Wirtschaftsmathematik

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1 Wirtschaftsmathematik 1. Finanzmathematik Grundlagen der Finanzmathematik - Folgen und Reihen Finanzmathematische Verfahren Zinsrechnung Abschreibungen Tilgungsrechnung Investitionsrechnung Lineare Gleichungssysteme Begriffsbestimmung Spezielle Lösungsverfahren Funktionen Funktionsbegriff Arten von Funktionen Funktionen in der Betriebswirtschaft Produktionsfunktion Kostenfunktion Nachfragefunktion Erlösfunktion (Umsatzfunktion) Gewinnfunktion...23

2 1. Finanzmathematik 1.1 Grundlagen der Finanzmathematik - Folgen und Reihen Beispiele Setzen Sie fort: 1, 2, 3, 4, 4, 7, 10, 13, 16,.. 1, -1, 1, -1, 1,. 3 3, 2, 4 3 3, 8 3, 16,. Definition Unter einer Zahlenfolge versteht man eine unendliche Menge von Zahlen a 1, a 2, a 3,. a n,, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind. Die zur Folge gehörenden Zahlen nennt man Glieder. Unter den Gliedern einer Folge können auch gleiche Zahlen auftreten. Eine Folge betrachtet man als gegeben, wenn das Bildungsgesetz seiner Glieder, d.h. eine Regel bekannt ist, nach der man jedes beliebige Glied der Folge bestimmen kann. In vielen Fällen lässt sich eine Formel für das allgemeine Glied a n angeben. Arithmetische Folgen Bei einer arithmetischen Folge von Zahlen kann man jede nachfolgende Zahl aus der vorhergehenden durch Addition einer bestimmten Zahl r erhalten. Für r > 0 bezeichnet man die Folge als wachsend und für r < 0 als fallend. Es gilt also: a n = a n-1 + r = a 1 + (n 1) r arithmetische Reihen Eine arithmetische Reihe ist die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge. Es gilt: s n = n ( a 1 + a n ) 2 Das arithmetische Mittel x zweier Größen a und b ist die Hälfte ihrer Summe. X = a + b. 2 2

3 Geometrische Folgen und geometrische Reihen Bei einer geometrischen Folge von Zahlen kann man jedes nachfolgende Glied aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit einer bestimmten Zahl q gewinnen. Ist q > 1, so liegt eine wachsende, für q < 1 dagegen eine fallende geometrische Folge vor. Es gilt also Für die geometrische Reihe gilt: a n = a n-1 q = a 1 q n-1 s n = n a1( q 1) q 1 Beispiele Startgehalt eines Mitarbeiters ist 2000 Erhöhung um 10 alle 3 Monate Gesucht ist das Jahresgehalt Ł a n = Jahresgehalt im n-ten Jahr Hausratsversicherung Startbeitrag: 150 jährliche Dynamisierung: 3% Gesucht ist der Jahresbeitrag Ł a n = Jahresbeitrag im n-ten Jahr 1.2 Finanzmathematische Verfahren Proportionen Als Verhältnisgleichungen oder Proportionen werden Gleichungen bezeichnet, die zwei Verhältnisse gleichsetzen. Sie haben also die Form a : b = c : d. Beispiel: 1 Stück kostet 15. Wie viel kosten 22 Stück? Nach einer Fahrt von 530 km wurde ein Benzinverbrauch von 47,7 l festgestellt. Wie viel verbraucht das Auto auf 100 km? Prozentrechnung Beispiele 1. Berechnen Sie 30% von kg 2. Umsatzsteuer Berechnen Sie die Umsatzsteuer (19 %), wenn die Preiskalkulation einen Nettopreis von 150,00 ergeben hat 3

4 Berechnen Sie die Umsatzsteuer, wenn auf der Rechnung ein Rechnungspreis (Bruttopreis) von 357,00 steht Prozentsatz: p % Grundwert: G Prozentwert: W W : G = p : 100 Aus dem Prozentsatz p % und dem Grundwert G berechnet man den Prozentwert W: W p = G 100 Berechung des Grundwertes G: G = W p 100 Berechnung des Prozentsatzes p: P = W G Zinsrechnung Die Zinsrechnung ist eine Art Verhältnis- oder Proportionenrechnung, wie auch die Prozentrechnung. Im Unterschied zu dieser bezieht die Zinsrechnung den Zeitfaktor mit ein. Prozentrechnung Grundwert (G) Prozentsatz (p) Prozentwert (W) Kapital (K) Zinsfuß (p) Zinsen (Z) Zeit (t) Zinsrechnung Einfache lineare Verzinsung Bei einfacher Verzinsung sind die Zinsen pro Zeiteinheit immer konstant, das Kapital wächst linear mit der Dauer der Anlage. Sind Anfangskapital, Laufzeit und Zinssatz gegeben, können wir das Endkapital berechnen. Andererseits können wir auch das Anfangskapital berechnen, wenn Endkapital, Laufzeit und Zinssatz gegeben sind. In ähnlicher Weise können auch die Laufzeit und der Zinssatz bestimmt werden, wenn die restlichen Größen bekannt sind. Allgemeine Zinsformel Z = K p t 100 4

5 Berechnung der Jahreszinsen j = Anzahl der Jahre Z = K p j 100 Ein Sparer legt für 5 Jahre fest an. Wie hoch ist sein Kapital danach, wenn das Geld zu 4 % angelegt wird? Berechnung der Tageszinsen d = Anzahl der Tage (Dabei wird jeder Monat mit 30 Tagen und ein Jahr somit mit 360 Tagen angenommen.) Z = K p d Eine Bank gewährt einem Unternehmer einen Kredit von zu folgenden Konditionen: 6 % Zinsen und 2 % Bearbeitungsgebühr Welchen Betrag muss der Unternehmer zurückzahlen, wenn er den Kredit vom 12. Mai bis zum 29. Oktober beansprucht? Berechnung des Kapitals Kapital = Zinsen Zinsfuß Tage = Zinsen Zinsfuß Monate = Zinsen 100 Zinsfuß Jahre Ein Pensionär erhält eine monatliche Rente von 900. Welches Kapital, das in festverzinslichen Wertpapieren zu 6 % angelegt ist, ergibt denselben Ertrag? Berechnung des Zinssatzes Der Zinssatz ist der in Prozent ausgedrückte Preis für geliehenes Kapital, also der Zins als Prozentangabe. Manchmal wird präzise Zinsfuß und Zinssatz wie folgt unterschieden: Zinsfuß p = Wert (z.b. 10) Zinssatz i = p/100 (z.b. 0,1 = 10 %) Zu welchem Zinssatz ist ein Kapital von angelegt, das in 45 Tagen 94,50 Zinsen einbringt? Zinsfuß = Zinsen Kapital Tage 5

6 Berechnung der Verzinsungszeit In welchem Zeitraum erbringt ein Kapital von bei einem Zinssatz von 5,5 % 90,30 Zinsen? Zinseszins Tage = Zinsen Kapital Zinsfuß Während in der (einfachen) Zinsrechnung nur das Kapital verzinst wird, werden bei der Zinseszinsrechnung nicht ausgezahlte Zinsen dem Kapital hinzugefügt und mit diesem verzinst. Die im Voraus getroffene Vereinbarung von Zinseszinsen ist nach 248, 289, 291 BGB und 352 HGB verboten. Sparkassen und andere Bankinstitute sind aber nach 248 Abs. 2 BGB vom Zinseszinsverbot ausgenommen und dürfen im Voraus versprechen, nicht abgehobene Zinsen von Einlagen zu verzinsen. 355 Abs. 1 HGB erlaubt es, im Kontokorrentgeschäft zwischen Kaufleuten aus dem gesamten Saldo Zinsen zu berechnen, auch wenn darin Zinsen enthalten sind. Zinsrechnung nur Kapital wird verzinst Endkapital steigt linear bzw. proportional im Zeitablauf lineare Funktion Zinseszinsrechnung Kapital und Zinsen werden verzinst Endkapital wächst überproportional im Zeitablauf Exponentialfunktion Die Zinsen werden am Ende des jeweiligen Zeitabschnitts dem Kapital hinzugefügt und in den Folgeperioden ebenfalls verzinst. Die Berechnung des Endwerts des Kapitals wird als Aufzinsung bezeichnet. (Berechnet man umgekehrt aus dem Endkapital das eingesetzte Anfangskapital heißt das Abzinsung von Kapital.) Der Aufzinsungsfaktor q ergibt sich aus dem festgelegten Zinssatz: p q = Das Endkapital bei der Zinseszinsrechnung berechnet sich: K n = K 0 * q n 6

7 Beispiel für Entwicklung des Endkapitals bei Zinsrechnung und Zinseszinsrechnung Anfangskapital: ,00 Zinssatz 6% Zinsrechnung Zinseszinsrechnung Jahr Endkapital Aufzinsungsfaktor Endkapital , , ,00 1,06 1 1, , ,00 1,06 2 1, , ,00 1,06 3 1, , ,00 1,06 4 1, , ,00 1,06 5 1, , ,00 1,06 6 1, , ,00 1,06 7 1, , ,00 1,06 8 1, , ,00 1,06 9 1, , ,00 1, , , ,00 1, , , ,00 1, , , ,00 1, , , ,00 1, , , , , ,00 Euro , , , ,00 0, Jahre Zinseszinsen Zinsen Nachschüssige Verzinsung Erfolgt die Verzinsung am Ende einer Periode, dann spricht man von nachschüssiger oder dekursiver Verzinsung. Diese Verzinsung ist der Normalfall bei Kapitalanlage. Vorschüssige Verzinsung Von vorschüssiger bzw. antizipativer Verzinsung sprechen wir, wenn die Zinsen zu Beginn der Verzinsungsperiode fällig werden. Die Zinsen werden, genau gleich wie bei der nachschüssigen Verzinsung, vom Anfangskapital berechnet. Zur Auszahlung 7

8 kommt jedoch der um die Zinsen verminderte Betrag. Vorschüssige Verzinsung ist üblich bei der Diskontierung von Wechseln sowie vereinzelt bei Kreditaufnahmen. Einige Lehrbücher sprechen bei antizipativer Verzinsung auch von der kaufmännischen Diskontierung. Unterjährige Verzinsung Wenn bei der Zinseszinsrechnung der Zuschlag der aufgelaufenen Zinsen auf das Kapital zu mehreren Terminen gleichen Abstands im (unterm) Jahr erfolgt, heißt diese Verzinsung unterjährige Verzinsung, d.h. die Zinsen werden nicht am Ende eines jeden Jahres, also jährlich dem Kapital zugeschlagen und mitverzinst, sondern o halbjährlich oder o vierteljährlich oder o monatlich usw. Je kleiner die Zinsperiode wird (ein halbes Jahr, ein Vierteljahr, ein Monat), und umso häufiger werden Zinsen zum Kapital zugeschlagen und umso höher sind schließlich die Zinsen. Auf welche Summe wachsen Euro bei 3 % Zinsen p.a. in 10 Jahren, wenn das Kapital jährlich verzinst wird? Auf welche Summe wachsen Euro bei 3 % Zinsen p.a. in 10 Jahren, wenn das Kapital monatlich verzinst wird? Jährliche Verzinsung monatliche Verzinsung Anfangskapital K , ,00 Zinssatz p.a. i 3% 3% Dauer in Jahren n Anz. der Perioden im Jahr m 1 12 Endkapital K n 2.015, ,03 Das Endkapital berechnet sich: K n = K 0 (1 + m i ) n m Nomineller und effektiver Zinssatz Oftmals wird ein so genannter nomineller Jahreszinssatz (i nom ) angegeben. Der relative Periodenzinssatz i rel beträgt dann Zusätzlich zum relativen und nominellen Zinssatz lässt sich beim Zinseszinsfall der effektive Zinssatz i eff bestimmen. Eine jährliche Verzinsung zum Effektivzinssatz führt dabei zum gleichen Ergebnis wie eine unterjährige Verzinsung zum relativen Zinssatz. Es gilt: 8

9 Beispiel Ausgangslage: 12 % p.a. keine Nebenkosten Nomineller Zinssatz (Ausgangslage) Jährliche Verzinsung monatliche Verzinsung quartalsmäßige Verzinsung 12 % p.a. 12 % p.a. 12 % p.a. Relativer Zinssatz (12% / 1 Jahr )= 12% (12% / 12 Monate) 1 % Effektiver Zinssatz 12 % = tatsächlicher Zinssatz auf ein Jahr bezogen, wenn monatlich verzinst wird (12% / 4 Monate) 3 % = tatsächlicher Zinssatz auf ein Jahr bezogen, wenn quartalsmäßig verzinst wird [1+ 0,01 ] 12 1 = 12,68 % p.a. [1+ 0,03 ] 4 1 = 12,55 % p.a. Der effektive Zinssatz wird auch der zu dem nominellen Zinssatz konforme (äquivalente) (= gleichwertiger) Jahreszinssatz genannt, d.h. 1 % p.m. bei monatlicher Verzinsung entsprechen einer 12,68%igen jährlichen Verzinsung ( 1 % p.m. 12 % p.a.). Der Grund hierfür liegt wiederum in der Zinseszinsberechnung : Bei monatlicher Verzinsung (wir gehen von nachschüssiger Verzinsung aus) werden jedes Monatsende die Zinsen zum Anfangskapital gezählt (man spricht von Kapitalisierung ) und dann vom Anfangskapital inkl. Zinsen die neuen Zinsen berechnet usw.. Bei einer jährlichen Verzinsung wird nur einmal kapitalisiert, und zwar am Jahresende (d.h. K 0 = Zinsberechnungsbasis bleibt das ganze Jahr über gleich) Abschreibungen Die Anschaffungs- und Herstellungskosten von Gegenständen des Anlagevermögens, die einer zeitlich begrenzten Nutzung unterliegen, sind durch planmäßige Abschreibungen auf die Geschäftsjahre, in denen sie genutzt werden können, zu verteilen. Neben dem Handelsrecht fordert auch das Steuerrecht die planmäßige Abschreibung sie wird im Steuerrecht Absetzung für Abnutzung (AfA) bezeichnet. Für die planmäßige Abschreibung kommen mehrere Abschreibungsmethoden in Betracht die lineare Abschreibung und die degressive Abschreibung. Lineare Abschreibung Bei der linearen Abschreibung wird jährlich derselbe Betrag abgeschrieben; dies entspricht der einfachen Zinsrechnung. Der jährliche Abschreibungsbetrag (A) ergibt sich aus dem Anschaffungs- oder Herstellungswert (B 0 ) geteilt durch die betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer (n). 9

10 A = B 0 n Der jährliche Abschreibungsbetrag wird kleiner, wenn ein Restbuchwert (B n ) oder Schrottwert (S) zu berücksichtigen ist. A = B0 Bn A = n B0 S n Degressive Abschreibung Die degressive Abschreibung ist durch jährlich sinkende Abschreibungsbeträge gekennzeichnet, da jährlich derselbe Bruchteil (Prozentsatz) eines von Jahr zu Jahr sinkenden Restbuchwertes abgeschrieben wird. Die degressive Abschreibung entspricht daher dem Zinseszins. Die Formel zur Ermittlung des Restbuchwertes (B n ) im n-ten Jahr lautet: p B n = B 0 (1 - ) n Tilgungsrechnung Die Rückzahlung eines Kredits durch den Kreditnehmer an den Kreditgeber wird als Tilgung bezeichnet. Diese erfolgt meist innerhalb eines vereinbarten Zeitraums in festen monatlichen Raten und wird in der Regel in Prozent angegeben. Es gibt allerdings auch Kredite, die beispielsweise in Halbjahresraten oder erst am Ende der Laufzeit getilgt werden (endfälliges Darlehen). Die zur Zahlung von Zins und Tilgung einer Schuld aufzubringenden jährlichen Beträge nennt man Annuität. Es gibt im Wesentlichen zwei verschiedene Formen der Kredittilgung: Darlehen mit gleich bleibenden Tilgungsraten Bei einem Tilgungsdarlehen (auch Abzahlungsdarlehen, Darlehen mit linearer Tilgung) wird mit dem Darlehensnehmer über eine feste Laufzeit eine gleich bleibende (lineare) Tilgungsleistung vereinbart. Die Leistungsrate setzt sich zu den jeweils vereinbarten Terminen dann aus dieser linearen Rate und den jeweils auf die Restschuld errechneten Zinsen zusammen, die zumeist gesondert belastet werden, so dass durch abnehmende Zinsen wegen der Verringerung der Restschuld sinkende Leistungsraten entstehen. Die lineare Tilgungsrate ergibt sich durch Division der Schuldsumme durch die Anzahl der Tilgungsvorgänge. Anfangskapital ,00 Laufzeit 5 Zinsen 9% Jahr Zinsen Tilgung Restwert 1. Jahr 900, , ,00 2. Jahr 720, , ,00 3. Jahr 540, , ,00 4. Jahr 360, , ,00 5. Jahr 180, ,00 0, ,00 10

11 3.500, , , , ,00 Tilgung Zinsen 1.000,00 500,00 0,00 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 5. Jahr Annuitätendarlehen Ein Annuitätendarlehen ist ein Darlehen mit konstanten Rückzahlungsbeträgen (Raten). Im Gegensatz zum Tilgungsdarlehen bleibt die Höhe des zu zahlenden Betrages über die gesamte Laufzeit gleich. Die Annuitätenrate oder kurz Annuität setzt sich aus einem Zins- und einem Tilgungsanteil zusammen. Da mit jeder Rate ein Teil der Restschuld getilgt wird, verringert sich der Zinsanteil zugunsten des Tilgungsanteils. Am Ende der Laufzeit ist die Kreditschuld vollständig getilgt. Die Höhe R der Annuität eines Kredites mit der Kreditsumme S 0 bei einem Zinssatz von i (z.b.5 %, i=0,05) und einer Laufzeit von n Jahren lässt sich mit der folgenden Formel berechnen (q = 1 + i): n i q R = S 0 n q 1 Anfangskapital ,00 Laufzeit 5 Zinsen 9% Jahr Zinsen Tilgung Restwert Annuität 1. Jahr 900, , , ,92 2. Jahr 749, , ,77 3. Jahr 585, , ,54 4. Jahr 407, , ,65 5. Jahr 212, ,65 0, , , , , , ,00 Tilgung Zinsen 500,00 0,00 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 5. Jahr 11

12 1.2.4 Investitionsrechnung Plant man im Unternehmen ein Investitionsvorhaben, gibt es verschiedene Möglichkeiten das für das Unternehmen günstigste Projekt zu ermitteln. Zu den wichtigsten Investitionsrechnungen gehören: Kostenvergleichsrechnung, (die Gesamtkostenbelastung wird zugrunde gelegt, als das vorteilhafteste gilt das Vorhaben mit den geringsten Kosten) Gewinnvergleichsrechnung, (die Auswirkungen des Investitionsvorhabens auf den Gewinn werden erfasst, die Investition mit dem höchsten Gewinn pro Leistungseinheit gilt als optimal) Rentabilitätsrechnung. Die Rentabilitätsrechnung ermittelt die durchschnittliche jährliche Verzinsung eines Investitionsvorhabens. Der durchschnittliche Jahresgewinn einer Investition wird in Beziehung zum Kapitaleinsatz gesetzt: Gewinn 100 Rentabilität = Kapital Die Investition mit der höchsten durchschnittlichen Rentabilität gilt als die beste Lösung. Beispiel Ein Investitionsprojekt, für das ein Kapitaleinsatz von EUR aufgebracht werden musste, brachte einen Gewinn von EUR. Rentabilitätskennziffern bieten die Möglichkeit zum Vergleich sehr unterschiedlicher Investitionsvorhaben. Vergleicht man die ermittelte Rendite mit dem derzeit geltenden Kapitalmarktzins, dann hat man auch einen Maßstab für die gesamte Vermögensanlage. 2. Lineare Gleichungssysteme Beispiel Eine Rechnung weist einen Gesamtbetrag von 138 auf, es wurden 5 Stück des Produktes A und 7 Stück des Produktes B gekauft. Bei einer zweiten Rechnung wurden 2 Stück des Produktes B und 10 Stück des Produktes A für einen Gesamtbetrag von 168 gekauft. Bestimmen Sie die Einzelpreise für Produkt A und Produkt B. 2.1 Begriffsbestimmung Definitionen Eine Gleichung heißt linear, wenn ihre Unbekannten alle nur in der ersten Potenz auftreten. Zum Beispiel die Gleichung ist linear, und die Gleichung ist nicht linear. 12

13 Hier sind x 1, x 2, x 3 die Unbekannten. Die Werte vor den Unbekannten heißen Koeffizienten. Eine Ansammlung von linearen Gleichungen, die gleichzeitig (mit den gleichen Unbekannten) gelöst werden sollen, heißt Lineares Gleichungssystem. Aus dem obigen Beispiel erhält man 5 x x 2 = x x 2 =168 Mit allgemeinen Koeffizienten sieht ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten so aus: x i sind die Unbekannten und a ij sind die Koeffizienten, wobei diese natürlich auch den Wert Null annehmen dürfen. Unter einer Lösung eines Linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten versteht man ein n-tupel (x 1, x 2,..., x n ), so dass alle Gleichungen des Systems bei Einsetzen dieses n-tupels erfüllt sind. Es existieren entweder eine, unendlich viele oder keine Lösung. 2.2 Spezielle Lösungsverfahren Graphische Lösungen Lineare Gleichungen lassen sich graphisch als Geraden darstellen. Haben wir ein System solcher linearen Gleichungen, so lässt sich eine Lösung grafisch ermitteln, indem die einzelnen Gleichungen als Geraden dargestellt werden und festgestellt wird, ob ein gemeinsamer Schnittpunkt vorhanden ist. Für mehr als zwei Gleichungen meist nicht befriedigend einsetzbar. Variablensubstitution Ein Vater und ein Sohn sind zusammen 62 Jahre alt. Vor sechs Jahren war der Vater viermal so alt wie der Sohn. Wie alt ist jeder? Lösung Gesetzt das Alter des Vater sei x und das Alter des Sohnes y. So gilt (1) x + y = 62 (2) x - 6 = 4 (y -6) Es ergibt sich also ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Formt man (1) durch Subtraktion von x zu 13

14 (1') y = 62 - x um und setzt dies in (2) ein, so folgt x - 6 = 4 * (62 - x - 6) Faktoren in der Klammer zusammenfassen x - 6 = 4 * (56 - x) Klammer ausmultiplizieren x - 6 = 224-4x + 4x + 6 5x = 230 /5 x = 46 setzt man dieses Ergebnis in (1') ein so folgt dann y = y = 16 Also ist der Vater 46 Jahre und der Sohn 16 Jahre alt, zusammen also 62 Jahre. Vor sechs Jahren waren der Vater 40 Jahre und der Sohn 10 Jahre alt, der Vater also viermal so alt wie der Sohn. Additionsverfahren Die Idee beim Additionsverfahren ist, durch Addition einzelner Gleichungen sukzessive einige Unbekannte zu eliminieren wie bei der Variablensubstitution und damit die Gleichungen schrittweise zu vereinfachen. Ziel ist es, eine Gleichung zu schaffen, die nur noch eine Unbekannte enthält und dann schrittweise rückwärts, wieder die anderen Gleichungen zu erfüllen. Bei den Umformungen dürfen immer nur o zwei Gleichungen vertauscht werden o Gleichungen mit einem Faktor c (mit c 0) multipliziert werden o zwei Gleichungen addiert (subtrahiert) werden. Die Reihenfolge der Variablen darf außerdem verändert werden. Diese Umformungen nennt man äquivalente Umformungen, durch diese wird die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht verändert. Beispiel 2 x 1-3 x x 3 = 19 4 x 1-4 x x 3 = 22-6 x 1-1 x x 3 = 7 Nach einigen Umformungen ergibt sich als möglicher Endschritt 2 x 1-3 x x 3 = 19 2 x 2-5 x 3 = x 3 = -16 Lösung: x 1 = 1; x 2 = -3; x 3 = 2 Gaußsches Eliminierungsverfahren Auf den oben beschriebenen Umformungen baut auch ein spezielles Lösungsverfahren das Gaußsche Eliminierungsverfahren auf. Ziel ist es, das 14

15 Gleichungssystem durch die Umformungen in eine so genannte Dreiecksform zu überführen. Der gaußsche Algorithmus besteht aus folgenden Schritten: 1. Gleichungssystem gegebenenfalls neu ordnen (Gleichungen vertauschen); 2. die erste Gleichung (I) unverändert übernehmen; 3. mithilfe von Gleichung (I) die erste Variable (x 1 ) der zweiten und jeder weiteren Gleichung eliminieren, wozu die oben genannten Umformungen genutzt werden. Aus Gleichung (II) wird Gleichung (II'), aus (III) wird (III') usw. 4. die erste Gleichung (I) und die zuerst umgeformte Gleichung (II') übernehmen; 5. mithilfe von Gleichung (II') die zweite Variable (x 2 ) in der dritten und jeder weiteren Gleichung eliminieren, wozu die oben genannten Umformungen genutzt werden. Aus Gleichung (III') wird Gleichung (III"), aus (IV') wird (IV") usw. 6. das Verfahren fortführen (die Schritte 4 und 5 analog mit den nächsten Gleichungen wiederholen) bis als letztes eine Gleichung mit einer Unbekannten erreicht ist. Diese bildet zusammen mit den im letzten Schritt übernommenen Gleichungen die so genannte Dreiecksform, aus der sich dann alle Variablen berechnen lassen Beispiel: Schritt 1: Vertauschen der Gleichungen (I) und (II) und neu nummerieren Schritt 2: Gleichung (I) beibehalten Schritt 3: a) Gleichung (I) mit 2 multiplizieren und zu (II) addieren, ergibt (II') b) Gleichung (I) mit 4 multiplizieren und zu (III) addieren, ergibt (III') Nach den Schritten 1 und 2 ergibt sich: Schritt 4: Gleichung (I) und Gleichung (II') beibehalten 15

16 Schritt 5: a) Gleichung (II') mit 2 multiplizieren und zu (III') addieren, ergibt (III'') Nach den Schritten 3 und 4 ergibt sich: Die Gleichung (III'') enthält nur noch eine Unbekannte, und die Dreiecksform ist erreicht. Das Verfahren ist also beendet. Aus (III'') folgt z = 2; aus (II') und unter Beachtung von z = 2 folgt y = -2; aus (I) und unter Beachtung von z = 2 und y = -2 folgt x = 1. Zur Probe setzt man die gefundenen Werte in das Ausgangsgleichungssystem ein und erhält die Bestätigung der Richtigkeit. (Da nur äquivalente Umformungen erfolgten, ist die Probe aus mathematischer Sicht nicht erforderlich. Sie dient aber dazu, mögliche Rechenfehler auszuschließen.) 3. Funktionen 3.1 Funktionsbegriff Definition Eine veränderlich Größe y wird als Funktion einer anderen unabhängigen veränderlichen Größe x bezeichnet, wenn bei gegebenem Wert von x die Größe y einen bestimmten Wert (eindeutige Funktion, z.b. y = x 2 ) oder mehrere bestimmte Werte (mehrdeutige Funktion, z.b. y = ± x als zweideutige Funktion) annimmt, y = f(x). Die Gesamtheit der x-werte, für die die Funktion erklärt ist, nennt man den Definitionsbereich dieser Funktion. Die Gesamtheit der y-werte, zu denen ein x mit y = f(x) existiert, ist der Wertebereich. 16

17 3.2 Arten von Funktionen Lineare Funktionen allgemein y = a x + b y lineare Funktion x -1-2 y=2*x+3 Quadratische Funktionen allgemein y = x² + a x + b quadratische Funktion y x y=x²

18 Potenzfunktionen Beispiele 18

19 Exponentialfunktionen Eine Größe, die z.b. pro Zeiteinheit um einen festen Faktor wächst, oder fällt, nennt man exponentiell wachsend oder fallend. Diese Exponentialfunktionen haben speziell in der Praxis eine große Bedeutung. Mit ihnen lässt sich z.b. ein Wachstum, Zinssätze, Bevölkerungswachstum errechnen, das über einen bestimmten Zeitraum angestiegen ist. Sie treten auch in vielen wirtschaftswissenschaftlichen, sozialwissenschaftlichen und physikalischen Modellen auf. Sie sind auch wichtige Funktionen in der Statistik Logarithmusfunktionen Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion 19

20 3.3 Funktionen in der Betriebswirtschaft Zusammenhänge zwischen wirtschaftlichen Größen lassen sich im Allgemeinen durch Funktionen beschreiben. In der Praxis tritt häufig das Problem auf, dass diese Funktionen nicht bekannt sind und sich zudem nur sehr schwer abschätzen lassen. Häufig kennt man aber einige Eigenschaften der Funktion, aus denen sich Folgerungen für wirtschaftliche Entscheidungen ableiten lassen. Zur Lösung wirtschaftlicher Fragestellungen durch mathematische Methoden ist es nicht möglich, die Realität in ihrer umfassenden Komplexität zu berücksichtigen. Deshalb wird ein Modell (ein vereinfachtes Abbild der Wirklichkeit) erstellt, das die realen Zusammenhänge auf das Wesentliche reduziert. Häufig unterstellt man z.b. für die Bestimmung der Nachfragefunktion, dass alle Faktoren bis auf den Preis des Produktes konstant bleiben (ceteris-paribus- Annahme, ceteris paribus "Unter sonst gleichen Bedingungen".), so dass nur noch eine unabhängige Variable in die Berechnung eingeht. Eine weitere Vereinfachung erfolgt dadurch, dass häufig lineare Funktionen verwendet werden, auch wenn die Beziehungen zwischen zwei wirtschaftlichen Größen nur annähernd linear verlaufen oder nur in einem bestimmten Intervall eine konstante Steigung haben. Insbesondere bei wirtschaftlichen Funktionen ist es wichtig, Definitions- und Wertebereich zu beachten, da diese in vielen Fällen eingeschränkt sind. Beispielsweise haben alle Kostenfunktionen K(x) einen beschränkten Definitionsbereich, da die Produktionsmenge durch Kapazitätsbegrenzungen eingeschränkt ist, und K nur die Werte annehmen kann, die sich durch Einsetzen der x-werte in die Funktion ergeben. Kosten und Produktionsmengen können zudem nicht negativ werden Produktionsfunktion Die Produktionsfunktion kommt aus der Volkswirtschaftslehre, wo sie für den Ertrag aus den Faktoren Boden, Arbeit und Kapital angewendet wird. Sie beschreibt das Verhältnis zwischen der Einsatzmenge von Produktionsfaktoren, wobei diese die unabhängige Variable bilden, und der Produktions- bzw. Ertragsmenge, welche die abhängige Variable bildet. Die Produktionsfunktion gibt für einen bestimmten Input (Produktionsfaktoren) jeweils die maximale Menge an Output an. Umgekehrt gibt sie für jeden Output den minimalen Input an. Anhand einer Geraden aus dem Ursprung, die die Kurve berührt (Tangente) kann man bei einer Produktionsfunktion die optimale Outputmenge grafisch feststellen. Das Klassische Ertragsgesetz zeigt zwei markante Punkte, den Wendepunkt W und das Maximum M (im Wendepunkt verschwindet die zweite, im Maximum die erste Ableitung der Funktion. Um den Durchschnittsertrag DE im unteren Diagramm abbilden zu können - nicht maßstabsgetreu, aber dem Verlauf nach - wird ein Ursprungsstrahl durch W gelegt, der die Ertragskurve ein weiteres Mal in R schneidet. Der durchschnittliche Ertrag muss somit in W und R übereinstimmen. Durch Linksdrehung dieses Strahls im Ursprung findet man den maximalen Durchschnittsertrag in Q, wo der Strahl die Ertragskurve tangiert. Kein anderer Strahl, der einen Punkt der Ertragskurve erreicht, besitzt einen steileren Anstieg. Da der Anstieg den Durchschnittsertrag anzeigt, ist dieser in Q maximal. 20

21 3.3.2 Kostenfunktion Die Kostenfunktion beschreibt das Verhältnis zwischen der Produktionsmenge eines bestimmten Produktes (unabhängige Variable) und den Kosten (abhängige Variable). Sie gibt dabei für eine bestimmte Menge (Output, das produziert wird) jeweils die Höhe der Kosten an. Da die Funktionsgleichung einer Kostenfunktion in der Praxis im Allgemeinen nicht bekannt ist, wird oft vereinfachend ein linearer Verlauf unterstellt. Aus einigen Eigenschaften der Kostenfunktion, die aus der Erfahrung abgeleitet werden, lässt sich dann eine lineare Funktion aufstellen, die den tatsächlichen Verlauf wiedergibt. Die Gesamtkosten K(x) setzen sich zusammen aus den Fixkosten K f und den variablen Kosten K v, die sich durch Multiplikation der variablen Stückkosten k v mit der Produktionsmenge x errechnen. Die Funktionsgleichung in ihrer allgemeinen Form lautet für die lineare Kostenfunktion: K(x) = K f + K v = K f + k v x Dabei bedeuten: K(x) = Gesamtkosten, abhängig von der Produktionsmenge x K f = Fixkosten, unabhängig von der Produktionsmenge x K v = variable Kosten, abhängig von x k v = variable Stückkosten, Steigung der Geraden x = Produktionsmenge 21

22 Kosten K(x) K v K f Nachfragefunktion Die Nachfragefunktion gibt die Abhängigkeit zwischen der nachgefragten Menge eines bestimmten Gutes und allen Faktoren an, die sie beeinflussen. Wie oben beschrieben, wird diese Beziehung häufig vereinfacht. Die nachgefragte Menge x eines Haushaltes wird nur noch als abhängig von dem Preis p des entsprechenden Gutes angesehen. x = f(p) Wenn man die Abhängigkeit zwischen Preis und nachgefragter Menge eines Gutes aus der Sicht des anbietenden Unternehmens betrachtet, bezeichnet man die Nachfragefunktion als Preisabsatzfunktion. Bei der Preisabsatzfunktion fragt sich der Unternehmer, welche Mengen er bei welchen Preisen absetzen kann. Wenn man von einigen Besonderheiten absieht (Preis-Qualitäts-Effekt bei Luxusgütern mit prestigevermittelndem Preis), bei denen die Preisabsatzfunktion von ihrem typischen Verlauf abweicht, ist es plausibel, dass die nachgefragte Menge steigt, wenn der Preis sinkt, und umgekehrt. Die Preisabsatzfunktion hat demnach eine negative Steigung. Vereinfachend wird in der Praxis häufig ein linearer Verlauf unterstellt, obwohl die Funktion in der Realität vor allem in der Nähe der Achsen ihre Steigung ändern und sich an die Achsen anschmiegen wird. In den Wirtschaftswissenschaften ist es üblich, den Preis an der Ordinate und die Menge an der Abszisse abzutragen. Die Nachfragefunktion wird demgemäß so dargestellt, dass der Preis der abhängigen und die Menge der unabhängigen Variablen entsprechen. Man betrachtet also die Umkehrfunktion, die die Abhängigkeit des Preises von der Nachfragemenge angibt p = f(x) Allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Nachfragefunktion: p = mx + b Dabei bedeuten: p = Preis m = Steigung (negativ) x = nachgefragte bzw. abgesetzte Menge b = Ordinatenabschnitt (maximalen Preis p max für das Gut, bei dem die Nachfrage Null wird) Menge 22

23 Die Nullstelle x s zeigt die Sättigungsgrenze an. Selbst wenn der Preis des Produktes auf Null gesenkt wird, überschreitet die nachgefragte Menge nicht den Wert x s Erlösfunktion (Umsatzfunktion) Durch Multiplikation von Preis und Menge ergibt sich der Umsatz, der somit von zwei unabhängigen Variablen abhängt. U(x,p) = p x Für viele Unternehmen ist der Preis jedoch eine konstante Größe. Sie haben einen zu geringen Marktanteil, um den Preis beeinflussen zu können. Diese Unternehmen werden Mengenanpasser genannt, da sie ihren Umsatz nicht durch den Preis, sondern nur durch die abgesetzte Menge verändern können. Der Umsatz ist für sie nur von der Menge x abhängig. U(x) = p x mit p = const. Der Preis entspricht der Steigung einer Geraden, die durch den Koordinatenursprung verläuft. Gesamterlös Abgesetzte Menge Gewinnfunktion Die Differenz von Umsatz und Kosten stellt den Gewinn eines Unternehmens dar. G = U - K Bei einem Mengenanpasser ist der Gewinn nur von der Menge abhängig. G(x) = U(x) - K(x) Durch Einsetzen der Umsatz- und der Kostenfunktion ergibt sich G(x) = p x - K f - k v x = - K f + (p - k v ) x 23

24 Der Gewinn errechnet sich durch Multiplikation des Überschusses des Preises über die variablen Stückkosten (p - k v, Stückdeckungsbeitrag) mit der Menge x, wovon noch die Fixkosten subtrahiert werden müssen. Wenn die Kosten größer als der Umsatz sind, ist der Gewinn negativ. Das Unternehmen befindet sich in der Verlustzone. In dem Punkt, in dem sich Umsatz- und Kostenfunktion schneiden, ist der Gewinn Null. Das Unternehmen hat die Gewinnschwelle erreicht. Bei höheren Stückzahlen wird ein positiver Gewinn erzielt (Gewinnzone). 24