GRUNDEIGENSCHAFTEN: Definitionsbereich Stetigkeit Polstellen Asymptoten Schaubilder

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1 GRUNDEIGENSCHAFTEN: Defiitiosbereich Stetigkeit Polstelle Asymptote Schaubilder Teil Datei Nr. Friedrich W. Buckel Iteratsgymasium Schloß Torgelow November 000

2 INHALTSVERZEICHNIS. Form gebroche ratioaler Fuktioe Normalform; Grad vo Zähler ud Neer, Asymptotegrad Grudaufgabe: Umformug vo Fuktiosterme Verwedug vo Polyomdivisio. Stetigkeit gebroche ratioaler Fuktioe 5 + Beispiel : f() = Polstelle ohe Zeichewechsel 5 Vorzeichetabelle; Verwedug vo Zahlefolge bei Polstelle 6 Beispiel : f() = Polstelle ohe Zeichewechsel 7 Beispiel : Beispiel : f() = f() = ( ) + ( + ) Schaubild mit Loch 0 hat doch eie Pol mit Zeichewechsel Übersicht über Nullstelle vo Zähler ud Neer. Asymptote. Fuktioe mit Asymptotegrad < 0 Berechug der Grezwerte für II Aalyse der 6 Musterbeispiele B bis B6: 5 f() = 8 f() = ud f() = 5 f() = 5 ( ) + f() = 8 ud f() =, 5 ( + ) 5. Fuktioe mit Asymptotegrad 0 7 Berechug der Grezwerte für II 8 Aalyse der 6 Musterbeispiele B7 bis B: f() = = +, f() = ud f() = f() =, f() = = ud f() = 0 ( ) 6. Fuktioe mit Asymptotegrad Grezwerte für II ud Aalyse vo 5 Beispiele f() = = + ud f() = = = + f() = = + f() = + ud f() = + 6 6

3 7. Fuktioe mit Asymptotegrad 5 Grezwerte für II ud Aalyse vo Beispiele 6 + f() = + =, f() = =, 6 + f() = + = 6 8. Näherugskurve für 0 7 Hiweise zum Verfahre der Ordiateadditio 7 6 f() = f() = = = 8 + f() = + = ud f() = = 9 + f() = + = 0 9. Gebroche ratioale Fuktioe ohe Polstelle 0. Zusammefassug: Asymptote. Symmetrieutersuchuge der geate Beispiele. Symmetrie zur y-achse - Puktsymmetrie zum Ursprug Symmetrie zu = a - Puktsymmetrie zu Z ( a I b ). Lösuge der Aufgabe aus dem Mauskript 6

4 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte. Form gebroche ratioaler Fuktioe Die Gleichuge gebroche ratioaler Fuktioe köe i gaz uterschiedliche Forme dargestellt sei. Hier eiige Beispiele: 8 f() = f() = f() = Währed die erste Fuktiosgleichug scho die "ormale Form" hat, i der alles mit eiem Bruchstich dargestellt wird, bestehe die beide adere Fuktiosterme aus zwei Summade. Brigt ma diese auf de Haupteer, da habe auch sie die Normalform: 8 8 f() = = ( ) + (+ ) f() = + = = = + ( + )( ) Defiitio: Eie Fuktio, die ma auf diese Form (Normalform) brige ka, heißt gebroche ratioal: m m u() am + am a+ ao f() = = v() b + b b + bo Ma et de größte Epoete m im Zähler de Grad des Zählers ud de höchste vorkommede Epoete im Neer de Grad des Neers. Das Zählerpolyom u() hat also de Grad m, das Neerpolyom de Grad. Die Differez m - ist der sogeate Asymptotegrad Vo de obe ageschriebee Fuktioe hat f de Zählergrad, de Neergrad ud de Asymptotegrad 0. f de Zählergrad, de Neergrad ud de Asymptotegrad f de Zählergrad, de Neergrad ud de Asymptotegrad - Ist u die Fuktio f mit f() = + + auch gebroche ratioal? Sie ist vo der Form her eie gazratioale Fuktio. Schreibe wir jedoch + + f() = + + = Da köe wir sie auch gebroche ratioal ee, de auch sie hat ei Neerpolyom: v() =. Dieses hat de Grad 0. Streg geomme sid also auch sämtliche gazratioale Fuktioe (ueigetliche) gebroche ratioale Fuktioe. Weil auf die aber die typische, auf de folgede Seite zu utersuchede Fuktioe icht vorkomme, schließe wir sie hier aus.

5 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Grudaufgabe Termumformuge vo der aufgespaltee Form i die Normalform ud umgekehrt. Fall: Der Neer ethält keie Summe a) f() = = (+ ) b) f() = + + = = c) ( ) + + f() = + = = + d) f() = + = + = Trete i beide Summade Brüche auf, wird der Haupteer gebildet. + 6 e) f() = + = + = Umkehrug f) g) h) i) j) k) l) f() = = = f() = = + = f() = = = + f() = = + = + = f() = = = = + f() = = + = + f() = = = = Aufgabe () Brige auf die Normalform: f() = (a) (b) + (c) + (d) () Zerlege so weit wie möglich (a) (b) (c) (d) 8 Die Lösuge stehe auf Seite 6 (e) (e) 6

6 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte. Fall: Der Neer ethält eie Summe (+ ) g) f() = = = g) f() 8 ( + 9) = + = = (+ ) g) f() = + = = g) f() (+ )( ) (+ )( + ) = + = = ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) Hiweis: Neerquadrate sollte ma ie ausmultipliziere! Umkehrug Um eie Bruch zu zerlege, der im Neer eie Summe ethält, muß ma mit Polyomdivisio arbeite! g) f() = ( ):( + ) = + ( + ) also gilt f() = + Ei Divisio geht bei solche Aufgabe i der Regel ie auf, d.h. es bleibt ei Rest übrig, de ma icht mehr teile ka. Dieser taucht da im Zähler des Restbruches auf, hier die Zahl -, das Mius wurde da vor de Bruch gezoge. 9 f) f() = ( + 0 9):( ) = + ( ) 5 9 also f() = + ( ) 5 g) f() = also h) + f() = + + f() = also f() = + + ( ):( ) = + ( ) ( ) 0+ ( ):( + ) = + + ( ) + ( )

7 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Aufgabe Nr.. Zerlege durch Polyomdivisio i Eizelbrüche: f() = (a) (b) (c) (d) (e) Lösuge auf Seite 6 Hiweis: Nicht zu früh mit der Divisio aufhöre!! Ma etdeckt sehr schell, daß eie solche Zerlegug i eie gazratioale Ateil ud eie echt gebrochee Ateil (mit Zählergrad < Neergrad) ur da möglich ist, we der Zählergrad midestes so groß ist, wie der Neergrad. + So ethält beispielsweise die Fuktio f mit f() = keie gazratioale + 6 Ateil, de diese Divisio ka gar icht erst begoe werde! Adererseits ist eie Polyomdivisio bei eier solche Rechug auch erst da zu Ede, we der verbleibede Rest im Grad kleier ist als der Neer. Beispiel: ( + + 6):( + ) = f() = + ( + ) Nebestehede Divisio führt zum Ergebis f() = +. Dies ist aber icht das Edergebis, de die Divisio ka och + eie Schritt weitergeführt werde: ( + + 6):( + ) = + ( + ) f() = Eie Divisio ist also erst da zu Ede, we ( + ) der Rest eie kleiere Hochzahl hat als der Neerterm.

8 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte 5. Stetigkeit gebroche ratioaler Fuktioe Zum Begriff der Stetigkeit gibt es eie gaz aschauliche Beschreibug: Eie stetige Fuktio hat die Eigeschaft, daß ma ihr Schaubild ohe abzusetze zeiche ka Das Problem ist jedoch: Wie weist ma bei eier Fuktio ach, daß sie stetig ist, bzw. wie weiß ma, wo eie Fuktio icht stetig ist. Diese Stetigkeitsbeweise sid tückisch ud sehr aufwedig. Dies überlasse wir de Fachlehrer im Uterricht. Hier ehme wir ur die Ergebisse zur Ketis. Eie gebroche ratioale Fuktio ist ur dort icht stetig, wo der Neer Null wird. Wir schaue us drei Beispiele a. Beispiel : f() = + Der Neer hat die Nullstelle. Ud zu gibt es keie Fuktioswert: f() = ist kei Zahlewert. 0 Da ma durch Null icht dividiere ka, gibt es für die Zahl keie Fuktioswert. Zu alle adere Zahle ka ei Fuktioswert berechet werde. Die Mege der Zahle, zu dee ma eie Fuktioswert bereche ka. Net ma de Defiitiosbereich eier Fuktio. Bei gebroche ratioale Zahle besteht dieser aus der Mege aller reelle Zahle ohe die Nullstelle des Neers. Usere Fuktio hat also diese Defiitiosbereich: D = R \{} Ierhalb dieses Defiitiosbereiches (der jetzt aus zwei Teilitervalle besteht), ist f stetig. Gemäß userer aschauliche Beschreibug sollte ma daher i de Itervalle liks vo ud rechts vo die zu f gehörede Kurve ohe abzusetze zeiche köe. Doch was passiert a der Nullstelle des Neers? Geht ma ach der Abbildug, da scheit die Kurve vo liks gege kommed ach ute, geauer ach zu laufe, währed sie bei Aäherug vo rechts gege ach obe, geauer gege + läuft. Es gibt zwei Möglichkeite, dies zu ermittel.

9 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte 6. Methode: Erstellug eier Vorzeichetabelle für Erklärug: - f() = + Der Zählerterm stellt i der Form y = + eie Gerade mit der Steigugszahl dar. Ihre Nullstelle ist bei -. Vo da a steigt die Gerade ach rechts i de Bereich positiver Werte, ud ach liks hi fällt sie i de Bereich egativer Werte. Die wurde i der erste Zeile der Tabelle symbolisch eigetrage. I der. Zeile steht der Neerterm -, der i der Darstellug als Gerade seie Nullstelle bei hat ud wege seier ebefalls positive Steigugszahl auch rechts davo positive ud liks davo egative Werte hat. Der Fuktiosterm etsteht als Divisio der Zählerwerte durch die Neerwerte. Dividiert ma Zahle mit gleichem Vorzeiche, da ist das Ergebis positiv, dividiert ma Zahle mit uterschiedliche Vorzeiche, wird das Ergebis egativ. Diese Vorzeiche stehe i der. Zeile. Die Tabelle liefert also das Ergebis: Im Itervall ] ; ] ist f() > 0. (liks vo der Nullstelle - ) Im Itervall ] ; [ ist f() < 0 (zwische der Nullstelle ud ) Im Itervall ] ; [ ist f() > 0. (rechts vo ) Daraus folgert ma: Für gege vo liks geht f() ud für + (das Pluszeiche hiter der heißt "vo rechts" ) gilt: f(). Aber warum gehe die Fuktioswerte u gege ±??? Wer dies achweise soll, ka so vorgehe: (ka überspruge werde). Methode: "Die Reise mit eier Folge is Uedliche". Da bei = etwas ugewöhliches passiert, so daß am Ede icht eimal mehr ei Fuktioswert herauskommt, äher wir us gaz vorsichtig dieser Stelle a. Als "Fahrzeug" für diese Reise wähle wir eie Zahlefolge, die geau diese Zahl als Grezwert hat. Für die Aäherug vo liks her köe wir beispielsweise die Folge = = wähle. Lasse wir gege Uedlich gehe, da wird der O + + O Bruch immer kleier, ud so äher wir us der Zahl. Etwa 0 = =,9, 00 = =,99, 000 = =, Isgesamt ist der Grezwert dieser Folge : lim = lim( ) =

10 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte 7 Wir "setze" us jetzt gedaklich auf diese Folge ud bereche zu jeder Nummer de Fuktioswert. So äher wir us immer weiter der kritische Zahl a. Das Folgeglied erhält zuächst eimal diese Fuktioswert: + f( ) = f( ) = = = ( ) = + = Ud los geht die Reise: = : = = ud f( ) = = =0: 0 = =,9 ud f( 0 ) = 0 = 9 0 =00: 00 = =,99 ud f( 00 ) = 00 = =000: 000 = =,999 ud f( 000 ) = 000 = Ma ka hier aufhöre, de jeder erket jetzt, daß diese Folge us brigt. Wir habe also das erste Teilergebis: We f() + Für die Aäherug vo rechts verwede wir die Folge = + =. Dazu gehört die Folge der Fuktioswerte: f( ) = f( + ) = = = + = + + Ud u gehe wir auf die Reise "Aäherug gege vo rechts mittels ": = : = + = ud f( ) = + = =0: 0 = + =, ud f( 0 ) = 0 + = 0 =00: 00 = + =,0 ud f( 00 ) = 00 + = 0 00 =000: 000 = + =,00 ud f( 000 ) = = Wir sehe, daß immer kleier wird ud gege geht, ud die zugehörige Fuktioswerte ehme zu: We f()

11 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte 8 Defiitio: Gehe die Fuktioswerte bei Aäherug a eie Stelle a gege oder, da heißt a eie Polstelle. Es liegt eie Polstelle mit Zeichewechsel vor, we f auf der eie Seite gege + ud auf der adere Seite gege geht. Wir habe also herausgefude, daß usere Fuktio f bei eie Polstelle mit Zeichewechsel hat. Zur Lösug vo Abituraufgabe ist dieser Weg mit de Folge icht otwedig. Eie solche Rechug diet ur der Eisicht ud der Aschaulichkeit. Wir habe durch Verwedug der Folge tatsächlich Zahle erhalte, die de Verlauf ach bzw. algebraisch aufzeige. (Das Argumet "die Zeichug zeigt das doch auch" gilt icht, de diese Zeichug muß ja erst eimal erstellt werde! ). Beispiel : f() = ( ) Das Schaubild dieser Fuktio wurde u i "Origialgröße" dargestellt. Ma erket sofort, daß hier eie Polstelle vorliegt, die aber jetzt keie Zeichewechsel hat. Wer eie weitere Übug mit eier Folge sehe möchte, ka de Abschitt auf der folgede Seite durchlese. Das Ergebis, das ma atürlich (uerlaubterweise eimal) a der Zeichug ablese ka, lautet: Für f(). Der Grud dafür, daß hier eie Polstelle ohe Zeichewechsel vorliegt, ist die Tatsache, daß der Neer bei eie doppelte Nullstelle hat. Damit etfällt dort der Zeichewechsel. Wir spreche i eiem solche Fall vo eier Polstelle. Grades oder. Ordug.

12 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte 9 Eischub: Pol-Utersuchug mit Zahlefolge Wir wähle wieder die beide Folge vo Beispiel, de geau wie dort liegt die Nullstelle des Neers a der Stelle. Aäherug vo liks bzw. rechts gege mit de Folge = ± Zugehöriger Fuktioswert: + + f ( ) = = = = + = + = Für gege Uedlich äher sich beide Folge der Zahl a. Die Fuktioswerte gehe beide gege, wie ma durch Eisetze vo Zahle sieht: f( 00 ) = f( ) = 00 ( 00 ) = = Bei Aäherug vo rechts erhält ma + f + ( ) = = = = = = + + f( 00 ) = f( + ) = 00 ( 00 + ) = 00 0= Natürlich ka ma auch durch eie kurze Beweis achreche, daß i beide Fälle f( ) geht. Doch das will ich hier icht dem Uterricht wegehme! Wer dieser Rechug folge kote, der hat zumidest eie Erisicht davo bekomme, daß wir hier eie Fuktio mit eier Polstelle habe, a der es keie Zeichewechsel gibt. Das Ergebis lautet so: Für f() Wer dieses Vorzeicheverhalte mit eier Vorzeichetabelle utersuche will, erhält i der. Zeile des Neers wege ( - ) ur positive Vorzeiche, daher tauche für die Fuktio liks ud rechts vo ur egative Vorzeiche auf. - + O ( - ) + + O+ + + Achtug i der. Reihe: Der Zählerterm - hat eie egative Steigug. Daher hat er rechts vo seier Nullstelle egative Werte ud liks davo positive!

13 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte 0 Beispiel : f() = + Zuächst eimal vermutet der Leser Auf de erste Blick, daß hier ei Fehler vorliege sollte, de das Schaubild stellt offekudig eie Gerade dar. Diese hat erkebar die Steigug ud scheidet die y-achse bei -, also sollte sie die Gleichug y = - habe. Der Reihe ach: Zuächst müsse wir feststelle, daß die Fuktio eie Neer hat, ud dieser hat die Nullstelle = -. Daher besitzt f de Defiitiosbereich D = R \{ } Also gibt es zur Zahl - keie Fuktioswert!!! Nu sollte wir etdecke, daß der Zähler zerlegt werde ka: Bekatlich ist ja - = ( - )( +- ), also folgt: ( )( + ) f() = = = + (+ ) Hier wurde durch (+) gekürzt. Dies ist aber ur da erlaubt, solage icht die 0 Zahl - ist, de für - heißt der Wert f( ) = = ud dies ist kei 0 brauchbarer Zahlewert. Ergebis: Diese Fuktio ka durch Kürze zu f() = - vereifacht werde, allerdigs muß der ursprügliche Defiitiosbereich D = R \ { - } beibehalte werde. Das Schaubild stellt also eie Gerade dar, die ab er bei - keie Pukt hat. Dort befidet sich das Loch L ( - I - ). Im Schaubild ist dieses Loch im Schittpukt der schräge Gerade mit der Sekrechte = -. Wir habe somit eie wichtige Erketis gewoe: Nicht jede Nullstelle des Neers führt zu eier Polstelle. Hier hatte Zähler ud Neer eie gemeisame Nullstelle, so daß ach dem Kürze die Nullstelle des Neers verschwude war. Dies führte zur Situatio "Loch im Schaubild". Aber auch hier gibt es och eie weitere Variate: o

14 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Beispiel : f() = ( + ) Nullstelle der Zählers: = also = ud = - Nullstelle des Neers: (+) = 0 d.h. = - als doppelte Nullstelle. ( )( + ) f() = = = + ( + )( + ) + ( ) Nach dem Kürze des Fuktiosterms durch ( + ) bleibt im Neer immer och eie Klammer (+) übrig. d.h. jetzt liegt doch wieder eie Polstelle bei - vor. Übersicht u() Gegebe ist eie gebroche-ratioale Fuktio i Normalform: f() = v() Zuerst bestimmt ma die Nullstelle des Zählers ud des Neers.. Fall: Zähler ud Neer habe keie gemeisame Nullstelle: Da hat f a jeder Nullstelle des Neers eie Polstelle. Tritt eie Neer--Nullstelle eifach oder dreifach auf, liegt dort ei Pol mit Zeichewechsel vor. Tritt eie Neer-Nullstelle zweifach, vierfach usw. auf, da gibt es am Pol keie Zeichewechsel.. Fall: Zähler ud Neer habe gemeisame Nullstelle. Da ka ma zu jeder Nullstelle a eie Liearterm (-a) ausklammer ud aus Zähler ud Neer wegkürze. Dabei muß allerdigs der ursprügliche Defiitiosbereich erhalte bleibe! Ist eie solche gemeisame Nullstelle ach dem Kürze keie Polstelle, da tritt sie als Loch im Schaubild auf, da sie ja weiterhi im Defiitiosbereich ausgeschlosse ist. Nr. : (a) (g) (l) Aufgabe Utersuche, welche der geate Fuktioe Pole bzw. Löcher aufweise. Gib jeweils de Defiitiosbereich a: f() =... (b) (h) (p) (m) (c) (i) ( ) (d) + + () + 9 (j) (e) (o) (k) Lösuge auf Seite 7/8 + (f)

15 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte. Asymptote Betreibe wir zuerst Aschauugsuterricht a Had der gezeigte Fuktioe. + ) f() = wurde auf Seite 5 dargestellt. Dort erket ma, daß sich das Schaubild gleich zwei Gerade ähert. Zum eie hat f die Polstelle =. Ud für erhielte wir f() ±. Die Kurve geht also vo liks aus ach ute ud ähert sich dort der Gerade =. Vo rechts her ähert sie sich derselbe Gerade ach obe. Eie Gerade, der sich eie Kurve beliebig gut aähert, heißt eie Asymptote User Schaubild hat also die sekrechte Asymptote mit der Gleichug =. Sie hat - wie die Abbildug zeigt, außerdem die waagerechte Asymptote mit der Gleichug y =. Dies wird gleich begrüdet! ) f() = wurde auf Seite 8 vorgestellt. Auch sie hat eie Polstelle, ( ) sogar ohe Zeichewechsel, ud wie ma sieht, hat das Schaubild die sekrechte Asymptote mit der Gleichug =. Auch hier beobachte wir die Eistez eier waagerechte Asymptote, die jetzt die -Achse ist. Ihre Gleichug: y = 0. Hat eie Fuktio die Polstelle a, da besitzt ihr Schaubild die sekrechte Asymptote mit der Gleichug = a. Bei waagerechte Asymptote geschieht die Aäherug ach liks bzw. rechts. Wir müsse dazu utersuche, wie sich die Fuktio für ± verhält. Es soll gleich eie Übersicht gegebe werde. Folgede Fälle müsse wir utersuche:. Fall: Die -Achse ist waagerechte Asymptote. Fall: Eie Parallele zur -Achse ist waagerechte Asymptote. Fall: Es gibt eie schräge Asymptote.Fall: Es gibt eie Näherugskurve, der sich die Kurve aähert.

16 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte. Fuktioe mit Asymptotegrad < 0. Hier im Voraus die sechs Schaubilder userer Musteraufgabe: B: f ( ) = B : f ( ) = B : f ( ) = 8 ( ) B : f = 5 ( ) + B5 : f 8 ( ) = B6 : f ( ) = 5 ( + ) Das Kezeiche dieser 6 Fuktioe ist: Der Neergrad ist größer als der Zählergrad. Durch Subtraktio ergibt dies eie egative Asymptotegrad. Wie wir a de Abbilduge sehe köe, führt dies offebar stets dazu, daß die -Achse waagerechte Asymptote wird. We sich die Kurve ach rechts ud liks immer dichter der -Achse aähert, da gehe die Fuktioswerte ach 0. Um dies u geauer zu utersuche, bereche wir die Grezwerte dieser 6 Fuktioe für ± bzw. für II, was dasselbe bedeutet! Das agewadte Berechugsverfahre beruht auf dem Grezwertsatz für Fuktioe. Dieser gestattet es us, eie Grezwert aus adere Grezwerte zu bereche. Zuvor müsse wir aber usere Bruchterme dadurch umforme, daß wir durch die höchste -Potez des Neers kürze. Damit etstehe eue Zähler ud Neer, die ihrerseits jetzt für eie Grezwert aufweise, so daß der Bruch auch eie Grezwert erhält. Ohe diese Kürzugsprozess würde die Neer keie edliche Grezwert habe.

17 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Berechug der Fuktiosgrezwerte für B: B: B: B: lim lim = lim = = = 0 0 lim 0 Damit ist gezeigt, daß y = 0 die Gleichug der waagerechte Asymptote ist. lim 0 lim = lim = = = 0 lim 0 Ergebis: Das Schaubild hat die waagerechte Asymptote mit der Gleichug y = lim lim = lim = = = lim 0 Ergebis: Das Schaubild hat die waagerechte Asymptote mit der Gleichug y = lim lim = lim = lim = = = lim + lim ( ) Ergebis: Das Schaubild hat die waagerechte Asymptote mit der Gleichug y = 0. + B5: lim 8 = 8 lim = = Da der Neer hier keie Summe ethält, wird icht gekürzt, soder i Eizelbrüche zerlegt!!! (Merke!) Ergebis: Das Schaubild hat die waagerechte Asymptote mit der Gleichug y = 0. B6 5 5 lim lim = lim = lim = = = lim + lim ( + ) Ergebis: Das Schaubild hat die waagerechte Asymptote mit der Gleichug y = 0. Hiweise auf Formulierugsfehler: Falsch ist folgeder Tet: Die Fuktio hat die waagerechte Asymptote... Eie Fuktio hat keie Asymptote, soder de Grezwert 0. Eie Asymptote gehört zum Schaubild, das sich a die Asymptote aähert. Daher muß es immer heiße: Das Schaubild (K vo f) hat die waagerechte Asymptote... usw. So halbwegs falsch ist die etwas lässige Formulierug: Das Schaubild hat die waagerechte Asymptote y = 0. Falsch dara ist, daß y = 0 eigetlich keie Asymptote ist, soder ur die Gleichug dieser Asymptote! Es ist also eie Defiitiosfrage, ob ma diese lässige Sprechweise zuläßt.

18 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte 5 B: Aalyse der 6 Musterbeispiele B bis B6: f() = Der Zähler ist kostat ud hat daher keie Nullstelle. Nullstelle des Neers: = daher Defiitiosbereich D = R \ {} f hat also bei = eie Polstelle mit Zeichewechsel, folglich hat das Schaubild K die sekrechte Asymptote =. Da lim lim = lim = = = 0 0 lim 0 hat K die waagerechte Asymptote y = 0. Außerdem ist das Schaubild puktsymmetrisch zum Schittpukt der Asymptote: S ( I 0 ). Dies wird auf Seite bewiese. B: f() = Zähler = 0: = 0; Neer = 0: =±. D = R \ { ± } Das Schaubild scheidet folglich die -Achse i der Nullstelle ( 0 I 0 ) ud f hat die Polstelle = ud = - jeweils mit Zeichewechsel. K hat daher die sekrechte Asymptote mit de Gleichuge =, = -. Außerdem ist die -Achse waagerechte Asymptote, de es gilt: lim 0 lim = lim = = = 0 lim 0 Das Schaubild ist puktsymmetrisch zum Ursprug (siehe Seite ). 8 B: f() = Der Zähler hat keie Nullstelle, Nullstelle des Neers: = ± Das Schaubild hat daher keie Nullstelle. Da f die beide Polstelle = ud = - (jeweils mit Zeichewechsel) hat, besitzt K die sekrechte Asymptote = ud = -. K hat die waagerechte Asymptote y = 0, de 8 8 lim lim = lim = = = lim 0 Hier ist das Schaubild symmetrisch zur y-achse (Seite ).

19 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte 6 B: f() = 5 ( ) Der Zähler besitzt keie Nullstelle, der Neer jedoch die doppelte Nullstelle =. Daher ist eie Polstelle ohe Zeichewechsel. D = R \{} Auf Grud der Polstelle ist = eie sekrechte Asymptote vo K. Ferer ist die -Achse waagerechte Asymptote, de es gilt 5 5 lim lim = lim = lim = = = lim + lim ( ) Das Schaubild ist symmetrisch zur Gerade = (siehe Seite ). + B5: f() = 8 Nullstelle des Zählers: = - Nullstelle des Neers: = 0 also D = R \ {0} f hat die Nullstelle - ud die Polstelle 0 mit Zeichewechsel. Das Schaubild scheidet also die -Achse im Pukt N ( - I 0 ) ud hat die Asymptote = - (sekrecht) ud y = 0 (waagrecht), de + lim 8 = 8 lim = = B6: f() = 5 ( + ) Nullstelle des Neers: = - also D = R \ { } Nullstelle des Zählers: = 0 (doppelt!) Die doppelte Nullstelle des Neers ergibt bei - eie Pol ohe Zeichewechsel ud für K die sekrechte Asymptote = -. Die Nullstelle des Zählers liefert de Schittpukt mit der -Achse: N ( 0 I 0 ). Waagerechte Asymptote ist die -Achse, de es gilt: 5 5 lim lim = lim = lim = = = lim + lim ( + )

20 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil 7 5. Fuktioe mit Asymptotegrad 0. Jetzt geht es um gebroche ratioale Fuktioe, dere Zählergrad gleich Neergrad ist. Hier 6 Beispiele mit de Grade ud : + B7 : f + ( ) = = + B8 : f ( ) = B9 : f ( ) + = ( ) B0 : f = ( ) = = B : f ( ) B: f = ( ) Zuächst sehe wir, daß alle 6 Schaubilder eie oder zwei sekrechte Asymptote mit ud ohe Zeichewechsel besitze. Dies erket der geübte Mathematiker mit eiem Blick. Aber jetzt sehe, wir, daß waagerechte Asymptote auftauche, die icht mehr die -Achse sid. Die Fuktioe habe für II also icht mehr de Grezwert 0 soder eie adere Zahl. Die Berechug dieser Grezwerte erfolgt ach demselbe Prizip wie zuvor bei de Fuktiosbeispiele B bis B6. We der Neer eie Summe ethält, gehe wir so vor: Weil die Zähler ud Neer gege Uedlich gehe, kürze wir durch die höchste -Potez des Neers. Da etstehe Bruchterme, dere Zähler ud Neer eigee Grezwerte besitze, so daß daraus der Fuktiosgrezwert ermittelt werde ka. Ethält der Neer keie Summe, zerlege wir i Eizelbrüche. Dies wird auf der ächste Seite ausführlich vorgerechet.

21 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil 8 Berechug der Fuktiosgrezwerte für B7: B8: + lim = lim lim 0 + = + = + = Die Gerade (mit der Gleichug) y = ist somit waagerechte Asymptote des Schaubilds K vo f. + lim lim = lim = = = lim + 0 Die Gerade y = ist somit waagerechte Asymptote des Schaubilds K vo f. B9: B0: lim = lim = = = lim 0 Hier wurde durch gekürzt. Die Gerade y = ist waagerechte Asymptote des Schaubilds K vo f. + lim lim = lim = = = lim Hier wurde durch gekürzt. Die Gerade y = ist waagerechte Asymptote des Schaubilds K vo f. B: B: lim = lim = lim = 0 = Da der Neer hier keie Summe ethält, wurde icht gekürzt, soder i Eizelbrüche zerlegt. Die Gerade y = ist waagerechte Asymptote des Schaubilds K vo f. lim = lim = lim = = = + + lim + lim ( ) Hier mußte zuerst der Neer mit der biomische Formel ausmultipliziert werde. Das ist die eizige Stelle. Wo dies otwedig wird. Sost läßt ma die Form ( - ) immer uverädert! Da wurde durch gekürzt. Die Gerade y = ist waagerechte Asymptote des Schaubilds K vo f. Hier wurde der Kürze halber wiederum lässig formuliert. Die Aussage " die Asymptote y = " muß ausführlich heiße "die Asymptote mit der Gleichug y = ". Ma achte darauf! Mach tiefgläugiber Mathematiklehrer köte soviel Lässigkeit übel ehme - mir als Schreiber dieser Zeile sicher...

22 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil 9 Weitere Aalyse der 6 Musterbeispiele B7 bis B: (Jetzt verwede ich Schreibweise, die ich für Klausure empfehle) B7: + f() = = + D = R \{ 0} Z=0: = - (Nullstelle des Zählers) N=0: = 0 (Nullstelle des Neers). Schittpukt mit der -Achse: N ( - I 0 ) Pol mit Zeichewechsel: P = 0 Asymptote: sekrecht: = 0 (Polstelle vo f) waagerecht: y =, de + lim = lim lim 0 + = + = + = B8: + f() = + Z=0: = - N=0: = - D = R \{ } (Nullstelle des Zählers) (Nullstelle des Neers) Schittpukt mit der -Achse: N ( - I 0 ) Pol mit Zeichewechsel: P = - Asymptote: sekrecht: = - (Polstelle vo f) waagerecht: y =, de + lim lim = lim = = = lim + 0 B9: f() = Z=0: = 0 doppelte Nullstelle des Zählers N=0: =± also D = R \{ ± } Schittpukt mit der -Achse: N ( 0 I 0 ) Da 0 sogar eie doppelte Nullstelle ist, berührt dort K die -Achse. Polstelle: P = ud P = - mit Zeichewechsel Asymptote: sekrecht: = ud = - (Polstelle vo f) waagerecht: y =, de lim = lim = = = lim 0

23 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil 0 B0: B: B: f() = + 6 Z=0: (+6)=0 also = 0, = - N=0: =±, also D = R \ { ± }. Schittpukte mit der -Achse: N ( 0 I 0 ) ud N ( - I 0 ). Polstelle: P = ud P = - mit Zeichewechsel Asymptote: sekrecht: = ud = - (Polstelle vo f) waagerecht: y =, de lim lim = lim = = = lim f() = = Z=0: = 9 d.h. =± N=0: = 0 (doppelte Lösug). N ± 0 Schittpukte mit der -Achse:, ( ) Polstelle ohe Zeichewechsel: P = 0. Asymptote: sekrecht: = 0 (Polstelle vo f) 7 waagerecht: y =, de lim = 0 f() = ( ) Z=0: = 0 (doppelte Lösug) N=0: = (doppelte Lösug). D = R \{} Schittpukt mit der -Achse: N ( 0 I 0 ) Da 0 eie doppelte Lösug war, berührt K i N die -Achse (Etrempukt). Polstelle ohe Zeichewechsel: P = Asymptote: sekrecht: = (Polstelle vo f) waagerecht: y =, de lim = lim = lim = = = + + lim + lim + 0 ( )

24 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil 6. Fuktioe mit Asymptotegrad. Dies bedeutet, daß der Zählergrad um eis höher ist als der Neer. Die folgede drei Beispiele zeige, daß wir da eie schräge (schiefe) Asymptote zu erwarte habe. B : f ( ) = B : f ( ) = ( ) + B5 : f = + = I B ud B ist der Grad des Zählers, der des Neers, i B habe wir Zählergrad ud Neergrad. Diese drei Beispiele habe keie Summe im Neer. Es werde daher och zwei Beispiele ergäzt, die i der Form B ud B etspreche, jedoch im Neer eie Summe aufweise: Ba: f() = + Ba: f() = + 6 Da jetzt die Fuktioe für ± erkebar icht mehr gege eie Zahlegrezwert gehe, brauche wir gaz adere Methode. Wir müsse die Fuktiosterme so zerlege, daß der gazratioale Ateil als Summad herausgezoge wir. (Siehe Abschitt )

25 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil B: Utersuchug des Verhaltes für ud Aalyse der gegebee Fuktioe f() = = + Z=0: + 6 = 0 also = - 6 Es gibt keie Nullstelle des Zählers. N=0: = 0 also D = R \ {0}. Schittpukte mit der -Achse gibt es keie. Polstelle mit Zeichewechsel: P = 0 Asymptote: sekrecht: = 0 (Polstelle vo f) 6 schräg: y =, de lim = 0 Erklärug: Läßt ma gege ± gehe, da gehe auch die Fuktioswerte ach ±. Ma sollte daher icht diese Schreibweise beutze: lim f() =±. Spaltet ma jedoch die Fuktio auf: f() = = +, da hat ma i 6 eie Summade, der mit wachsedem immer kleier wird. Daher wird die Differez zwische f() ud dem a dere Summade auch immer kleier ud geht gege 0. Ma ka sage: Für ± verhält sich f wie die Fuktio g() = Daher ähert sich die Kurve y = f() für ± der Gerade mit der Gleichug y = a: Diese wird zur schiefe Asymptote. B: 8 f() = = = Z=0: = 8 also, =± 8 N=0: = 0 also D = R \ {0} Schittpukte mit der -Achse: N, ( ± 8 0) Polstelle mit Zeichewechsel: P = 0. Asymptote: sekrecht: = 0 (Polstelle vo f) schräg: y =, de lim = 0

26 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil B5: + f() = = + mit D = R \ {0} Der Asatz Z=0 führt auf eie (für us) ulösbare Gleichug. Grades, de es gibt keie gazzahlige Lösug. (Hier köte ma die eizige Nullstelle mit dem Newtosche Näherugsverfahre berteche!). N=0: = 0 doppelt, d.h. P = 0 ist eie Polstelle ohe Zeichewechsel Daher hat K die sekrechte Asymptote = 0. Durch die Zerlegug erket ma, daß K eie schräge Asymptote hat: y = - de es gilt lim = 0 Die hier geauere Abbildug als auf der Seite zuvor, zeigt sehr schö, wie sich das Schaubild K vo f dieser schräge Gerade aähert.

27 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil Ba: f() = +. (Abbildug Seite ) ± 6 Z=0: + = 0, = R N=0: = also D = R \ {} Schittpukte mit der -Achse gibt es icht, da der Zähler keie Nullstelle hat. Polstelle mit Zeichewechsel: P = Asymptote: sekrecht: = (Polstelle vo f) schräg: ( + ):( ) = Zerlegug durch Polyomdivisio: ( ) f() = + = + 0 Da lim = lim = = 0 ist, ist für große II f(). 0 Also ist die Gerade mit der Gleichug y = schräge Asymptote Ba: f() = + 6 (Abbildug Seite ) ± + ± 5 Z=0: + 6 = 0, = = = N=0: = also D = R \ {} Schittpukte mit der -Achse: N ( I 0 ) ud N ( - I 0 ) Polstelle mit Zeichewechsel: P = Asymptote: sekrecht: = (Polstelle vo f) schräg: Zerlegug durch Polyomdivisio: ( + 6):( ) = + ( ) 6 Also ist f() ( ) = + Da 0 lim = lim = = 0 0 ist, ist für große II f() +. Also ist die Gerade mit der Gleichug y = + schräge Asymptote Diese Formulierug sollte ma sich gut eipräge! Sie hilft we Grad Z > Grad N ist.!!!

28 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil 5 7. Fuktioe mit Asymptotegrad. Drei Beispiele ohe Summe im Neer solle typische Schaubilder zeige: + + B6 : f ( ) = + = B7 : f ( ) = = B8 : f ( ) = + = Betrachte wir zuerst die Neer. B6 hat N = also eie Pol mit Zeichewechsel bei 0, die beide adere habe N = also doppelte Polstelle, d.h. ohe Zeichewechsel. Ma erket dies auch sehr schö a de Bildche. Ud a der Polstelle liegt wie immer eie sekrechte Asymptote des Schaubilds vor: = 0, also die y-achse i alle drei Fälle. Aber wir sehe keie waagerechte oder schräge Asymptote mehr! Dagege taucht plötzlich eie Parabel auf, a die sich ach rechts ud liks auße die Kurve aäher: Näherugsparabel. Alle drei Fuktioe habe die Gleichug f() = ± r() Ud r() ist etweder oder. Für gehe diese Restfuktioe gege 0, so daß wir i Alehug a die Formulieruge der letzte Seite hier sage köe: Da lim r() = 0 gilt für große II : f(). Also ist y = Näherugskurve für das Schaubild K vo f. Eigetlich müßte alle drei Abbilduge dieselbe Näherugskurve habe. Die Abbilduge sid aber maßstäblich verzerrt, so daß dieser Eidruck hier icht vermittelt wird. Noch etwas ist wichtig: Brige wir diese Fuktioe auf die Normalform, da ist jeweils der Grad des Zählers um größer als der des Neers, daher ist der Asymptotegrad (was zu eier Näherugsparabel führt) : + + f() = + = ; f() = = ; f() = + = Nu die ausführliche Besprechug dieser drei Fuktioe:

29 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil 6 B6: B7: B8: Utersuchug des Verhaltes für ud Aalyse der gegebee Fuktioe + f() = + = Z=0: + = 0 = = N=0: = 0. Schittpukt mit der -Achse: N( ) 0 Polstelle mit Zeichewechsel: p = 0 Asymptote: sekrecht: = 0 (Polstelle vo f ) Näherugskurve für : y =, de Also ist für große II f(). f() = = Z=0: = = N=0: = 0 doppelte Lösug. Schittpukt mit der -Achse: N( 0) lim = 0. Polstelle ohe Zeichewechsel: p = 0 Asymptote: sekrecht: = 0 (Polstelle vo f ) Näherugskurve für : y =, de lim = 0. Also ist für große II f(). + f() = + = Z=0: = hat keie reelle Lösug N=0: = 0 doppelte Lösug. Keie Schittpukte mit der -Achse Polstelle ohe Zeichewechsel: p = 0 Asymptote: sekrecht: = 0 (Polstelle vo f ) Näherugskurve für : y =, de lim = 0. Also ist für große II f().

30 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil 7 8. Näherugskurve für gege 0 Nachdem wir u gesehe habe, daß beim Asymptotegrad Näherugskurve. Grades vorhade sid, soll och gezeigt werde, daß es auch Näherugskurve für adere Alässe gibt. Usere Beispiele sid: B, B, B6, B7 ud B8. B: 6 f() = + K a NK NK K Ma ka das Schaubild vo K durch die sogeate Ordiateadditio aus de Schaubilder der Asymptote ud der Näherugskurve erzeuge. Dazu setzt ma die Werte der eie Kurve (blaue Striche) a die adere Kurve a (rote Striche). Dies etspricht ja der Additio der Fuktiosterme. So ka ma aus zwei schell zeichebare Kurve eie kompliziertere puktweise erzeuge. 6 Wir zeiche die schräge Asymptote a: y= ud die Kurve NK : y = (rot). 6 Die Kurve mit der Gleichug y = ist Näherugskurve für gege 0, de wege 6 lim = 0 gilt für gege 0: f(). 0

31 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil 8 B: 8 f() = = = K NK K NK Die Gerade a: Da y = ist schräge Asymptote der Kurve. lim = 0 gilt für gege 0 : 0 Daher ist für gege 0 f(). y = Näherugskurve (rot) für K (blau). Bemerkug zur Erstellug eier Zeichug: Auch hier ka ma das Verfahre der Ordiateadditio verwede.: Ma zeichet zuerst die schiefe Asymptote ud da die Näherugskurve mit der Gleichug y =. Dere Pukte lasse sich problemlos im Kopf bereche. Da addiert ma die Werte. A eier Stelle (,) ist ei Beispiel eigezeichet: Der blaue Strich stellt allerdigs eie egative Wert daher, weshalb er auch vo der Asymptote aus ach ute abgetrage wird (rot).

32 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil 9 B6: + f() = + = K H K P H Näherugskurve für ist Näherugskurve für 0 ist y = (Parabel P), de y = (Hyperbel H), de lim = 0 lim = 0. 0 Ma ka auch hier aus diese beide Näherugskurve durch Ordiateadditio die gesuchte Kurve erstelle. B7: f() = = (ohe weitere Abbildug) Jetzt habe für die Näherugskurve ud für 0 die Näherugskurve y = (Parabel P) y = (Hyperbel H), de =. lim 0 0

33 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil 0 B8 + f() = + = Näherugskurve für : y lim = 0 lim = 0 0 = (Parabel P), de Näherugskurve für 0: y = (Hyperbel H), de

34 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil 9. Gebroche ratioale Fuktioe ohe Polstelle Oh - gibt es das auch? Ja, bei welcher Gelegeheit stoße wir auf Polstelle? (Ma sollte gelert habe:) Wir a eier Stelle der Neer Null, aber icht zugleich auch och der Zähler, da gehe die Fuktioswerte gege Uedlich. Ud geau diese Stelle et ma Polstelle. So, u ka ma darauf komme: We es Fuktioe gibt, dere Neer icht Null werde ka, da habe diese auch keie Polstelle. Hier sid sechs Prachteemplare davo: B9 f ( ) = 6 + ( ) B f 8 = + B0 ( ) = f 8 + B f 8 ( ) = + B ( ) f = B f ( ) = + Ma erket sofort, welchem Term ma es zu verdake hat, daß alle diese Neer ie Null werde köe. Es ist ei Term der Form + a wobei a eie positive Zahle ist. Der Versuch, etwa die Gleichug + = 0 zu löse führt auf = -. Quadrate köe aber ie egativ sei. Daher besitzt diese Gleichug keie Lösug. Diese Überlegug ka ma auch bei + ud + 6 usw. astelle. We also ei Fuktiosterm de Neer + a ethält (a > 0), da gibt es keie Polstelle ud das Schaubild hat keie sekrechte Asymptote. Da besitzt jede reelle Zahl eie Fuktioswert, d.h. der Defiitiosbereich ist D = R. Es gibt aber waagerechte ud schräge Asymptote, je ach Grad vo Zähler ud Neer, wie das zuvor besproche worde ist.

35 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil 0. Übersicht: Asymptote Gegebe sei eie gebroche ratioale Fuktio i der Normalform. Utersuchug der Polstelle, Nullstelle ud Löcher Methode: Zähler = 0 ergibt =... usw. Neer = 0 ergibt =... usw. Bedigug für Nullstelle: Zähler = 0, aber Neer 0. (Nullstelle sid die Schittpukte eier Kurve mit der -Achse) Bedigug für Polstelle: Neer = 0, aber Zähler 0 (Bei Aäherug a eie Polstelle gehe die Fuktioswerte gege ±. Dort wo eie Fuktio eie Polstelle hat, besitzt das Schaubild der Fuktio eie sekrechte Asymptote.) Hat eie Fuktio eie Zahl c, die als Nullstelle vo Zähler ud Neer auftritt, da ka ma de Liearterm ( - c) i Zähler ud Neer ausklammer ud da herauskürze. Da wird eu etschiede: Bleibt dieselbe Nullstelle im Neer erhalte (weil sie zuvor z.b. doppelt war), da liegt eie Polstelle vor. Ist diese Zahl c aber keie Nullstelle des Neers mehr, da bleibt sie deoch Defiitioslücke, weil sie im ursprügliche Defiitiosbereich, der weiterhi gilt, ausgeschlosse werde mußte. Für das Schaubild bedeutet dies ei Loch.. Verhalte für. Fall: Grad Zähler < Grad Neer: (also Asymptotegrad < 0 ) Waagerechte Asymptote y = 0 (-Achse). Beweismethode: Kürze durch die höchste -Potez des Neers ud bereche da de Grezwert.. Fall: Grad Zähler = Grad Neer: (also Asymptotegrad = 0) Waagerechte Asymptote y = c (c 0) (Parallele zur -Achse). Beweismethode: Kürze durch die höchste -Potez des Neers ud bereche da de Grezwert.. Fall: Grad Zähler > Grad Neer: (also Asymptotegrad = 0) Schräge Asymptote y = c (c 0). Beweismethode: Herausziehe des gazratioale Ateils mittels Polyom- Divisio. Ergebis: f() = m + + r() wobei r() gebroche ratioal mit Asymptotegrad < 0 ist. Schiefe Asymptote ist: y = m + de lim r() = 0. Fall: Grad Zähler = Grad Neer + (Asymptotegrad ) Es gibt eie Näherugsparabel. Beweismethode: Herausziehe des gazratioale Ateils mittels Polyom- Divisio. Ergebis: f() = a + b + c + r() wobei r() gebroche ratioal mit Asymptotegrad < 0 ist. Näherugskurve: y = a + b + c, de lim r() = 0

36 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil. Symmetrieutersuchuge zu de hier vorgestellte Fuktioe. Möglichkeit: Symmetrie zur y-achse Nachweismethode: Für alle muß f( ) = f() gelte. Dies ist bei gebroche ratioale Fuktioe i der Normalform da der Fall, we i Zähler ud Neer ur gerade oder ur ugerade Epoete vorkomme B : f() =. f( ) = = = f() ( ) B 9: f() = ( ) f( ) = = = f() ( ) B : f() = f( ) = = = f() ( ) B 7 ud B 8: ± f() = ± = f( ) = ( ) ± = ± = f() ( ) 6 B 9: f() = + B : 8 f() = + bzw- 6 6 f( ) = = = f() ( ) + + ( ) 8 8 f( ) = = = f() ( ) + + ( ) ± ± f( ) = = = f(). ( ). Möglichkeit: Symmetrie zum Ursprug Nachweismethode: Für alle muß f( ) = f() gelte. Dies ist bei gebroche ratioale Fuktioe i der Normalform da der Fall, we der Zähler ur gerade ud der Neer ur ugerade Epoete aufweist bzw. umgekehrt.. ( ) B : f() = f( ) = = = f() ( ) B : f() = B : f() = 8 B 0: f() = + ( ) f( ) = = = f() ( ) 8 8 f( ) = = = f() ( ) 8( ) 8 f( ) = = = f() ( ) + + B : f() = ( ) 8 f( ) = = = f() ( )

37 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil. Möglichkeit: Symmetrie zu eier Parallele zur y-achse Nachweismethode: Für alle muß f(a h) = f(a + h) gelte. B : 5 f() = ( ) Das Schaubild ist symmetrisch zur Gerade =. Zu zeige ist: f( h) = f( + h). B : B 7: Beweis: Like Seite: Rechte Seite: f( h) = = = h (( h) ) ( h) 5 5 f(+ h) = = (( + h) ) h. Möglichkeit: Symmetrie zu eiem beliebige Pukt Z(a I b) f(a h) + f(a + h) = b gelte. Nachweismethode: Für alle muß [ ] f() = Das Schaubild ist symmetrisch zum Asymptoteschittpukt Z ( I 0 ). Zu zeige ist:. [ f( h) f( h) ] 0 d.h. auch f( h) + f( + h) = = Beweis: f( h) + f(+ h) = + = + = + = 0 ( h) ( + h) h h h h + f() = Symmetriezetrum ist Z ( 0 I ). B 8: Zu zeige ist demach: [ ] f( h) + f(h) = d.h. f( h) + f(h) = Beweis: h+ h+ h+ h+ (h+ ) ( h+ ) h f( h) + f(h) = + = = = = h h h h h h + f() = Symmetriezetrum ist S ( - I ) + Zu zeige ist demach: [ ] f( h) + f( + h) = f( h) + f( + h) = Beweis: h+ + h+ h + h + h + h f( h) + f( + h) = + = + = + h+ + h+ h h h h + h + h h = = =. h h

38 Gebroche ratioale Fuktioe Grudeigeschafte Teil 5 8 B : f() = + Symmetriezetrum ist S ( 0 I ) Zu zeige ist demach: [ ] Beweis: f( h) + f(h) = d.h. f( h) + f(h) = 8( h) 8h 8h 8h f( h) + f(h) = + = + = ( h) + h + h + h + Vorsicht vor falsche Formulieruge: Die Formulierug "Die Fuktio f ist symmetrisch zur y-achse" ist uzulässig, de eie Fuktio ist eie algebraische Zuordug. Nur die geometrische Darstellug vo f, also ihr Schaubild ka symmetrisch sei! Die Lösuge zu de Aufgabe dieses Mauskripts sid ur auf der Mathematik-CD vorhade