am Ende des Jahres 2008 wird eine Rente fällig, die aus dem vorhandenen Kapital (Deckungsrückstellung) berechnet wird. Wir nehmen an, dass die Rente so bemessen wird, dass die letzte Zahlung Ende 2014 erfolgt. Der technische Zins, mit dem die Berechnungen durchgeführt werden, beträgt 2,75%. Die folgende Tabelle verdeutlicht den zeitlichen Verlauf der Beiträge, Renten und der zu bildenden Deckungsrückstellungen (Reserve) aus dem Kontrakt: (siehe Datei Zinsgarantie.ls) Jahr Beitrag t Rente t Reserve V t Wir unterstellen nun, dass das Versicherungsunternehmen / die Bank eine Garantie auf die Veranlagung in Höhe des technischen Zinssatzes von 2,75% p.a. (somit auch eine Garantie auf die Rentenhöhe) gibt. Darüber hinaus gehende Erträge werden dem Versicherungsnehmer / Kunden gutgeschrieben Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 10

11 Wie ist der ökonomische Wert dieser Garantie in einem riskanten Kapitalmarkt zu beurteilen? Wir unterstellen als Anlageuniversum einen (B,S) Markt und investieren die erhaltenen Prämien in einen Finanztitel A. Wir nehmen an, dass folgende Marktverhältnisse vorliegen: r = 3% risikoloser Zins für den BOND µ = 4% Drift für den STOCK σ = 3% Volatilität für den STOCK Der ökonomische Wert für die Garantie im Jahr t ist durch das Finanzinstrument DS (downside) gegeben, wobei [ ] DS () t = E D ma(0; V A ) mit t t t Vt = Vt Vt 1 At = At At 1 mit Veränderung der Reserve V und Vermögens A eines Jahres sowie unter Berücksichtigung der (sicheren) Beitrags- und Rentenleistungen. Durch die Verwendung des Deflators ist der Preis der Put Option marktkonform. Mittels einer Simulationsrechnung ermitteln wir mögliche Realisierungen des Kontrakts und erhalten durch den Übergang zum Erwartungswert den Preis für das Finanzinstrument DS (in Summe 505) Jahr E[DS 2004 (t)] Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 11

12 Wie verändert sich der Preis für die Garantie in diesem Vertrag, wenn der Versicherungsnehmer / Kunde an den überrechnungsmäßigen Erträgen (also mehr als 2,75% p.a) nicht partizipiert? Dazu berechnen wir in analoger Weise den Wert des Finanzkontrakts US (upside) gemäß Gleichung: [ ] US () t = E D ma(0; A V ) mit t t t Vt = Vt Vt 1 At = At At 1 In analoger Weise berechnen wir den Preis des Kontrakts für die einzelnen Jahre durch eine Simulation und gelangen zum marktkonformen Preis (ins Summe 653): Jahr E[US 2004 (t)] Im Ergebnis beträgt der Gesamtwert des Vertrags, der nur die vertragliche Garantie der Höhe nach beinhaltet ( kaufe die Put Option, verkaufe die Call-Option ) für die zugrundeliegende Ökonomie: Gesamtwert = US ( t) DS ( t) = = t= 2005 t= 2005 Das ist aus der Sicht des Versicherungsunternehmens / der Bank profitabel. Aus ökonomischer Sicht wäre eine Gewinnbeteilung für den Versicherungsnehmer / Kunden fair und auch finanzierbar, sofern man die Transaktionskosten für ein replizierendes Portfolio vernachlässigt Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 12

13 Übungsaufgabe (Computer-Modell III): Im Berechnungsmodell Mindestertrag für Pensionskassen (siehe Abschnitt 1.3.3) wurde die Verteilung der möglichen Kapital-Einschüsse durch den Garantiegeber berechnet. Die Simulationsrechnung wurde in der gleichnamigen EXCEL-Datei (Makro-Sprache Code Visual Basic for Applications) durchgeführt. Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen: 1) Beantworten Sie die Fragen 1-4 im Register Berechnung mit Hilfe des Rechenprogramms oder aufgrund eines selbst implementierten Programms (Letzteres wird besonders honoriert!). 2) Gehen Sie von der Annahme aus, dass am Kapitalmarkt für die Jahre die folgende Investments möglich sind : r = 3% risikoloser Zins für den BOND µ = 7,5% Drift für den STOCK σ =15% Volatilität für den STOCK und berechnen Sie mittel einer Simulationsrechnung den marktwertkonformen Wert der Garantie zu Erbringung des Mindestertrags für die Jahre Hinweis: Sie können das Rechenprogramm auch dazu verwenden, für jede Simulation den entsprechenden Deflator zu berechnen und somit das Finanzinstrument Downside bewerten Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 13

14 Beispiel für Optionen in einem Lebensversicherungskontrakt Ein Versicherungsunternehmen gibt eine Garantie auf die einbezahlten Prämien im Fall des Erlebens, investiert die Prämien aber während der gesamten Laufzeit in einen riskanten Fonds. Die Kalkulation der Prämien erfolgt gemäß den vorgegebenen Sterbetafeln und mit einem garantierten Ertragszinssatz von 0%. Die Berechnung des Aktuars ergibt folgende Erwartungswerte für die Prämien, Leistungen und die Deckungsrückstellungen für die einzelnen Jahre:. Jahr Prämien Ablebensleistung Erlebensleistung Reserve Die Wertentwicklung einer Einheit S t des Fonds ohne Berücksichtigung von Ein- und Auszahlungen wird in diesem Beispiel durch ein Black-Scholes-Modell beschrieben: S S e ( Zt ZT ) 2 t = T T t µ σ Z Z ~ N( ( T t), ( T t)) Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 14

15 Zu Vertragsabschluss (t=0) berechnet sich die Prämie für die Kapitalgarantie am Ende der Laufzeit (T = 10) wie folgt: mit [ ma(0; )] GarantieP = E D A A 10 D 10 Fondswert unter Berücksichtigung der Ein- und Auszahlung gem. obiger Tabelle Deflator für das Black-Scholes Modell Der Übergang zum risikoneutralen Maß durch Berücksichtigung des Deflators stellt sicher, dass diese Formel arbitragefreien Preis der Prämie für die Kapitalgarantie darstellt. Es handelt sich hierbei um ein Beispiel einer impliziten Option, die automatisch - d.h. ohne Bezugnahme auf eine Präferenz der Vertragspartner - ausgeübt wird. Eine Simulationsrechnung, durchgeführt mit den Parametern r = 3,5% risikoloser Zins µ = 7,5% Drift für das Black-Scholes-Modell σ = 10% Standardabweichung für das Black Scholes-Modell ergibt nach Multiplikation mit dem Deflator und Übergang zum Mittelwert den fairen Preis für die Kapitalgarantie von GarantieP = Man sieht, dass trotz des vergleichsweise hohen risikolosen Zinssatzes von 3,5% aufgrund der Parameter des Black-Scholes- Modells der Wert für die Kapitalgarantie nicht zu vernachlässigen ist Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 15

16 Wenn das Versicherungsunternehmen zusätzlich zu den einbezahlten Prämien einen Mindestertrag in Höhe eines vereinbarten Zinssatzes garantiert, führt dies zu folgenden Ergebnissen: laufende Prämie 0,00% laufende Prämie Zinsgarantie Einmalprämie Zinsgarantie Einmalprämie 0,25% ,00% ,50% ,25% ,50% ,50% ,00% ,75% ,25% ,00% ,50% ,25% ,75% ,50% P räm ie in G E Kapitalgarantie bei Ablauf der Er- und Ablebensversicherung Kapitalgarantie bei laufender Prämie Kapitalgarantie bei Einmalprämie 0,00% 0,25% 0,50% 7,50% 1,00% 1,25% 1,50% 1,75% 2,00% 2,25% 2,50% 2,75% 3,00% 3,25% 3,50% Garantiesatz Im Gegensatz dazu wird eine eplizite Option nicht automatisch ausgeübt. In diesem Fall wird ein Vertragspartner (Versicherungsunternehmen) keine genaue Kenntnis darüber haben, wie nach welchen Kriterien der andere Vertragspartners (Versicherungsnehmer) seine Optionsrechte wahrnimmt. Als klassisches Beispiel im Bereich der Lebensversicherung wäre hier der vorzeitige Rückkauf des Kontraktes durch den Versicherungsnehmer zu nennen. Das bedeutet, dass der Versicherungsnehmer grundsätzlich zu jedem Zeitpunkt den Vertrag kündigen kann und ein im Voraus definierter Betrag (Rückkaufswert) refundiert wird Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 16

17 Wir betrachten wieder den Er- und Ablebenskontrakt und unterstellen, dass für die Berechnung der Prämien und Reserven ein Rechnungszinssatz von 2,75% zur Anwendung gelangt und für den Rückkaufswert die Höhe der Deckungsrückstellung des Kontrakts zum jeweiligen Zeitpunkt ökonomisch begründbar ist. Das Versicherungsunternehmen könnte nun im Vertrag aber vorsehen, dass wohl die kumulierten Zuführungen zu dieser Reserve, nicht jedoch die kalkulatorischen Zinsen darauf (hier in Höhe von 2,75%) refundiert werden. Es könnte - etwa im Sinne einer vorgesehenen Gewinnbeteiligung - aber auch ein höherer Zins vereinbart werden. Der Versicherungsnehmer wird den Vertrag nur dann rückkaufen, wenn dies für ihn von Vorteil ist. Er muss also einerseits über den aktuellen Marktwert des Vertrages Bescheid wissen, anderseits wird er bei geringem Vorteil aus dem Rückkauf - etwa aufgrund von Abschlägen, die im Vertrag vorgesehen sein könnten - die Option nicht ausüben. Anders gesagt, die Option wird nur dann ausgeübt, wenn die positive Differenz zwischen Rückkaufswert und Marktwert des Kontrakts eine Schwelle (ausgedrückt in % des Marktwerts) überschreitet. Wir unterstellen, dass das Versicherungsunternehmen wie im vorangegangenen Beispiel in einen riskanten Markt investiert, der durch ein Black-Scholes-Modell mit den angegebenen Parametern beschrieben wird. Wir berechnen den Preis der Option auf Rückkauf unter folgenden Annahmen: - das Versicherungsunternehmen garantiert keine Zinsen für die Zuführung zur Reserve - die Schwelle des Versicherungsnehmers für die Ausübung der Option beträgt 5% Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 17

18 Zu Vertragsabschluss berechnet sich die faire Prämie für die Rückkaufsoption wie folgt: [ ma(0; )] RückkaufsP E D R A = wobei τ τ τ A τ Fondswert unter Berücksichtigung der Ein- und Auszahlung R τ Rückkaufswert in Höhe der kumulierten Zuführungen zur Reserve D τ Deflator für das Black-Scholes-Modell τ erster Zeitpunkt, zu dem der Schwellenwert von 5% überschritten wird Die in den Versicherungskontrakt eingebettete Option hat den Typ einer sog. amerikanischen Option, da der Ausübungszeitpunkt beliebig ist; τ wird manchmal auch als Stoppzeit bezeichnet. Die numerische Berechnung dieses Wertes kann wieder mittels Monte-Carlo-Simulation erfolgen. Mit den Annahmen des Black-Scholes-Modells und den Parametern des Er- und Ablebenskontrakts erhält man in diesem Fall den fairen Preis für die Rückkaufsprämie RückkaufsP = 1.401GE Die Berechnungen können in analoger Weise für den Fall von garantierten Rückkaufszinsen (rz) auf die Reservenzuführung (und somit auf höhere Rückkaufswerte) und für andere Schwellenwerte bezüglich des Ausübungsverhaltens des Versicherungsnehmers durchgeführt werden. Die folgenden Abbildungen zeigen die Ergebnisse der fairen Prämien des Rückkaufs bei laufender Prämienzahlung und bei Einmalprämie: Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 18

19 Wertetabelle für rz = 2,75% Wertetabelle für rz = 2,75% Prämienbarwert maturity guarantee ,3% Fair Value sw in % RK Preis Fair Value RKP in % 0% ,3% 5% ,5% 10% ,6% 15% ,0% 20% ,7% 25% ,5% 30% ,3% 35% ,6% 40% ,0% 45% ,0% 50% ,0% Prämienbarwert maturity guarantee ,9% Fair Value sw in % RK Preis Fair Value RKP in % 0% ,7% 5% ,4% 10% ,3% 15% ,5% 20% ,3% 25% ,3% 30% ,0% 35% ,9% 40% ,2% 45% ,2% 50% ,9% 55% ,0% 60% ,0% 65% ,0% 70% ,0% Prämien in GE Lebensversicherung gegen laufenden Beitrag: Optionsprämien für den Rückkauf in Abhängigkeit vom Schwellenwert Rückkaufspreis für rz=0,00% Rückkaufspreis für rz=2,75% Rückkaufspreis für rz=5,50% Präm ien in GE Lebensversicherung gegen Einmalbeitrag: Optionsprämien für den Rückkauf in Abhängigkeit vom Schwellenwert Rückkaufspreis für rz=0,00% Rückkaufspreis für rz=2,75% Rückkaufspreis für rz=5,50% 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% Schwellenwert in % Schwellenwert in % Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 19

20 Übungsaufgabe (Computer-Modell IV): Da zuletzt angeführte Beispiel ist bezüglich der Abgaben, der versicherungsmathematischen Berechnungen und numerischen Ergebnisse in der Datei LV-Optionen.ls dargestellt. Sie können diese verwenden, um folgende Berechnung selbst durchzuführen: 1) Maturity Guaranty (IV.1) Tragen Sie im Register Beispiel IV.1 die Ergebnisse (zumindest teilweise) ein, die Sie aufgrund eigener Berechnungen erhalten und vergleichen Sie diese mit den Ergebnissen aus der Vorlesung. 2) Rückkaufspreis (IV.2) Tragen Sie im Register Beispiel IV.2 die Ergebnisse (zumindest teilweise) ein, die Sie aufgrund eigener Berechnungen erhalten und vergleichen Sie diese mit den Ergebnissen aus der Vorlesung. inweis: Im Register Simulation sind die erforderlichen Berechnungsfelder in Form eines Templates angeführt. Sie önnen diese verwenden, um die Berechnungen schrittweise durchzuführen. Viel Erfolg! Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 20

21 VIELEN DANK FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT UND IHRE AKTIVE MITARBEIT Hubert Schicktanz Risiko und Prämien: Anwendungensbeispiele 21