Vorbereitung zu der Klausur

Transkript

1 Mthemtik III HTW BI/M SS-013 Dipl.-Mth. Dm. Ovrutskiy Vorbereitung zu der Klusur Allgemeine Hinweise: Die Klusur findet m 5.9. um 9:00 Uhr im Rum 7105 sttt (mn soll ber den Rum noch ml überprüfen, Änderungen möglich, S. Aushng!) und duert 10 min. Die vorbereitende Frgestunde findet m 3.9. um 14:30 sttt, Rum wird zusätzlich online beknntgegeben! Bitte bringen Sie Ihren Studentenusweis zu der Klusur mit! Die Abgbe der Klusurrbeit ist nur mit Ausweis möglich! Sollten Sie den Studentenusweis nicht bringen können (liegt bei der HTW zur Austusch, ist verloren und wird gerde erneuert,... ), so bringen Sie bitte einen Lichtbildusweis mit (Personlusweis, Führerschein,...). Die Klusur wird uf Ihrem eigenen Ppier geschrieben. Bitte sorgen Sie dfür, dss Sie genug Blätter mit dbei hben. Die einzelne Blätter werden bei Abgbe der Klusur zusmmengeheftet. Trotzdem versehen Sie bitte jedes Bltt mit Ihrem Nmen und Mtrikelnummer (uch ds Aufgbenbltt, ds uch ls Deckbltt dient). Zur Klsur zugelssene Hilfsmittel sind: Eigene Mitschriften, evtl. um eine oder ndere Formel erweitert Ein nicht progrmmierbrer Tschenrechner ohne Computer Algebr System (sollte Ihr TR progrmmierbr sein oder ein CAS hben, sprechen Sie mich bitte n, bevor Sie einen nichtprogrmmierbren TR für die Klusur usleihen, mit dem Sie mngels Erfhrung nicht umgehen können! Je nch Modell (bzw. je nch Funktionlität) könnte Ihr TR evtl. doch zu der Klsur zugelssen werden!) Ein Hndy/Smrtphone/Tblet-PC wird ls Tschenrechenr nicht zugelssen! Schreibutensilien Bitte verwenden Sie keine rote Stifte! Schreiben Sie bitte nicht mit einem Bleistift! 1

2 Klusur-Hinweise: Begründen Sie lle Aussgen bzw. mchen Sie Lösungswege deutlich! Lösen Sie bitte jede Aufgbe uf einem seprten Bltt. Sollten Sie für die Lösung einer Aufgbe mehr ls ein Bltt bruchen, nummerieren Sie bitte diese Blätter und schreiben uf jedem Bltt die Nummer der entspr. Aufgbe. Versehen Sie bitte jedes Bltt mit Ihrem Nmen und Mtrikelnummer. Verwenden Sie bitte keine rote Stifte und Bleistifte, um Ihre Lösungen ufzuschreiben. Die Klusur wird mehr Aufgben beinhlten, ls Sie lösen müssen! Achten sie bitte uf die Punktezhlen hinter jeder Aufgbe! Sollten Sie mehr ls die benötigte Anzhl der Aufgben (wird uf dem Klusurdeckbltt beknntgegeben, ngenommen N) gelöst hben, wird die Note von den N Aufgben mit den meisten erreichten Punkten bestimmt! Klusur-Inhlt: Während der Vorlesung hben wir folgenden Klusurrelevnte Themen besprochen: Mtrizen und Vektoren; Opertionen mit Mtrizen und Vektoren, Determinnten, inverse Mtrix (Wiederholung) Lösung der lineren Gleichungen (Gleichungssysteme): exkte Methoden (Guß-Algorithmus, Crmer sche Regel, Lösungsbestimmung mit inverser Systemmtrix); pproximtive Methoden (Itertionsverfhren: Jcobi, Guß-Seidel) Lösung der nichtlineren Gleichungen: Bisektionsverfhren; Fixpunktitertion; Newton-Tngentenverfhren Interpoltion und Approximtion: Interpoltionsufgbe; ds linere Gleichungssystem von Vn Der Monde;

3 Interpoltionspolynome von Lgrnge; Interpoltion nch Newton (Dividierte Differenzen); Kombi-Aufgben (Tbelle wird erweitert, zwei ähnliche Tbellen, zu einer ist ds Interpoltionspolynom beknnt, etc.) Linere Regression: Methode der kleinsten Qudrten, Normlgleichung; Regressionsgerde; Regressionsprbel Numerische Qudrtur: Ober- und Untersummen, Mittelpunktregel; Trpezregel; Simpson-Regel und Newton 3/8-Regel; Fehlerbschätzungen; Zusmmengesetzte Regeln 3

4 Zusätzlich zu den Aufgben zu Vektoren, Mtrizen und lineren Gleichungssysteme, die wir schon während der letzen Stunde besprochen hben, sind Aufgben von folgenden Typen möglich (ber uch ndere, weitere hier nicht gennnte Aufgben zu oben gennnten Themen!): Achtung: nicht lle oben ufgelistete Themen sind hier vollständig bgedeckt! Berbeiten Sie die Übeungsblätter und rechnen Sie die Beispiele us der Vorlesung durch! Aufgbe 1 Approximieren Sie cos(x) uf [ π/, π/] n drei Stützstellen und schätzen Sie den Fehler b. Skizzieren Sie mittels Mtlb ds Interpoltionspolynom und die Cos- Funktion in ein Koordintensystem. Wir hben bewiesen, dss ds Interpoltionspolynom eindeutig bestimmt ist, d.h. unbhngig vom Verfhren. An jedem Messpunkt soll ds gesuchte Interpoltionspolynom den gemessenen Wert erreichen. Wir hben drei Stutzstellen, d.h. wir können nur ein Interpolytionspolynom der Ordnung erhlten. Seien die drei Stützstellen gleichmäßig verteilt, d.h. wir pproximieren cos x in π/, 0, π/. Cosinuns nimmt n den Stellen die Werte 0, 1 und 0 n. Vn der Mond sche Mtrix: Sei ds gesuchte Polynom p(x) = x + bx + c. Dnn gilt: ( π/) + b( π/) + c = 0 (0) + b(0) + c = 1 (π/) + b(π/) + c = 0 mit Unbeknnten, b, c. Ds System wird mit den Mitteln us Mthemtik 1 gelöst. Interpoltion nch Lgrnge x 0 = π/, x 1 = 0, x = π/ y 0 = 0, y 1 =, y = 0 L 0 (x) = L 1 (x) = L (x) = (x 0)(x π/) ( π/ 0)( π/ π/) = π x πx (x + π/)(x π/) (0 + π/)(0 π/) = 4 π x + 1 (x + π/)(x 0) (π/ + π/)(π/ 0) = π x + πx P (x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + y L (x) = ( 4 ) π x + 1 4

5 Interpoltion nch Newton Anlog zu Aufgbe 3. Aufgbe Bestimmen Sie ds Interpoltionspolynom durch die vier Punkte (0, 1), (1, ), (3, 3), (4, ) mit verschiedenen Methoden (Gleichungssystem mit Vn der Monde-Mtrix, Lgrnge, Newton). Anlog zu der Aufgbe 1. Aufgbe 3 Vervollständigen Sie ds folgende Differenzenschem für ein Newtonisches Interpoltionspolynom: x y * * 1 * * 4 Ergänzen Sie ds Schem und geben Sie ds Newtonsche Interpoltionspolynom n. x y A D 1 B C 4 Mn erhält die unbeknnten Konstnten us, z.b.: C B 1 0 ( ) 0 A = A = 1 ( 1) A Ds eindeutig bestimmte Interpoltionspolynom ist somit p(x) = + (x + 1) (x + 1)x + (x + 1)x(x 1) = x 3 x 5

6 Aufgbe 4 Zur Interpoltion einer Funktion f : [0, ] R werde eine äquidistnte Zerlegung des Intervlls verwendet, d.h. bei gegebenem 0 < N N wählt mn x k := (k)/n für k = 0,..., N. Zeigen Sie, dß in diesem Fll die in der Vorlesung eingeführte Funktion ω(x) := N k=0 (x x k) die folgende Abschätzung erfüllt: ( ) N+1 ω(x) (N + 1)! x [0, ]. N Sei I ds Intervll, I =. Seien x 0,..., x N mit x k = k/n die Zerlegungspunkte. x k = k N, k = 0,.., N ω(x) = Π N k=0 (x x k) (s.vorlesung) Dnn x I gilt: i 0 {0,..., N 1} mit x [x i0, x i0+1 ]. Dnn: ω(x) = Π N k=0 x x k = = Π i 0 k=0 x x k Π N k=i 0+1 x x k Π i 0 k=0 N (i 0 + 1) k Π N k=i 0+1 N i 0 k = ( ) N+1 = (i 0 + 1)!(N i 0 )! N Für lle i 0 0,..., N 1 gilt: ( N0 + 1 i ) 1 (N 0 + 1)! (i 0 + 1)!(N i 0 )! Behuptung. Überlegen Sie, wie ändert sich die Formel, wenn Intervll ndere Länge ht? Wie sieht die Verllgemeinerung us? Aufgbe 5 Die Funktion f : [ 1, 1] R f(x) = ex + e x 6

7 soll uf dem Intervll I = [ 1, 1] durch ein Polynom interpoliert werden. Dzu soll ds Intervll I durch ein äquidistntes Gitter unterteilt werden, d.h. die Stützstellen der Interplotion sind x k = 1 + k, k = 0,..., N. N Wie muß mn N wählen, so dß der Interpoltionsfehler uf jeden Fll kleiner ls ɛ = 10 4 wird? Benutzen Sie hierbei die us der Aufgbe 4 bekknte Abschätzung. f(x) = ex +e x ist zu pproximieren uf [ 1, 1]. Intervlllänge von [ 1, 1] ist. In der Vorlesung ist folgende Fehlerbschätzung eingefuhrt: Die n te Ableitung von f(x) ist f(x) p(x) = f (n+1) (ξ(x)) ω(x) (n + 1)! f (n) (x) = ex + ( 1) n e x n 0. n 0 f (n) e + 1 e uf [ 1, 1] f(x) p(x) e + 1 e ω(x) 1 (N + 1)! 1 ( e + 1 ) ( ) (N+1). e N Bestimme N so, dß die rechte Seite 10 4 ist (immer AUFrunden, keinerflls brunden!): N = 7. Aufgbe 6 Durch eine ungenue Übertrgung der Funktionswerte f k ht sich in der folgenden Tbelle zur Bestimmung eines qudrtischen Polynoms ein Fehler eingeschlichen. x k y k Es ist beknnt, dß genu ein Funktionswert f k flsch übermittelt wurde. Formulieren Sie zunächst eine llgemeine und eine speziell uf diesen 7

8 Fll usgerichtete Strtegie, wie mn den fehlerhften Wert f k uffinden knn. Benutzen Sie sie dnn, um den fehlerhften Wert heruszufinden und berichtigen Sie den entsprechenden Eintrg in der Tbelle. Plotten Sie in Mtlb die (richtige) Interpoltionsprbel und mrkieren Sie lle gegebene Punkte einschl. den flschen. Mrkieren Sie den berichtigten Punkt. Beschriften Sie Ihre Grfik. Originl-Strtegie: 1. jeweils eine Stützstelle weglssen. Neville-Algorithmus verwenden Vorteile: wenn φ 33 0 qudrtische Interpoltion unmöglich, neuer Versuch wenn φ 33 = 0 die weggelsene Stelle wr die flsche, d.h. die gesuchte mx. 5 Versuche immer nwendbr Nchteile: ufwendig (Neville!) Polynom-Aufstellung zur Korrektur ebenflls ufwendig Alterntive (in diesem Fll): x = 0 f(x) = 0 1. Wenn dieser eintrg stimmt, ht Polynom die einfche Form p(x) = 1 x + wähle 0 x i x j 0 ls Stutzwerte Bestimme p durch Lösen von ( ) ( ) ( ) x i x i fi = x j 1 f j x j Vergleiche p(x k ) n den beiden verbliebenen Stellen mit f k Wenn beide flsch neue Whl (x i, x j ) sonst: Stelle, n der p(x k ) f k ist die gesuchte.. x = 0 ist die gesuchte Stelle Vorteile: 8

9 Rechnungen einfcher ( ) Polynom direkt erhlten Korrektur einfch Nchteile: geht nur bei solchen Tbellen mit x i = 0, f i = 0 ( ) 4 mx. = 6 Versuche 3 Versuch: {, 1} ls Stützstellen: ( ) ( ) = 1 ( 10 3 ) y =, = 1 p(x) = x x p(1) = 1 flsch p() = 6 richtig D.h. flsche Übermittlung n der Stelle Richtige Tbelle: liefert ein Nä- Aufgbe 7 π x i 0 6 Polynominterpoltion der Dten tn(x i ) 0 herungspolynom p für die Tngensfunktion. π ) Mit welchem Fehler R(x) = tn(x) p(x) ist n der Stelle x = 0.4 höhstens zu rechnen? b) Bestimmen Sie ds Interpoltionspolynom p und berechnen Sie den wirklichen Fehler R(0.4) = tn(0.4) p(0.4) mit dem (Tschen)rechner. ) Nch der Formel für ds Interpoltionsrestglied ist R(x) M n+1 (n + 1)! (x x 0)... (x x n ) mit M n+1 = sup f n+1 (x). x [,b] Hier ist f n+1 (x) = f (x). Mn erhält: f (x) = 1 + tn x f (x) = tn x(1 + tn x) = tn 3 x + tn x f (x) = 6 tn x(1 + tn x) + (1 + tn x) = 6 tn 4 x + 8 tn x + 9

10 f (x) = 4 tn 3 x(1 + tn x) + 16 tn x(1 + tn x) 0 in [0, π/4]. Weil f monoton wächst, ist M n+1 = f (π/4) = 16. Somit ist R(x) = tn x p(x) 16 x(x π/6)(x π/4). 6 Nun ht mn für x = 0.4 R(0.4) 8 0.4(0.4 π/6)(0.4 π/4) b) Für ds Interpoltionspolynom erhält mn mit Newton x k y k 0 0 π/6 π/4 1 Dnn ist 3 π 3/3 4( 3) π π p(x) = 4 π ( 3)x + π (3 3 4)x. Für den whren Fehler R(0.4) erhält mn (Tschenrechner, CAS, etc.) R(0.4) = tn(0.4) P (0.4) = Ds bestätigt lso, dß die Restgliedbschätzung einigermßen grob ist. Aufgbe 8 Eine Lösung der Gleichung x = tn x im Intervll (0; π) knn ermittelt werden, wenn mn die Gleichung x = rctn x + π lost. Die Lösung ist im Intervll [4; 5] zu erwrten. Untersuchen Sie die Bnch-Itertion für diese Gleichung, d.h.: Zeigen Sie, dß φ(x) = π + rctn x ds Intervll [4; 5] in sich bbildet und dß diese Abbildung eine Kontrktion ist. Schätzen Sie dmit b, wieviele Folgenglieder zu berechnen sind, dmit x n x < Überprüfung der Vorusssetzungen des Fixpunktstzes uf [4, 5]: φ ist selbstbblidend, denn 10

11 φ ist monoton wchsend, d.h. φ(4) φ(x) φ(5) φ(4) = π + rctn > 4 φ(5) < π + π/ 4.71 < 5 φ ist kontrhierend uf [4, 5], denn φ (x) = x ist positiv und monoton fllend uf [4, 5], d.h. mx x [4,5] φ (x) = φ (4) = 1/17 < 1. Nch dem Bnchschen Fixpunktstz ht φ in [4, 5] genu einen Fixpunkt x. Die priori Abschätzung der Itertion uf [4, 5] mit x 0 = 4 bei der Genuigkeit ɛ = 10 5 lutet: x 0 = 4 x 1 = L = 1/17 < 0.06 x n x Ln 1 L x 1 x n Ds gibt 0.06 n = n ln( ) = ln 0.06 Es genügen lso 4 Itertionen. Aufgbe 9 Gegeben sei die Funktion f(x) = 1 ex/. ) Zeigen Sie, dß es im Intervll [0; 1] genu eine Lösung der Gleichung x = f(x) gibt indem Sie (i) überprüfen, dß f ds Intervll [0; 1] in sich selbst bbildet und (ii) nchweisen, ds f kontrhirend ist. b) Wieviele Itertionsschritte sind, usgehend vom Strtwert x 0 = 0, lut -priori-abschätzung höhstens nötig, um den Fispunkt mit einer Genuigkeit von ɛ = 10 zu pproximieren? c) Stellen Sie die Itertionsvorschrift des Newton-Verfhrens zur Nullstellenbestimmung der Funktion g(x) = x f(x) uf und berechnen Sie, beginnend mit dem Strtwert x 0 = 1/, die erste drei Folgenglieder. 11

12 Überprüfung der Vorusssetzungen des Fixpunktstzes uf [1, 0]: f ist selbstbblidend, denn f ist monoton wchsend, d.h. f(0) f(x) f(1) f(0) = 1/ > 0 f(1) = 1/ e < 1/ 3 < 1 f ist kontrhierend uf [0, 1], denn f (x) = 1 4 ex/ ist positiv und monoton wchsend uf [0, 1], d.h. mx f (x) = f (1) L := 0.4 < 1. x [0,1] Nch dem Bnchschen Fixpunktstz ht f uf [0, 1] genu einen Fixpunkt x. Die priori Abschätzung der Itertion uf [0, 1] mit x 0 = 0 bei der Genuigkeit ɛ = 10 lutet: x 0 = 0 Ds gibt x 1 = 0.5 L = 0.4 x n x Ln 1 L x 1 x 0 0.4n n = n ln( ln 0.4 = Es genügen lso 6 Itertionen. Newton-Verfhren: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) unter der Vorussetzung, dß die Durchführbrkeitsbedingung f(x n ) f (x n ) (f (x n )) 1 fur lle x n inkl. Strtwert x 0 erfüllt ist. 1

13 Aufgbe 10 Gegeben sei die Funktion f(x) = sin x. 5 5 ) Zeigen Sie, dß es im Intervll [π/4; π/] genu eine Lösung der Gleichung x = f(x) gibt indem Sie (i) überprüfen, dß f ds Intervll [0; 1] in sich selbst bbildet und (ii) nchweisen, ds f kontrhirend ist. b) Wieviele Itertionsschritte sind, usgehend vom Strtwert x 0 = 0, lut -priori-abschätzung höhstens nötig, um den Fispunkt mit einer Genuigkeit von ɛ = 10 6 zu pproximieren? c) Stellen Sie die Itertionsvorschrift des Newton-Verfhrens zur Nullstellenbestimmung der Funktion g(x) = x f(x) uf und berechnen Sie, beginnend mit dem Strtwert x 0 = π/4, die erste drei Folgenglieder. Anlog (wird in der übungsstunde besprochen) Aufgbe 11 Sei die Funktion g(x) = 1 e x x gegeben. Untersuche, ob diese Funktion uf dem Intervll [, 3] Nullstellen ht. Flls j, wieviel? Beweis! Sollte es nur eine Nullstelle uf dem Intervll geben, wieviele Schritte der Bnch-Itertion sind nötig (flls ds Verfhren nwendbr ist: überprüfe die Vorussetzungen!), um diese mit der Genuigkeit 10 zu bestimmen? Führe die erste 5 Schritte des Bisektionsverfhrens us. Schreiben wir die Gleichung um: x = 1 e x. Nun hben wir eine Fixpunktgleichung. Es ist f(x) = 1 e x, f (x) = 1 4 x 1/ e x, f (x) = 1 8 x 3/ ( x 1)e x, worus mn entnimmt: Im Intervll [, 3] ist ) f (x) > 0, lso f monoton wchsend. Somit ist f(i) = [f(), f(3)] [.05,.83] I b) f (x) > 0, lso f monoton wchsend. Wegen f (x) > 0 in I ist somit sup f (x) = mx f (x) = f (3) < < 1. x I x I 13

14 Dmit sind die Vorussetzungen des Bnch schen Fixpunktstzes mit der (Lipschitz-)Kontrktionskonstnte L = erfüllt. Für ɛ = 10 und x 0 =, x 1 = f(x 0 ) <.057 erhlt mn us der priori Abschätzung für n die Bedingung x n x Ln 1 L x 1 x 0 n > Es müssen lso wenigstens 17 Glieder der Itertionsfolge berechnent werden. (Mit L = 0.85 erhält mn n 3.) Zur Bisektion: die Funktion g ist monoton fllend uf I und g() = f() = 1 e > und g(3) < , ht lso n den Intervllränder unterschiedliche Vorzeichen Bisektionsverfhren funktioniert. Berechne lso g(.5) und vergleich die Vorzeichen von g(), g(.5), g(3). W hle ds Intervll mit unterschidlichen Vorzeichen us und wiederhole den Vorgng 5-ml. Aufgbe 1 Die Gleichung 1 + ξ = e ξ soll gelöst werden. Geben Sie eine Fixpunktitertion x k+1 = Φ(x k ) n, die unbhängig vom gewählten Strtpunkt x 0 gegen die Lösung der Gleichung konvergiert. Wählen Sie ls Strtwert x 0 = 0 und geben Sie n, wieviele Itertionen Sie höhstens benötigen, um die gesuchte Lösung ξ uf 3 Nchkommstellen genu zu berechnen. 1 + ξ = e ξ 1 ln(1 + x ) + = x Itertion x k+1 = Φ(x k ) mit Φ(x) = 1 ln(1 + x ) x R. Es ist leicht zu sehen, dß Φ(x) stetig ls Summe und Superposition uf gnzem R erklärter Funktionen ist. ) Φ : R R (selbstbbildend; durch schrfes Hinsehen, offensichtlich, leicht zu sehen ) 14

15 b) Φ (x) = 1 1 x = x. 1+x 1+x Wegen 0 (x 1) = 1 + x x gilt: x 1 + x 1 x R, d.h. Φ ist einbe Kontrktion mit der Lipschitz-Kontrktionskonstnte L = 1/. Die Konvergenz der Itertion folgt us dem Fixpunktstz von Bnch. Es gilt die priori Abschätzung x n x Ln 1 L x 1 x 0. Mit x 0 = 0, x 1 = Φ(x 0 ) = Φ(0) = 1 x 1 x 0 = 1 und L = 1/ folgt: ( 1 ) = ( ) Mn brucht lso 11 Itertionen durchzuführen. Aufgbe 13 Sei f uf dem Intervll [; b] eine stetige differenzierbre Funktion mit der stetigen uf [; b] Ableitung (f C 1 [; b]). Weiter besitze f die Eigenschft min x [;b] f (x) > 1. ) Zeigen Sie nhnd eines einfchen Beispiels, ds eine solche Funktion einen Fixpunkt x [; b] besitzen knn. b) Zeigen Sie, dß bei Funktionen mit der obigen Eigenschft die Fixpunktitertion x n+1 = f(x n ) für jeden Strtwert x 0, der kein Fixpunkt ist, divergiert. ) Beispiel: f : [0, 1] R, f(x) = 1 x. f (x), f(1/3) = 1/3. b) x = f(x ), x 0 x x n+1 := f(x n ), n = 0, 1,... 15

16 Wenn (x n ) konvergiert, dnn gegen einene Fixpunkt von f, denn, d f stetig, f(lim x n ) = lim f(x n ) = lim x n+1 = lim x n. Sei Q := min x [;b] f (x) > 1. Eine stetig f mit dieser eigenschft knn keine zwei verschiedenen Fixpunkte hben: sei f(x 1 ) = x 1, f(x ) = x, x i [, b]; dnn x 1 x = f(x 1 ) f(x ) MW S = f (ξ) x 1 x Q=min f ) Q x 1 x x 1 = x. Nun untersuche x x n+1. n 1 gilt: x x n+1 = f(x ) f(x n ) /geqq x x n... Q n+1 x x 0, n, weil Q > 1 und x x 0 > 0 nch Vorussetzung. D.h. keine Konvergenzgegen den eindeutigen Fixpunkt, und, wegen der ersten Überlegung, keine Konvergenz überhupt. Aufgbe 14 Approximieren Sie unter Verwendung der Simpson-Regel und der Trpez- Regel ( 1 S(f) = (b ) 6 f() + 3 f( + b ) + 1 ) 6 f(b) die folgende Integrle und geben Sie den uftretenden Qudrturfehler n, indem Sie die Integrle exkt berechen. Vergleichen Sie jeweils den exkten Fehler mit dem priori bgeschätzten Fehlerwert für ds Trpez- Verfhren. I 1 = π/ π/ 3 I = (sin 3 x cos x)dx, x 3 x x 4 4x dx. Erläutern Sie kurz ds jeweilige Resultt. Aufgbe 15 Approximieren Sie unter Verwendung der Simpson-Regel ( 1 S(f) = (b ) 6 f() + 3 f( + b ) + 1 ) 6 f(b) 16

17 die folgende Integrle und geben Sie den uftretenden Qudrturfehler n: I 1 = I = 1 1 (x 3 + x + 1)dx, xe x dx, ( > 0). Erläutern Sie kurz ds jeweilige Resultt. ) I 1 = 1 1 ( ) x (x 3 + x 4 + 1)dx = 4 + x3 3 + x 1 1 = 10 3 S 1 = 1 10 f( 1) + 4f(0) + f(1) = 3 3 = I 1 Klr, d nch Konstruktion der Simpson-Regel Polynome vom Grd 3 exkt integriert werden. b) Integrtionsbereich symmetrisch um 0, Integrnd xe x punktsymmetrisch zu 0 I = xe x dx = 0 > 0. S = 6 (f( ) + 4f(0) + f()) = S = 6 ( f() + 4f(0) + f()) = 4 3 f(0) = 0 Dß S = I liegt n den Symmetrien und f(0)=0. Aufgbe 16 Sei [, b] R ein Intervll. Leiten Sie die Simpson-Regel uf der folgende Art und Weise her: Zu bestimmen sind Gewichte ω 0, ω 1, ω R derrt, dß die Qudrturformel S(f) = ω 0 f() + ω 1 f( + b ) + ω f(b) ds Integrl b P (x)dx für lle Polynome P zweites Grdes exkt berechnet. 17

18 Simpson-Regel: S(f) = ω 0 f() + ω 1 f( + b ) + ω f(b) b f(x)dx = (b ) mit t = x (lso es genugt, ds Intervll [0, 1] zu betrchten). b Es soll gelten: S(t k ) = 1 0 t k dt = 1, k = 0, 1, k + 1 lineres Gleichungssystem ist zu losen: / 1 ω 0 ω 1 0 1/4 1 ω = 1 1/ 1/3 mit ω i = ω i, i = 0, 1,. Guß-Algorithmus fuhrt uf b / 1 1/ 0 0 1/ 1/1 ω 0 = 1/6, ω 1 = /3, ω = 1/6 ω 0 = b 6, ω 1 = 4 6 ()b, ω = b 6, oder, zusmmengefsst: S(f) = b ( ( ) ) + b f() + 4f + f(b) f(t)dt Aufgbe 17 Sei [, b] R ein Intervll und f C ([, b]) (f ist eine zweiml stetig differenzierbr uf dem Intervll [, b], d.h. uf [, b] existieren stetige f und f ). Leiten Sie für die Trpezregel T (f) = b (f() + f(b)) mit Hilfe von Tylor-Formel für f n der Stelle x [, b] die Fehlerbschätzung b f(x)dx T (x)) 1 1 mx f (x) (b ) 3 b. 18 x [,b]

19 f() = f(x) + f (x)( x) + 1/f (ξ )( x) f(b) = f(x) + f (x)(b x) + 1/f (ξ b )(b x) ξ = ξ (x) [, x], ξ b = ξ b (x) [x, b] ( ) f() + f(b) + b f(x) = f (x) x 1/4(f (ξ )( x) +f (ξ b )(b x) ) Integriere von bis b: = b b f(x)dx b (f() + f(b)) = ( ) + b f (x) x dx 1 ( b ) (f (ξ )( x) + f (ξ b )(b x) )dx. 4 Ds 1. Integrl: prtielle Integrtion: b ( ) [ ( )] b + b + b f (x) x dx = f(x) x + = b (f(b) f()) + b f(x)dx. b Einsetzen b f(x)dx b (f(b) f()) = = 1 b 8 (f (ξ )( x) + f (ξ b )(b x) )dx 1 8 sup f (t) t [,b] = 1 8 sup f (t) t [,b] b (( x) ) + (b x) )dx = [ 1 3 ( x)3 1 3 (b x)3 ] b = = 1 1 (b )3 sup f (t). t [,b] f(x)dx = Aufgbe 18 Bestimmen Sie ds Hermite-Interpoltionspolynom zu folgender Wertetbelle. Geben Sie eine Drstellung der Form p(x) = n i=1 α ix i. x k f k f k 0 19

20 i x i k = 0 k = 1 k = k = /1! 3 1 Zusmmensetzen: H(x) = 1 9(x+1)+5x(x+1) x(x+1)(x )+1x(x+1)(x )(x 3) = Check: = x 4 6x 3 + 8x + 6x + 3. H (x) = x 18x + 4x 3, H (3) = = 0. Aufgbe 19 Bestimmen Sie ds zu der folgenden Wertetbelle gehörende interpolierende Polynom in der Form p(x) = n i=0 ix i : x k f(x k ) 1 0 f (x k ) 0 f (x k ) 4 i x i k = 0 k = 1 k = k = h(x) = + 3(x + 1) 3x(x + 1) + 5x (x + 1) 4x 3 (x + 1) = = 1 + x + x 3 4x 4 Aufgbe 0 Berechnen Sie ohne Tschenrechner die Regressionsgerde f z (x) = + bx nch Methode der kleinsten Qudrte für die folgenden Beobchtungswerte (x i, y i ), i = 1,..., 6: (0; 0), (0; 1), (1; 1), (1; ), (; ), (; 3). Zeichnen Sie zunächst die Messdtenpunkte in ein Koordintensystem ein und stellen Sie eine Hypothese drüber uf, welche Gerde die beste sein knn. 0

21 Mn zeichne die Messdten in ein Koordintensystem: Es ist leicht zu erkennen, dß eine Gerde f(x) = b x+ mit vremutlich b = 1 und = 1/ pssende Regressioinsfunktion sein knn. Berechnen wir nun die m besten pssende Gerde: ( ) Dzu ist die Normlengleichungssystem G T Gz = G t y mit z = b zu lösen. Um G zu bestimmen. mchen wir folgendes: ( ) y + b x = (1 x) b Drus folgt, dß die Messdtenpr die Beziehung erfüllen: ( ) y Gz mit z = b und G folgende Gestlt ht: G = 1 x Nun wird ds Normlengleichungssystem gelost: 1 0 ( ) G T 1 1 G = = ( ), 1

22 ( G T y = ) Die Lösung des Glyichungssystems: ( ) G T Gz = G T y, z = b ( 9 = 13 ). bzw. ( ) ( ) ( ) 9 = b 13 ergibt 1 = und b = 1. = 0.5 Somit ist die beste Gerdde (die Regressionsgerde), wie vermutet, f(x) = x Aufgbe 1 (3 Punkte) Berechnen Sie die Ausgleichsgerde (Regressionsgerde) durch die Punkte (1, 1), (, 1), (3, 3.5), (4, 5) und (6, 4). Anlog zu Aufgbe 3 Aufgbe Der Zusmmenhng zwischen dem Alter von 6 Gebruchtwgen eines bestimmten Typs und den zugehörigen Preisen soll mittels geeigneter Regressionsfunktion drgestellt werden. Alter in Jhren Preis in 1000 Euro ) Skizzieren Sie die Punktwolke b) Bestimmen die Regressionsgerde Anlog zur Aufgbe 3.