Höhere Fluidmechanik für Ingenieure

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1 Autorisiertes Skriptum zur Vorlesung Höhere Fluidmechanik für Ingenieure im Masterstudiengang Maschinenbau/Schibau der FH Kiel A. P. Schaarczyk Schrift: Claudio Tomassini WiSe 2008/2009

2 Inhaltsverzeichnis I Haupteil 7 1 Wiederholung der Grundlagen Geschwindigkeitsfeld Mechanischer Modellkörper Die Standpunkte zur Beschreibung der Felder Welche Strömungsgleichungen gibt es? Kontinuitätsgleichung Masseerhaltung Kontinuitätsgleichung Energie Kontinuitätsgleichung Impuls Dierentielle Betrachtung der Erhaltungssätze Ableitung der dierentiellen Masseerhaltungs- oder Kontinuitätsgleichung Herleitung des dierentiellen Impulssatzes ohne Reibung d.h. ideales Fluid mit Reibung d.h. reales Fluid Ergebnis: Gleichung eines realen Fluids Spannungstensor für Fluide Verzerrungstensor Zwischenfazit Herleitung der dierentiellen Energiegleichung Dierentialgleichung der Wärmeleitung dierentielle Energiegleichung Energiegleichung in Temperaturgleichung umwandeln Zusammenfassung der dierentiellen Erhaltungssätze Einfache aber exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichung Grundlagen und Voraussetzungen Kontinuitätsgleichung Impulsgleichung Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten

3 3.3.2 Ent-Dimensionalisierung Umformulierung und Lösung der Impulsgleichung Durchuss Wandschubspannung Prolumströmungen Komplexe Gröÿen Komplexe Geschwindigkeit Zusammenhang mit Cauchy-Riemann-Gleichung holomorpher Funktionen Punktwirbel und Punktquellen Punktquellen und Punktsenken Komplexes Potential Punktwirbel Anwendung: Hindernisströmung Zylinderumströmung Komplexes Potential eines Dipols Komplexe Geschwindigkeit Zylinderströmung mit Zirkulation Komplexe Geschwindigkeit Prolaerodynamik Wirbeldynamik verschiedene Modelle II Transition und Turbulenz 49 5 Allgemeines Einleitung Allgemeines Historie Ziel des Berichtes Literaturempfehlung Grenzwertige Reynoldszahlen Stabilität laminarer Strömungen 11 7 Turbulenz Mathematische Aspekte Globales Verhalten de Lösungen Axiom A Analyse - Strange Attractors

4 7.2 Numerische Strömungsmechanik Direkte Simulation Large-Eddy-Simulation Andere Modelle Physik der Turbulenz Längenmaÿe Kolmogorov-Theorie Ausgangspunkt Analytische Theorie Feldtheorien der Turbulenz Die Methode der Renormierungsgruppe Turbulenzmodelle im Ingenieurwesen Prandtls Mischungswegmodell Eingleichungsmodelle k-ɛ-modelle andere Zweigleichungsmodelle Reynoldsspannungsmodelle Zusammenfassung und Schluÿfolgerung Schrifttum III Anhang und Beispiele 61 A Beispiele 62 A.1 Schispropeller A.1.1 Wirkungsgrad A.2 Windturbine A.2.1 Abminderungsparameter A.2.2 Leistungen bestimmen A.3 Das Windauto A.3.1 Fall 1 Wind von vorn A.3.2 Fall 2 Wind von hinten A.3.3 Fall 3 Halber Wind A.4 Öl Pipeline A.5 Ebene Staupunktströmung mit Reibung A.5.1 Äquipotentiallinien A.5.2 Druck A.5.3 Reibungsbehaftet mit Separationsansatz A.5.4 Entdimensionalisieren B Repetitorium zur Klausur 76 B.1 Aufg. 1 - Potentialströmung & Stromfunktion

5 C Einschübe 78 C.1 Schnellkurs Vektoranalysis C.1.1 Gradient C.1.2 Divergenz C.1.3 Rotation C.1.4 Laplace Operator C.1.5 Totale Ableitung C.1.6 Rechenregeln für Divergenz C.1.7 Gauÿ'scher Integralsatz C.2 Matrizenrechnung C.2.1 Matrixaddition C.2.2 Matrixmultiplikation C.2.3 Determinante C.2.4 Spur einer Matrix C.3 Komplexer Logarithmus C.4 Konforme Abbildung

6 Abbildungsverzeichnis 1.1 Skizze Kontinuitätsgleichung Impulsgleichung Kontrollvolumen Skizze: Dierentielle Masseerhaltung Geschwindigkeitsfeld in Hauptströmungsrichtung Skizze Hagen-Poiseuille-Strömung Punktquellen und -senken Punktwirbel Umströmter Körper Umströmter Zylinderkörper Skizze zum Auftrieb Punktwirbel: Hyperbel Widerstand auf Flügelächen Idealisiertes Wirbelsystem Flügel in der Tretz-Ebene Reibungsbeiwert an einer Kugel aus [Schlichting] Laminares und turbulentes Geschwindigkeitsprol in einer Rohrströmung Turbulentes Grenzschichtprolprol in dimensionsloser Darstellung Entwicklung der Turbulenz in einer Plattengrenzschicht nach White Entwicklung der Rechnerleistung Anschauliche Bedeutung der verschiedenen Längenmaÿe gemessene Energieverteilung im Vergeleich zur Kolmogorovschen Hypothese Wellenzahlabhängigkeit der (turbulenten) Energie Diagramme für die Geschwindigkeiten Diagramme für die Geschwindigkeitskorrelationen nach Gl

7 6 7.7 Diagrammdarstellung für die Integralgleichung der renormierten Korrelationen Q(k; ω, ω ) Diagrammdarstellung für die Gleichung der Vertexrenormierung Diagrammdarstellung für den renormierten Propagator Turbulente kinetische Energie in Wandnähe Turbulente Energiedissipation in Wandnähe A.1 Skizze Schispropeller A.2 Skizze Druckunterschied beim Propeller A.3 Wirkungsgrad der Windturbine A.4 Skizze Windauto am Wind A.5 Staupunktströmung A.6 Staupunktströmung und Äquipotentiallinie A.7 Lösung Staupunktströmung mit Reibung (Runge-Kutta-Verfahren) 74

8 Teil I Haupteil 7

9 Kapitel 1 Wiederholung der Grundlagen Das Ziel der Strömungslehre ist die quantitative Beschreibung strömender Fluide. Ein Fluid kann dabei sowohl ein Gas als auch eine Flüssigkeit sein. Gase: (in erster Linie Luft) kompressibel, d.h. ρ = ρ(p, T ) Flüssigkeiten: (in erster Linie Wasser) inkompressibel, d.h. ρ = const Darüberhinaus können auch Gase als inkompressibel angesehen werden, sofern die Geschwindigkeiten gering sind. Es gilt das dynamische Inkompressibilitätskriterium: v krit = 1 3 c Hier ist c die Schallgeschwindigkeit. Sie beträgt für Luft c Luft = 340 m s Wasser c H2 O = 1450 m. s (1.1) und für 1.1 Geschwindigkeitsfeld Die Gröÿe zur Beschreibung einer Strömung ist das 3D-Geschwindigkeitsfeld u(x, y, z, t) v( r, t) = v(x, y, z, t) (1.2) w(x, y, z, t) Üblicherweise ist die x-richtung die Hauptströmungsrichtung. 8

10 KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG DER GRUNDLAGEN Mechanischer Modellkörper Massepunkt Starrer Körper Kontinuum Elastika Groÿe Verformungen keine Ausdehnung mit Ausdehnung mit Ausdehnung mit Ausdehnung keine Verformung keine Verformung kleine Verformung groÿe Verformung nicht zeitl. Abh. nicht zeitl. Abh. nicht zeitl. Abh. zeitliche Abhängigkeit 1.3 Die Standpunkte zur Beschreibung der Felder Es existieren zwei Ansätze, die Strömungsfelder beschreiben können: Euler und Lagrange Lagrange: ( v, a) sind dem Masseelement zugeordnet (!!im Auto sitzend!!) Euler: ( v, a) sind dem Raumpunkt R zugeordnet (!!Polizei steht fest am Straÿenrand und miÿt Geschwindigkeit!!) Im Allgemeinen wird der Euler'sche Ansatz verwendet. 1.4 Welche Strömungsgleichungen gibt es? Gesucht sind Gleichungen für v( r, t). Dies ist so getrennt nicht möglich, sondern man muÿ von den allgemeinen Erhaltungssätzen [(1)Masse - (2)Impuls - (3)Energieerhaltungssatz] ausgehen. Masse m [kg] [ ] Skalar Impuls p kg m [ Vektor s Energie E kin kg m2 Skalar s 2 ] Kontinuitätsgleichung Masseerhaltung Der Masseerhaltungssatz besagt: ṁ 1 = ṁ 2 (1.3) ρ V 1 = ρ V 2 (1.4) A 1 v 1 = A 2 v 2 (1.5)

11 KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG DER GRUNDLAGEN 10 ρ = m V = const = ( ) = ṁ = ρ v [falls ρ = 0] v 1 v 2 A 1 A 2 Abbildung 1.1: Skizze Kontinuitätsgleichung Kontinuitätsgleichung Energie Nach Bernoulli gilt: Entlang einer Stromlinie ändert sich die Gesamtenergie eines Fluidelementes nicht de = g zi dm } {{ } vi 2 + E pot 2 dm } {{ } E kin + p 1 ρ dm = const (1.6) } {{ } E Druck Anders ausgedrückt ist die Enthalpie (H) konstant. Man nennt die Enthalpie die Bernoulli-Konstante. H = de dm = const = g z i + v2 i 2 + p i ρ (1.7) Kontinuitätsgleichung Impuls Die Impulserhaltung folgt aus dem 2. Newton'schen Gesetz (Actio = Reactio) F = d (m v) = ṁ v + m v = ṁ v + m a (1.8) dt Fi = 0 Bei Gleichung (1.9) müssen die Impulsüsse zwar positiv: beim Einlaÿ negativ: beim Auslaÿ (1.9) ṁ v mit eingerechnet werden, und

12 KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG DER GRUNDLAGEN 11 Kontrollvolumen Einlassäche Auslassäche Abbildung 1.2: Impulsgleichung Kontrollvolumen Beispiel 1.1: Die Beispiele Schispropeller und Windturbine nden sich im Anhang in den Kapiteln A.1 und A.2 ab Seite 62.

13 Kapitel 2 Dierentielle Betrachtung der Erhaltungssätze 2.1 Ableitung der dierentiellen Masseerhaltungsoder Kontinuitätsgleichung A y y + δy Kontrollvolumen in z : δz = 1 y E x A x E y x x + δx Abbildung 2.1: Skizze: Dierentielle Masseerhaltung Die zeitliche Änderung der Masse im Kontrollvolumen ist: m t = ρ ρ δv = t t δxδy1 12

14 KAPITEL 2. DIFFERENTIELLE BETRACHTUNG DER ERHALTUNGSSÄTZE 13 Pro Zeiteinheit sind die (E)in- und (A)usüsse E x = (ρu) x δy (2.1) A x = (ρu) x+δx δy (2.2) E y = (ρv) y δx (2.3) A y = (ρv) y+δy δx (2.4) Hiermit erstellt man die Flussbilanzen: einieÿend:e x + E y = (ρu) x δy + (ρv) y δx ausieÿend:a x + A y = (ρu) x+δx δy + (ρv) y+δy δx Daraus wird: 1 δv m t = ρ δxδy t δxδyδz Man bildet den limes: lim δx 0 δy 0 ρ t = (ρu) x (ρv) y! = E A = (ρu) x (ρu) x+δx + (ρv) y (ρv) y+δy δx δy Bemerkung: f δx = f(x + δx) f(x) δx Als Ergebnis erhalten wir die dierentielle Masseerhaltungsgleichung. ρ t + (ρu) x + (ρv) + (ρw) y z Der Massenstrom ρ v hat die Einheit kg m m 3 s ρ t = 0 (2.5) = kg. Damit ist m 2 s + div(ρ v) = 0 (2.6) Hieraus folgt logisch: Eine Änderung der Dichte bedingt eine Änderung des Massenstroms. Mit der Rechenregel für Divergenz (im Anhang), vereinfacht man weiter ρ { t = ρ div v + v( ρ) }

15 KAPITEL 2. DIFFERENTIELLE BETRACHTUNG DER ERHALTUNGSSÄTZE 14 Bei inkompressiblen Strömungen ist die Dichte konstant. Es gilt also ρ = 0. ρ = ρ div v (2.7) t Weiterhin soll gelten, dass keine externen Quellen existieren. Es folgt div v = 0. Eine inkompressible Strömung ist quellenfrei. Unter diesen Voraussetzungen ändert sich die Dichte nicht. Der Term wird: ρ t = Herleitung des dierentiellen Impulssatzes Zunächst denieren wir eine volumenbezogene Kraft. Denition. (2.8) F = m a F V = m V a f = ρ a (2.9) Übergang zum Kontinuum: dm = ρ dv (2.10) ρ D v Dt = f p (2.11) f sei hier der hydrostatische Druck, also ( ) 0 0 ρg. Mit Hilfe des Gauÿ'schen Integralsatzes (siehe Einschübe) haben wir Druckkräfte in Volumenkräfte überführt ohne Reibung d.h. ideales Fluid Die Gleichung eines idealen, d.h. reibungsfreien, Fluids ist ρ D Dt v = f p (2.12) Bemerkung: 2D-Erklärung. Es gilt die Totale zeitliche Ableitung wie im Anhang Einschübe gezeigt. Ersetzt man als 2D-Geschwindigkeit ( w = 0) dann ist { u ρ t + u u x + v u } y Diese DGL ist gemein, da nichtlinear und gekoppelt.

16 KAPITEL 2. DIFFERENTIELLE BETRACHTUNG DER ERHALTUNGSSÄTZE mit Reibung d.h. reales Fluid Wesentlich: Newton (1D) und Stokes (3D) bringen Schubspannungen und den Geschwindigkeitsgradienten v in Zusammenhang. Das heiÿt, dass eine Änderung von v quer zur Hauptströmungsrichtung (Gradient) innere Reibung (Schubspannungen) erzeugt. y Abbildung 2.2: Geschwindigkeitsfeld in Hauptströmungsrichtung x τ = µ u y (2.13) Hier ist µ die dynamische Viskosität. Die kinematische Viskosität heiÿt ν. Viskosität Denition Einheiten [ τ dy dynamisch (µ) kg ] du [ m s] µ m kinematisch (ν) 2 ρ s Viele auch technische Fluide gehorchen dem Gesetz für Schubspannungen und heiÿen somit Newton'sch. Bemerkung: Das Problem ist die Übertragung auf 3D. Der Spannungstensor ist symmetrisch σ xx σ xy σ xz σ = σ yy σ yz σ zz

17 KAPITEL 2. DIFFERENTIELLE BETRACHTUNG DER ERHALTUNGSSÄTZE 16 Die Indizierung bezeichnet zuerst die Richtung der Flächennormale und dann die Kraftrichtung Ergebnis: Gleichung eines realen Fluids ρ D Dt v = f p +µ v } {{ } 1. Ordnung } {{ } 2. Ordnung (2.14) Spannungstensor für Fluide Der Spannungstensor im Allgemeinen ist symmetrisch. Das bedeutet, dass σ ij = σ ji. Dadurch reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Elemente von n 2 auf n(n+1). Es ist: 2 σ x τ y τ x σ = σ y σ z für feste Körper (2.15) σ z p τ y τ z σ = p τ x für Fluide. Druck (=Normalspannung) überall gleich. p (2.16) Verzerrungstensor Der Verzerrungstensor ergibt sich analog aus dem Spannungstensor. σ x τ y τ x ε xx ε xy ε xz σ = σ y σ z ε = ε yy ε yz σ z ε zz p τ y τ z σ = p τ x?? p

18 KAPITEL 2. DIFFERENTIELLE BETRACHTUNG DER ERHALTUNGSSÄTZE 17 Genauer sind die Elemente des Verzerrungstensors ε xx ε x := u x ε yy ε y := v y ε xy γ xy := v u x y u = x-verschiebung (2.17) v = y-verschiebung (2.18). Winkeländerung (2.19). Die Begrie Verzerrungstensor und Deviationstensor sind Synony- Bemerkung: me. Analogon für Fluide ( uv ) sind Verschiebungen beim Festkörper, also Verformungen. Beim Fluid wird ( w uv ) w als Geschwindigkeit, also Verformungsrate, gesehen. Man sagt: Ein 3D-Newton'sches/Stoke'sches Fluid ist durch die folgenden Annahmen gekennzeichnet: Spannung ist linear in (u, v, w) In den Spannungstensor gehen thermodynamische Zustandsgröÿen ein bei stationären Strömungen v t Symmetrie σ ij = σ ji = 0 nur der Druck Mechanischer & thermodynamischer Druck ist gleich Daraus folgt der Spannungszustand eines Newton'sch/Stoke'schen Fluids: σ ij = pδ ij 2 3 µ( v)δ ij + 2µS ij (2.20) Hierbei ist: { 1 für i = j δ ij = 0 für i j S ij = 1 ( ) ui u j 2 x j x i (2.21) (2.22)

19 KAPITEL 2. DIFFERENTIELLE BETRACHTUNG DER ERHALTUNGSSÄTZE 18 Bringt man dies in die Bewegungsgleichung ein, so folgt die Navier-Stokes-Gleichung: ρ D v Dt = f p + µ v (2.23) Der letzte Summand entspricht der Impulsdiusion (Ausgleichsprozesse). Die Gleichung ist mit geeigneten Randbedingungen zu versehen. Diese sind: Euler ist 1. Ordnung, d.h. eine Randbedingung v n = 0 Navier-Stokes ist 2. Ordnung, d.h. zwei Randbedingungen v n = 0 und v T = 0 Die Wirkung der Viskosität spiegelt sich i.a. nur in einer sogenannte Grenzschicht wieder. Bemerkung: heiÿt Der Übergang von Navier-Stokes zu Euler ist nicht-analytisch. Das ν = 0 ν 0 Das heiÿt Strömungen mit sehr kleiner Reibung sind nicht durch Euler-Gleichungen zu beschreiben. Bemerkung: Navier-Stokes-Equations: easy for uids complicated for people impossible for computers 2.3 Zwischenfazit Wie viele Gleichungen und Unbekannte haben wir? Kontinuitätsgleichung: ρ t + div( ρ) = 0. Das ist 1 skalare Gleichung Impulsgleichung: ρ D v Dt = f p + µ v. Das ist eine vektorielle Gleichung, also 3 skalare Gleichungen.

20 KAPITEL 2. DIFFERENTIELLE BETRACHTUNG DER ERHALTUNGSSÄTZE 19 ( uv ) Unbekannte: v =, ρ, p. Das sind 5 Unbekannte w Setzt man jetzt ein inkompressibles Fluid voraus, so gilt ρ = const. Damit hätte man 4 Gleichungen und 4 Unbekannte. Das Gleichungssystem ist also bestimmt. Gleichzeitig bedeutet dies, dass bei dichteveränderlichen Systemen 1 zusätzliche Gleichung her muss. Dies ist die Energie-Gleichung, wobei hier noch weitere thermodynamische Zustandsgröÿen Einuss haben (z.b. Temperatur) 2.4 Herleitung der dierentiellen Energiegleichung In die Energiegleichung ieÿen alle energetischen Gröÿen ein. Die Gesamtenergie bildet sich also aus: Energie = Mechanische Energie + innere Energie } {{ } } {{ } kinetische, potentielle, Druck Wärme, Temperatur oder E = W + Q. Die spezische Energie ist deniert als E m [ m 2 s 2 = v 2 ] (2.24) Bemerkung: Bei der Bernoulligleichung (integrale Energiegleichung) ist die Enthalpie (H = E + p) konstant. m ρ Die dierentielle Energiegleichung drückt die zeitliche Anderung der Gesamtenergie aus als Biland der ein- bzw. ausströmenden Energieüsse. Zusätzlich gibt es sogenannte Ausgleichsgröÿen. Beispiel 2.1: Wärmeleitung: T 1 T 2 Wärmezufuhr

21 KAPITEL 2. DIFFERENTIELLE BETRACHTUNG DER ERHALTUNGSSÄTZE 20 T 2 wird gröÿer, das bedeutet, dass Wärme von 1 nach 2 ieÿt. Es existieren 3 mögliche Wärmetransportarten: 1. Wärmeleitung 2. Strahlung (Übertragung von Wärme ohne materiellen Transport über Photonen) 3. Konvektion Materietransport (Luft erhitzt sich) Dierentialgleichung der Wärmeleitung Der Wärmestrom ist: j Q = κ T [j Q ] = J m 2 s = W m 2 [κ] = W m K Desweiteren ist ρ = div j j = ρ v Hierbei ist ρ die allgemeine Dichte. div auf Fourier T t + κ T = 0 T ( r, t) Diusion: Linear, 2. Ordnung, prima lösbar dierentielle Energiegleichung e g = E m g = e v2 und es ist: De g Dt = j Q + ρ v f + (σ v) } {{ } Leistung der Oberlfächenkräfte (2.25)

22 KAPITEL 2. DIFFERENTIELLE BETRACHTUNG DER ERHALTUNGSSÄTZE Energiegleichung in Temperaturgleichung umwandeln Hier ohne Nachweis: de = dh + dp ρ + dρ ρ 2 p DE Dt = c DT p Dt + βt ρ Es ist: Dρ Dt + 1 Dρ ρ Dt c p die spezische Wärmekapazität bei konstantem Druck c V die spezische Wärmekapazität bei konstantem Volumen β der isobare Wärmeausdehnungskoezient β = 1 ρ und p = const. ρ T Damit ist der Temperaturausgleich: (2.26) DT ρc p Dt = j Q + βt Dp Dt + Φ (2.27) Φ ist die Dissipationsfunktion, also der Energieverlust durch innere Reibung Φ 2 µ {Spur(σ 2 ) + 13 } ρ λ ( v) 2 (2.28) Es muss bedacht werden, dass der zweite Summand in der obigen Gleichung nur bei kompressiblen Medien (Gasen) relevant ist. λ ist die sogenannte zweite Viskosität. ( uv ) In karthesischen Koordinaten ist Φ mit v = w und der Konvention, dass u = u x x: Φ = 2 { } u 2 x + vy 2 + wz 2 + (vx + u y ) 2 + (w y + v z ) 2 + (u z + w x ) λ (u x + v y + w z ) 2 > 0 (2.29) 2.5 Zusammenfassung der dierentiellen Erhaltungssätze 1. Kontinuitätsgleichung: ρ t + (ρ v) = 0

23 KAPITEL 2. DIFFERENTIELLE BETRACHTUNG DER ERHALTUNGSSÄTZE 22 Dichte µ ν c P κ β kg m 3 kg m s m 2 s J kg K W m K H 2 O , Luft 1, , Tabelle 2.1: Materialkonstanten bei 20 C und 1 bar Umgebungsdruck 2. Impulsgleichung: ρ D v ( ) Dt = ρ t + ( v ) v = f p + µ v 3. Energiegleichung: DT ρc P Dt = κ T 2 3 µ( v) 2 + 2µ ψ + βt Dp Dt 4. Zustandsgleichung: ρ = ρ(p, T ) Damit stellen wir die Gleichungen und Unbekannte gegenüber: Gleichung # Gleichungen # Unbekannte Gegeben 1) +1 ρ, u, v, w - 2) +3 p f; µ 3) +1 T c P, κ, β 4) Falls das Fluid inkompressibel ist gilt ρ ρ( r, t) = ρ 0 = const. Daraus folgt 1. Impulsgleichung div v = 0 x u + y v + z w 2. Navier-Stokes-Gleichung bleibt unverändert 3. Energiegleichung ρc P DT Dt = κ T + 2µ Φ Der letzte Summand wird auch viskose Heizung genannt

24 Kapitel 3 Einfache aber exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichung: Rohroder Hagen-Poiseuille-Strömung 3.1 Grundlagen und Voraussetzungen Wir nehmen an, die Strömung sei voll entwickelt. Das heiÿt der betrachtete Punkt liegt ca vom Rohreinlass entfernt. Da es sich um ein zylindrisches Rohr handelt, bietet sich die Darstellung in Zylinderkoordinaten an. Daher transformieren wir alle Koordinaten x, y, z r, ϕ, z und denieren die z-achse als Rotationsachse und Richtung der Hauptströmung. Desweiteren gilt: v = 0 (kein Drall) u = 0 varnothing(keine Radialströmung) 3.2 Kontinuitätsgleichung Die Kontinuitätsgleichung ist erfüllt, da z w = 0 w(r) = const. Es gilt die Haftbedingung am Rohrrand, w(r = R) = 0. Damit erhalten wir: 0 v = 0 w 23

25 KAPITEL 3. EINFACHE ABER EXAKTE LÖSUNG DER NAVIER-STOKES-GLEICHUNG Impulsgleichung 0 = dp ( ) 2 dz + µ w x + 2 w 2 y 2 Die Reibung und der Druckgradient benden sich im Gleichgewicht. Das heiÿt es handelt sich um eine Kriechströmung. Daher dp dz = µ w Poisson-Gleichung Die Poisson-Gleichung ist inhomogen. (Laplace-Gleichung: Φ = 0). Sie ist linear und relativ leicht mit der Greens-Funktion lösbar Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten = 2 = 1 r d dr ( r d dr Ent-Dimensionalisierung Längen: z = z R r = r R [ ] [ ] Geschwindigkeit: w w = R 2 µ ( dp dz) ) [ ] mit dp dz = const Umformulierung und Lösung der Impulsgleichung w = 1 1 r w + 1 r w = 1 ( d r d ) w = 1 dr dr Dies ist somit eine gewöhnliche, lineare, inhomogene Dierentialgleichung 2. Ordnung. Zunächst ersetzen wir s(r) = w (r). Dadurch erhalten wir eine Dierentialgleichung 1. Ordnung, jedoch weiterhin inhomogen. Der Lösungsweg ist: 1. Lösung der homogenen DGL s h + 1 r s h = 0 ds h dr = s h r s h (r) = c ln(r)

26 KAPITEL 3. EINFACHE ABER EXAKTE LÖSUNG DER NAVIER-STOKES-GLEICHUNG Lösung der Inhomogenität durch (z.b.) Variation der Konstanten (c = c(r)). s(r) = r 2 + c r w(r) = s(r) dr = r2 4 + c ln(r) + c 2 c 0, weil w(0) < c 2 1 4, weil w(1) = 0 Hiermit ist w (r ) = 1 4 (1 r 2 ) w(r) = w (r) 1 4µ 3.4 Durchuss ( dp dz ) Parabel Der Durchuss ermittelt sich durch Q = w(r) da {0 r R; 0 ϕ 2π} ( Q = πr2 dp ) 8µ dz Meist ist Q dp. Die mittlere Durchströmung ist dz w = Q πr w 2 max = 2 w 3.5 Wandschubspannung τ w = µ dw dr 4µw R Bemerkung: Wichtig!! Diese Strömung ist nicht wirbelfrei ω := ( v) Zylinderkoordinaten = = ω ϕ w(r) 0 ω ϕ = w r r

27 KAPITEL 3. EINFACHE ABER EXAKTE LÖSUNG DER NAVIER-STOKES-GLEICHUNG 26 w ϕ e ϕ r Abbildung 3.1: Skizze Hagen-Poiseuille-Strömung

28 KAPITEL 3. EINFACHE ABER EXAKTE LÖSUNG DER NAVIER-STOKES-GLEICHUNG Prolumströmungen 2D (ideale Strömungen) Prolumströmungen.! Reibungsfrei = Wirbelfrei u rot v = 0 Φ v = v = Φ 0 rot v = 0 v x u y = 0 Eine Stromfunktion ψ(x, y), so dass Kontinuitätsgleichung erfüllt ist: u = ψ y v = ψ x ( ) div v = u v Komplexe Gröÿen = u x + v y = ψ xy ψ yx 0 z := x + i y; x, y R i 2 = 1 Komplexes Geschwindigkeitsfeld F (z) = Φ(x, y) + i ψ(x, y) Beispiel 3.1: Als Beispiel an der Staupunktstelle: ψ SP = +2xy Φ SP = x 2 y 2 F SP = x 2 y 2 + i 2xy (x + i y) 2 z Komplexe Geschwindigkeit w(z) := df (z) dz! = Φ x + i ψ x! = ψ y i Φ y Behauptung: Jede Funktion z n ist das komplexe Potential einer Strömung. z 2 = Staupunktströmung

29 KAPITEL 3. EINFACHE ABER EXAKTE LÖSUNG DER NAVIER-STOKES-GLEICHUNG 28 z 1 = nicht abgelenkte Strömung z n = Strömung mit keilförmiger Ablenkung zwischen den ersten beiden, sofern 1 < n < Zusammenhang mit Cauchy-Riemann-Gleichung holomorpher Funktionen Für f = u + i v gilt: 1. u x = v y 2. v x = u y Desweiteren ist: u xx = v yx v xy = u yy } u xx + u yy = 0 u = 0; v = 0 Jede quellenfreie und wirbelfreie ebene Strömung ist eine Potentialströmung. Jede holomorphe Funktion stellt eine Potentialgleichung dar. Vorgehensweise: 1. Stromfunktion ψ(x, y) zur Befriedigung der Kontinuitätsgleichung 2. Wirbelfreiheit rot v = 0 Φ(x, y) mit v = Φ 3. Füge ψ und Φ zu einer komplexen Gröÿe zusammen: F (z) := Φ(x, y) + i ψ(x, y) das Das komplexe Potential Denition. Komplexe Geschwindigkeit Es gilt w(z) := df (z) dz = Φ x + i ψ x = ψ y i Φ y (3.1) Φ x = ψ y ψ x = Φ y

30 Kapitel 4 Punktwirbel und Punktquellen 4.1 Punktquellen und Punktsenken Punktquellen und -senken sind Singularitäten. Siehe Abb 4.1. Ohne Einschränkung bende sich diese bei z 0 = 0. y y x x Abbildung 4.1: Punktquellen und -senken Komplexes Potential Heuristisch: Auÿerhalb des Lochs ist die Strömung quellenfrei; d.h. div v = 0 oder konzentrische Kreise um z 0 erfahren den gleichen integralen Durchuss. Durch das Loch kommt ein Volumenstrom Q. Die Tiefe ist mit 1m festgelegt. Die Strömung ist radial nach auÿen. ( ) vr v = Polarkoordinaten v ϕ = 0 Q(r) = 2π ϕ=0 v r r dϕ = 2πrv r v r = 29 Q 2πr = const.

31 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 30 Wegen w(z) := F (z) = df (z) dz F (z) = w(z) dz: c Q 2πr dr F (z) = Q 2π ln z Bemerkung: ln(z) ist bei z = 0 (Quelle) nicht holomorph 4.2 Punktwirbel Behauptung: Das komplexe Potential ist F (z) = i Γ ln(z); z 0; C z = x + i y; x, y R 2π y v ϕ v r x Abbildung 4.2: Punktwirbel Zum induzierten Strömungsfeld kein Durchuÿ: v r = 0 nur Tangentialstrom: v ϕ 0 Γ := 2π ϕ=0 v ϕ d r längs aller Wege (Radien) muÿ konstant bleiben.

32 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 31 Bemerkung: D v p + f Dt d dt Γ(t) = 0 Die Zirkulation ist eine Erhaltungsgröÿe. Aus der Euler-gleichung d.h. wenn es Zirkulation gibt, dann bleibt sie. Gibt es keine, kommt auch keine rein. Γ = v ϕ dϕ weil d r d v ϕ v ϕ = Γ 2πr Sei z = R e i ϕ ; ln z = ln R + i ϕ F (z) = Γ { i ln R + ϕ} 2π Durch die Multiplikation von ln z mit i werden radial (also r) und tangential (also ϕ) Komponente vertauscht. Quelle: R radial I tangential Wirbel: R tangential I radial Dies ist aus den Integrationskonstanten zu fordern. w(z) = F (z) dz + C 4.3 Anwendung: Hindernisströmung Bemerkung: Ebene, ideale Strömungen sind linear wegen der Potentialgleichung ψ = Φ = 0. Daraus folgt: Das Superpositionsprinzip ist gültig, d.h. Lösungen lassen sich ungestört überlagern.

33 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 32 Idee: Überlagere konstante Anströmung F 1 (z) = u z mit einer Quellströmung F 2 (z) = Q ln z. 2π F = F 1 + F 2 = }{{} u z + Anströmung Q 2π ln z } {{ } Punktquelle + i C }{{} : Komplexes Strömungspotential. Die Kontur des Körpers soll die trennende Stromlinie beider Anteile sein. Die Geschwindigkeiten sind: w(z) = u + i v = F (z) z = u + Q 2πz ; Der Staupunkt ist da, wo die Geschwindigkeit 0 ist: w = 0 z 0 = Q 2πu z = x + i y; i 2 = 1 Die Trennstromlinie ergibt sich aus ψ = 0, mit F (z) = Φ + i ψ. Wo ist also I(F (z)) = 0. Zunächst muss die Integrationskonstante angepasst werden C := Q 2 ; y = 0 ϕ = π ψ = IF = u g Q (π ϕ) 2π y s = Q (π ϕ) 2πu } {{ } ϕ Nun bestimmen wir die Druckverteilung auf der Körperoberäche: v 2 = w w = df dz ( df dz = u + Q ) ( u + Q ) 2πz 2πz weil z n = (z) n ; u Z z = r e i ϕ einsetzen auf der Oberäche ψ = 0. vs 2 = u {1 2 2 ϕ sin( ϕ) cos( ϕ) + 1 ϕ } 2 sin2 ( ϕ)

34 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 33 Abbildung 4.3: Umströmter Körper

35 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 34 Der Druckbeiwert ist damit c p : p p ρ 2 u2 Zahl p = 0 c p ( ϕ) = 2 ϕ sin ϕ cos( ϕ) 1 ϕ 2 sin2 ( ϕ); 0 ϕ π c p ( ϕ = 0) = c p ( ϕ = π) = 0 2 sin ϕ ϕ ( sin ϕ 1 ϕ Wo liegt nun das Druckminimum. Nach Ausrechnen ergibt sich: ϕ min c p,min ) 2 = 2, x = R 0, 45 2, 28 = 0, % Beschleunigt 4.4 Zylinderumströmung Nun soll kein Halbkörper, sondern ein Zylinder umströmt werden. Schematisch gibt es zwei Möglichkeiten dies darzustellen (siehe Abb. 1. Quell- Senkenpaar 2. Punktwirbelpaar ε Abbildung 4.4: Umströmter Zylinderkörper

36 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 35 Quelle: F Q (z) = Q ln(z ε) 2π Senke: F S (z) = Q ln(z + ε) 2π Linear überlagert (superponiert!!) F = Q { 1 + ε } 2π ln z 1 ε z Nun bildet man lim ε 0, aber mit der Vorraussetzung Q ε = const. Taylorreihe nach ε Komplexes Potential eines Dipols F D (z) = Q ε! = µ π z πz ist das komplexe Potential w = df dz = u µ π 1 z 2 z2 = µ πu Staupunkt w = 0 µ (z 0 ) 1 = ± 2 πu R Das bedeutet es gibt 2 Staupunkte. Wird der Körper wirklich rund? F = ux + i uy + µ 1 π x + i y = ux + i uy + µ x i y π x 2 + y 2 IF = ψ = uy µ y soll ein Kreis sein. Nach der Umwandlung in Polarkoordinaten (x = r cos ϕ; y = r sin ϕ) ergibt sich: π x 2 +y 2 ) ψ = ur sin ϕ ur2 r sin ϕ = u sin ϕ (r R2 r 2 r Daraus folgt für r = R (auf einem Kreis mit Radius R) ist ψ = 0 f(ϕ), d.h. ψ = 0 ist kreisförmige Stromlinie.

37 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN Komplexe Geschwindigkeit w(z) = df dz = u + i v Komponenten in Polarkoordinaten v r und v ϕ an der Stelle r = R. Das Ergebnis ist: ( ( ) ) 2 R v r (r, ϕ) = u 1 cos ϕ r ( ( ) ) 2 R v r (r, ϕ) = u 1 + sin ϕ r v r (r = R, ϕ) = 2u sin ϕ c p = p p ρ 2 u2! = 1 4 sin 2 ϕ 4.5 Zylinderströmung mit Zirkulation Der Bezugsdruck ist q = ρ 2 v2 Das komplexe Potential kann addiert werden (wegen Linearität der Potentialgleichung) F p = }{{} u z z + u r2 0 z } {{ } z> Komplexe Geschwindigkeit w(z) = df dz = }{{} u a 0 i Γ 2π ln z (4.1) r } {{ 0} z>r 0 u r2 0 } {{ z 2 } a 2 + i Γ }{{} 2πz a 1 w(z) zerlegen in radial & tangential v r, v ϕ. v r bleibt unverändert im Vergleich zu zirkulationsfreier Umströmung Γ = 0. ( ) v ϕ = u 1 + r2 0 sin ϕ Γ r 2 2πr (siehe Mathematik). L = Lift = ρuγ oder genauer L = ρ Γ u Γ ist ein Vektor aus der Zeichenebene. Frage: Woher kommt Γ und wie groÿ ist sie? Mögliche Fälle nden sich in der folgenden Abbildung.

38 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 37

39 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 38

40 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN Joukovskie Profil Cp Profil -1 Profil, Cp Re z

41 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN Joukovskie Profil Im(z) Re(z) invertierter Kreis=Profil inversionskreis z =1 zu invertierender kreis Bei Auftriebsprolen mit spitzer Hinterkante sind die Zirkulation Γ durch die sogenannte Kutta-Joukovskie-Bedingung bestimmt. Das heiÿt Γ ist so zu wählen, dass der hintere Staupunkt gerade die hintere Kante ist.

42 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 41 Plausibilitätsbetrachtung Keine Querströmung an der Hinterkante kann durch Grenzschichttheorie erklärt werden. Im Nachlauf gilt aufgrund von innerer Reibung (Viskosität) v = 0. Der Nachlauf bildet also eine Trennäche (oder durch den Anfahrwirbel erklärbar) Prolaerodynamik Joukovskie-Prol via konforme Abbildung. Denition. Eine Abbildung C C heiÿt konform, wenn sie umkehrbar holomorph ist. Betrachte Joukovskie-Abbildung (Spiegelung am Kreis), die als Denitionsmenge K(R, z 0 ) = { z C; z = z 0 + Re i ϕ ; 0 ϕ 2π } einen Kreis hat. w(z) := z + c z ; z 0 Behauptung: Nach Real- und Imaginärteil zerlegt: } x = c2 x x 2 +y 2 y = c2 y Spezialfall x 2 +y 2 Beweis. Ansatz: w = x + i y = x + i y + C x + i y = x + cx y + i y x 2 + y 2 x 2 + y 2 } {{ } x } {{ } y = x + i y + C(x i y) x 2 + y 2 q.e.d. Der Vorteil ist, dass man auch das Strömungspotential des Prols aus der eines Kreises bestimmen kann. F (z) = u z + u r2 0 i Γ ( ) z z 2π ln r 0

43 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 42 geht über zu: F (w) = F (Z(z)), dem Potential. Die komplexe Geschwindigkeit ist damit: W = df dz = U + i V = df dz dz dz = df dz 4.6 Wirbeldynamik ( ) 1 dz dz dz dz = 1 C Z 2 Ein Wirbel hat geschlossene Stromlinien. Das Geschwindigkeitsfeld eines elementaren 2D-Wirbels lautet Γ v t (r) = 2 π r v ( r) d r c wegen Γ = 2π r v t = const Die lokale Wirbelstärke bei v( r) ist gegeben mit: (4.2) ω( r) = rot v v (4.3) Bemerkung: Wirbel sind die Muskeln & Sehnen des Strömungsfeldes Beispiel 4.1: Auftrieb (Kutta-Joukovskie-Theorem) F = ρ v Γ Bei einem Prol wird Γ (= Zirkulation) als gebundener Wirbel angesehen. Die Festlegung erfolgt durch die Kutta-Joukovskie-Bedingung (Staupunkt an der Hinterkante). Bei reibungsfreier Strömung ist Γ zeitlich konstant, d.h. Γ t = 0 Wirbel können (reibungsfrei) weder erzeugt noch vernichtet werden.

44 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 43 F v F v Γ Abbildung 4.5: Skizze zum Auftrieb verschiedene Modelle Punktwirbel (Vortex-Patch): 0D 1D Linien & Flächenwirbel: 1D 2D Kugelwirbel: 3D Punktwirbel Punktwirbel 1, d.h. bei r = 0 singulär, d.h. v(0) =, d.h. Energie ist unendlich r Widerspruch (Siehe Abbildung 4.6). Eine einfache Methode dies zu beheben ist, die Wirbel bei r = r 0 abzuschneiden (Wirbelkern, Auge). Was bestimmt das r 0? Die Reibung. Wie/Was wird damit modelliert? Z.Bsp. der Hagen-Darrieus Ro- Beispiel 4.2: tor.

45 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 44 v 5 4 1/r v max 0 1 r 0 r Abbildung 4.6: Punktwirbel: Hyperbel Weil Γ am Flügel erzeugt werden, muss L > 0 aber zugleich Γ t = 0 sein. Daraus folgt, dass ein gleichgroÿer, aber entgegengesetzter Wirbel abgestrahlt werden. Diese Wirbelächen (-punkte) werden als materielle Punkte angesehen, d.h. man nimmt an, dass sie sich mit der Gesamt-Strömung (=Wind + alle anderen induzierten Geschw.) mitbewegt. Beispiel 4.3: 2 Wirbelpunkte:

46 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 45 P 3 d 31 ω 1 mit (x 1, y 1 )(t) Γ 1 d 32 ω 2 mit (x 2, y 2 )(t) Γ 2 Die Wirkung von Γ 1 auf Γ 2 ist daher v 3 = v w + v i1 + v i2 { v21 = Γ 1 2π d 12 v 12 = Γ 2 2π d 21 In P 3 ist = v w + Γ 1 2π d 31 + Γ 2 2π d 32 Damit ergibt sich als Kraft auf die Struktur F r F n x Die Normalkraft wirkt nach auÿen und ist sehr viel gröÿer als die Tangentialkraft. F x ist der Schub. Die Bezugskraft ist F r = ρ 2 v2 w c l Es ergeben sich die Beiwerte: c n = F n F r c t = F t F r c x = F x F r

47 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 46 Wirbellinien & -Flächen induzierter Widerstand an endlichen Flügeln: Hauptwirkung ist induzierter Saug Druck Abbildung 4.7: Widerstand auf Flügelächen Flügel Γ B Abwind Rest Abbildung 4.8: Idealisiertes Wirbelsystem Widerstand (obwohl reibungsfrei), wegen des Druckausgleiches an den Spitzen. Daraus folgt für s 2 x s 2 : Γ( s 2 ) = Γ(s 2 ) = 0 (4.4) Der erste Schritt: Γ γ(x) entlang Linie verteilt (Traglinie oder Liftingline) Γ 0 c Γ = c 0 γ(x) dx (4.5)

48 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 47 Bemerkung: Einfache Anwendung: Ringügel, Diusor, Trichter Die induzierte Geschwindigkeit an der Stelle x ist: v t (x ) = 1 c dx γ(x) 2π 0 x x Dies nennt man das Gesetz von Biot-Savart Frage: v t sei gegeben. Wie muÿ γ(x) aussehen? Antwort: Das ist eine Integralgleichung (IGL Gegensatz von DGL) und kann unter Umständen gelöst werden. Ein einfaches Beispiel ist Beispiel 4.4: w = const = du γ(x) = 2 du c x nennt man Eckensingularität x γ? c x Übertragung auf endliche Flügel Betrachte Strömung in der Tretz-Ebene. Auf der Wirbeläche sind Sprünge der Tangentialgeschwindigkeit durch Tip-induzierte Normalkomponente. 2w u = 1 4π s 2 s 2 dγ dx dx x x

49 KAPITEL 4. PUNKTWIRBEL UND PUNKTQUELLEN 48 Spitzenwirbel (Vortex-Sheet) w = Abwind oben unten Hub (innen) Hub (aussen) Tip Tip Abbildung 4.9: Flügel in der Tretz-Ebene γ 1. Da L = ρ u Γ und L = c 2 c = ρ 2 u2 ( N ). Daraus folgt m Γ = c c 2 2 Analog zur 1D-Theorie ist Dabei ist c L (x) c(x) c = 4 AR w u s: Spannweite des Flügels AR: Tiefenverhältnis c: gemittelte Tiefe c = 1 s 1 ( ) 2 2x s T iefe Spannweite = s2 A s 2 c(x) dx s 2

50 Teil II Transition und Turbulenz 49

51 Kapitel 5 Allgemeines 5.1 Einleitung Allgemeines Diese Übersicht wird Mathematikern zu ungenau, Physikern zu ingenieurmässig und Ingenieuren zu wissenschaftlich sein - also scheinbar für niemanden so recht brauchbar. Nichtsdestotrotz sollte eine genaue Beschreibung der Turbulenz alle Teilsichten dieses Phänomens berücksichtigen, um zu ezienten und genauen Rechenverfahrten für die Praxis zu gelangen, wie sie etwa bei Festigkeitsanalysen mit FEM inzwischen erreicht wurden, da weitgehender Konsenz darüber besteht, dass die Turbulenzmodellierung das schwächste Glied in der Berechnungskette darstellt. Die vorliegende Fassung ergänzt das Original von 1997 vor allem in Hinblick auf die seitdem veröentlichte Literatur Historie Seit den Untersuchungen von O. Reynolds Ende des neunzehnten Jahrhunderts zu Rohrströmungen 1, ist man gewohnt (mindestens) zwei Strömungsformen zu unterscheiden: 1. die sog. laminaren oder geschichteten Strömungen, 1 Es ist interessant anzumerken, daÿ turbulente Rohrströmungen immer noch den physikalisch schwierigsten Fall darstellen. Obwohl empirische Rohrreibungsdiagramme von Nikurasde und Colebroock ausführlich vermessen sind, ist der Einsatz der Turbulenz noch unverstanden. Der 1995 mit der Max-Plank-Medaille - der höchsten Auszeichnung der Deutschen Physikalischen Gesellschaft auf dem Gebiet der Theoretischen Physik - ausgezeichnete Preisträger S. Groÿmann [Groÿmann] hat erst neuerdings Vorstellungen entwickelt, die den Einsatz der Turbulenz in dieser Strömung bei Re R 2000 erklären könnten 1

52 KAPITEL 5. ALLGEMEINES 2 2. dem unterschieden die sog. turbulenten oder stark verwirbelten Strömungen. Obwohl intuitiv klar ist, was gemeint ist - besonders, wenn man sich das Originalexperiment vor Augen hält - stehen klare Denitionen im mathematischphysikalischen Sinne nach wie vor aus [LesHouches]. In Abb. 5.2 sind zwei typische Geschwindigkeitsprole einer Rohrströmung dargestellt. Da die Leistung digitaler Rechenmaschinen exponetiell wächst, ist man zunehmend bemüht, technisch relevante Strömungsvorgänge numerisch möglichst genau vorherzubestimmen, um teueren Versuchsaufbauten aus dem Weg zu gehen oder deren Durchführung zumindest einzuschränken. Das von Reynolds angegebene Kriterium, welches beide Strömungsformen trennt 2 ist die sog. Reynoldszahl, die das (lokale) Verhältnis von Trägheits- zu Reibkräften angibt: 3 Re = v l ν. (5.1) Hierbei sind v und l charakteristische Geschwindigkeit bzw. Länge und ν die kinematische Viskosität. Wie hinlänglich bekannt, gehen die Bewegungsgleichungen eines Fluids aus den Erhaltungsätzen für Masse, Impuls und Energie hervor. Die den kinematischen und thermomdynamischen Zustand eines Fluid vollständig beschreibende Gröÿen sind: Dichte ρ(x, t), Geschwindigkeitsvektor u(x, t) = (u, v, w), Druck p(x,t) und Temperatur T(x,t). Dies sind zusammen sechs unbekannte Felder, demgegenüber hat man aus den Erhaltungssätzen nur fünf Gleichungen zur Verfügung. Zur Schlieÿung wird also noch eine Zustandsgleichung der Form ρ = f(p, T ) gebraucht, z. B. die eines idealen Gases ρ = p oder einer idealen Flüssigkeit. Eine eingehendere R T Diskussion zur Herleitung ndet man z. Bsp. in [Landau V/1]. Ebenso wichtig sind die Randbedingungen, welche das Gleichungssystem erst wohldeniert machen. 4 Für den Fall inkompressibler Strömung (von Wasser und Luft bei Geschwindigkeiten, die klein zur Schallgeschwindigkeit sind) entkoppeln die Gleichungen: 5 2 Im allgemeinen ein transitioneller Bereich endlicher Ausdehnung 3 Reibungsfreie Strömungen ν = 0 Re werden durch die Eulerschen Gleichungen beschrieben. Sie nehmen wegen des nichtanalytischen Überganges einerseits und ihrer Konservativität (Energieerhaltung) eine Sonderstellung ein. Jedoch scheint auch bei diesen reibungsfreien Strömungen Turbulenz möglich zu sein [Bell, Marcus]. 4 Auch hier ist der Unterschied zwischen Navier-Stokes (NSG) und Euler Gleichungen(ELG) bedeutend: da die NSG zweiter Ordnung sind, müssen an Wänden tangentiale und normale Geschwindigkeiten vorgegeben werden (Wandhaftung), bei den ELG wegen der reduzierten Ordnung nur die normale (kein Durchuÿ). 5 Die Geschwindigkeiten u und Wellenvektoren k (s.u) sind 3D-Vektoren, deren Komponenten durch einen griechischen Index α {1, 2, 3} N gekennzeichnet werden. Weiter ist α / x α

53 KAPITEL 5. ALLGEMEINES 3 Die Masseerhaltung: Kontinuitätsgleichung u = u x + v y + w z = αu α = 0. (5.2) und Impulserhaltung t u + (u )u = ν u 1 ρ p + 1 F. (5.3) ρ oder in Tensorschreibweise: 6 t u α + u β β u α = 1 ρ αp + ν βα u α (5.4) Werden die Gröÿen durch Einführung der oben schon angesprochenen charakteristischen Werte entdimensionalisiert, so lautet die Impulsgleichung: 7 t u + u u = 1 u P, (5.5) Re [Chorin, Marsden] bei Abwesenheit von Volumenkräften Ziel des Berichtes In wenigen Worten zusammengefaÿt soll im weiteren dargestellt werden, ob und ggf. wie ein Turbulenzmodell für die Numerische Simulation gewonnen werden kann, daÿ aus kontrollierten, physikalisch überschaubaren Näherungen entsteht. Die dabei verwendeten Methoden und Verfahren sollten mathematisch (rigoros) nachvollziebar und keine zu groben Widersprüche enthalten. Zur Zeit stehen diese drei Säulen allerdings noch abseits voneinander im turbulenten Meer, Querverbindungen bis auf Sichtweite sind aber noch nicht hinreichend befestigt und auch nicht in allen Details begehbar. und αβ /( x α x β ) Es wird weiterhin von der Einsteinschen Summenkonvention a α b α := 3 α=1 a α b α gebrauch gemacht. 6 Bisweilen ndet man für die totale oder konvektive Zeitableitung die Schreibweise D Dt := t + v 7 Hier ist der sog. kinematische Druck P := p/ρ verwendet

54 KAPITEL 5. ALLGEMEINES Literaturempfehlung Abschlieÿend sei eine kurze, persönliche Literaturauswahl gestattet: 1. Für den soweit interessierten Leser ist die Monograe von R. Teman [Teman] mathematischen zur Beschreibung turbulenter Strömungen zu empfehlen. Allerdings ist sie recht knapp geschrieben, sodaÿ eine Menge an Zusatzkenntnissen aus der Funktionalanalysis nachzuarbeiten sind. Diese sind z. Bsp. in den Werken von Galdi [Galdi I, Galdi II] und Gallavotti [Gallavotti] bereits eingeschlossen. Die unten anzuprechende Preisfrage ist in Feerman [Feerman] sehr klar formuliert - dieses Paper kann ebenfalls als Einstieg gewählt werden. 2. Die physikalischen Aspekte der Turbulenz sind in dem Buch von McComb [McComb] sicher gut beschrieben. Eine knappe aber sehr gut lesbare Darstellung ist der Physics Today Artikel von Frisch und Orszag [Frisch, Orszag], sowie die ausführlichere Darstellung von Frisch selbst [Frisch]. Das Werk von Landahl und Mollo-Christensen [Landahl] gibt eine sehr pädagogische Einführung in den Sto, wobei auch Schallerzeugung durch Turbulenz und der turbulente Transport skalarer Gröÿen einbezogen ist. 3. Die ingeniermäÿigen Leser seien auf die Werke von Wilcox [Wilcox] aus dem Jahr 1993 und Rotta [Rotta] (1972) hingewiesen. Vor allem letzterer erlebt nach fast fünfzig Jahren eine gewisse Renaissance 8, da viele Ideen von Rotta zur Turbulenzmodellierung bereits in den 50ern fromuliert wurden und erst jetzt hinreichend gewürdigt werden. Die Übersicht von [Gatski et.al.] ist moderner, allerdings setzt sie einiges mehr an Vorkenntnissen voraus. 8 Rotta wurde im Jahre 2000 der Ludwig-Prandtl-Ring verliehen, 2002 durfte er seinen 90sten Geburstag feiern; Robert Kraichnan, der letzte Einstein-Postdoc erhielt 2003 die Dirac Medallie für seine grundlegenden Arbeiten insbesondere zur zweidimensionalen Turbulenz

55 KAPITEL 5. ALLGEMEINES Grenzwertige Reynoldszahlen Re 0 Für Re 0 wird die Strömung durch Reibungskräfte dominiert, Konvektion kann also vernachläÿigt werden für den stationären Fall u/ t = 0 erhält man damit die lineare Stokes - Gleichung, 9 die wegen der kleinen Reynoldszahlen nur laminare Strömungen beschreibt: 1 u = P, (5.6) Re u = 0. (5.7) Wegen der Linearität kann diese Gleichung kann mit den üblichen Methoden der Greenschen Funktionen behandelt werden [Galdi I]. Insbesondere gelang es Oseen damit, das Stokessche Reibungsgesetz für eine Kugel in zäher Flüssigkeit in seiner Gültigkeit zu erweitern: 10 c W = 24 ( ) Re Re (5.8) Diese lineare Stokes-Gleichung wird im weiteren (s. Kap ) als Ausgangpunkt der analytischen Theorie benutzt. Re Der interessante Grenzfall Re ist mathematisch anspruchsvoll. Hier liegt ein sog. singuläres Störungsproblem vor, da die Lösungen der NSG und der ELG nichtanalytisch vom Entwicklunsparameter 1/Re abhängen. Anschaulich gesprochen sind also ν = 0 und ν 0 nicht vergleichbar. Dies wurde zuerst von Prandtl erkannt, der mit den Grenzschichtgleichungen (GG) [Schlichting] eine Methode zur Bestimmung von Strömungen für asymptotisch groÿe Reynoldszahlen vorlegte. 11 Diese Theorie ist von auÿerordentlich groÿem praktischen Nutzten 12, denn sie vermittelt zwischen disen beiden Randbedingungen [Mohammadi, Pironneau] (Hier ist D der Körper und D der Körperrand): 9 in der Ingenieur-Literatur oft auch Darcy Gesetz genannt 10 Die von Stokes selbst abgeleitete Formel c w = 24/Re ist nur bis Reynoldzahlen 1 gültig. Demgegenüber ist die Oseensche Lösung zumindest eine Gröÿenordnung weiter gültig (s. z. Bsp [Schlichting] und 5.1 ). Versuche durch sog. asymptotisches Matching diese Reihenentwicklung weiter voranzutreiben scheitern an der bei Re 50 eintretednen Wirbelablösung [van Dyke] 11 Obwohl die Grenzschichttheorie nur im Grenzfall Re gïltig ist, sind sowohl laminare als auch turbulente Grenzschichten möglich 12 man denke nur an XFOIL

56 KAPITEL 5. ALLGEMEINES 6 Abbildung 5.1: Reibungsbeiwert an einer Kugel aus [Schlichting]

57 KAPITEL 5. ALLGEMEINES 7 Abbildung 5.2: Laminares und turbulentes Geschwindigkeitsprol in einer Rohrströmung

58 KAPITEL 5. ALLGEMEINES 8 1. u n = 0 für die ELG am Rand D 2. u = 0 für die NSG am Rand D in einer Schicht, deren körperabgewandter Rand mit G bezeichnet sei und die in etwa eine Dicke Re hat. Körperseitig müssen die Randbedingungen der NSG, am Ende der Grenzschicht die der ELG erfüllt sein. Obwohl die Voraussetzungen der Grenzschichttheorie nur bis zur Ablösung der Strömung gültig sind, ist durch sie eine starke Verminderung und Vereinfachung des (analytischen) Rechenaufwandes verbunden: Die Grenzschichtgleichungen u t + u u x + v u y = p x + 1 Re u yy (5.9) p y = 0 (5.10) u x + v y = 0 (5.11) u = v = 0 auf der x Achse (5.12) sind parabolisch und ermöglichen für viele praktische Probleme die einfachste Einbeziehung der Reibungsekte. Ebenfalls ist der Aufwand für die numerische Aufbereitung [Fletcher I] beträchtlich reduziert, sodaÿ frühzeitig auch nichtakademische Geometrien betrachtet werden konnten (Tragügelprole). Es ist also eine genäherte Lösung der NSG durch die folgende Strategie möglich: 1. Löse die ELG auÿerhalb eines Gebietes D + G mit den obigen Randbedingungen auf D 2. Löse die GG 3. Füge die beiden Geschwindigkeitsfelder auf G zusammen 13 Sogenannte turbulente Gleichgewichts Grenzschichten zeigen eine eigene, im Vergleich zur gesamten turbulenten Phänomenologie überschaubare Struktur - (vergl. Abb. 5.3) - die als einfaches Verikationsmodell (Benchmark) jedes neuen Turbulenzmodells dient In den entsprechenden Abbildungen sowie den zugehörigen Gleichungen sind die Wandgröÿen durch ( du1 τ W = νρ (5.13) x + 2 dx 2 )x 2 =0 u τ = τ W /ρ (5.14) := y + = x 2u τ ν (5.15) 13 Dieses sog. strong interaction Schema ist u. U. numerisch instabil und versagt gänzlich im 3D Fall. Deswegen wurde in den Achtzigern die numerische Behandlung der Grenzschichtgleichungen zugunsten die der Navier-Stokes-Gleichungen aufgegeben

59 KAPITEL 5. ALLGEMEINES 9 Abbildung 5.3: Turbulentes Grenzschichtprolprol in dimensionsloser Darstellung

60 KAPITEL 5. ALLGEMEINES 10 deniert. Ausserdem sind Eigenschaften der turbulenten Grenzschichten als sog. Wandgesetze in jedem Turbulenmodell zur numerischen Simulation enthalten, da die meisten heutigen Rechner die räumliche Auösung des relevanten wandnahen Bereiches noch nicht gestatten (vergl. Abb. 7.1) und viele der sog. Zweigleichungsmodelle die geforderten Randbedingungen and den Wänden nicht erfüllen können und somit inkonsistent sind.

61 Kapitel 6 Stabilität laminarer Strömungen Eine Stabilitätsanalyse der NSG (linear und nichtlinear), wie sie methodische durch durch Rayleigh, Sommerfeldt, Orr und anderen begründet wurde, ist in der Lage die kleinste Re zu bestimmen, ab der Störungen angefacht werden. Ab welcher Re Turbulenz im statistischen Sinn voll ausgebildet ist, kann durch diese methoden nicht erklärt werden. Instruktiv ist die Darstellung die Entwicklung vollausgebildeter Turbulenz in einer Plattengrenzschicht nach [White] in Abb Um das restliche Gebiet von der Instabilität der laminaren Lösung bis zur voll ausgebildeten Turbulenz erfassen zu können ist eine Vielzahl an empirischen Methoden in Gebrauch [Arnal] von denn das sog. e N - Kriterium das bekannteste ist. Nichttrivial mathematisch Aussagen haben die Arbeiten von Ruelle [Ruelle, Takens] und anderen ergeben (s.u). Numerischen Untersuchungen (DNS s. u.) zur Transition in Plattengrenzschichten geben [Bestek, Kleiser und Zang]. 11

62 KAPITEL 6. STABILITÄT LAMINARER STRÖMUNGEN 12 Abbildung 6.1: Entwicklung der Turbulenz in einer Plattengrenzschicht nach White

63 Kapitel 7 Turbulenz 7.1 Mathematische Aspekte Globales Verhalten de Lösungen Die mathematische Behandlung der Navier-Stokes-Gleichungen ndet sich im Rahmen der sog. Funktionalanalysis wieder. Damit wird dem math. Bedürfnis Rechnung getragen, möglichst allgemeine Aussagen über die Kernfragen: 1. Existenz einer Lösung 2. ihre Ein- oder Mehrdeutigkeit 3. Regularität, d.h. singuläres Verhalten und/oder Glattheitseigenschaften im Sinne der Zugehörigkeit zu einem der Standardräume C n oderh n zu erhalten. Gerade die letzte Frage ist wichtig, da von einigen Mathematikern spekuliert wurde, dass alle Lösungen auch bei glatten Anfangsbedingungen in endlichen Zeiten auf kompaktem Träger singulär werden könnten. Dieser Zusammenbruch glatter Lösungen sei mit dem turbulenten Umschlag zu identizieren. Da die Struktur der NSG dreidimensional und nichtlinear ist, ist die Beantwortung dieser Fragen zumindest ein Jahrhundertproblem [Heinz] nach Ansicht vieler Mathematiker. Inzwischen ist es sogar vom Clay-Insitut für Mathematik zum Millenniumproblem für das Dritte Jahrtausend erklärt worden und mit einem erheblichen Preisgeld versehen [Clay, Feerman]. In einer Raumdimension ist die nun nach Burgers benannte Gleichung (fast) trivial zu diskutieren, da u t + u u x = 1 Re 2 u x p 2 x, (7.1) 13

64 KAPITEL 7. TURBULENZ 14 durch die sog. Hopf-Cole-Transformation 1 in eine lineare Diusionsgleichung umgewandelt werden kann. Damit können vor allem statistische Ensemble von Schockwellen untersucht werden [Burgers, Frisch und Bec], die eine gewisse impressionistische Studie turbulenter Grundeigenschaften erlauben. Eine neuere Diskussion dieser Burgulence ndet sich in [LesHouches]. In zwei Raumdimensionen (z. Bsp. als Modell für athmosphärische Turbulenz [Lesieur]) ist die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung nachgewiesen [Mohammadi, Pironneau, Galdi II, Lions 96b]; im interessantesten Fall D=3 ist nur bewiesen, daÿ u nur dann eindeutig ist, wenn es auch glatt ist, d.h u L ist. Damit beiÿt sich die Katze in den Schwanz, denn gerade die fehlende Glattheit könnte den Übergang vom deterministischen zum stochastischen Verhalten, d.h. das Vergessen der Anfangsbedingungen, erklären ([Mohammadi, Pironneau]). Die Regularität der Lösungen ist ebenfalls für die Turbulenzmodellierung von Bedeutung, da z. Bsp. Chorin [Chorin 94] die Vorstellung einer durch Wirbelensemble erzeugten Turbulenz propagiert. Wenngleich die Wirbeldynamik [Saman] für D=2 - auch als statistisches Ensemble - seit Helmholtz wohletabliert ist, ist die hochgradig nichttriviale Übertragung nach D=3 bestenfalls als in der Entstehung anzusehen. Wie schon gesagt, hat P.-J. Lions für seine Ergebnisse auf dem Gebiet der nichtlinearen partiellen DGLn die Fields-Medal zuerkannt bekommen. Dies hängt damit zusammen, daÿ Lions gezeigt hat, daÿ starke und schwache Lösungen identisch sind [Lions 96b]. Wirbelobjekte (Fäden, Filamente, Sheets - Flächen) haben im Zentrum singuläre Geschwindigkeiten (Biot-Savartsches-Gesetz), deshalb ist eine Aussage über die Menge solcher möglichen Singularitäten wichtig, aber ein vorliegendes mathematisches Teilergebnis ist eher entmutigend: Die fraktale (Hausdor) Dimension ist kleiner 1 - es können demnach nur sehr zerriÿene Wirbelfäden vorliegen. 2 Diesbezügliche Untersuchung an den reibungslosen Eulergleichungen sind somit interessanter [Bell, Marcus, Chorin 94]. 1 Diese interessante Eigenschaft ist im Zusammenhang mit der sog. inversen Streutransformation [Landahl] zu sehen, mit der einige (meist eindimensionale) nichtlineare, partielle Dierentialgleichungen durch gekoppelte lineare Rechenverfahren gelöst werden können. Die so untersuchten Lösungen sind unter dem Namen Solitonen bekannt geworden und nden inzwischen in der optischen Nachrichtentechnik Anwendung. 2 Fields-Medal-Träger J.-P. Lions [Lions 96a] ist der Meinung, daÿ bei hinreichend glatten Randbedingungen keine Singularitäten auftreten sollten und stützt seine Vermutung auf die numerischen Experimente von z. Bsp. [Chorin 82]

65 KAPITEL 7. TURBULENZ Axiom A Analyse - Strange Attractors In vielen Anwendungen ist nicht das transiente Verhalten für endliche Zeiten von Bedeutung, sondern das Verhalten t. Nach aufsteigender Komplexität geordnet, können nach der mathematischen Theorie der Hamiltonischen (energieerhaltenen) Dynamischen Systeme folgende Fälle unterschieden werden: auftreten: 1. stationärer Endzustand (keine Zeitabhängigkeit) 2. periodisches Verhalten (oszillierende Karman'sche Wirbelstraÿe) 3. quasiperiodisches Verhalten (im Frequenzspektrum sind Wibelelemente mit nur zwei Frequenzen mit irrationalem Verhältnis vorhanden) 4. chaotisches Verhalten mit kontinuierlichem Frequenzspektrum (sog. strange oder Axiom-A 3 Attraktor 4 Die Arbeiten von Ruelle und anderen [Ruelle, Takens, Newhouse et. al.] bezüglich der dissipativen (energieverzehende) Navier-Stokes-Gleichungen favorisieren ein anderes Szenario (Abfolge) für den Weg in die Turbulenz. Der Weg in die Turbulenz ist nicht wie im Landau-Hopf-Szenario [Landau VI] durch eine unendliche Abfolge von Frequenzvervielfachungen gekennzeichnet, sondern geht schon nach wenigen in ein chaotisches verhalten über. Experimentelle Untersuchungen der Rayleigh-Benard-Konvektion (natürliche Konvektion einer von unten geheizte Platte) bestätigen dies wie auch Messungen an Strömungen in rotierenden Zylindern. Daher hat dieses Ruelle-Takens-Szenario als reine mathematische Theorie echten theoriebildenden Charakter. Allerdings sind weitergehende Honungen, die man in diese Analysen gesetzt hatte, nicht erfüllt worden: Dimensionsabschätzungen des Attraktors mit rigorosen Methoden scheinen nicht kleine Zahlen zu erhalten als die phänomenologische Kolmogoroabschätzung (s.kap ) und ergeben somit keine Reduzierung oder sogar Identizierung der Anzahl relevanter Freiheitsgrade. 5 Die numerische Gitterauösung im bestrachteten Raumgebiet ist ebenfallsdurch diese Kolmogorolänge gegeben, wenn man alle - nicht unbedingt notwendigen - Details in einer sog. direkte Simulation bestimen möchte. Die kleinste Längenskala einer turbulenter Strömungen ist Re 3/4. Vom Physikalische Standpunkt aus betrachtet ist dieses Ergebnis äuÿerst unbefridigend, da nur wenige Momente der als statistisch angesehenen Felder Bedeutung haben - und nicht kleiste Trubulenzballen auf Mikrometer Skala 3 Die Bezeichung Axiom-A Attraktor stammt von Fields-Medal-Träger S. Smale. 4 Ein seltsamer Attraktor ist eine beschränkte Menge im Phasenraum, die für t alle Trajektorien (Bahnkurven in diesem Phasenraum) anzieht. 5 Anders verhält es sich bei der Analyse von Klimadaten. Dort gelang es, die Dimension des relevanten Attraktors als kleiner vier zu erschlieÿen.

66 KAPITEL 7. TURBULENZ Numerische Strömungsmechanik Die numerische Strömungsmechanik hat eine lange Tradition und ist inzwischen neben der (analytischen) Theorie und Messungen die dritte etablierte Methode zur Untersuchung der Turbulenz. Einführung in dieses Gebiet geben [Fletcher I, Fletcher II, Ferziger, Peri, Schönung] und viele andere. In jedem Fall ist die enorm gestiegene Rechnerleistung zu berücksichtigen (Abb. 7.1). Die drei Kurven verdeutlichen: 1. Superrechner mit z. Zt. gröÿter erreichbarer Leistung (Preis > 500 kdm) 2. Arbeitsplatzrechner (Preis 100 kdm) 3. PC (Preis 10 kdm) Für LES und direkte Simulationen ist man weiter auf die Superrechner angewiesen, da man dort die zehn- bis hundertfache Anzahl von Knoten braucht. Auch hier ist der Stil und die Intention je nach Blickwinkel ein anderer: Während ingenieurmäÿig ein ezientes Verfahren zur numerischen Berechnung gesucht ist, interessieren sich Mathematiker sehr viel eingehender für die Eigenschaften wie Konvergenz, Fehler u.a Direkte Simulation Die physikalische Struktur der homogenen Turbulenz wird von einer unteren Länge begrenzt, ab der die Wärmebewegung beginnt, solche Bereiche müssen also nicht mehr in den NSG aufgelöst werden. Unter einer direkten Simulation versteht man die Lösung der NSG ohne jede zusätzliche Modellbildung bis hinunter zu dieser Kolmogoroänge. Eingeschlossen ist hierbei auch die Ergodenhypothese, nach der das zeitliche Mittel durch ein Ensemblemittel ersetzt werden kann und einige weitergehende statistische Annahmen. Der Aufwand für die zeitliche wie die räumliche Disketisierung ist so groÿ, daÿ auf absehbare Zeit hinaus keine technisch relevanten Strömungen untersucht werden können. Nichtsdestotrotz ergeben diese Untersuchungen wertvolle Informationen über Turbulenzmodelle, die nicht von einer Messung erbracht werden können [Tran und Morchoisne]. Als besonders wichtig sind die Untersuchungen der wandnahen Grenzschichten zu nennen Large-Eddy-Simulation Oberhalb der oben angesprochenen Kolmogoroänge k 1 d schlieÿt sich aufgrund allgemeiner Ähnlichkeitsüberlegungen ein Bereich an, der als Kaskadenbereich oder

67 KAPITEL 7. TURBULENZ 17 CPU Power (MFlop) 1e+12 1e+09 1e CPU power Workstation PC year Abbildung 7.1: Entwicklung der Rechnerleistung

68 KAPITEL 7. TURBULENZ 18 Trägheitsbereich im Fall Re weit ausgedehnt ist: 2π/L k k d. L ist hier das Längenmaÿ der gröÿten Wirbel. Die Energieverteilung E(k) ist nach dieser Hypothese: E(k) = C K ɛ 2/3 k 5/3. (7.2) C K ist eine numerische Konstante 1.5 und ɛ die turbulente Energiedissipation. Zerlegt man die Geschwindigkeitskomponenten in einen stationären Mittelwert U α und Fluktuationen u α so wird ɛ mit: u α = U α + u α : (7.3) ɛ := ν 2 u 2 α + u β (7.4) x β x α α β aus den Gradienten der Fluktuationen deniert. Anschaulich ist ɛ die Leistung zum Aufrechterhalten der turbulenten Strömung. Messungen für sehr groÿe Reynoldszahlen (athmosphärische Turbulenz, Gezeitenkanäle) bestätigen diese Gesetzmäÿigkeit nach Komogoro [Piquet]. Modelliert man zusätzlich noch die Raumgebiete in diesem Kaskadenbereich, der mindestens eine Gröÿenordnung mehr als k 1 D umfaÿt, so kann der räumliche Diskretisierungsbedarf um einen Faktor Tausend und den zeitlichen um einen Faktor zehn - im Vergleich zur direkten Simulation - vermindert werden. Damit wären technische Probleme in der nächsten Zukunft numerisch zugänglich. 6 Allerdings sind auch hier sog. sub-grid-scale-turbulenzmodelle notwendig, die noch nicht abschliessend formuliert sind [Ferziger, Peri ]. Wie man ystematisch Ansätze, z. B. aus der Theorie der Renormierungsgruppe ableitet, wird weiter unten diskutiert. Neuerdings [Ferziger, Peri ] wird von einer Large-Eddy-Simulation mit Zellen für eine Kubus-Unströmung bei Re H = 3200 berichtet. (Eine DNS würde in diesem Fall Zellen beanspruchen) Andere Modelle Um den numerischen Aufwand zu verringern, können weitere Vereinfachungungen getroen werden. Abfolgend in ihrer Stärke ([Ferziger, Peri, Speziale]): pdf Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionalmethode (Probabily Density Functions) tpc Zwei-Punktschlieÿungsmodelle (Two Point Closure) 6 Prof. Rodi aus Karlsruhe [Rodi 96], ein energischer Vertreter und Förderer der phänomenologischen Turbulenzmodelle, hat auf dieser Tagung erstmals davon gesprochen, daÿ solche Grobstrukturmodellierungen relevant werden könnten.

69 KAPITEL 7. TURBULENZ 19 RES Reynolsspannungsmodelle (Reynolds Stress) EV Wirbelviskositätsmodelle (Eddy Viscosity) Diese Begrie bedeuten im einzelnen: pdf In dieser von E. Hopf [Stani²i, McComb] begründeten Methode wird mit Methoden der Funktionalintegration versucht, Ausagen über die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung des Geschwindigkeitsfeldes zu erhalten. Obwohl die Methode hochgradig formal und abstakt ist, hat sie doch zu gewissen methodischen Fortschritten geführt, die anders nicht zu erhalten waren [Stani²i ]. tpc Hierbei wird versucht, die räumlichen Korrelationen der Geschwindigkeits- uktuationen im Rahmen der Methoden der statistischen Physik, einschlieÿlich renormierter Störungstheorie, einzubeziehen. Im Vergleich zum obigen Ansatz wird nicht auf die ganze pdf abgehoben, sondern nur auf wenige erste Momente < u n >= u (x) n P(u )Du ; n 4. RES Die räumlichen Korrelationen bleiben unberücksichtigt, die zeitlichen werden durch den Reynoldsspannungstensor R αβ =< u αu β > an einem Ort modelliert. EV Die Turbulenz wird durch eine skalare, isotrope eektive Zähigkeit µ t dargestellt: k := 1 2 < u αu α > (7.5) R αβ = 2µ t S αβ 2 3 ρ k δ αβ (7.6) S αβ = 1 ( Uα + U ) β (7.7) 2 x β x α Die zuerst genannten Medelle werden eher im physikalischen Umfeld diskutiert, die anderen, phänomenologischen oder ingenieurmässigen Modelle sind bereits der harten Anwendung der Praxis ausgesetzt. [Mohammadi, Pironneau] gibt eine explizite mathematische Analyse des meistgebrauchten und bestuntersuchten sog. k-epsilon-modells (Typ EV).

70 KAPITEL 7. TURBULENZ Physik der Turbulenz Längenmaÿe Zwischen den nach oben und unten begrenzenden Längen der gröÿten, energietragenden Wirbel und der beginnenden Wärmebewegung gibt es noch zwei weitere charakteristische Längen 1. die Korrelationslänge, 2. die Taylorsche Mikrolänge. Dazu ist es zunächst wichtig, zwei Begrie zu erläutern, die immer wieder genannt werden: homogene Turbulenz: die gemittelten Geschwindigkeiten hängen nicht von der absoluten Position ab. Die Korrelationen sind nicht von der absoluten Lage, sondern nur vom relativen Abstand abhängig. isotrope Turbulenz: keine Richtung ist ausgezeichnet. Dies beinhaltet [McComb] für den Korrelationstensor die einfache Form < u α(x)u β(x ) >= Q αβ (r) =< u 2 > (f g) r αr β r 2 + < u 2 > g δ αβ (7.8) Die Funktion f(r) läÿt die Maÿe durch L := 1 λ := f (0) (7.9) 2 0 f(r)dr (7.10) denieren. 7 λ hat die Bedeutung des Bindegliedes zwischen u 2 und ɛ: ɛ = 15ν < u 2 > λ 2. (7.11) In homogen isotropen Strömungen ist man auf dieses Maÿ angewiesen, um eine turbulente Taylor-Reynoldszahl zu denieren: Re λ := < u 2 > λ/ν. 7 Die hier festgelegt Taylormikrolänge hat mit dem weiter unten benutzten Störungsparamter λ 1 nicht zu tun. Die für den Leser lästige und verwirrende Doppelbedeutung von Symbolen läÿt sich auch hier nicht vermeiden.

71 KAPITEL 7. TURBULENZ 21 Trotzdem sollte man nicht auÿer Acht lassen, sich im konketen Fall zu vergewissern, welche Längen, bzw. Geschwinigkeiten zur Bildung der Reynoldszahl herangezogen werden. Die berühmte LE-Simulation von Spalart ([Spalart]) einer turbulenten Grenzschicht nimmt die Verdrängungsdicke θ als Längenmaÿ, sodaÿ McComb keine Verbindung zur Fluktuationsreynoldszahl herstellen kann. Die Idee der Korrelationslänge(n) hat einen tiefen Einuÿ auf die Turbulenzbeschreibung: Die weiter unten beschriebene Prandtlsche Mischungslänge sei an dieser Stelle als bekanntestes Beospiel erwähnt. Interessanterweise gibt es weiterhin eine Verknüpfung zwischen diesen beiden Längenmaÿen und der räumlich und zeitlich aufgelösten kinetischen Energie der Turbulenz ([McComb]): E(t) = k(t) = 0 Mit : E(k, t) dk = 3 2 (u(t))2 (7.12) ist L(t) = 1 3π E(k, t)dk E(t) 4 0 k (λ(t)) 2 5E(t) = k 0 2 E(k, t) dk Kolmogorov-Theorie (7.13) (7.14) Diese Theorie, die in vielen Einzelheiten Ergebnisse der sog. nichtlinearen Dynamik exempliziert und um Jahrzehnte vorweggenommen hat, wird wegen ihrer herausragenden Bedeutung von vielen Autoren wie beispielsweise [Chorin 94, Landau VI, McComb] diskutiert. Die Bedeutung liegt einfach darin, daÿ auf einfachste Weise Schlüsse über das Energiespektrum 8 der turbulenten Bewegung gezogen werden können. Somit muÿ jede neue Theorie (z. B. die Wirbeltheorie von Chorin [Chorin 94]) dieses Gesetz reproduzieren, obwohl in neuerer Zeit die universelle Gültigkeit angezweifelt wird [McComb]. Frisch [Frisch] gibt eine sehr detailierte Darstellung neuerer Ergebnisse. In der einfachsten Herleitung wird von groÿen Reynoldszahlen ausgegangen, so daÿ E(k) und k 2 E(k) (der Dissipationsbereich) 9 weit getrennte Maxima haben. In dem dazwischenliegenden Bereich läuft die Energie nur durch, so daÿ Abhängigkeiten nur von ɛ und k, nicht aber von ν erwartet werden können. Eine 8 Die turbulente Energie wird hier mit E, weiter unten mit k bezeichnet. Damit wird zwar die Konsistenz der Nomenklatur geohrfeigt, aber dafür bleibt der Name k ɛ ungeändert brauchbar. 9 Um den Zusammenhang von k 2 E(k) mit der Dissipation einzusehnen, sei bemerkt, daÿ im Ortsraum nach dem oben gesagten ɛ E(k) sein muÿ und der energieverzehrende, also dissipative Term in einer Diusiongleichung c t = D 2 c x geraden disem Term propotional ist. 2

72 KAPITEL 7. TURBULENZ 22 Abbildung 7.2: Anschauliche Bedeutung der verschiedenen Längenmaÿe

73 KAPITEL 7. TURBULENZ 23 Dimensionsanalyse gibt dann die Gleichung 7.2. Man beachte, daÿ kein dynamisches Gesetz eingeht; deswegen ist es keineswegs trivial, Gl. 7.2 aus den NSG herzuleiten Ausgangspunkt Analytische Theorie Die Zusammenfassung in diesem Kapitel fuÿt im wesentlichen auf der Monographie von [McComb] und in Teilen aus [Lesieur]. Ersteres Opus stellt die Methoden der renormierten Störungsentwicklung; Renormalized Perturbation Theory (RPT) in den Vordergrund, für die der Verfasser zugegeben eine Schwäche hat - und die bei in so komplexen Phänomenen wie Elementarteilchenphysik oder Supraleitung den Durchbruch im Verständnis gebracht haben. Turbulente Strömungen mit Methoden der Statistischen Physik zu beschreiben ist - ebenso wie die rein mathematische Analyse - ein oenes oder nach ([Frisch], [Speziale]) ein letztes ungelöstes Problem der klasischen theoretischen Physik. Die Ursache der Schwierigkeiten ist der nichtlineare Term oder anschaulich gesprochen die Wechselwirkung (Mischung) der Moden. Deswegen betrachtet man formal diesen Term als Störung, multipiziert ihn mit einem (künstlichen) Parameter λ = 1, um dann in diesem Parameter eine (asymptotische) Reihe zu erhalten, in der Honung, daÿ nur wenige Terme aus dieser Reihenentwicklung ausreichen, die wesentlichen Phänomene und Eekte zu erfassen. Die Zerlegung der Geschwindigkeit in Fourierkomponenten (Moden) ist formal durch u α (x, t) = k ũ(k, t)e i kx (7.15) gegeben. Die NSG lautet im k-raum: ( ) t + νk2 u α (k, t) = λ M αβγ (k) j u β (j, t)u γ (k j, t) (7.16) mit M αβγ (k) = 1 2 i (k βd αγ (k) + k γ D αβ (k)) (7.17) und D αβ (k) = δ αβ k αk β k. (7.18) 2 Die Kontinuitätsgleichung lautet einfach : k α u α = 0. (7.19) 10 Das k 5/3 Gesetz ist auch bei den ELG in einer numerischen Simulation beobachtet worden [Bell, Marcus]. Eine rigorose Herleitung dieses Gesetztes aus den NSG wird von [McComb] zitiert: C. Foias, O.P. Manley, R. Teman (1987), Phys. Fluids, 30, 2007

74 KAPITEL 7. TURBULENZ 24 Abbildung 7.3: gemessene Energieverteilung im Vergeleich zur Kolmogorovschen Hypothese

75 KAPITEL 7. TURBULENZ 25 Abbildung 7.4: Wellenzahlabhängigkeit der (turbulenten) Energie

76 KAPITEL 7. TURBULENZ 26 Die letzte Gleichung bedeutet also, daÿ k, der Wellenvektor, senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor steht. Dies ist eine direkte Folge der Kontinuitätsgleichung (5.2) divv = Somit ist der Projektionsoperator D αβ (k) notwendig.. Der Vorteil einer solchen Transformation ist - wie bei anderen partiellen DGLn - also in der Ersetzung der Ableitungen durch Multiplikationen zu sehen. Ein Teil der Analysis kann durch Algebra ersetzt werden. λ = 1 ist ab jetzt der formale 12 Störungsparameter Feldtheorien der Turbulenz Die Methoden der Feldtheorie beruhen auf der Honung, ein zusammengesetzes oder wechselwirkendes (aufeinander Kräfte ausübendes) System in ungestörte Einzelsysteme zerlegen zu können, deren Wechselwirkung durch eine Reihenentwicklung behandelt werden kann. Dieses Verfahren ist vielfach erprobt und erlebt einen Höhenpunkt in der sog. Quantenelektrodynamik, 13 die die Wechselwirkung von Licht und Materie (Elektronen, Myonen,..) beschreibt. Höhepunkt deshalb, weil hier Theorie und Experiment in sonst nicht erreichter Genauigkeit von bis zu übereinstimmen. 14 Scheint dieses Verfahren zunächst auf kleine Störungen beschränkt zu sein, so sind vielzählige Versuche unternommen worden, den Gültigkeitsbereich auch auf stark wechselwirkende Systeme, deren Entwicklungsparameter groÿ ist, auszudehnen, in Ermangelung sog. nichtstörungstheoretischer Methoden. Eine solche Methode ist die renormierten Störungstheorie. 15 In der turbulenten Strömungsmechanik ist die zu renormierende Gröÿe in erster Linie die Zähigkeit, eine Idee, die von Boussinesq und vielen anderen, so auch von W. Heisenberg und C.F. v. Weizsäcker 16. vorangetrieben wurde und in der Methode der Renormierungsgruppe modernisiert wurde. 11 Eine elektromagnetische Analogie: E- und B- Felder sind ebenfalls transversal polarisiert (solenoidal): k E, B 12 formal, weil er keine physikalische Bedeutung hat wie etwa die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante(s.u). 13 Der Entwicklungsparameter, die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante ist klein, nämlich 1/ Und dies trotz mathematischer Inkonsistenz in Form der sog. Divergenzen - mathematisch undenierter und somit unendlicher Gröÿen in der Reihenentwicklung, die durch sehr aufwendige Verfahren entfernt werden müssen. 15 Renormieren heiÿt die gegebene Gröÿe (z. Bsp. die Zähigkeit) so zu ändern, daÿ die Wechselwirkung im neuen renormierten System ggf. verschwindet. Die so gewonnene renormierte Zähigkeit kann dann ortsabhängig sein. 16 Sommerfeld, Heisenberg und v. Weizsäcker gelten als Pioniere und Anwender der moderen Quantentheorie auf Nobelpreisträgerniveau. Alle drei Physiker sind durch Arbeiten zur turbulenten Strömungsmechanik auch auf diesem mindestens ebenso schwierigen Gebiet mit ebenso wichtigen Beiträgen ausgewiesene Experten.

77 KAPITEL 7. TURBULENZ 27 Formal gesehen beruht die Methode auf einer unendlichen Teilsummierung, nimmt also eine Zwischenstellung innerhalb einer endlichen Störungstheorie und einer exakten Behandlung in Richtung gröÿerer Genauigkeit ein. 17 Ziel dieser Überlegungen ist die Brücke zwischen physikalischer Turbulenzbeschreibung und ingenieurmäÿigen Modellen zu schlagen. Physikalisch gesehen [McComb] solte eine sog. Mean-Field-Theory oder ungefähr gleichbedeutend die sog. Direct Interaction Approxmation Theorie von Kraichnan [Kraichnan] die Schmerzgrenze markieren, die nicht unter(über)schritten werden darf, um verläÿlich die Haupteigenschaften der Turbulenz universell einzubeziehen. Die für die LES benötigten sog. sub-grid-scale Turbulenzmodelle werden zur Zeit ebenfalls intensiv aus den RPT Theorien herzuleiten versucht. 18 Eine konkretere Beschreibung des Verfahrens und der Ergebnisse geht von Gleichung 7.19 aus, die um eine uktuierende Kraft (stirring force) ergänzt wird, damit die Turbulenz erzeugt und in Gang gehalten werden kann. Wie man durch eingenen Anschauung weiÿ (z. Bsp das Umrühren in einer Tasse) klingt die Fluidbewegung aufgrund der Reibung ab. Für einen stationären, turbulenten Zustand ist also eine Arbeit verrichtende Kraft(dichte) f α notwendig. Im Gleichgewicht sollte dann < u α f α >= d 3 V ɛ sein. ( t + νk2 ) u α (k, t) = λm αβγ (k) j u β (j, t)u γ (k j, t)+d αβ (k)f α (k, t) (7.20) Geht man vom ungestörten System λ = 0 aus, so kann die Zeitentwicklung durch den Propagator: ( ) t + νk2 G 0 (k; t, t ) = δ(t t ) (7.21) dargestellt werden: u α (k, t) = G 0 (k; t, t )u α (k, t ) (7.22) Geht man durch eine weitere Fouriertransformation von der Zeit- zur Frequenzvariablen über t ω via u α (k, t) = ω u α(k, ω)exp{iωt} so lautet der Propagator einfach 1 G 0 (k, ω) = iω + νk. (7.23) 2 17 Klassische Einführungen in die Methoden der Feldtheorie geben jeweils bezogen auf die einzelnen Fachgebiete: [Amit](Phasenübergänge), [Itzykson, Zuber](Elementarteilchenphysik) und [Schriefer](Supraleitung). 18 In diesem Zusammenhang ist es vielleicht noch interessant anzumerken, daÿ Chorin [Chorin, Marsden] eine andere, eigenwilligere Zerlegung der NSG in ungestörten und turbulenzerzeugenen Anteil mithilfe der Lie-Trotter-Produktformel vornimmt, um zu Lösungsalgorithmen zu gelangen.

78 KAPITEL 7. TURBULENZ 28 Da nun λ = 1 0 ist müssen die entscheidenden die Wechselwirkung repäsentierenden M-Terme durch eine Reihenentwicklung wieder einbezogen werden: u α (k, ω) = u (0) α (k, ω) + λu (1) α (k, ω) + λ 2 u (2) α (k, ω) + (7.24) λ n u (n) α (k, ω) +... (7.25) Die uktuierenden Kräfte haben per dentionem eine Gauÿsche Verteilung, w(k; ω, ω ) sodaÿ die Korrelationsfunktion Q 0 vergl. Gleichung 7.8 in der einfachen Form Q 0 (k; ω, ω ) = G 0 (k, ω)g 0 (k, ω ) w(k; ω, ω ) (7.26) geschrieben werden kann. Oensichtlich ist der Schreibaufwand bei dieser Art Reihenentwicklung nicht gering, sodaÿ man eine Art Zeichensprache, die Feynmangraphen einführt, die jedem Term in der Reihenentwicklung eine graphische Entsprechung zuordnet: (bubbels and tadpoles; Blasen und Kaulquappen). durchgezogene Linie u (0) gestrichelte Linen G 0 Punkt (Vertex) M Kreuz < >= (Mittelwertbildung) dicke durchgezogene Linie u dicke gestrichelte Linie G (renormierter Propagator) oener Kreis (renormierter Vertex) Die Diagrammatik solcher Bilder ist einfach und lädt zu Näherungen ein: Die Abbildungen 7.5, 7.6 mögen direkt aus der obigen Diagrammatik abzulesen sein. Entscheidend für die RPT-Methode ist nun, das wegen der Gröÿe des Wechselwirkungsparameters λ 1 eine unendliche Teilsummierung erfolgen muÿ. Dafür ist es wichtig einzusehen, daÿ die Einzeldiagramme in gewisser Weise auseinander hervorgehen, sodaÿ für die Summe in Abb. 7.6 unter Berücksichtigung der oben eingeführen Renormierten Gröÿen die Gleichung aus Abb. 7.7 in Form einer Selbstkonsistenzgleichung vorliegt. Damit sind viele Methoden der statistischen Physik zugänglich, die die unterschiedlichen Ausprägungen der sog. RPTs erster Art [McComb] ausmachen: 1. DIA nach Kraichnan [Kraichnan]

79 KAPITEL 7. TURBULENZ Edwards-Fokker-Planck Theorie 3. Self-consitent Field Theory Die Gleichungen für die renormierten Vertices und Propagatoren sind in (Abb. 7.8, 7.9) dargestellt. Selbstredend können diese verschachtelten Gleichungen, die noch exakt sind, weder analytisch noch numerisch gelöst werden. Der entscheidende Vorteil ist aber, daÿ durch die Renormierung die höheren Entwicklungsglieder (Graphen) an Bedeutung verlieren, sodaÿ Abbruch nach wenigen (renormierten) Gliedern Ausicht auf vernünftige Näherungen verspricht. Wie [McComb] ausführt, können so bereits in zweiter Ordnung die Theorien von Chandrasekhar und Kraichnan reproduziert werden und die Implikationen ihrer Näherungen verdeutlicht werden. Um einen Eindruck von der Komplexität der DIA-Gleichungen zu bekommen seien sie hier kurz aufgeführt: [McComb] d 3 j t ( t + νk 2) G(k; t, t ) + t dsl(k, j)g(j; t, s)g(k; s, t )Q( k j ; t, s) = δ(t t ) (7.27) ( t + νk 2) Q(k; t, t ) { t } d 3 jl(k, j) dsg(k; t, s)q(j; t, s)q( k j ; t, s) I(k; t, t ) = t = I(k; t, t ) (7.28) dsg(k; t, s)w(k; t, s) (7.29) L(k, j) = 2M αβγ (k)m αρδ ( k)d ρβ (j)d δγ (k j) (7.30) Hierbei ist die Greensche Funktion etwas anders als lineare Antworfunktion zwischen innitesimaler Änderung der treibenden Kräfte und daraus resultierenden Geschwindigkeiten δu α (k) = t Ĝ αβ (k; t, t )δf β (k, t )dt (7.31) ( t + νk 2) Ĝ ασ (k; t, t ) 2λM αβγ (k) j u β (j, t)(k; t, t )Ĝγσ(k j; t, t ) = D ασ (k)δ(t t ) (7.32) G αβ (k; t, t ) =< Ĝαβ(k; t, t ) > (7.33)

80 KAPITEL 7. TURBULENZ 30 Abbildung 7.5: Diagramme für die Geschwindigkeiten

81 KAPITEL 7. TURBULENZ 31 Abbildung 7.6: Diagramme für die Geschwindigkeitskorrelationen nach Gl. 7.8

82 KAPITEL 7. TURBULENZ 32 Abbildung 7.7: Diagrammdarstellung für die Integralgleichung der renormierten Korrelationen Q(k; ω, ω )

83 KAPITEL 7. TURBULENZ 33 Abbildung 7.8: Diagrammdarstellung für die Gleichung der Vertexrenormierung

84 KAPITEL 7. TURBULENZ 34 Abbildung 7.9: Diagrammdarstellung für den renormierten Propagator

85 KAPITEL 7. TURBULENZ 35 deniert. Anzumerken ist noch, daÿ es sich hierbei um die Gleichungen für die isotrope Turbulenz handelt. Die Gleichungen für die in der praktischen Anwendung wichtigeren anisotropen Turbulenz sind umfangreicher. Hauptergebnisse sind: keine anzupassenden Parameter positive Wahrscheinlichkeitsdichten allerdings: E(k) k 3/2 im Gegensatz zur Kolmogoroanalyse (7.2) Eine vereinfachte Darstellung der unsprünglichen DIA Formulierung anhand der 1D Burgersgleichung ist in [Stani²i ] zu nden. Die Brauchbarkeit dieser auf soliden statistischen Methoden beruhenden Theorien ist aufgrund zweier Mängel sehr begrenzt: 1. grundsätzliche Mängel: falsches Energispektrum im Kolmogorobereich, fehlende Symmetrieeigenschaften, u. a. 2. keine numerischen Vorteile bei den praktisch wichtigen Strömungen mit nichtisotroper Turbulenz infolge Wänden, etc. Aus diesen Gründen sind diese Untersuchungen, die Ende der 50er Jahre im Rausch der Erfolge durch die Feldtheoretischen Methoden auf vielen anderen Gebieten begannen, in den 70ern mehr oder weniger mit dem gleichzeitigen Aufkommen der Renormierungsgruppentheorien (RNG) ausgestorben. Spektakulärer Höhepunkt des RNG-Booms war das 1986 von Yakhot und Orszag [Yakhot und Orszag] vorgestellte RNG -k -ɛ Modell, welches sofort vom Marktführer kommerzieller CFD -Programme (FLUENT) als Werbegag benutzt wurde [Fluent]. 19 Mean-Field-Theorien Nach dieser Methode wird Wechselwirkung ( die der Geschwindigkeitsmoden), durch ein gemitteltes, äuÿeres Feld (self-consistent oder mean eld) ersetzt, dessen Stärke durch aus den wechselwirkungsfreien Gleichungen bestimmt wird. Wie bei [McComb] dargestellt gibt es der DIA-Theorie gleichwertige Formulierungen, 19 Diese Arbeiten sind ein Paradebeispiel für den Stil modernen Forschungstreibens: Die Arbeit [Yakhot und Orszag] von 1986 ist wohl in wesentlichen Aussagen richtig, aber in vielen rechentechnischen Details unausgereift und/oder spekulativ. Inzwischen sind diese Rechnungen weitgehend bestätigt [Smith und Reynolds] (1992, also 6 Jahre später). YO gelten also als die Urheber der RNG-basierten Modelle. Autoren mit mehr seriöser Zurückhaltung ([McComb]) geraten dadurch ins Hintertreen, auch wenn sie zunächst auf dem selben Weg in gleicher Nähe zum Ziel waren.

86 KAPITEL 7. TURBULENZ 36 die den Zusammenhang zu den renormierter Fluidparametern deutlicher zeigen: Zunächst deniert man durch die Nichtlinearität modiziertes Kraftspektrum und Viskosität: d(k) = W (k) + s(k) (7.34) ω(k) = νk 2 + r(k) (7.35) Die Selbstkonsistenzgleichungen lauten dann: 2 W (k) 2νk 2 q(k) = d 3 1 jl(k, j)q(k j){q(j) q(k)} ω(k) + ω(j) + ω( k j ) d ω(k) = νk 2 3 jl(k, j)q(k j) + ω(j) + ω( k j ) (7.36) (7.37) Interessant ist nun, daÿ für den Testfall isotroper Turbulenz die k-abhängigkeiten: E(k) = C K ɛ 2/3 k 5/3 (7.38) ω(k) = C ω ɛ 1/3 k 2/3 (7.39) (7.40) bestimmt werden können sowie eine zusätzliche Abhängigkeit C K 2 C C ω = 1; C = 0, 19. (7.41) Diese Zusamenhänge haben in den rechentechnischen Realisierungen der RNG Theorie einen wichtigen Platz Die Methode der Renormierungsgruppe Die Idee der Renormierung entstammt dem Umfeld der Elementarteilchenphysik. Dort unterscheidet man zwischen freien aber nackten und wechselwirkenden und damit gekleideten (dressed) Partikeln. Als eine einfachste Veranschaulichung möge das abgeschirmte Coulomb-Potential e λ r /r einer elektrischen Punktladung in einem polarisierbaren Diektrikum dienen, das durch diese Polarisierung λ gekleidet wird - also eine rennormierte Ladung q eff = q 0 e λr zugewiesen bekommt. Zur weiteren Verbreitung dieser Methode - bis hin zur Verleihung des Nobelpreises an Kenneth Wilson im Jahr trugen die eigenständigen Anwendungen bei den sog. kritischen Phänomenen (Phasenübergänge) und vor allem bei der Quantenchromodynamik - der Theorie der Kräfte zwischen Quarks - bei.

87 KAPITEL 7. TURBULENZ 37 Insgesamt kann die Methode als ein Verfahren angesehen werden, mit dem man systematisch die Anzahl der Moden - und damit die der Freiheitsgrade - reduziert, um zu einfacheren Gleichungen für die restlichen Freiheitsgrade zu gelangen. Typisch für die RNG Methode ist die Einführung einer running coupling constant, also einer Kopplungskonstanten (eigentlich λ aber sinnvoller die Zähigkeit ν), die von k abhängt. Das Verfahren Wie schon mehrfach angesprochen, werden die Geschwindigkeiten wellenzahlabhängig betrachtet u(k), vergl Abb Die untere Grenze dieser inversen Längen ist durch die Ausdehnung des Systems k 0 L gegeben. Deniert man einen Cuto (Abschneideparameter)Λ durch { u < u α (k, t) = α (k, t) für 0 < k < bλ u > α (k, t) für bλ < k < Λ (7.42) so kann man Bereiche ober- und unterhalb von Λ trennen. Nun wird versucht, die Eekte der Wechselwirkung mit Moden oberhalb von Λ zu eliminieren. In der usprünglichen Form von Forster et. al. muÿ allerdings aus rechentechnischen Gründen zusätzlich die bedingung k 0 erfüllt sein. Die Moden benden sich damit weit auÿerhalb des für die Turbulenz relevanten Bereiches. Damit hatte die RNG-Methode zunächst rein akademische Bedeutung. YO haben dann einfach postuliert, daÿ die methode auch im interessanten bereich gültig sei. Die iterativ auszuführenden Berechnungsschritte (deshalb der Name Gruppe) sind abwechselnd 1. Die groÿen Moden u > werden durch Lösen der NSG für diese Moden in der Gleichung für die verbleibenden u < eliminiert. Es erfolgt Mittelung über f > (k, t) 2. Skaliere k, t, u <, f < sodaÿ die neuen Gleichungen aussehen wie die alten. Renormierte Gröÿen ( Zähigkeit) werden eingeführt.. Der Trick der Methode besteht darin, daÿ die oberen Moden weniger stark nichtlinear wechselwirken, sodaÿ die Störungstheorie besser greift und Kraichnans DI-Näherung mit gutem Ergebnissen verwendet werden kann (so hot man). Wiederholt man dieses Verfahren kontinuierlich, so gelangt man typischerweise zu einer Dierentialgleichung (RNG-Gleichung) für ν T : dν T (k) dk = Konst. ν T 2 k 4 d (7.43)

88 KAPITEL 7. TURBULENZ 38 [Frisch, Fluent], die dazu verwendet werden kann, den Gültigkeitsbereich des Standardmodells(s.u) auf wandnahe sog. low - Re-Bereiche auszudehnen. Abschlieÿen sei Kraichnan [Kraichnan] zitiert: In der YO Theorie werden aufeinanderfolgene Bänder von Moden vom oberen Ende des Trägheitsbereiches her beseitigt. Die Dynamik des zu eliminierenden Bandes wird durch eine dynamische Dämpfung der bereits beseitigten Moden kontrolliert. Die Wechselwirkung dieses Bandes mit den sehr viel kleineren Wellenzahlen wird in Störungstheorie zweiter Ordnung berücksichtigt und nimmt die Form einer inkrementellen dynamischen Dämpfung auf die kleineren Wellenzahlen an. RNG-k-ɛ-Modell Wie oben dargelegt, war die Veröenlichung von Yakhot und Orszag 1986 eine Sensation. Weiterhin wurden aber auch Diskussionen auslöst, da die Rechnungen im Detail sowohl bei den eingehenden Annahmen als auch in den numerischen Konsequenzen unsichere und fragliche Annahmen und Aussagen enthielten [Ye Zhou et al]. Inzwischen haben andere Autoren [Smith und Reynolds, Speziale] die Rechnungen wiederholt bzw. evaluiert und es scheinen folgende Ergebnisse erhärtet zu sein: 1. Die Kolmogorokonstante C K wird zu 1,6 berechnet. 2. Die von Karmankonstante κ wird zu 0,37 berechnet. 3. Es wird eine modizierte Form des k ɛ Modells hergeleitet, daÿ für Re in das Standard k ɛ Modell übergeht. 4. die Modellparameter (7.49] werden explizit bestimmt. Das von YO bestimmte modizierte k ɛ-modell ist: t k + u α α k = τ αβ β U α ɛ + α (α(ν T )ν α k) (7.44) t ɛ + u α α ɛ = ν T ɛcc Y ɛ τ αβ β U α 2 +ɛ 3/2 Y ɛ + α (α(ν T )ν α ɛ) (7.45) Zusätzlich werden mit der turbulenten Zähigkeit ν T σ K in Verbindung gebracht: die Gröÿen k/ ɛ, Y ɛ und

89 KAPITEL 7. TURBULENZ 39 d k ɛ (ν T ) = 1, 72 (νt 3 + C c 1) 1/2 ν T dν T (7.46) dy ɛ = 0, 5764 (νt 3 + C c 1) 1/2 dν T (7.47) 1 = ( 1, 3929 α(ν T ) ) 0,63 ( 2, 3929 α(ν T ) ) 0,37 ν T 0, , 3929 (7.48) und den Konstanten C µ = 0, 084; C ɛ1 = 1, 063; C ɛ2 = 1, 72; σ K = 0, 7179; σ ɛ = 0, 7179; C c 75 (7.49) Eine Darstellung und Diskussion von Anwendungen des RNG k ɛ-modells sind in [Fluent] dargestellt. Anwendung für Large-Eddy-Simulation [Fluent, McComb] seien als die relevanten Zitate genannt. Im Unterschied zu den weiter unten beschreibenen Gleichungen (7.50) werden bei den LE-Rechnungen sog. Filter verweddet, die eine gewisse formale Verallgemeinerung einer statistischen Mittelwertbildung darstellen. Lax gesprochen ist eine LES eine numerische Simulation mit einem feinen Gitter 20 aber grobem Turbulenzmodell, im Gegensatz zu einer sog. industriellen Simulation, die ein grobes Netz durch ein feines Turbulenzmodelle wieder gut zu machen versucht. Solche Rechnungen haben fast immer den Makel der Netzabhängigkeit. Die gebräuchlichen sub-grid-scale Turbulenzmodelle sind 1. Das Smagorinsky Modell µ T = ch 2 < S ij S ij >, 2. ein in Wandnähe modiziertes Smagorinsky Modell, 3. sog. dynamische Modelle [Ferziger, Peri ]. Das Smagorinsky Modell ist ein einfaches algebraisches Modell, das vm genannten Autor 1963 bei einer athmosphärischen Strömungsrechnung eingeführt wurde. Seinem Ansatz zufolge ist es nur für isotrope Turbulenz geeignet. Ansätze zur Einbeziehung anisotroper Eekte sehen sich - wie schon oben bei der physikalischen Modellierung angesprochen - mit groÿer Komplexität konfrontiert. Die YO-RNG Theorie (s.u.) kann - wie weiter unten bei den phänomenologischen Modellen für die ingenieurmässige Praxis gezeigt- Erweiterungen herleiten. 20 Ein feines Gitter ist dann erreicht, wenn im Energiespektrum der Beginn des k 5/3 Bereichs erkennbar ist.

90 KAPITEL 7. TURBULENZ 40 Entscheidend ist, das der Einuÿ der Wechselwirkung mit den Moden oberhalb des Abschneidewertes Λ k c durch eine Wirbelviskosität dargestellt werden kann und daÿ die NSG für diese Moden geschlossen lösbar sind. Weitere technische Einzelheiten sind in dem Lehrgangsbericht [Friedrich 94] zu nden.

91 KAPITEL 7. TURBULENZ Turbulenzmodelle im Ingenieurwesen Ausgangspunkt aller phänomenologischer Modelle sind die sog. Reynoldsgleichung für die Mittelwerte der Geschwindigkeiten 21 u α := U α + u α t U α + U β β U α = α p + β (νs αβ < u αu β >) (7.50) Die hier neu hinzutretenden Reynoldsspannungen τ αβ :=< u αu β > (7.51) geben den Einuÿ der Turbulenz wieder und sind möglichst einfach, aber auch möglichst komplett zu modellieren. S αβ ist der nach Gl 7.7 denierte Deformationstensor, gebildet aus den mittleren Geschwindigkeiten Prandtls Mischungswegmodell In Analogie zur Gaskinetik, die einen Zusammenhang zwischen dynamischer Zähigkeit und mittlerer freier Weglänge bei Gasen herstellt, hat Prandtl 1925 [Prandtl, Wilcox] einen sog. Mischungsweg zur Turbulenzcharakterisierung deniert. Dieser Weg (oder besser Länge) ist anschaulich die Wegstrecke eines Turbulenzballens bis zur Vermischung querab zur Hauptströmung mit anderen Turbulenzballen. < u αu β > def = l2 ( β U α ) (7.52) Die Kunst der Turbulenzmodellierung ist somit auf die Mischungslänge l anzuwenden. v. Karman schlägt z.bsp in Wandnähe l = κ y +, κ 0, 4 vor. Als Anwendung sei hier die recht brauchbare Modellierung der turbulenten Freistrahlen [Rajaratnam, Wilcox] genannt. Allerding muÿ auch hier auf empirisches Wissen in Form von Konstanten zurückgegrien werden. Naturgemäÿ können dies nicht universell sein. Erweiternde Anwendungen dieses Modells sind: v. Karmans Ansatz in der Grenzschicht l = κy +, van Driests Dämpfungsansatz, l mix = κy(1 exp( y + /A + 0 )) (7.53) mit A (7.54) 21 Auch hier wird mittels Ergodenhypothese stillschweigend Zeitmittel und Ensemble(Schar)mittel gleichgesetzt.

92 KAPITEL 7. TURBULENZ 42 Cebessi- Smiths Modell der zwei Schichten, das schon weiter oben (1) denierte Smagorinski subgridscale Modell für LES, das Modell von Baldwin-Lomax mit ν T = l 2 m ω β ω β wobei ω = u der Wirbelstärkenvektor ist Eingleichungsmodelle Die obigen Mischungswegmodelle werden unter dem Begri algebraische Turbulenzmodelle zusammengefaÿt, womit zum Ausdruck gebracht werden soll, daÿ die funktionalen Zusammenhänge gegeben sind (oft nichtlinear und implizit) und nicht erst durch Integration zusätzlicher DGLn errechnet werden müssen. So ist also Eingleichungsmodell genauer als Eindierentialgleichungsmodell zu verstehen. Sollte man aus dem obigen weiter entnehmen wollen, daÿ l - die Mischungsweglänge - die relevante, zur Feldgröÿ zu erhebende Variable sei, so wird man eines besseren belehrt: die turbulente, kinetische Energie k ist direkter in den Reynolsspannungen 7.51 enthalten, nämlich in der sog. Spur, der Summe der Diagonalelemente. Damit können nichtlokale und begrenzt zeitliche Retardierungseekte einbezogen werden. Die Gleichung für k := 1 2 < u αu α > ist nach Gl. 7.5 t k + U β β k = (7.55) τ αβ β U α ɛ + β ν β k 1 2 < u α2 u β > < p u β > (7.56) } {{ } } {{ } ɛ ist die in Gl 7.4 denierte turbulente Dissipation. Wie man sieht, ist auch diese Gleichung nicht geschlossen - die Tripelkorelation (*) < u α 2 u β > der Geschwindigkeiten und die Druck-Geschwindigkeitskorrelation (**) in Gleichung 7.56 verbieten dieses. Weiterhin muÿ ɛ durch k ausgedrückt werden. Setzt man ( ) + ( ) := µ T σ k β k (7.57) ɛ := C D k 3/2 /l (7.58) so erhält man ein Eingleichungmodell t k + U β β k = (7.59) τ αβ β U α ɛ + β ((ν + µ T /ρσ k β k ) (7.60) mit µ t = ρk 1/2 l (7.61) + empirisches Modell für l (7.62)

93 KAPITEL 7. TURBULENZ 43 Der letzte Anteil (Gl. 7.62) enthält eine wichtigste Schwachstelle: wie in den Mischungswegtheorien muÿ auf weitere empirische oder ad hoc Modelle zurückgegrien werden. Ein weiterer Punkt ist die grundsätzliche Technik der Modellerzeugung. Die äuÿeren, weil aus der Hierarchie herausführenden, Terme werden durch eine grobe Dimensionsanalyse mit den inneren Gröÿen und Proportionalitätsfaktoren gewonnen - also ohne physikalische Grundlage. Daher kann z. Bsp. der Zerfall isitroper Turbulenz (s. u. k-ɛ-modell nicht voergesat werden [Pope]. Positiv kann gewertet werden, daÿ diese Modelle ezient bzgl. der Rechnezeit sind und gutes Konvergenzverhalten zeigen. Eine spezielle Variante, dass Spalart- Allmaras Modell [Wilcox, Godin et. al.] ist in der Prolaerodynamik populär k-ɛ-modelle Im obigen Kapitel ist gezeigt worden wie man zu einem Eingleichungsmodell gelangt, indem man die Spur des Reynolsspannungstensors (= k) zur bedeutensten Turbulenzgröÿe erhebt und dessen Gleichung direkt aus den NSG ableitet. Wegen der hierbei neuhinzutretenden Gröÿen - wie ɛ und höheren Korrelationen - ist man gezwungen, diese mehr oder weniger grob zu modellieren. Da man die Glieder 7.57 am wenigsten zu behandeln weiÿ, behält man sie in der Gleichung bei und versucht, für 7.58 eine zusatzliche Gleichung zu gewinnen, in der Honung, eine wesentliche Gröÿe erwischt zu haben. ɛ ist durch Gleichung 7.4 deniert.. Aus den NSG läÿt sich straightforward, d.h. geradlinig aber mit viel algebraischen Aufwand eine Beziehung ableiten: ( t + u β β )ɛ = (7.63) 2 (< γ u α γ u β > + < α u γ β u γ >) β u α 2ν < u γ β u α > βγ u α (7.64) 2ν < γ u α δ u α γ u β > 2ν 2 < γδ u α γδ u α > (7.65) + β [ν β ɛ ν < u β δ u α δ u α > 2ν/ρ < δ p δ u β >] (7.66) Diese Gleichung für ɛ ist natürlich sehr viel undurchschaubarer als die für k. Die einzelnen Terme werden wie folgt gedeutet: 1. (7.64): Produktionsterm (für ɛ) 2. (7.65): Dissipation (für ɛ) 3. (7.66): molekulare Diusion und turbulenter Transport 22 (für ɛ) 22 Die Ersetzung von quadratischen Korrelationen durch einen Diusionsterm hat ihren Hintergrund im sog. Fluktuations-Dissipations- Theorem( [Landau V/1], wonach die Varianz der (Gleichgewichts)Fluktuationen einer physikalischen Gröÿe zugleich die Stärke des Energieverlustes bei einer äuÿeren (kleinen) Störung bestimmt

94 KAPITEL 7. TURBULENZ 44 Standardmodell Der Weg zum sog. Standartdmodell führt über Näherungen der oben bezeichneten neuen Korrelationen. Da Messungen dieser Terme zur Zeit nicht möglich sind, kann man allenfalls aus numerischen Experimenten, den direkten Simualtionen, Anhalt über ihre Güte gewinnen. In der folgenden Gleichung ist die Zuordnung zu den obigen Korrelationen verdeutlicht: τ αβ = 2 3 kδ αβ ν T S αβ (7.67) k 2 ν T = C µ (7.68) ( ) ɛ νt t k + U α α k = τ αβ β ɛ + α α k + ν αα k (7.69) σ K ɛ t ɛ + U α α ɛ = C ɛ1 k τ ɛ 2 αβ β U α C ɛ2 (7.70) } {{ } } {{ k} (1) (2) ( ) νt α α ɛ + ν αα ɛ σ } ɛ {{ } (3) und den Schließungskonstanten C µ = 0, 09; C ɛ1 = 1, 44; C ɛ2 = 1, 92; σ K = 1, 0; σ ɛ = 1, 3 (7.71) Richtschnur bei der Ersetzung ist die dimensionale Richtigkeit innerhalb der gegebenen Gröÿen u α, p, k, ɛ. Die neu hinzutretenden Schlieÿungskonstanten 7.71 müssen aus Messungen möglichst universell bestimmt werden. Welche Experimente dazu herangezogen werden können, ist beispielsweise in [Mohammadi, Pironneau, Wilcox] dargestellt. Obwohl es diesem Modell an logischer Geschlossenheit fehlt, ist eine groÿe Zahl praktischer Nutzer diesem Modell verhaftet, das in den üblichen Lehrbüchern der Strömungslehre gar nicht erst erwähnt wird. Die Handbücher der es benutzten Programmsysteme beschreiben meistens nur die Handhabung. Nur das schon zitierte Werk von [Mohammadi, Pironneau] macht eine Ausnahme. Es ist allerdings mit weitergehenden Modellen als dem reine k ɛ-modell befaÿt. Die dort vorgestellte Analyse beschränkt sich auf mathematische Konvergenzfragen für die numerische Analyse. Die direkteste Verbindung zu den physikalischen Anknüpfungspunkten stellt die in Kapitel vorgestellte Renormierungsgruppentheorie. Abgesehen davon, daÿ viele Benutzer von Turbulenzmodellen sich nicht in der Lage sehen, die physikalische Diskussion um die Gültigkeit zu bewer-

95 KAPITEL 7. TURBULENZ 45 ten, scheint es zur Zeit auch rein praktisch nicht möglich, k ɛ mit RNG k ɛ zu vergleichen. Die modizierte Herleitung in [Smith und Reynolds] reproduziert fast alles, was von YO behauptet wurde, allerdings sind die ɛ-gleichung 7.45 und die Modellkonstanten andere, was allerdings bei der verwendeten Methode nicht wundert, da hier eine sog. ɛ-entwicklung (dieses andere ɛ := D 4) verwendet wird, die numerisch nicht sehr genaue Ergebnisse geben kann. Um den Leser vollens zu verwirren sei hier noch von Rechnungen aus der japanischen Automobilindustrie berichtet, die auf der Tagung [Verschiedene] diskutiert wurden. Diese Autoren sollen mit sehr feinem Netz (welches etwa für LES-Rechnungen verwendet werden müÿte), aber dafür ohne dezidiertes Turbulenzmodell rechnen. Die Bewertung dieser Rechnung wurde von den Teilnehmern allgemein als sehr schwierig angesehen, da eine ausreichende Beschreibung fehlt. FLUENTs Firmenschrift [Fluent] gibt (was Wunder) RNG-Modellen den Vorrang, wobei die Kritk am Standardmodell von Launder ebenfalls geteilt wird; dieser aber die Modelle in eine etwas andere Richtungen verbessern möchtel: nichtlineare Reynoldstress-Modelle. [Launder 85, Launder 90, Launder 91] Das Modell ist nicht vollständig ohne die Spezikation der Randbedingungen: Es sollte gelten lim y + 0 k(y + ) = lim y + 0 ɛ(y + ) = 0. Wie man den DNS entnimmt, erhält man mit dem Standardmodell andere Vorhersagen (vergl. Abb und 7.11). Also muÿ man in Wandnähe das Verhalten dieser Gröÿen interpolieren. Üblicherweise nimmt man das oben für die voll turbulent entwickelte sog. Gleichgewichtsgrenzschicht gültige logarithmische Geschwindigkeitsgesetz (Gl. 5.15). Damit hat man zugleich den Diskretisierungsaufwand in der Nähe der Wand um mindestens eine Gröÿenordnung verkleinert. Wie die Untersuchungen zeigen, werden damit die interessanten turbulenten Ablösevorgänge nicht immer richtig beschrieben (z. Bsp. backward facing step). Desweiteren sollte man von einem Turbulenzmodell eigentlich erwarten, daÿ es sich für Re < Re tr abschaltet, was aber mitnichten der Fall ist: Wilcox ([Wilcox]) zeigt auf, daÿ allenfalls das von ihm favorisierte k ω(ω = W irbelstärke) in der Lage ist, andeutungsweise diesen Übergang zu beschreiben. 23 Einige schwerwiegende Nachteile des k ɛ-modelles sind also: 1. keine Vorausage der Transition, 2. keine Integration bis zu den Wänden y + 0 möglich, 23 Wäre dies wirklich möglich, so wäre dies ebenfalls eine Sensation. Eine Vorhersage des Überganges von der laminaren - also der einfacheren - Seite ist im Rahmen der Stabilitätsanalyse schon sehr schwierig.

96 KAPITEL 7. TURBULENZ 46 Abbildung 7.10: Turbulente kinetische Energie in Wandnähe

97 KAPITEL 7. TURBULENZ 47 Abbildung 7.11: Turbulente Energiedissipation in Wandnähe

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