Entwicklung von Scoring-Schemata. Scoring-Matrizen 1
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- Dörte Kneller
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1 Entwcklung von Scorng-Schemata Scorng-Matrzen 1
2 Sequenzalgnment Was snd de Engabeparameter? Querysequenz A Sequenz B (aus Datenbank) und das Scorng-Schema deses besteht aus affnen Kostenfunkton (Lücken) Scorng-Matrx Scorng-Matrzen 2
3 Auswahl ener Scorng-Matrx de krtsche Entschedung da kene Matrx für alle Anwendungen optmal We und wozu werden Algnments verwendet? Rekonstrukton evolutonärer Vorgänge Identfkaton von Proten-Domänen Scorng-Matrzen 3
4 Theore von Scorng-Matrzen Statstk globaler Algnments unbekannt Für lokale Algments exstert ausgearbetete Theore Dese wrd m Folgenden ausgeführt. Scorng-Matrzen 4
5 Substtutonsmatrx Ene Substtutonsmatrx besteht aus ener Menge von Scores s a aj de den Ersatz der Amnosäure a durch a j n ener Sequenz gewchten. Scorng-Matrzen 5
6 Bespel: BLOSUM 62 BLOSUM 62 Ala 4 Arg -1 5 Asn Asp Cys Gln Glu Gly Hs Ile Leu Lys Met Phe Pro Ser Thr Trp Tyr Val Ala Arg Asn Asp Cys Gln Glu Gly Hs Ile Leu Lys Met Phe Pro Ser Thr Trp Tyr Val log odds ratos CGTGYTRASGACDAC CGWGWAIVSRACAIV CRTLYLRVRGGCGLN CNWGRTIVSRLCALI CITAYTRAIGNCDNG q(a, b ) saa = log j p(a )p(b ) Scorng-Matrzen 6
7 Exkurs Statstsche Grundlagen Scorng-Matrzen 7
8 Grundlagen für Scorng-Matrzen Verglech zwe Hypothesen (Modelle) unter Verwendung ener Lkelhood-Funkton Nullhypothese H 0, Z De Sequenzen snd ncht mtenander verwandt. P(A,B Z) = n n p(a ) p(b ) = 1 = 1 Scorng-Matrzen 8
9 Grundlagen Alternatvhypothese, H1, V Sequenzen snd verwandt: P(A,B V) = n = 1 q(a, b ) Woher kommen Verbundwahrschenlchket q(a, b )? Betrachtung evolutonärer Verwandtschaft Vorkommen der a und b n algnerten Domänen Scorng-Matrzen 9
10 Odds-rato P(A,B P(A,B V) Z) = n n = 1 p(a q(a ) = 1 = 1, b ) n p(b ) = q(a p(a, b ) ) p(b ) Logarthmert ergbt sch addtves Scorng-Schema: = q(a, b ) sab log p(a )p(b ) Scorng-Matrzen 10
11 Ergebns Durch das Adderen der enzelnen Scores q(a, b ) sab = log p(a )p(b ) berechnen wr q(a, b ) P(A,B V) log( ) = log( ) p(a ) p(b ) P(A,B Z) Scorng-Matrzen 11
12 Falldskusson P(A, B V) > P(A, B Z) P(A,B V) 1 P(A,B Z) > und P(A,B V) log( ) 0 P(A,B Z) > P(A, B V) > P(A, B Z) P(A,B V) 1 und P(A,B Z) < log( P(A,B V) P(A,B Z) ) < 0 Scorng-Matrzen 12
13 log-odds-scores Nach Altschul (1991) n allgemenster Form: s ab = 1 log λ q(a, b ) p(a ) p(b ) Jedes Scorng-System kann so dargestellt werden. Wozu st λ gut? Verglech mt Zufallssequenzen sollte Extremwertvertelung folgen. Voraussetzung: Erwartungswert negatv Kann mt λ engestellt werden. Scorng-Matrzen 13
14 Verbundwahrschenlchket We wrd q(a, b j ) bestmmt? Hängt von der Fragestellung und dem gewünschten Ensatz der Matrzen ab Scorng-Matrzen 14
15 Enschub Ausflug n de Testheore Scorng-Matrzen 15
16 Entwcklung von Scorng-Schemata Neyman-Pearson-Lemma Für den Test ener enfachen Hypothese H gegen ene zwete A hat P ( X A ) > c P ( X H ) maxmale Macht. Für Gen gene = cdn 1 cdn 2...cdn n : Unabhänggket P( gene H) = p( cdn H) p( cdn H)... p( cdn H) 1 2 n f ( cdn ) f ( cdn )... f ( cdn ) H 1 H 2 H n Schätzung Scorng-Matrzen 16
17 log-lkelhood-rato Neyman-Pearson-Test (log odds scores) Pgene ( A) fa( cdn1) fa( cdn2)... fa( cdnn) = P( gene H) f ( cdn ) f ( cdn )... f ( cdn ) H 1 H 2 H n Übergang zu Logarthmen: Pgene ( A) fa( cdn1) fa( cdn2)... fa( cdn ) n log = log P( gene H) fh( cdn1) fh( cdn2)... fh( cdnn) f ( cdn ) f ( cdn ) = + + A 1 A n log... log fh( cdn1 ) fh( cdnn) n Pgene ( A) fa( cdn) log = log Pgene ( H) f( cdn) = 1 H Werte aus Scorng Tabelle Scorng-Matrzen 17
18 Schwelle c Neyman-Pearson-Lemma Für den Test ener enfachen Hypothese H gegen ene zwete A hat P ( X A ) > c P ( X H ) maxmale Macht. Scorng-Matrzen 18
19 Wahl der Schwelle c Fehler 2. Art Fehler 1. Art Scorng-Matrzen 19
20 Datenquellen Identfkaton von Domänen MSAs von Protensequenzen Bewertung evolutonärer Dstanzen DNA- oder Protensequenzen evolutonär verwandter Genome/Protene Scorng-Matrzen 20
21 Promotor-Score Se p(a, k) de Wahrschenlchket, mt der das Symbol a an Poston k n den Strngs und se p(a ) de Wahrschenlchket, mt der a nsgesamt n M vorkommt. Dann unterscheden Scores der Art s a,k := log ( p(a, k) / p(a ) ) optmal de Elemente aus M von zufällg zusammengesetzten Zechenketten. s(atgctgcttg)= s(a,1)+ s(t,2)+... Falls s > c: Strng st Promotor s(g,10) Scorng-Matrzen 21
22 Bespel: Promotor-Scores Annahme: MSA M von Promotor-Sequenzen gegeben CTGACTCTGG ATAACTGTCG CCAAGTGAGA GTGGATCTGG CGCTTTCTCA CTCGGTCTGG Bestmmung von p(a ) für alle Symbole Bestmmung von p(a, k) für alle Symbole Scorng-Matrzen 22
23 Scores für den PW-Sequenzverglech Scorng-Matrzen 23
24 PAM-Matrzen PAM (M. Dayhoff, 78) steht für Akzepterte Punktmutatonen oder percent accepted mutatons st also ene Enhet zur Dvergenzbestmmung Bezechnet auch Klasse von Substtutonsmatrzen Scorng-Matrzen 24
25 Defnton PAM-Enhet Zwe Sequenzen A und B unterscheden sch um ene PAM- Enhet, wenn B aus A durch ene Sere von akzepterten Punktmutatonen entstanden st und pro 100 Resduen m Schntt ene Punktmutaton auftrat. akzeptert heßt: Mutaton, de vererbt wurde und Funkton des Protens ncht verändern oder für Spezes von Vortel st. Scorng-Matrzen 25
26 Beachte! Rückmutatonen möglch! 2 Sequenzen mt Abstand PAM 100 müssen sch ncht an jeder Stellen unterscheden. Selbst be Abstand PAM 250: Ist zu erwarten, dass m Mttel 25% der Postonen überenstmmen. Scorng-Matrzen 26
27 PAM-Matrzen Scorng-Matrzen zur Bewertung evolutonärer Prozesse auf dem Amnosäurenveau. Jeder Wert s a,aj ener PAM n Matrx gbt an, we häufg der Ersatz von a durch a j n Protenen zu erwarten st, de um n PAM-Enheten dvergeren. Scorng-Matrzen 27
28 Abletung Ausgangspunkt Sequenzen, de sch nur um wenge PAM-Enheten unterscheden. Heraus Extrapolaton von Matrzen mt höheren n-werten. Scorng-Matrzen 28
29 PAM-1 n Se M ene PAM 1 Matrx. Se M n de n-mal mt sch selbst multplzerte Matrx M. Se f(a ) de Häufgket, mt der de Amnosäure a n den betrachteten Sequenzen vorkommt. Dann wrd der Entrag für (, j) n der Matrx PAM n berechnet als log n n f(a) M(a,a) j M(a,a) j = log f(a )f(a ) f(a ) j j Scorng-Matrzen 29
30 PAM-n Matrzen Anschleßend Werte mt 10 multplzert und auf Integer gerundet. Scorng-Matrzen 30
31 Ensatz PAM 250 Bs zur Enführung der BLOSUM-Matrzen war PAM 250 de wchtgste Matrx. Problem Ist der PAM-Abstand zweer Sequenzen bekannt? Häufg ncht! Pragmatsches Vorgehen Mehrere Matrzen ausproberen! Scorng-Matrzen 31
32 PAM-250 Matrx Cys 12 Gly -3 5 Pro Ser Ala Thr Asp Glu Asn Gln Hs Lys Arg Val Met Ile Leu Phe Tyr Trp Cys Gly Pro Ser Ala Thr Asp Glu Asn Gln Hs Lys Arg Val Met Ile Leu Phe Tyr Trp Scorng-Matrzen 32
33 Grundlage des Proten- Sequenzvergleches Scorng-Matrzen 33
34 BLOSUM-Matrzen Ensatzgebet: Entwckelt für den Verglech von Protendomänen. We? Aus der BLOCKS-Datenbank. (Henkoff und Henkoff, 1992) Scorng-Matrzen 34
35 BLOCKS-Datenbank Grundlage PROSITE-Datenbank Sammlung bologsch sgnfkanter Muster n Form von regulären Ausdrücken Bespel: GATA-Znk-Fnger C-x-[DN]-C-x(4,5)-[ST]-x(2)-W-[HR]-[RK]-x(3)-[GN]-x(3,4)-C-N-[AS]-C Scorng-Matrzen 35
36 BLOCKS-DB Zu jedem Muster st n der PROSITE-DB ene Menge von Sequenzen deponert. 1.) Mt PROTOMAT werden MSAs generert. Es werden kene Lücken zugelassen. 2.) Heraus werden nach heurstschem Verfahren BLÖCKE abgeletet. Scorng-Matrzen 36
37 Block zur PROSITE- Gruppe PS00344 Konserverthet AREA_EMENI P17429 ( 673) CTNCFTQTTPLWRRNPEGQPLCNACGLFLKLHGVVRPL 7 AREA_FUSMO P78688 ( 694) CTNCFTQTTPLWRRNPEGQPLCNACGLFLKLHGVVRPL 7 AREA_PENRO O13508 ( 660) CTNCFTQTTPLWRRNPEGQPLCNACGLVLKLHGVVRPL 11 GAF1_SCHPO Q10280 ( 70) CTNCQTRTTPLWRRSPDGQPLCNACGLFMKINGVVRPL 16 GAT1_YEAST P43574 ( 310) CSNCTTSTTPLWRKDPKGLPLCNACGLFLKLHGVTRPL 17 NIT2_NEUCR P19212 ( 743) CTNCFTQTTPLWRRNPDGQPLCNACGLFLKLHGVVRPL 8 NRFA_PENUR Q92269 ( 665) CTNCFTQTTPLWRRNPEGQPLCNACGLFLKLHGVVRPL 7 NUT1_MAGGR Q01168 ( 663) CTNCATQTTPLWRRNPEGQPLCNACGLFLKLHGVVRPL 8 CGPB_FUSSO Q00858 ( 403) TDCGTLDSPEWRKGPSGPKTLCNACGLRWAKKEKKRNS 49 WC2_NEUCR P78714 ( 469) TDCGTLDSPEWRKGPSGPKTLCNACGLRWAKKEKKKNA 54 DA80_YEAST P26343 ( 31) CQNCFTVKTPLWRRDEHGTVLCNACGLFLKLHGEPRPI 17 GZF3_YEAST P42944 ( 131) CKNCLTSTTPLWRRDEHGAMLCNACGLFLKLHGKPRPI 17 ELT1_CAEEL P28515 ( 217) CVNCGVHNTPLWRRDGSGNYLCNACGLYFKMNHHARPL 17 GA1A_XENLA P23767 ( 178) CVNCGATVTPLWRRDMSGHYLCNACGLYHKMNGQNRPL 9 GA1B_XENLA P23768 ( 180) CVNCGATVTPLWRRDLSGHYLCNACGLYHKMNGQNRPL 9 GA5A_XENLA P43695 ( 183) CVNCGAMSTPLWRRDGTGHYLCNACGLYHKMNGMNRPL 6 GA5B_XENLA P43696 ( 184) CVNCGAMSTPLWRRDGTGHYLCNACGLYHKMNGINRPL 6 GA6A_XENLA Q91678 ( 182) CVNCGSVQTPLWRRDGTGHFLCNACGLYSKMNGLSRPL 9 GA6B_XENLA P70005 ( 182) CVNCGSVQTPLWRRDGTGHYLCNACGLYSKMNGLSRPL 7 GAT1_CHICK P17678 ( 110) CVNCGATATPLWRRDGTGHYLCNACGLYHRLNGQNRPL 11 spaltenwese f(a,a j ) Scorng-Matrzen 37
38 Berechnung von Score-Werten Se f(a ) de Häufgket mt der a an allen Postonen nnerhalb der Blöcke von BLOCKS vorkommt. Se f(a, a j ) de Häufgket für das spaltenwese bestmmte Vorkommen der Paare a, a j. Dann kann der Score s a aj defnert werden als: s aa j : = log 2 f(a,a ) f(a ) f(a ) j j Scorng-Matrzen 38
39 Ergebns BLOSUM 100-Matrx Verfenerung: Elmnere von jedem Sequenz-Paar, das N% dentsche Resduen aufwest, ene Sequenz. Ergebns: De Blöcke enthalten nur noch Sequenzen, de m paarwesen Verglech nur noch zu max. N% dentsch snd. Motvaton? Informatonsgehalt PSI-BLAST Scorng-Matrzen 39
40 BLOSUM N N = ergbt Matrzen BLOSUM 50,,, BLOSUM 80 Was wrd am häufgsten engesetzt? Allrounder BLOSUM 62 Scorng-Matrzen 40
41 BLOSUM 62 Ala 4 Arg -1 5 Asn Asp Cys Gln Glu Gly Hs Ile Leu Lys Met Phe Pro Ser Thr Trp Tyr Val Ala Arg Asn Asp Cys Gln Glu Gly Hs Ile Leu Lys Met Phe Pro Ser Thr Trp Tyr Val Scorng-Matrzen 41
42 Scorng-Schemata: Anwendung PAM-Matrzen entwckelt aus stark homologen Sequenzen und Extrapolaton Werden ncht mehr für das Studum von Protendomänen empfohlen. Herfür: BLOSUM-Famle Scorng-Matrzen 42
43 Scores für DNA-Sequenzen s(match) = 5 s(mssmatch) = -4 Verwes auf s, s s = -s : Algnment enthält mehr Matches als MM: Kompakte Algnments Scorng-Matrzen 43
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1.1 Das Modell Se Xt der Pres enes Assets zur Zet t und X = X ) 1 d der Rd +-dmensonale Presprozess. Das Geld kann auch zu dem rskolosen Znssatz r be ener Bank angelegt werden. Der Wert deser Anlage wrd
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2
Lösungen der Aufgaben zu Kaptel Abschntt 1 Aufgabe 1 Wr benutzen de Potenzrechenregeln, um ene Potenz von mt geradem Eponenten n oder mt ungeradem Eponenten n + 1 we folgt darzustellen: n n und n+1 n n
Mathematische und statistische Methoden II
Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Menhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzet nach Verenbarung und nach der Vorlesung. Mathematsche und statstsche Methoden II Dr. Malte Perske perske@un-manz.de
Facility Location Games
Faclty Locaton Games Semnar über Algorthmen SS 2006 Klaas Joeppen 1 Abstract Wr haben berets sehr häufg von Nash-Glechgewchten und vor allem von deren Exstenz gesprochen. Das Faclty Locaton Game betet
Übung zu Erwartungswert und Standardabweichung
Aufgabe Übung zu Erwartungswert und Standardabwechung In ener Lottere gewnnen 5 % der Lose 5, 0 % der Lose 0 und 5 % der Lose. En Los kostet 2,50. a)berechnen Se den Erwartungswert für den Gewnn! b)der
1.1 Beispiele zur linearen Regression
1.1. BEISPIELE ZUR LINEAREN REGRESSION 0 REGRESSION 1: Multple neare Regresson 1 Enführung n de statstsche Regressonsrechnung 1.1 Bespele zur lnearen Regresson b Bespel Sprengungen. Erschütterung Funkton
Dendrogramm der Primaten
Arbeitsblatt 1 Dargestellt ist ein Ausschnitt der DNA-Sequenz für das Enzym NAD- Polymerase, dass bei den Primatenarten Mensch(M), Schimpanse(S), Gorilla(G), Orang-Utan(O) und Gibbon(Gi) vorhanden ist.
Multilineare Algebra und ihre Anwendungen. Nr. 6: Normalformen. Verfasser: Yee Song Ko Adrian Jenni Rebecca Huber Damian Hodel
ultlneare Algebra und hre Anwendungen Nr. : Normalformen Verfasser: Yee Song Ko Adran Jenn Rebecca Huber Daman Hodel 9.5.7 - - ultlneare Algebra und hre Anwendungen Jordan sche Normalform Allgemene heore
Übungen zur Vorlesung Physikalische Chemie 1 (B. Sc.) Lösungsvorschlag zu Blatt 2
Übungen zur Vorlesung Physkalsche Chee 1 B. Sc.) Lösungsorschlag zu Blatt Prof. Dr. Norbert Happ Jens Träger Soerseester 7. 4. 7 Aufgabe 1 a) Aus den tabellerten Werten ergbt sch folgendes Dagra. Btte
Automotive Auswertung der Betriebserfahrung zum Zuverlässigkeitsnachweis sicherheitskritischer Softwaresysteme. S. Söhnlein, F.
Auswertung der Betrebserfahrung zum Zuverlässgketsnachwes scherhetskrtscher Softwaresysteme Unverstät Erlangen-Nürnberg Unverstät Erlangen-Nürnberg Sete 1 Glederung Motvaton Grundlagen des statstschen
Ökonomische und ökonometrische Evaluation. 1.3 Ökonometrische Grundkonzepte
Ökonomsche und ökonometrsche Evaluaton 90 Emprsche Analyse des Arbetsangebots Zele: Bestmmung von Arbetsangebotselastztäten als Test der theoretschen Modelle Smulaton oder Evaluaton der Wrkungen von Insttutonen
9. Übung zur Einführung in die Informatik (HaF) (Abschnitt IV: Rechnerstrukturen und Betriebssysteme) Musterlösung
INFO V Bayerische Julius Maximilians Universität Würzburg Lehrstuhl für Technische Informatik Am Hubland 9774 Würzburg Tel. 93 888 7 Fax: 93 888 7 9. Übung zur Einführung in die Informatik HaF Abschnitt
Übung zur Vorlesung. Informationstheorie und Codierung
Übung zur Vorlesung Informatonstheore und Coderung Prof. Dr. Lla Lajm März 25 Ostfala Hochschule für angewandte Wssenschaften Hochschule Braunschweg/Wolfenbüttel Postanschrft: Salzdahlumer Str. 46/48 3832
NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher.
PV - Hausaugabe Nr. 7.. Berechnen Se eakt und verglechen Se de Werte ür de Nullstelle, de mttels dem Verahren von Newton, der Regula als und ener Mttelung zu erhalten snd von der! Funkton: ( ) Lösungs
Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer:
Netzwerkstrukturen 1) Nehmen wr an, n enem Neubaugebet soll für 10.000 Haushalte en Telefonnetz nstallert werden. Herzu muss von jedem Haushalt en Kabel zur nächstgelegenen Vermttlungsstelle gezogen werden.
Streuungs-, Schiefe und Wölbungsmaße
aptel IV Streuungs-, Schefe und Wölbungsmaße B... Lagemaße von äufgketsvertelungen geben allen weng Auskunft über ene äufgketsvertelung. Se beschreben zwar en Zentrum deser Vertelung, geben aber kenen
18. Dynamisches Programmieren
8. Dynamsches Programmeren Dynamsche Programmerung we gerge Algorthmen ene Algorthmenmethode, um Optmerungsprobleme zu lösen. We Dvde&Conquer berechnet Dynamsche Programmerung Lösung enes Problems aus
Modellierung von Hydrosystemen Numerische und daten-basierte Methoden 2018 Finite-Elemente-Methode Selke-Modell
Modellerung von Hydrosystemen Numersche und daten-baserte Methoden BHYWI-22-21 @ 2018 Fnte-Elemente-Methode Selke-Modell Olaf Koldtz *Helmholtz Centre for Envronmental Research UFZ 1 Technsche Unverstät
Modul 1: Einführung und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Modul : Enführung und Wahrschenlchketsrechnung Informatonstheore Dozent: Prof. Dr. M. Gross E-mal: grossm@nf.ethz.ch Assstenten: Danel Cottng, Rchard Keser, Martn Wcke, Cyrl Flag, Andrea Francke, Jonas
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Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 5 Mehrdmensonale Zufallsvarablen Be velen Problemstellungen st ene solerte Betrachtung enzelnen
SS 2017 Torsten Schreiber
SS Torsten Schreber e den Ebenen unterscheden wr de und de prmeterfree Drstellung. Wenn wr ene Ebenenglechung durch dre Punkte bestmmen wollen, so müssen de zugehörgen Vektoren sen, d es sonst nur ene
z.b. Münzwurf: Kopf = 1 Zahl = 2 oder z.b. 2 Würfel: Merkmal = Summe der Augenzahlen, also hier: Bilde die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel!
Aufgabe : Vorbemerkung: Ene Zufallsvarable st ene endeutge Funkton bzw. ene Abbldungsvorschrft, de angbt, auf welche Art aus enem Elementareregns ene reelle Zahl gewonnen wrd. x 4 (, ) z.b. Münzwurf: Kopf
binäre Suchbäume Informatik I 6. Kapitel binäre Suchbäume binäre Suchbäume Rainer Schrader 4. Juni 2008 O(n) im worst-case Wir haben bisher behandelt:
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Manhattan-Metrik anhand des Beispiels
Bestmmung durch Manhattan-Metrk 3 Manhattan-Metrk anhand des Bespels Gesucht werden de zwe Standorte für zwe Ausleferungslager. De Standpunkte der Nachfrager () snd durch de Koordnaten ( x/y ) gegeben.
Grundlagen der Technischen Informatik. 12. Übung. Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit
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Die Jordansche Normalform
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Anwendungsmöglichkeiten von Lernverfahren
Künstlche Neuronale Netze Lernen n neuronalen Netzen 2 / 30 Anwendungsmöglcheten von Lernverfahren Prnzpelle Möglcheten Verbndungsorentert 1 Hnzufügen neuer Verbndungen 2 Löschen bestehender Verbndungen
Welche drei wesentlichen Elemente enthält eine Gewinngleichung nach dem Umsatzkostenverfahren?
. [3 Punkte] Welche dre wesentlchen Elemente enthält ene Gewnnglechung nach dem Umsatzkostenverfahren? Umsatz, Herstellkosten des Umsatzes, übrge Kosten. [5 Punkte] Welche fünf wesentlchen Elemente enthält
Lineare Regression (1) - Einführung I -
Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:
Algorithmen und Datenstrukturen SS09. Foliensatz 13. Michael Brinkmeier. Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik
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Abbildung 3.1: Besetzungszahlen eines Fermigases im Grundzustand (a)) und für eine angeregte Konfiguration (b)).
44 n n F F a) b) Abbldung 3.: Besetzungszahlen enes Fermgases m Grundzustand (a)) und für ene angeregte Konfguraton (b)). 3.3 Ferm Drac Statstk In desem Abschntt wollen wr de thermodynamschen Egenschaften
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Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko
Verscherungstechnscher Umgang mt Rsko. Denstlestung Verscherung: Schadensdeckung von für de enzelne Person ncht tragbaren Schäden durch den fnanzellen Ausglech n der Zet und m Kollektv. Des st möglch über
Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz):
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Analysis I. Vorlesung 17. Logarithmen. R R, x exp x,
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Prof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008
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4.2 Grundlagen der Testtheorie
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0 Lneare Regresson Tel des Weterbldungskurses n angewandter Statstk der ETH Zürch Folen Werner Stahel, September 2017 1.1 Bespele zur lnearen Regresson 1 1 Enführung n de statstsche Regressonsrechnung
Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv
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Gruppe. Lineare Block-Codes
Thema: Lneare Block-Codes Lneare Block-Codes Zele Mt desen rechnerschen und expermentellen Übungen wrd de prnzpelle Vorgehenswese zur Kanalcoderung mt lnearen Block-Codes erarbetet. De konkrete Anwendung
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22. Vorlesung Sommersemester
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FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I)
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Die mathematischen Grundlagen der Wellenmechanik
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