Frequenzganganalyse, Teil 4: PI-, PD- und PID-Regler

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1 FELJC Frqunzganganals_PI_PD_PID_4.odt 1 Frqunzganganals, Til 4: PI-, PD- und PID-Rglr 4.1 Widrholung: Statischs Führungs- und Störvrhaltn Untr wlchn Bdingungn rgibt sich in möglichst klin Rglabwichung? ZV ZL W Y Strck X Aufgab 4.1 Lit für dn obign Rglkris mit Vrsorgungs- und Laststörung di Forml für dn statischn Wrt dr Rglgröß hr, in Abhängigkit von w, z V und z L. Vorghnswis: Glichungn für Strck, Rglr und Vrglichr aufstlln Glichungssstm nach x auflösn Ergbnis: x b = K K PR PS K w PS 1 z 1 K PR K PS 1 K PR K V z PS 1 K PR K L PS Zur Erinnrung: Dis Forml läßt sich licht mrknt: untr dm Bruchstrich stht bi jdm Trm 1 + Ringvrstärkung übr dm Bruchstrich sht das btrachtt Signal mal di Vrstärkung dr Blöck di s durchläuft. Führungsvrhaltn: kin Störung z V =0, z L =0 x b = K K PR PS w 1 K PR K PS Wir möchtn in möglichst klin Rglabwichung habn, also im Idalfall x b =w. Dis kann rricht wrdn durch inn möglichst hohn Proportionalbiwrt ds Rglrs, dnn lim x b =w K PR

2 2 Störvrhaltn (Vrsorgungsstörung): kin Ändrung dr Führungsgröß, kin Laststörung w=0, z L =0 K PS x b = z 1 K PR K V PS Wir möchtn in möglichst gut Ausrglung dr Störung, also im Idalfall x b =0. Dis kann auch hir rricht wrdn durch inn möglichst hohn Proportionalbiwrt ds Rglrs, dnn lim x b =0 K PR Störvrhaltn (Laststörung): kin Ändrung dr Führungsgröß, kin Vrsorgungsstörung w=0, z V =0 1 x b = z 1 K PR K L PS Wir möchtn in möglichst gut Ausrglung dr Störung, also im Idalfall x b =0. Dis kann rricht wrdn durch inn möglichst hohn Proportionalbiwrt ds Rglrs, dnn lim x b =0 K PR Zusammnfassung: Für in möglichst klin Rglabwichung und in möglichst gut Ausrglung dr Störung wird in hohr Proportionalbiwrt ds Rglrs gfordrt. Problm: Bi PTn-Strckn führt in hohr Proportionalbiwrt ds Rglrs zu starkm Übrschwingn odr sogar zu Instabilität. Dr Einsatz ins I-Antils im Rglr kann diss Problm lösn. Man kann in I-Glid als P-Glid mit klinm K PR für plötzlich Ändrungn (hoh Frqunzn) und großm K PR für langsam Ändrungn btrachtn (sih Boddiagramm und Sprungantwort). Wnn gnügnd Zit zur Vrfügung stht, kann in Rglung mit I- Antil dn Sollwrt gnau rrichn bzw. in Störung kompltt ausrgln.

3 FELJC Frqunzganganals_PI_PD_PID_4.odt I-Rglr Rin I-Rglr wrdn sltn angwandt, dnn si habn 2 Nachtil: di Raktion rfolgt langsam durch di Phasndrhung von -90 kann sich j nach dr Phasndrhung dr Strck di Ggnkopplung ds Rglkriss in in Mitkopplung vrwandln. In dism Fall wird das Sstm instabil. Um dis Nachtil zu vrmidn bnutzt man in dr Praxis PI- odr PID-Rglr. Bispil: Störvrhaltn im Vrglich mit I-Rglr / P-Rglr x 0.8 PTN t /s Aufgab 4.2 Idntifizir di Kurvn für dn I- und für dn P-Rglr im Diagramm. Aufgab 4.3 Untrsuch in BORIS das Störvrhaltn (Laststörung) ins Rglkriss mit inr Ptn- Strck drittr Ordnung (K PS = 1, Ts = 10s) mit P-Rglr Ab wlchm Wrt für KPR wird das Sstm instabil? Mit I-Rglr Ist dr Rglkris stabil? Wird di Störung vollständig ausgrglt? Aufgab 4.4 Ist in Rglkris mit I-Strck und I-Rglr stabil? Btracht di Phasndrhungn im Blockschaltbild.

4 PID-Rglr als Industristandard (Allgmins) Industrill Rglr sind praktisch immr als PID-Rglr aufgbaut, d.h. di Stllgröß Y rgibt sich aus dr Addition ins P-, ins I- und ins D-Antils. So wrdn di Vortil dr inzlnn Rglr kombinirt. Zusammngfasst: P-Rglr + - I-Rglr + D-Rglr schnll blibnd Rglabwichung kin blibnd Rglabwichung (Sollwrt wird rricht, Störung wird nach gnügnd langr Zit vollständig ausgrglt) langsam, Stabilitätsproblm bi trägn Strckn ragirt stark auf schnll Abwichungn vom Sollwrt allin nicht anwndbar da Y=0 wnn X=const Ein trffnd Bschribung dr inzlnn Antil lifrt Schlütr: P-Antil: J größr di Rgldiffrnz, dsto stärkr di Raktion I-Antil: J längr di Rgldiffrnz anstht, dsto stärkr di Raktion D-Antil: J schnllr di Rgldiffrnz sich ändrt, dsto stärkr di Raktion Wir wolln nun dr Rih nach PI-, PD- und PID-Rglr gnaur btrachtn.

5 FELJC Frqunzganganals_PI_PD_PID_4.odt PI-Rglr a) Glichung im Zitbrich (Prinzip) = P I P =K PR 1 T I dt I b) Sprungantwort Aufgab 4.5 Zichn für das Bispil: = 1V, K PR = 2, T I = 10s in inm Diagramm di Signal, P, I in inm zwitn Diagramm di Stllgröß ds PI-Rglrs Es gibt in disn Diagrammn zwi wichtig Zitn: di Intgrirzit T I ist di Zit, bi dr dr I-Antil dr Stllgröß glich dm Eingangssignal ist, di Nachstllzit T N ist di Zit, bi dr dr I-Antil dr Stllgröß glich dm P-Antil ist. Achtung: dis Dfinitionn bzihn sich nur auf di Sprungantwort! Aufgab 4.6 Lit ausghnd von dr Dfinition dr dr Nachstllzit in Forml hr, mit dr T N aus K PR und T I brchnt wrdn kann. Übrprüf di Brchnung am Bispil. Ergbnis: T N =K PR T I Bi Industrirglrn wrdn nicht K PR und T I, sondrn K PR und T N ingstllt. Aufgab 4.7 Auf wlchn Wrt müsst bi inm Industrirglr di Nachstllzit ingstllt wrdn, wnn man inn rinn P-Rglr habn will und sich dr I-Antil nicht abschaltn lässt? Übrlg mit dr Sprungantwort.

6 6 c) Glichung im Zitbrich mit K PR und T N =K PR 1 T I dt mit T I = T N K PR d) Frqunzgang =K PR 1 T N dt Aufgab 4.8 Gh von dr Forml im Zitbrich aus und lit dn komplxn Frqunzgang ins PI- Rglrs hr (mit K PR und T N ). Ergbnis: F =K PR 1 1 j T N ) Boddiagramm (nährungswis) Aufgab 4.9 Wlch Nährungn gltn für F bi shr nidrign bzw. shr hohn Frqunzn? Wlchs Vrhaltn rgibt sich daraus? Was bdutt das für Btrag und Phas von F? Wlch Nährungsgradn gltn im Amplitudngang? Wo schnidn si sich? Wlch Phasnlag (gnau) rgibt sich bi disr Frqunz? Wlchn Wrt hat dr Btrag von F dort (gnau)? Wi kann man das in db ausdrückn? Ergbniss: Tif Frqunzn: F 1 j T I F 1 T I -20dB/Dkad I-Vrhaltn 90 Hoh Frqunzn: F K PR P-Vrhaltn F K PR 0 Horizontal bi K PR

7 FELJC Frqunzganganals_PI_PD_PID_4.odt 7 Schnittpunkt dr Nährungsgradn bi N = 1 T N Dort ist F =K PR 2 (d.h. +3dB ggnübr K PR) und = 45 F -20dB/Dkad KPR ϕ fn f f Aufgab 4.10 Zichn (nährungswis) das Boddiagramm für das Bispil aus Aufgab 4.5 Aufgab 4.11 Zichn (nährungswis) das Boddiagramm für inn Rglr mit folgndr Sprungantwort bi inm Eingangssprung von 1V. 4V 2V 9s t f) Boddiagramm (xakt) Aufgab 4.12 Lit aus dr Forml für F di xaktn Formln für F und φ ab. Mit disn kann das Boddiagramm in inr Tabllnkalkulation gzichnt wrdn. Ergbnis: F =K 1 1 PR T N 2 =arctan 1 T N

8 8 Bispil: Amplitudngang 100 Btrag von F f/hz Phasngang 0-20 phi/ f/hz Aufgab 4.13 Bstimm di Knnwrt ds PI-Rglrs mit obigm Boddiagramm.

9 FELJC Frqunzganganals_PI_PD_PID_4.odt 9 g) Blockschaltbild ins industrilln PI-Rglrs Am nahligndstn ist di nicht intraktionsfri Paralllstruktur: Dis ist nicht di praktisch vrwndt Schaltung! KPR Hir wrdn K PR und T I ingstllt. Dis ist unpraktisch, dnn bi industrilln Rglrn möcht man K PR und T N instlln könnn. TI Man kann auch nicht infach am Einstllknopf für T I in Skala mit inr Bschriftung für T N anbringn Dis würd für jdn Wrt von K PR andrs ausshn, da T N von K PR und T I abhängt: T N =K PR T I Aufgab 4.14 Lit mit dn Rgln für Blockschaltbildr dn Frqunzgang disr Schaltung hr und form ihn so um, dass r T N nthält. Di bi industrilln Rglrn angwndt intraktionsfri Struktur ght von dr Frqunzgangglichung mit T N aus: KPR Di hir am I-Glid ingstllt Intgrirzit T I * ist di Nachstllzit ds PI-Rglrs. TI* = TN T N und K PR könnn unabhängig voninandr (intraktionsfri ) ingstllt wrdn. Aufgab 4.15 Lit mit dn Rgln für Blockschaltbildr dn Frqunzgang disr Schaltung hr.

10 10 h) Invrtirndr PI-Rglr mit OPV Dis Schaltung wird hr sltn angwndt, da si nicht intraktionsfri ist. Si kann abr wgn ihrr Einfachhit intrssant sin, wnn T N und K PR nicht instllbar sin müssn. R2 C R1 Aufgab 4.16 Bwis mit dr Mthod dr komplxn Impdanzn, dass di Schaltung PI-Vrhaltn hat. Bstimm di Paramtr als Funktion dr Bautilwrt. Warum ist di Schaltung nicht intraktionsfri? i) Bispil für das dnamisch Führungsvrhaltn x 1.6 PTN t /s Aufgab 4.17 Das Diagramm zigt das Führungsvrhaltn ins Rglkriss, inmal mit P- und inmal mit PI-Rglr. Wlchr Sollwrt war ingstllt? Wlch Kurv ghört zum PI- und wlch zum P-Rglr?

11 FELJC Frqunzganganals_PI_PD_PID_4.odt PD-Rglr a) Vortil PD-Rglr ragirn stark, wnn sich di Rglgröß plötzlich vom Sollwrt ntfrnt Dr D-Antil hat in stabilisirnd Wirkung auf Rglkris mit Strckn höhrr Ordnung. Richtig ingstllt rgibt sich mit D-Antil wnigr Übrschwingn als bi inm rinn P-Rglr. Instabil Rglkris könnn untr Umständn mit inm D-Antil stabilisirt wrdn. Bispil: Führungsvrhaltn PT3, Ts = 5s bi w=1 x 0.9 PTN t /s (gstrichlt: mit PD-Rglr K PR = 2, durchgzogn mit PD-Rglr K PR = 2, T D = 5s) Nachtil: wi bim P-Rglr gibt s in blibnd Rglabwichung. Praktischs Bispil: Schwbnd Kugl: b) Glichung im Zitbrich (Prinzip) KPR P = P D =K PR T D d dt D TD In dr Praxis wird für das D-Glid in DT1-Glid gwählt. Warum? (Sih D0, DT1).

12 12 c) Sprungantwort Wgn ds D-Antils ist di Sprungantwort wnig aussagkräftig. Bi inm PD-Rglr mit rinm D0 würd im Momnt ds Sprungs (thortisch!) am Ausgang in Diracstoss rschinn, danach würd das Eingangssignal mit dm Faktor K PR vrstärkt rschinn. Bispil für = 1V, K PR = 2: 2V t Von dism Vrhaltn ist das Schaltzichn abglitt. Di Sprungantwort nthält kin Information übr T D! Bi inm PDT1-Rglr, wi r in dr Praxis vorkommt, wird dr Eingangssprung nicht unndlich hoch vrstärkt, sondrn nur mit dr Vorhaltvrwstärkung V D. Aufgab 4.18 Das folgnd Diagramm zigt di Sprungantwort ins PDT1-Rglrs bi inm Eingangssprung von 1V zum Zitpunkt t=1s. Bstimm daraus K PR, V D und T D. /V 10 9 PID t /s In dr Praxis ist diss Vrfahrn mist untauglich, da di Unsichrhitn bi dr Mssung ds Spitznwrts und dr Zitkonstantn zu fhlrbhafttn Wrtn für T D führn.

13 FELJC Frqunzganganals_PI_PD_PID_4.odt 13 d) Anstigsantwort Wgn ds D-Antils ist s sinnvollr, statt dr Sprungantwort di Anstigsantwort aufzunhmn. Bispil: /V 4 2 /V t/s t/s Aufpassn: di Anstigsantwort ähnlt auf dn rstn Blick dr Sprungantwort ds PI-Rglrs, si stllt abr twas andrs dar! Aufgab 4.19 Zrlg di Kurv von in P- und D-Antil. Bstimm daraus di Paramtr K PR und T D ds Rglrs. Aufgab 4.20 Was würd sich am Diagramm ändrn, wnn dr Rglr inn 1.5x so starkn D-Antil hätt? ) Vorhaltzit Di Wirkung ds D-Antils wird durch T D bschribn. J größr T D, dsto stärkr dr D-Antil. Ähnlich wi bim PI-Rglr bnutzt man praktisch abr libr in Zit, di s rlaubt, di Wirkung von P- und D-Antil mitinandr zu vrglichn, di Vorhaltzit Tv. Di Vorhaltzit T V ist di Zit, di bi dr Anstigsantwort vrght, bis dr P-Antil di glich Wirkung wi dr D-Antil hat. Aufgab 4.21 Zichn T V im Diagramm in. Aufgab 4.22 Lit aus dn Glichungn für PD-Rglr und Anstigsfunktion und dr Dfinition dr Vorhaltzit dn Zusammnhang zwischn T V, T D und K PR hr. Brchn T V und vrglich mit dm grafisch rmittltn Wrt. Ergbnis: T V = T D K PR

14 14 f) Frqunzgang Dr Frqunzgang kann aus dr Glichung im Zitbrich odr infachr aus dm prinzipilln Blockschaltbild hrglitt wrdn: F =K PR j T D Da in dr Praxis di Vorhaltzit butzt wird, ist s üblich, di Glichung umzuformn. Mit T V = T D K PR T D =T V K PR rhält man F =K PR 1 j T V g) Intraktionsfri Blockschaltung: KPR TD* In disr Schaltung ist di instllbar Diffrnzirzit di Vorhaltzit ds Rglrs. K PR und T V lassn sich intraktionsfri instlln. h) Boddiagramm (nährungswis) F =K PR 1 j T V für nidrig Frqunzn rgibt sich: F K PR F K PR 0 P-Vrhaltn (horizontal Nährungsgrad im Amplitudngang) für hoh Frqunzn rgibt sich: F j K PR Tv= j T D D-Vrhaltn F T D 90 (+20dB/Dkad Nährungsgrad im Amplitudngang)

15 FELJC Frqunzganganals_PI_PD_PID_4.odt 15 Dr Schnittpunkt dr Nährungsgradn im Amplitudngang rgibt sich bi dr Frqunz K PR = T D, also = K PR T D = 1 T V Ähnlich wi bim PI-Rglr findt man für dis Frqunz inn Btragswrt von F =K PR 2, also 3dB übr dm Wrt von K PR. Schmatisch rgibt sich folgnds Boddiagramm: F KPR 20dB/Dkad ϕ fv +90 f f Aufgab 4.23 Übrprüf di Bhauptung, dass dr Wrt von F bi V = 1 von KPR ligt. T V 3dB übr dm Wrt Aufgab 4.24 Zichn das Boddiagramm ds Rglrs aus Aufgab 4.19 h) Boddiagramm (xakt) Aufgab 4.25 Lit di xaktn Formln zur Konstruktion ds Boddiagramms aus dm Frqunzgang ab. Ergbniss: F =K PR 1 T V 2 =arctan T V

16 16 Bispil: Amplitudngang 1000 Btrag von F f/hz Phasngang phi/ f/hz Aufgab 4.26 Bstimm di Rglrparamtr aus dm Boddiagramm. i) OPV-Schaltung C1 R2 IN OUT R1 Aufgab 4.27 Ist di gzigt Schaltung in PD-Rglr? Wovon hängn K PR und T V ab? Ist di Schaltung intraktionsfri?

17 FELJC Frqunzganganals_PI_PD_PID_4.odt PID-Rglr a) Vortil dr P-Antil ragirt schnll dr D-Antil ragirt stark bi schnlln Ändrungn dr Rglgröß und hat in stabilisirnd Wirkung auf Rglkris mit Strckn höhrr Ordnung. Dr I-Antil sorgt dafür, dass s kin blibnd Rglabwichung gibt. b) Glichung im Zitbrich (Prinzip) KPR P = P I D =K PR 1 dt T T D d I dt TI I TD D c) Frqunzgang Disr lässt sich dirkt aus dm Prinzip-Blockschaltbild rmittln: F =K PR 1 j T I j T D Umgformt mit dn Bzihungn für T N und T V rgibt sich: F =K PR 1 1 j T N j T V Aufgab 4.28 Kontrollir di Richtigkit dr obign Forml.

18 18 d) Intraktionsfri Blockschaltung Aus dr Forml für dn Frqunzgang mit T N und T V rgibt sich di intraktionsfri Blockschaltung, bi dr K PR, T N und T V unabhängig voninandr ingstllt wrdn könnn: TI* KPR TD* Achtung: hir ist T N = T I * und T V = T D * Dis Schaltung wird in Industrirglrn vrwndt. ) Nährungn im Frqunzgang Das Ausgangssignal stzt sich aus 3 Antiln zusammn, von dnn j nach Frqunz inr wsntlich stärkr als di andrn ist. Di bidn schwächrn Antil könnn dann nährungswis vrnachlässigt wrdn. Wlchr Antil ausschlaggbnd ist, siht man sofort im Amplitudngang: F I-Antil D-Antil KPR P-Antil 1/TN 1/TV omga Wnn di Frqunzn N = 1 und T V = 1 wit gnug ausinandr lign, stlln N T V di rot gzichntn Kurvnstück inigrmassn gut Nährungn dar (man bacht dn logarithmischn Maßstab). In dr Praxis ist dis Bdingung abr nicht immr ggbn, sodass das flach Stück mit P- Vrhaltn mhr odr wnigr stark in I- und D-Richtung vrbogn wird. Evntull rgibt sich nur in Spitz bis zum Wrt ds P-Antils. In dism Fall kommt man um in xakt Brchnung nicht hrum.

19 FELJC Frqunzganganals_PI_PD_PID_4.odt 19 Aufgab 4.29 Gb Nährungn für F, F, für tif, mittlr und hoh Frqunzn an. f) Exakts Boddiagramm Aufgab 4.30 Lit aus dr Frqunzgang-Glichung di Formln zum Zichnn ds xaktn Boddiagramms hr. Ergbnis: F =K 1 T 1 2 PR V T N =arctan T V 1 T N Bispil für in Boddiagramm: Amplitudngang 1000 Btrag von F f/hz Phasngang phi/ f/hz

20 20 Aufgab 4.31 Bstimm di Paramtr ds Rglrs aus dm obign Boddiagramm. g) OPV-Schaltungn Bispil 1 C1 C2 R2 u1 R1 u2 Dis Schaltung ist nur in sltnn Fälln (bi fstn Paramtrn) anwndbar, da si nicht intraktionsfri ist. Aufgab 4.32 Bwis, dass di Schaltung PID-Vrhaltn hat und gib Formln zur Brchnung dr Paramtr an. Bispil 2: Intraktionsfri Schaltung Aufgab 4.33 Analsir di Schaltung. Bschrift Ein- und Ausgäng, di Signal innrhalb dr Schaltung und di Funktion dr Potntiomtr. Zichn in Blockschaltbild dr Schaltung.