Prozeßidentifikation und Regleroptimierung auf der Basis minimaler Prozeßinformation aus der Übergangsfunktion des offenen und geschlossenen

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1 Prozeßidentifikation nd eleroptimiern af der Bai minimaler Prozeßinformation a der Überanfnktion de offenen nd echloenen eelkreie H.M. chaedel, FH öln Abchlbericht zm Forchnemeter 999 Einleitn Die Literatr zr Prozeßidentifikation nd Parameterchätzn it chier nüberchabar in ihrer Vielfalt. Obwohl inzwichen CAE-Proramme wie MALAB entprechende Werkzee zr Verfün tellen, haben die überwieend a dem Hochchlbereich tammenden Verfahren in der Indtrie kam Verbreitn efnden. ie werden von hochqalifizierten Inenieren der eelntechnik eineetzt, die af den Hochchlen nd Univeritäten mit dieen Verfahren nd Werkzeen bereit earbeitet haben. Da notwendie Hinterrndwien fehlt dem Drchchnittinenier, der ich nicht pezialiiert hat. Für die Praxi it e daher wichti, daß Verfahren zr Verfün etellt werden, die einfach nd tranparent ind nd af der rndlae der mathematichen enntnie vermittelt werden können, die zm rndwien eine Inenier ehören. Die Arbeiten in dieem eilprojekt bechränken ich daher af einfache Verfahren, die in der Praxi anwendbar ind nd mit einem Minimm an Information akommen. Im einfachten Fall enüt die Afzeichnn der prn- oder Implantwort der trecke über einen chreiber, wobei die Awertn nd Ermittln der ennwerte mit Lineal nd Bleitift über die Zhilfenahme eine achenrechner erfolt. Eine Prozeßidentifikation ollte mit mölicht einfachen etinalen drchführbar ein. Da Einnd Achalten eine Ventil oder eine anderen telllied it meit ohne roßen Afwand z Verchzwecken mölich. Aber chon da Aftrennen eine eelkreie kann z Vorbehalten führen, wenn beipielweie icherheitapekte in Vorderrnd tehen oder ein Prodktionafall nicht hinenommen werden kann. Eine Ermittln de Freqenzan it häfi nicht mölich, da die z zeitafwendi nd kotpieli wäre. Ein typiche Beipiel hierfür ind Prozee der chemichen Indtrie mit Zeitkontanten, die in der rößenordnn von tnden lieen können. üntier ieht e bei elektromechanichen trecken a (Mechatronik), die einer Freqenzanmen vielfach ohne rößere Probleme zänlich ind. Bei der Prozeßidentifikation nd Parameterchätzn ollten wir n darüber klar ein, daß wir mit einem Modell der Wirklichkeit arbeiten. Da Modell mß nr o ena ein, wie e zr Lön der Afabe nöti it. E it nicht ehr innvoll, ein hochenae Modell afwendi z ermitteln nd anchließend tark z vereinfachen, damit e zm elerentwrf verwendet werden kann. In der Veranenheit hat e zahlreiche Verche eeben, einen direkten elerentwrf anhand der ennwerte Verzzeit, Aleichzeit nd Proportionalitätwert vorznehmen, die über die Wendetanente an die Überanfnktion ewonnen werden (iehe Abb. ). Die erte Arbeit zm direkten elerentwrf über die Wendetanente tammt von Zieler nd Nichol [] a dem Jahr 94. Danach hat e weitere Verbeernverche von Chien, Hrone nd ewick [] in 95 nd von Cohen nd Coon [] in 95 eeben. Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999

2 Die Eintellreeln von Zieler nd Nichol ind von betechender Einfachheit ebeno wie die weiterentwickelten eeln. Obwohl die Erebnie eine elerentwrf nach dieen eeln meit recht nbefriediend ind, beweit die roße Verbreitn bei der Anwendn, daß ein Bedarf an derartien Methoden vorhanden it, die nr einer erinen Prozeßinformation bedürfen. Der nbetrittene Vorteil it af jeden Fall, daß ach Peronal ohne pezielle enntnie der eelntechnik bzw. eelntheorie diee eeln anwenden kann. Abb. : Überanfnktion einer P 4 -trecke nd P - t -Nähern a der Wendetanente Die letzten Beiträe tammen von Åtrøm nd Hälnd [5] nd chaedel [8,0]. Die Arbeiten von Åtrøm nd Hälnd beziehen ich allerdin af einen PID-eler mit Vorteern, o daß ein direkter Verleich mit den anderen Atoren chwieri it. Zdem ind die verwendeten leichnen recht nhandlich. Eine verleichende Betrachtn it in [8] z finden. hn [4] hat die -mmenreel vorechlaen, die die elerparameter af die mmenzeitkontante bezieht. Der Anatz a [8] nd [0] wrde im Lafe diee Projekt weiter verfolt nd weentlich weiterentwickelt. Polyonnähern über die Wendetanente an die Überanfnktion Da Problem de direkten elerentwrf ollte nter dem Apekt der Prozeßidentifikation betrachtet werden. Ein elerentwrf af der rndlae der über die Wendetanente ermittelten ennwerte it nr mölich, wenn eine Prozeßidentifikation bzw. Parameterchätzn mölich it. Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999

3 Diee Prozeßidentifikation mß nicht extrem ena ein, da PI- nd PID-eler recht robt een Abweichnen von den exakten Prozeßparametern ind. Die erte Frae, die wir n tellen müen, latet daher: It eine Parameterchätzn af der Bai der Wendetanente an die Überanfnktion für eine Verzöerntrecke mit Aleich mölich? Wir betrachten eine Verzöerntrecke höherer Ordnn mit der Übertranfnktion ( + τ )( + τ ) ( + τ ) die drch die Nähern für tiefe Freqenzen n, () ( ) () allemein bechrieben werde. Für den Entwrf eine PI-eler nach dem riterim der etften Dämpfn [6-] enüt die enntni der Parameter, nd. Zm Entwrf de PID-eler müen die Parameter, nd bekannt ein. PI-eler (charfer Entwrf) PID-eler (Breitband-Entwrf) 0,75 N () N 0,75 + τ N N (4) N N V V t a V mit a 0,050, Wie wir ehen, it alo nicht die enae enntni de treckenmodell erforderlich, ondern nr eine Wendetanenten-Nähern mit den charakteritichen Parametern,, nd. Der Übertranbeiwert kann leicht a dem einechwnenen Ztand entnommen werden. Für die Ermittln von nd betrachten wir den Antie der Übertranfnktion. Mit >> erhalten wir eine robe Nähern der Übertranfnktion + I + (5) wa bedetet, daß die Überanfnktion im Bereich ihre Antie drch eine interale Charakteritik mit Verzöern. Ordnn bechrieben werden kann. Hierbei it I, nd. (6) Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999

4 Die it natürlich nr eine robe Abchätzn, die aber eine Proportionalität zwichen den Zeitkontanten nd de Prozee nd nd a der Wendetanente nd (7) erwarten läßt. Abb. bi Abb. 4 zeien die normierten charakteritichen Zeitkontanten /, / nd / in Abhänikeit vom Verhältni µ / für typiche trecken, deren Übertranfnktion in abelle I eeben it. Der otzeitterm wird hierbei in eine aylor-eihe entwickelt Überäne von P z P n-trecken P - t-trecken P - t-trecken P n-trecken mit etaffelten Zeitkontanten P n-trecken mit leichen Zeitkontanten / Abb. : Normierte treckenparameter /.4. P n-trecken mit etaffelten Zeitkontanten P - t-trecken P - t-trecken Überäne von P z P n-trecken P n-trecken mit leichen Zeitkontanten / Abb. : Normierte treckenparameter / Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 4

5 Überäne von P z P n-trecken P - t-trecken P - t-trecken P n-trecken mit etaffelten Zeitkontanten P n-trecken mit leichen Zeitkontanten / Abb. 4: Normierte treckenparameter / + t t e e τ 5 τ ( + ) i n i τ + i 4 ( + τ )( + ατ ) + ( τ ) n 6 n ( + τ )( + ατ ) abelle I: Übertranfnktionen für typiche trecken Al Erebni finden wir rvencharen für alle drei charakteritichen Zeitkontanten, nd. Im Fall der mmenzeitkontante erkennt man, daß da Feld drch die obere renze der P - t -trecke ( ) nd die ntere renze der trecken n-ter Ordnn ( 4 ) berenzt it. Die linke renze für kleine µ / bildet der Überan von der P - zr P -trecke mit variierendem Verhältni der beiden Zeitkontanten ( ). Um einen betimmten Wert / z betimmen, benötit man neben dem Wert µ eine zätzliche Information. Für die praktiche Anwendn mß diee Information af einfache Weie a der Überanfnktion entnommen werden können. E liet nahe, hierz den Wert der Überanfnktion zm Zeitpnkt t x + z nehmen. Dieer Afbawert h x h( + ) kann mit ter enaikeit ermittelt werden, ach wenn da inal etört it. Offenichtlich kann bei voreebenen nd die Überanfnktion verchieden verlafen. Der Polyonz a der Wendetanente nd die P - t -Überanfnktion bilden die renzen de Felde, innerhalb deen die verchiedenen Fnktionverläfe lieen können. Je höher die Ordnn einer trecke mit leicher Zeitkontante it, m o näher liet die Überanfnktion dem Polyonz. Je tärker eine Zeitkontante dominiert, m o beer läßt ich die Überanfnktion drch eine P - t -trecke annähern. Der Wert von h x liet zwichen 0,6 nd. Wir betrachten al erte die Nähern über den Polyonz a der Wendetanente. Der Verlaf läßt ich a der Überlaern von zwei Interaltermen mit nterchiedlichen otzeiten nd + dartellen. 5 Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999

6 I e I ( + ) e e e Der Interierbeiwert folt a Abb. nd Abb. 5 z (8) I. (9) Die Implantwort it ein echteckimpl der Breite, der m verchoben it. (t) t Abb. 5: Überanfnktion nd Polyonnähern (link), Implantwort der Polyonnähern (recht) Häfi wird die trecke über ( ) e (0) + approximiert. Ein Beipiel für eine P 4 -trecke in Abb. zeit, daß die rprünliche Überanfnktion doch ehr von dieer implen Nähern abweicht. Die Mene aller mölichen Fnktionverläfe liet in dem ebiet zwichen Polyonz nd P - t -Nähern. abelle II ibt einen Überblick z beiden Nähernen. Die otzeitterme werden hierz über eine aylor-eihe enähert. Polyon-Nähern P - t -Nähern abelle II: Parameterchätzn über Polyon- nd P n - t -Nähern Die Fnktionen für die Polyon-Nähern nd die P -Nähern tellen ich al renzfälle für alle mölichen Aleichtrecken mit otzeit dar. Detlich it der Unterchied in der Verchiebnkontante z erkennen. Für den Fall der normierten mmenzeitkontante / ändert ich der Wert von ½ bei der Polyon-Nähern af bei der P -Nähern. Die tein it jeweil Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 6

7 leich. Ein Blick af Abb. zeit, daß die Polyon-Nähern etwa nterhalb der Fnktion für P n -trecken mit leichen Zeitkontanten liet. chätzn der treckenparameter a der Approximation der prnantwort für eine P n - t -trecke über einen modifizierten Polyonanatz. tandardapproximation Um den Überan zwichen dieen beiden Extremfällen der Polyonnähern nd der P - t -Nähern z modellieren, modifizieren wir den Polyonanatz z I I e I t e ( + t ) τ e + τ e () indem wir in dem zweiten erm eine Verzöern einführen. t nd τ werden o dimenioniert, daß die Überanfnktion der Approximation zm Zeitpnkt t x + ena drch den Afbawert h x eht. Abb. 6: Approximation drch Überlaern zweier Interallieder mit otzeit A,, h x nd, die der Überanfnktion entnommen werden, laen ich omit die Parameter der Approximation a dem Zeitbereich ermitteln Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 7

8 I h x τ e τ + τ. () Die Übertranfnktion der tandardapproximation kann danach in der Form I e ( τ ) e () + τ echrieben werden. Drch eine eeinete Entwickln in eine aylor-eihe erhält man für die einzelnen erme Nähernen dritter Ordnn. A den Beziehnen I nd ( τ ) e + τ + A + B + C (4) e + + D + E mit D nd E (5) 6 folt für die Übertranfnktion eine Nähern.Ordnn + ˆ ˆ ˆ + + (6) mit der chätzn der charakteritichen Zeitkontanten ˆ + A ˆ A + B + D (7) ˆ AD + B + C + E wobei h x τ H e A ( + H ) 4 B ( 4H + H ) (8) 4 C H ( 6H + 8H H ) 4 D E 6 Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 8

9 Die Fnktionen A(h x ), B(h x ) nd C(h x ) ind in den rafiken der Abb. 7 daretellt A(hx) hx B(hx) hx Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 9

10 x C(hx) hx Abb. 7: Approximationkoeffizient A, B nd C. Verfeinerte Approximation Bei der tandard-approximation tritt bei t ein nick in der Überanfnktion af. Nach der Beziehn a dem renzatz der Laplace-ranformation bedetet diee Unenaikeit im Zeitbereich eine fehlerhafte Approximation der Übertranfnktion für hohe Freqenzen. E it daher mit einer nenaen chätzn von nd z rechnen. Eine Betrachtn im Zeitbereich let nahe, bei der Approximation eine ewie otzeit a zrnde z leen, während der die Überanfnktion nicht af da Einaninal reaiert. Abb. 8 zeit al Beipiel die Überanfnktion einer P 4 -trecke. Bei der ewählten Aflön beträt a 0,45. Der Wert von a it natürlich nr nefähr abzleen nd hänt bei einer meßtechnichen Erfan von der ewählten oleranzrenze ab, die voreeben wird. Bewährt hat ich ein Wert ε 0 -. Bei achen mß die oleranzrenze rößer ewählt werden. Unter Umtänden mß af eine Ermittln von a verzichtet werden nd die tandard-approximation zr Parameterchätzn enüen. Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 0

11 Abb. 8: Überanfnktion einer P 4 -trecke (, τ...τ 4 ) e Der otzeitterm der tandardapproximation wird für die verfeinerte Approximation drch die eihenchaltn eine echteckfilter nd eine otzeitterm a eretzt e e a e a a + a + a a a 0 a + + (9) Dabei wird efordert, daß die charakteritichen Zeitkontanten.Ordnn für den otzeitterm der tandard-approximation nd den verfeinerten Approximationterm leich ind a + a e. (0) a folt dann z a ( a). () Der otzeitterm der tandardapproximation wird daher drch den nachfolenden erm in der verfeinerten Approximation eretzt. e e a e ( a ) ( a) + + D + E () Die verfeinerte Approximation wirkt ich nr af die Approximationkoeffizienten D nd E a (iehe abelle III), o daß nr nd eine Verbeern erfahren, nicht aber. tandard-approximation Verfeinerte Approximation Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999

12 [ a ] D D ( + a) 6 E E a( a) abelle III Die Übertranfnktion der verfeinerten Nähern latet omit 6 6 ( ) I ( a ) e e ( τ ) e + τ () mit I ( a) (4). Fehlerabchätzn nd imlationerebnie Abb. 9 bi Abb. zeien die relativen Fehler der tandard-approximation nd der verfeinerten Approximation für die Freqenzparameter, nd. Die Parameter D(a) nd E(a) haben nr Einflß af die charakteritichen Zeitkontanten nd. Der Wert a wrde jeweil für h(a ) 0 - ermittelt..5 P n -trecken mit leichen Zeitkontanten.5 P n -trecken mit etaffelten Zeitkontanten Fehler in % Überäne von P z P n -trecken P - t -trecken P - t -trecken / Abb. 9: elativer Fehler de treckenparameter, tandardapproximation nd verfeinerte Approximation Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999

13 4 Überäne von P z P n -trecken P - t -trecken 0 Fehler in % - -4 P n -trecken mit etaffelten Zeitkontanten P - t -trecken -6-8 P n -trecken mit leichen Zeitkontanten / Abb. 0: elativer Fehler de treckenparameter für tandardapproximation 4 Überäne von P z P n -trecken P - t -trecken 0 Fehler in % - -4 P n -trecken mit etaffelten Zeitkontanten P - t -trecken -6-8 P n -trecken mit leichen Zeitkontanten / Abb. : elativer Fehler de treckenparameter für verfeinerte Approximation h(a ) 0 - Drch die verfeinerte Approximation wird der maximale relative Fehler de treckenparameter ab µ 0, detlich von etwa 4% af etwa % verkleinert. Der rößte Fehler tritt bei µ 0, (P -trecke mit leichen Zeitkontanten) af. Hier läßt ich keine Verbeern erzielen, da a 0 it. Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999

14 80 70 Überäne von P z P n -trecken Fehler in % 40 0 P n -trecken mit etaffelten Zeitkontanten 0 0 P n -trecken mit leichen Zeitkontanten P - t -trecken 0 P - t -trecken / Abb. : elativer Fehler de treckenparameter für tandardapproximation Überäne von P z P n -trecken 40 Fehler in % 0 0 P n -trecken mit etaffelten Zeitkontanten 0 0 P n -trecken mit leichen Zeitkontanten P - t -trecken P - t -trecken / Abb. : elativer Fehler de treckenparameter für verfeinerte Approximation h(a ) 0 - Der maximale relative Fehler de treckenparameter wird ab µ 0,4 von mehr al 0% af wenier al 5% redziert. (P - trecke mit leichen Zeitkontanten). Unterhalb µ 0, ind die relativen Fehler der chätzn von ehr roß. Für den elerentwrf hat die kam Bedetn. wird nr beim PID-eler zr Berechnn von v benötit. In dieem Bereich it ein PID-eler aber kam erforderlich. Zwei Beipiele ollen die üte der Parameterchätzn demontrieren. Beipiel : P 4 -trecke:, τ... τ 4 mit 4, 6, 4 Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 4

15 ,47 A 0,595 4,466 B 0,0649 h x 0,84 µ 0, C -,8 0 - a 0,45 tandard-approximation (a ) D, E 6 Verfeinerte Approximation D 0,4, E 0,088 enae Werte ˆ + A 4, 08 ˆ 4, 08 4 ˆ ˆ A + B + D 6, 0 AD + B + C + E 4, 74 ˆ 6 5, 94 ˆ 4, 4 09 Drch die verfeinerte Approximation wird die chätzn von erheblich verbeert. Der Fehler verrinert ich von ca. 0% af %. Beipiel : P -trecke:, τ τ mit,, 0, 0,8,,707, h x 0,80 A 0,646 B 0,05 C -, 0 - tandard-approximation D : ˆ + A, 0 ˆ A + B + D 0, 9 ˆ AD + B + C + E 0, 8 Erwartnemäß liet der Fehler der chätzn von bei ca. 9%. Für wird ein Wert nleich Nll echätzt, wa aber ledilich für den Entwrf eine PID-eler Bedetn hat. Der Einflß erweit ich al relativ nbedetend. Ein Verleich der beiden Approximationen für den Zeit- nd Freqenzbereich wird am Beipiel der P 4 -trecke vorenommen. Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 5

16 .0 h(t) c b a 0 0 a,c b 0.0 t/ Abb. 4: a) Überanfnktion der P 4 -trecke (, τ,..., τ 4 ) b) tandard-approximation, c) Verfeinerte Approximation Abb. 5: a) Amplitdenan der P 4 -trecke (, τ,..., τ 4 ) b) tandard-approximation, c) Verfeinerte Approximation Drch die verfeinerte Approximation wird der Antiebereich der Überanfnktion erheblich enaer nachebildet al mit der tandardapproximation (Abb. 4). Detlich it die Awirkn im Freqenzbereich in Abb. 5 z ehen. Die verfeinerte Approximation folt dem Amplitdenan bei hohen Freqenzen erheblich beer al die tandardapproximation. Damit it inbeondere eine enaere chätzn von mölich. Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 6

17 4 Vereinfachte Verfahren zr Prozeßidentifikation nd zm direkten elerentwrf 4. Vereinfachte leichnen zr Parameterchätzn an Aleichtrecken Für P n -trecken laen ich die charakteritichen Zeiten nd drch die mmenzeitkontante nd die Ordnn n adrücken. n n ( n )( n ) 6n 4 4 ( n )( n )( n ) 4 (5) 4n Die chätzn der mmenzeitkontante wird a l. (7) übernommen. ( µ + A) µ Die Ordnn n läßt ich über µ / a der Beziehn n 0µ+ (für n 8) abchätzen. Damit erhält man relativ einfache nd überichtliche Beziehnen zr Parameterchätzn einer P n - trecke. Ein Verleich mit den leichnen zr tandardapproximation zeit, daß die endenz timmt. Die Fehler dieer chätzn ind allerdin z roß. Drch eine Modifikation, in der der Einflßparameter A berückichtit wird, läßt ich eine weitehende Annähern an die tandardbzw. vereinfachte Approximation erzielen. ( A) µ + µ µ + 0,A µ 6 µ 0, ( µ + 0,A) (6) 4 4 µ 4 ( µ 0,)( µ 0,) ( µ + 0,A) 4 Al Beipiele dienen wieder die trecke 4. nd. Ordnn a Abchnitt.. Beipiel : Beipiel : P 4 -trecke:, τ... τ 4,47, 4,466, h x 0,84, µ 0,, A 0,6 4, 08 6, 05 4, 4 4 4, 5 P -trecke:, τ τ 0,8,,7, h x 0,8, µ 0,04, A 0,648, 05 0, Die beiden Beipiele zeien die üte der vereinfachten chätzleichnen af. Die Fehler lieen in der röße von einien Prozent. Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 7

18 4. leichnen zm direkten elerentwrf an Aleichtrecken Damit laen ich die leichnen zm direkten elerentwrf entwickeln, denen da riterim der etften Dämpfn zrnde liet (iehe l. nd 4). PI-eler an P n - t -trecken PID- -eler an P n - t -trecken 0,75 0,4A + µ (7) 0,56 µ + 0,4A (8) µ 0, + 0,47a ( µ + 0,) µ + 0,4A N 0,5 µ + 0,A µ + 0,4A N 0,6 µ + 0,A µ + 0, V 0,67 µ + 0,A t a V mit a 0,05 0, Für die mmenzeitkontante ilt (µ+a), wobei A h 0,5 +,7 x 4. imlationerebnie nd Verleich von Eintellreeln An einien typichen trecken oll die Wirkamkeit der neen Entwrfleichnen für PI- nd PID-eeln ezeit werden. Die Unterchnen zeien, daß die Entwrfleichnen owohl für reine P n -trecken al ach für P n -trecken mit otzeit mit leicher üte anwendbar ind. Affälli ind ach die ten Erebnie bei trecken mit Nlltellen der Übertranfnktion in der linken nd rechten Halbebene ( e () nd f ()). Drch die Polyonapproximation wird der Entwrf atomatich im richtien Freqenzbereich drcheführt. [9, 0] Nachfolend ind imlationerebnie für die trecken nach abelle IV bei PI-eeln afeführt. a + ( 5) b ( + 0)( + 8)( + ) 4,4 40,79 h x 0,80 0,67 A 0,648 µ 0,04 5, 7,45 h x 0,78 0,48 A 0,674 µ 0,4 Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 8

19 c + d ( 6) 5 e ( + 5) + 40 e +,6 0,74 h x 0,848 0,59 A 0,585 µ 0,4 5 9,04 8,47 h x 0,88 ( + 58)( 6) 7,5 f 5 ( + 5)( + 7, ) 0,7 A 0,609 µ,0,7,6 h x 0,697,7 A 0,84 µ 0,074 0,5 7 h x 0,767 9,4 A 0,70 µ 0,89 abelle IV: Unterchte Modelltrecken nd ennwerte der Überanfnktion Der Verleich wird nr für die Eintellreeln nach Chien, Hrone nd ewick (CH) [] nd hn [4] drcheführt, da die übrien Eintellreeln chlechtere eltate afweien. E zeit ich, daß die neen Eintellreeln, die af der Parameterchätzn über die Wendetanente nd dem riterim der etften Dämpfn berhen, in allen Fällen zm üntiten eelverlaf führen (Fall d in Abb. 6 bi Abb. ). Die Entwrfreeln nach Chien, Hrone nd ewick ind detlich nterleen. Die eeln von hn führen je nach treckenart für die normale oder die chnelle Eintelln teilweie z verleichbaren Erebnien. Für die leichnen nach Chien, Hrone nd ewick it typich, daß ie t af trecken mit kleinem µ reaieren. E kommt z einem chnellen Einchwinen de reie mit einem aepräten Über- nd Unterchwiner (trecken mit P - nd P -ähnlichem Verhalten). Bei trecken mit roßem µ > 0, (trecken höherer Ordnn nd otzeittrecken) kommt e z einem riechen der Überanfnktion, wobei teilweie ein lokale Maximm nterhalb de einechwnenen Ztande aftritt. Die Urache liet darin beründet, daß die Nachtellzeit N z roß ewählt wird. hn vercht da Problem dadrch in den riff z bekommen, daß er eine normale nd eine chnelle Eintelln anibt. Die chnelle Eintelln eribt ich für trecken mit kleinem µ, die normale Eintelln für µ 0,. Die beten Erebnie für die normale Eintelln werden bei trecken höherer Ordnn ( c nd d ) erzielt. Die chnelle Eintelln führt hier z lan anhaltenden chwinnen. Bei trecken mit P - nd P -ähnlichem Verhalten it die chnelle Eintelln brachbar, während die normale Eintelln einen ehr träen eelverlaf afweit. Bei trecken mit einer Zählernlltelle in der linken -Halbebene ( e ) führen beide Eintellnen z einem ehr träen Verlaf. Die neen Eintellleichnen können al Verallemeinern der bekannten Eintellreeln aneehen werden. ie laen ich problemlo owohl mit denen von Chien, Hrone nd ewick al ach mit der von hn verleichen, da ie ich nr af die charakteritichen Werte a der Anwendn der Wendetanente nd af die mmenzeitkontante beziehen laen. Die oll krz anhand de PI-eler erlätert werden (iehe abelle V nd Anhan). In Abhänikeit von µ wird N im Bereich von µ 0 bi zwichen nd 0,5 einetellt. Da heißt, für eine P -trecke wird N nd für eine reine otzeittrecke N 0,5 ewählt. Ein Verleich Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 9

20 mit hn zeit, daß für die normale Eintelln N 0,5 nd die chnelle Eintelln N 0,7 vorechlaen wird. CH hn (chnell) hn (normal) chaedel 0,5 µ 0,5 0,75 0, 4A + µ µ + 0,4A µ + 0,A N, 0,7 0,5 0,5 ( µ + A) ) )( abelle V: Eintellreeln für PI-eler A h 0,5 +,7 x Die neen eeln fordern, daß die Anpan der elervertärkn mit µ z erfolen hat. Die berückichtien die eeln von Chien, Hrone nd ewick. Da erklärt, warm e für kleine µ z relativ ten Erebnien im Verleich z den eeln von hn kommt. Für roße µ wird allerdin z klein (z.b. 0 für µ bei reinen otzeittrecken). Abb. 6: Führnprnantwort bei echloenem eelkrei mit trecke a () nd PI-eler, a) CH, b) hn (normal), c) hn (chnell), d) chaedel Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 0

21 Abb. 7: Führnprnantwort bei echloenem eelkrei mit trecke b () nd PI-eler, a) CH, b) hn (normal), c) hn (chnell), d) chaedel Abb. 8: Führnprnantwort bei echloenem eelkrei mit trecke c () nd PI-eler, a) CH, b) hn (normal), c) hn (chnell), d) chaedel Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999

22 Abb. 9: Führnprnantwort bei echloenem eelkrei mit trecke d () nd PI-eler, a) CH, b) hn (normal), c) hn (chnell), d) chaedel Abb. 0: Führnprnantwort bei echloenem eelkrei mit trecke e () nd PI-eler, a) CH, b) hn (normal), c) hn (chnell), d) chaedel Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999

23 Abb. : Führnprnantwort bei echloenem eelkrei mit trecke f () nd PI-eler, a) CH, b) hn (normal), c) hn (chnell), d) chaedel Abb. : Führnprnantwort bei echloenem eelkrei mit trecke c () nd PID-eler, a) CH, b) hn (normal), c) hn (chnell), d) chaedel Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999

24 Abb. : Führnprnantwort bei echloenem eelkrei mit trecke d () nd PID-eler, a) CH, b) hn (normal), c) -, d) chaedel Ein Verleich der Eintellreeln für PID-eler wird für eine P 5 -trecke mit leichen Zeitkontanten ( c ) nd eine P - t -trecke ( d ) in Abb. nd Abb. vorenommen. Die ind typiche Prozee, bei denen der Einatz eine PID-eler innvoll it. In allen elereintellnen it eine Verzöern τ 0, V voreehen. Die neen eeln (Fall d) liefern für beide Beipieltrecken die eindeti beten eltate. Für die P 5 -trecke it von den übrien eeln ledilich die normale Eintelln nach hn mit einem Überchwiner von etwa mehr al 0% akzeptabel. Die chnelle Eintelln führt z einem chwach edämpften eelvoran. Die eeln nach Chien, Hrone nd ewick (CH) bewirken einen z kräftien Unterchwiner. Al kritich erweit ich die P - t -trecke für die Eintellreeln nach hn. Die normale Eintelln führt z einem chwach edämpften Einchwinvoran nd die chnelle Eintelln z einem intabilen eelverhalten. Nach den Eintellreeln von Chien, Hrone nd ewick kommt e z einem aepräten riechvoran. Ineamt zeien die neen Eintellreeln über die eamte Bandbreite der nterchten trecken im Verleich z den biherien Eintellreeln leichmäßi te eelerebnie für PI- nd PID-eler. 4.4 Parameterchätzn an Interaltrecken a der Implantwort Für den praktichen ebrach it die prnantwort einer interalen trecke nicht zr Parameterchätzn eeinet, da kein Aleichztand erzielt wird nd die trecke in die phyikaliche Berenzn läft. Hierbei kann e z einer nzläien Entfernn a dem Arbeitpnkt nd nter Umtänden oar z einer Bechädin kommen. In Prodktionanlaen der Verfahrentechnik it mit einem Achß z rechnen, der ehr kotpieli ein kann. Die Anren drch einen echteckimpl it z empfehlen, da ich die interale trecke nr m einen ewien Wert von einem voreebenen Arbeitpnkt entfernt, der von Höhe nd Daer de Imple abhänt. Die interale trecke reaiert af einen echteckimpl ähnlich wie eine trecke mit Aleich af ein prnförmie Anreninal. Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 4

25 Die trecke werde drch einen Impl der Breite 0 nd der Höhe y 0 aneret. x y0 it die af die Höhe de echteckimple y 0 bezoene eelröße x im einechwnenen Ztand. Die Parameter der Interaltrecke mit der Übertranfnktion (9) I ( ) + laen ich a den Parametern der Implantwort, nd entprechend l.(6) ermitteln. I Mit ( ) y 0 0 µ + A : 0 (0) µ µ + 0,A () A h 0,5 +,7 x 4.5 leichnen zm direkten elerentwrf a der Implantwort an Interaltrecken A den Beziehnen zr Parameterchätzn an Interaltrecken laen ich mit Hilfe de riterim der etften Dämpfn leichnen zm direkten elerentwrf ableiten. 0,75 0 µ + 0,A 0 µ 4 ( + a) + 0, Aa PD- -eler an I n - t -trecke () µ + 0,4A 0 V 0,5 µ + 0,A t a V mit a 0,05,, 0, 0 0 N 4 PI-eler (normal) an I n - t -trecke () N 4 PI-eler (charf) an I n - t -trecke (4) 0 Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 5

26 µ + A Für die mmenzeitkontante der echteckimplantwort ilt ( ) 5 Prozeßidentifikation im echloenen eelkrei Da voretellte Wendetanentenverfahren läßt ich ach af eine Identifikation im echloenen rei anwenden. Hierz wird der eler af P- oder I-Verhalten (bei Aleichtrecken) für einen aperiodichen Fall einetellt. A den chätzparametern de echloenen reie laen ich für eine bekannte elereintelln leicht die treckenparameter ermitteln. Im eenatz z dem weitverbreiteten Verfahren nach Zieler-Nichol mß der eelkrei nicht an den tabilitätrand ebracht werden (chwinnfall). Die it ein weentlicher Vorteil für den praktichen Einatz. Zr Zeit wird daran earbeitet, leichnen für einen direkten elerentwrf z entwickeln, in denen nr die ennwerte, nd h x der Überanfnktion de echloenen eelkreie nd I bzw. de eler benötit werden. Die leichnen werden ähnlich einfach wie die für die prnantwort der trecke aehen. Af der Bai diee Verfahren oll die Fzzy-Adaption im echloenen eelkrei al zätzliche Information die ennrößen nd de Einchwinvoran awerten. Erte Verche zeien, daß damit in betimmten itationen eine erhebliche Verkürzn de Adaptionvoran erzielt werden kann. Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 6

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28 6. Anhan 6.. Übericht über biherie Eintellreeln für PI- nd PID-eler für Aleichtrecken Zieler-Nichol PI-eler PID-eler 0,9 µ, µ N, µ N µ V 0, 5 µ Chien, Hrone nd ewick (Führn, aper. kürzete Daer) PI-eler PID-eler 0,5 µ, N 0,6 µ N V 0, 5 µ hn (normale Eintelln) PI-eler PID-eler 0,5 0,5 N 0,66 N V 0,67 hn (chnelle Eintelln) PI-eler PID-eler 0,7 N 0,8 N V 0,94 Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 8

29 6... elerübertranfnktionen PI-eler + N PID- -eler + + N + τ V PD- -eler ( + ) + τ V Forchnchwerpnkt CAE nd Fzzy-echnoloie für die eelntechnik, 999 9