Optionale Übungsbeispiele zur Lehrveranstaltung Algorithmen und Datenstrukturen 2 mit Lösungshinweisen

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1 Technische Universiä Wien Insiu für Compuergraphik und Algorihmen Arbeisbereich für Algorihmen und Daensrukuren Opionale Übungsbeispiele zur Lehrveransalung Algorihmen und Daensrukuren mi Lösungshinweisen 8. Januar 007 Dieses Dokumen beinhale einige opionale Übungsbeispiele zur Veriefung des Soffes der Vorlesung Algorihmen und Daensrukuren im WS 006/07. Sie finden im Anschluss an jedes Beispiel auch Hinweise zur Lösung. Wir raen Ihnen dennoch, zu versuchen die Beispiele selbs und ohne Hilfesellung zu lösen. WICHTIG: Beachen Sie, dass die Lösungshinweise nich unbeding immer vollsändige Lösungen sind, sondern manchmal nur den Lösungsweg skizzieren. Für weiergehende Fragen sehen wir Ihnen mi unserer -holine uner oder naürlich auch persönlich in unseren Sprechsunden (siehe Webseie der LVA) zu Verfügung. Aufgabe Knuh-Morris-Pra Barbalib is die Leserae der Barbapapa-Familie. Sie ha eine orangene Farbe und kenn die Anwor auf viele Fragen und kann gewiss auch die folgende Aufgabe genauso wie Sie mi Leichigkei lösen: Berachen Sie den Namen barbalib als Muser P der Länge 8 und berechnen Sie für P das Array nex[m] des Algorihmus von Knuh-Morris-Pra (KMP) für alle m mi m 8. Geben Sie ferner die Anzahl der Vergleichsoperaionen zwischen den Zeichen (des deuschen Alphabes) an, die das KMP-Verfahren ausführ, bis das Muser im Tex T = barbapapabarbamamabarbazoobarbalibbarbabeaubarbabellebarbalala ersmals gefunden wird. nex[p] = b a r b a l i b Vergleichsoperaionen: 3x - Zeile im Algorihmus (kann fehlen wenn man behaupe nach dem j > 0 Vergleich wird der Res übersprungen) 3x - Zeile 7 im Alorihmus +x - für i=6, j=5 in Zeile +x - für i=5, j=5 in Zeile +x - für i=, j=5 in Zeile 0x/7x gesam

2 Aufgabe Rabin und Karp Wenden Sie das in der Vorlesung bzw. im Skrip beschriebene Signaurverfahren von Rabin und Karp an, um das Muser P = barbazoo im Tex T aus Aufgabe zu suchen. Visualisieren Sie dabei jeden Ihrer Schrie. Man ierpreier jeden Teilsring der Länge 8 als eine r-adische Zahl, mi r =30. Die verwendee Hashfunkion für einen Sring könne lauen: Für die Berechnung des nächsen Srings: sr = [c j..c j+7 ] hash(sr) = ( 8 i= sr i 30 8 i ) mod 9973 sr = [c j+..c j+7+ ] rehash(c j,c j+7+,hash(sr)) = ((hash(sr) c j 30 7 ) 30 + c j+7+ ) mod 9973 z.b. hash( barbalib ) = Anm: Wichig bei diesem Beispiel is die inkremenelle Hashfunkion. Die Funkion muss nich unbeding gleich der oben angeführen Funkion sein. Aufgabe 3 Boyer-Moore Berachen Sie das Muser P und den Tex T aus Aufgabe. Geben Sie die beiden Arrays las[] und suffix[] des Verfahrens von Boyer-Moore (BM) für diese Eingabe an. las[p] = a b i l r nex[p ] = b i l a b r a b suffix[p] = b a r b a l i b Aufgabe Suchen in Texen Vergleich Nehmen Sie an, dass das Muser P und der Tex T, in dem das Muser gesuch werden soll, wie folg aufgebau is: P = a a... a x (m-mal a, am Ende ein x) T = a a... a x a a... aa (n-mal a, darin an beliebiger Selle ein x) Hierbei soll gelen, dass n m. Welchen der beiden Algorihmen KMP oder BM würden Sie in diesem Fall bevorzugen? Begründen Sie Ihre Anwor. Boyer-Moore. Das Überprüfen des Suchmusers beginn rechs. Aufgabe 5 Miller-Rabin-Primzahles Beim Miller-Rabin-Primzahles wird eine Funkion Zeuge(a, n) benuz, die für zwei posiive ganze Zahlen a und n prüf, ob a n mod n

3 gil. Führen Sie den Algorihmus für a = und n = 6 durch. Geben Sie für jeden Schleifendurchlauf den Wer Ihrer Variablen an. Was sag das Ergebnis aus? i d Das Ergebnis besag, dass 6 prim sein kann. Aufgabe 6 Randomisiere Skiplisen Fügen Sie in eine anfangs leere Skiplise S r die folgenden Elemene in der vorgegebenen Reihenfolge ein: 8, 7,, 7, 3, 53, 65, 9, 9. Verwenden Sie hierbei die folgenden, zufällig gewählen Höhen:,, 0,,, 3, 0, 0, 0. Zeichnen Sie die resulierende Skiplise Suchen Sie nun nach der Zahl 30. Geben Sie die Anzahl der Schlüsselvergleiche (= Länge der Suchpfade, Vergleiche mi zählen mi!) an, die jeweils nöig sind. Es sind 7 Vergleiche nowendig! Aufgabe 7 Modifiziere Perfeke Skiplisen Wir berachen eine Variaion der in der Vorlesung beracheen perfeken Skiplise, bei welcher auf Niveau i ansa einem Elemen auf Niveau i (wie bei der perfeken Skiplise aus der Vorlesung) nun zwei Elemene auf Niveau i übersprungen werden. Es gil also für jeden 3

4 echen Conainer, dass der 3 i -e Conainer einen Zeiger auf den 3 i Posiionen weier hinen sehenden Conainer (bzw. auf das Ende) ha. Zeichnen Sie eine solche modifiziere, perfeke Skiplise, die die Elemene, 9, 9, 8, 0, 3,, 0, 3 und enhäl Berechnen Sie, wie viele Zeiger diese Skiplise enhäl, wenn in ihr 3 Elemene (plus Kopf- und Endelemen) exisieren. Vergleichen Sie diese Anzahl mi der in der Vorlesung besprochenen perfeken Skiplise. Zeiger = = 370 Aufgabe 8 Modifiziere Perfeke Skiplisen Pseudocode Geben Sie einen Algorihmus in gu kommenierem Pseudocode an, der effizien ein Elemen in die modifiziere, perfeke Skiplise aus Aufgabe 7 einfüg. Wie lange dauer das Einfügen in Ihrem Algorihmus durchschnilich im Vergleich zur perfeken Skiplise aus der Vorlesung? Begründen Sie Ihre Anwor ausführlich und analysieren Sie die Laufzei in O-Noaion! Idee: Einfügen und den Res der Lise umformen Einfügen(Lise, Wer) : p = Lise.kopf; : Zeiger = [null,null,..,null]; 3: Pos = 0; : 5: // *** Finde die Selle wo das neue Elemen hinzugefüg werden soll 6: für i = Lise.hoehe..0 { 7: solange p.nex[i].key < W er { 8: p = p.nex; 9: Pos+ = 3 i ; 0: } : // *** Immer den lezen sichbaren Zeiger einer Ebene speichern : Zeiger[i] = p; 3: } : 5: // *** Als Elemen mi Höhe 0 hinzufügen 6: Neues Objek q mi dem Wer Wer erzeugen 7: q.hoehe =0; 8: q.nex[0] = Zeiger[0].nex[0]; 9: Zeiger[0].nex[0] = q; 0:

5 : // *** Die Lise is nun ungülig. Formaieren.. : Pos+ = ; 3: p = q; : solange p! = null { 5: hoehe =GeHoehe(Pos); // *** Neue Höhe berechnen 6: falls hoehe < p.hoehe dann { 7: // *** Der Knoen is kleiner geworden 8: für i = hoehe +..p.hoehe { 9: // *** Die einkommenden Zeiger gehen jez über diesen Konen 30: Zeiger[i].nex[i] = p.nex[i]; 3: } 3: } sons { 33: falls hoehe > p.hoehe dann { 3: // *** Der Knoen is größer geworden 35: für i = p.hoehe +..hoehe { 36: // *** Der Knoen komm jez in den Weg von anderen Zeigern 37: p.nex[i] = Zeiger[i].nex[i]; 38: Zeiger[i].nex[i] = p; 39: } 0: } : } : // *** Bis zu seiner Höhe is jez dieser Knoen der leze 3: p.hoehe = hoehe; : für i = 0..p.hoehe { 5: Zeiger[i] = p; 6: } 7: // *** Weiergehen 8: p = p.nex; 9: Pos + +; 50: } Die Laufzei beräg O(n log 3 n) 5

6 Idee: Die Were jeweils um eine Posiion nach rechs verschieben, und nur am Ende einen Knoen hinzufügen. Einfügen(Lise, Wer) : p = Lise.kopf.nex[0]; : Zeiger = [null,null,..,null]; 3: Pos = 0; : solange p.wer! = { 5: falls W er p.wer dann { 6: // *** Den Wer hier hinzufügen und den Res minehmen 7: aux = p.wer; 8: p.wer = Wer; 9: Wer = aux; 0: } : // *** Bis zur p.hoehe gehören die lezen Zeiger diesem Knoen : für i = 0..p.hoehe { 3: Zeiger[i] = p; : } 5: p = p.nex; 6: Pos + +; 7: } 8: 9: // *** Wir sind nun beim lezen Knoen, und wir kennen die sichbaren Zeiger 0: Erzeuge Knoen p mi dem Wer Wer und Höhe gehoehe(pos) : falls p.hoehe > L.hoehe dann { : // *** Höchser Knoen 3: L.kopf.nex[+ + L.hoehe] = p; : } 5: // *** Bis zu seiner Höhe sehen alle Knoen ihn.. 6: für i = 0..p.hoehe { 7: Zeiger[i].nex[i] = p; 8: p.nex[i] = Las; 9: } 30: // *** Ab seiner Höhe weier hinauf sehen alle Knoen weier.. 3: für i = p.hoehe +..L.hoehe { 3: Zeiger[i].nex[i] = Las; 33: } Die laufzei beräg O(n log 3 n) Aufgabe 9 Geomerische Algorihmen Sichbarkeisproblem Wir berachen das folgende Sichbarkeisproblem: Zwei horizonale Liniensegemene s und s in einer gegebenen Menge horizonaler Liniensegmene S sind gegenseiig sichbar, wenn es eine verikale Gerade gib, die s und s, aber kein weieres Liniensegmen der Menge S zwischen den beiden Liniensegmenen s und s schneide. Es soll nun nach allen gegenseiig sichbaren horizonalen Liniensegmenpaaren aus der Menge S gesuch werden. (sämliche x-were von Anfangs- und Endpunken aller Liniensegmene sind paarweise verschieden) Schreiben Sie uner Zuhilfenahme des Scan-Line Prinzips einen effizienen Algorihmus in Pseudocode, der dieses Problem lös. 6

7 Algorihmus Scan-Line Algorihmus für das Sichbarkeisproblem : Q: Menge der Halepunke in aufseigender x-reihenfolge; : L = ; // Menge der akiven Segmene, aufseigend nach y sorier (AVL-Baum) 3: S = ; // Menge der Sichbarkeien : solange (Q ) { 5: p: nächser Halepunk von Q; 6: falls (p is linker Endpunk eines horizonalen Segmens s) dann { 7: Füge s in L ein; 8: u: Vorgänger von s im AVL-Baum L; 9: v: Nachfolger von s im AVL-Baum L; 0: Füge (u,s) in S ein; : Füge (s,v) in S ein; : } sons { 3: falls (p is recher Endpunk eines horizonalen Segmens s) dann { : u: Vorgänger von s im AVL-Baum L; 5: v: Nachfolger von s im AVL-Baum L; 6: Enferne s aus L; 7: Füge (u,v) in S ein; 8: } 9: } 0: } Aufgabe 0 Geomerische Algorihmen Schni von Liniensegmenen Bei der Realisierung des Scan-Line-Algorihmus für das Schneiden von Liniensegmenen gehen wir von der vereinfachenden Annahme der allgemeinen Lage der Segmene aus. Beschreiben Sie, wie sich der Algorihmus verhäl, wenn sich mehrere Segmene in einem Punk schneiden. Is das Ergebnis zufriedensellend? Wenn nich, schlagen Sie eine Modifikaion vor, um das Problem zu beheben. Im SSS beginn eine Endlosschleife in der die Segmene immer wieder verausch werden und die Schnipunke wiederhol erzeug und in die ES Menge eingeragen werden. Lösungsmöglichkei: Beim Einfügen eines Ereignisses überprüfen ob das Ereignis bereis in ES exisier. Aufgabe Geomerische Algorihmen Mehrdimensionale Bereichssuche Gegeben is die folgende Punkmenge in 3D: P 0 = (0,3,0),P = (3,,),P = (99,0,),P 3 = (,,9),P = (7,76,3) P 5 = (76,3,68),P 6 = (9,9,7),P 7 = (3,68,3),P 8 = (,7,99),P 9 = (68,99,76) Zeichnen Sie einen balancieren Baum für die 3-dimensionale Bereichssuche, dessen Knoen den angegebenen Punken ensprechen. Fangen Sie mi der x-koordinae an, dann y und schließlich z. Der Median einer Folge mi den indizes a,...,a k is a m mi m = a + b a 7

8 . Ieraion. Ieraion 3. Ieraion. ieraion x p3 p7 p p p0 p8 p6 p9 p5 p y p3 p0 p8 p5 p p p6 p7 p p9 z p p p6 p7 p0 p p3 p5 p9 p8 x p3 p7 p p p8 p6 p9 p5 p y p3 p p7 p p8 p5 p p6 p9 z p p7 p p3 p p6 p5 p9 p8 x p3 p7 p p8 p5 p6 p9 y p3 p7 p p8 p5 p6 p9 z p3 p p7 p5 p8 p6 p9 p0 p p p3 p p5 p6 p7 p8 p9 Aufgabe Geomerische Algorihmen Mehrdimensionale Bereichssuche Markieren Sie alle Knoen in Ihrem Baum aus Aufgabe, die bei der Bereichssuche nach dem Bereich D vom Bereichssuche-Algorihmus besuch werden. Der Bereich D is ein 3- dimensionaler Quader gegeben durch die beiden Eckpunke d = (30,0,5) und d = (50, 39, 55). p0 p p p3 p p5 p6 p7 p8 p9 8

9 Aufgabe 3 Lineare Programmierung Eine Whisky-Imporgesellschaf ha zwar einen unbeschränken Absazmark für ihre Produke, jedoch limiieren Imporbeschränkungen den monalichen Einkauf auf maximal 000 Lier Sir Roses zu EUR 35 pro Lier, 500 Lier Highland Wind zu EUR 5 pro Lier und 00 Lier Old Frenzy zu EUR 0 pro Lier. Daraus werden drei Mischungen (Blends) A, B und C zu den Preisen EUR 3, EUR 8,50 bzw. EUR,50 (pro Lier) hergesell, die folgenden Anforderungen genügen müssen: A: wenigsens 60% Sir Roses, höchsens 0% Old Frenzy B: wenigsens 5% Sir Roses, höchsens 60% Old Frenzy C: höchsens 50% Old Frenzy Welche Mischungen ergeben den höchsen Profi? Formulieren Sie die Fragesellung hierbei als LP-Problem. (Sie müssen es nich lösen) Variablen: a...menge an hergeseller Blend b...menge an hergeseller Blend c...menge an hergeseller Blend 3 x...menge an benuzer Sir Roses y...menge an benuzer Highland Wind z...menge an benuzer Old Frenzy p ij...blend i beinhale p ij Menge an Rohzua j max 3a + 8.5b +.5c 35x 5y 0z s. x 000 () y 500 () z 00 (3) p + p + p 3 = a () p + p + p 3 = b (5) p 3 + p 3 + p 33 = c (6) p 0.60a (7) p 0.5a (8) p 3 0.0c (9) p c (0) p c () p + p + p 3 = x () p + p + p 3 = y (3) p 3 + p 3 + p 33 = z () a,b,c,x,y,z 0 p,p,p 3,p,p,p 3,p 3,p 3,p 33 0 Zielfunkion is die Summe der produzieren Blends abzüglich der benöigen Zuaen. ()...(3) garanier, dass nich mehr von den 3 Zuaen benuz wird als vorhanden is. ()...(6) drück aus, aus was die Blends gemisch sind. (7)...() sind die Consrains aus der Angabe. ()...() besag, dass die Summe der Aneile gleich der Menge von benuzen Zuaen ensprich. Aufgabe Ganzzahlige Lineare Programmierung Da die meisen Haushale eines Slum-Wohnvierels mi erschreckenden Wohnverhälnissen keine 9

10 eigenen Toileen haben, werden zwei öffenliche Toileen insallier. Zu Planungszwecken wird das Wohnvierel in 5 Sekoren unereil. Die beiden Toileen sollen in zwei unerschiedlichen Sekoren unergebrach werden. Jede Toilee wird von allen Bewohnern in ihrem eigenen Sekor sowie in allen Sekoren, die dieser Toilee zugeordne werden, benuz. Da jeder Haushal nur einen Schlüssel zu einer Toilee besizen darf, is die Zuordnung eines Sekors zu zwei Toileen nich möglich. Die folgende Tabelle gib die durchschniliche Disanz (in Geh-Minuen) von einem Haushal eines Sekors zu einer diesem Sekor zugeeilen Toilee an. Disanz für Sekor 3 5 Zugeeile Toilee ha Sandor in Sekor Die durchschnilich erwaree Zahl an Toileenbesuchen pro Tag pro Sekor is der folgenden Tabelle zu ennehmen: Sekor 3 5 Bedarf pro Tag Es is nun zu enscheiden, in welchen Sekoren die beiden Toileen insallier werden sollen, sowie welche Sekoren welcher Toilee zugeordne wird. Das Ziel is die Minimierung der gesamen durchschnilichen Gehdisanz zu den Toileen. Formulieren Sie dieses Problem als ILP-Problem. (Sie müssen es nich lösen.) Gegeben: d ij...disanz wenn Toilee in Sekor i und Benuzer in Sekor j b i...anzahl der Benuzer in Sekor i Enscheidungsvariablen: { wenn Haushale von Sekor j der Toilee in Sekor i zugeordne wird x ij = 0 sons min 5 s. i= j= 5 b j d ij x ij 5 x ij = j =,...,5 i= 5 x ii = i= x ij x ii i,j =,...,5 Zielfunkion is die Summe aller vorkommenden Disanzen (d.h. wenn x ij gleich is). () besag, dass jedem Sekor genau eine Toilee zugeordne wird. () leg die anzahl der Toileen auf fes. x ii bedeue Sekor i wird Toilee in Sekor i zugeordne, was genau dann der Fall is, wenn eine Toilee in Sekor i insallier wird. 0

11 (3) garanier, dass einem Sekor nur dann eine Toilee in Sekor i zugeordne werden kann, wenn in Sekor i asächlich eine Toilee insallier is. Aufgabe 5 LP-Zulässigkeisbereich Zeichnen Sie den Zulässigkeisbereich des folgenden linearen Programms: max sx + x s. x + x x + x 7 x + x 6 x 0 Geben Sie beispielhafe Were für s und an, sodass das lineare Programm a) genau eine opimale Lösung besiz. b) mehr als endlich viele opimale Lösungen besiz. c) keine opimale Lösung besiz. d) den Punk (x = 0,x = 3) als opimale Lösung besiz. Abbildung : Grafische Lösung a) genau eine opimale z.b. max0x + x b) mehr als endlich viele opimale Lösungen: z.b. max x + x c) keine opimale z.b. maxx + 0x d) Punk (x = 0,x = 3) als opimale z.b. max x + x

12 Aufgabe 6 Dualiä Schreiben Sie das duale lineare Programm zu dem folgenden primalen Programm auf: max 5x + 36x 6x 3 + x s. x + x 3 x 8x + x 3 x 7x + x 3 3x 5x 33x + 3x 3 x = 5 x,x 3 0 x,x 0 min y + y + y 3 + 5y s. y y y 3 5y 5 8y 7y 3 33y 36 y + y + y 3 + 3y 6 3y 3 y y 0 y,y 3 0 y frei Aufgabe 7 Simplex-Mehode Gegeben is das folgende lineare Programm: a) Lösen Sie es graphisch max x + x s. x + x 5 x + x 0 5x + 3x 75 x,x 0 x max (x=5,x=5) x+x=0 5x+3x=75 x+x=5 x+x x

13 b) Lösen Sie es mi der Simplex-Mehode Beginn: max z = 0 + x + x x 3 = 5 + x x x = 0 x x x 5 = 75 5x 3x. Ieraion (x komm in die Basis, x 3 verläss sie) max z = 5 + x x 3 x = 5 + x x 3 x = 5 3 x + x 3 x 5 = 75 3 x + 3 x 3. Ieraion (x komm in die Basis, x verläss sie) max z = 35 3 x 3 3 x x = x 3 3 x x = 5 3 x 3 6 x x 5 = 5 3 x x Wir haben die opimale Lösung gefunden (x = 5,x = 5)! c) Visualisieren Sie jeden Rechenschri anhand des Polyeders in der Graphik x 5x+3x=75 x+x=0 max (x=5,x=5) I x+x=5 I x Aufgabe 8 ILP Formulierung Karl der Kassierer ha das folgende Problem, wenn er Wechselgeld herausgeben muss: Zur Verfügung sehen ihm verschiedene Münzen in unerschiedlicher Anzahl (z.b. drei 50 Cen Münzen, zwei 0 Cen Münzen und vier Cen Münzen). Die Rückgabesumme soll nun mi der minimalen Anzahl von Münzen realisier werden. 3

14 Is das Problem ein kombinaorisches Opimierungsproblem? Warum? Formulieren Sie das Problem als ganzzahliges lineares Programm und erläuern Sie Ihre Konsrukion. Ja, das is ein kombinaorisches Opimierungsproblem, da die Grundmenge endlich is. m i is die Anzahl der Münzen vom Typ i die zur Verfügung sehen s i is der Wer einer Münze vom Typ i x i is die Anzahl der Münzen vom Typ i die zurückgegeben werden R is die Rückgabesumme min s.. i x i i s ix i = R x i m i x i 0 Aufgabe 9 Spalengenerierung Eine Transporfirma benuz LKWs, um Gegensände von Or A nach Or B zu bringen. Jeder beselle Gegensand ha ein besimmes Gewich und ein besimmes Volumen. Ein LKW kann maximal 000kg und 30m 3 ransporieren. Wichig is, dass Sie mindesens so viele Waren liefern, wie benöig werden, und so wenige LKWs wie möglich losschicken. Modellieren Sie die Problemsellung als ILP. (Hinweis: die Enscheidungsvariablen sind die möglichen Packmuser) Gegensände i =,...,n Bedarf b i jedes Gegensands i Gewiche w i Volumen v i Variable x j für jedes mögliche Packmuser j min s.. j x j j A ijx j b i x j 0 Die Anzahl der Enscheidungsvariablen x j seig exponeniell mi n Wie können Sie die Anzahl der asächlich beracheen Variablen miels Spalengenerierung reduzieren? Schreiben Sie das Pricing Problem auf. Mi welchen Packmusern beginnen Sie? Das Pricing-Problem laue: Reduziere Kosen wie im Skripum: c j = i π ia ij π i Dualvariablen Were des Maser Problems

15 Wenn negaive reduziere Kosen: zusäzliche Variable gefunden max s.. i π ia i i w ia i W i v ia i V a i 0 Sarlösung: ein Schnimuser pro Gegensand (enhäl einen Gegensand so of wien er hineinpass: min (W/w i,v/v i ) Aufgabe 0 Branch-and-Bound für ILP Berachen Sie die Problemsellung aus Aufgabe 8. Geben Sie Pseudocode für einen Branchand-Bound Algorihmus an, der Karls Problem lös. Algorihmus B&B für Karl : Sarproblem S 0 mi Formulierung P 0 : Lise nich bearbeieer Probleme L = {P 0 } 3: Globale Obere Schranke z = + : Zähler k = 0 5: solange Lise L nich leer { 6: Wähle Problem S i mi Formulierung P i aus Lise L 7: Löse LP-Relaxierung miels Greedyalgorihmus (siehe Hinweis auf Webseie) über P i 8: LP-Lösung is x LP i und 9: Unere Schranke z i = LP-Zielfunkionswer 0: falls LP-Relaxierung unlösbar dann { : Abschneiden wegen Unzulässigkei : } sons falls z i z dann { 3: Abschneiden wegen Schranke : } sons falls x LP i Z n dann { 5: z = z i 6: Bese zulässige Lösung x = x LP 7: Abschneiden durch opimale Lösung 8: } sons { 9: Wähle frakionale Variable x LP i 0: Zerlege: Füge Subprobleme S k+ und S k+ : mi Formulierungen : : P k+ = P i x i x LP i und 3: P k+ = P i x i x LP i zu Lise L hinzu : k = k + 5: } 6: } 7: Bese zulässige Lösung x is opimale Lösung von S. Aufgabe Maximale Flüsse Edmonds-Karp Finden Sie zu dem nachfolgenden Flussnezwerk N einen maximalen Fluss f von der Quelle s zur Senke, indem Sie den Algorihmus von Edmonds-Karp verwenden. 5

16 a 5b s 3c 6d e f 7 a) Visualisieren Sie dazu die einzelnen Schrie des Algorihmus. Wir beschränken uns hier auf die Angabe einer möglichen Sequenz augmenierender Pfade und der Were, um die die Flüsse auf diesen erhöh werden:. s e f (). s e d () 3. s c d (). s a b () 5. s a d b () b) Geben Sie anschließend einen Schni in N an, der von f saurier wird. {s,a,c,e} saurier mi Wer 5. Aufgabe Maximale Flüsse Preflow-Push Finden Sie zu dem nachfolgenden Flussnezwerk N den maximalen Fluss f von der Quelle s zur Senke, indem Sie den Preflow-Push Algorihmus verwenden s

17 a) Visualisieren Sie dazu die einzelnen Schrie des Algorihmus. 5/ s 6 3 6/ (nach ein paar Ieraionen) 5/5 + / 5 5/5 s 6 3/3 / 6/6 3/3 7 5/6 /5 a / 5 5/5 s 6 3/3 / 6/6 b 3/3 7 5/6 b) Geben Sie anschließend einen Schni in N an, der von f saurier wird. Die Knoen {s,a,b} mi Wer 0. 7

18 Aufgabe 3 Maximale Flüsse Theorie a) Welche der folgenden Behaupungen sind wahr und welche sind falsch? Belegen Sie Ihre Anwor enweder durch ein Gegenbeispiel oder einen kurzen Beweis: Seien v und w zwei beliebige Knoen in einem Flussnezwerk N. In jedem maximalen Fluss f is enweder der Fluss von v nach w oder der Fluss von w nach v gleich 0. Wahr. Wenn sowohl der Fluss von w nach v > 0 is als auch umgekehr, dann enseh ein Zyklus. Wenn zu allen Kanenkapaziäen eine beliebige posiive Zahl λ addier wird, dann änder sich der minimale Schni nich. Falsch. Im folgenden Beispiel sind die minimalen Schnie unerschiedlich: s 6 3 (Erhöhung um λ = ) b) Konsruieren Sie drei Flussnezwerke mi ganzzahligen Kapaziäen, die jeweils die folgenden Eigenschafen besizen: mehrere ganzzahlige maximale Flüsse und mehrere minimale Schnie mehrere ganzzahlige maximale Flüsse und einen einzigen minimalen Schni einen einzigen maximalen Fluss und mehrere minimale Schnie s s 6 s 8

19 Aufgabe Machings und Coverings Gegeben sei ein biparier ungericheer Graph G = (V, E) mi einer Knoenpariion V = L R, wobei L,R V disjunk sind. Alle Kanen in E liegen zwischen Knoen aus L und R. Ein Maching M E is eine Teilmenge von Kanen aus E, so dass für alle Knoen v V höchsens eine Kane im Maching M inziden zu v is, d.h. keine zwei Kanen besizen einen gemeinsamen Knoen. Ein maximales Maching M is ein Maching maximaler Kardinaliä: es gil also M M für jedes andere Maching M. Ein Cover C V is eine Teilmenge von Knoen aus V, so dass jede Kane e E inziden zu mindesens einem Knoen im Cover C is. Ein minimales Cover C is ein Cover minimaler Kardinaliä: es gil also C C für jedes andere Cover C. a) Zeichnen Sie zunächs einen Beispielgraphen und geben Sie ein Maching und ein Covering in diesem Graphen an. a b c 3 Maching: {(a,),(c,3)} Covering: {a,c} Zeigen oder widerlegen Sie dann die folgende Behaupung: Für alle Cover C und alle Machings M gil: C M. Falls C < M dann exisier (lau Def. eines Machings ) mindesens eine Kane (u, v) in M sodas weder u noch v in C enhalen is. Das widersprich der Definiion eines Coverings b) Is G = (V,E) ein biparier Graph, so gil für ein maximales Maching M und ein minimales Cover C : M = C. Beweisen Sie diese Behaupung, indem Sie das Problem als maximales Flussproblem formulieren. s L R Man verbinde die Quelle s mi allen Knoen der Menge L bzw. alle Knoen der Menge R mi der Senke. Alle Kanen haben Kapaziä. Der maximale Fluss is gleich dem maximalen Maching. 9