Anpassungsfähige kontinuierliche Innen- und Außenkonturen für form- und reibschlüssige Verbindungen auf Basis der komplexen Zykloiden

Transkript

1 VDI-Bricht Nr Anpassungsfähig kontinuirlich Innn- und Außnkonturn für for- und ribschlüssig Vrbindungn auf Basis dr koplxn Zykloidn Flxibl Continuous Intrior and Outr Contours for For- and Forc- Closurd Connctions on th Basis of Coplx Cycloids Prof. Dr.-Ing. habil. Masoud Ziai Wstsächsisch Hochschul Zwickau Kurzfassung Di Polygonprofil sind forschlüssig Wll-Nab-Vrbindungn di chanisch Vortil (z.b. klin Forzahl) ggnübr dn Kil- und Zahnprofiln aufwisn. Andrrsits könnn di Kil- und Zahnprofil praktisch in groß Anzahl von Mitnhrn habn was als Vortil i Hinblick auf in bssr Ausnutzung ds Profilufangs (abr auch auf di Vrschibbarkit dr Vrbindung untr Lastbdingungn) zu btrachtn ist. Di in dis Bitrag dargstlltn nuartign Profilkonturn basirn auf dn koplxn Zykloidn it bis zu 3 zusätzlichn Exzntrizitätn. Dis Profil wisn di Vortil dr bidn Profilgruppn Polygon- und Kilwlln- / Zahnwllnprofil zuglich auf wobi di optial Konturfor als Funktion dr Blastungsart rittlt wrdn kann. Auf Basis dr Forschungsrgbniss ins an dr Wstsächsischn Hochschul Zwickau laufndn DFG- Vorhabns wird di Entwicklung dr Profilgotrin darglgt wlch sich an blibign Blastungs- / Frtigungsbdingungn optial anpassn lassn. Ds Witrn wrdn analytisch Glichungn zur Brchnung dr ntsprchndn Wll-Nab-Vrbindung präsntirt. Dis Glichungn wrdn durch Einsatz dr koplxn Elastizitätsthori it Hilf konforr Abbildungn hrglitt. Di Lösungsthodn wrdn anhand inigr Bispil für torsionsblastt Profilwlln sowi für it Übraß gfügt Profilvrbindungn bschribn. Abstract Polygonal profils ar for-closurd shaft and hub connctions which provid chanical advantags (.g. sall thortical strss concntration factor) in coparison with splin and gar profils. On th othr hand th gar profils can hav a larg nubr of tth which is considrd to b an advantag with rspct to an optial usag of a profil circufrnc

2 278 VDI-Bricht Nr and conditions of th connction undr load. Th novl profils rprsntd in th following articl ar dvlopd on th basis of coplx cycloids with 1 to 3 additional ccntricitis. Ths profils provid th advantag of both polygonal and involut splin typs of profils at th sa ti whr th optial contour for can b dtrind as a function of th typ of load. Dvlopnt of profil gotry is dscribd basd on th rsults of a currnt rsarch projct at th Wst Saxonian Univrsity of Zwickau. Profil contour ay b optially adjustd to any load or anufacturing condition. Furthror analytical quations ar prsntd for coputation of shaft and hub connctions. Ths quations ar dducd by using th coplx lasticity thory and conforal apping. Solutions ar prsntd by study of xapls of torsion-loadd shafts and profild connctions with intrfrnc. 1. Einführung Rollkurvn Rollt in Kris (Rollkris gnannt) glitfri auf inr Basiskurv z.b. auf in andrn Kris (Grundkris gnannt) ab bschribn Punkt auf d abrollnd Kris bzw. Punkt innrhalb odr außrhalb diss Kriss zyklisch Rollkurvn. Bi tchnisch brauchbarn zyklischn Kurvn untrschidt an folgnd Rollkurvn: Epzykloidn (E-Profil) Rollt dr Rollkris in dr Ebn außn auf in fstn Kris ab so bschribt in fst it d abrollndn Kris vrbundnr Erzugungspunkt M in Epizykloid [1]. Dr Abstand ds Erzugungspunkts M (s. Bild 1 obn) zu Mittlpunkt ds Rollkriss C ist aßgbnd für di Abwichung ds E-Profils vo Kris und wird als di Exzntrizität ds Profils dfinirt. Untr dr unndlich großn Anzahl von E-Profiln di sich durch Variation dr Exzntrizität rgbn habn frühr di als K-Profil bkannt gwordnn Profilkurvn [2] it flachn Flankn tchnisch Bdutung gwonnn. Gln. 1 bschribn di Paratrdarstllung dr Epizykloidn wobi R g dn Radius ds Grundkriss R a dn Radius ds Rollkriss R dn Nnnradius ds Profils (Es gilt R OC R R ) g a CM di Exzntrizität n di Priodizität (Ecknzahl) dr Profilkontur und dn Winkl zwischn dr Kurvnnoraln und dr x-achs darstllt.

3 VDI-Bricht Nr Erzugungspunkt R g R a x R cos cos(n 1) y R sin sin( n 1). (1) n R g / R a CM Erzugungspunkt R g R a n R g / R a CM x R cos cos(n 1) y R sin sin( n 1). (2) Bild 1: Gotrisch Erzugung von Epizykloid (obn) und Hypozykloid (untn) jwils it vir Eckn rchts di jwilign Paratrglichungn [1]. Di bzogn Exzntrizität wird durch / R dfinirt. Hypozykloidn (H-Profil) Brührt dr Rollkris dn Grundkris von innn kann an gäß Bild 1 untn in Hypzykloid (H-Profil) rzugn [1]. Ist bi dis Profil so spricht an von inr klassischn Hypotrochoid. Für Ra Ra wird di Bzichnung vrkürzt Hypzykloid vrwndt di für industrill Anwndungn gignt ist (Bild 1 untn rchts). Dr Nnnradius ds H-Profils wird it R bzichnt und bträgt R OC Rg Ra wobi Ra in ngativs Vorzichn hat. Di Paratrdarstllung für di H-Profil wird gäß Gln. 2 anggbn. Polygonprofil (P-Profil) Di P-Profil (Polygonprofil) wrdn als in Sondrfall dr allginn Epizykloid bi dr di Profilkurv zu inr i Unndlichn rzugtn Zykloid ( R ) paralll ntwicklt wird btrachtt. Di Paratrdarstllung disr Profil wurd in [2] hrglitt und wi folgt bschribn:

4 28 VDI-Bricht Nr x R cos n cos n sin n sin y R cosn sin nsinn cos. (3) Hirbi bzichnt dn Winkl zwischn dr Kurvnnoraln und dr x-achs und untrschidt sich vo Polarwinkl. Di nach DIN und DIN gnortn Polygonprofil sind auf Basis dr P-Profil ntwicklt. Di Grnzxzntrizität für P-Profil lautt R n 2 1 grnz bzw. 1 grnz. (4) n 2 1 Bi Übrschritn disr Grnz übrschnidt sich das P-Profil und wird aus tchnischr Sicht unbrauchbar. Bild 2: K- und P3- (P3G-) Profil Bi in P-Profil blibn di Flankn andrs als bi K- und H-Profiln ir konvx (s. Bild 2 links). Soit gibt s kinn Exzntrizitätswrt für flach Flankn. Darübr hinaus stlln P-Profil it ungradr Ecknzahl ir in Glichdick dar. 2. Gnort forschlüssigr Profil Di gnortn in dr Industri häufig angwndtn (unittlbarn) forschlüssign Wll- Nab-Vrbindungn lassn sich in zwi Hauptgruppn klassifizirn: Di Polygonvrbindungn wrdn in zwi gnort Untrgruppn P3G- und P4C- Profil ingtilt. Hirbi wisn P3G-Profil in kontinuirlich Kontur auf wlch inn günstign Spannungszustand sowi gut Zntrir- und Fügbdingungn zur Folg hat. Andrrsits bschränkt sich di Flanknanzahl (Mitnhranzahl) bi Polygonprofiln aus tchnischn Gründn. Dis ist als in wsntlichr Nachtil anzushn da dr Ufang ds Profils bi dr Übrtragung dr Mont nur tilwis ausgnutzt wird.

5 VDI-Bricht Nr Di Mhrkil- und Zahnwllnprofil habn kin kontinuirlichn Konturn was sowohl gnrll ungünstig Spannungn in dr Vrbindung als auch schlcht Zntrir- und Fügbdingungn zur Folg hat. Auf dr andrn Sit wisn Mhrkil- und Zahnwllnprofil praktisch kin Bschränkungn in dr Anzahl dr Mitnhr auf. Dis ist als in Vortil drartigr Profil anzushn da dr Ufang ds Profils bi Übrtragung dr Mont wsntlich bssr ausgnutzt wrdn kann. Di forschlüssign Wll-Nab-Vrbindungn wisn gnrll koplx gotrischchanisch Zusanhäng auf was di Anwndung dr turn zitaufwndign xprintlln und nurischn Mthodn (wi z.b. Finit-Elnt-Mthod FEM) bi dr Auslgung dr Vrbindung bislang unabdingbar acht. Frnr rfordrt di zuvrlässig Dutung dr nurischn Ergbniss ausrichnd chanisch Fachknntniss insbsondr bi nichtlinarn Kontaktprobl dr Wll-Nab-Vrbindung. Ldiglich für P3G-Profil xistirn z.t. analytisch Ansätz zur zuvrlässign kostngünstign Dinsionirung dr Vrbindung [3]. I Folgndn wrdn koplx Zykloidn dargstllt wlch di Vortil dr bidn Profilgruppn Polygon- und Kilwlln- / Zahnwllnprofil vrinn. Frnr könnn für drartig Profil in viln praktischn Fälln auch analytisch Lösungsansätz rittlt wrdn wlch sichr und kostngünstig Brchnungn gwährlistn. 3. Koplx Zykloidn - nuartig Profil Bi alln i Kapitl 1 bschribnn Profiln wist di ntsprchnd Profilxzntrizität i Lauf dr Kurvnrzugung inn konstantn Wrt auf wobi di Kurvnpriodizität dr Anzahl dr Profil-Sitn (- Mitnhr) ntspricht. Di Priodizität wird in dis Fall als di rst Priodizität bzichnt. Lässt an bi Erzugung dr Rollkurv abr auch di Exzntrizität priodisch variirn so rhält an zahlrich nu koplx Profilforn. Durch Einbau von zusätzlichn koplxn Exzntrizitätn in di Gotri ds zyklischn Profils sind nuartig kontinuirlich Profil it hrrn Mitnhrn dnkbar wlch di Vortil dr bidn obn gnanntn Profilfailin (Polygon- und Zahnprofilprofil) vrinn. I Ggnsatz zu dn hrkölichn Kil- und Zahnprofiln bitn di rwähntn Profil dri vortilhaft für di tchnischn Anwndungn ntschidnd Eignschaftn an: a) Zu inn sind di Konturn dr Profil sttig. Dis Eignschaft röglicht di glichäßig Zntrirung ds Profils auf d gsatn Profilufang und nicht nur auf dn tragndn Flankn.

6 282 VDI-Bricht Nr b) Darübr hinaus sind di Krüungn an dr Profilkontur (z. B. i Kopf- und Fußbrich ds Mitnhrs) it Hilf von kobinirtn und in dr Profilgotri zusätzlich ingbautn Exzntrizitätn instllbar. Dis Eignschaft röglicht di Anpassung ds Profils an zu rfüllnd Funktionn sowi an di Blastung und an di Frtigungsinschränkungn. c) Di dritt vortilhaft Eignschaft dr rfundnn Profilgotri ist dass di Anzahl dr tragndn Profilflankn blibig gwählt wrdn kann. Bild 3 zigt bispilswis in Klass dr koplxn Zykloidn it dri Exzntrizitätn und 12 Mitnhrn. Aus d Bild ist zu rknnn dass durch Variirn dr Hauptxzntrizität di Brit und di Höh dr Mitnhr binflusst wrdn könnn. Dadurch kann di Profilkontur zu Bispil an vorggbnn Lastbdingungn angpasst wrdn. Darübr hinaus kann di Priodizität (Anzahl dr Profil-Mitnhr) auch variirt wrdn (Bild 4). /R 1 % /R 15 % /R 2 % Bild 3: Bispil für Profil auf Basis koplxr Zykloidn it 3 zusätzlichn Exzntrizitätn. Di Hauptxzntrizität wurd variirt. [4] n 6 25 % R n 8 22 % R n % R n 24 n 4 1 % 5 % R R Bild 4: Koplx Zykloidn it variirtr Mitnhranzahl [4]

7 VDI-Bricht Nr Paratrdarstllung und Klassifizirung koplxr Zykloidn Paratrglichungn dr allginn koplxn Zykloidn wrdn durch x1 1 x2 2 x3 3 x4 4 x R cos f cos f cos f cos f cos y R sin f sin f sin f sin f sin y1 1 y2 2 y3 3 y4 4 (5) bschribn wobi und 4 Funktionn vo Hautparatrwinkl sind. Di Funktionn f x1f x2f x3 und f x4 sowi di Funktionn f y1f y2f y3 und f y4 sind voninandr abhängig und bschribn di Exzntrizitätn di in di Paratrglichungn zusätzlich ingfügt wrdn. Aus dn Gln. 5 ist zu rknnn dass di bidn rstn Tr auf dr rchtn Sit di infach Zykloid bschribn wobi di Hauptxzntrizität darstlln. Koplx Epizykloidn Di Gln. 5 stlln rin koplx Epizykloidn dar wnn di Exzntrizitätsfunktionn folgnd Bdingungn rfülln f x1 f y1 fx2 f y2 fx3 fy3 f x4 f y4. (6) Bild 5 zigt in Bispil für drartig Profil it 8 Mitnhrn. Hirbi gltn: f f f 2 f 2 / 16 f 3 f 3 / 32 und f 4 f 4 / 64. x1 y1 x y x y x y / R / R 2 / R 4 / R 6 / R 1 Bild 5: Konturgotri inr koplxn rinn Epizykloid it 3 zusätzlichn Exzntrizitätn gäß Gln. 6 bi variirtr Hauptxzntrizität nach [5]

8 284 VDI-Bricht Nr Koplx Hypozykloidn Di Gln. 5 stlln rin koplx Hypzykloidn dar wnn folgnd Bdingungn rfüllt wrdn: f x1 f y1 fx2 f y2 fx3 fy3 f x4 f y4. (7) Hybrid koplx Zykloidn Wsn di f x -Funktionn dn ntsprchndn f y -Funktionn btragsäßig glich Wrt it blibig Vorzichnn auf bschribn di Gln. 5 di hybridn koplxn Zykloidn 1. Bild 6 stllt in Grupp dr hybridn Zykloidn it vrschidnr Mitnhranzahl dar wobi folgnd Bzihungn zwischn dn Exzntrizitätsfunktionn bsthn: f f 2 x1 y1 f f x2 y2 f f 7 / 8 und (8) x3 y3 f f 5 / 8. x4 y4 n 3 n 4 n 5 n 1 n 18 n 34 Bild 6: Konturgotri inr koplxn hybridn Zykloid it 3 zusätzlichn Exzntrizitätn gäß Gln. 8 bi variirtr Mitnhranzahl n nach [5] 1 Di gnortn P3G-Polygon-Profil stlln in infach hybrid Zykloid dar.

9 VDI-Bricht Nr Für das in Bild 6 dargstllt Bispil wurd di Hauptxzntrizität in Abhängigkit dr Mitnhranzahl n wi folgt gwählt 1 n 1 2. (9) Bild 7 stllt Profil aus dr glichn obn bschribnn Grupp dar. Di Anzahl dr Mitnhr n 3 wurd hir konstant ghaltn währnd di Hauptxzntrizität von bis 1 variirt x R cos cos cos 7 5 cos 8 8 cos y R sin sin sin 7 5 sin 8 8 sin Bild 7: Konturgotri inr koplxn hybridn Zykloid it 3 Mitnhrn bi variirtr Hauptxzntrizität nach [5] Dis Profil wrdn nach wi vor durch di Glichungn 5 it folgndn Paratrn bschribn: f f 2 2 x1 y1 1 f f 4 x2 y2 2 f f 7 / 8 5 und x3 y3 3 f f 5 / 8 7. (1) x4 y4 4

10 286 VDI-Bricht Nr Auf Basis disr Profilgrupp ist s auch öglich di koplx Gotri dr gnortn P4C-Profil abzubildn. Bild 8 stllt di Gotri dr P3C- und P4C-Profil dar wlch auf Basis dr Gln. 1 rzugt wurdn. P3C P4C Bild 8: P3C- und P4C-Profilkonturn als koplx hybrid Zykloid it 3 Mitnhrn [5] Aus dn obn dargstlltn Bispiln wrdn di groß Vilfalt und di gotrisch Anpassungsfähigkit dr koplxn Zykloidn rsichtlich. Dis Eignschaftn röglichn in optial Anpassung dr Profilkontur an Last- / Frtigungsbdingungn. Darübr hinaus könnn für vil Einsatzfäll dr koplxn Zykloidn i Brich dr Wll-Nab-Vrbindungn auch analytisch Brchnungsglichungn (s. Kapitl 5) hrglitt wrdn. Dis Glichungn gstattn in zuvrlässig kostngünstig Auslgung dr Vrbindung. 5. Analytisch Mthodn - Anwndung dr konforn Abbildungn In viln praktischn Fälln röglicht di Anwndung dr konforn Abbildungn in dirkts Findn dr passndn Lösung ds lastischn Probls. Wnn infolg inr Abbildung ins Gbits dr Winkl zwischn zwi blibign abgbildtn Kurvnstückn unvrändrlich blibt bzichnt an di Abbildung als winkltru odr konfor (s. z.b. [6]). Wnn di zu untrsuchndn Gbit koplizirt Gotrin aufwisn was z.b. bi dn koplxn Zykloidn dr Fall ist könnn drartig Abbildungn bi dr Forulirung ds Probls shr zwckäßig sin. Di z-ebn di durch koplx Kobination von x und y Koordinatn dargstllt ist wird als physikalisch Ebn bzichnt.

11 VDI-Bricht Nr y ( ) x Bild 9: Abbildung ins Gbits in dr Modllbn [5] Di Modllbn wird i Folgndn -Ebn gnannt. Für infach zusanhängnd Gbit stllt zwckäßigrwis dr abgbildt Brich in dr -Ebn inn Einhitskris dar wobi di -Ebn als Standardbn charaktrisirt wird. Ein Abbildung ds physikalischn Brichs wird durch f (z) (11) bschribn. Ist di Abbildung ukhrbar so lässt sich das Modllgbit auf d physikalischn Gbit durch z ( ) (12) abbildn wobi 1 f gilt. Bild 9 stllt di Abbildung ins Gbits in dr z-ebn (z.b. das von inr koplxn Zykloid ingschlossn Gbit) auf in Gbit in dr -Ebn (z.b. Einhitskris) dar. Nabnspannungn Infolg inr konforn Abbildung blibt di Fldglichung in viln praktischn Fälln (wi z.b. bi dr haronischn Glichung) gültig; dadurch rgbn sich groß Vortil hinsichtlich ds Lösungsaufwands. Wnn in Abbildung durch in analytisch Funktion f (z) rfolgt ist di Abbildung konfor. Di konfor Abbildung kann in dr koplxn Elastizitätsthori auch als in orthogonal Koordinatn-Transforation zwischn dn z- und -Ebnn btrachtt wrdn wobi di Bzihungn für Vrschibungn und Spannungn folgndraßn rittlt wrdn [7] u iu ( ) ( ) i ( u x iu y ) (13)

12 288 VDI-Bricht Nr ( ) 4R[ ( )] 2 2 2i ( ( ) ( ) ) 2 ( ) ( ) 2G ( )(u iu ) ( ). ( ) (14) Hirbi ist in Elastizitätskonstant (s. [7]). Ist di Existnz inr gigntn konforn Abbildungsfunktion gwährlistt so könnn di Vrschibungn und di Spannungn in dr Nab aus dn Gln. 13 bzw. 14 rittlt wrdn. Dis Forulirung gilt zwar für in unndlich Schib wobi darauf basirnd di xakt gschlossn Lösung für in unndlich Nab ( Q!) hrlitn wrdn kann. Allrdings habn nurisch A Untrsuchungn gzigt dass di Spannungsuntrschid bi dickwandign Nabn ( Q 45 ) i Fugbrich inr Vrbindung wnigr als 3% btragn (s. auch [8] anhand A P3G-Profil). Bi dn rinn koplxn Hypozykloidn kann ir in gignt Abbildungsfunktion dirkt aus dn Gln. 5 rittlt wrdn währnd dis bi Epizykloidn und hybridn Zykloidn nicht dr Fall ist. Torsionsspannungn Das Torsionsprobl btrachtt an nach MUßCHELISCHWILI [7] als glöst wnn in Abbildungsfunktion z ( ) für dn Wllnqurschnitt so gfundn wrdn kann dass si das Gbit ds Einhitskriss 1 (in dr koplxn Standard-Ebn) auf das vo Qurschnitt dr Profilwll dargstllt Gbit konfor abbildt. Ein koplx Torsionsfunktion F (z) kann dadurch bi bkanntr Abbildungsfunktion durch ausgdrückt wrdn F( z) F( ( )) f ( ). (16) Di Torsionsspannungn könnn dann (s. auch [3]) it Hilf folgndr koplxr Glichung brchnt wrdn M tg f ( ) zx i zy i ( ). (17) D ( ) Dis Glichung ist shr hilfrich bi dr Erittlung ds Spannungszustands in torsionsblasttn unrundn Wlln. Für di rinn koplxn Epizykloidn kann an ir in gignt vollständig Abbildungsfunktion dirkt aus dn Gln. 5 rittlt währnd dis bi Hypozykloidn und hybridn Zykloidn nicht öglich ist.

13 VDI-Bricht Nr Nährungsvrfahrn für Abbildung dr zykloidischn Profilkonturn Wnn aus Paratrglichungn dr koplxn Zykloid (Gln. 5) kin adäquat Abbildungsfunktion hrglitt wrdn kann ist di Anwndung ins Nährungsvrfahrns zwckäßig. Dis ist dadurch gknnzichnt dass nicht dr xakt Einhitskris sondrn in quasi Einhitskris auf d Profilgbit konfor abgbildt wird (Bild 1) f z. (18) Wnn di Randkurv ds zu untrsuchndn Profils in Paratrdarstllung ggbn ist kann di Mthod dr sukzssivn Approxiation zur Erittlung dr Abbildungsfunktion angwndt wrdn. Da z.b. für di P3G-Profil aus dr Paratrdarstllung kin gignt Abbildungsfunktion für Wll und Nab hrlitn wrdn kann hat ZIAEI in [3] durch di obn rläutrt Mthod in gignt Abbildungsfunktion für dis Profil wi folgt rittlt: z 49R ( ) (19) y ( ) x R Polygonprofil z- Ebn - Ebn Bild 1: Approxiation inr Abbildungsfunktion [3] Dis Funktion ist zur Bhandlung dr Spannungn in dr Wll gignt. Di durch di Abbildungsfunktion nach Glichung 19 rittlt Torsionsspannung wist bi ( ist dr Polarwinkl in dr Standardbn) ihr Maxiu auf. Infolg dssn wurd di axial Torsionsspannung in inr P3G-Polygonwll zu ax 2M t (2) R ( )( ) rittlt wobi / R di bzogn Hauptxzntrizität ds Profils angibt. Zusätzlich nurisch und xprintll Untrsuchungn zign in shr gut Übrinstiung it dn analytischn Ergbnissn [3 und 8].

14 29 VDI-Bricht Nr Bispil für torsionsblastt koplx Zykloidn I Folgndn wrdn zwi Bispil für koplx Zykloid it analytischn Lösungn für Torsionsspannungn in dr Wll darglgt. Di Lösungn sind auf Basis dr obn bschribnn Forulirung hrglitt. Bi disn Bispiln wrdn di Profil durch koplx rin Epizykloidn dargstllt und habn jwils 8 Mitnhr. Di analytischn Lösungn könnn abr auch für blibig andr Mitnhranzahln hrglitt wrdn. Bispil 1: Koplx Zykloid it rundr Mitnhrfor Di Zykloid wist insgsat dri Exzntrizitätn auf und ihr Paratrglichungn könnn durch di Gln. 5 bschribn wrdn. Hirbi gltn folgnd Bzihungn für di Exzntrizitätn und di Bschribungswinkl 1 2 und 3 f f 2 9 x1 y1 1 f f 17 und x2 y2 2 f f / (21) x3 y3 3 Dzufolg rgibt sich di in Bild 11 dargstllt Gotri für drartig Profil. Das Profil ignt sich bsondrs für di Sintrfrtigung. D 2 D1 D D D D R D D : Nnndurchssr Bild 11: Profilgotri für Bispil 1 koplx Zykloid it 3 Exzntrizitätn [4] Di Konturvariation ds Profils in Abhängigkit von dr Hauptxzntrizität stllt Bild 12 dar. Wird nun di i Kapitl 6 bschribn Mthod durchgführt ntstht di folgnd Glichung 22 für di Vrtilung dr Torsionsspannung auf dr Mantlfläch ds Profils als Funktion von

15 VDI-Bricht Nr t (22) M R R cos R cos R cos 24 8I R R cos R cos 16 4 R cos t 2 2 t wobi für I t (Torsionsträghitsont) gilt It R R R. (23) / R / R 2 / R 4 / R 6 / R 8 / R 1 Bild 12: Konturvariation ds Profils als Funktion dr Hauptxzntrizität [5] t N/ 2 Bild 13: Grafisch Darstllung von Glichung 22 für D 25 M t 39 N und 6 [5]

16 292 VDI-Bricht Nr Bild 13 stllt di Gl. 22 für in Blastungsbispil grafisch dar. Aus d Bild ist zu rknnn dass di axialn Torsionsspannungn bi dn scharfn Konturkantn (s. auch Bild 11) auftrtn währnd di Spannungn auf d Kopfbrich ds Mitnhrs vil nidrigr Wrt aufwisn. Bispil 2: Koplx Zykloid it rund Mitnhrfuß Wird in witr Exzntrizität in di Paratrglichungn ds ltztn Bispils ingfügt könnn nu Profilkonturn it rund Mitnhrfuß rhaltn wrdn. Di Profil wisn insgsat vir Exzntrizitätn auf und ihr Paratrglichungn könnn witrhin durch di Gln. 5 bschribn wrdn. Hirbi gltn folgnd Bzihungn für di Exzntrizitätn und Bschribungswinkl 1 2 und 3 f f 9 x1 y1 1 f f / 3 17 x2 y2 2 f f / 9 25 und x3 y3 3 f y4 / 27 4 f x 4 33 (24) Folglich rgibt sich di in Bild 14 dargstllt Gotri für das Profil wlchs hinsichtlich dr Torsionsspannung in optial For aufwist. D 2 D1 D D D D R D D : Nnndurchssr Bild 14: Profilgotri für Bispil 2 koplx Zykloid it 4 Exzntrizitätn [9] Di Konturvariation ds Profils in Abhängigkit von dr Hauptxzntrizität stllt Bild 15 dar. Führt an di i Kapitl 6 bschribn Forulirung durch rhält an di folgnd Bzihung 25 für di Torsionsspannung auf dr Profilantlfläch als di Funktion von

17 VDI-Bricht Nr t 2 2 R R cos R cos R cos Rcos 32 M I R R cos R cos R cos R cos t 2 2 t wobi für I t (Torsionsträghitsont) gilt (25) It R R R. (26) / R / R 2 / R 4 / R 6 / R 8 / R 1 Bild 15: Konturvariation ds Profils als Funktion dr Hauptxzntrizität [5 und 9] t N/ 2 Bild 16: Grafisch Darstllung von Glichung 25 für D 25 Torsionsont M 39 N und Hauptxzntrizität 8 [5] t

18 294 VDI-Bricht Nr Bild 16 stllt di Gl. 25 für in Blastungsbispil grafisch dar. Aus d Bild ist rsichtlich dass di axialn Torsionsspannungn i Brich ds Mitnhrfußs (s. auch Bild 14) auftrtn währnd di Spannungswrt auf d Kopfbrich ds Mitnhrs nidrigr sind. Litraturvrzichnis [1] Bronstin I.N.; Sndjajw K.A.: Taschnbuch dr Mathatik Thun und Frankfurt(Main) Vrlag Harri Dutsch [2] Musyl R.: Di kinatisch Entwicklung dr Polygonkurv aus d K-Profil. Wärwirtschaft 1 (1) [3] Ziai M.: Analytisch Untrsuchungn unrundr Polygonfailin und nurisch Optiirung gnortr Polygonprofil für Wll-Nab-Vrbindungn Habilitationsschrift TU Chnitz 22. [4] Ziai M.: Nu anpassungsfähig Konturprofil für rib-/forschlüssig Wll-Nab- Vrbindungn VDI Wissnsforu Zahnwllnvrbindungn und Prssvrbindungn März 25 TU Chnitz. [5] Ziai M.: Paratrglichungn koplxr Zykloidn für tchnisch Anwndungn Forschungsbricht Wstsächsisch Hochschul Zwickau nicht vröffntlicht Zwickau Mai 27. [6] Kyth P.K.: Coputational Conforal Mapping Birkhäsr Boston USA [7] Mußchlischwili N.I.: Einig Grundaufgabn zur athatischn Elastizitätsthori VED Fachbuchvrlag Lipzig [8] Ziai M.: Nu Brchnungskonzpt zur Dinsionirung von standardisirtn Polygonprofiln für forschlüssig Wll-Nab-Vrbindungn VDI Bricht: Wll- Nab-Vrbindungn. Gstaltung Frtigung Anwndungn Düssldorf VDI Vrlag Oktobr 27. [9] Ziai M.: Einstllbar Profilkonturn it hrrn Exzntrizitätn für forschlüssig Wll-Nab-Vrbindungn Az Patntanldung