Kreditrisikomaße im Vergleich. Arbeitsbericht Nr. 13/2005. Andre Daldrup. Institut für Wirtschaftsinformatik. Hrsg.: Matthias Schumann

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1 Georg-August-Universität Göttingen Institut für Wirtschaftsinformatik Professor Dr. Matthias Schumann Platz der Göttinger Sieben Göttingen Telefon: Arbeitsbericht Nr. 13/2005 Hrsg.: Matthias Schumann Andre Daldrup Kreditrisikomaße im Vergleich

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3 Inhaltsverzeichnis II Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis...III Tabellenverzeichnis...III Abkürzungsverzeichnis... IV 1 Einleitung Grundlagen Kreditrisiko und Standardrisikokosten Expected Loss und zentrale Kalkulationsparameter Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss Anforderungen an (Kredit-)Risikomaße Varianz und Standardabweichung Lower Partial Moments (LPM) Value at Risk Expected Shortfall (Conditional VaR) Vergleich der Risikomaße Zusammenfassung...25 Literaturverzeichnis...26

4 Abbildungsverzeichnis III Abbildungsverzeichnis Abbildung 2.1-1: Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung von Kreditverlusten... 4 Abbildung 2.1-2: Risikoadjustierte versus risikoindifferente Konditionengestaltung... 5 Abbildung 3.3-1: Darstellung LPM 0 und LPM Abbildung 3.4-1: alternative VaR-Definitionen Abbildung 3.5-1: Expected Shortfall Tabellenverzeichnis Tabelle 3.2-1: Anforderungsanalyse bei Standardabweichung und Varianz Tabelle 3.3-1: Anforderungsanalyse bei Lower Partial Moments Tabelle 3.4-1: Anforderungsanalyse beim Value at Risk Tabelle 3.5-1: Anforderungsanalyse beim Expected Shortfall Tabelle 3.6-1: Gegenüberstellung der alternativen Risikomaße... 24

5 Abkürzungsverzeichnis IV Abkürzungsverzeichnis CE DP EL ES E(X) F LGD LPM LS p r f RR UL VaR VaR a VaR r X Credit Exposure Default Probability Expected Loss bzw. erwarteter Verlust Expected Shortfall Erwartungswert Verteilungsfunktion Loss Given Default Lower Partial Moment Verlustquote Wahrscheinlichkeit risikofreier Zinssatz Recovery Rate Unexpected Loss bzw. unerwarteter Verlust Value at Risk absoluter Value at Risk relativer Value at Risk Verlust 1-α Konfidenzniveau ρ σ Risikomaß Standardabweichung

6 1 Einleitung 1 1 Einleitung Das Kreditgeschäft der Banken ist in den letzten Jahren durch steigende Insolvenzzahlen und sinkende Margen gekennzeichnet. Aus diesem Grund steigen die ökonomischen Anforderungen an Banken, das Kreditrisiko der eingegangenen Geschäfte adäquat zu quantifizieren, um darauf aufbauend die Konditionen für Kredite risikoadäquat bestimmen und die Kreditrisiken direkt steuern zu können. Zusätzlich wird von den Regulierungsbehörden gefordert, dass Banken ihr Kreditrisiko bestimmen und entsprechend mit Risikokapital unterlegen, um der eigenen Insolvenz vorzubeugen. Das Kreditrisiko sollte daher nach Möglichkeit in einer Kennzahl ausgewiesen werden, die das Risiko in Geldeinheiten ausdrückt, um so einen Bezug zum benötigten Risikokapital aufzuzeigen. Das Risikomaß Value at Risk hat sich in den letzten Jahren zum Standardrisikomaß für finanzielle Risiken entwickelt, dessen Verwendung im Bereich des Kreditrisikos nicht gänzlich unumstritten ist, so dass ihm vorgeworfen wird, für Portfoliosteuerung und Portfolio-Optimierungsprobleme nicht geeignet zu sein. Die vorliegende Arbeit zeigt daher verschiedene alternative Risikomaße auf und untersucht, ob für die Kreditrisikoquantifizierung ein alternatives Risikomaß zum Value at Risk existiert, das die aufgezeigten Kritikpunkte beseitigt. In Kapitel 2 werden hierfür zunächst eine geeignete Kreditrisikodefinition gegeben und der Unterschied zwischen erwartetem und unerwartetem Verlust im Rahmen der Konditionenkalkulation für Kredite aufgezeigt. Bevor die alternativen Risikomaße beschrieben und analysiert werden, beginnt Kapitel 3 mit einer Darstellung von Anforderungen, die an ein Kreditrisikomaß gestellt werden sollten. Die Risikomaße werden anschließend miteinander verglichen und auf ihre Anwendbarkeit analysiert, worauf die Arbeit in Kapitel 4 abschließend zusammengefasst wird.

7 2 Grundlagen 2 2 Grundlagen 2.1 Kreditrisiko und Standardrisikokosten Für die Definition des Begriffes Kreditrisiko gilt es in einem ersten Schritt, einen zweckmäßigen allgemeinen Risikobegriff festzulegen. In der Praxis und in der wissenschaftlichen Literatur hat sich bisher noch keine gänzlich einheitliche Begriffsinterpretation herausgebildet. 1 Grundsätzlich können die meisten Ansätze jedoch auf eine ursachenbezogene oder auf eine wirkungsbezogene Auffassung von Risiko zurückgeführt werden. In der ursachenbezogenen Auffassung wird Risiko als Unsicherheit über den Eintritt zukünftiger Ereignisse aufgefasst, wobei ein unvollständiger Informationsstand als Voraussetzung angenommen wird. In dieser Betrachtung können den somit unsicheren Ereignissen subjektive oder objektive (Eintritts-) Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. 2 Die wirkungsbezogene Auffassung stellt die Risikowirkung in den Mittelpunkt der Betrachtung, so dass Risiko als die Gefahr einer negativen Zielverfehlung interpretiert werden kann. 3 Diese beiden Risikoauffassungen können jedoch nicht als unabhängig voneinander angesehen werden, da die wirkungsbezogene Risikoauffassung die ursachenbezogene voraussetzt. 4 Rekurrierend auf die in dieser Arbeit betrachtete finanzwirtschaftliche Problemstellung, wird Risiko gemäß der obigen Betrachtung allgemein als die aus der Unsicherheit über zukünftige Entwicklungen resultierende Gefahr der negativen Abweichung eines tatsächlich erzielten Wertes einer (finanzwirtschaftlichen) Zielgröße von seinem Erwartungswert definiert. 5 Die Fokussierung des Risikos auf ausschließlich negative Abweichungen von einem Referenzwert wird häufig auch als Downside- oder Shortfall-Risiko bezeichnet. 6 Um diese allgemeine Risikodefinition auf die Kreditrisikodefinition zu übertragen, wird zunächst die Bedeutung des Kreditrisikos aufgezeigt. Der Begriff des Kreditrisikos umfasst sowohl das Ausfallrisiko als auch das Bonitätsrisiko. Das Ausfallrisiko drückt hierbei die Gefahr aus, dass ein Kreditnehmer seinen vertragskonformen Zahlungsverpflichtungen aus dem Kreditvertrag nicht oder nur unvollständig nachkommt. 7 Im Rahmen dieser Erläuterung bezeichnet das Ausfallrisiko also die Gefahr der Insolvenz eines Kreditnehmers. Das Bonitätsrisiko bezeichnet demgegenüber die Gefahr einer Bonitätsverschlechterung des Schuldners während der Kreditlaufzeit. Somit ist der Begriff des Bonitätsrisikos umfassender als der des Ausfallrisikos, da der Kreditausfall respektive der Default als Extremfall der Vgl. Völker (2001), S. 33. Vgl. Schulte/Horsch (2002), S. 14. Die Definition des Risikos als ausschließlich negative Zielverfehlung wird häufig auch als Downside- Risiko bezeichnet. Eine positive Zielverfehlung wird demgegenüber als Chance bezeichnet. Vgl. Schulte/Horsch (2002), S. 14 f. Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 21 sowie Kürsten/Straßberger (2004), S Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2000), S Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2000), S. 151.

8 2 Grundlagen 3 Bonitätsverschlechterung angesehen und somit dem Bonitätsrisiko zugeordnet werden kann. 8 Ausfallund Bonitätsrisiko werden daher im Weiteren unter dem Oberbegriff Kreditrisiko subsumiert. Transformiert man abschließend die allgemeine Risikodefinition auf das Kreditrisiko, so bezeichnet es die aus einem unvollständigen Informationsstand resultierende Gefahr der (negativen) Abweichung des tatsächlichen vom erwarteten Zahlungsstrom, der aus einer Forderung entsteht. 9 Intuitiv könnte angenommen werden, dass der erwartete Zahlungsstrom einer Forderung aus dem Nominalvolumen eines Kredites zuzüglich der geforderten Zinszahlungen besteht und somit implizit von einer vollständigen Erfüllung des Kreditvertrages ausgegangen wird. Diese Annahme ist jedoch nicht realitätsnah, da Banken beispielsweise aus Erfahrung wissen, dass bei der Vergabe von vielen Krediten ein bestimmter Prozentsatz ausfallen wird und somit der erwartete Zahlungsstrom aller vergebenen Kredite in der Regel nicht der Summe der vertraglich vereinbarten Zahlungsströme entspricht. Diese aus Erfahrungswerten antizipierbaren Verluste aus Kreditausfällen können anhand statistischer Wahrscheinlichkeiten prognostiziert werden. Folglich können die mit Hilfe dieser Wahrscheinlichkeiten bestimmten Kreditverluste als Erwartungswert der Zufallsvariable Verlust angesehen werden. 10 Dieser so genannte erwartete Verlust respektive Expected Loss (EL) wird bzw. sollte bereits im Vorfeld der Kreditvergabe in die Risikokostenkalkulation des Kreditgeschäftes in Form von Ausfallprämien mit einbezogen werden und wird daher nicht zum eigentlichen Kreditrisiko gezählt. Der in dieser Arbeit verwendete Kreditrisikobegriff bezieht sich gemäß der obigen Definition auf die Verlustüberraschung, d. h. auf den möglichen Verlustbetrag, der über den erwarteten Verlust hinausgeht und als unerwarteter Verlust respektive Unexpected Loss (UL) bezeichnet wird. 11 Wie in Abbildung zu sehen ist, kann der erwartete Verlust bei dieser Betrachtung als Erwartungswert E(x) der Kreditverlustverteilung interpretiert werden. Der unerwartete Verlust stellt demgegenüber die (negative) Abweichung vom Erwartungswert dar. 8 9 Vgl. Schierenbeck (2003a), S Vgl. Knapp (2002), S Vgl. Schierenbeck (2003b), S Vgl. Bröker (2000), S

9 2 Grundlagen 4 erwarteter Verlust/ Expected Loss Wahrscheinlichkeitsdichte unerwarteter Verlust/ Unexpected loss E ( x ) x Kreditverluste (x) Abbildung 2.1-1: Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung von Kreditverlusten 12 Die Abbildung zeigt ergänzend, dass die Wahrscheinlichkeiten für Kreditverluste in der Realität (häufig) deutlich rechtsschief (und nicht normal-) verteilt sind. Diese Rechtsschiefe und Asymmetrie lässt sich ökonomisch dadurch begründen, dass hohe Kreditverluste nur selten, und daher mit niedrigen Wahrscheinlichkeiten eintreten, währenddessen kleinere Verluste höhere Wahrscheinlichkeiten aufweisen. Somit ist es möglich, dass in mehreren (aufeinander folgenden) Jahren der realisierte Kreditverlust geringer ist als der erwartete Kreditverlust E(x). In anderen Jahren kann der tatsächliche den erwarteten Kreditverlust jedoch auch stark übersteigen, so dass der Mittelwert E(x) eine geeignete Kennzahl für den erwarteten Verlust darstellt. 13 Durch die Differenzierung zwischen erwarteten und unerwarteten Verlusten ergibt sich somit die Notwendigkeit der Aufteilung der Risikokosten. Die bereits bei der Kreditvergabe zu berücksichtigenden Standard-Risikokosten sollten in Form von Ausfallprämien den erwarteten Verlust aller Kreditengagements im Durchschnitt abdecken und verringern als Aufwand das ordentliche Betriebsergebnis. 14 Die Risikokosten für den unerwarteten Verlust können als außergewöhnliche Aufwendungen aufgefasst werden und müssen durch entsprechende Eigenkapitalunterlegungen (ökonomisches Kapital) abgesichert werden. 15 Die Standard-Risikokosten können auf unterschiedlichen Ebenen kalkuliert werden. 16 Die Bestimmung auf Einzelkreditnehmerebene stellt die detaillierteste Variante dar, indem für jedes einzelne Kreditgeschäft eine dem Kreditrisiko des Kunden entsprechende Ausfallprämie ermittelt wird. Neben dieser individuellen Berechnung der Standard-Risikokosten können Risikokosten auch auf der Ebene von Rating-Klassen, Geschäftssegmenten oder auf der Ebene des gesamten Kreditgeschäftes ermittelt 12 In Anlehnung an Bröker (2000), S Vgl. Kirmße (2001), S Vgl. Schierenbeck (2003a), S Unerwartete Verluste können in Form von Risikoprämien in die Konditionengestaltung integriert werden. 16 Vgl. Schierenbeck (2003a), S. 312.

10 2 Grundlagen 5 werden. Die auf diesen Ebenen ermittelten und über die Kreditkonditionen weitergegebenen Ausfallprämien sollten die gesamten erwarteten Standard-Risikokosten abdecken. 17 Die Ermittlung auf Gesamtgeschäfts- sowie auf Geschäftssegmentebene weist den Nachteil auf, dass alle bzw. viele Kreditnehmer eine identische Ausfallprämie zugeordnet bekommen, so dass es zu einer Quersubventionierung der schlechten durch die guten Kreditnehmer kommen kann. Bonitätsmäßig bessere Kunden zahlen demnach einen (ihrem Risiko entsprechend) zu hohen Preis für ihren Kredit, während schlechtere Kunden einen zu tiefen Preis bezahlen. 18 Unter diesen Gesichtspunkten stellt eine Standard- Risikokostenkalkulation auf der Ebene von Rating-Klassen eine in Bezug auf den Detaillierungsgrad mindestens zu wählende Vorgehensweise dar. Die folgende Abbildung verdeutlicht abschließend den Unterschied zwischen risikoadjustierter und risikoindifferenter Konditionenkalkulation, wobei die Kurve für die risikoadjustierte Konditionenpolitik aufzeigt, dass eine Kalkulation der Standard-Risikokosten mindestens auf Ratingklassen-Ebene vorgenommen werden sollte, um die oben beschriebene Gefahr der Quersubventionierung zu vermindern. Zinssätze schlechte Risiken mit zu tiefem Preis gute Risiken mit zu hohem Preis Risikolimitierung AAA BBB B- CCC Risiko risikoloser Zinssatz (GKM-Satz/Triple-A Rendite) Zinssatz bei risikoundifferenzierender Konditionspolitik Zinssatz bei risikoadjustierender Konditionspolitik Abbildung 2.1-2: Risikoadjustierte versus risikoindifferente Konditionengestaltung Expected Loss und zentrale Kalkulationsparameter Der für die Bestimmung der Standard-Risikokosten relevante Expected Loss bzw. der erwartete Kreditverlust eines Kreditengagements ergibt sich als Produkt aus der (erwarteten) Ausfallwahrscheinlichkeit (Default Probability, DP) mit dem (erwarteten) Verlustumfang einer Forderung zum Zeitpunkt des 17 Vgl. Oehler/Unser (2002), S Vgl. Schierenbeck (2003a), S Quelle: Schierenbeck (2003a), S. 312.

11 2 Grundlagen 6 Ausfalles (Credit Exposure, CE) und der Verlustquote (Loss Severity, LS). Die Verlustquote wird häufig auch als Loss Given Default (LGD) bezeichnet. 20 (1) EL = DP CE LS Die Loss Severity gibt den Teil des Credit Exposure an, der uneinbringlich ist. Sie wird aus der Differenz von 1 minus der Wiedereinbringungsrate bzw. Recovery Rate (RR) bestimmt. 21 Durch Einsetzen dieses Zusammenhangs in Formel (1) ergibt sich die folgende Bestimmungsgleichung für den Expected Loss. (2) EL = DP CE ( 1 RR) Im Rahmen einer Portfoliobetrachtung lässt sich der erwartete Verlust des Kreditportfolios (EL p ) durch die Summe der Erwartungswerte der einzelnen Kreditpositionen bestimmen. 22 (3) EL P = EL Für i = 1, 2,, N Kreditpositionen ergibt sich (4) = ( DP CE ( RR )) EL 1. P i i i i Der Credit Exposure (CE) bezeichnet hierbei allgemein das Kreditvolumen, welches einem Kreditrisiko ausgesetzt ist. Im klassischen Kreditgeschäft entspricht seine Höhe in der Regel dem Buchwert aller Forderungen gegenüber einem einzelnen Kreditnehmer. 23 Diese Methodik ist durch ihre einfache Anwendbarkeit sowie ihren direkten Bezug zur Rechnungslegung charakterisiert. Zudem gibt sie einen recht guten Einblick in die offenen Positionen eines Schuldners. 24 Bei ökonomischer Betrachtungsweise erscheint der Buchwert jedoch nicht als geeignete Quantifizierungsgröße für den Credit Exposure. 25 Fällt eine Forderung aus, so ist eine Wiederbeschaffung einer äquivalenten Kreditposition nur zu dem im Ausfallzeitpunkt aktuellen Marktwert und nicht zum aktuellen Buchwert möglich. Daher entspricht der Credit Exposure unter Verwendung des Barwertkonzeptes dem aktuellen Betrag der Wiederbeschaffungskosten einer äquivalenten Kreditposition, wobei ein vollständiger Kreditausfall angenommen wird. 26 Die erwartete Rückzahlungsquote bzw. Recovery Rate (RR) bezeichnet den (prozentualen) Anteil des Credit Exposure, der bei Ausfall eines Kreditnehmers an den Gläubiger zurückfließt. 27 In ihrer Höhe wird sie vor allem durch das im Ausfallzeitpunkt noch vorhandene Vermögen des Schuldners sowie durch Kreditsicherheiten und die Rangstellung der Gläubigerposition beeinflusst. 28 Bei Ausfall eines 20 Vgl. Heim/Balica (2001), S. 215 sowie Schuermann (2003), S Vgl. Oehler/Unser (2002), S Vgl. Ong (2000), S Vgl. Knapp/Hamerle (1999), S Vgl. Bröker (2000), S Vgl. Schierenbeck (2003a), S Vgl. Bröker (2000), S Vgl. Ong (2000), S Vgl. auch im Folgenden Schierenbeck (2003a), S. 328 f.

12 2 Grundlagen 7 Schuldners kann der Gläubiger durch die Verwertung ggf. vorhandener Sicherheiten die Kreditverluste reduzieren und im optimalen Fall sogar gänzlich vermeiden. Als Wert für die gestellten Sicherheiten sollte möglichst der nachhaltig erzielbare Nettoerlös bei Sicherheitenverwertung angesetzt werden. Recovery Rates lassen sich in der Praxis nur schwer bestimmen. 29 Aus diesem Grund werden sie häufig anhand von historischen Daten als Mittelwert respektive Median bestimmt. Aus pragmatischen Gründen werden die Recovery Rates jedoch selten für einzelne Kreditengagements, sondern in der Regel für Risikoklassen ermittelt. Hierbei wird die Annahme getroffen, dass sie innerhalb einer Risikoklasse konstant sind. Eine weitere Alternative zur Bestimmung von Recovery Rates (auch für einzelne Engagements) liegt in deren Schätzung auf Basis einer Beta-Verteilung. 30 Die erwartete Ausfallrate (Ausfallwahrscheinlichkeit) bzw. Default Probability (DP) gibt die Wahrscheinlichkeit des Ausfalles bzw. der vollständigen oder partiellen Zahlungsunfähigkeit eines Schuldners an. Im Gegensatz zum Credit Exposure und der Recovery Rate, die sich auf einzelne Kreditpositionen beziehen, kann die Ausfallwahrscheinlichkeit eindeutig der Ebene des Kreditnehmers zugeordnet werden, da im Normalfall nicht eine einzelne Forderung, sondern ein Schuldner mit sämtlichen Forderungen ausfällt. 31 Die Default Probability von Kreditnehmern kann nicht direkt gemessen werden, sondern muss geschätzt werden. 32 Der einfachste Ansatz zu ihrer Schätzung besteht darin, die aus Vergangenheitsdaten ermittelte Ausfallrate, die der relativen Ausfallhäufigkeit einer Risiko- bzw. Rating- Klasse entspricht, mit der Ausfallwahrscheinlichkeit gleichzusetzen. 33 Eine weitere Möglichkeit der Bestimmung der Ausfallwahrscheinlichkeit besteht in der Verwendung von statistischen Verfahren wie z. B. Logit- oder Probit-Regressionen Vgl. Rohmann (2000), S Vgl. Altman et al. (2002), S Vgl. Schierenbeck (2003a), S Vgl. Rohmann (2000), S Vgl. auch im Folgenden Oehler/Unser (2002), S. 259 f. 34 Vgl. Huschens (2004), S. 2. Für ein Beispiel siehe Daldrup/Gehrke/Schumann (2004).

13 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 8 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss Nachdem im vorigen Abschnitt der unerwartete Kreditverlust als Kreditrisiko identifiziert sowie die Notwendigkeit aufgezeigt wurde, den erwarteten Kreditverlust in Form von Ausfallprämien in die Konditionenpolitik bei der Kreditvergabe zu integrieren, behandelt das folgende Kapitel verschiedene Risikomaße zur Quantifizierung des unerwarteten Verlustes. In einem ersten Schritt werden Anforderungen, die an diese Kennzahlen im Bereich der Kreditrisikoquantifizierung gestellt werden, erarbeitet und die Risikomaße anhand dieser analysiert. Abschließend folgt ein Vergleich der Kennzahlen, wobei sich der Schwerpunkt des Vergleichs auf den Value at Risk und den Expected Shortfall konzentriert. 3.1 Anforderungen an (Kredit-)Risikomaße Im Allgemeinen werden Risikokennzahlen bzw. Risikomaße verwendet, um Risiko quantifizieren und darauf aufbauend Steuerungsmaßnahmen vornehmen zu können. 35 Speziell für Banken ist die quantitative Messung des Kreditrisikos von höchster Relevanz. Neben dem grundlegenden Ziel mittels der Risikoquantifizierung durch Risikomaße existenzgefährdende Risiken zu erkennen, sind Banken zudem durch aufsichtsrechtliche Bestimmungen verpflichtet, das Kreditrisiko zu bestimmen und es zur Sicherung ihrer eigenen Zahlungsfähigkeit mit Eigenkapital zu unterlegen. Des Weiteren ist die Kreditrisikoquantifizierung die Voraussetzung für eine nach dem jeweils eingegangenen Risiko differenzierenden Bepreisung sowie für eine risikoorientierte Steuerung der Kreditvergabe auf Portfolioebene. Zur Quantifizierung des Kreditrisikos muss daher ein Risikomaß verwendet werden, dass die Höhe des Risikos adäquat wiedergibt. Allgemein kann das Risiko in Form einer Wahrscheinlichkeitsdichte- oder Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable dargestellt werden. 36 Die Repräsentation des Risikos in einer solchen Form ist jedoch nicht sehr operational und nachvollziehbar, so dass eine Verdichtung der Informationen in wenige bzw. eine Maßzahl erfolgen sollte, was allerdings prinzipiell mit einem Informationsverlust einhergeht. 37 Gemäß der obigen Risiko- und Kreditrisikodefinition wird die Höhe des (Kredit-)Risikos durch das Ausmaß der Zielverfehlung, also durch das Ausmaß der Abweichung vom Erwartungswert, sowie den jeweils zuzurechnenden Wahrscheinlichkeiten determiniert. Aus diesem Grund sollten Kreditrisikomaße einerseits Aussagen über die Eintrittswahrscheinlichkeiten und andererseits Aussagen über die Risikohöhe zulassen. 38 Zusätzlich sollte das gewählte Risikomaß leicht zu interpretieren sein und daher zum einfachen Verständnis in Geldeinheiten ausgedrückt werden Vgl. Kürsten/Straßberger (2004), S Vgl. Oehler/Unser (2002), S Vgl. Völker (2001), S Vgl. Schulte/Horsch (2002), S Vgl. Rohmann (2000), S. 31.

14 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 9 Aufgrund der alleinigen Betrachtung von negativen Abweichungen vom erwarteten Verlust und der aufsichtsrechtlichen Verpflichtung zur Unterlegung des unerwarteten Verlustes mit Eigenkapital, stellt eine erste Anforderung an Risikomaße daher die Möglichkeit der direkten Messung des ökonomischen Risikos dar. 40 D. h. das Risikomaß sollte das Verlustpotenzial aufzeigen, welches mit ökonomischem Kapital zu unterlegen ist. Zusätzlich ist es für eine risikoorientierte Steuerung des Kreditportfolios notwendig, dass das Risikomaß ergänzend als Zielgröße von Optimierungsproblemen verwendet werden kann. In dieser Arbeit liegt der Fokus zwar ausschließlich auf der Quantifizierung des Kreditrisikos, bei der Wahl des Risikomaßes sollte allerdings von der Bestimmung von Marktpreisrisiken (und operationellen Risiken) nicht vollständig abstrahiert werden. Im Rahmen einer Gesamtbanksteuerung wird eine integrierte Risikomessung gefordert, bei der mithilfe eines Risikomaßes sowohl Marktpreis- als auch Kreditrisiken quantifiziert werden können. Das zu wählende Risikomaß muss daher für eine integrierte Risikomessung unterschiedlicher Risikoarten geeignet sein. Bei der Berücksichtigung verschiedener Risikoarten stellt sich implizit die Notwendigkeit dar, dass das Risikomaß optimalerweise zur Risikosteuerung eines Bankportfolios verwendet werden kann, wobei das Risikomaß hier als Grundlage für eine portfolio-übergreifende Risikosteuerung geeignet sein sollte. Gemäß dieser Anforderung haben Artzner et al. vier Axiome formuliert, die ein Risikomaß im Rahmen der Risikosteuerungsmöglichkeit erfüllen sollte. Risikomaße, die diesen Eigenschaften entsprechen werden als kohärente Risikomaße bezeichnet. 41 Bei der Formulierung der vier Axiome gehen Artzner et al. davon aus, dass es im Rahmen des Risikomanagements notwendig ist, zwischen akzeptablen und nicht akzeptablen Portfolios differenzieren zu können. Nicht akzeptable Portfolios sind durch ein zu hohes Risiko charakterisiert, wobei unter zu hohem Risiko ein zu niedriger Portfoliowert zum prognostizierten Zeitpunkt verstanden wird. 42 Diese Differenzierung verstehen die Autoren bereits als grobe Risikomessung, indem sie in einem ersten Schritt die Menge der akzeptierten Portfoliowerte, bestehend aus allen Portfoliopositionen mit einem akzeptablen zukünftigen Wert, bestimmen. 43 In die weitere Betrachtung gehen ausschließlich die nicht akzeptablen Positionen ein, für die jeweils der kleinste Kapitalbetrag gesucht wird, der in Kombination mit der untersuchten Position den minimalen (gerade) akzeptablen Wert ergibt. Entsprechend dieser Überlegungen definieren Artzner et al. ein Risikomaß wie folgt: 44 Der minimale Kapitaleinsatz, der benötigt wird, um aus einer nicht akzeptablen Position durch Investition in andere (finanzwirtschaftliche) Instrumente und deren Kombination mit der betrachteten Position eine gerade akzeptable Position zu generieren, wird als Risikomaß bezeichnet. Formal bezeichnet ein kohärentes Risikomaß ρ eine Abbildung, die jedem Portfolio mit dem zukünftigen Wert X eine Zahl ρ(x) zuweist 45 und die folgenden vier Eigenschaften erfüllt: Vgl. auch im Folgenden Theiler (2002), S Vgl. Artzner et al. (1997) und Artzner et al. (1999). 42 Vgl. Theiler (2002), S Vgl. Artzner et al. (1999), S Vgl. Artzner et al. (1999), S Vgl. Artzner et al. (1997), S. 68 sowie Theiler (2002), S. 72.

15 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 10 (1) Subadditivität: Die Subadditivitäts-Eigenschaft fordert von einem Risikomaß, dass das Risiko eines Portfolios, bestehend aus zwei Positionen, stets kleiner oder gleich der Summe der Einzelrisiken der zwei Positionen 47 ist. Dieses Axiom berücksichtigt den Diversifikationseffekt im Portfoliokontext, so dass durch die Hinzunahme einer Position Y in das Portfolio X das Portfoliorisiko maximal um das Einzelrisiko von Y ansteigt. Es gilt daher: ( X Y ) ρ( X ) ρ( Y ) ρ + +. (2) Positive Homogenität: Das Homogenitäts-Axiom fordert, dass das Risiko proportional zu einem positiven Faktor steigt. D. h. eine Position, die den t-fachen Wert aufweist, beinhaltet auch das t-fache Risiko, so dass gilt: ( t X ) = t ρ( X ), t > 0 ρ. (3) Monotonie: Die Monotonie-Eigenschaft besagt, dass das Risiko eines Portfolios X stets höher ist als bei einem Portfolio Y, wenn der Wert von X in jedem möglichen Zustand immer kleiner ist als der Wert von Y. 48 X weist damit aufgrund des jeweils höheren Verlustpotenzials ein größeres Risiko auf als Y. 49 Mit der Erfüllung der Monotonie-Eigenschaft wird zudem sichergestellt, dass ein kohärentes Risikomaß mit dem Prinzip der stochastischen Dominanz ersten Grades vereinbar ist. 50 In diesem Axiom wird somit die (ökonomische) Risikodefinition berücksichtigt, die ausschließlich negative Abweichungen als Risiko betrachtet. 51 Es gilt somit: ( X ) ρ( Y ) ρ, falls X Y (4) Translationsinvarianz: Wenn zu einem vorhandenen Portfolio X für die betrachtete Haltedauer zusätzlich ein Geldbetrag n zu einem risikofreien Zinssatz r f investiert wird, so verringert sich das Risiko des Portfolios um den Betrag n. ( X + ( + r f ) n) = ρ( X ) n ρ 1 Das Axiom der Translationsinvarianz unterstreicht die Definition des Risikomaßes als mindestens zu investierenden Kapitalbetrag, um aus einer nicht akzeptablen Position eine akzeptable zu generieren. Bei der Investition eines Anlagebetrages Z in Höhe des vorhande- 46 Vgl. auch im Folgenden Artzner et al. (1997), S. 68, Artzner et al. (1999), S , Kürsten/Straßberger (2004), S. 206 sowie Theiler (2002), S In diesem Punkt wird das einer Einzelposition inhärente Risiko betrachtet, nicht sein Risikobeitrag im Portfoliokontext. 48 Vgl. Denault (2001), S Vgl. Albrecht (2003), S. 13 f. 50 Vgl. Baule (2004), S Vgl. Theiler (2002), S. 73.

16 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 11 nen Risikopotenzials der bestehenden Position X ( Z ρ( X )) = zum risikofreien Zinssatz r f, neutralisiert die Hinzunahme der risikofreien Position das Risiko der Ursprungs-Position und stellt damit implizit das Risikodeckungspotenzial dar. 52 ρ ( X + ( 1 + r ) Z ) = ρ( X + ( 1+ r ) ρ( X )) = ρ( X ) ρ( X ) = 0 f f Erfüllt ein Risikomaß die Axiome der Subadditivität und der Positiven Homogenität, so ist das Risikomaß konvex. Die Konvexität garantiert die Lösbarkeit von (Risiko-/Rendite-)Portfolio-Optimierungen, so dass für jedes Risikoniveau ein optimales Risiko-/Rendite-Portfolio gefunden werden kann. 53 Die Konvexitätsanforderung an ein Risikomaß entspricht damit implizit der oben angesprochenen Anforderung der Verwendung des Risikomaßes als Zielgröße für Optimierungsprobleme. Zusammenfassend sollte ein Risikomaß zur Kreditrisikoquantifizierung die folgenden Anforderungen erfüllen: leichte Interpretierbarkeit, Möglichkeit zur direkten Messung des ökonomischen Risikos, Verwendung als Zielgröße für Optimierungsprobleme, Möglichkeit der integrierten Risikomessung unterschiedlicher Risikoarten, Verwendung zur Risikosteuerung eines Bankportfolios sowie Kohärenz. In den folgenden Abschnitten werden verschiedene Risikomaße dargestellt und auf die Erfüllung der gestellten Anforderungen untersucht. 3.2 Varianz und Standardabweichung Ein in der finanzwirtschaftlichen Theorie und Praxis stark verbreitetes und auch aus der Statistik bekanntes Risikomaß ist die Varianz (bzw. Standardabweichung). 54 Diese Kennzahl stellt ein Streuungsmaß dar, das die Dispersion vom Erwartungswert misst. Allgemein wird der Erwartungswert E(X), die Varianz und die Standardabweichung (σ), als quadratische Wurzel der Varianz, gemäß der folgenden Formeln für diskrete bzw. stetige Zufallsvariablen ermittelt. 55 (5) E X ) = N ( x i p i (6) Varianz = ( x E( x) ) i= 1 N i= 1 2 i p i 52 Vgl. Artzner et al. (1999), S. 209 und Theiler (2002), S Vgl. auch für die hierzu geltenden Voraussetzungen Theiler (2002), S. 73 und Theiler (2001), S Vgl. Oehler/Unser (2002), S Vgl. Schierenbeck (2003b), S. 203, Hahn/Pfingsten/Wagner (2001), S. 277 f., Völker (2001), S. 41 sowie Rohmann (2000), S. 180 f.

17 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 12 = dxi (7) E ( X ) = xi f ( xi ) dxi (8) ( ( ) ) 2 Varianz x ( ) i E x f xi (9) σ = Varianz. x i bezeichnet hierbei die möglichen Werteausprägungen und p i die jeweils zugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten. Die Varianz quantifiziert die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert, wobei sie ein zweiseitiges bzw. symmetrisches Risikomaß darstellt, d.h. es werden sowohl negative als auch positive Abweichungen vom Erwartungswert quantifiziert. 56 Diese Risikoquantifizierung entspricht jedoch nicht der aufgezeigten Risikodefinition, in der ausschließlich negative Abweichungen vom Mittelwert betrachtet werden. Lediglich unter der unrealistischen Annahme von normalverteilten Kreditverlusten könnte das Kreditrisiko anhand von symmetrischen Kennzahlen angemessen quantifiziert werden. Für asymmetrische Verteilungen sind Varianz und Standardabweichung jedoch ungeeignet, 57 und sie erfüllen daher auch nicht die Anforderung, das ökonomische Risiko direkt messen zu können. 58 Des Weiteren ist die Varianz kein leicht zu interpretierendes Risikomaß unter dem Gesichtspunkt, dass das Risiko nicht in Geldeinheiten, sondern bei Verlustbetrachtungen in Geldeinheiten zum Quadrat angegeben wird. In diesem Fall werden der erwartete und der unerwartete Verlust in unterschiedlichen Maßeinheiten angegeben, was eine Vergleichbarkeit bzw. Interpretation der Ergebnisse erschwert. 59 Die Standardabweichung als Wurzel der Varianz stellt ein in Ansätzen leichter zu interpretierendes Risikomaß dar, da das Kreditrisiko in Geldeinheiten ausgedrückt werden kann, bzw. erwarteter und unerwarteter Verlust die gleiche Maßeinheit aufweisen. 60 Hierbei gilt es jedoch zu berücksichtigen, dass die Standardabweichung kaum über eine eigenständige Interpretation im Sinne von zu unterlegendem Risikokapital verfügt, sondern sie gibt lediglich einen Anhaltspunkt für die Streuung der Verluste. 61 Standardabweichung und Varianz sind zwar positiv homogen 62, aber nur unter der Bedingung von normalverteilten Zufallsvariablen subadditiv 63 und stellen damit bei allgemeiner Betrachtung keine konvexen Risikomaße dar. Sie eignen sich daher nicht zur Portfoliooptimierung und steuerung im Kreditrisikomanagement, da sie zudem aufgrund ihrer Symmetrieeigenschaft die bei Kreditverlusten vorherrschenden asymmetrischen Verteilungen nicht vollständig beschreiben können und daher für die Optimierung ungeeignet sind. Im Rahmen einer Portfoliosteuerung können sie daher zu falschen Steuerungsentscheidungen führen Vgl. Goovaerts/Kaas/Dhaene (2002), S. 1 sowie Theiler (2002), S Gemäß der Risikodefinition wäre die untere Semivarianz besser geeignet, bei der die mittlere quadratische Abweichung für die Werteausprägungen (einer Verlustverteilung) ermittelt wird, die größer als der Erwartungswert sind. Vgl. Kürsten/Straßberger (2004), S Vgl. Wehrspohn (2001), S. 582 sowie Hahn/Pfingsten/Wagner (2001), S Vgl. Albrecht/Maurer (2002), S Eine sinnvolle Interpretation ist hier jedoch auch nur für den Fall normalverteilter Verluste möglich. 61 Vgl. Wehrspohn (2001), S Vgl. Theiler (2002), S Vgl. Acerbi/Nordio/Sirtori (2001), S Vgl. Wehrspohn (2001), S. 583 und S. 588.

18 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 13 Varianz und Standardabweichung zählen auch nicht zu den kohärenten Risikomaßen, da neben der Eigenschaft der Subadditivität auch die Eigenschaft der Monotonie durch die Berücksichtigung von positiven und negativen Abweichungen vom erwarteten Verlust verletzt wird. 65 Letztendlich lassen sich die beiden Risikomaße aufgrund der restriktiven Festlegung auf eine Normalverteilung auch nicht für die Messung unterschiedlicher Risikoarten verwenden. Zwar sind sie in der Lage Marktpreisrisiken, für die in der Regel einer Normal- bzw. Lognormalverteilung unterstellt wird, zu quantifizieren, wie jedoch gezeigt wurde, sind sie ungeeignet Kreditrisiken adäquat zu messen. Zusammenfassend zeigt die folgende Tabelle, welche Anforderungen an Risikomaße für die Kreditrisikoquantifizierung durch die Standardabweichung bzw. Varianz erfüllt werden. Anforderung Standardabweichung Varianz leichte Interpretierbarkeit (+) - direkte Messung des ökonomischen Risikos - - Integrierte Risikomessung unterschiedlicher Risikoarten - - Zielgröße für Optimierungsprobleme - - Verwendung zur Risikosteuerung eines Bankportfolios - - Kohärenz - - Tabelle 3.2-1: Anforderungsanalyse bei Standardabweichung und Varianz 3.3 Lower Partial Moments (LPM) Lower Partial Moments (LPM) zählen zu den so genannten Downside-Risikomaßen und betrachten ausschließlich den Verlustbereich einer Verteilung, also den Teil der Wahrscheinlichkeitsverteilung, der (bei Verlustbetrachtung) über einem vorher zu spezifizierenden Referenzwert liegt. 66 Die allgemeine Definition von Lower Partial Moments (LPM n (z)) der Ordnung n 0 für den Fall einer stetigen Zufallsvariable X mit Dichtefunktion f(x) und einem zu spezifizierenden Referenzwert z als Verlustschranke lautet bei Verlustbetrachtung: 67 z n (10) LPM ( z) = ( x z) f ( x) n dx Bei einer diskreten Zufallsvariable X mit den Ausprägungen x 1,, x k und den Eintrittswahrscheinlichkeiten p 1,, p k ergibt sich der LPM der Ordnung n 0 gemäß Gleichung (11). I z (x) stellt eine Indikatorfunktion dar, wobei I z (x)=1 für x>z und ansonsten I z (x)=0 gilt. 68 n n (11) LPM ( z) = ( x z) p = ( x z) p I ( x ) n xi > z i i i i z i 65 Vgl. Theiler (2002). S Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 22, Kürsten/Straßberger (2004), S. 204 und Völker (2001), S Vgl. Fishburn (1977), S. 116, Albrecht (2001), S. 1 und Wittrock (1995), S Vgl. Albrecht (2001), S. 1, Eftekhari (1998), S. 646 und Hahn/Pfingsten/Wagner (2001), S. 279.

19 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 14 Anhand dieser Definition lassen sich unzählige LPM definieren, sinnvoll ökonomisch interpretieren lassen sich jedoch nur LPM der Ordnung null bis zwei. 69 Der LPM nullter Ordnung (LPM 0 ) wird auch als Shortfall-Risiko oder Downside-Wahrscheinlichkeit bezeichnet und misst die Wahrscheinlichkeit, dass ein Verlust eintritt, der den Referenzverlust übersteigt. Das Ausmaß der Referenzwertverfehlung bleibt hierbei jedoch unberücksichtigt. 70 Der LPM 1, oder auch Target Shortfall bzw. Downside-Erwartungswert, zeigt dagegen die durchschnittliche negative Abweichung vom Referenzwert an. Diese Betrachtung impliziert, dass Verluste, die kleiner als der Referenzverlust sind eine negative Abweichung von null aufweisen. Bei n = 2 misst der LPM 2, als so genannte Downside-Varianz, die mittlere quadrierte negative Abweichung vom Referenzwert, so dass größere Abweichungen stärker berücksichtigt werden als kleine. Wird als Referenzwert der Erwartungswert der Verteilung verwendet, so entspricht der LPM 2 der Semivarianz. Die Downside- Standardabweichung ergibt sich aus der Wurzel der Downside-Varianz. 71 Wahrscheinlichkeitsdichte LPM 0 0 z E ( x i > z ) Kreditverluste (x) LPM 1 72 Abbildung 3.3-1: Darstellung LPM 0 und LPM 1 Die Downside-Wahrscheinlichkeit (LPM 0 ) wird in Abbildung durch die Fläche unter der Dichtefunktion ab dem Referenzwert z dargestellt. Der LPM 1 zeigt den Erwartungswert der möglichen Überschreitungen des Referenzwertes z an. Durch die ausschließliche Betrachtung von negativen Abweichungen von einem Referenzwert (Erwartungswert) unterstützen die LPM die oben angegebene Risikodefinition. Für den LPM 0 lässt sich festhalten, dass er als Ausfallwahrscheinlichkeit zwar leicht zu interpretieren ist und das ökonomische Risiko in Form einer Wahrscheinlichkeit widerspiegelt, das Kreditrisiko dabei jedoch nicht in Geldeinheiten ausdrückt. Die letztgenannte Anforderung wird durch LPM 1 und LPM 2 (nur in Form der Downside- 69 Vgl. Oehler/Unser (2002), S Vgl. auch im Folgenden Völker (2001), S. 48 f. und Eftekhari (1998), S Vgl. Albrecht (2003), S In Anlehnung an Hollidt (1999), S. 11.

20 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 15 Standardabweichung) jedoch in Ansätzen erfüllt. Eine allgemeingültige Interpretation als zu unterlegendes Risikokapital ist hier allerdings ebenfalls kaum gegeben. Aufgrund der Eigenschaft, dass alle LPM-Maße in Abhängigkeit von alternativen Referenzwerten für beliebige Verteilungen bestimmt werden können, und zudem in der Lage sind Asymmetrien der Verteilungen zu berücksichtigen, eignen sich diese Risikomaße zur Quantifizierung verschiedener Risikoarten. 73 Zur Überprüfung, ob sich LPM n (z) als Zielgröße für Optimierungsprobleme eignen, gilt es das Risikomaß auf Konvexität zu untersuchen. Wie in Abschnitt 3.1 bereits aufgezeigt wurde, ist ein Risikomaß konvex, wenn es subadditiv und positiv homogen ist. Der LPM n (z) ist nur subadditiv bei positiven Referenzwerten ( z R + ) und bei Exponenten n, die größer als null und kleiner/gleich eins sind ( 0 < n 1). 74 Bei ausschließlicher Betrachtung ganzzahliger Exponenten n, erfüllt also nur der LPM 1 bei positiven Referenzwerten die Anforderung der Subadditivität. Positive Homogenität erfüllen die LPM n (z) nur bei z = 0 und bei n = 1, so dass nur der LPM 1 bei einem Referenzwert in Höhe von null positiv homogen ist. Für den allgemeinen Fall der LPM n (z) lässt sich also keine Konvexität dieser Risikomaße nachweisen, so dass sie keine gute Zielgröße für Optimierungsprobleme darstellen. Des Weiteren stellen LPM n (z) keine kohärenten Risikomaße dar, da sie neben den beiden letztgenannten Anforderungen auch nicht den Anforderungen der Monotonie und der Translationsinvarianz genügen. Während die Translationsinvarianz durch keinen LPM n (z) erfüllt wird, wird die Monotonie- Eigenschaft lediglich durch den LPM nullter Ordnung verletzt. 75 Aufgrund der fehlenden Kohärenz- Eigenschaft der LPM n (z) sind sie für eine Risikosteuerung gemäß dem Axiomensystem von Artzner et al. ungeeignet. Die folgende Tabelle fasst die Untersuchung der LPM n (z) abschließend zusammen. Anforderung LPM n>2 (z) LPM 0 LPM 1 LPM 2 leichte Interpretierbarkeit - (+) + (+) direkte Messung des ökonomischen Risikos - (+) + (+) Integrierte Risikomessung unterschiedlicher Risikoarten Zielgröße für Optimierungsprobleme Verwendung zur Risikosteuerung eines Bankportfolios Kohärenz Tabelle 3.3-1: Anforderungsanalyse bei Lower Partial Moments 3.4 Value at Risk Das Risikomaß Value at Risk 76 zählt zu den Downside-Risikomaßen und betrachten damit, wie die LPM n (z), ausschließlich die Verlustseite der Verteilung. Die VaR-Methodik wurde anfänglich aus- 73 Vgl. Wittrock (1995), S Vgl. auch im Folgenden Barbosa/Ferreira (2004), S Für die mathematischen Beweise sei auf Barbosa/Ferreira (2004), S verwiesen. 76 Im Rahmen des Kreditmanagements wird der VaR auch als Credit Value at Risk bezeichnet.