Modul 203! Zusammensetzung von Geradenspiegelungen! Symmetriegruppen!
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- Alke Schulze
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Transkript
1 Modul 203! Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen! Symmetriegruppen! 1
2 Flten und schneiden Bltt zweiml flten, Loch hinein schneiden, ufflten. 2
3 Flten und schneiden Bltt zweiml flten, Loch hinein schneiden, ufflten. 3
4 Flten und schneiden Bltt zweiml flten, Loch hinein schneiden, ufflten. 4
5 Flten und schneiden Rechtwinklig flten 5
6 Flten und schneiden Prllel flten 6
7 Gerdenspiegelung P 7
8 Gerdenspiegelung P' P 8
9 Gerdenspiegelung P' P = S ( P) P 9
10 Gerdenspiegelung P' P = S ( P) input P 10
11 Gerdenspiegelung Spiegelung n P' P = S ( P) input P 11
12 Gerdenspiegelung Spiegelung n P' P = S ( P) output input P 12
13 Gerdenspiegelung ndere Schreibweise: P' P S P P 13
14 Gerdenspiegelung Spiegelung n P' P S P input output P 14
15 Gerdenspiegelung Konstruktion mit dem Zirkel P 15
16 Gerdenspiegelung Konstruktion mit dem Zirkel P 16
17 Gerdenspiegelung Konstruktion mit dem Zirkel P 17
18 Gerdenspiegelung Konstruktion mit dem Zirkel P' P Die beiden Kreise müssen nicht gleich groß sein. 18
19 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen b Arbeiten mit Spiegeln! P 19
20 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen b P' Zwischenbild zuerst n spiegeln P 20
21 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen b P P' Zwischenbild zuerst n spiegeln dnn n b spiegeln P 21
22 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen P = S b P ( ) = S b S ( P) P = S b S ( P) ( ) P S P S b P P S b S P 22
23 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen P = S b P ( ) = S b S ( P) P = S b S ( P) ( ) P S zuerst S b P P P S b S P 23
24 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen P = S b P ( ) = S b S ( P) P = S b S ( P) ( ) P dnn S zuerst S b P P P S b S P 24
25 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen P = S b P ( ) = S b S ( P) P = S b S ( P) ( ) P dnn S zuerst S b P P S b P S b S S P 25
26 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen P = S b P Pfeil-Schreibweise: ( ) = S b S ( P) P = S b S ( P) ( ) P S P S b P P S b S P 26
27 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen b P P' P 27
28 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen b P P' Z P 28
29 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen b P P' Z P Die Abstände von Z sind lle gleich lng. 29
30 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen b P P' Z β β α α P 30
31 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen b Drehwinkel P φ = 2α + 2β P' Winkel von nch b φ 2 = α + β β β α α φ 2 Z P
32 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen b Drehwinkel P φ = 2α + 2β P' Winkel von nch b φ 2 = α + β β β α α φ 2 S b S = R Z,φ Z P 32
33 Zusmmensetzung von Gerdenspiegelungen S b S = R Z,φ Rottion R : Zentrum Z = Schnittpunkt von mit b Drehwinkel φ = 2 ml Winkel von nch b 33
34 Positiver Drehsinn: Gegenuhrzeigersinn 34
35 Positiver Drehsinn: Gegenuhrzeigersinn 35
36 Positiver Drehsinn 36
37 Rundes Kronetz b S b S = R Z,φ 37
38 b S b S = R Z,φ Strtfigur 38
39 b Zwischenbild S b S = R Z,φ 39
40 Endbild b S b S = R Z,φ 40
41 b S b S = R Z,φ Drehwinkel 41
42 Vertuschte Reihenfolge S S b = R? Z, φ 42
43 Vertuschte Reihenfolge b S S b = R? Z, φ Gleiche Strtfigur 43
44 Vertuschte Reihenfolge b S S b = R? Z, φ Zwischenbild bei Spiegelung n b 44
45 Vertuschte Reihenfolge b S S b = R? Z, φ Endbild 45
46 Vertuschte Reihenfolge b S S b = R Z, φ Drehung in der nderen Richtung 46
47 Z φ 2 b R Z,φ = S b S = S b S = S b S 47
48 ' Z φ 2 b R Z,φ = S b S = S b S = S b S 48
49 Z φ 2 b' φ 2 ' b R Z,φ = S b S = S b S = S b S 49
50 b" b' Z φ 2 φ 2 ' b R Z,φ = S b S = S b S = S b S 50
51 b" " b' φ 2 φ 2 ' b Z φ 2 R Z,φ = S b S = S b S = S b S 51
52 Orthogonle Gerden b 52
53 Orthogonle Gerden Urbild b 53
54 Orthogonle Gerden Zwischenbild b 54
55 Orthogonle Gerden b Schlussbild 55
56 Orthogonle Gerden, ndere Reihenfolge Urbild b 56
57 Orthogonle Gerden, ndere Reihenfolge b Zwischenbild 57
58 Orthogonle Gerden, ndere Reihenfolge b Schlussbild 58
59 Prllele Gerden b 59
60 Prllele Gerden Urbild b 60
61 Prllele Gerden Zwischenbild b 61
62 Prllele Gerden Schlussbild b b S b S = T v Trnsltion 62
63 Prllele Gerden Trnsltion v b b S b S = T v Trnsltion 63
64 Prllele Gerden Trnsltion v b b S b S = T v Trnsltion 64
65 Prllele Gerden Trnsltion v b b S b S = T v Trnsltion 65
66 Trnsltion durch Vektor v gegeben. Spiegelgerden? Tv = S b? S? v 66
67 Trnsltion durch Vektor v gegeben. Spiegelgerden? Tv = S b? S? v v 2 b 67
68 Trnsltion durch Vektor v gegeben. Spiegelgerden? Tv = S b? S? v v 2 v 2 b b 68
69 Drei prllele Gerden S c S b S =? b c 69
70 Drei prllele Gerden S c S b S =? B C A b c 70
71 Drei prllele Gerden S c S b S =? B B' C C' A A' b c 71
72 Drei prllele Gerden S c S b S =? B B' B" C C' C" A A' A" b c 72
73 Drei prllele Gerden S c S b S =? B B' B" B C C' C" C A A' A" A Vermutung? b c 73
74 Drei prllele Gerden S c S b S =? B B' B" B C C' C" C A A' A" A Vermutung S c S b S = S d b d c 74
75 Drei prllele Gerden S c S b S =? Vermutung S c S b S = S d Beweis S b S = S c S d S c b d c S c S b S = S c S c S d Id S d 75
76 Drei prllele Gerden S c S b S =? Vermutung S c S b S = S d Beweis S b S = S c S d S c b d c S c S b S = S c S c S d Id S d Gleiche Abstndsvektoren 76
77 Drei prllele Gerden S c S b S =? Vermutung S c S b S = S d Beweis S b S = S c S d S c b d c S c S b S = S c S c S d Id S d Gleiche Abstndsvektoren 77
78 Drei prllele Gerden S c S b S =? Vermutung S c S b S = S d Beweis S b S = S c S d S c b d c S c S b S = S c S c S d Id S d Gleiche Abstndsvektoren 78
79 Drei prllele Gerden S c S b S =? Vermutung S c S b S = S d Beweis S b S = S c S d S c b d c S c S b S = S c S c S d Id S d Gleiche Abstndsvektoren 79
80 Drei prllele Gerden S c S b S =? Vermutung S c S b S = S d Beweis S b S = S c S d S c b d c S c S b S = S c S c S d Id S d Gleiche Abstndsvektoren 80
81 Drei prllele Gerden S c S b S =? Vermutung S c S b S = S d Beweis S b S = S c S d S c b d c S c S b S = S c S c S d Id S d Gleiche Abstndsvektoren 81
82 Drei spezielle Gerden ergeben Schubspiegelung j g h 82
83 Drei spezielle Gerden ergeben Schubspiegelung j g h 83
84 Drei spezielle Gerden ergeben Schubspiegelung j g h 84
85 Drei spezielle Gerden ergeben Schubspiegelung j g h 85
86 Drei spezielle Gerden ergeben Schubspiegelung j Neustrt g h 86
87 Drei spezielle Gerden ergeben Schubspiegelung j g h 87
88 Drei spezielle Gerden ergeben Schubspiegelung j g Ab jetzt ndere Reihenfolge h 88
89 Drei spezielle Gerden ergeben Schubspiegelung j g h 89
90 Drei kopunktle Gerden c b 90
91 Drei kopunktle Gerden c b 91
92 Drei kopunktle Gerden c b 92
93 Drei kopunktle Gerden c b 93
94 Drei kopunktle Gerden c b 94
95 Drei kopunktle Gerden c b Und? 95
96 Drei kopunktle Gerden c d b Spiegelchse d? 96
97 Drei kopunktle Gerden c d b Spiegelchse d? 97
98 Drei kopunktle Gerden c d b Spiegelchse d? 98
99 Drei kopunktle Gerden d b c Vermutung S c S b S = S d Ds Bild knn nicht ngezeigt werden. Dieser Computer verfügt möglicherweise über zu wenig Arbeitsspeicher, um ds Bild zu öffnen, oder ds Bild ist beschädigt. Strten Sie den Computer neu, und öffnen Sie dnn erneut die Beweis S b S = S c S d S c S c S b S = S c S c S d Id S d Spiegelchse d? 99
100 Drei kopunktle Gerden d b c Ds Bild knn nicht ngezeigt werden. Dieser Computer verfügt möglicherweise über zu wenig Arbeitsspeicher, um ds Bild zu öffnen, oder ds Bild ist beschädigt. Strten Sie den Computer neu, und öffnen Sie dnn erneut die Vermutung S c S b S = S d Beweis S b S = S c S d S c S c S b S = S c S Gleiche Winkel c S d Id S d Spiegelchse d? 100
101 Drei kopunktle Gerden d b c Ds Bild knn nicht ngezeigt werden. Dieser Computer verfügt möglicherweise über zu wenig Arbeitsspeicher, um ds Bild zu öffnen, oder ds Bild ist beschädigt. Strten Sie den Computer neu, und öffnen Sie dnn erneut die Vermutung S c S b S = S d Beweis S b S = S c S d S c S c S b S = S c S c S d Id S d Spiegelchse d? 101
102 Drei kopunktle Gerden d b c Ds Bild knn nicht ngezeigt werden. Dieser Computer verfügt möglicherweise über zu wenig Arbeitsspeicher, um ds Bild zu öffnen, oder ds Bild ist beschädigt. Strten Sie den Computer neu, und öffnen Sie dnn erneut die Vermutung S c S b S = S d Beweis S b S = S c S d S c S c S b S = S c S c S d Id S d Spiegelchse d? 102
103 Drei kopunktle Gerden d b c Ds Bild knn nicht ngezeigt werden. Dieser Computer verfügt möglicherweise über zu wenig Arbeitsspeicher, um ds Bild zu öffnen, oder ds Bild ist beschädigt. Strten Sie den Computer neu, und öffnen Sie dnn erneut die Vermutung S c S b S = S d Beweis S b S = S c S d S c S c S b S = S c S c S d Id S d Spiegelchse d? 103
104 Drei kopunktle Gerden d b c Vermutung S c S b S = S d Ds Bild knn nicht ngezeigt werden. Dieser Computer verfügt möglicherweise über zu wenig Arbeitsspeicher, um ds Bild zu öffnen, oder ds Bild ist beschädigt. Strten Sie den Computer neu, und öffnen Sie dnn erneut die Beweis S b S = S c S d S c S c S b S = S c S c S d Id S d Spiegelchse d? 104
105 Drei kopunktle Gerden d b c Vermutung S c S b S = S d Ds Bild knn nicht ngezeigt werden. Dieser Computer verfügt möglicherweise über zu wenig Arbeitsspeicher, um ds Bild zu öffnen, oder ds Bild ist beschädigt. Strten Sie den Computer neu, und öffnen Sie dnn erneut die Beweis S b S = S c S d S c S c S b S = S c S c S d Id S d Déjà vue? Spiegelchse d? 105
106 Drei Gerden in llgemeiner Lge S c S b S =? S b c 106
107 Drei Gerden in llgemeiner Lge S c S b S =? und b drehen um S bis b 1 c S c S b S = S c S b 1 S 1 S b b 1 T 1 c didktischer Tipp: mit Trnsprentfolien zeigen 107
108 Drei Gerden in llgemeiner Lge S c S b S =? und b drehen um S bis b 1 c S c S b S = S c S b 1 S 1 S b 1 T 1 c 108
109 Drei Gerden in llgemeiner Lge S c S b S =? und b drehen um S bis b 1 c b 2 S c S b S = S c S b 1 S 1 S b 1 b 1 und c drehen um T bis b 2 1 T 1 S c S b 1 S = 1 S c 2 S b 2 S 1 Schubspiegelung c c 2 109
110 Drei Gerden in llgemeiner Lge S c S b S =? und b drehen um S bis b 1 c b 2 S c S b S = S c S b 1 S 1 T 1 b 1 und c drehen um T bis b 2 1 S c S b 1 S = 1 S c 2 S b 2 S 1 Schubspiegelung c 2 110
111 Drei Gerden in llgemeiner Lge S c S b S =? und b drehen um S bis b 1 c b 2 S c S b S = S c S b 1 S 1 T 1 b 1 und c drehen um T bis b 2 1 S c S b 1 S = 1 S c 2 S b 2 S 1 Schubspiegelung c 2 111
112 Drei Gerden in llgemeiner Lge S c S b S =? und b drehen um S bis b 1 c b 2 S c S b S = S c S b 1 S 1 S b b 1 b 1 und c drehen um T bis b 2 1 T 1 S c S b 1 S = 1 S c 2 S b 2 S 1 Schubspiegelung S c S b S ist c c 2 eine Schubspiegelung 112
113 Drei Gerden in llgemeiner Lge S c S b S =? und b drehen um S bis b 1 c S c S b S = S c S b 1 S 1 b b 1 und c drehen um T bis b 2 1 S c S b 1 S = 1 S c 2 S b 2 S 1 Schubspiegelung c S c S b S ist eine Schubspiegelung 113
114 Drei Gerden in llgemeiner Lge Demo mit Cbri S c S b S =? und b drehen um S bis b 1 c S c S b S = S c S b 1 S 1 b b 1 und c drehen um T bis b 2 1 S c S b 1 S = 1 S c 2 S b 2 S 1 Schubspiegelung c S c S b S ist eine Schubspiegelung 114
115 Vier Gerden in llgemeiner Lge b c S d S c S b S =? d 115
116 Vier Gerden in llgemeiner Lge C 2 C 1 b c d S d S c S b S Drehung Drehung 116
117 Vier Gerden in llgemeiner Lge b 1 C 2 C 1 1 b c d b 1 durch C 2 S d S c S b S = S d S c S b 1 S 1 Drehung Drehung Drehung Drehung 117
118 Vier Gerden in llgemeiner Lge b 1 C 2 C 1 1 c b 1 durch C 2 S d S c S b S = S d S c S b 1 S 1 Drehung d Drehung Drehung Drehung 118
119 Vier Gerden in llgemeiner Lge b 1 C 2 C 1 c 1 1 c d 1 d c 1 durch C 1 S d S c S b 1 S 1 = S d 1 S c1 S b1 S 1 = S d1 S 1 Drehung Drehung Identität Drehung 119
120 Vier Gerden in llgemeiner Lge b 1 C 2 C 1 c 1 1 d 1 c 1 durch C 1 S d S c S b 1 S 1 = S d 1 S c1 S b1 S 1 = S d1 S 1 Drehung Drehung Identität Drehung 120
121 Vier Gerden in llgemeiner Lge b 1 C 2 C 1 c 1 1 d 1 c 1 durch C 1 S d S c S b 1 S 1 = S d 1 S c1 S b1 S 1 = S d1 S 1 Drehung Drehung Identität c 1 = b 1 Drehung 121
122 Vier Gerden in llgemeiner Lge b 1 C 2 C 1 c 1 C 3 1 d 1 c 1 durch C 1 S d S c S b 1 S 1 = S d 1 S c1 S b1 S 1 = S d1 S 1 Drehung Drehung Identität c 1 = b 1 Drehung 122
123 Vier Gerden in llgemeiner Lge C 2 C 1 C 3 1 d 1 c 1 durch C 1 S d S c S b 1 S 1 = S d 1 S c1 S b1 S 1 = S d1 S 1 Drehung Drehung Identität c 1 = b 1 Drehung 123
124 Vier Gerden in llgemeiner Lge C 3 1 d 1 c 1 durch C 1 S d S c S b 1 S 1 = S d 1 S c1 S b1 S 1 = S d1 S 1 Drehung Drehung Identität c 1 = b 1 Drehung 124
125 Vier Gerden in llgemeiner Lge b c d S d S c S b S ist eine Drehung 125
126 Demo Cbri Vier Gerden in llgemeiner Lge b c d S d S c S b S ist eine Drehung 126
127 Übersicht Eine Gerdenspiegelung Gerdenspiegelung orientierungsumkehrend Zusmmensetzung von zwei Gerdenspiegelungen Rottion Trnsltion orientierungstreu Zusmmensetzung von drei Gerdenspiegelungen Schubspiegelung Gerdenspiegelung orientierungsumkehrend 127
128 Gruppen Unter einer Gruppe verstehen wir eine Menge mit einer ssozitiven inneren Verknüpfung und folgende Eigenschften: Es gibt ein neutrles Element. Zu jedem Element gibt es ein Inverses. Eine kommuttive Gruppe wird uch ls Abelsche Gruppe bezeichnet. 128
129 Beispiele und Gegenbeispiele: Trnsltionen, Zusmmensetzung: belsche Gruppe Isometrien, Zusmmensetzung: Gruppe, nicht belsch Rottionen mit festem Zentrum, Zusmmensetzung: Gruppe Gerdenspiegelungen, Zusmmensetzung: keine Gruppe Dies, obwohl die Gerdenspiegelungen ls Busteine für die Isometrien benutzt werden können. Schubspiegelungen, Zusmmensetzung: keine Gruppe Rottionen, Zusmmensetzung: keine Gruppe (Wrum nicht?) 129
130 Symmetrien des Dreieckes C n m A o B 130
131 Symmetrien des Dreieckes C Drehen n m Id R 120 R 240 A o B 131
132 Symmetrien des Dreieckes C Drehen n m Id R 120 R 240 Spiegeln A o B S m S n S o 132
133 Verknüpfungstbelle C n m Zweite Opertion A o B Id S m S n S o R 120 R 240 Id Id S m S n S o R 120 R 240 Erste Opertion S m S m Id R 240 R 120 S o S n S n S n R 120 Id R 240 S m S o S o S o R 240 R 120 Id S n S m R 120 R 120 S n S o S m R 240 Id R 240 R 240 S o S m S n Id R
134 Verknüpfungstbelle C n m Zweite Opertion A o B Id S m S n S o R 120 R 240 Id Id S m S n S o R 120 R 240 Erste Opertion S m S m Id R 240 R 120 S o S n S n S n R 120 Id R 240 S m S o S o S o R 240 R 120 Id S n S m R 120 R 120 S n S o S m R 240 Id R 240 R 240 S o S m S n Id R
135 Verknüpfungstbelle C n m Zweite Opertion A o B Id S m S n S o R 120 R 240 Id Id S m S n S o R 120 R 240 Erste Opertion S m S m Id R 240 R 120 S o S n S n S n R 120 Id R 240 S m S o S o S o R 240 R 120 Id S n S m R 120 R 120 S n S o S m R 240 Id R 240 R 240 S o S m S n Id R
136 Verknüpfungstbelle C n m Zweite Opertion A o B Id S m S n S o R 120 R 240 Id Id S m S n S o R 120 R 240 Erste Opertion S m S m Id R 240 R 120 S o S n S n S n R 120 Id R 240 S m S o S o S o R 240 R 120 Id S n S m R 120 R 120 S n S o S m R 240 Id R 240 R 240 S o S m S n Id R
137 Verknüpfungstbelle C n m Zweite Opertion A o B Id S m S n S o R 120 R 240 Id Id S m S n S o R 120 R 240 Erste Opertion S m S m Id R 240 R 120 S o S n S n S n R 120 Id R 240 S m S o S o S o R 240 R 120 Id S n S m R 120 R 120 S n S o S m R 240 Id R 240 R 240 S o S m S n Id R
138 Verknüpfungstbelle C n m Zweite Opertion A o B Id S m S n S o R 120 R 240 Id Id S m S n S o R 120 R 240 Erste Opertion S m S m Id R 240 R 120 S o S n S n S n R 120 Id R 240 S m S o S o S o R 240 R 120 Id S n S m R 120 R 120 S n S o S m R 240 Id R 240 R 240 S o S m S n Id R 120 blu: orientierungstreu rot: orientierungsumkehrend 138
139 Krtenspiel 139
140 Verknüpfung zweier Krten 2. Krte 1. Krte 140
141 = 2. Krte 1. Krte 2. Krte 1. Krte Krtenspiel 141
142 2. Krte = 1. Krte 2. Krte 1. Krte Krtenspiel 142
143 Vergleich: dieselben Gruppen isomorphe Gruppen 2. Krte 1. Krte Id S m S n S o R 120 R 240 Id Id S m S n S o R 120 R 240 S m S m Id R 240 R 120 S o S n S n S n R 120 Id R 240 S m S o S o S o R 240 R 120 Id S n S m R 120 R 120 S n S o S m R 240 Id R 240 R 240 S o S m S n Id R
144 Link C A A n m B B C C A o B 144
145 Link C A A n m B B C C A o B Entspricht R
146 Link C A A n m B B C C A o B 146
147 Link C A A n m B B C C A o B Entspricht S o 147
148 Vergleich: dieselben Gruppen isomorphe Gruppen 2. Krte 1. Krte Id S m S n S o R 120 R 240 Id Id S m S n S o R 120 R 240 S m S m Id R 240 R 120 S o S n S n S n R 120 Id R 240 S m S o S o S o R 240 R 120 Id S n S m R 120 R 120 S n S o S m R 240 Id R 240 R 240 S o S m S n Id R 120 Die Einzhl symmetrische Gruppe S 3 148
149 Rottionen beim Dreieck Id R 120 R 240 Id R 120 R
150 Rottionen beim Dreieck Id Id R 120 R 240 Id R 120 R 240 R 120 R 120 R 240 R
151 Rottionen beim Dreieck Id Id R 120 R 240 Id R 120 R 240 R 120 R 120 Id R 240 R 240 Id 151
152 Rottionen beim Dreieck Id Id R 120 R 240 Id R 120 R 240 R 120 R 120 R 240 Id R 240 R 240 Id 152
153 Rottionen beim Dreieck Id Id R 120 R 240 Id R 120 R 240 R 120 R 120 R 240 Id R 240 R 240 Id R
154 Die Dreier-Uhr 0 + (mod 3)
155 Die Dreier-Uhr 0 + (mod 3)
156 Die Dreier-Uhr 0 + (mod 3)
157 Die Dreier-Uhr 0 + (mod 3)
158 Die Dreier-Uhr 0 + (mod 3)
159 Vergleich Id R 120 R (mod 3) Id Id R 120 R R 120 R 120 R 240 Id R 240 R 240 Id R
160 Vergleich Id R 120 R (mod 3) Id Id R 120 R R 120 R 120 R 240 Id R 240 R 240 Id R isomorphe Gruppen 160
161 Vergleich Id R 120 R (mod 3) Id Id R 120 R R 120 R 120 R 240 Id R 240 R 240 Id R isomorphe Gruppen Zyklische Gruppe A 3 161
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