Kap. 1 Differenzieren, Tangenten Mathe, GZG, FN. 1 Differenzieren, Tangenten. 1.1 Ableitungen von einfachen Funktionen

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1 1 Differenzieren, Tangenten 1.1 Ableitungen von einfachen Funktionen Die einfachsten Funktionen, die wir direkt ableiten können sind: Regel 1) f(x) = x n mit f (x) = (x n ) = n x n 1 Regel 2) f(x) = sin(x) mit f (x) = (sin(x)) = cos(x) Regel 3) f(x) = cos(x) mit f (x) = (cos(x)) = sin(x) Regel 4) f(x) = e x = exp(x) mit f (x) = (e x ) = e x = exp(x) Regel 5) f(x) = ln(x) mit f (x) = ln (x) = 1 x Die nächste Stufe sind die Funktionen, die aufgrund der Potenzschreibweise Spezialfälle von f(x) = x n sind. (Der Beweis, dass dies richtig ist, wird in der Schule übergangen, ja es wird oft nicht einmal erwähnt, dass dies keinesfalls trivial ist.) Regel 1b Ableitung der Hyperbel: f(x) = 1 x m : Wir formen den Term der Funktion mit Hilfe der Potenzdarstellung so um, dass wir die Regel 1 anwenden können, d.h. f(x) = 1 x m = x m. Also kurz: ( ) 1 f (x) = x m = (x m ) = m x m 1 = m ( ) x m+1 1 Merke speziell: = 1 x x 2 Wir merken uns: Wenn x im Nenner steht (und der Nenner keine Summe ist), so bringen wir x zuerst in den Zähler. (Andernfalls teilen wir den Bruch auf oder wenden (wenn dies nicht geht) die Quotientenregel an, siehe unten). Regel 1c) Die Ableitung der Wurzelfunktion (n-ter Ordnung) f(x) = n x ist auch ein Spezialfall von Regel 1, d.h. wir formen um: f(x) = n x = x 1 n und erhalten f (x) = ( n x) ( ) = x 1 n = 1 n x 1 n 1 = 1 n 1 n x n = 1 n 1 1 = x n 1 n n n x n 1 Merke: ( x) = 1 2 x Aufgaben, Anwendungen der Regeln: 3 Nr. 1 Bilde die erste Ableitung von f(x) = 4 x 3 Lösungsvorschlag: Wir bringen die Funktion auf die Form ax n : 3 f(x) = 4 x = x 3 2. Jetzt können wir sie ableiten: f (x) = x 5 2 Abschließend formen wir sie wieder um: f (x) = 9 8 x 5 W. Seyboldt Stand: Seite 1

2 Nr. 2 Bilde die erste Ableitung von f(x) = 4 x3 7 x x Lösungsvorschlag: Wir bringen die Funktion auf die Form ax n : f(x) = 4 x3 7 x x = 4 7 x = 4 7 x 3 2 Jetzt können wir sie ableiten: f (x) = x 1 2 Abschließend formen wir sie wieder um: f (x) = 6 x Kettenregel, Produkt- und Quotientenregel Viele weitere Funktionen setzen sich aus anderen (einfacheren) Funktionen zusammen, sie sind Produkte, Quotienten oder eine Hintereinanderausführung von einfacher ableitbaren Funktionen. Bevor wir ableiten, überlegen wir genau, wie und in welcher Reihenfolge die auftretenden Funktionen zusammengesetzt sind Kettenregel Wenn f(x) = g(h(x)) ist, d.h. f eine Abbildung ist, bei der zuerst eine Funktion h und dann eine Funktion g angewandt wird (und die Ableitungen von f(x) und g(x) bekannt sind), dann gilt f (x) = (g(h(x))) = g (h(x)) h (x) Wenn wir eine Verkettung von Funktionen entdecken, überlegen wir, welche Funktion zuletzt ausgeführt wird. Diese Funktion leiten wir zuerst ab. Danach multiplizieren wir mit der inneren Ableitung, d.h. mit der Ableitung der Funktion, die wir als zweitletztes ausführen, usw.. Aufgabe a) Bestimme die Ableitung von f(x) = (2x 3 + 4x) Lösungsvorschlag: Wir wenden die Kettenregel an. Wenn wir die Funktion von Hand ausrechnen würden, würden wir zuerst das Polynom 2x 3 + 4x ausrechnen und dann daraus die Wurzel ziehen. Also leiten wir zuerst die Wurzelfunktion ab, d.h. wir (. ) 1 bilden.. = 2... und dann ersetzen wir die Punkte... durch ( 2x 3 + 4x ). Dann leiten wir die gerade eingesetzte Funktion ab, d.h. wir bilden ( 6x ) und multiplizieren die gerade gebildete äußere Ableitung mit dieser inneren Ableitung. Die Ableitung der Funktion f ist also f (x) = ( (2x 3 + 4x)) = 1 2 (2x 3 + 4x) (6x ) = 3x x 3 + 4x Aufgabe b) Bestimme die Ableitung von f(x) = 7 e (2x 3 +4x) Lösungsvorschlag: Wenn wir diese Funktion von Hand ausrechnen müssten, würden wir als letztes e hoch... ausführen, deshalb leiten wir diese Funktion zuerst ab. (Der konstante Faktor wird einfach abgeschrieben.) Die Ableitung von e hoch... ist e hoch.... Für die Punkte setzen wir einfach die innere Funktion ein. Danach kommt die innere Funktion zum Ableiten dran (siehe hierzu oben Aufgabe a)). Also W. Seyboldt Stand: Seite 2

3 gilt f (x) = 7 e (2x 3 +4x) 3x x 3 + 4x Produktregel Ist die letzte Operation beim Berechnen einer zusammengesetzter Funktion ein Produkt, so wenden wir die Produktregel an. Merke: Ist die Funktion ein Produkt zweier Funktionen, so ist die Ableitung die Summe zweier Produkte. Es gilt f (x) = (g(x) h(x)) = g (x) h(x) + g(x) h (x) Quotientenregel Ist die letzte Operation beim Berechnen einer zusammengesetzter Funktion eine Division, so benutzen wir die Quotientenregel. Merke: Ist die Funktion ein Quotient zweier Funktionen, so ist der Zähler der Ableitung eine Differenz zweier Produkte und der Nenner wird quadriert. Es gilt f (x) = ( ) g(x) = g (x) h(x) g(x) h (x) h(x) (h(x)) Tangente und Normale Die "Gleichung der Tangente" an die Funktion f im Punkt a ist t(x) = f (a) (x a) + f(a) Dies ist eine Kurzfassung für die Funktion t, die Gerade: t : R R x f (a) (x a) + f(a) = f (a) x + (f(a) f (a) a) = mx + c Die Tangente t und die Funktion f berühren sich im Punkt P (a f(a)), d.h. sie haben dort denselben Funktionswert (y-wert) und dieselbe Steigung m t = f (a). Begründung der Tangentengleichung: Die Steigung m t der Tangente ist dieselbe wie die der Funktion im Punkt a, also gilt m t = f (a). Damit liefert die Punktsteigungsformel durch die Punkte P (a f(a)) und Q (x t(x)) für die Tangente: f (a) = m t = y t(x) f(a) =. Löst man diese Gleichung nach t(x) auf, erhält man die x x a Tangentengleichung. W. Seyboldt Stand: Seite 3

4 Man kann dasselbe auch mit Hilfe der Punktprobe ableiten - Punktprobe und Punktsteigungsformel sind mathematisch äquivalent. Die Gleichung der Normale an f im Punkt a ist n(x) = 1 f (x a) + f(a) (a) Begründung: Die Normale ist senkrecht zur Tangente. Für die Steigungen zweier senkrechter Geraden gilt m 1 m 2 = 1. Die Ableitung der Funktion f in a ist gerade die Steigung der Tangente und damit ist 1 f die Steigung der Normale. (a) Aufgabe a) Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangente und der Normale an den Graphen von f(x) = 2,5x 2 + x im Punkt x = a = 3 Lösungsvorschlag: Für beide Geraden (Tangente und Normale) benötigen wir die Ableitung. Da die Funktion f die Hintereinanderausführung von einer Wurzelfunktion und einer Parabel ist, benötigen wir die Kettenregel. Es gilt f (x) = 1 2 2,5x (5x + 1) 2 + x Damit ist f (a) = f 1 (3) = 2 2, ( ) = 16 25,5 = 1,58 2 Ebenso berechnet sich f(a) = f(3) = 25,5 = 5,05 Damit ist die Gleichung der Tangente t(x) = 1,58 (x 3) + 5,05 = 1,58 x + 0,31 Die Gleichung der Normale ist n(x) = 1 (x 3) + 5,05 = 0,633 x + 6,95 1,58 Aufgabe b) Bestimmen Sie den Parameter k so, dass der Graph von f(x) = 1 2 x2 k x k2 an der Stelle a = 2 eine Tangente besitzt, welche die x-achse bei b = 3 schneidet. Lösungsvorschlag: Wir sollen in dieser Aufgabe den Parameter k bestimmen. Das übliche mathematische Vorgehen hierfür ist, dass wir annehmen, dass k so ist, dass die Tangente an f in a = 2 durch den Punkt P (b 0) = P (3 0) geht. Der Parameter ist jetzt eine ganz bestimmte Zahl wir können mit k also rechnen, wie wenn es eine Zahl "wäre" (es ist eine!). Um die Tangente zu bestimmen, benötigen wir die Ableitung von f. Es gilt f (x) = x k (Beachte, dass nach der Funktionsvariable x, nicht nach der Zahl k abgeleitet wird!) W. Seyboldt Stand: Seite 4

5 Damit ist f (a) = f (2) = 2 k und f(a) = f(2) = 2 2k k2 Also ist die Tangente (beachte k ist eine Zahl!) t(x) = (2 k) (x 2) + 2 2k k2 = (2 k) x 4 + 2k + 2 2k k2 = (2 k) x k2 Der Parameter (d.h. die Zahl) k wurde nun so gewählt, dass diese Tangente bei x = 3 die x-achse schneidet. Es gilt also wegen t(3) = 0 (2 k) k2 = 0 d.h. 1 2 k2 3k + 4 = 0 oder k 2 6k + 8 = 0 Die Mitternachtsformel liefert damit für k die beiden möglichen Werte k 1/2 = 6 ± = 6 ± 2 2 = 3 ± 1 Damit können wir feststellen, dass von allen möglichen k s nur die beiden Werte k = 4 und k = 2 möglich sind (notwendige Bedingung). Nur für diese beiden Werte kann die Tangente in a = 2 die x-achse in b = 3 schneiden. Alle anderen Werte von k scheiden aus. Nur diese beiden Werte müssen wir weiter untersuchen. (Hierfür benötigen wir das, was man eine hinreichende Bedingung nennt und was hier einfach die Probe ist.) Zu k = 4: Die Tangente ist t(x) = 2x + 6. Es gilt t(3) = 0. Also ist k = 4 eine Lösung unseres Problems. Zu k = 2: Die Tangente ist t(x) = 0, d.h. die Tangente ist die x-achse. Es gilt selbstverständlich t(3) = 0. Damit ist k = 2 eine weitere Lösung unseres Problems. Anmerkung: Wenn wir die Parabel für k = 2 untersuchen, stellen wir fest, dass diese Parabel die x-achse in x = 2 berührt, sie hat dort ihren Scheitel. 1.4 Was nutzt uns die Ableitung? Geraden g(x) = m x + c sind sehr einfache Funktionen. Man nennt sie oft lineare Funktionen und ihre Graphen Geraden. Man kann bei ihnen ohne viel Aufwand Funktionswerte oder Nullstellen berechnen und kann sie leicht invertieren, d.h. die Umkehrfunktion bestimmen, nämlich g 1 (x) = 1 m x c. Man kann sie auch schnell skizzieren: z.b. mit dem y-achsenabschnitt c und dem m Steigungsdreieck. W. Seyboldt Stand: Seite 5

6 Die meisten andere Funktionen sind sehr viel schwieriger auszuwerten. Nun ist die Tangente in a an eine Funktion f die lineare Funktion, die eine Funktion nahe a am besten annähert. Wenn man Eigenschaften von Funktionen nahe a untersuchen möchte, d.h. in einer kleinen (oder auch größeren Umgebung von a), so kann man zumindest näherungsweise f durch die Tangente in a ersetzen. Das erleichtert das Vorgehen oft sehr, auch wenn man dann nur Näherungswerte bekommt, was in der Praxis allerdings meist ausreicht. Merke: Die Ableitung ist die Steigung, die die Kurve lokal hat (nicht punktal; Die Tangente ist ein Objekt, das keinesfalls nur von einem Punkt einer Funktion abhängt, sondern von einer ganzen Umgebung der Funktion!). Die Steigung von Funktionen, die man ableiten kann, von den Funktionen also, die eine Tangente besitzen, ändert sich lokal nur wenig. Sie sehen vergrößert einfach wie eine Gerade aus. Die Tangente ist die Kurve, die nahe dem Punkt P (a/f(a)) die Kurve am besten linearisiert. Wenn man nahe genug an a dran ist, kann man zwischen Tangente und Funktion nicht unterscheiden. Dabei werden wir den Begriff nahe nicht umgangssprachlich verwenden und nicht weiter hinterfragen Nullstelle mit der Ableitung bestimmen Eine wichtige Anwendung der Tangente hat schon Isaac Newton benutzt, der die Ableitung eingeführt hat. Er hat Nullstellen von komplizierten Funktionen wie folgt bestimmt. Dies nennt man heute Newtonverfahren zum Bestimmen einer Nullstelle. 1. Finde einen Näherungswert x 0 einer Nullstelle von f, z.b. durch Raten oder Intervallschachtelung. 2. Bestimme in a = x 0 die Tangente: t(x) = f (a) (x a) + f(a). Nahe von a = x 0 verhält sich die Tangente fast wie die Funktion. 3. Bestimme die Nullstelle der Tangente in a an f. x 1 = a f(a) f. Diese Stelle ist oft eine bessere (a) Näherung der Nullstelle von f als der erste Schätzwert. Wiederhole jetzt das Verfahren der Schritte 2 und 3 mit a = x 1 usw.. Merke: Wenn ein Wert x gesucht ist, für den f(x) = c gilt, so untersucht man die Funktion g(x) = f(x) c auf eine Nullstelle. Die Nullstelle von g ist der x-wert, für den f(x)=c gilt. Also genügt es, Nullstellen berechnen zu können. Beispiel für das Newtonverfahren: Sei f(x) eine Funktion, die ein logistisches Wachstum beschreibt: 35 f(x) =. Wie muss man x wählen, dass f(x) = 10 ist? Wir bestimmen diesen exp( 0,3 x) x-wert mit Hilfe des Newtonverfahrens, indem wir die Funktion f an verschiedenen Stellen, den immer besseren Näherungswerten der Nullstelle durch ihre Tangente ersetzen. W. Seyboldt Stand: Seite 6

7 Die Ableitung von f(x) ist: f 35 (x) = (1 + 4 exp( 0,3 x)) 2 ( 0,3 4 exp( 0,3 x)) = 42 exp( 0,3 x) (1 + 4 exp( 0,3 x)) 2 Ein Näherungswert der Nullstelle von g(x) = f(x) 10 ist x 0 = 2 wie man z.b. dem Graphen oben entnimmt. Es ist g(2) = 0,9538. Der Wert der Ableitung g (x) = f (x) in a = x 0 ist g (2) = 2,268 Damit ist die Gleichung der Tangente t(x) = g (a) (x a) + g(a) = 2,258 (x 2) + 0,9538 = 2,258x 3,562. Die Nullstelle der Tangente ist damit x 1 = x = 3,562 2,258 = 1,578 Es gilt f(1,578) = 10,024. Dies ist ein besserer Näherungswert für ein x mit f(x) = 10 als f(2) = 10,953 Wenn wir das Verfahren wiederholen erhalten wir als weitere Näherungswerte x 2 x 3 = 1,56678 mit f(1,567) = 10, und f(1,56678) = 10, = 1,567 und Übrigens sieht man im folgenden Graphen sehr deutlich, dass die Tangente in a=2 die Funktion nahe 2 sehr gut annähert: W. Seyboldt Stand: Seite 7

8 1.4.2 Änderung des Funktionswertes nahe a mit der Ableitung bestimmen Die Änderung des Funktionswertes einer Funktion ist y = f(x + x) f(x) t(x + x) t(x) = f (a) (x + x a) + f(a) ( f (a) (x a) + f(a) ) = f (a) x (1) Eigentlich müsste man statt Änderung des Funktionswertes besser sagen: Man untersucht, wie stark sich der Funktionswert ändert, d.h. wie groß y = f(x Ende ) f(x Anfang ) ist, wenn sich x um x = x Ende x Anfang erhöht. Wenn die Änderung nicht zu groß ist, d.h. so klein ist, dass die Tangente im Bereich x bis x die Funktion hinreichend genau beschreibt, kann man die Änderung näherungsweise mit der Tangente berechnen. Man kann sich diese Näherungsformel auch so merken: y x lim f(x + h) f(x) h 0 = f (x) h Die relative Änderung nahe a ist übrigens y y = f (a) x f(a) Diese Änderung gibt man gerne in Prozenten an. Jede Bank gibt den relativen Gewinn, d.h. die Änderung des Kapital pro eingesetztem Kapital an, indem sie die Zinsen pro Jahr in Prozenten bekannt gibt. 35 Beispiel 1: Die relative Zunahme der Funktion f(x) = (siehe oben, letzter Abschnitt) an der Stelle x = a = 2 pro x-einheit ist also aufgrund der Tangente y exp( 0,3 x) y f (2) 1 = 2,258 = 20,6%. Die relative Zunahme berechnet sich mit den Funktionswerten zu f(2) 10,953 f(2 + 1) f(2) = 21,6% f(2) Beispiel 2: Bekommt man auf einer Bank 3% Zinsen pro Jahr, so wird der Geldbetrag auf der Bank jedes Jahr mit dem Faktor 1 + 3% = 1,03 multipliziert. Die relative (durchschnittliche) Zunahme pro Jahr ist 3%. Damit ist die Geldfunktion ( G(t) = K ) t ( mit k = ln ) = 0, , Die Ableitung der Geld-Funktion ist also: G (t) = K 0 e k t k = K 0 ln ln = K 0 e ( ) t (2) = K 0 e k t (3) ( ) ( ) t 0,02956 G(t) W. Seyboldt Stand: Seite 8

9 . Damit ist die relative Zunahme pro Jahr ( G G G (t) t G(t) ln = ) G(t) t G(t) ( = ln ) t = k t 0, % Änderungen der Werte, Tangenten bei Funktionen Absolute und relative Änderungen der Funktionswerte, der y-werte, in Abhängigkeit der Änderung bei den x-werten kann man direkt mit den Funktionen berechnen. Man kann allerdings auch ausnutzen, dass die Tangenten die Funktion nahe eines Punktes sehr gut approximieren. Dieses zweite Vorgehen ist zwar nicht vollständig exakt, aber bei komplexen Funktionen kann dies eine große Erleichterung sein, da man die Ableitung einer Funktion meist relativ einfach berechnen kann. Die Funktion in der folgenden Aufgabe ist nun einfach genug, um beide Varianten durchzuführen. (Dabei wird die Tangente immer an den Anfangspunkt des zu untersuchenden Bereichs gelegt. Normalerweise ist es aber sinnvoll, die Tangente an die Kurve im mittleren Teil des zu untersuchenden Bereiches zu bestimmen.) Aufgabe: (aus dem Oberstufenbuch S. 71 Nr. 13 siehe [?]) Nach dem 1. Oktober 2002 nahm die Anzahl der im Internetlexikon Wikipedia erschienen englischen Artikel näherungsweise gemäß der Funktion f(x) = e 0,002 x (x in Tagen) zu. a) Wie viele Artikel gab es am 1. Jan 2003 und am 1. Januar 2004? b) Wann gäbe es eine Million Artikel, wann eine Milliarde, wenn dieses Wachstum so anhält? c) In welcher Zeitspanne verdoppelt sich die Anzahl der erschienen Artikel? Zeigen Sie, dass diese Verdopplungszeit immer gleich ist. d) Um wie viel Prozent wächst die Anzahl der Artikel jährlich? Zeigen Sie, dass dieser Prozentsatz in jedem Jahr gleich ist. e) Wie viele Artikel erschienen annähernd am 1. Oktober 2003? Berechnen Sie diese Anzahl auch mithilfe der Ableitung und vergleichen sie. f) Wann nimmt die Anzahl der Artikel pro Tag um 400 zu? Lösung: Die zu untersuchende Funktion, die das Verhalten modelliert ist f : Zeit in Tagen seit englische Internetseiten bei Wiki (4) t f(t) = e 0,002 t Dies ist eine e-funktion, die ein Wachstumsverhalten beschreibt. Es gilt generell für eine Wachstumsfunktion: W. Seyboldt Stand: Seite 9

10 f(t + t) = e 0,002 (t+ t) = e 0,002 t e 0,002 t = f(t) e 0,002 t. Das heißt, wenn die Zeit um t fortschreitet, so wird der Bestand an Seiten mit der Zahl e 0,002 t multipliziert. Bei allen Wachstumsfunktionen gilt: Wenn man zur Abszisse (dem t-wert) eine Zahl addiert, so muss die Ordinate mit einer Zahl multipliziert werden. Wenn derselbe Wert addiert wird, wird der Funktionswert mit derselben Zahl multipliziert. zu a) Am sind 92 Tage seit dem vergangen. Also ist die Anzahl der Seiten f(92) = Ebenso: Die Anzahl der Seiten am ist f(457) = zu b) Sei t so, dass f(t) = 10 6, dann folgt e 0,002 t = 10 6 e 0,002 t = = 12,5 t = ln(12,5) 0,002 = 1263 Dies 1260 Tage nach dem der Fall, also Mitte März 06. Ebenso berechnet sich das t mit f(t) = 10 9, zu t = ln(12,5) = Damit hätte Ende März ,002 Wikipedia eine Milliarde Seite wobei allerdings zu erwarten ist, dass diese Funktion die Realität nicht so lange modelliert. zu c) Mit T bezeichnen wir die Verdopplungszeit. Sei t eine beliebige Startzeit. Dann soll sich zur Zeit t + T die Anzahl der Internetseiten verdoppelt haben. Es gilt also 2 f(t) = f(t + T ) e 0,002 t = e 0,002 (t+t ) 2 e 0,002 t = e 0,002 t e 0,002 T 2 = e 0,002 T 0,002 T = ln(2) T = 500 ln(2) = 347 Das bedeutet, dass sich 347 Tage nach einem beliebigen Tag die Anzahl der Seiten verdoppelt hat. zu d) Erste Variante direkt mit der Funktion: Die Änderungsrate ist f(t + 365) ) = 1 + p% f(t) e 0,002 (t+365) = (1 + p%) e 0,002 t e 0, = 1 + p% p% = e 0, = 1,075 = 107,5% Zweite Variante näherungsweise mit der zentralen Eigenschaft der Wachstumsfunktion: Wenn die Zeit um t = 365 fortschreitet, so wird die Funktion mit dem Faktor e 0,002 t = e 0, = 2,075 multipliziert (siehe oben). Da dieser Faktor 1 + p% ist, gilt p% = 107,5%. (Siehe hierzu die Bemerkung vor a).) W. Seyboldt Stand: Seite 10

11 zu e) Am ist t = 365. Erste Variante direkt mit der Funktion: Die Änderung im Lauf des 365. Tag ist f( ) f(365) = (e 0, e 0, ) = 332,34. Zweite Variante näherungsweise mit der Ableitung: Die Steigung der Tangente (siehe Gl. (1) auf Seite 8) liefert y = f (365) 1 = 332,01, da die Ableitung von f (t) = e 0,002 t 0,002 = 160 e 0,002 t ist. zu f) Erste Variante direkt mit der Funktion: Sei t die Zeit, an der f(t) pro Tag um 400 zunimmt, dann gilt: f(t + 1) f(t) = e 0,002 (t+1) ( e 0,002 t = = 400 ) e 0,002 t e 0, = = 400 e 0,002 t = (e 0, ) = 2,4975 t = ln(2,4975) 500 = 457,6 Also nimmt am 458 Tag die Funktion um etwas über 400 Seiten zu. Zweite Variante näherungsweise mit der Ableitung: Wir können f(t+1) f(t) näherungsweise durch f (t) 1 ersetzen (siehe Gl. (1) auf Seite 8). Damit erhalten wir die Gleichung f (t) = = e 0,002 t = 400 ( ) 400 0,002 t = ln 160 t = ln(0,9163) 500 = 458,14 Auch hierdurch erhalten wir, dass die Funktion am 458. Tag um rund 400 Seiten zunimmt. Allerdings ist die erste Variante genauer, vor allem dann, wenn die Dauer, in der die Zunahme bestimmt wird, größer ist. W. Seyboldt Stand: Seite 11

12 1.5 Extremwertaufgaben Aufgabe 1 Die Fluggesellschaft Travel Lake fliegt 15 mal pro Tag von Friedrichshafen nach Berlin mit derzeit rund 1050 Passagieren pro Tag. Dabei betragen die täglichen Einnahmen e. Aufgrund der starken Konkurrenz wird überlegt, die Flugpreise zu senken. Marktuntersuchungen ergaben, dass bei jeder Senkung des Flugpreises um 25 e zusätzlich 20 Passagiere pro Flug zusätzlich mit fliegen. Überlegen Sie, ob es sich lohnt, die Flugpreise zu senken, d.h. untersuchen Sie, welchen Preis Tavel Lake für einen Flug verlangen sollte, wenn der Umsatz maximal sein soll. Lösungsvorschlag für Aufgabe 1: 1. Die zu minimierende Funktion ist: g : Preissenkung in 25 e-einheiten Tageseinnahmen in e (5) x (Fluggäste pro Tag) (Preis) 2. Die Anzahl der Passagiere pro Flug ist durchschnittlich = 70 Die Einnahmen pro Fluggast sind e 1050 = 200 e 3. Wird der Flugpreis um x mal 25 e gesenkt, so ist der neue Preis für ein Ticket = alter Preis x 25 e = 200 e x 25 e 4. In diesem Fall ist die Anzahl der Fluggäste pro Flugzeug = x, also ist die Anzahl der Fluggäste pro Tag = 15 ( x) 5. Die zu minimierende Funktion ist somit: g : Preissenkung in 25 e-einheiten Tageseinnahmen in e (6) x 15 ( x) (200 25x x) = 15 ( x x 500x 2) ( ) = ,5x 2 + 2,25x Wenn wir den Funktionsanteil in der Klammer mit dem GTR zeichnen, erhalten wir Der GTR liefert als Maximum x = 2,25 W. Seyboldt Stand: Seite 12

13 Selbstverständlich können wir die Funktion h(x) = 0,5x 2 + 2,25x + 14 auch ableiten. Wir erhalten dann h (x) = x oder x = 2,25. Da die zweite Ableitung h (x) = 1 stets negativ ist, ist dies ein Maximum. 7. Damit nehmen wir die Einnahmen auf einen maximalen Betrag von e (g(2,25) = ) zu, wenn wir eine Preisreduktion von 2,25 EUR25 =56,25 e auf 143,75 e vornehmen Aufgabe 2 Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000 l gewählt werden, damit der Blechverbrauch minimal ist? Lösungsvorschlag für Aufgabe 2: 1. Da der Blechverbrauch minimal sein soll, müssen wir uns überlegen, wie viel Blech wir benötigen, wenn wir eine Dose ohne Deckel herstellen. Der Materialverbrauch entspricht der Fläche der Dose. Für den Boden der Dose benötigen wir A Boden = πr 2, für den Mantel M = 2πr h an Material. Die zu minimierende Funktion ist somit m 1 : (Radius, Höhe) jeweils in m Fläche in m 2 (7) (r, h) A Boden + M = πr 2 + 2πr h 2. Die Funktion hängt von zwei Variablen ab. Wir werden eine Variable durch die andere ausdrücken. Wir benötigen dazu eine Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen r und h herstellt und die wir nach einer der beiden auflösen können. Die Nebenbedingung liefert uns genau dies. Das Volumen V soll exakt 1000 dm 3 = 1 m 3 betragen. Es gilt also πr 2 h = 1. Diese Gleichung können wir nach h auflösen: h = 1 πr 2 3. Setzen wir dies in die Funktionszuordnung ein, erhalten wir die Funktion m. (Sie ist nicht identisch mit der Funktion m 1 oben, da wir ja einen anderen Definitionsbereich haben; sie ist die Hintereinanderausführung einer Funktion die r das Paar (r,h) zuordnet und der Funktion m 1 oben) m : Radius in m Fläche in m 2 (8) r A Boden + M = πr πr πr 2 = πr r (9) 4. Wenn wir ein Extremum haben, muss die Ableitung Null sein (notwendige Bedingung). Wir differenzieren also die Funktion m und bestimmen die Nullstellen von m. Nur diese Nullstellen können ein Minimum sein. m (r) = 2πr 2 r 2 5. Sei nun r so, dass m (r) = 0 ist, so gilt wegen obiger Gleichung 2πr 3 = 2 oder r = 1 3 π Nur dieses r kann ein Minimum sein, alle anderen scheiden aus. W. Seyboldt Stand: Seite 13

14 6. Da die zweite Ableitung von m (r) = 2π + 4 r 3 ist, gilt m ( 1 3 π ) = 2π + 4π = 6π > 0. Also ist r = 1 3 π die Stelle, an der der Funktionswert minimal ist. 7. Wenn r = 3 1 ist, so ist h = 1 π πr 2 = 1 ( 1 π ( ) 1 Der Materialverbrauch ist also m 3 = π π ( 3 π) 2 ) 2 = π 3 π = 1 3 π ( 1 3 π ) π = ( 3 π) π = 3 3 π Aufgabe 3 Der Querschnitt eines Eisenbahntunnels hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die Maße gewählt werden, damit bei einer vorgegebenen Querschnittfläche von 45 m 2 der Umfang am kleinsten wird? (Der Umfang bestimmt den Verbrauch an Beton, an Farbe usw..) Lösungsvorschlag für Aufgabe 3: 1. Der Umfang der Fläche soll minimal werden. Der aufgesetzte Halbkreis soll den Radius r haben, die Decke des Rechtecks hat dann die Länge a = 2r. Die Höhe des Rechtecks sei h. Damit ist der Umfang U = 2h + 2r + πr Die zu minimierende Funktion ist damit : u 1 : (Radius, Höhe) jeweils in m Fläche in m 2 (10) (r, h) U = 2h + (2 + π) r 2. Die Funktion hängt von zwei Variablen ab. Wir werden eine Variable durch die andere ausdrücken. Wir benötigen dazu eine Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen r und h herstellt und die wir nach einer der beiden auflösen können. Die Nebenbedingung sagt, dass die Fläche A = 45 m 2 betragen soll. Es gilt also A Halbkreis + A Rechteck = 1 2 πr2 + 2x h = 45. Diese Gleichung können wir nach h auflösen: 4x h = 90 πr 2 oder h = 90 πr2 4r = 45 2r π 4 r 3. Setzen wir dies in die Funktionszuordnung ein, erhalten wir die Funktion u. u : Radius in m Fläche in m 2 (11) ( 45 r 2 2r π ) 4 r + (2 + π) r = 45 1 ( r ) 2 π r (12) 4. Die Ableitung der Funktion u ist u (r) = 45 r π. Wenn r eine Nullstelle der Ableitung 2 W. Seyboldt Stand: Seite 14

15 ist, folgt daraus 45 r 2 = π = π + 4 oder nach dem Bilden des Kehrwerts r = 2 π + 4 damit 45 sind für r nur zwei Werte möglich, nämlich r 1/2 = ± π + 4 ±3,55 5. Die negative Lösung scheidet aus, da eine Strecke immer positiv ist. Also müssen wir nur 45 überprüfen, ob r 1 = 3,55 eine Lösung ist, d.h. ob die zweite Ableitung an dieser π + 4 Stelle größer Null ist. Die zweite Ableitung ist: u (r) = 90. Sie ist sicher positiv, da ja r positiv ist. r3 (Bem.: Wir könnten auch überprüfen, ob u (r) bei r 1 einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus hat. Die Variable r = r 1 ist ja so, dass der erste Summand ( 45 r 2 die übrigen zwei ( π gerade zu Null ergänzt. Wenn wir nun r ein wenig kleiner machen, wird der Betrag des ersten Summanden größer, die Ableitung also negativ, machen wir r größer, wird der Betrag des erste Summanden kleiner, die Gesamtsumme also positiv. Das ist aber genau das, was wir benötigen.) W. Seyboldt Stand: Seite 15