Eine Finite-Elemente-Methode für nicht-isotherme inkompressible Strömungsprobleme

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1 Eine Finite-Elemente-Methode für nicht-isotherme inkompressible Strömungsprobleme Dissertation zur Erlangung des mathematisch-naturwissenschaftlichen Doktorgrades Dr. rerum naturalium an der Georg-August-Universität Göttingen vorgelegt von Johannes Löwe aus Göttingen Göttingen 211

2 D7 Referent: Prof. Dr. Gert Lube Koreferentin: Prof. Dr. Gerlind Plonka-Hoch Tag der mündlichen Prüfung:

3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis i Einleitung 1 1 Mathematisches Modell für nicht-isotherme Strömungen Strömungsmechanik Das Navier-Stokes-Fourier-Modell Das Oberbeck-Boussinesq-Modell Randbedingungen Physikalische Parameter und Entdimensionalisierung Numerische Strömungsmechanik (CFD) Notation Die räumliche Diskretisierung Variationsformulierung Das Ritz-Galerkin-Verfahren Die Finite-Elemente-Methode Viereck- und Hexaederelemente Geeignete Räume für die Geschwindigkeit und den Druck Interpolation in Q k,h und Z h Finite-Elemente-Software Divergenz-Stabilisierung Druckseparation zur Verbesserung der Diskretisierungsfehler Die spektralen Eigenschaften der räumlichen Diskretisierung Turbulenzmodellierung Die Energieverteilung auf unterschiedlichen Skalen Ansätze zur Turbulenzmodellierung Die Reynolds-gemittelten Gleichungen i

4 INHALTSVERZEICHNIS 3.4 Large Eddy Simulation Eine Betrachtung der Ursachen für die Probleme Die räumliche Filterung der Modellgleichungen Das Taylor- und Rational-LES Modell Das Lilly-Eidson Modell LES mittels VMS-Turbulenzmodellen Die Implementierung der SGS-Modellterme Zusammenfassung Analysis zum semi-diskreten Problem Vorbereitungen Eindeutigkeit und Stabilitätsabschätzungen A-priori Fehlerabschätzung für Geschwindigkeit und Temperatur Abgeleitete Fehlerabschätzung für den Druck Diskussion Die zeitliche Diskretisierung Differentiell algebraische Gleichungen Grundlagen der zeitlichen Diskretisierung BDF- und sbdf-verfahren Implizite Runge-Kutta-Verfahren Äquivalente Formulierung Steif-stabile DIRK-Verfahren Die Radau-IIA-Verfahren IMEX Runge-Kutta Verfahren Stabilitätsgebiete und Zeitschrittweitenbeschränkung Stetige Ausgabe Zusammenfassung Umströmung eines zweidimensionalen Zylinders Benchmarkbeschreibung Benchmarkgrößen Diskretisierung Linearisierung Konvergenzuntersuchung der zeitlichen Diskretisierung Konvergenzuntersuchung Ort Fazit ii

5 INHALTSVERZEICHNIS 7 Laminare nicht-isotherme Hohlraumströmung Problembeschreibung Beschreibung der Benchmarkwerte Zeitabhängiger Lösungsverlauf Beschreibung wesentlicher Strömungsmerkmale der stationären Lösung Gitterkonvergenzstudie Druckseparation Turbulente nicht-isotherme Hohlraumströmung Beschreibung des Experiments Wahl der Filterweite Zeitliche Mittelung Zweidimensionale Rechnungen Dreidimensionale Rechnungen Untersuchung des Energiespektrums Abschlussbetrachtung 131 Symbolverzeichnis 133 Literaturverzeichnis 135 Danksagung 141 iii

6 INHALTSVERZEICHNIS iv

7 Einleitung Die numerische Strömungsmechanik ist ein wichtiges Teilgebiet der angewandten Mathematik. Ihr Ziel ist die zuverlässige Vorhersage von Strömungen und deren Eigenschaften. Sie bedient sich der stetig wachsenden Rechenleistung von Computern und kann so ein Experiment oder einen Modellversuch ergänzen oder sogar ersetzen. Neben der Suche nach geeigneten mathematischen Gleichungen, dem Strömungsmodell, gehört daher auch die Entwicklung von Verfahren, mit denen diese Gleichungen von Computern effizient gelöst werden können zu diesem weiten Forschungsfeld. Für den wichtigen Fall nicht-isothermer inkompressibler Strömungen wird bei geringen Temperaturvariationen das Oberbeck-Boussinesq-Modell zur Beschreibung des Geschwindigkeitsfeldes u, des kinematischen Druckes p und der Temperatur θ verwendet. Strömungen, die durch dieses Modell angemessen beschrieben werden können, finden sich in vielen Anwendungsbereichen wieder. Dazu gehören z.b. die Innenraumströmungen von Wohn- und Büroräumen oder auch von Flugzeugkabinen, die durch Belüftungs- und Klimaanlagen gesteuert werden können, um ein für Menschen angenehmes Raumklima zu erzeugen. Auch die Belüftung von technischen Anlagen (z.b. Rechenzentren) oder von einzelnen Geräten mit dem Ziel der geregelten Wärmeabfuhr kann durch dieses Modell beschrieben werden. Häufiges Ziel der Simulation ist es, die Effektivität oder Effizienz geplanter Anlagen im Voraus zu überprüfen und ggf. zu verbessern. Nach einer räumlichen und zeitlichen Diskretisierung können Computerprogramme implementiert werden, die die Modellgleichungen näherungsweise lösen. Da die Strömungen in vielen praktischen Anwendungen jedoch turbulent sind und die auftretenden Strukturen sowohl räumlich als auch zeitlich ein großes Spektrum an Skalen umfassen, ist die direkte numerische Simulation turbulenter Strömungen, trotz enormer verfügbarer Rechenleistungen, nur in wenigen Spezialfällen möglich. Die Modellgleichungen müssen daher um ein Turbulenzmodell ergänzt werden, das die Anforderungen an die räumliche und zeitliche Auflösung der Diskretisierung reduziert und dabei trotzdem sicherstellt, dass die aufgelösten energiereichen Skalen korrekt simuliert werden. Nur die Entwicklung von Turbulenzmodellen hat es überhaupt möglich gemacht, dass mit der heute verfügbaren Rechenleistung von Rechenzentren turbulente Strömungssimulationen in praktischen Anwendungen möglich sind. 1

8 Einleitung Ziele dieser Arbeit Ziel dieser Arbeit war die Entwicklung eines Strömungslösers für nicht-isotherme inkompressible Strömungen auf der Grundlage des Oberbeck-Boussinesq-Modells. Dabei sollten in allen Bereichen mathematisch fundierte Verfahren verwendet werden, die sich modular implementieren lassen. Bei der räumlichen Diskretisierung wurde eine stabile Diskretisierung mittels Taylor- Hood-Elementen gewählt, die eine zusätzliche Stabilisierung des Drucks überflüssig macht. So müssen an dieser Stelle keine Stabilisierungsparameter gewählt bzw. optimiert werden. Ein zentraler Punkt dieser Arbeit ist die erstmalige Verwendung eines Variationellen-Multiskalen-Diffusionsterms zur Turbulenzmodellierung für nichtisotherme Probleme. Diese Art der Turbulenzmodellierung geht auf eine Arbeit von Hughes [33] zurück und orientiert sich gleichzeitig am weit verbreiteten Smagorinsky- Turbulenzmodell. Eine Fehleranalysis dieser Methode für den isothermen Fall wurde in [38] und [63] durchgeführt. Diese wird in der vorliegenden Arbeit um den nichtisothermen Fall erweitert. Zur vollständigen Implementierung eines Strömungslösers wird auch ein Zeitschrittverfahren benötigt. Neben einer Betrachtung klassischer Runge-Kutta- und Mehrschrittverfahren werden auch IMEX-Varianten (implizit/explizit) dieser Verfahren aus [4] und [5] vorgestellt und eine Modifikation zur Verbesserung der Stabilitätseigenschaften dieser Verfahren beschrieben. Die Analysis dieser Arbeit wird durch numerische Tests ergänzt. Dazu wurden die beschriebenen Bausteine eines Strömungslösers auf der Basis einer Finite-Elemente- Bibliothek (deal.ii) implementiert. Die Testprobleme wurden ausgewählt, um möglichst alle Teile des Strömungslösers zu testen. Zu den Testproblemen gehört die isotherme Umströmung eines Zylinders, wobei es sich um ein verbreitetes zeitabhängiges Benchmarkproblem handelt, für das Referenzwerte aus der Literatur vorliegen. Dieses Problem stellt hohe Ansprüche an die räumliche Diskretisierung (krummlinige Ränder) und das Zeitschrittverfahren. Ferner werden nicht-isotherme Hohlraumströmungen (als Prototyp für Raumluftströmungen) im laminaren und turbulenten Fall untersucht. Hier spielt die Temperaturkopplung und eine anisotrope Gitterverfeinerung eine wichtige Rolle. Bei den turbulenten Rechnungen kommt das VMS-Turbulenzmodell zum Einsatz und die Ergebnisse werden mit experimentellen und anderen numerischen Resultaten verglichen. Aufbau der Arbeit In Kapitel 1 geht es zentral um das mathematische Modell, mit dem die Strömung beschrieben wird. Insbesondere werden neuere Resultate zitiert, wie das Oberbeck- Boussinesq-Modell systematisch aus dem allgemeineren Navier-Stokes-Fourier-Modell 2

9 Aufbau der Arbeit abgeleitet werden kann. Die räumliche Diskretisierung der Modellgleichungen wird in Kapitel 2 beschrieben. Dabei werden ausführlich die Schritte von der Variationsformulierung über den Galerkin- Ansatz bis zum endlichdimensionalen Anfangswertproblem nachvollzogen. Außerdem werden die speziellen mathematischen Eigenschaften der Diskretisierung mittels der Taylor-Hood-Elemente diskutiert. Kapitel 3 beinhaltet einige Grundlagen der Turbulenzmodellierung und eine Übersicht über gängige Turbulenzmodelle. Außerdem wird ein neues Turbulenzmodell für nichtisotherme Strömungen vorgestellt und Aspekte der Implementierung besprochen. Neben einem Eindeutigkeitsbeweis für die diskreten Lösungen des Oberbeck-Boussinesq- Modells mit Turbulenzmodell werden in Kapitel 4 Stabilitätsabschätzungen und eine a-priori Fehlerabschätzung bewiesen. Dabei handelt es sich um den analytischen Kern dieser Arbeit. In Kapitel 5 werden zunächst einige Grundlagen zu differentiell-algebraischen Gleichungssystemen wiederholt und Zeitschrittverfahren aus zwei unterschiedlichen Familien vorgestellt sowie deren theoretische Eigenschaften besprochen. Auch eine mögliche Verknüpfung von zeitlicher Diskretisierung und Linearisierung der Gleichungen wird besprochen. Anhand von numerischen Versuchen am Beispiel eines umströmten Zylinders werden in Kapitel 6 die verschiedenen Verfahren zur zeitlichen Diskretisierung aus dem vorherigen Kapitel experimentell untersucht und miteinander verglichen. In den letzten beiden Kapiteln werden Resultate numerischer Simulationen laminarer und turbulenter nichtisothermer Hohlraumströmung vorgestellt und ausgewertet. 3

10 Einleitung 4

11 Kapitel 1 Mathematisches Modell für nicht-isotherme Strömungen In diesem Kapitel geht es um die Bildung eines mathematischen Modells für nichtisotherme Strömungen. Dazu betrachten wir zunächst das allgemeine Navier-Stokes- Fourier-Modell und anschließend das nur noch für inkompressible Fluide und kleine Temperaturunterschiede gültige Oberbeck-Boussinesq-Modell. Dieses Modell wurde erstmals 1879 zur Erklärung von Abweichungen bei der experimentellen Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit von Gasen verwendet [56]. Nachdem das Oberbeck-Boussinesq- Modell zuvor nur durch formale Reihenentwicklung begründet wurde, zeigen neuere analytische Untersuchungen, dass es sich bei den Lösungen des Oberbeck-Boussinesq- Modells um singuläre Grenzwerte von Lösungen des Navier-Stokes-Fourier-Modells handelt [2]. Für Details zur Notation sei an dieser Stelle auf Abschnitt 1.7 dieses Kapitels verwiesen. 1.1 Strömungsmechanik Bei der Strömungsmechanik handelt es sich um ein Teilgebiet der Kontinuumsmechanik, bei der vom mikroskopischen Aufbau der Materie abgesehen und angenommen wird, dass das Medium (Flüssigkeit oder Gas) als ein Kontinuum angenähert werden kann. Die Gültigkeit dieser Annahme kann theoretisch untersucht werden und hängt von einer Skalenseparation ab. Ab bestimmten kleinen Längenmaßstäben muss Materie als Verbund einzelner diskreter Teilchen betrachtet werden. Auf größeren Skalen hingegen spielt diese mikroskopische Struktur keine Rolle und das einzelne Teilchen verliert an Bedeutung. So kann unter geeigneten Bedingungen auch ein Granulat (z.b. feiner Sand) als Kontinuum modelliert werden. In einem Gebiet Ω R 3 wird ein homogenes Fluid durch die Zustandsvariablen Dichte ϱ, Geschwindigkeit u und Temperatur ϑ sowie durch die thermodynamischen Funktio- 5

12 Kapitel 1: Mathematisches Modell für nicht-isotherme Strömungen nen Druck p = p(ϱ, ϑ), spezifische innere Energie e = e(ϱ, ϑ) und spezifische Entropie s = s(ϱ, ϑ) beschrieben. Basierend auf den Annahmen zur Massenerhaltung, Energieerhaltung und Impulserhaltung, sowie auf der bereits erwähnten Kontinuumsannahme lassen sich Evolutionsgleichungen für die zeitliche Entwicklung der Zustandsvariablen eines Fluids aufstellen. Eine wichtige Eigenschaft von Fluiden ist die Art und Weise, auf welche die inneren Spannungskräfte von den Geschwindigkeitsgradienten abhängen. Ein Newtonsches Fluid (nach dem Newtonschen Elementargesetz der Zähigkeitsreibung) ist eine Flüssigkeit oder ein Gas, dessen Scherspannung (auch Schubspannung) sich proportional zur Schergeschwindigkeit verhält. Dies trifft auf die meisten gewöhnlichen Fluide (z.b. Luft und Wasser) zu und ist zugleich eines der einfachsten und am besten untersuchten Modelle, das in der Strömungsmechanik verwendet werden kann. Nicht-Newtonsche Fluide sind u.a. viskoplastische Bingham-Fluide (z.b. Zahnpasta), die erst ab einer bestimmten Scherspannung anfangen zu fließen und sich unterhalb dieser Spannung wie ein Festkörper verhalten. Ein anderes Beispiel ist eine viskoelastische Stärkelösung, die bei niedriger Scherspannung flüssig ist, aber unter großer Scherspannung elastisch wird. Nicht-Newtonsche Strömungsmodelle werden in dieser Arbeit jedoch keine Rolle spielen. 1.2 Das Navier-Stokes-Fourier-Modell Ausgehend von Erhaltungsgleichungen lassen sich für die Dichte ϱ = ϱ(t), die Geschwindigkeit u = u(t) und die absolute Temperatur ϑ = ϑ(t) Evolutionsgleichungen in Form von partiellen Differentialgleichungen herleiten. Eine ausführliche Darstellung der Herleitung ist in Kapitel 1 von Ref. [2] zu finden. Nach einer entsprechenden Entdimensionalisierung, bei der die dimensionsbehafteten Größen durch Referenzwerte normiert werden, erhalten wir das Navier-Stokes-Fourier-Modell (1.1) bis (1.8) (siehe [2], Seite 129). Für physikalische Größen folgen wir der Notation in [34]. Das Navier-Stokes-Fourier-Modell: Sr t ϱ + div(ϱu) =, (1.1) Sr t (ϱu) + div(ϱu u) + 1 Ma 2 p(ϱ, ϑ) = 1 Re div S 1 2 ϱ f, (1.2) Fr Sr t (ϱs(ϱ, ϑ)) + div(ϱs(ϱ, ϑ)u) + 1 ( q ) Pe div = σ + Hrϱ Q ϑ ϑ, (1.3) ( Ma 2 ) ( Ma 2 ) Sr t 2 ϱ u 2 + ϱe(ϱ, ϑ) = Fr 2 ϱf u. (1.4) Ω Der Druck p = p(ϱ, ϑ), die spezifische Entropie s = s(ϱ, ϑ) und die spezifische innere Energie e = e(ϱ, ϑ) sind differenzierbare Funktionen von ϱ und ϑ, die durch die Gibbs- Relation ( ) 1 ϑds(ϱ, ϑ) = De(ϱ, ϑ) + p(ϱ, ϑ)d (1.5) ϱ 6 Ω

13 1.2. Das Navier-Stokes-Fourier-Modell in Zusammenhang stehen. Für ideale Gase wird p(ϱ, ϑ) = Rϱϑ und 2 3ϱe(ϱ, ϑ) = p(ϱ, ϑ) mit der spezifischen Gaskonstanten R verwendet. Daraus ergibt sich, dass die spezifische innere Energie s = s(ϑ) allein von der Temperatur des Gases abhängt. Der viskose Spannungstensor S ist für Newtonsche Fluide durch S = µ(ϑ) ( u + ( u) 23 ) div(u)i + ζ(ϑ) div(u)i (1.6) gegeben und enthält die temperaturabhängige dynamische Viskosität µ(ϑ) und die Volumenviskosität ζ(ϑ). Der Wärmestrom q mit temperaturabhängiger Wärmeleitfähigkeit k(ϑ) ist gegeben durch Die Entropieproduktionsrate σ ist definiert als σ = 1 ϑ ( Ma 2 q = k(ϑ) ϑ. (1.7) Re S : u 1 Pe ) q ϑ. (1.8) ϑ Im Modell treten die vier physikalischen Einheiten Zeit, Länge, Masse und Temperatur auf. Es können die charakteristischen Größen für Zeit T ref, Länge L ref, Dichte ϱ ref, Temperatur ϑ ref und Geschwindigkeit U ref sowie die zusamengesetzten Größen p ref, e ref, µ ref, ζ ref, k ref und Quellterm f ref festgelegt werden. Alle im Modell auftretenden abhängigen und unabhängigen Variablen wurden mit diesen charakteristischen Größen skaliert. Diese Substitution ist Ursache für das Auftreten der dimensionslosen Skalierungsparameter, die in Tabelle 1.1 angegeben sind. Eine Existenzaussage für schwache Lösungen des Navier-Stokes-Fourier-Modells liefert Theorem 3.1 in [2]. Symbol Definition Bezeichnung Sr L ref /(T ref U ref ) Strouhal-Zahl Ma U ref / p ref ϱ ref Mach-Zahl Re ϱ ref U ref L ref /µ ref Reynolds-Zahl Fr U ref / L ref f ref Froude-Zahl Pe p ref L ref U ref /(ϑ ref k ref ) Péclet-Zahl Hr ϱ ref Q ref L ref /(p ref U ref ) Heat release parameter Tabelle 1.1: Skalierungsparameter des Navier-Stokes-Fourier-Modells. Oft handelt es sich bei dem Beschleunigungsvektor f um den Gradienten eines skalaren Potentials. Im Fall von Gravitationsbeschleunigung in einem lokalen Koordinatensystem hat f die einfache Gestalt f = F = x 3 = (,, 1) und entspricht einer konstanten nach unten gerichteten Beschleunigung. 7

14 Kapitel 1: Mathematisches Modell für nicht-isotherme Strömungen 1.3 Das Oberbeck-Boussinesq-Modell In vielen Anwendungen ist die Mach-Zahl klein, d.h., die auftretenden Geschwindigkeiten sind klein im Vergleich zur Schallgeschwindigkeit. In diesem Bereich hat die Ausbreitung von Schallwellen vernachlässigbaren Einfluss auf die Strömung. Insbesondere treten keine Schockwellen oder Stöße im Fluid auf. Sind zusätzlich die Temperaturunterschiede gering, kann die Dichte des Fluids als konstant angenommen werden. Aus (1.1) folgt dann die Inkompressibilität u = des Fluids. Bei kleiner Froude-Zahl Fr Ma wirken sich die Temperaturunterschiede und die daraus resultierenden Dichtevariationen im wesentlichen nur noch im Auftriebsterm auf der rechten Seite der Impulsgleichung auf das Fluid aus. Unter diesen Bedingungen kommt es zu starker Schichtung innerhalb des Fluids, bei der wesentliche Eigenschaften des Fluids nur noch von der vertikalen Raumkoordinate abhängen. Bei nicht ganz so kleiner Froude-Zahl Fr Ma kommt es zwar zur Schichtung, diese hat jedoch kaum Auswirkungen auf die Dichte und den Druck. Bemerkung 1.1 Bei Simulationen mit großer räumlicher Ausdehnung (z.b. Luftströmungen in der Atmosphäre) bzw. langen Zeitskalen kann neben der Gravitationskraft auch die Corioliskraft eine wichtige Rolle spielen. Der Einfluss der Corioliskraft auf die Strömung konnte z.b. bei Experimenten zur Rayleigh-Bénard-Konvektion nachgewiesen werden [12]. Für den beschriebenen Fall niedriger Mach-Zahl und kleiner Temperaturunterschiede wird das erstmals in [56] vorgestellte Oberbeck-Boussinesq-Modell verwendet. Dabei handelt es sich um Gleichungen für das inkompressible Geschwindigkeitsfeld u, die Temperatur θ und den Druck P. Die Temperatur ist jetzt nicht mehr absolut, sondern als Abweichung von einer mittleren Temperatur ϑ zu verstehen. Bei dem Druck P handelt es sich nicht um den thermodynamischen Druck, sondern um eine abhängige Variable einen Lagrange-Multiplikator zur Erfüllung der Divergenzfreiheit der Geschwindigkeit. Das Oberbeck-Boussinesq-Modell: ϱ( t u + div(u u)) + P = div S r F, (1.9) div u =, (1.1) ϱ c p ( t θ + div(uθ)) div( k θ) =. (1.11) Wegen div u = hat der Spannungstensor gegenüber dem Navier-Stokes-Fourier-Modell die vereinfachte Form ( S = µ u + ( u) ). (1.12) Im Oberbeck-Boussinesq-Modell werden die Viskosität µ, die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck c p sowie die Wärmeleitfähigkeit k bei konstanter Dichte ϱ und 8

15 1.4. Randbedingungen konstanter mittlerer Temperatur ϑ ermittelt. Übereinstimmend mit der Boussinesq- Approximation tritt die temperaturabhängige reduzierte Dichte r = r(θ) nur in der rechten Seite der Impulsgleichung auf und hat die Form r + ϱ β(θ ϑ) =, (1.13) wobei β für den Wärmeausdehnungskoeffizienten steht. Es handelt sich dabei um eine Linearisierung der Dichte um die mittlere Temperatur ϑ. Der aus der mittleren Dichte resultierende Kraftterm ϱ β ϑ F wird vom Druck absorbiert und hat keinen Einfluss auf das Geschwindigkeitsfeld. Für den speziellen Fall Sr = Re = Pe = O(1), Ma ɛ, Fr ɛ (1.14) lässt sich unter bestimmten Bedingungen durch asymptotische Analysis rigoros zeigen, dass für ɛ die Lösung des Navier-Stokes-Fourier-Modells gegen die Lösung des Oberbeck-Boussinesq-Modells konvergieren (siehe dazu Theorem 5.2 in [2]). Diese Annahme ist für kleine Temperaturdifferenzen (< 2 K) und für Strömungen mit kleiner Machzahl (<.3) gerechtfertigt [29]. 1.4 Randbedingungen Das Navier-Stokes-Fourier- und das Oberbeck-Boussinesq-Modell müssen für berandete Gebiete noch mit Randbedingungen versehen werden. Für die asymptotische Untersuchung des Navier-Stokes-Fourier-Modells im Grenzfall kleiner Mach-Zahlen und schwacher Schichtung (1.14) wurden in [2] folgende Randbedingungen verwendet: u n Ω =, Sn n Ω =, q n Ω =. (1.15) Diese entsprechen einer vollständigen energetischen Isolation des Systems. Das Fluid kann den Rand des Gebiets Ω nicht durchdringen, es wirkt keine Haftreibung auf das Fluid und der Wärmestrom in wandnormale Richtung verschwindet. Unter diesen Bedingungen entstehen keine Grenzschichten am Rand des Gebiets, die die analytische Untersuchung erschweren. Eine physikalisch realistischere Randbedingung ist die Haftbedingung auf Teilen Γ Ω des Randes, bei der das Fluid an der Wand ruht. Dazu kann die Wandtemperatur oder ein fester Wärmestrom vorgeschrieben werden u Γ =, θ Γ = θ wall oder q n Γ = q wall. (1.16) Haftbedingungen können bei kleiner Viskosität zu Grenzschichten im Geschwindigkeitsprofil führen, deren analytische Untersuchung ein eigenes Forschungsfeld ist. Durch die Verwendung von asymptotisch ermittelten Grenzschichtgesetzen können Strömungsmodelle nahe der Wand deutlich vereinfacht werden. 9

16 Kapitel 1: Mathematisches Modell für nicht-isotherme Strömungen Häufig kann nicht das gesamte geschlossene System modelliert werden. Dann wird das Modell auf einen Teil des Systems angewendet und es entstehen künstliche Ein- und Ausströmränder Γ und Γ + die über das Skalarprodukt des Geschwindigkeitsfeldes mit dem äußeren Einheitsnormalenvektor n des Randes definiert werden: Γ := {x Ω u n < }, Γ + := {x Ω u n > }. Diese Definitionen sind von der Lösung des Problems abhängig und können auch mit der Zeit variieren. Beim Einströmrand wird meist davon ausgegangen, dass der Zustand des Fluids von außen vorgegeben ist und es wird u Γ = u in, θ Γ = θ in (1.17) gesetzt. Am Ausströmrand soll das Fluid das Gebiet möglichst ungehindert und von der Geometrie des Randes unbeeinflusst verlassen. Insbesondere sollen auch Grenzschichten am Ausströmrand vermieden werden. Dies wird dadurch erreicht, dass die auftretenden Spannungen und der Wärmestrom gleich Null gesetzt werden: (S pi) n Γ+ =, q n Γ+ =. (1.18) Dabei ist darauf zu achten, dass p hier nur für die Normalenspannungen steht. Je nach Anwendung und Art des Randes können auch aufwendige Modelle für Randbedingungen erforderlich sein. Zum Beispiel, falls kleine Strukturen auf dem Rand existieren, die nicht durch die Geometrie beschreiben werden können, aber dennoch einen nicht vernachlässigbaren Einfluss auf die Strömung haben. Darunter fällt die Wandrauhigkeit (z.b. bei der Rauhreifbildung an Tragflächen von Flugzeugen) oder die Vegetation bei atmosphärische Strömungen. 1.5 Physikalische Parameter und Entdimensionalisierung Für thermische Strömungen spielen die in Tabelle 1.2 zusammen mit ihren physikalischen Einheiten angegebenen Parameter eine wichtige Rolle. Neben den dimensionslosen Größen aus Tabelle 1.1 werden zur Klassifikation von thermischen Strömungen auch die Prandtl-Zahl Pr, die Grashof-Zahl Gr und die Rayleigh-Zahl Ra verwendet: Pr = ν α, Gr = gβ θ ref L3 ref ν 2, Ra = Gr Pr = gβ θ ref L3 ref. να Luft hat bei Raumtemperatur etwa folgende Eigenschaften: 1 6 m2 ν = s, m2 α = s, β = K, ρ = 1.25 kg m 3, c p = 1.5 kj kg K.

17 1.6. Numerische Strömungsmechanik (CFD) Symbol SI-Einheit Bezeichnung ϱ kg m 3 Massendichte µ kg m 1 s 1 Viskosität ν = µ ϱ m 2 s 1 kinematische Viskosität k W m 1 K 1 Wärmeleitfähigkeit c p J kg 1 K 1 spezifische Wärmekapazität α = k ϱc p m 2 s 1 Temperaturleitfähigkeit β K 1 Wärmeausdehnungskoeffizient g = (, g) m 2 s 1 Gravitationsbeschleunigung L ref m charakteristische Länge U ref m s 1 charakteristische Geschwindigkeit T ref s charakteristische Zeiteinheit θ ref K charakteristische Temperaturdifferenz Tabelle 1.2: Relevante physikalische Parameter von Fluiden und Strömungen. Zusammen mit der Gravitationskonstanten g = 9.81 m s 2 ergeben sich daraus Pr =.713 und Ra K m 3 θ ref L3 ref. Typische Raumluftströmungen erreichen bei L ref 3 m und θ ref 1 K somit Rayleigh-Zahlen im Bereich 1 1 Ra Numerische Strömungsmechanik (CFD) Im Folgenden stellt sich die Frage, wie die hergeleiteten Gleichungen zu lösen sind. Trotz aller Vereinfachungen lassen sie sich nur in wenigen Ausnahmen exakt lösen. In vielen Bereichen (z.b. im Flugzeug- und Automobilbau, beim Entwurf von Belüftungsanlagen aller Art oder bei der Klima- und Wettervorhersage) besteht jedoch großes Interesse an der Simulation und Vorhersage von Strömungen, um den Entwicklungsprozess zu beschleunigen. Das älteste Werkzeug zur Vorhersage von Strömungen ist das Experiment, das jedoch oft nicht im Originalmaßstab durchführbar ist. Der Übergang zum verkleinerten Modell bereitet häufig technische Probleme und erfordert seinerseits großen Entwicklungsaufwand (Windkanaltechnik) und Anlagen, die teuer im Bau und Unterhalt sind. Einige Anwendungsfelder entziehen sich dem Experiment vollständig, wie z.b. die globale Klimavorhersage. Seit der Erfindung von Computern und der rasanten Entwicklung ihrer Rechenleistung besteht der Wunsch, mit ihrer Hilfe Näherungslösungen der mathematischen Modelle 11

18 Kapitel 1: Mathematisches Modell für nicht-isotherme Strömungen Abbildung 1.1: Gliederung des Lösungsprozesses. zu berechnen und damit Strömungen zumindest approximiert vorherzusagen. Mit dieser Aufgabe beschäftigt sich die numerische Strömungsmechanik. Der Lösungsprozess gliedert sich dabei typischerweise in folgende Teile: Es wird ein Modell zur vollständigen mathematischen Beschreibung des Problems ausgewählt. In dieser Arbeit wird dazu das Oberbeck-Boussinesq-Modell verwendet, wie bereits in diesem Kapitel begründet wurde. Für die räumliche Diskretisierung steht eine große Auswahl an Verfahren zur Verfügung, auf die im Folgenden noch etwas genauer eingegangen werden soll. In dieser Arbeit wird eine Finite-Elemente-Diskretisierung verwendet (siehe Kapitel 2). Durch die räumliche Diskretisierung entstehen endlichdimensionale Anfangswertprobleme. Diese können durch implizite oder semi-implizite Zeitschrittverfahren numerisch integriert werden. Bei der Verwendung impliziter Zeitschrittverfahren entstehen nichtlineare Gleichungssysteme, die iterativ durch Newton- oder Picard-Iterationen gelöst werden können. Diese führen, wie auch semi-implizite Zeitschrittverfahren, auf lineare Gleichungssysteme. Die linearen Gleichungssysteme sind meist dünn besetzt und zu groß, um direkt gelöst werden zu können. Daher werden z.b. vorkonditionierte Krylov- oder Mehrgitterverfahren zur effizienten Lösung eingesetzt. Bei jedem dieser Schritte muss die spezielle Struktur der Probleme berücksichtigt werden, um effiziente Verfahren zu erhalten. Insbesondere bei den beiden Schritten zur Diskretisierung in Raum und Zeit wird aufgrund der nur beschränkt zur Verfügung stehenden Rechenleistung und der daraus resultierenden niedrigen Auflösung ein nicht zu 12

19 1.6. Numerische Strömungsmechanik (CFD) vernachlässigender Fehler eingeführt. Um dieses Problem zu umgehen, können die ursprünglichen Modellgleichungen um ein Turbulenzmodell erweitert werden, das die Effekte auf den nicht aufgelösten Skalen modelliert, so dass die modifizierte Lösung durch die Diskretisierung gut approximiert werden kann. Methoden zur räumlichen Diskretisierung Wie bereits erwähnt, steht für die räumliche Diskretisierung eine große Auswahl an Verfahren zur Verfügung, die unterschiedliche Vor- und Nachteile besitzen. Bei der Finite-Differenzen-Methode (FDM) werden im Gebiet Punkte verteilt, an denen die Lösung approximiert werden soll. Die Differentialoperatoren werden dann durch Differenzenquotienten der Werte an diesen Punkten approximiert. Dieser Ansatz lässt sich aber nur bei regelmäßiger und äquidistanter Punkteverteilung effizient implementieren und analytisch untersuchen. Die Finite-Volumen-Methode (FVM) entspricht einem zur FDM dualen Ansatz. Bei ihr wird das Gebiet in kleine Teilgebiete (Volumen) zerlegt und jedem Teilgebiet ein Mittelwert zugeordnet. Die Differentialoperatoren werden in Integraloperatoren überführt, so dass die Methode im Wesentlichen auf der Berechnung von Flüssen zwischen benachbarten Volumen basiert. Dieser Ansatz eignet sich besonders für Erhaltungsgleichungen. Da zur Berechnung der Flüsse Werte auf den Rändern der Teilgebiete interpoliert werden müssen, erreichen diese Verfahren jedoch meist nur eine niedrige Konvergenzordnung. Auch die Finite-Elemente-Methode (FEM) basiert auf einer Zerlegung des Gebiets in Teilgebiete, auf denen die stetige Approximation als stückweise polynomiell angenommen wird. So kann mittels konformer Ansatzräume rigoros eine Variationsgleichung hergeleitet und eine Fehleranalysis betrieben werden. Die FEM ist bei der Anwendung auf elliptische und parabolische Probleme sehr robust. Eine ausführliche Betrachtung der Finite-Elemente-Methode ist in Kapitel 2 zu finden. Eine weitere Möglichkeit zur Approximation der Lösung sind spektrale Methoden mit globalen Ansatzfunktionen (z.b. Tschebyscheff-Polynome oder Fourierreihen). Durch Spektraltransformationen, z.b. eine schnelle Fourier-Transformation (FFT), lassen sich die Differentialoperatoren effizient im Spektralbereich auswerten. Spektralmethoden eignen sich zwar besonders für sehr glatte Lösungen, bei denen exponentielle Konvergenz möglich ist, lassen sich aber nur bei einfachsten Geometrien (Quader- oder Kreisgebiete) effizient einsetzen. Aktuelle Entwicklungen im Bereich der Implementierung Ein immer wichtiger werdender Aspekt der numerischen Strömungssimulation ist die Implementierung der Verfahren für Computer. Ziel ist es, die zur Verfügung stehende Rechenleistung möglichst effizient zu nutzen. Dem gegenüber steht die stetig zunehmende 13

20 Kapitel 1: Mathematisches Modell für nicht-isotherme Strömungen Komplexität der Computersysteme. Zwei wesentliche Trends dominieren dabei die aktuelle Entwicklung von Supercomputern. Ein Trend ist das stetige Anwachsen der Anzahl an Rechenkernen in Großrechnern. Diese liegt aktuell in der Größenordnung von 1 5 Rechenkernen für einen einzelnen Großrechner (siehe Um die Rechenleistung vollständig zu nutzen, muss also jeder Teil der Rechnung auf alle Kerne aufgeteilt (parallelisiert) werden. Einige Verfahren lassen sich jedoch nicht gut parallelisieren, da der Kommunikationsaufwand zur Verteilung und Zusammenführung der Daten sehr groß sein kann. Aktuelle Entwicklungen zur Parallelisierung der für diese Arbeit verwendeten Finite-Elemente-Bibliothek deal.ii sind in [32] zu finden. Der zweite Trend geht in Richtung heterogener Rechnerarchitekturen. Die Rechenleistung einzelner Rechenknoten mit wenigen Rechenkernen (4 bis 16) lässt sich beträchtlich durch den Einsatz von speziellen Grafikprozessoren (GPUs) erweitern. Jeder dieser Grafikprozessoren enthält bis zu mehrere hundert programmierbare Recheneinheiten, die auch für allgemeine Rechenaufgaben programmiert werden können. Ihre Programmierung unterscheidet sich deutlich von der für klassische Rechenkerne und viele Algorithmen müssen für GPUs überarbeitet oder neu entwickelt werden, woraus ein eigenständiger Forschungszweig entstanden ist. Das Interesse an Algorithmen für GPUs ist auch dadurch begründet, dass einige der weltweit schnellsten Supercomputer mit GPUs ausgestattet sind (siehe Insgesamt ist zu beobachten, dass die Rechenleistung der einzelnen Rechenknoten schneller als die verfügbare Speicherbandbreite wächst, mit der die Knoten untereinander kommunizieren können. Von dieser Entwicklung profitieren besonders Verfahren mit hoher arithmetischer Intensität (dem Verhältnis von der Anzahl an arithmetischen Operationen zur dafür benötigten Speicherbandbreite) und Approximationsgüte, wozu auch die Finite-Elemente-Methode zählt. Im Gegensatz dazu wird die Geschwindigkeit von einfachen Verfahren (wie z.b. der FVM) durch die geringe Speicherbandbreite begrenzt. 1.7 Notation In der gesamten Arbeit wird die im Folgenden beschriebene Notation verwendet. Vektorwertige Größen wie z.b. das Geschwindigkeitsfeld u werden mit kleinen fetten römischen Buchstaben, skalare Größen, wie der Druck p, werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Für Matrizen und Operatoren werden Großbuchstaben genutzt. Für die einzelnen Geschwindigkeitskomponenten wird u = (u, v, w) und für allgemeine Vektoren die Indexschreibweise v = (v 1, v 2, v 3 ) verwendet. Die Raumkoordinaten des R d sind x = (x 1, x 2, x 3 ) = (x, y, z). Für partielle Ableitungen und die bei Strömungsproblemen auftretenden Differential- 14