Anhang: Mathematische Grundlagen

Transkript

1 238 nhng: Mthemtische Grundlgen nhng: Mthemtische Grundlgen Schreibweise für Vektoren Vektor: etrg:,, Physiklische Größen, die durch ihren etrg (Größe) und ihre Richtung festgelegt sind, heißen Vektoren. Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil drgestellt, dessen Länge ein Mß für seinen etrg ist. In der Vektorschreibweise werden Vektoren mit fetten uchstben oder einem Pfeil geschrieben:,. ür den etrg eines Vektors werden normle uchstben oder etrgsstriche verwendet:,. Klssifiktion von Vektoren Vektoren besitzen eine Größe und eine Richtung. Sklre besitzen nur eine Größe. Generell lssen sich physiklische Größen, welche eine Richtung im Rum besitzen, durch Vektoren beschreiben, wie z.. die Geschwindigkeit. Im Gegenstz dzu sind physiklische Größen ohne Richtung Sklre, wie z.. die Tempertur. evor wir uns mit der Vektorrechnung beschäftigen, müssen wir die verschiedenen rten von Vektoren klssifizieren. y x ls einfchste rt knn der freie Vektor gennnt werden. Wie jeder Vektor besitzt dieser einen etrg (Größe) und eine Richtung (Orientierung und Richtungssinn). Ein freier Vektor besitzt jedoch keinen ngriffspunkt und ist deshlb im Rum beliebig verschiebbr. Dies bedeutet, dss wir im nebenstehenden eispiel den Vektor beliebig in der Zeichenebene prllel verschieben dürfen. Wir dürfen nur die Größe und die Richtung des Vektors dbei nicht ändern. y Wirkungslinie x ls zweites gibt es den linienflüchtigen Vektor. Dieser besitzt einen etrg, eine Richtung und eine Wirkungslinie. Ds heißt, dss diese Vektorrt einen beliebigen ngriffspunkt uf der Wirkungslinie besitzt und wir diesen Vektor nur entlng seiner Wirkungslinie verschieben dürfen. Wir dürfen den Vektor lso beliebig nch links oder rechts uf der Wirkungslinie verschieben, wenn wir den etrg und die Richtung dbei beibehlten und nicht ändern. y Wirkungslinie ngriffspunkt x ls letztes existiert noch ein gebundener Vektor. Ein gebundener Vektor besitzt einen etrg, eine Richtung, eine Wirkungslinie und einen ngriffspunkt. Somit können wir diesen Vektor nicht verschieben, denn der ngriffspunkt ist im Rum fixiert und die Richtung durch die Wirkungslinie vorgegeben. Im eispiel ist der Vektor n der vorderen Knte des Würfels fixiert. Hier können wir den Vektor nicht mehr verschieben. Springer chmedien Wiesbden 2016 C. Spur, Technische Mechnik 1. Stereosttik, DOI /

2 nhng: Mthemtische Grundlgen 239 Einheitsvektor Ein Einheitsvektor e besitzt die Länge Eins und ist definiert durch den Quotient us einem Vektor und seinem etrg. (.1) Sklrprodukt (= inneres Produkt) Ds Sklrprodukt ist eine mthemtische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zhl (Sklr) zuordnet. Ds Sklrprodukt ist bhängig von den beiden Vektoren sowie dem eingeschlossenen Winkel. Ds Ergebnis des Sklrprodukt punkt b erzeugt us den Vektoren und b einen reellen Sklr. Die erechnung erfolgt entweder in der geometrischen Schreibweise: (.2) Geometrische Schreibweise oder in der Koordintendrstellung: (.3) Koordintendrstellung Vernschulichen können wir uns ds Sklrprodukt ls die senkrechte Projektion b des Vektors uf die Richtung des Vektors b multipliziert mit dem etrg des Vektors b. Ds gleiche gilt entsprechend uch für die Projektion b des Vektors b uf die Richtung von Vektor multipliziert mit dem etrg von Vektor. b Sonderfll 1 Die beiden zu multiplizierenden Vektoren und b sind senkrecht (orthogonl) zueinnder. Dies würde bedeuten, dss der Winkel = 90 beträgt und somit nch Gl. (.2) ds Sklrprodukt zu Null wird: b Sonderfll 2 Die beiden zu multiplizierenden Vektoren und b sind prllel zueinnder. Hier ist nun der Winkel = 0 und dmit erhlten wir für ds Sklrprodukt nch Gl. (.2): b

3 240 nhng: Mthemtische Grundlgen Kreuzprodukt (= äußeres Produkt/Vektorprodukt) c b c b Ds Kreuzprodukt kreuz b ist eine vektorielle Größe. Ds Ergebnis ist ein Vektor c, welcher senkrecht uf der durch die beiden Vektoren und b ufgespnnten Ebene steht. Definiert ist ds Kreuzprodukt folgendermßen: Der Vektor c steht uf und b senkrecht. Die Vektoren, b und c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Recht-Hnd- bzw. Drei-inger-Regel). Der etrg von c ist gleich der von und b ufgespnnten läche: Ds Kreuzprodukt knn in der geometrischen Schreibweise: Geometrische Schreibweise Koordintendrstellung oder in der Koordintendrstellung bestimmt werden: (.4) (.5) ür die Koordintendrstellung gilt die zyklische Vertuschung. In der Koordintendrstellung ist sehr schön erkennbr, dss bei Kenntnis einer Koordinte die beiden nderen durch zyklisches Vertuschen ermittelt werden. D. h. die Indizes x, y, z werden im Uhrzeigersinn durch die jeweils nächstfolgenden Indizes ersetzt: x y, y z, z x. Winkelfunktionen (trigonometrische unktionen) llgemeines Dreieck Der Sinusstz stellt eine eziehung zwischen den Winkeln und den gegenüberliegenden Seiten her: b c (.6) Der Kosinusstz stellt eine eziehung zwischen den drei Seiten eines Dreiecks und dem Kosinus eines der drei Winkel her. (.7)

4 nhng: Mthemtische Grundlgen 241 Rechtwinkliges Dreieck In rechtwinkligen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse ls Winkelfunktionen nur für Winkel von 0 bis 90 Grd definiert: (.8) (.9) b (.10) c (.11) eliebter Merkstz: GG HühnerHof G dditionstheoreme der trigonometrischen unktionen (.12) Sinus (.13) Kosinus (.14) (.15) Tngens Kotngens Trigonometrie m Einheitskreis ür den Einheitskreis (Rdius r = 1) sind nchfolgend die Werte für häufig vorkommende Winkel ngegeben: Tb. -1 Werte für häufig vorkommende Winkel r

5 Repetitorium

6 Repetitorium Einführung in die Mechnik 2 Grundlgen der Stereosttik Modellbildung Die Modellbildung dient dzu, eine rele technische rgestellung in ein einfches mechnisches Modell zu überführen, welches sich mithilfe mthemtischer Methoden lösen lässt. Grundstz: gute Modelle sind so einfch wie möglich und so komplex wie nötig. Die Modellbildung knn die Relität nur in Grenzen bbilden. Wird die Modellbildung mithilfe von xiomen durchgeführt, wird dies xiomtik gennnt. Physiklische Größen Technische Größen sind immer dimensionsbehftet und ihre Mßeinheiten müssen immer in die erechnung mit einbezogen werden. Vektoren besitzen einen etrg und eine Richtung. Sklre besitzen nur einen etrg. Lösung sttischer Probleme Nch der Modellbildung erfolgt die eigentliche erechnung. m Ende der erechnung ist die kritische Überprüfung der erechnungsergebnisse durchzuführen. Vertruen Sie niemls blind einem Ergebnis! Jeder von uns knn ml einen ehler mchen, uch bei der simplen Eingbe von Werten in einen Tschenrechner oder ein erechnungsprogrmm. Definitionen elstung: Von ußen n einem Körper ngreifende äußere Lsten (eingeprägte Kräfte und Momente). Äußere Kräfte: Eingeprägte Kräfte und Momente sowie n der Systemgrenze wirkende Rektionskräfte und Rektionsmomente. Äußere Kräfte dürfen uf ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Innere Kräfte: Im inneren eines Körpers wirkende Kräfte und Momente, welche mithilfe des reischneidens (Schnittprinzip) sichtbr gemcht werden. Innere Kräfte dürfen uf ihrer Wirkungslinie nicht verschoben werden. Gleichgewicht: Zustnd der Ruhe (unbewegt) oder der gleichförmigen, gerdlinigen ewegung (konstnte Geschwindigkeit). Strrkörper: Ein unendlich steifer und fester (unverformbrer) Körper. Dies ist eine Modellvorstellung und von wesentlicher edeutung für die Stereosttik. reiheitsgrd: nzhl der unbhängigen ewegungsmöglichkeiten eines Körpers. reikörperbild: Herusschneiden des zu betrchtenden Körpers us seiner Umgebung. Ds reikörperbild ist die Grundlge zur drn nschließenden erechnung und dient dem Sichtbrmchen ller wirkenden Kräfte und Momente. Ds reikörperbild ist der wichtigste estndteil der Modellbildung in der Technischen Mechnik. Rep.

7 244 Repetitorium Krft Eine Krft ist eine physiklische Größe und die Ursche von ewegungs- und/oder ormänderungen eines Körpers. Eine Krft knn nicht beobchtet oder gemessen werden. eobchtbr und messbr ist nur die Wirkung einer Krft. Die Krft besitzt die Einheit Newton [N] und ist definiert durch etrg, Richtung und ngriffspunkt. Einteilung von Kräften Räumliche Verteilung Einzelkrft: Eine Einzelkrft wirkt nur uf einen Punkt. Linienkrft: Eine Linienkrft wird uch ls Streckenlst bezeichnet und wirkt entlng einer Linie. lächenkrft: Eine lächenkrft wirkt uf eine läche. Volumenkrft: Eine Volumenkrft wirkt uf ds Volumen eines Körpers. Ursche Eingeprägte Kräfte: Dies sind Kräfte mit physiklischer Ursche. Rektionskräfte: Dies sind Zwngskräfte, die die ewegungsmöglichkeit (reiheitsgrd) eines Körpers einschränken. Wirkung Nhkräfte: Sie wirken in der erührungsfläche, lso im direkten Kontkt zwischen zwei Körpern. ernkräfte: Sie wirken ebenflls zwischen Körpern, jedoch hben die Körper keinen direkten Kontkt miteinnder. Wirkungsort Äußere Kräfte: Dies sind von ußen uf einen Körper wirkende elstungen sowie Rektionskräfte n der Systemgrenze. Innere Kräfte: Dies sind innere Kräfte, welche uch ls Schnittkräfte bezeichnet werden. reischneiden reikörperbilder sind ussgekräftige Skizzen bzw. reihndzeichnungen. reischneiden knn n jeder beliebigen Stelle eines Körpers erfolgen. Es drf zwischen Körpern, wie uch durch einen Körper, geschnitten werden. In jedem Schnitt gilt: ctio = rectio. Jedes entfernte Element muss durch eine Krft ersetzt werden, um deren Wirkung uf den Körper beizubehlten. Jede ngetrgene Krft bekommt eine eindeutige ezeichnung. Lgerungen werden mit Großbuchstben (,, C,...) bezeichnet. Lgerkräfte werden mit Großbuchstben und Wirkrichtung (x, y,,...) bezeichnet. Die Wirkrichtungen der ngetrgenen Kräfte können beliebig gewählt werden. Die Gewichtskrft G bzw. G wirkt immer senkrecht nch unten und greift im Körperschwerpunkt n. Seil- und Stbkräfte (Großbuchstbe S) werden immer ls Zugkräfte ngetrgen. Zwischen zwei Körpern können nur Druckkräfte übertrgen werden. Normlkräfte N bzw. N sind Druckkräfte und wirken immer senkrecht uf die Körperoberfläche bzw. die erührungsfläche. ei gekrümmten Oberflächen zeigt die uf den Körper wirkende Normlkrft N bzw. N ls Druckkrft immer zum Körperinneren (senkrecht zur Oberfläche). Tngentilkräfte T bzw. Reibkräfte R wirken immer in der erührungsfläche (senkrecht zur Normlkrft). Gltte (idelisierte, reibungsfreie) Oberflächen sind reibungsfrei, somit gilt: T = R =. Nch dem reischneiden drf der Körper keine erührung mehr mit seiner Umgebung ufweisen. Äußere Kräfte dürfen uf ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Innere Kräfte dürfen nicht uf ihrer Wirkungslinie verschoben werden.

8 Repetitorium Zentrle ebene Kräftegruppen Die drei Grundufgben der Mechnik P P R 1. Zerlegung einer Krft Die Zerlegung einer Krft erfolgt mithilfe ihres Richtungswinkels. Ist der Richtungswinkel zur x-chse beknnt, erfolgt die Zerlegung nch: ls zentrle Kräftegruppe wird die Gesmtheit ller n einem Strrkörper gleichzeitig ngreifender Kräfte bezeichnet, deren Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden. Der gemeinsme Schnittpunkt wird ls Zentrlpunkt P bezeichnet. Eine solche Kräftegruppe lässt sich zu einer Resultierenden R zusmmenfssen. ei der Zerlegung ist die Richtung bzw. ds Vorzeichen der Krft entscheidend. Konvention: Zeigt die Krft in die positive Koordintenrichtung bekommt sie ein positives (+), zeigt sie in die negtive Koordintenrichtung entsprechend ein negtives (-) Vorzeichen. In der Ebene ist die Zerlegung einer Krft in zwei Richtungen, im Rum in drei Richtungen eindeutig. Eine Zerlegung einer Krft in der Ebene in mehr ls zwei bzw. im Rum in drei Richtungen ist zwr möglich, führt jedoch zu unendlich vielen Möglichkeiten und ist somit nicht eindeutig. D lle Kräfte in den Zentrlpunkt P verschoben und uf eine Resultierende reduziert werden können, knn diese rt der Kräftegruppe einen Körper nur verschieben, ber nicht drehen. 2. Reduktion uf eine Einzelkrft Nchdem lle Kräfte in ihre x- und y-koordinten zerlegt wurden, können lle x-koordinten zu einer Resultierenden Rx und lle y-koordinten zu Ry zusmmengefsst werden: Die Gesmtgröße der Resultierenden R wird mittels des Stz des PYTHGORS bestimmt: Der Winkel der Resultierenden wird mit der Tngens-unktion bestimmt: 3. Gleichgewicht von Kräften Nch dem 6. xiom (Gleichgewichtsstz) ist ein Strrkörper unter der Wirkung von zwei Kräften im Gleichgewicht, wenn die Kräfte gleich groß, entgegengesetzt gerichtet und die gleiche Wirkungslinie besitzen. Demnch muss bei der Reduktion einer zentrlen ebenen Kräftegruppe die Resultierende R verschwinden (R), dmit Gleichgewicht vorhnden ist: Rep.

9 246 Repetitorium 4 llgemeine ebene Kräftegruppen Die drei Grundufgben der Mechnik ls llgemeine Kräftegruppe wird die Gesmtheit ller n einem Strrkörper gleichzeitig ngreifender Kräfte bezeichnet, deren Wirkungslinien sich in mehr ls einem Punkt schneiden. Eine solche Kräftegruppe lässt sich zu einer Dynme zusmmenfssen. Eine llgemeine Kräftegruppe knn einen Körper verschieben und verdrehen (Trnsltion und Rottion). Moment Einheit: Newtonmeter [Nm]. Ds Moment entspricht der Multipliktion von Krft und zugehörigem Hebelrm. Der Hebelrm ist immer der senkrechte bstnd von der Wirkungslinie der Krft zum ezugspunkt. ezugspunkte dürfen frei gewählt werden und können innerhlb wie uch ußerhlb eines Körpers liegen. Drehsinn: Vorzeichenkonvention wie in der Mthemtik: positiv: Gegenuhrzeigersinn negtiv: Uhrzeigersinn Rechte-ust-Regel R M () R 1. Zerlegung einer Krft Die Zerlegung einer Krft erfolgt mithilfe ihres Richtungswinkels. Ist der Richtungswinkel zur x-chse beknnt, erfolgt die Zerlegung nch: 2. Reduktion uf eine Dynme ezugspunkt definieren. Die in ihre x- und y-koordinten zerlegten Kräfte können zu einer Resultierenden R zusmmengefsst werden: Die prllel verschobenen Kräfte zu einem resultierenden Moment MR zusmmenfssen (Vorzeichen bechten!): Die nschließende Reduktion erfolgt nch den ällen in Tb. 4-2 uf S Gleichgewicht von Kräften ei einer llgemeinen ebenen Kräftegruppe muss die Summe ller Kräfte und die Summe ller Momente gleich Null sein, dmit Gleichgewicht vorhnden ist: Hinweis: n Stelle von zwei Kräfte- und einer Momentengleichgewichtsbedingung können uch nur eine Kräfte- und zwei Momentengleichgewichtsbedingungen oder drei Momentengleichgewichtsbedingungen verwendet werden.

10 Repetitorium Schwerpunkt erechnung der Schwerpunktkoordinten von zusmmengesetzten Körpern Schwerpunkt der Gewichtskrft Definition: Der Schwerpunkt ist der Punkt eines Körpers, durch den in jeder beliebigen Lge die Wirkungslinie der resultierenden Gewichtskrft hindurchgeht. Die räumlich über den gesmten Körper verteilte Msse bzw. ds Gewicht knn ls im Schwerpunkt konzentriert gedcht werden. ei Unterstützung im Schwerpunkt bleibt der Körper im Gleichgewicht. ei konstnter Erdbeschleunigung entspricht der Schwerpunkt dem Mssenmittelpunkt. ei konstnter Dichte ( konst.) entspricht der Schwerpunkt dem Volumenmittelpunkt. Der Volumenmittelpunkt bestimmt sich llein us der Geometrie des Körpers. ormelsmmlung: Tb. 5-1, S. 66 f. Mssenmittelpunkt Volumenmittelpunkt ei der erechnung der jeweiligen Schwerpunktkoordinten beliebig geformter Körper ist ds Summenzeichen durch ds Integrl zu ersetzen. Regeln der Schwerpunktberechnung esteht ein Körper us Teilkörpern mit beknnten Schwerpunktkoordinten, können diese Teilkörper lgebrisch ddiert werden. ei Körpern mit usschnitten, sind die usschnitte negtive Volumin. ei symmetrischen Körpern liegt der Schwerpunkt uf der Symmetriechse. esitzt ein Körper mehrere Symmetriechsen, so liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetriechsen. Symmetriechsen heißen Schwerchsen. lächenmomente erster Ordnung sind sttische Momente. lächenmomente erster Ordnung in ezug uf die Schwerchsen sind Null. Hinweis: Gleiches gilt für lächen. erechnung der Schwerpunktkoordinten von lächen Schwerpunkt zusmmengesetzter lächen Schwerpunkt beliebiger lächen Sttische Momente Sttische Momente oder uch lächenmomente erster Ordnung: Die lächenmomente erster Ordnung verschwinden, wenn der Koordintenursprung im Schwerpunkt liegt. Rep.

11 248 Repetitorium Streckenlsten q Streckenlsten lssen sich uf eine äquivlente Einzelkrft q reduzieren. Die Größe der reduzierten Einzelkrft entspricht dem lächeninhlt der Streckenlst: Die Wirkungslinie der reduzierten Einzelkrft verläuft durch den Schwerpunkt der Streckenlst: Die Wirkungsrichtung der reduzierten Einzelkrft ist identisch mit der Wirkungsrichtung der Streckenlst. ei einfchen Verläufen von Streckenlsten, wie z.. dreiecksförmig, knn der Streckenlstverluf q(x) mithilfe der Gerdengleichung ermittelt werden: eispiel q l q x Der Schwerpunkt für solch einen Streckenlstverluf knn mithilfe der ormelsmmlung Tb. 5-1 uf S. 66 f. ermittelt werden. q q l q x 6 Lgerrektionen Lgerbindungen schränken die ewegung (reiheitsgrde) eines Systems ein. Lgerrektionen sind die von den Lgern hervorgerufenen Rektionskräfte und Rektionsmomente. Sttische estimmtheit Ein Strrkörper ist sttisch bestimmt gelgert, wenn lle Lgerrektionen llein us den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können. Ein Strrkörper, der durch mehr ls drei indungen gelgert ist, ist sttisch unbestimmt. Notwendige edingung: bzählkriterium mit = 0 ls Ergebnis. bzählkriterium : nzhl der Lgerrektionen : nzhl der GG (Ebene: = ) > = < sttisch -fch unbestimmt sttisch bestimmt sttisch beweglich (unbruchbr) Kinemtische estimmtheit Ein Strrkörper ist kinemtisch bestimmt gelgert, wenn dieser mit genu drei einwertigen kinemtischen indungen unbeweglich (unverschieblich) ist. Ein Strrkörper, der endliche oder infinitesimle (unendlich kleine) ewegungen usführen knn, ist kinemtisch unbestimmt gelgert. Die Überprüfung erfolgt mittels Polpln. Ist ein Widerspruch im Polpln vorhnden, ist der Strrkörper kinemtisch bestimmt (unbeweglich) gelgert. Hinreichende edingung: Widerspruch im Polpln.

12 Repetitorium 249 Polplnregeln für einteilige Trgwerke Ein Polstrhl wird uch ls geometrischer Ort (GO) bezeichnet und ist eine Gerde, welche senkrecht zur Verschiebungsrichtung verläuft. Ist ein Polstrhl vorhnden, so liegt der Huptpol Πi uf dem Polstrhl. este Einspnnung: der Strrkörper ist unverschieblich und besitzt keinen Huptpol. Gelenkiges estlger: Huptpol Πi des Strrkörpers i. Gelenkiges Loslger: Polstrhl verläuft senkrecht zur Verschiebungsrichtung und der Huptpol Πi liegt uf dem Polstrhl. Verschiebt sich ein Körper nur prllel, liegt der Huptpol Πi senkrecht zur Verschiebungsrichtung in. Prllelführung und Schiebehülse: Polstrhl verläuft senkrecht zur Verschiebungsrichtung und der Huptpol Πi liegt in. ei prllelen Polstrhlen liegt der Huptpol Πi in. Der Schnittpunkt zweier Polstrhlen ist ein Huptpol Πi. Lgerrten in der Ebene freies Ende gelenkiges Loslger gelenkiges estlger Prllelführung Schiebehülse feste Einspnnung Weitere Lgerrten sind möglich, jedoch lssen sich nicht lle theoretisch möglichen Lgerungen technisch relisieren. GO GO GO eispiel erechnung von Lgerrektionen Überprüfen der sttischen und kinemtischen estimmtheit: 1. bzählkriterium 2. Polpln reikörperbild zeichnen. Lger freischneiden und durch äquivlente Lgerrektionen ersetzen. Lgerrektionen eindeutig benennen. Gleichgewichtsbedingungen ufstellen und nch den Lgerrektionen uflösen. x y Rep.

13 250 Repetitorium 7 Gelenkrektionen Polplnregeln für mehrteilige Trgwerke Polstrhl (GO): Gerde, welche senkrecht Gelenkbindungen schränken die ewegung (reiheitsgrde) eines Systems ein. Gelenkrektionen sind die von den Gelenken hervorgerufenen Rektionskräfte und Rektionsmomente. Innerhlb eines Gelenks heben sich die Gelenkrektionen gegenseitig uf. xiom 3: ctio = rectio. Es gelten die gleichen edingungen für die sttische und kinemtische estimmtheit wie bei Lgerrektionen. ei einem Widerspruch im Polpln ist ds Trgwerk kinemtisch bestimmt (unbeweglich) gelgert. erechnung von Gelenkrektionen Überprüfen der sttischen und kinemtischen estimmtheit: 1. bzählkriterium 2. Polpln reikörperbild zeichnen. Lger freischneiden und durch äquivlente Lgerrektionen ersetzen. Lgerrektionen eindeutig benennen. Gelenke freischneiden und durch äquivlente Gelenkrektionen ersetzen. Gelenkrektionen eindeutig benennen. Ein Gelenk verbindet immer zwei Teiltrgwerke. Gleichgewichtsbedingungen für jedes Teiltrgwerk ufstellen und nch den Lgerund Gelenkrektionen uflösen. bzählkriterium : nzhl der Lgerrektionen : nzhl der Gelenkrektionen : nzhl der GG (Ebene: = 3) : nzhl der Strrkörper zur Verschiebungsrichtung verläuft. Ist ein Polstrhl vorhnden, so liegt der Huptpol Πi uf dem Polstrhl. este Einspnnung: Strrkörper ist unverschieblich und besitzt keinen Huptpol. lle Gelenkverbindungen zu diesem Strrkörper werden zu Lgern und entsprechend wie solche behndelt. Gelenkiges estlger: Huptpol Πi des Strrkörpers i. Gelenkiges Loslger: Polstrhl verläuft senkrecht zur Verschiebungsrichtung und der Huptpol Πi liegt uf dem Polstrhl. Verschiebt sich ein Körper nur prllel, liegt der Huptpol Πi senkrecht zur Verschiebungsrichtung in. Prllelführung und Schiebehülse: Polstrhl verläuft senkrecht zur Verschiebungsrichtung und der Huptpol Πi liegt in. Querkrft- und Normlkrftgelenk: der Nebenpol (i,j) zweier Strrkörper i und j liegt senkrecht zur Verschiebungsrichtung in. Prllele Polstrhle: Huptpol Πi liegt in. Schnittpunkt zweier Polstrhlen ist entweder ein Huptpol Πi oder ein Nebenpol (i,j). Die Verbindung zweier Huptpole sowie zweier Nebenpole ist ein Polstrhl (GO). Die Huptpole Πi und Πj zweier Strrkörper i und j sowie der Nebenpol (i,j) liegen uf einer Gerden: Πi (i,j) Πj. Die Nebenpole dreier Strrkörper i, j, k liegen uf einer Gerden: (i,j) (j,k) (i,k). > 0 = 0 < 0 sttisch -fch unbestimmt sttisch bestimmt sttisch beweglich (unbruchbr)

14 Repetitorium 251 Gelenkrten in der Ebene eispiel: Dreigelenkbogen keine indung G Dreh-Schiebe- Gelenk Pendelstb Schiebe- (Einspnn-) gelenk 1 Gx G y Gx G y 2 Drehgelenk (Momentengelenk) x y x y Querkrftgelenk Normlkrftgelenk vollständige indung eispiel: Gelenkblken G C eispiel: Polpln G GO GO C 1 2 x 1 y Gx G y G y Gx 2 C GO Rep.

15 252 Repetitorium Idelisierungen: Knoten sind reibungsfreie Gelenke. Äußere Kräfte greifen ls Einzelkräfte nur in den Knoten n. In chwerkstäben treten keine Querkräfte und keine Momente uf. Knoten sind zentrle Kräftegruppen. Stbkräfte werden immer ls Zugkräfte ngetrgen. Stbkrft positiv (+): Zugstb Stbkrft negtiv (-): Druckstb bzählkriterium > 0 = 0 < 0 r: nzhl der Lgerrektionen s: nzhl der Stäbe j: nzhl der GG (Ebene: j = ) k: nzhl der Knoten (inkl. Lger) sttisch -fch unbestimmt sttisch bestimmt sttisch beweglich (unbruchbr) Regeln für Nullstäbe 1) Sind n einem unbelsteten Knoten zwei Stäbe ngeschlossen, die nicht in gleicher Richtung liegen, so sind beide Stäbe Nullstäbe. 2) Sind n einem belsteten Knoten zwei Stäbe ngeschlossen und greift die äußere Krft in Richtung des einen Stbes n, so ist der ndere Stb ein Nullstb. 3) Sind n einem unbelsteten Knoten drei Stäbe ngeschlossen, von denen zwei in gleicher Richtung liegen, so ist der dritte Stb ein Nullstb. 8 chwerke erechnung von chwerken Überprüfen der sttischen und kinemtischen estimmtheit: 1. bzählkriterium 2. ildungsgesetze 3. Polpln Ist ds chwerk nch den ildungsgesetzen ufgebut, knn ds chwerk für den Polpln und zur erechnung der Lgerrektionen ls Strrkörper betrchtet werden. lle Stäbe mit rbischen Zhlen und lle Knoten mit römischen Zhlen nummerieren. Ds chwerk uf Nullstäbe überprüfen und mrkieren. Lger freischneiden und durch äquivlente Lgerrektionen ersetzen. Gleichgewichtsbedingungen ufstellen und nch den Lgerrektionen uflösen. Knotenpunktverfhren lle Knoten ncheinnder freischneiden und für jeden Knoten ein eigenes reikörperbild erstellen. Gleichgewichtsbedingungen für jeden Knoten ufstellen. lle Gleichgewichtsbedingungen nch den Stbkräften uflösen. Hinweis: eim Knotenpunktverfhren entspricht die nzhl der Gleichungen der nzhl von Stäben + Lgerrektionen. Dher knn mit den zusätzlichen Gleichungen eine Kontrolle der erechnungsergebnisse durchgeführt werden. RITTER'sches Schnittverfhren Vollständige Trennung des chwerkes mit einem Schnitt durch drei Stäbe, die nicht lle durch einen Punkt/Knoten gehen dürfen oder durch einen Stb und ein Gelenk. Gleichgewichtsbedingungen für die beiden geschnittenen Teilfchwerke ufstellen und nch der gesuchten Stbkrft uflösen. ür die Teilfchwerke können sowohl die Gleichgewichtsbedingungen für ds Kräftels uch ds Momentengleichgewicht ufgestellt werden.

16 Repetitorium 253 Koordintensystem für Schnittgrößen: x-chse fällt mit der Schwerchse des lkens zusmmen (Verbindungslinie der Querschnittsflächen-Schwerpunkte). reischneiden (Schnittprinzip): Sichtbrmchen von Rektionskräften und inneren Kräften. Die inneren Kräfte werden ls Schnittgrößen (Schnittrektionen) bezeichnet. Schnittgrößen entsprechen den Gelenkrektionen eines gedchten Gelenks, welches keine ewegungsmöglichkeiten zulässt (vollständige indung). erechnung mittels Gleichgewichtsbedingungen für jedes Teilsystem. Positive Schnittgrößen zeigen m positiven Schnittufer in positive Koordintenrichtung (gestrichelte Linie bechten!). Die erechnung der Schnittgrößen erfolgt immer zwischen den ngriffspunkten von Kräften und Momenten sowie vor, nch und innerhlb von Streckenlsten. Hinweis: ei konkreten ufgben den lkenteil mit den wenigsten Lsten verwenden. Q M positives Schnittufer N Merkregeln zur gestrichelten Linie: die Normlkrft N zeigt in Richtung der gestrichelten Linie und zieht somit n der Linie, die Querkrft Q zeigt m positiven Schnittufer zur gestrichelten Linie und drückt die Linie vom lken weg, ds iegemoment M zieht n der gestrichelten Linie. N M Q y z negtives Schnittufer x 9 Schnittgrößen Gleichgewichtsmethode Überprüfen der sttischen und kinemtischen estimmtheit: 1. bzählkriterium 2. Polpln reikörperbild zeichnen. Lger und Gelenke freischneiden und durch die äquivlenten Lger- und Gelenkrektionen ersetzen. Lger- und Gelenkrektionen berechnen. ereiche definieren. ür jeden ereich die Schnittgrößen mittels Gleichgewichtsbedingungen berechnen. ei mehreren ereichen: nfngs- und Endpunkt der ereiche zur Plusibilitätsprüfung einsetzen. Schnittgrößendigrmme zeichnen. Vorgehensweise: Integrtionsmethode Überprüfen der sttischen und kinemtischen estimmtheit: 1. bzählkriterium 2. Polpln ereiche definieren. ür jeden ereich die Streckenlstfunktion qz(x) ufstellen. Streckenlstfunktion integrieren um Q(x) und M(x) zu erhlten: Rnd- und Übergngsbedingungen definieren. Integrtionskonstnten mithilfe der Rndund Übergngsbedingungen berechnen. Schnittgrößenverläufe für jeden ereich berechnen. Kritische Überprüfung der erechnungsergebnisse. Schnittgrößendigrmme zeichnen. Hinweis: Die Lger- und Gelenkrektionen können us den Schnittgrößendigrmmen entnommen werden. Rep.

17 254 Repetitorium Integrtionsmethode Sobld die Krftgrößen (q(x), Q(x), M(x)) über den gesmten lken unstetig sind und nicht durch eine unktion über der gesmten lkenlänge beschrieben werden können, muss der lken in mehrere ereiche I, II,... ufgeteilt und bereichsweise integriert werden. Die ufteilung in mehrere ereiche erfolgt derrt, dss in jedem ereich lle Krftgrößen stetig sind. Die Integrtionskonstnten ergeben sich us den Rnd- und Übergngsbedingungen. ür jede Integrtionskonstnte wird eine Rnd- bzw. Übergngsbedingung benötigt. ei Gelenken (Verbindungselementen) ohne ngreifende Einzellsten sind die Schnittgrößenverläufe stetig, dher ist keine zusätzliche ereichseinteilung nötig. Die Übergngsbedingungen für Gelenke müssen ber bei der estimmung der Integrtionskonstnten verwendet werden. Rndbedingungen Q N Q M N Übergngsbedingungen I II eispiel: lken mit konstnter Streckenlst I M II q q (x) I II l N I Q I I II Q II N II Rndbedingungen und Integrtionskonstnten: M I I II N I M II N II M I Q I I II Q II M II

18 Repetitorium 255 Zusmmenhänge bei Schnittgrößen Einzelkrft in lkenlängsrichtung: m Krftngriffspunkt besitzt der Normlkrftverluf N(x) einen Sprung von der Größe der ngreifenden Einzelkrft. Einzelkrft quer zur lkenchse: m Krftngriffspunkt besitzt der Querkrftverluf Q(x) einen Sprung von der Größe der ngreifenden Einzelkrft und der Momentenverluf M(x) einen Knick. Einzelmoment um die y-chse: m Punkt der Momenteneinleitung besitzt der Momentenverluf M(x) einen Sprung von der Größe des ngreifenden Einzelmomentes und der Querkrftverluf Q(x) ist stetig. In ereichen ohne Streckenlst q(x) ist der Querkrftverluf Q(x) konstnt. Der Streckenlstverluf q(x) beschreibt die Steigung des Querkrftverlufes Q(x). Nullstelle von q(x) Extremum von Q(x) Der Querkrftverluf Q(x) beschreibt die Steigung des Momentenverlufes M(x). Nullstelle von Q(x) Extremum von M(x) Prktische edeutung: uslegung eines lkens i.d.r. uf ds mx. iegemoment (TM 2: Elstosttik). Hinweis: Ds bsolute Mximum des iegemoments knn uch n einem lkenende oder n einem ereichsende uftreten, dort wo die Querkrft oder ds iegemoment einen Sprung hben. eispiel (ortsetzung) q l q Q (x) eispiel: Einzelkrft und Einzelmoment H V V Q (x) M (x) l H 2 q l V M (x) M M Q (x) M (x) M l M l esonderheiten bei Gelenken ohne ngreifende Einzelkräfte und -momente lle Schnittgrößenverläufe sind stetig. Drehgelenk (Momentengelenk) n einem Drehgelenk besitzt der Momentenverluf eine Nullstelle. Normlkrftgelenk n einem Normlkrftgelenk besitzt der Normlkrftverluf eine Nullstelle. Querkrftgelenk n einem Querkrftgelenk besitzt der Querkrftverluf eine Nullstelle. eispiel: Drehgelenk V G H Q (x) V H M N (x) M (x) Rep.

19 256 Repetitorium 10 Reibung Hftkegel (Reibkegel) Die Hftkrft H folgt us den Gleichgewichtsbedingungen und ist somit eine Rektionskrft (vergleichbr mit einer Lgerrektion). Die Reibkrft R ist bhängig von der Oberflächenbeschffenheit und demnch eine eingeprägte Krft. Der Hft- und Gleitreibungskoeffizient hängt von der Mterilprung, der geometrischen eschffenheit der Kontktoberflächen und vom vorhndenen Zwischenmedium (z.. Schmierstoff) b. Wird die mximl übertrgbre Hftkrft H überschritten, ist kein Gleichgewicht mehr möglich und es tritt ewegung ein. ei ewegung ist der Hftreibungskoeffizient 0 durch den Gleitreibungskoeffizienten zu ersetzen. Die Reibkrft R wirkt immer entgegen der ewegungsrichtung. Wichtig: Hftung und Reibung sind unbhängig von der Kontktflächengröße! v v v v Liegt innerhlb des Hftkegels ist Hftung vorhnden. Liegt ußerhlb des Hftkegels kommt es zu einer ewegung und es ist Reibung vorhnden. Mx. Winkel des Hftkegels bei gegebenem Hftreibungskoeffizienten : N Seilhftung und Seilreibung S r H S R v R v R v v v R v v v EULER-EYTELWEIN-ormel wenn: wenn: COULOM'sche Reibungsgesetze Hftkrft: Reibkrft: S1, S2: Seilkräfte [N] 0: Hftreibungskoeffizient [ ] : Gleitreibungskoeffizient [ ] : Umschlingungswinkel [rd] Hinweis: ei ewegung ist der Hftreibungskoeffizient 0 durch den Gleitreibungskoeffizienten zu ersetzen

20 Repetitorium Energiemethoden Energie ist eine fundmentle physiklische Größe und knn nschulich ls die ähigkeit definiert werden, rbeit zu verrichten. Die Energie E besitzt die Einheit JOULE [J] und es gilt: [J = Nm]. Energiestz (uch Energieerhltungsstz): In einem geschlossenen System (reibungsfreies System) ist die Summe der kinetischen und der potentiellen Energie konstnt. Die rbeit W ist die Energie, die uf mechnischem Wege uf einen Körper übertrgen wird. Die rbeit ist ds Produkt us Krft ml Weg und besitzt die Einheit Newtonmeter [Nm] oder JOULE [J]. Eine Krft knn nur dnn eine rbeit W verrichten, wenn die Krft in Richtung ihrer Wirkungslinie verschoben wird. Vorzeichenkonvention der rbeit: positiv, wenn Krft und Weg gleichgerichtet sind; null, wenn Krft und Weg senkrecht ufeinnder stehen; negtiv, wenn Krft und Weg entgegengesetzt gerichtet sind. Konservtive Kräfte sind Kräfte, die längs eines in sich geschlossenen Weges keinerlei rbeit verrichten, wie z.. die Gewichtskrft. Nicht-konservtive Kräfte (dissiptive Kräfte) sind Kräfte, die längs eines in sich geschlossenen Weges rbeit verrichten, wie z.. die Reibungskrft. Nicht-konservtive Kräfte lssen sich in ndere Energieformen umwndeln, wie z.. Reibung in Wärme. eim Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV) (uch Prinzip der virtuellen Verschiebungen oder rbeitsstz) werden die relen Verrückungen durch gedchte (virtuelle) Verrückungen ersetzt. Es wird der wirkliche (rele) Krftzustnd bei einer virtuellen Verrückung betrchtet. Eine Verrückung knn eine Verschiebung oder eine Verdrehung sein. Virtuelle Verrückungen sind gedcht und in Wirklichkeit nicht vorhnden, infinitesiml klein und geometrisch (kinemtisch) möglich (mit den Systembindungen verträglich). Virtuelle Verrückungen sind nur möglich, wenn ds System mindestens einen reiheitsgrd besitzt. ei sttisch bestimmten Systemen muss eine indung gelöst und durch eine eingeprägte Krft bzw. eingeprägtes Moment ersetzt werden. Ds Prinzip der virtuellen Verrückungen ist äquivlent zu den beknnten Gleichgewichtsbedingungen und knn zur erechnung von Gleichgewicht, Lgerrektionen und Schnittrektionen ngewendet werden. Prinzip der virtuellen Verrückungen Ein mechnisches System ist im Gleichgewicht, wenn die rbeit der eingeprägten Kräfte und Momente bei einer virtuellen Verrückung verschwindet: Rep.

21 258 Repetitorium Verschiebungsfigur zeichnen ei sttisch bestimmten Systemen muss eine indung gelöst werden. Huptpole der einzelnen Körper mittels Polpln identifizieren (Polpln muss widerspruchslos sein). Drehsinn der einzelnen Körper festlegen. Verschiebungen einzelner mrknter Punkte zeichnen (Polstrhl zu mrknten Punkten, welche verschoben werden sollen). Körper wird mit der virtuellen Verdrehung 1 um den Huptpol Π gedreht, Körper entsprechend mit 2 um Π usw. Verschiebungen sind immer senkrecht zum Polstrhl. Strhlenstz bechten! estimmung von Lger-/Gelenkrektionen Die zu der gesuchten Lger- bzw. Gelenkrektion gehörende indung wird entfernt und die gesuchte Lger- bzw. Gelenkrektion wird ls eingeprägte Krft bzw. eingeprägtes Moment ngetrgen. Zeichnen der Verschiebungsfigur und ntrgen der virtuellen Verschiebungen und Verdrehungen für die eingeprägten Kräfte und Momente. Mittels PdvV wird die gesuchte Lger- bzw. Gelenkrektion berechnet. eispiel: Lgerrektion V eispiel: Verschiebungsfigur Verschiebungsfigur eines Dreigelenkbogens, wenn der horizontle reiheitsgrd im Lger gelöst wird. G V GO r r GO GO V r mit: GO 1 r 2

22 Repetitorium 259 estimmung von Schnittgrößen Die Lgerung des Originlsystems wird beibehlten. Einsetzen eines Gelenks n die Stelle der gesuchten Schnittrektion. ntrgen der jeweils gesuchten Schnittrektion n beiden Körpern des Gelenks nch dem Prinzip ctio = rectio. Zeichnen der Verschiebungsfigur und ntrgen der virtuellen Verschiebungen und Verdrehungen für die eingeprägten Kräfte und Momente. Mittels PdvV wird die gesuchte Schnittrektion berechnet. Gelenke und deren Schnittrektionen Drehgelenk M (Momentengelenk) Querkrftgelenk Normlkrftgelenk r r N Q M Q N eispiel: Moment n der Krftngriffsstelle eispiel: Querkrft n der Stelle q q 2 1 r Q GO 2 M 1 G M 2 y Q mit: GO M M r mit: Rep.

23 260 Repetitorium Notizen

24 Literturverzeichnis 261 Literturverzeichnis 1. ltenbch, H.; ltenbch, J.; Numenko, K.: Ebene lächentrgwerke. Springer, erlin, ssmnn,.; Selke, P.: Technische Mechnik 1 - Sttik. 19. ufl., Oldenburg, München, lke, H.: Einführung in die Technische Mechnik - Sttik. 3. ufl., Springer, erlin, öge,.; öge, W.: Technische Mechnik. 31. ufl., Springer Vieweg, Wiesbden, ruhns, O.: Elemente der Mechnik I. Shker, chen, Dnkert, J.; Dnkert, H.: Technische Mechnik. 7. ufl., Springer Vieweg, Wiesbden, Eller, C.: Holzmnn/Meyer/Schumpich Technische Mechnik Sttik. 14. ufl., Springer Vieweg, Wiesbden, Gbbert, U.; Recke, I.: Technische Mechnik für Wirtschftsingenieure. Hnser, München, Göldner, H.; Holzweißig,.: Leitfden der technischen Mechnik. 11. ufl., VE, Leipzig, Gross, D.; Huger, W.; Schröder, J.; Wll, W..: Technische Mechnik 1 - Sttik. 12. ufl., Springer Vieweg, erlin, Hgedorn, P.; Wllschek, J.: Technische Mechnik - Sttik. 6. ufl., Europ, Hn, Hrtmnn, S.: Technische Mechnik. Wiley-VCH, Weinheim, Hibbeler, R. C.: Technische Mechnik 1 Sttik. 12. ufl., Person, München, Kbus, K.: Mechnik und estigkeitslehre. 7. ufl., Hnser, München, Kessel, S.; röhling, D.: Technische Mechnik - Engineering Mechnics. 2. ufl., Springer Vieweg, Wiesbden, Kühhorn,., Silber, G.: Technische Mechnik für Ingenieure. Hüthig, Heidelberg, Kulisch, W.: Technische Mechnik für Dummies. 2. ufl., Wiley-VCH, Weinheim, Mgnus, K.; Müller-Slny, H.: Grundlgen der Technische Mechnik. 7. ufl., Vieweg+Teubner, Wiesbden, Mhnken, R.: Lehrbuch der Technischen Mechnik - Sttik. Springer, erlin, Mthik,. U.: Technische Mechnik 1 - Sttik mit Mple-nwendungen. Oldenbourg, München, Mttheck, C.: Mechnik m um: Erläutert mit einfühlsmen Worten von Puli dem är. KIT, Krlsruhe, Myr, M.: Technische Mechnik: Sttik - Kinemtik - Kinetik - Schwingungen - estigkeitslehre. 8. ufl., Hnser, München, 2015.

25 262 Literturverzeichnis 23. Müller, W. H.; erber,.: Technische Mechnik für Ingenieure. 4. ufl., Hnser, München, Richrd, H..; Snder, M.: Technische Mechnik. Sttik. 4. ufl., Springer Vieweg, Wiesbden, Romberg, O.; Hinrichts, N.: Keine Pnik vor Mechnik! 8. ufl., Vieweg+Teubner, Wiesbden, Wetzell, O. W.; Krings, W.: Technische Mechnik für uingenieure ufl., Vieweg+Teubner, Wiesbden, Wriggers, P.; Nckenhorst, U.; euermnn, S.; Spiess, H.; Löhnert, S.: Technische Mechnik kompkt - Strrkörpersttik, Elstosttik, Kinetik. Vieweg+Teubner, Wiesbden, Zimmermnn, K.: Technische Mechnik. 2. ufl., chbuchverlg, Leipzig, ufgbensmmlungen 29. erger, J.; Jhr,.: Klusurentriner Technische Mechnik. 3. ufl., Springer Vieweg, Wiesbden, öge,.; öge, G.; öge, W.; Schlemmer, W.: ufgbensmmlung Technische Mechnik. 22. ufl., Springer Vieweg, Wiesbden, ruhns, O.: ufgbensmmlung Technische Mechnik ufl., Vieweg, runschweig/wiesbden, Gross, D.; Ehlers, W.; Wriggers, P.; Schröder, J.; Müller, R.: ormeln und ufgben zur Technischen Mechnik ufl., Springer Vieweg, erlin, Huger, W.; Mnnl, V.; Wll, W.: Werner, E.: ufgben zu Technische Mechnik ufl., Springer Vieweg, erlin, Myr, M.: Mechnik-Trining. 4. ufl., Hnser, München, Müller, W. H.; erber,.: Übungsufgben zur Technischen Mechnik. 3. ufl., Hnser, München, Ulbrich, H.; Weidemnn, H.-J.; Pfeiffer,.: Technische Mechnik in ormeln, ufgben und Lösungen. 3. ufl., Vieweg+Teubner, Wiesbden, 2011.

26 ormelzeichen 263 ormelzeichen Griechische Symbole lph Ny et Xi Gmm Omikron Delt Pi Epsilon Rho Zet Sigm Et Tu Thet Ypsilon Iot Phi Kpp Chi Lmbd Psi My Omeg ormelzeichen Symbol Einheit ezeichnung mm 2 läche J = Nm Energie N Krft N Hftkrft N Normlkrft N Einzelkrft einer Streckenlst N Reibkrft N Gewichtskrft Nm Moment, resultierendes Moment Nm iegemoment um die y-chse (Schnittgröße) N Normlkrft (Schnittgröße) N Querkrft in z-richtung (Schnittgröße) N resultierende Krft (Resultierende) N Seil- bzw. Stbkrft, Schwerpunkt mm 3 sttisches Moment einer läche mm 3 Volumen

27 264 ormelzeichen J = Nm rbeit m/s 2 Erdbeschleunigung mm Hebelrm kg Msse N/m Streckenlst mm Rdius, bstnd mm Koordinten mm Schwerpunktkoordinten, rd Winkel zur x-, y-, z-chse rd Umschlingungswinkel (Seilreibung) mm virtuelle Verrückung J = Nm virtuelle rbeit, rd virtuelle Verdrehung - Gleitreibungskoeffizient - Hftreibungskoeffizient kg/dm 3 Dichte, rd Drehwinkel, rd Winkel des Hftkegels Indizes G H mx S V x y z Gewicht horizontl mximl Schwerpunkt vertikl x-richtung y-richtung z-richtung

28 Stichwortverzeichnis 265 Stichwortverzeichnis bzählkriterium einteiliger Trgwerke 90 f. chwerke 123 mehrteiliger Trgwerke 106 MONTONS 189 ff. ngriffspunkt 11 rbeit 211 ff. RCHIMEDES 53 xiom 4, 13 ff. : ktionsstz 13 f. : Gleichgewichtsstz 15 : Kräfteprllelogrmm 14 : Rektionsstz 14 : Trägheitsstz 13 : Überlgerungsstz 15 f. : Verschiebungsstz 15 lken 86, 114 f., 144 ff., 163 f., gekrümmt 167 ff. elstung 53 ERNOULLI 218 estimmheit, kinemtische (einteilige Trgwerke) 91 ff., kinemtische (mehrteilige Trgwerke) 107 f., sttische (einteilige Trgwerke) 90 f., sttische (mehrteilige Trgwerke) 106 ff. ogen 86, 159 COULOM 189 ff. D VINCI 189 Dreigelenkbogen 113 f. Dynme 47 f. Dynmik 3 Einheiten 5 f. Elstosttik 3 Energie 211 Energiestz 211 Erstrrungsprinzip 17 EULER 13 f. EULER-EYTELWEIN-ormel 200 f. chwerk 120 ff., ildungsgesetz 123 ff., einfches 124, Knoten 121 lächenmoment 1. Grdes 74 reiheitsgrd 10 reikörperbild 7, 16 reischneiden 16 Gelenk -blken 114 f., Dreh- 87, 104, Dreh-, Schnittgrößen 150 ff., Normlkrft-, Schnittgrößen 154 f., Querkrft-, Schnittgrößen 154 f. -rten 104 -rektionen 103 ff., 229 f. Gemetrischer Ort 92 GERER-Träger 114 f. Gestrichelte Linie 143 Gleichgewicht 15 -sbedingung (GG) 34, 51 f. -smethode 144 ff. -sgruppe 34 Gleitreibung 190 -skoeffizient 191 f. Hftkegel 193 Hftreibung 187, 189 -skoeffizient 189, 192 Hftungswinkel 193 Hebelgesetz 53 f. Integrtionsmethode 169 ff. JOULE 211 Kinemtik 3 Kinetik 3 klein von höherer Ordnung 163 Kleinwinkelnäherung 92 Knotenpunktverfhren 127 f. Krft 10 ff., rbeit einer 213, äußere 10 -eck 30, eingeprägte 10, Einzel- 10, ern- 10, lächen- 10, 75, Hft- 188, innere 10, konservtive 213, Linien- 10, 75

29 266 Stichwortverzeichnis, Moment einer 42 ff., Nh- 10, nicht-konservtive 213, Norml- 17, Prllelverschiebung einer 46 f., Rektions- 10 -reduktion 30 ff., 47 ff., Reib- 17, 190, Resultierende 30, Tngentil- 17, Volumen- 10 -zerlegung 26 ff., 47 Kräfte -gleichgewicht 34, 51 f. -gruppe, llgemeine 42 -gruppe, zentrle 26 -pr 45 -pr, Regeln 45 Krgträger 140 Kurvendiskussion 166 Lger -rten 88 -rektionen 87 ff., 228 f., Wertigkeit 87 Lufkoordinte 61, 75 f., 148, 159, 167 LGRNGE 218 Lösung sttischer Probleme 6 f. Mssenmittelpunkt 63 Mechnik, nlytische 2, Grundufgben der 22, Klssische 2, Lehrsätze der 13, Qunten- 3, Reltivistische 3, Technische 2 Modellbildung 4 Moment 43, rbeit eines 215, Sttisches 74 NEWTON 11 Nullstb 126 Pol 91, Hupt- 94 -pln, einteiliger Trgwerke 92 ff. -pln, chwerk 126 -pln, mehrteiliger Trgwerke 107 f. -pln, Regeln einteiliger Trgwerke 94 -pln, Regeln mehrteiliger Trgwerke 107 -strhl 92 Rhmen 86, 156 ff. Rndbedingungen 170 f. Rechte-ust-Regel 44 Reibung 186 ff., Seil- 198 ff. Reibungs- -gesetze 188 ff. -koeffizient 189 ff. -koeffizient, Werte 192 -zustnd 187 f. Resultierende 30 f. RITTER'sches Schnittverfhren 132 f. Rottion 10 Rundschnittverfhren 127 f. Schnitt -größen 140 ff., 231 ff. -größen bei ögen 159 ff. -größen bei Einzelkräfte 144 ff. -größen bei Einzelmomente 147 ff. -größen bei Gelenken 150 ff. -größen bei Rhmen 156 ff. -größen bei Streckenlsten 161 ff. -größendigrmm 146 f. -prinzip 16 -rektionen 141 -ufer 142 Schwer -chsen 74 -punkt 61, 63 -punktermittlung, experimentell 80 -punkt, lächen- 69 -punkt: ormelsmmlung 66 f. -punkt, Geometrie- 65 -punkt, Mssen- 65 Seil 86 -hftung 198 ff. -reibung 198 ff. Strrkörper 10, 124 Stehufmännchen 64 f. Stereosttik 4 STEVIN 17 Streckenlst 74 ff.,, eispiele 75, Resultierende einer 76, 79, Schwerpunkt einer 76 Systemgrenze 18 Totlresultierende 48 f. Trgwerk 85 f. Trnsltion 10

30 Stichwortverzeichnis 267 Übergngsbedingungen 170 f. Umschlingungswinkel 201 Unstetigkeiten, geometrische 156, sttische 157 Verrückungen 215, Prinzip der virtuellen 215 ff., virtuelle 216 Verschiebungsfigur 220 f. Volumenmittelpunkt 64 Vorzeichendefinition, rbeit 213, Krft 27, Moment 44, Schnittgrößen 143 Wirkrichtung 11 Wirkungslinie 11 Wirkungsort 12 Zentrllinie 48 f. Zentrlpunkt 26