Kreditrisikomaße im Vergleich. Arbeitsbericht Nr. 13/2005. Andre Daldrup. Institut für Wirtschaftsinformatik. Hrsg.: Matthias Schumann

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kreditrisikomaße im Vergleich. Arbeitsbericht Nr. 13/2005. Andre Daldrup. Institut für Wirtschaftsinformatik. Hrsg.: Matthias Schumann"

Transkript

1 Georg-August-Universität Göttingen Institut für Wirtschaftsinformatik Professor Dr. Matthias Schumann Platz der Göttinger Sieben Göttingen Telefon: Arbeitsbericht Nr. 13/2005 Hrsg.: Matthias Schumann Andre Daldrup Kreditrisikomaße im Vergleich

2 Copyright: Institut für Wirtschaftsinformatik, Abteilung Wirtschaftsinformatik II, Georg-August-Universität Göttingen. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urhebergesetzes ist ohne Zustimmung des Herausgebers unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Alle Rechte vorbehalten.

3 Inhaltsverzeichnis II Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis...III Tabellenverzeichnis...III Abkürzungsverzeichnis... IV 1 Einleitung Grundlagen Kreditrisiko und Standardrisikokosten Expected Loss und zentrale Kalkulationsparameter Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss Anforderungen an (Kredit-)Risikomaße Varianz und Standardabweichung Lower Partial Moments (LPM) Value at Risk Expected Shortfall (Conditional VaR) Vergleich der Risikomaße Zusammenfassung...25 Literaturverzeichnis...26

4 Abbildungsverzeichnis III Abbildungsverzeichnis Abbildung 2.1-1: Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung von Kreditverlusten... 4 Abbildung 2.1-2: Risikoadjustierte versus risikoindifferente Konditionengestaltung... 5 Abbildung 3.3-1: Darstellung LPM 0 und LPM Abbildung 3.4-1: alternative VaR-Definitionen Abbildung 3.5-1: Expected Shortfall Tabellenverzeichnis Tabelle 3.2-1: Anforderungsanalyse bei Standardabweichung und Varianz Tabelle 3.3-1: Anforderungsanalyse bei Lower Partial Moments Tabelle 3.4-1: Anforderungsanalyse beim Value at Risk Tabelle 3.5-1: Anforderungsanalyse beim Expected Shortfall Tabelle 3.6-1: Gegenüberstellung der alternativen Risikomaße... 24

5 Abkürzungsverzeichnis IV Abkürzungsverzeichnis CE DP EL ES E(X) F LGD LPM LS p r f RR UL VaR VaR a VaR r X Credit Exposure Default Probability Expected Loss bzw. erwarteter Verlust Expected Shortfall Erwartungswert Verteilungsfunktion Loss Given Default Lower Partial Moment Verlustquote Wahrscheinlichkeit risikofreier Zinssatz Recovery Rate Unexpected Loss bzw. unerwarteter Verlust Value at Risk absoluter Value at Risk relativer Value at Risk Verlust 1-α Konfidenzniveau ρ σ Risikomaß Standardabweichung

6 1 Einleitung 1 1 Einleitung Das Kreditgeschäft der Banken ist in den letzten Jahren durch steigende Insolvenzzahlen und sinkende Margen gekennzeichnet. Aus diesem Grund steigen die ökonomischen Anforderungen an Banken, das Kreditrisiko der eingegangenen Geschäfte adäquat zu quantifizieren, um darauf aufbauend die Konditionen für Kredite risikoadäquat bestimmen und die Kreditrisiken direkt steuern zu können. Zusätzlich wird von den Regulierungsbehörden gefordert, dass Banken ihr Kreditrisiko bestimmen und entsprechend mit Risikokapital unterlegen, um der eigenen Insolvenz vorzubeugen. Das Kreditrisiko sollte daher nach Möglichkeit in einer Kennzahl ausgewiesen werden, die das Risiko in Geldeinheiten ausdrückt, um so einen Bezug zum benötigten Risikokapital aufzuzeigen. Das Risikomaß Value at Risk hat sich in den letzten Jahren zum Standardrisikomaß für finanzielle Risiken entwickelt, dessen Verwendung im Bereich des Kreditrisikos nicht gänzlich unumstritten ist, so dass ihm vorgeworfen wird, für Portfoliosteuerung und Portfolio-Optimierungsprobleme nicht geeignet zu sein. Die vorliegende Arbeit zeigt daher verschiedene alternative Risikomaße auf und untersucht, ob für die Kreditrisikoquantifizierung ein alternatives Risikomaß zum Value at Risk existiert, das die aufgezeigten Kritikpunkte beseitigt. In Kapitel 2 werden hierfür zunächst eine geeignete Kreditrisikodefinition gegeben und der Unterschied zwischen erwartetem und unerwartetem Verlust im Rahmen der Konditionenkalkulation für Kredite aufgezeigt. Bevor die alternativen Risikomaße beschrieben und analysiert werden, beginnt Kapitel 3 mit einer Darstellung von Anforderungen, die an ein Kreditrisikomaß gestellt werden sollten. Die Risikomaße werden anschließend miteinander verglichen und auf ihre Anwendbarkeit analysiert, worauf die Arbeit in Kapitel 4 abschließend zusammengefasst wird.

7 2 Grundlagen 2 2 Grundlagen 2.1 Kreditrisiko und Standardrisikokosten Für die Definition des Begriffes Kreditrisiko gilt es in einem ersten Schritt, einen zweckmäßigen allgemeinen Risikobegriff festzulegen. In der Praxis und in der wissenschaftlichen Literatur hat sich bisher noch keine gänzlich einheitliche Begriffsinterpretation herausgebildet. 1 Grundsätzlich können die meisten Ansätze jedoch auf eine ursachenbezogene oder auf eine wirkungsbezogene Auffassung von Risiko zurückgeführt werden. In der ursachenbezogenen Auffassung wird Risiko als Unsicherheit über den Eintritt zukünftiger Ereignisse aufgefasst, wobei ein unvollständiger Informationsstand als Voraussetzung angenommen wird. In dieser Betrachtung können den somit unsicheren Ereignissen subjektive oder objektive (Eintritts-) Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. 2 Die wirkungsbezogene Auffassung stellt die Risikowirkung in den Mittelpunkt der Betrachtung, so dass Risiko als die Gefahr einer negativen Zielverfehlung interpretiert werden kann. 3 Diese beiden Risikoauffassungen können jedoch nicht als unabhängig voneinander angesehen werden, da die wirkungsbezogene Risikoauffassung die ursachenbezogene voraussetzt. 4 Rekurrierend auf die in dieser Arbeit betrachtete finanzwirtschaftliche Problemstellung, wird Risiko gemäß der obigen Betrachtung allgemein als die aus der Unsicherheit über zukünftige Entwicklungen resultierende Gefahr der negativen Abweichung eines tatsächlich erzielten Wertes einer (finanzwirtschaftlichen) Zielgröße von seinem Erwartungswert definiert. 5 Die Fokussierung des Risikos auf ausschließlich negative Abweichungen von einem Referenzwert wird häufig auch als Downside- oder Shortfall-Risiko bezeichnet. 6 Um diese allgemeine Risikodefinition auf die Kreditrisikodefinition zu übertragen, wird zunächst die Bedeutung des Kreditrisikos aufgezeigt. Der Begriff des Kreditrisikos umfasst sowohl das Ausfallrisiko als auch das Bonitätsrisiko. Das Ausfallrisiko drückt hierbei die Gefahr aus, dass ein Kreditnehmer seinen vertragskonformen Zahlungsverpflichtungen aus dem Kreditvertrag nicht oder nur unvollständig nachkommt. 7 Im Rahmen dieser Erläuterung bezeichnet das Ausfallrisiko also die Gefahr der Insolvenz eines Kreditnehmers. Das Bonitätsrisiko bezeichnet demgegenüber die Gefahr einer Bonitätsverschlechterung des Schuldners während der Kreditlaufzeit. Somit ist der Begriff des Bonitätsrisikos umfassender als der des Ausfallrisikos, da der Kreditausfall respektive der Default als Extremfall der Vgl. Völker (2001), S. 33. Vgl. Schulte/Horsch (2002), S. 14. Die Definition des Risikos als ausschließlich negative Zielverfehlung wird häufig auch als Downside- Risiko bezeichnet. Eine positive Zielverfehlung wird demgegenüber als Chance bezeichnet. Vgl. Schulte/Horsch (2002), S. 14 f. Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 21 sowie Kürsten/Straßberger (2004), S Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2000), S Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2000), S. 151.

8 2 Grundlagen 3 Bonitätsverschlechterung angesehen und somit dem Bonitätsrisiko zugeordnet werden kann. 8 Ausfallund Bonitätsrisiko werden daher im Weiteren unter dem Oberbegriff Kreditrisiko subsumiert. Transformiert man abschließend die allgemeine Risikodefinition auf das Kreditrisiko, so bezeichnet es die aus einem unvollständigen Informationsstand resultierende Gefahr der (negativen) Abweichung des tatsächlichen vom erwarteten Zahlungsstrom, der aus einer Forderung entsteht. 9 Intuitiv könnte angenommen werden, dass der erwartete Zahlungsstrom einer Forderung aus dem Nominalvolumen eines Kredites zuzüglich der geforderten Zinszahlungen besteht und somit implizit von einer vollständigen Erfüllung des Kreditvertrages ausgegangen wird. Diese Annahme ist jedoch nicht realitätsnah, da Banken beispielsweise aus Erfahrung wissen, dass bei der Vergabe von vielen Krediten ein bestimmter Prozentsatz ausfallen wird und somit der erwartete Zahlungsstrom aller vergebenen Kredite in der Regel nicht der Summe der vertraglich vereinbarten Zahlungsströme entspricht. Diese aus Erfahrungswerten antizipierbaren Verluste aus Kreditausfällen können anhand statistischer Wahrscheinlichkeiten prognostiziert werden. Folglich können die mit Hilfe dieser Wahrscheinlichkeiten bestimmten Kreditverluste als Erwartungswert der Zufallsvariable Verlust angesehen werden. 10 Dieser so genannte erwartete Verlust respektive Expected Loss (EL) wird bzw. sollte bereits im Vorfeld der Kreditvergabe in die Risikokostenkalkulation des Kreditgeschäftes in Form von Ausfallprämien mit einbezogen werden und wird daher nicht zum eigentlichen Kreditrisiko gezählt. Der in dieser Arbeit verwendete Kreditrisikobegriff bezieht sich gemäß der obigen Definition auf die Verlustüberraschung, d. h. auf den möglichen Verlustbetrag, der über den erwarteten Verlust hinausgeht und als unerwarteter Verlust respektive Unexpected Loss (UL) bezeichnet wird. 11 Wie in Abbildung zu sehen ist, kann der erwartete Verlust bei dieser Betrachtung als Erwartungswert E(x) der Kreditverlustverteilung interpretiert werden. Der unerwartete Verlust stellt demgegenüber die (negative) Abweichung vom Erwartungswert dar. 8 9 Vgl. Schierenbeck (2003a), S Vgl. Knapp (2002), S Vgl. Schierenbeck (2003b), S Vgl. Bröker (2000), S

9 2 Grundlagen 4 erwarteter Verlust/ Expected Loss Wahrscheinlichkeitsdichte unerwarteter Verlust/ Unexpected loss E ( x ) x Kreditverluste (x) Abbildung 2.1-1: Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung von Kreditverlusten 12 Die Abbildung zeigt ergänzend, dass die Wahrscheinlichkeiten für Kreditverluste in der Realität (häufig) deutlich rechtsschief (und nicht normal-) verteilt sind. Diese Rechtsschiefe und Asymmetrie lässt sich ökonomisch dadurch begründen, dass hohe Kreditverluste nur selten, und daher mit niedrigen Wahrscheinlichkeiten eintreten, währenddessen kleinere Verluste höhere Wahrscheinlichkeiten aufweisen. Somit ist es möglich, dass in mehreren (aufeinander folgenden) Jahren der realisierte Kreditverlust geringer ist als der erwartete Kreditverlust E(x). In anderen Jahren kann der tatsächliche den erwarteten Kreditverlust jedoch auch stark übersteigen, so dass der Mittelwert E(x) eine geeignete Kennzahl für den erwarteten Verlust darstellt. 13 Durch die Differenzierung zwischen erwarteten und unerwarteten Verlusten ergibt sich somit die Notwendigkeit der Aufteilung der Risikokosten. Die bereits bei der Kreditvergabe zu berücksichtigenden Standard-Risikokosten sollten in Form von Ausfallprämien den erwarteten Verlust aller Kreditengagements im Durchschnitt abdecken und verringern als Aufwand das ordentliche Betriebsergebnis. 14 Die Risikokosten für den unerwarteten Verlust können als außergewöhnliche Aufwendungen aufgefasst werden und müssen durch entsprechende Eigenkapitalunterlegungen (ökonomisches Kapital) abgesichert werden. 15 Die Standard-Risikokosten können auf unterschiedlichen Ebenen kalkuliert werden. 16 Die Bestimmung auf Einzelkreditnehmerebene stellt die detaillierteste Variante dar, indem für jedes einzelne Kreditgeschäft eine dem Kreditrisiko des Kunden entsprechende Ausfallprämie ermittelt wird. Neben dieser individuellen Berechnung der Standard-Risikokosten können Risikokosten auch auf der Ebene von Rating-Klassen, Geschäftssegmenten oder auf der Ebene des gesamten Kreditgeschäftes ermittelt 12 In Anlehnung an Bröker (2000), S Vgl. Kirmße (2001), S Vgl. Schierenbeck (2003a), S Unerwartete Verluste können in Form von Risikoprämien in die Konditionengestaltung integriert werden. 16 Vgl. Schierenbeck (2003a), S. 312.

10 2 Grundlagen 5 werden. Die auf diesen Ebenen ermittelten und über die Kreditkonditionen weitergegebenen Ausfallprämien sollten die gesamten erwarteten Standard-Risikokosten abdecken. 17 Die Ermittlung auf Gesamtgeschäfts- sowie auf Geschäftssegmentebene weist den Nachteil auf, dass alle bzw. viele Kreditnehmer eine identische Ausfallprämie zugeordnet bekommen, so dass es zu einer Quersubventionierung der schlechten durch die guten Kreditnehmer kommen kann. Bonitätsmäßig bessere Kunden zahlen demnach einen (ihrem Risiko entsprechend) zu hohen Preis für ihren Kredit, während schlechtere Kunden einen zu tiefen Preis bezahlen. 18 Unter diesen Gesichtspunkten stellt eine Standard- Risikokostenkalkulation auf der Ebene von Rating-Klassen eine in Bezug auf den Detaillierungsgrad mindestens zu wählende Vorgehensweise dar. Die folgende Abbildung verdeutlicht abschließend den Unterschied zwischen risikoadjustierter und risikoindifferenter Konditionenkalkulation, wobei die Kurve für die risikoadjustierte Konditionenpolitik aufzeigt, dass eine Kalkulation der Standard-Risikokosten mindestens auf Ratingklassen-Ebene vorgenommen werden sollte, um die oben beschriebene Gefahr der Quersubventionierung zu vermindern. Zinssätze schlechte Risiken mit zu tiefem Preis gute Risiken mit zu hohem Preis Risikolimitierung AAA BBB B- CCC Risiko risikoloser Zinssatz (GKM-Satz/Triple-A Rendite) Zinssatz bei risikoundifferenzierender Konditionspolitik Zinssatz bei risikoadjustierender Konditionspolitik Abbildung 2.1-2: Risikoadjustierte versus risikoindifferente Konditionengestaltung Expected Loss und zentrale Kalkulationsparameter Der für die Bestimmung der Standard-Risikokosten relevante Expected Loss bzw. der erwartete Kreditverlust eines Kreditengagements ergibt sich als Produkt aus der (erwarteten) Ausfallwahrscheinlichkeit (Default Probability, DP) mit dem (erwarteten) Verlustumfang einer Forderung zum Zeitpunkt des 17 Vgl. Oehler/Unser (2002), S Vgl. Schierenbeck (2003a), S Quelle: Schierenbeck (2003a), S. 312.

11 2 Grundlagen 6 Ausfalles (Credit Exposure, CE) und der Verlustquote (Loss Severity, LS). Die Verlustquote wird häufig auch als Loss Given Default (LGD) bezeichnet. 20 (1) EL = DP CE LS Die Loss Severity gibt den Teil des Credit Exposure an, der uneinbringlich ist. Sie wird aus der Differenz von 1 minus der Wiedereinbringungsrate bzw. Recovery Rate (RR) bestimmt. 21 Durch Einsetzen dieses Zusammenhangs in Formel (1) ergibt sich die folgende Bestimmungsgleichung für den Expected Loss. (2) EL = DP CE ( 1 RR) Im Rahmen einer Portfoliobetrachtung lässt sich der erwartete Verlust des Kreditportfolios (EL p ) durch die Summe der Erwartungswerte der einzelnen Kreditpositionen bestimmen. 22 (3) EL P = EL Für i = 1, 2,, N Kreditpositionen ergibt sich (4) = ( DP CE ( RR )) EL 1. P i i i i Der Credit Exposure (CE) bezeichnet hierbei allgemein das Kreditvolumen, welches einem Kreditrisiko ausgesetzt ist. Im klassischen Kreditgeschäft entspricht seine Höhe in der Regel dem Buchwert aller Forderungen gegenüber einem einzelnen Kreditnehmer. 23 Diese Methodik ist durch ihre einfache Anwendbarkeit sowie ihren direkten Bezug zur Rechnungslegung charakterisiert. Zudem gibt sie einen recht guten Einblick in die offenen Positionen eines Schuldners. 24 Bei ökonomischer Betrachtungsweise erscheint der Buchwert jedoch nicht als geeignete Quantifizierungsgröße für den Credit Exposure. 25 Fällt eine Forderung aus, so ist eine Wiederbeschaffung einer äquivalenten Kreditposition nur zu dem im Ausfallzeitpunkt aktuellen Marktwert und nicht zum aktuellen Buchwert möglich. Daher entspricht der Credit Exposure unter Verwendung des Barwertkonzeptes dem aktuellen Betrag der Wiederbeschaffungskosten einer äquivalenten Kreditposition, wobei ein vollständiger Kreditausfall angenommen wird. 26 Die erwartete Rückzahlungsquote bzw. Recovery Rate (RR) bezeichnet den (prozentualen) Anteil des Credit Exposure, der bei Ausfall eines Kreditnehmers an den Gläubiger zurückfließt. 27 In ihrer Höhe wird sie vor allem durch das im Ausfallzeitpunkt noch vorhandene Vermögen des Schuldners sowie durch Kreditsicherheiten und die Rangstellung der Gläubigerposition beeinflusst. 28 Bei Ausfall eines 20 Vgl. Heim/Balica (2001), S. 215 sowie Schuermann (2003), S Vgl. Oehler/Unser (2002), S Vgl. Ong (2000), S Vgl. Knapp/Hamerle (1999), S Vgl. Bröker (2000), S Vgl. Schierenbeck (2003a), S Vgl. Bröker (2000), S Vgl. Ong (2000), S Vgl. auch im Folgenden Schierenbeck (2003a), S. 328 f.

12 2 Grundlagen 7 Schuldners kann der Gläubiger durch die Verwertung ggf. vorhandener Sicherheiten die Kreditverluste reduzieren und im optimalen Fall sogar gänzlich vermeiden. Als Wert für die gestellten Sicherheiten sollte möglichst der nachhaltig erzielbare Nettoerlös bei Sicherheitenverwertung angesetzt werden. Recovery Rates lassen sich in der Praxis nur schwer bestimmen. 29 Aus diesem Grund werden sie häufig anhand von historischen Daten als Mittelwert respektive Median bestimmt. Aus pragmatischen Gründen werden die Recovery Rates jedoch selten für einzelne Kreditengagements, sondern in der Regel für Risikoklassen ermittelt. Hierbei wird die Annahme getroffen, dass sie innerhalb einer Risikoklasse konstant sind. Eine weitere Alternative zur Bestimmung von Recovery Rates (auch für einzelne Engagements) liegt in deren Schätzung auf Basis einer Beta-Verteilung. 30 Die erwartete Ausfallrate (Ausfallwahrscheinlichkeit) bzw. Default Probability (DP) gibt die Wahrscheinlichkeit des Ausfalles bzw. der vollständigen oder partiellen Zahlungsunfähigkeit eines Schuldners an. Im Gegensatz zum Credit Exposure und der Recovery Rate, die sich auf einzelne Kreditpositionen beziehen, kann die Ausfallwahrscheinlichkeit eindeutig der Ebene des Kreditnehmers zugeordnet werden, da im Normalfall nicht eine einzelne Forderung, sondern ein Schuldner mit sämtlichen Forderungen ausfällt. 31 Die Default Probability von Kreditnehmern kann nicht direkt gemessen werden, sondern muss geschätzt werden. 32 Der einfachste Ansatz zu ihrer Schätzung besteht darin, die aus Vergangenheitsdaten ermittelte Ausfallrate, die der relativen Ausfallhäufigkeit einer Risiko- bzw. Rating- Klasse entspricht, mit der Ausfallwahrscheinlichkeit gleichzusetzen. 33 Eine weitere Möglichkeit der Bestimmung der Ausfallwahrscheinlichkeit besteht in der Verwendung von statistischen Verfahren wie z. B. Logit- oder Probit-Regressionen Vgl. Rohmann (2000), S Vgl. Altman et al. (2002), S Vgl. Schierenbeck (2003a), S Vgl. Rohmann (2000), S Vgl. auch im Folgenden Oehler/Unser (2002), S. 259 f. 34 Vgl. Huschens (2004), S. 2. Für ein Beispiel siehe Daldrup/Gehrke/Schumann (2004).

13 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 8 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss Nachdem im vorigen Abschnitt der unerwartete Kreditverlust als Kreditrisiko identifiziert sowie die Notwendigkeit aufgezeigt wurde, den erwarteten Kreditverlust in Form von Ausfallprämien in die Konditionenpolitik bei der Kreditvergabe zu integrieren, behandelt das folgende Kapitel verschiedene Risikomaße zur Quantifizierung des unerwarteten Verlustes. In einem ersten Schritt werden Anforderungen, die an diese Kennzahlen im Bereich der Kreditrisikoquantifizierung gestellt werden, erarbeitet und die Risikomaße anhand dieser analysiert. Abschließend folgt ein Vergleich der Kennzahlen, wobei sich der Schwerpunkt des Vergleichs auf den Value at Risk und den Expected Shortfall konzentriert. 3.1 Anforderungen an (Kredit-)Risikomaße Im Allgemeinen werden Risikokennzahlen bzw. Risikomaße verwendet, um Risiko quantifizieren und darauf aufbauend Steuerungsmaßnahmen vornehmen zu können. 35 Speziell für Banken ist die quantitative Messung des Kreditrisikos von höchster Relevanz. Neben dem grundlegenden Ziel mittels der Risikoquantifizierung durch Risikomaße existenzgefährdende Risiken zu erkennen, sind Banken zudem durch aufsichtsrechtliche Bestimmungen verpflichtet, das Kreditrisiko zu bestimmen und es zur Sicherung ihrer eigenen Zahlungsfähigkeit mit Eigenkapital zu unterlegen. Des Weiteren ist die Kreditrisikoquantifizierung die Voraussetzung für eine nach dem jeweils eingegangenen Risiko differenzierenden Bepreisung sowie für eine risikoorientierte Steuerung der Kreditvergabe auf Portfolioebene. Zur Quantifizierung des Kreditrisikos muss daher ein Risikomaß verwendet werden, dass die Höhe des Risikos adäquat wiedergibt. Allgemein kann das Risiko in Form einer Wahrscheinlichkeitsdichte- oder Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable dargestellt werden. 36 Die Repräsentation des Risikos in einer solchen Form ist jedoch nicht sehr operational und nachvollziehbar, so dass eine Verdichtung der Informationen in wenige bzw. eine Maßzahl erfolgen sollte, was allerdings prinzipiell mit einem Informationsverlust einhergeht. 37 Gemäß der obigen Risiko- und Kreditrisikodefinition wird die Höhe des (Kredit-)Risikos durch das Ausmaß der Zielverfehlung, also durch das Ausmaß der Abweichung vom Erwartungswert, sowie den jeweils zuzurechnenden Wahrscheinlichkeiten determiniert. Aus diesem Grund sollten Kreditrisikomaße einerseits Aussagen über die Eintrittswahrscheinlichkeiten und andererseits Aussagen über die Risikohöhe zulassen. 38 Zusätzlich sollte das gewählte Risikomaß leicht zu interpretieren sein und daher zum einfachen Verständnis in Geldeinheiten ausgedrückt werden Vgl. Kürsten/Straßberger (2004), S Vgl. Oehler/Unser (2002), S Vgl. Völker (2001), S Vgl. Schulte/Horsch (2002), S Vgl. Rohmann (2000), S. 31.

14 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 9 Aufgrund der alleinigen Betrachtung von negativen Abweichungen vom erwarteten Verlust und der aufsichtsrechtlichen Verpflichtung zur Unterlegung des unerwarteten Verlustes mit Eigenkapital, stellt eine erste Anforderung an Risikomaße daher die Möglichkeit der direkten Messung des ökonomischen Risikos dar. 40 D. h. das Risikomaß sollte das Verlustpotenzial aufzeigen, welches mit ökonomischem Kapital zu unterlegen ist. Zusätzlich ist es für eine risikoorientierte Steuerung des Kreditportfolios notwendig, dass das Risikomaß ergänzend als Zielgröße von Optimierungsproblemen verwendet werden kann. In dieser Arbeit liegt der Fokus zwar ausschließlich auf der Quantifizierung des Kreditrisikos, bei der Wahl des Risikomaßes sollte allerdings von der Bestimmung von Marktpreisrisiken (und operationellen Risiken) nicht vollständig abstrahiert werden. Im Rahmen einer Gesamtbanksteuerung wird eine integrierte Risikomessung gefordert, bei der mithilfe eines Risikomaßes sowohl Marktpreis- als auch Kreditrisiken quantifiziert werden können. Das zu wählende Risikomaß muss daher für eine integrierte Risikomessung unterschiedlicher Risikoarten geeignet sein. Bei der Berücksichtigung verschiedener Risikoarten stellt sich implizit die Notwendigkeit dar, dass das Risikomaß optimalerweise zur Risikosteuerung eines Bankportfolios verwendet werden kann, wobei das Risikomaß hier als Grundlage für eine portfolio-übergreifende Risikosteuerung geeignet sein sollte. Gemäß dieser Anforderung haben Artzner et al. vier Axiome formuliert, die ein Risikomaß im Rahmen der Risikosteuerungsmöglichkeit erfüllen sollte. Risikomaße, die diesen Eigenschaften entsprechen werden als kohärente Risikomaße bezeichnet. 41 Bei der Formulierung der vier Axiome gehen Artzner et al. davon aus, dass es im Rahmen des Risikomanagements notwendig ist, zwischen akzeptablen und nicht akzeptablen Portfolios differenzieren zu können. Nicht akzeptable Portfolios sind durch ein zu hohes Risiko charakterisiert, wobei unter zu hohem Risiko ein zu niedriger Portfoliowert zum prognostizierten Zeitpunkt verstanden wird. 42 Diese Differenzierung verstehen die Autoren bereits als grobe Risikomessung, indem sie in einem ersten Schritt die Menge der akzeptierten Portfoliowerte, bestehend aus allen Portfoliopositionen mit einem akzeptablen zukünftigen Wert, bestimmen. 43 In die weitere Betrachtung gehen ausschließlich die nicht akzeptablen Positionen ein, für die jeweils der kleinste Kapitalbetrag gesucht wird, der in Kombination mit der untersuchten Position den minimalen (gerade) akzeptablen Wert ergibt. Entsprechend dieser Überlegungen definieren Artzner et al. ein Risikomaß wie folgt: 44 Der minimale Kapitaleinsatz, der benötigt wird, um aus einer nicht akzeptablen Position durch Investition in andere (finanzwirtschaftliche) Instrumente und deren Kombination mit der betrachteten Position eine gerade akzeptable Position zu generieren, wird als Risikomaß bezeichnet. Formal bezeichnet ein kohärentes Risikomaß ρ eine Abbildung, die jedem Portfolio mit dem zukünftigen Wert X eine Zahl ρ(x) zuweist 45 und die folgenden vier Eigenschaften erfüllt: Vgl. auch im Folgenden Theiler (2002), S Vgl. Artzner et al. (1997) und Artzner et al. (1999). 42 Vgl. Theiler (2002), S Vgl. Artzner et al. (1999), S Vgl. Artzner et al. (1999), S Vgl. Artzner et al. (1997), S. 68 sowie Theiler (2002), S. 72.

15 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 10 (1) Subadditivität: Die Subadditivitäts-Eigenschaft fordert von einem Risikomaß, dass das Risiko eines Portfolios, bestehend aus zwei Positionen, stets kleiner oder gleich der Summe der Einzelrisiken der zwei Positionen 47 ist. Dieses Axiom berücksichtigt den Diversifikationseffekt im Portfoliokontext, so dass durch die Hinzunahme einer Position Y in das Portfolio X das Portfoliorisiko maximal um das Einzelrisiko von Y ansteigt. Es gilt daher: ( X Y ) ρ( X ) ρ( Y ) ρ + +. (2) Positive Homogenität: Das Homogenitäts-Axiom fordert, dass das Risiko proportional zu einem positiven Faktor steigt. D. h. eine Position, die den t-fachen Wert aufweist, beinhaltet auch das t-fache Risiko, so dass gilt: ( t X ) = t ρ( X ), t > 0 ρ. (3) Monotonie: Die Monotonie-Eigenschaft besagt, dass das Risiko eines Portfolios X stets höher ist als bei einem Portfolio Y, wenn der Wert von X in jedem möglichen Zustand immer kleiner ist als der Wert von Y. 48 X weist damit aufgrund des jeweils höheren Verlustpotenzials ein größeres Risiko auf als Y. 49 Mit der Erfüllung der Monotonie-Eigenschaft wird zudem sichergestellt, dass ein kohärentes Risikomaß mit dem Prinzip der stochastischen Dominanz ersten Grades vereinbar ist. 50 In diesem Axiom wird somit die (ökonomische) Risikodefinition berücksichtigt, die ausschließlich negative Abweichungen als Risiko betrachtet. 51 Es gilt somit: ( X ) ρ( Y ) ρ, falls X Y (4) Translationsinvarianz: Wenn zu einem vorhandenen Portfolio X für die betrachtete Haltedauer zusätzlich ein Geldbetrag n zu einem risikofreien Zinssatz r f investiert wird, so verringert sich das Risiko des Portfolios um den Betrag n. ( X + ( + r f ) n) = ρ( X ) n ρ 1 Das Axiom der Translationsinvarianz unterstreicht die Definition des Risikomaßes als mindestens zu investierenden Kapitalbetrag, um aus einer nicht akzeptablen Position eine akzeptable zu generieren. Bei der Investition eines Anlagebetrages Z in Höhe des vorhande- 46 Vgl. auch im Folgenden Artzner et al. (1997), S. 68, Artzner et al. (1999), S , Kürsten/Straßberger (2004), S. 206 sowie Theiler (2002), S In diesem Punkt wird das einer Einzelposition inhärente Risiko betrachtet, nicht sein Risikobeitrag im Portfoliokontext. 48 Vgl. Denault (2001), S Vgl. Albrecht (2003), S. 13 f. 50 Vgl. Baule (2004), S Vgl. Theiler (2002), S. 73.

16 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 11 nen Risikopotenzials der bestehenden Position X ( Z ρ( X )) = zum risikofreien Zinssatz r f, neutralisiert die Hinzunahme der risikofreien Position das Risiko der Ursprungs-Position und stellt damit implizit das Risikodeckungspotenzial dar. 52 ρ ( X + ( 1 + r ) Z ) = ρ( X + ( 1+ r ) ρ( X )) = ρ( X ) ρ( X ) = 0 f f Erfüllt ein Risikomaß die Axiome der Subadditivität und der Positiven Homogenität, so ist das Risikomaß konvex. Die Konvexität garantiert die Lösbarkeit von (Risiko-/Rendite-)Portfolio-Optimierungen, so dass für jedes Risikoniveau ein optimales Risiko-/Rendite-Portfolio gefunden werden kann. 53 Die Konvexitätsanforderung an ein Risikomaß entspricht damit implizit der oben angesprochenen Anforderung der Verwendung des Risikomaßes als Zielgröße für Optimierungsprobleme. Zusammenfassend sollte ein Risikomaß zur Kreditrisikoquantifizierung die folgenden Anforderungen erfüllen: leichte Interpretierbarkeit, Möglichkeit zur direkten Messung des ökonomischen Risikos, Verwendung als Zielgröße für Optimierungsprobleme, Möglichkeit der integrierten Risikomessung unterschiedlicher Risikoarten, Verwendung zur Risikosteuerung eines Bankportfolios sowie Kohärenz. In den folgenden Abschnitten werden verschiedene Risikomaße dargestellt und auf die Erfüllung der gestellten Anforderungen untersucht. 3.2 Varianz und Standardabweichung Ein in der finanzwirtschaftlichen Theorie und Praxis stark verbreitetes und auch aus der Statistik bekanntes Risikomaß ist die Varianz (bzw. Standardabweichung). 54 Diese Kennzahl stellt ein Streuungsmaß dar, das die Dispersion vom Erwartungswert misst. Allgemein wird der Erwartungswert E(X), die Varianz und die Standardabweichung (σ), als quadratische Wurzel der Varianz, gemäß der folgenden Formeln für diskrete bzw. stetige Zufallsvariablen ermittelt. 55 (5) E X ) = N ( x i p i (6) Varianz = ( x E( x) ) i= 1 N i= 1 2 i p i 52 Vgl. Artzner et al. (1999), S. 209 und Theiler (2002), S Vgl. auch für die hierzu geltenden Voraussetzungen Theiler (2002), S. 73 und Theiler (2001), S Vgl. Oehler/Unser (2002), S Vgl. Schierenbeck (2003b), S. 203, Hahn/Pfingsten/Wagner (2001), S. 277 f., Völker (2001), S. 41 sowie Rohmann (2000), S. 180 f.

17 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 12 = dxi (7) E ( X ) = xi f ( xi ) dxi (8) ( ( ) ) 2 Varianz x ( ) i E x f xi (9) σ = Varianz. x i bezeichnet hierbei die möglichen Werteausprägungen und p i die jeweils zugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten. Die Varianz quantifiziert die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert, wobei sie ein zweiseitiges bzw. symmetrisches Risikomaß darstellt, d.h. es werden sowohl negative als auch positive Abweichungen vom Erwartungswert quantifiziert. 56 Diese Risikoquantifizierung entspricht jedoch nicht der aufgezeigten Risikodefinition, in der ausschließlich negative Abweichungen vom Mittelwert betrachtet werden. Lediglich unter der unrealistischen Annahme von normalverteilten Kreditverlusten könnte das Kreditrisiko anhand von symmetrischen Kennzahlen angemessen quantifiziert werden. Für asymmetrische Verteilungen sind Varianz und Standardabweichung jedoch ungeeignet, 57 und sie erfüllen daher auch nicht die Anforderung, das ökonomische Risiko direkt messen zu können. 58 Des Weiteren ist die Varianz kein leicht zu interpretierendes Risikomaß unter dem Gesichtspunkt, dass das Risiko nicht in Geldeinheiten, sondern bei Verlustbetrachtungen in Geldeinheiten zum Quadrat angegeben wird. In diesem Fall werden der erwartete und der unerwartete Verlust in unterschiedlichen Maßeinheiten angegeben, was eine Vergleichbarkeit bzw. Interpretation der Ergebnisse erschwert. 59 Die Standardabweichung als Wurzel der Varianz stellt ein in Ansätzen leichter zu interpretierendes Risikomaß dar, da das Kreditrisiko in Geldeinheiten ausgedrückt werden kann, bzw. erwarteter und unerwarteter Verlust die gleiche Maßeinheit aufweisen. 60 Hierbei gilt es jedoch zu berücksichtigen, dass die Standardabweichung kaum über eine eigenständige Interpretation im Sinne von zu unterlegendem Risikokapital verfügt, sondern sie gibt lediglich einen Anhaltspunkt für die Streuung der Verluste. 61 Standardabweichung und Varianz sind zwar positiv homogen 62, aber nur unter der Bedingung von normalverteilten Zufallsvariablen subadditiv 63 und stellen damit bei allgemeiner Betrachtung keine konvexen Risikomaße dar. Sie eignen sich daher nicht zur Portfoliooptimierung und steuerung im Kreditrisikomanagement, da sie zudem aufgrund ihrer Symmetrieeigenschaft die bei Kreditverlusten vorherrschenden asymmetrischen Verteilungen nicht vollständig beschreiben können und daher für die Optimierung ungeeignet sind. Im Rahmen einer Portfoliosteuerung können sie daher zu falschen Steuerungsentscheidungen führen Vgl. Goovaerts/Kaas/Dhaene (2002), S. 1 sowie Theiler (2002), S Gemäß der Risikodefinition wäre die untere Semivarianz besser geeignet, bei der die mittlere quadratische Abweichung für die Werteausprägungen (einer Verlustverteilung) ermittelt wird, die größer als der Erwartungswert sind. Vgl. Kürsten/Straßberger (2004), S Vgl. Wehrspohn (2001), S. 582 sowie Hahn/Pfingsten/Wagner (2001), S Vgl. Albrecht/Maurer (2002), S Eine sinnvolle Interpretation ist hier jedoch auch nur für den Fall normalverteilter Verluste möglich. 61 Vgl. Wehrspohn (2001), S Vgl. Theiler (2002), S Vgl. Acerbi/Nordio/Sirtori (2001), S Vgl. Wehrspohn (2001), S. 583 und S. 588.

18 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 13 Varianz und Standardabweichung zählen auch nicht zu den kohärenten Risikomaßen, da neben der Eigenschaft der Subadditivität auch die Eigenschaft der Monotonie durch die Berücksichtigung von positiven und negativen Abweichungen vom erwarteten Verlust verletzt wird. 65 Letztendlich lassen sich die beiden Risikomaße aufgrund der restriktiven Festlegung auf eine Normalverteilung auch nicht für die Messung unterschiedlicher Risikoarten verwenden. Zwar sind sie in der Lage Marktpreisrisiken, für die in der Regel einer Normal- bzw. Lognormalverteilung unterstellt wird, zu quantifizieren, wie jedoch gezeigt wurde, sind sie ungeeignet Kreditrisiken adäquat zu messen. Zusammenfassend zeigt die folgende Tabelle, welche Anforderungen an Risikomaße für die Kreditrisikoquantifizierung durch die Standardabweichung bzw. Varianz erfüllt werden. Anforderung Standardabweichung Varianz leichte Interpretierbarkeit (+) - direkte Messung des ökonomischen Risikos - - Integrierte Risikomessung unterschiedlicher Risikoarten - - Zielgröße für Optimierungsprobleme - - Verwendung zur Risikosteuerung eines Bankportfolios - - Kohärenz - - Tabelle 3.2-1: Anforderungsanalyse bei Standardabweichung und Varianz 3.3 Lower Partial Moments (LPM) Lower Partial Moments (LPM) zählen zu den so genannten Downside-Risikomaßen und betrachten ausschließlich den Verlustbereich einer Verteilung, also den Teil der Wahrscheinlichkeitsverteilung, der (bei Verlustbetrachtung) über einem vorher zu spezifizierenden Referenzwert liegt. 66 Die allgemeine Definition von Lower Partial Moments (LPM n (z)) der Ordnung n 0 für den Fall einer stetigen Zufallsvariable X mit Dichtefunktion f(x) und einem zu spezifizierenden Referenzwert z als Verlustschranke lautet bei Verlustbetrachtung: 67 z n (10) LPM ( z) = ( x z) f ( x) n dx Bei einer diskreten Zufallsvariable X mit den Ausprägungen x 1,, x k und den Eintrittswahrscheinlichkeiten p 1,, p k ergibt sich der LPM der Ordnung n 0 gemäß Gleichung (11). I z (x) stellt eine Indikatorfunktion dar, wobei I z (x)=1 für x>z und ansonsten I z (x)=0 gilt. 68 n n (11) LPM ( z) = ( x z) p = ( x z) p I ( x ) n xi > z i i i i z i 65 Vgl. Theiler (2002). S Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 22, Kürsten/Straßberger (2004), S. 204 und Völker (2001), S Vgl. Fishburn (1977), S. 116, Albrecht (2001), S. 1 und Wittrock (1995), S Vgl. Albrecht (2001), S. 1, Eftekhari (1998), S. 646 und Hahn/Pfingsten/Wagner (2001), S. 279.

19 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 14 Anhand dieser Definition lassen sich unzählige LPM definieren, sinnvoll ökonomisch interpretieren lassen sich jedoch nur LPM der Ordnung null bis zwei. 69 Der LPM nullter Ordnung (LPM 0 ) wird auch als Shortfall-Risiko oder Downside-Wahrscheinlichkeit bezeichnet und misst die Wahrscheinlichkeit, dass ein Verlust eintritt, der den Referenzverlust übersteigt. Das Ausmaß der Referenzwertverfehlung bleibt hierbei jedoch unberücksichtigt. 70 Der LPM 1, oder auch Target Shortfall bzw. Downside-Erwartungswert, zeigt dagegen die durchschnittliche negative Abweichung vom Referenzwert an. Diese Betrachtung impliziert, dass Verluste, die kleiner als der Referenzverlust sind eine negative Abweichung von null aufweisen. Bei n = 2 misst der LPM 2, als so genannte Downside-Varianz, die mittlere quadrierte negative Abweichung vom Referenzwert, so dass größere Abweichungen stärker berücksichtigt werden als kleine. Wird als Referenzwert der Erwartungswert der Verteilung verwendet, so entspricht der LPM 2 der Semivarianz. Die Downside- Standardabweichung ergibt sich aus der Wurzel der Downside-Varianz. 71 Wahrscheinlichkeitsdichte LPM 0 0 z E ( x i > z ) Kreditverluste (x) LPM 1 72 Abbildung 3.3-1: Darstellung LPM 0 und LPM 1 Die Downside-Wahrscheinlichkeit (LPM 0 ) wird in Abbildung durch die Fläche unter der Dichtefunktion ab dem Referenzwert z dargestellt. Der LPM 1 zeigt den Erwartungswert der möglichen Überschreitungen des Referenzwertes z an. Durch die ausschließliche Betrachtung von negativen Abweichungen von einem Referenzwert (Erwartungswert) unterstützen die LPM die oben angegebene Risikodefinition. Für den LPM 0 lässt sich festhalten, dass er als Ausfallwahrscheinlichkeit zwar leicht zu interpretieren ist und das ökonomische Risiko in Form einer Wahrscheinlichkeit widerspiegelt, das Kreditrisiko dabei jedoch nicht in Geldeinheiten ausdrückt. Die letztgenannte Anforderung wird durch LPM 1 und LPM 2 (nur in Form der Downside- 69 Vgl. Oehler/Unser (2002), S Vgl. auch im Folgenden Völker (2001), S. 48 f. und Eftekhari (1998), S Vgl. Albrecht (2003), S In Anlehnung an Hollidt (1999), S. 11.

20 3 Risikomaße zur Quantifizierung des Unexpected Loss 15 Standardabweichung) jedoch in Ansätzen erfüllt. Eine allgemeingültige Interpretation als zu unterlegendes Risikokapital ist hier allerdings ebenfalls kaum gegeben. Aufgrund der Eigenschaft, dass alle LPM-Maße in Abhängigkeit von alternativen Referenzwerten für beliebige Verteilungen bestimmt werden können, und zudem in der Lage sind Asymmetrien der Verteilungen zu berücksichtigen, eignen sich diese Risikomaße zur Quantifizierung verschiedener Risikoarten. 73 Zur Überprüfung, ob sich LPM n (z) als Zielgröße für Optimierungsprobleme eignen, gilt es das Risikomaß auf Konvexität zu untersuchen. Wie in Abschnitt 3.1 bereits aufgezeigt wurde, ist ein Risikomaß konvex, wenn es subadditiv und positiv homogen ist. Der LPM n (z) ist nur subadditiv bei positiven Referenzwerten ( z R + ) und bei Exponenten n, die größer als null und kleiner/gleich eins sind ( 0 < n 1). 74 Bei ausschließlicher Betrachtung ganzzahliger Exponenten n, erfüllt also nur der LPM 1 bei positiven Referenzwerten die Anforderung der Subadditivität. Positive Homogenität erfüllen die LPM n (z) nur bei z = 0 und bei n = 1, so dass nur der LPM 1 bei einem Referenzwert in Höhe von null positiv homogen ist. Für den allgemeinen Fall der LPM n (z) lässt sich also keine Konvexität dieser Risikomaße nachweisen, so dass sie keine gute Zielgröße für Optimierungsprobleme darstellen. Des Weiteren stellen LPM n (z) keine kohärenten Risikomaße dar, da sie neben den beiden letztgenannten Anforderungen auch nicht den Anforderungen der Monotonie und der Translationsinvarianz genügen. Während die Translationsinvarianz durch keinen LPM n (z) erfüllt wird, wird die Monotonie- Eigenschaft lediglich durch den LPM nullter Ordnung verletzt. 75 Aufgrund der fehlenden Kohärenz- Eigenschaft der LPM n (z) sind sie für eine Risikosteuerung gemäß dem Axiomensystem von Artzner et al. ungeeignet. Die folgende Tabelle fasst die Untersuchung der LPM n (z) abschließend zusammen. Anforderung LPM n>2 (z) LPM 0 LPM 1 LPM 2 leichte Interpretierbarkeit - (+) + (+) direkte Messung des ökonomischen Risikos - (+) + (+) Integrierte Risikomessung unterschiedlicher Risikoarten Zielgröße für Optimierungsprobleme Verwendung zur Risikosteuerung eines Bankportfolios Kohärenz Tabelle 3.3-1: Anforderungsanalyse bei Lower Partial Moments 3.4 Value at Risk Das Risikomaß Value at Risk 76 zählt zu den Downside-Risikomaßen und betrachten damit, wie die LPM n (z), ausschließlich die Verlustseite der Verteilung. Die VaR-Methodik wurde anfänglich aus- 73 Vgl. Wittrock (1995), S Vgl. auch im Folgenden Barbosa/Ferreira (2004), S Für die mathematischen Beweise sei auf Barbosa/Ferreira (2004), S verwiesen. 76 Im Rahmen des Kreditmanagements wird der VaR auch als Credit Value at Risk bezeichnet.

Risikomanagement in Banken Dominik Zeillinger, Oktober 2016

Risikomanagement in Banken Dominik Zeillinger, Oktober 2016 Risikomanagement in Banken Dominik Zeillinger, Oktober 2016 Aufbau von Kreditzinsen Gewinn/Weitere Kosten ZKB / Aufschlag / Spread Standardstück- Kosten Liquiditäts-Kosten Liquiditätsrisiko Kreditzins

Mehr

Vorlesung Gesamtbanksteuerung Mathematische Grundlagen III / Marktpreisrisiken Dr. Klaus Lukas Stefan Prasser

Vorlesung Gesamtbanksteuerung Mathematische Grundlagen III / Marktpreisrisiken Dr. Klaus Lukas Stefan Prasser Vorlesung Gesamtbanksteuerung Mathematische Grundlagen III / Marktpreisrisiken Dr. Klaus Lukas Stefan Prasser 1 Agenda Rendite- und Risikoanalyse eines Portfolios Gesamtrendite Kovarianz Korrelationen

Mehr

Risikomessung mit dem Conditional Value-at-Risk

Risikomessung mit dem Conditional Value-at-Risk Jendrik Hanisch Risikomessung mit dem Conditional Value-at-Risk Implikationen für das Entscheidungsverhalten. Bibliothek j k Mit einem Geleitwort von \* \, -^ Prof. Dr. Wolfgang Kürsten A; Verlag Dr. Kovac

Mehr

Bestimmung des Conditional Value-at-Risk (CVaR) bei Normal- bzw. Lognormalverteilung

Bestimmung des Conditional Value-at-Risk (CVaR) bei Normal- bzw. Lognormalverteilung Mannheimer Manuskripte u Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft r. 4 Bestimmung des Conditional Value-at-Risk (CVaR bei ormal- bw. Lognormalerteilung on PETER ALBRECHT UD SVE KORYCIORZ

Mehr

Nachteile: STD existiert nur für Verteilungen mit E(FL 2 ) <, d.h. nicht ansetzbar bei leptokurtischen ( fat tailed ) Verlustverteilungen;

Nachteile: STD existiert nur für Verteilungen mit E(FL 2 ) <, d.h. nicht ansetzbar bei leptokurtischen ( fat tailed ) Verlustverteilungen; Risikomaße basierend auf die Verlustverteilung Sei F L := F Ln+1 die Verteilung der Verlust L n+1. Die Parameter von F Ln+1 werden anhand von historischen Daten entweder direkt oder mit Hilfe der Risikofaktoren

Mehr

5. Spezielle stetige Verteilungen

5. Spezielle stetige Verteilungen 5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für

Mehr

Inhaltsverzeichnis 1. Teil: Das Kreditrisikomanagement und Instrumente der aktiven Kreditrisikosteuerung... 33

Inhaltsverzeichnis 1. Teil: Das Kreditrisikomanagement und Instrumente der aktiven Kreditrisikosteuerung... 33 7 Inhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS...7 ABBILDUNGSVERZEICHNIS...13 ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS...23 SYMBOLVERZEICHNIS...25 EINLEITUNG...29 1. Teil: Das Kreditrisikomanagement und Instrumente der aktiven

Mehr

Kapitel 7. Regression und Korrelation. 7.1 Das Regressionsproblem

Kapitel 7. Regression und Korrelation. 7.1 Das Regressionsproblem Kapitel 7 Regression und Korrelation Ein Regressionsproblem behandelt die Verteilung einer Variablen, wenn mindestens eine andere gewisse Werte in nicht zufälliger Art annimmt. Ein Korrelationsproblem

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2

Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2 Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaften, Teil Zusatzblatt SS 09 Dr. J. Schürmann keine Abgabe Aufgabe : Eine Familie habe fünf Kinder. Wir nehmen an, dass die

Mehr

Regression und Korrelation

Regression und Korrelation Kapitel 7 Regression und Korrelation Ein Regressionsproblem behandeltdie VerteilungeinerVariablen, wenn mindestens eine andere gewisse Werte in nicht zufälliger Art annimmt. Ein Korrelationsproblem dagegen

Mehr

) 10% ist (jeder würde in diese Aktie investieren, der Preis

) 10% ist (jeder würde in diese Aktie investieren, der Preis OFIN Pingo Fragen 1. Der Wert eines Gutes... lässt sich auf einem vollkommenen KM bewerten bestimmt sich durch den relativen Vergleich mit anderen Gütern 2. Jevon's Gesetz von der Unterschiedslosigkeit

Mehr

Kapitel 9 Anwendungen der Integralrechnung in der Flächenmessung

Kapitel 9 Anwendungen der Integralrechnung in der Flächenmessung 9. Flächenmessung mit Integralen 9.1 Flächen mit ausschließlich positiven bzw. ausschließlich negativen Randfunktionen Bis jetzt haben wir den unmittelbaren Zusammenhang zwischen dem Integral einer Funktion

Mehr

Varianz und Kovarianz

Varianz und Kovarianz KAPITEL 9 Varianz und Kovarianz 9.1. Varianz Definition 9.1.1. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω eine Zufallsvariable. Wir benutzen die Notation (1) X L 1, falls E[ X ]

Mehr

Kapitel 5: Entscheidung unter Unsicherheit

Kapitel 5: Entscheidung unter Unsicherheit Kapitel 5: Entscheidung unter Unsicherheit Hauptidee: Die Konsequenzen einer Entscheidung sind oft unsicher. Wenn jeder möglichen Konsequenz eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird, dann kann eine rationale

Mehr

Interpolation, lineare Gleichungen (mit und ohne Lösungen) und lineare Regression

Interpolation, lineare Gleichungen (mit und ohne Lösungen) und lineare Regression Interpolation, lineare Gleichungen (mit und ohne Lösungen) und lineare Regression Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck Technikerstr. 13/7, A-6020 Innsbruck, Österreich franz.pauer@uibk.ac.at

Mehr

Interpolation, lineare Gleichungen (mit und ohne Lösungen) und lineare Regression

Interpolation, lineare Gleichungen (mit und ohne Lösungen) und lineare Regression Interpolation, lineare Gleichungen (mit und ohne Lösungen) und lineare Regression Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck Technikerstr. 13/7, A-6020 Innsbruck, Österreich franz.pauer@uibk.ac.at

Mehr

1 Dichte- und Verteilungsfunktion

1 Dichte- und Verteilungsfunktion Tutorium Yannick Schrör Klausurvorbereitungsaufgaben Statistik Lösungen Yannick.Schroer@rub.de 9.2.26 ID /455 Dichte- und Verteilungsfunktion Ein tüchtiger Professor lässt jährlich 2 Bücher drucken. Die

Mehr

Fehler- und Ausgleichsrechnung

Fehler- und Ausgleichsrechnung Fehler- und Ausgleichsrechnung Daniel Gerth Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 1 / 12 Überblick Fehler- und Ausgleichsrechnung Dieses Kapitel erklärt: Wie man Ausgleichsrechnung betreibt

Mehr

CreditMetrics. Portfoliokreditrisiko Seminar. 10. Oktober Sebastian Sandner. Statistik Seminar bei PD Dr. Rafael Weißbach Universität Mannheim

CreditMetrics. Portfoliokreditrisiko Seminar. 10. Oktober Sebastian Sandner. Statistik Seminar bei PD Dr. Rafael Weißbach Universität Mannheim CreditMetrics Portfoliokreditrisiko Seminar 10. Oktober 2007 Sebastian Sandner Statistik Seminar bei PD Dr. Rafael Weißbach Universität Mannheim Gliederung Page 1. Einführung in Credit Metrics 4 2. Durchführung

Mehr

Vergleich von Entscheidungsträgern bzgl. ihrer Risikoaversion:

Vergleich von Entscheidungsträgern bzgl. ihrer Risikoaversion: Ist das Arrow-Pratt-Maß der absoluten Risikoaversion bekannt, so lässt sich daraus die Nutzenfunktion bestimmen: Mithilfe der Substitution y := U (w) dy = U (w)dw gilt: und daher U (w) U (w) dw = A a (w)dw

Mehr

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Die Längenabweichungen X produzierter Werkstücke von der Norm seien gleichmäßig verteilt zwischen a = mm und b = 4mm. Die Dichtefunktion lautet also f(x) = für a

Mehr

Wiederholung der Hauptklausur STATISTIK

Wiederholung der Hauptklausur STATISTIK Name, Vorname: Matrikel-Nr. Die Klausur enthält zwei Typen von Aufgaben: Teil A besteht aus Fragen mit mehreren vorgegebenen Antwortvorschlägen, von denen mindestens eine Antwort richtig ist und von denen

Mehr

Warum konvergieren Genetische Algorithmen gegen ein Optimum?

Warum konvergieren Genetische Algorithmen gegen ein Optimum? 1 / 21 Gliederung 1 Das Schematheorem Motivation Begriffe Herleitung Ergebnis Das Schematheorem Das Schematheorem Motivation 3 / 21 Warum konvergieren Genetische Algorithmen gegen ein Optimum? Theoretische

Mehr

Copula Funktionen. Eine Einführung. Nils Friewald

Copula Funktionen. Eine Einführung. Nils Friewald Copula Funktionen Eine Einführung Nils Friewald Institut für Managementwissenschaften Abteilung Finanzwirtschaft und Controlling Favoritenstraße 9-11, 1040 Wien friewald@imw.tuwien.ac.at 13. Juni 2005

Mehr

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit

Mehr

Statistik-Klausur vom

Statistik-Klausur vom Statistik-Klausur vom 09.02.2009 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Aufgabe 1 a) Ein Unternehmen möchte den Einfluss seiner Werbemaßnahmen auf den erzielten Umsatz quantifizieren. Hierfür werden die jährlichen

Mehr

Dieses Vielfach hängt ab von der Form der Nutzenfunktion. Man bezeichnet dies auch als Arrow-Pratt Koeffizient.

Dieses Vielfach hängt ab von der Form der Nutzenfunktion. Man bezeichnet dies auch als Arrow-Pratt Koeffizient. Die Riskoprämie ergibt sich also als ein Vielfaches der Varianz der zugrundeliegenden Unsicherheit Dieses Vielfach hängt ab von der Form der Nutzenfunktion. Man bezeichnet dies auch als Arrow-Pratt Koeffizient.

Mehr

Kapitel 8 Einführung der Integralrechnung über Flächenmaße

Kapitel 8 Einführung der Integralrechnung über Flächenmaße 8. Flächenmaße 8.1 Flächenmaßfunktionen zu nicht negativen Randfunktionen Wir wenden uns einem auf den ersten Blick neuen Thema zu, der Ermittlung des Flächenmaßes A von Flächen A, die vom nicht unterhalb

Mehr

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK vom 17. Juli 01 (Dauer: 90 Minuten) Übersicht über

Mehr

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,... 2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel

Mehr

Hypothesen: Fehler 1. und 2. Art, Power eines statistischen Tests

Hypothesen: Fehler 1. und 2. Art, Power eines statistischen Tests ue biostatistik: hypothesen, fehler 1. und. art, power 1/8 h. lettner / physik Hypothesen: Fehler 1. und. Art, Power eines statistischen Tests Die äußerst wichtige Tabelle über die Zusammenhänge zwischen

Mehr

Wirtschaft. Stephanie Schoenwetter. Das IS-LM-Modell. Annahmen, Funktionsweise und Kritik. Studienarbeit

Wirtschaft. Stephanie Schoenwetter. Das IS-LM-Modell. Annahmen, Funktionsweise und Kritik. Studienarbeit Wirtschaft Stephanie Schoenwetter Das IS-LM-Modell Annahmen, Funktionsweise und Kritik Studienarbeit Thema II Das IS-LM Modell Inhaltsverzeichnis Einleitung... 2 1. Die Welt von John Maynard Keynes...

Mehr

2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2]

2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 20 2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 2.1 Kap. 25: Beschreibende Statistik 25.3 Übungsaufgabe 25.3 a i. Arithmetisches Mittel: 10.5 ii. Median: 10.4 iii. Quartile: x 0.25 Y 4 10.1, x 0.75 Y 12 11.1 iv. Varianz:

Mehr

Das (einfache) Solow-Modell

Das (einfache) Solow-Modell Kapitel 3 Das (einfache) Solow-Modell Zunächst wird ein Grundmodell ohne Bevölkerungswachstum und ohne technischen Fortschritt entwickelt. Ausgangspunkt ist die Produktionstechnologie welche in jeder Periode

Mehr

Intermediate Microeconomics Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 2

Intermediate Microeconomics Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 2 Georg Nöldeke Herbstsemester 2010 Intermediate Microeconomics Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 2 1. (a) Indifferenzkurven verlaufen streng fallend und streng konvex; Pfeile zeigen nach rechts-oben. Siehe

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie Physikalische Chemie II: Atombau und chemische Bindung Winter 2013/14 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie Messergebnisse können in der Quantenmechanik ganz prinzipiell nur noch mit einer bestimmten

Mehr

Funktionen in der Mathematik

Funktionen in der Mathematik R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 05.0.008 Funktionen in der Mathematik Bei der mathematischen Betrachtung natürlicher, technischer oder auch alltäglicher Vorgänge hängt der Wert einer Größe oft

Mehr

Gliederung. Thomas Böduel Dienstag, 15. November 2005 Basel II und Rating 2

Gliederung. Thomas Böduel Dienstag, 15. November 2005 Basel II und Rating 2 Basel II und Rating Gliederung Der Weg zu Basel II Die drei Säulen von Basel II Säule 1: Mindestkapitalanforderungen Kreditausfallrisiko Operationelles Risiko Marktrisiko Säule 2: Bankenaufsicht Säule

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 15.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Grundlagen der Mathematik Lösungsskizzen 2 Präsenzaufgaben (P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen: - A = {n

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Teil I Beschreibende Statistik 17. Vorwort 13

Inhaltsverzeichnis. Teil I Beschreibende Statistik 17. Vorwort 13 Inhaltsverzeichnis Vorwort 13 Teil I Beschreibende Statistik 17 Kapitel 1 Statistische Merkmale und Variablen 19 1.1 Statistische Einheiten und Grundgesamtheiten 19 1.2 Merkmale und Merkmalsausprägungen

Mehr

Intermediate Microeconomics Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 2

Intermediate Microeconomics Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 2 Georg Nöldeke Herbstsemester 2011 Intermediate Microeconomics Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 2 1. (a) Indifferenzkurven verlaufen streng fallend und streng konvex; Pfeile zeigen nach rechts-oben. Siehe

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Teil I Beschreibende Statistik 17. Vorwort 13

Inhaltsverzeichnis. Teil I Beschreibende Statistik 17. Vorwort 13 Inhaltsverzeichnis Vorwort 13 Teil I Beschreibende Statistik 17 Kapitel 1 Statistische Merkmale und Variablen 19 1.1 Statistische Einheiten und Grundgesamtheiten 19 1.2 Merkmale und Merkmalsausprägungen

Mehr

Bankmanagement II Übung WS 2009/10. Bankmanagement II. - Übung im WS 2009/10 - Zusatzfolien Aufgabe 4 d) Dipl.-Kff. Tatjana Guse

Bankmanagement II Übung WS 2009/10. Bankmanagement II. - Übung im WS 2009/10 - Zusatzfolien Aufgabe 4 d) Dipl.-Kff. Tatjana Guse Bankmanagement II - Übung im WS 2009/10 - Zusatzfolien Aufgabe 4 d) AUFGABE 4 D) GEBEN SIE EINEN ÜBERBLICK, WELCHE ZIELE MIT DEN NEUEN EIGENKAPITALANFORDERUNGEN VERFOLGT WERDEN. WELCHE METHODEN ZUR ERMITTLUNG

Mehr

Präferenzen und Nutzen. Kapitel 3. Präferenzrelationen. Präferenzrelationen. Präferenzen und Nutzen. Darstellung individueller Präferenzen

Präferenzen und Nutzen. Kapitel 3. Präferenzrelationen. Präferenzrelationen. Präferenzen und Nutzen. Darstellung individueller Präferenzen Präferenzen und Nutzen Kapitel 3 Präferenzen und Nutzen Darstellung individueller Präferenzen Ordinale Ordnung vom Besten zum Schlechtesten Charakterisierung von Nutzenfunktionen Kardinale Ordnung, Alternativen

Mehr

2.6 Potenzen (Thema aus dem Bereichen Algebra)

2.6 Potenzen (Thema aus dem Bereichen Algebra) 2.6 Potenzen Thema aus dem Bereichen Algebra) Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in den Begriff der Potenz 2 2 Repetition: Potenzen mit natürlichen Exponenten 2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 4 4 Potenzen

Mehr

Kapitel VIII - Tests zum Niveau α

Kapitel VIII - Tests zum Niveau α Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel VIII - Tests zum Niveau α Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh Testsituationen

Mehr

BARRIER-HIT-REPORT Q4 2016

BARRIER-HIT-REPORT Q4 2016 BARRIER-HIT-REPORT Q4 2016 Bonus-Zertifikate nur wenige Barriere-Bruche in Q4 2016 SmartTrade hat für 316.000 Bonus-Zertifikate die Barriere-Brüche und Barriere-Bruch-Wahrscheinlichkeiten im vierten Quartal

Mehr

Signalverarbeitung 2. Volker Stahl - 1 -

Signalverarbeitung 2. Volker Stahl - 1 - - 1 - Überblick Bessere Modelle, die nicht nur den Mittelwert von Referenzvektoren sondern auch deren Varianz berücksichtigen Weniger Fehlklassifikationen Mahalanobis Abstand Besseres Abstandsmaß basierend

Mehr

$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade.

$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade. $Id: folgen.tex,v. 202/05/3 2:40:06 hk Exp $ 6 Folgen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir Folgen in einer Menge X als Abbildungen a : N X definiert, die dann typischerweise in der Form (a n ) n N, also

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.

Mehr

Klausur zu Statistik II

Klausur zu Statistik II GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT FB Wirtschaftswissenschaften Statistik und Methoden der Ökonometrie Prof. Dr. Uwe Hassler Wintersemester 03/04 Klausur zu Statistik II Matrikelnummer: Hinweise Hilfsmittel

Mehr

7.2 Moment und Varianz

7.2 Moment und Varianz 7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p

Mehr

Multivariate Verteilungen

Multivariate Verteilungen Multivariate Verteilungen Zufallsvektoren und Modellierung der Abhängigkeiten Ziel: Modellierung der Veränderungen der Risikofaktoren X n = (X n,1, X n,2,..., X n,d ) Annahme: X n,i und X n,j sind abhängig

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+

Mehr

Deskription, Statistische Testverfahren und Regression. Seminar: Planung und Auswertung klinischer und experimenteller Studien

Deskription, Statistische Testverfahren und Regression. Seminar: Planung und Auswertung klinischer und experimenteller Studien Deskription, Statistische Testverfahren und Regression Seminar: Planung und Auswertung klinischer und experimenteller Studien Deskriptive Statistik Deskriptive Statistik: beschreibende Statistik, empirische

Mehr

Standardnormalverteilung

Standardnormalverteilung Standardnormalverteilung 1720 erstmals von Abraham de Moivre beschrieben 1809 und 1816 grundlegende Arbeiten von Carl Friedrich Gauß 1870 von Adolphe Quetelet als "ideales" Histogramm verwendet alternative

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil

Mehr

1 Messfehler. 1.1 Systematischer Fehler. 1.2 Statistische Fehler

1 Messfehler. 1.1 Systematischer Fehler. 1.2 Statistische Fehler 1 Messfehler Jede Messung ist ungenau, hat einen Fehler. Wenn Sie zum Beispiel die Schwingungsdauer eines Pendels messen, werden Sie - trotz gleicher experimenteller Anordnungen - unterschiedliche Messwerte

Mehr

Risikoklassifizierung von Bondm-Anleihen

Risikoklassifizierung von Bondm-Anleihen Risikoklassifizierung von Bondm-Anleihen Technische Dokumentation Einleitung Grundlegende Idee einer Risikoklassifizierung von Wertpapieren ist es, deren Risiken zu bewerten und anschließend Produkte mit

Mehr

Seminar zur Energiewirtschaft:

Seminar zur Energiewirtschaft: Seminar zur Energiewirtschaft: Ermittlung der Zahlungsbereitschaft für erneuerbare Energien bzw. bessere Umwelt Vladimir Udalov 1 Modelle mit diskreten abhängigen Variablen 2 - Ausgangssituation Eine Dummy-Variable

Mehr

55 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen

55 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen 55 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen Sei f : O R mit O R n differenzierbar. Notwendige Bescheinigung für ein lokales Extremum in p 0 ist dann die Bedingung f = 0 (siehe 52.4 und 49.14). Ist nun F :

Mehr

15.5 Stetige Zufallsvariablen

15.5 Stetige Zufallsvariablen 5.5 Stetige Zufallsvariablen Es gibt auch Zufallsvariable, bei denen jedes Elementarereignis die Wahrscheinlich keit hat. Beispiel: Lebensdauer eines radioaktiven Atoms Die Lebensdauer eines radioaktiven

Mehr

Creditreform Bonitätsindex 2.0

Creditreform Bonitätsindex 2.0 Wirtschaftsinformationen Creditreform Bonitätsindex 2.0 > Daten bewerten > Ausfälle prognostizieren Auf die Bonität kommt es an Auch das Bewährte lässt sich noch verbessern. Der Creditreform Bonitätsindex,

Mehr

Übungen (HS-2010): Urteilsfehler. Autor: Siegfried Macho

Übungen (HS-2010): Urteilsfehler. Autor: Siegfried Macho Übungen (HS-2010): Urteilsfehler Autor: Siegfried Macho Inhaltsverzeichnis i Inhaltsverzeichnis 1. Übungen zu Kapitel 2 1 Übungen zu Kontingenz- und Kausalurteile 1 Übung 1-1: 1. Übungen zu Kapitel 2 Gegeben:

Mehr

Vermietendes versus verkaufendes Monopol

Vermietendes versus verkaufendes Monopol Industrieökonomik I Wintersemester 2007/08 1 Vermietendes versus verkaufendes Monopol Im folgenden soll nun anhand eines einfachen Beispiels untersucht werden, wie ein Monopolist, der sich nicht selbst

Mehr

12. Vorlesung. 19. Dezember 2006 Guido Schäfer

12. Vorlesung. 19. Dezember 2006 Guido Schäfer LETZTE ÄNDERUNG: 6. JANUAR 007 Vorlesung: Einführung in die Spieltheorie WS 006/007. Vorlesung 9. Dezember 006 Guido Schäfer 4 Bayesian Games Wir haben bisher immer angenommen, dass jeder Spieler vollständige

Mehr

Klassifikation von Signifikanztests

Klassifikation von Signifikanztests Klassifikation von Signifikanztests nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängige = parametrische Tests verteilungsunabhängige = nichtparametrische Tests Bei parametrischen Tests werden im Modell Voraussetzungen

Mehr

Einführung in die Statistik Kapitel 6: Crash-Course in Statistik: Testtheorie

Einführung in die Statistik Kapitel 6: Crash-Course in Statistik: Testtheorie Einführung in die Statistik Kapitel 6: Crash-Course in Statistik: Testtheorie Jung Kyu Canci Universität Basel HS2015 1 / 15 Literatur Kapitel 6 Statistik in Cartoons : Kapitel 8 Krengel : 6 und 14 Storrer

Mehr

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße. Was ist eine Zufallsgröße und was genau deren Verteilung?

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße. Was ist eine Zufallsgröße und was genau deren Verteilung? Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße Von Florian Modler In diesem Artikel möchte ich einen kleinen weiteren Exkurs zu meiner Serie Vier Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben

Mehr

(8 + 2 Punkte) = = 0.75

(8 + 2 Punkte) = = 0.75 Aufgabe 1 (8 + 2 Punkte) Von 20 Teilnehmern einer Bergwanderung geben 8 Personen an Knieschmerzen zu haben. 6 Teilnehmer leiden an Sonnenbrand. 8 Teilnehmer blieben unversehrt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

Mehr

$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $

$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $ Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 9. $Id: linabb.tex,v.3 9//9 3:7:34 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Lineare Abbildungen Der folgende Satz gibt uns eine einfachere Möglichkeit

Mehr

Kapitel 2 MENGENLEHRE

Kapitel 2 MENGENLEHRE Kapitel 2 MENGENLEHRE In diesem Kapitel geben wir eine kurze Einführung in die Mengenlehre, mit der man die ganze Mathematik begründen kann. Wir werden sehen, daßjedes mathematische Objekt eine Menge ist.

Mehr

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis Lineare Funktion Wolfgang Kippels. November 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................

Mehr

Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung

Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Abgaben: 46 / 587 Maximal erreichte Punktzahl: 8 Minimal erreichte Punktzahl: Durchschnitt: 7 Frage (Diese Frage haben ca. 0% nicht beantwortet.) Welcher Vektor

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Vorwort 13. Teil I Beschreibende Statistik 17. Kapitel 1 Statistische Merkmale und Variablen 19

Inhaltsverzeichnis. Vorwort 13. Teil I Beschreibende Statistik 17. Kapitel 1 Statistische Merkmale und Variablen 19 Inhaltsverzeichnis Vorwort 13 Teil I Beschreibende Statistik 17 Kapitel 1 Statistische Merkmale und Variablen 19 1.1 Statistische Einheiten und Grundgesamtheiten 19 1.2 Merkmale und Merkmalsausprägungen

Mehr

I. Zahlen, Rechenregeln & Kombinatorik

I. Zahlen, Rechenregeln & Kombinatorik XIV. Wiederholung Seite 1 I. Zahlen, Rechenregeln & Kombinatorik 1 Zahlentypen 2 Rechenregeln Brüche, Wurzeln & Potenzen, Logarithmen 3 Prozentrechnung 4 Kombinatorik Möglichkeiten, k Elemente anzuordnen

Mehr

Statistische Tests für unbekannte Parameter

Statistische Tests für unbekannte Parameter Konfidenzintervall Intervall, das den unbekannten Parameter der Verteilung mit vorgegebener Sicherheit überdeckt ('Genauigkeitsaussage' bzw. Zuverlässigkeit einer Punktschätzung) Statistischer Test Ja-Nein-Entscheidung

Mehr

Parametrische vs. Non-Parametrische Testverfahren

Parametrische vs. Non-Parametrische Testverfahren Parametrische vs. Non-Parametrische Testverfahren Parametrische Verfahren haben die Besonderheit, dass sie auf Annahmen zur Verteilung der Messwerte in der Population beruhen: die Messwerte sollten einer

Mehr

Dimensionen. Mathematik. Grundkompetenzen. für die neue Reifeprüfung

Dimensionen. Mathematik. Grundkompetenzen. für die neue Reifeprüfung Dimensionen Mathematik 7 GK Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Inhaltsverzeichnis Buchkapitel Inhaltsbereiche Seite Komplexe Zahlen Algebra und Geometrie Grundbegriffe der Algebra (Un-)Gleichungen

Mehr

Mathematische Grundlagen der dynamischen Simulation

Mathematische Grundlagen der dynamischen Simulation Mathematische Grundlagen der dynamischen Simulation Dynamische Systeme sind Systeme, die sich verändern. Es geht dabei um eine zeitliche Entwicklung und wie immer in der Informatik betrachten wir dabei

Mehr

Fehlerfortpflanzung & Extremwertbestimmung. Folie 1

Fehlerfortpflanzung & Extremwertbestimmung. Folie 1 Fehlerfortpflanzung & Etremwertbestimmung Folie 1 Fehlerfortpflanzung Einführung In vielen technischen Zusammenhängen sind die Werte bestimmter Größen nicht genau bekannt sondern mit einer Unsicherheit

Mehr

Lösungsvorschläge zur Klausur Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik (Sommersemester 2013)

Lösungsvorschläge zur Klausur Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik (Sommersemester 2013) Lösungsvorschläge zur Klausur Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik (Sommersemester 203) Aufgabe (9 Punkte) Ein metrisches Merkmal X sei in einer Grundgesamtheit vom Umfang n = 200 diskret klassiert.

Mehr

2.3 Potenzen (Thema aus dem Bereichen Algebra)

2.3 Potenzen (Thema aus dem Bereichen Algebra) . Potenzen Thema aus dem Bereichen Algebr Inhaltsverzeichnis 1 Repetition: Potenzen mit natürlichen Exponenten Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 4 Potenzen mit rationalen Exponenten 8 1 Potenzen 19.11.007

Mehr

Statistische Methoden der VWL und BWL Theorie und Praxis ST?

Statistische Methoden der VWL und BWL Theorie und Praxis ST? Statistische Methoden der VWL und BWL Theorie und Praxis ST? Vorwort 13 Teil I Beschreibende Statistik 17 Kapitel 1 Statistische Merkmale und Variablen 19 1.1 Statistische Einheiten und Grundgesamtheiten

Mehr

2.3 Kriterien der Entscheidungsfindung: Präferenzen

2.3 Kriterien der Entscheidungsfindung: Präferenzen .3 Kriterien der Entscheidungsfindung: Präferenzen Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf n = ( zwei Güter). Annahme: Konsumenten können für sich herausfinden, ob sie x = ( x, ) dem Güterbündel

Mehr

QUADRATISCHE GLEICHUNGENN

QUADRATISCHE GLEICHUNGENN Schule Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Thema Mathematik Arbeitsblatt A -.: Quadratische Gleichungen LehrerInnenteam m/ Mag Wolfgang Schmid Unterlagen QUADRATISCHE GLEICHUNGENN Definition: Eine

Mehr

Problem aller bisheriger Methoden: Ergebnis ist nur so gut wie das Modell selbst.

Problem aller bisheriger Methoden: Ergebnis ist nur so gut wie das Modell selbst. 2.7 Validierung durch Backtesting Problem aller bisheriger Methoden: Ergebnis ist nur so gut wie das Modell selbst. Modell besteht im Wesentlichen aus zwei Faktoren: 1. Einflussgrößen 2. Modellierungsalgorithmus

Mehr

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen 47 5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen Zur Charakterisierung von Verteilungen unterscheidet man Lageparameter, wie z. B. Erwartungswert ( mittlerer Wert ) Modus (Maximum der Wahrscheinlichkeitsfunktion,

Mehr

Prüfung aus Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik MASCHINENBAU 2003

Prüfung aus Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik MASCHINENBAU 2003 Prüfung aus Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik MASCHINENBAU 2003. Eine seltene Krankheit trete mit Wahrscheinlichkeit : 0000 auf. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein bei einem Erkrankten durchgeführter

Mehr

2.2 Kollineare und koplanare Vektoren

2.2 Kollineare und koplanare Vektoren . Kollineare und koplanare Vektoren Wie wir schon gelernt haben, können wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängern oder verkürzen. In Abbildung 9 haben u und v die gleiche Richtung,

Mehr

Die wichtigsten Ergebnisse:

Die wichtigsten Ergebnisse: SmartTrade hat für 335.000 Bonus-Zertifikate die Barriere-Brüche und Barriere-Bruch-Wahrscheinlichkeiten im zweiten Quartal 2016 untersucht. Die Auswertung beinhaltet sämtliche Produkte der zwölf größten

Mehr

Hinweise vor Beginn der Bearbeitung

Hinweise vor Beginn der Bearbeitung Dynamische Methoden der VWL - Nacholklausur im Sommersemester 016 Seite 1 Bachelor-Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL Sommersemester 016 0.08.016 Bitte gut leserlich ausfüllen!

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 20

Aufgaben zu Kapitel 20 Aufgaben zu Kapitel 20 Aufgaben zu Kapitel 20 Verständnisfragen Aufgabe 20 Sind die folgenden Produkte Skalarprodukte? (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w,, v v 2 w w 2 (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w, 3 v v 2 w w + v

Mehr

Quadratische Funktionen und Gleichungen Mathematik Jahrgangsstufe 9 (G8) Bergstadt-Gymnasium Lüdenscheid. Friedrich Hattendorf

Quadratische Funktionen und Gleichungen Mathematik Jahrgangsstufe 9 (G8) Bergstadt-Gymnasium Lüdenscheid. Friedrich Hattendorf Mathematik Jahrgangsstufe 9 (G8) Lüdenscheid Friedrich Hattendorf 4. September 2014 Vorbemerkung Die Datei entsteht noch; noch nicht alles ist optimal Hinweis zum Ausdruck: (Fast) Alles sollte noch gut

Mehr

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 21. März 2011

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 21. März 2011 Lineare Funktion Wolfgang Kippels. März 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................

Mehr

Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen. Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers Teilbarkeit

Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen. Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers Teilbarkeit Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers. 1.2.0 1 Teilbarkeit Einstieg 1.1 Zeige, dass 900 ein Teiler von 10! ist. Tipp: Schreibe 900

Mehr

Economic Risk. Wirtschaftliche Ungleichheit und soziale Mobilität. Thorsten Vogel Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Humboldt-Universität zu Berlin

Economic Risk. Wirtschaftliche Ungleichheit und soziale Mobilität. Thorsten Vogel Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Humboldt-Universität zu Berlin Economic Risk Wirtschaftliche Ungleichheit und soziale Mobilität Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Humboldt-Universität zu Berlin Wer bekommt wieviel? Frage der Klassiker: Aufteilung der Einkommen

Mehr

Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II:

Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II: Seite 1 von 18 Name: Matrikelnummer: Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II: Bankmanagement und Theory of Banking Hinweise: o Bitte schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf die Klausur

Mehr