2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen. Definition 2.1 (Zahlenfolge). Betrachten Sie folgende Liste von Zahlen:

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1 2 Folgen und Reihen 2. Folgen Betrachten Sie folgende Liste von Zahlen:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2... Erkennen Sie ein Gesetz, mit dem man die Liste sinnvoll fortsetzen kann? Offenbar können Sie mit diesem Gesetz zu jeder vorgegebenen Position das zugehörige Element der Liste ausrechnen. Jeder natürlichen Zahl ( Position ) wird also eine reelle Zahl ( Listenelement ) zugeordnet es entsteht eine Abbildung a : N R. Solche Abbildungen heißen Zahlenfolgen. Sie spielen in vielen Anwendungen eine große Rolle und liefern uns den Schlüssel zum Verständnis des Grenzwerts - des wichtigsten Begriffs der Analysis. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 89 Definition 2. (Zahlenfolge). Eine Abbildung a, die jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl a n zuordnet, heißt (unendliche reelle) Zahlenfolge. Statt a : N R schreibt man (a n ) n N oder kurz (a n ). a n = a(n) heißt n tes Folgenglied dieser Zahlenfolge. Anmerkung: Wie schon beim Induktionsprinzip kann man als Indexmenge auch jede andere Menge der Form {n Z : n n 0 } mit festem n 0 Z benutzen. Insbesondere ist N 0 zulässig. Notation für diesen Fall: (a n ) n n0. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 90 Die Beschreibung von Folgen erfolgt i. d. R. durch Angabe von Bildungsgesetzen. Explizites Bildungsgesetz Der Wert a n wird mittels einer Gleichung in Abhängigkeit von n angeben (Funktionsvorschrift). Beispiel: Die Bildungsvorschrift a n = ( ) n erzeugt die Folge n 2, 4, 9, 6, 25, 36, 49, 64,... Das 42-te Glied kann man direkt berechnen: a 42 = ( ) = 764. Man gebe die ersten 7 Glieder der Folgen ( 2 n ) und ( n n) (ggf. näherungsweise) an. Wie lautet das 000-te Folgenglied? Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 9

2 Rekursionsvorschrift Der Wert a n+ wird in Abhängigkeit von a n und n ausgedrückt. Zusätzlich wird a angegeben (vgl. Induktionsprinizip). Beispiel: Die Rekursionsvorschrift a n+ = a n + n mit a = erzeugt die Folge, 2, 4, 7,, 6, 22, 29,... Glieder mit großem Index so zu berechnen (z. B. a 42 = 903) ist mühsam. (Später werden wir sehen, dass es in diesem Beispiel auch explizit geht). Man gebe die ersten 7 Glieder der durch a n+ = an 2 und a = gegebenen Folge an. Können Sie eine explizite Bildungsvorschrift finden? Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 92 Gelegentlich greift man in Rekursionsformeln auch auf mehrere vorhergehende Glieder zurück. Drückt man dabei a n+m über a n,..., a n+m aus, muss man m Startwerte angeben. Beispiel: Die Rekursionsvorschrift für die Fibonacci-Zahlen erzeugt die Folge a n+2 = a n+ + a n, a =, a 2 =,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44,... Diese Folge wurde von Leonardo da Pisa (Fibonacci), ca , bei der mathematischen Modellierung einer Kaninchenpopulation entdeckt. Fibonacci gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 93 Exkurs: Fibonacci-Zahlen in der Natur Fibonacci-Zahlen finden sich häufig an Pflanzenteilen wieder. Grund ist die damit erreichbare hohe Lichtausbeute: Die Anzahl von Blütenblättern ist oft eine Fibonacci-Zahl (Ringelblume: 3; Aster: 2; Sonnenblume, Gänseblümchen: 2/34/55/89) Die Anzahl gewisser Spiralen in Blütenkörbchen (Sonnenblumenkerne) oder bei Zapfen (Kiefer) ist häufig eine Fibonacci-Zahl Bilder alle aus Wikimedia Commons, links: André Karwath aka Aka, Mitte: KENPEI, rechts: Dr. Helmut Haß, Koblenz / Wolfgang Beyer Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 94

3 Anmerkung: Die Umwandlung von expliziter in rekursive Vorschrift und zurück kann schwierig sein. Es gibt Folgen, bei denen nur eine Form oder sogar gar kein Bildungsgesetz bekannt ist. Beispiel: Folge der Primzahlen 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 29,... Die Bestimmung z. B. des 42-ten Folgenglieds (8) ist hier ohne eine betreffende Liste sehr aufwändig. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 95 Visualisierung von Folgen Darstellung des Graphen in der Ebene: Der Graph einer Zahlenfolge (a n ) besteht aus den diskret liegenden Punkten (n, a n ), n N. Mitunter ist es auch zweckmäßig, lediglich die Folgenglieder auf dem Zahlenstrahl darzustellen: b 2 b 4 b 6 b 5 b 3 b Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 96 Beschränktheit und Monotonie Definition 2.2. Eine Folge (a n ) heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl C 0 gibt, so dass a n C für alle n N. Eine Folge (a n ) heißt (streng) monoton wachsend, wenn a n a n+ (bzw. a n < a n+ ) für alle n N, (streng) monoton fallend, wenn a n a n+ (bzw. a n > a n+ ) für alle n N, (streng) monoton, falls sie (streng) monoton wachsend oder fallend ist. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 97

4 Beispiele ( n ) ist streng monoton fallend und beschränkt (C = ). ( ( )n n ) ist nicht monoton, aber beschränkt (C = ). ( n) ist streng monoton wachsend und unbeschränkt. Bilder zu den drei Folgen: Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 98 Hinweis zum Rechnen Oft ist es sinnvoll, statt a n a n+ für monotones Wachstum eine der äquivalenten Ungleichungen a n+ a n 0 oder a n+ a n zu verwenden (letztere nur, wenn alle a n positiv sind!). Für monoton fallende Folgen analog mit umgekehrtem Relationszeichen. Untersuchen Sie die Folge ( 2 n 5 n+2 ) auf Monotonie und Beschränktheit. Führen Sie die Monotonieuntersuchung mit beiden o. a. Ungleichungen durch. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 99 Arithmetische Folgen Definition 2.3. Eine Folge (a n ) heißt arithmetische Folge, falls die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder immer den gleichen Wert ergibt, d. h. für eine Konstante d R. Satz 2.4. a n+ a n = d Sei (a n ) eine arithmetische Folge mit a n+ a n = d (n N). Dann lautet die explizite Bildungsvorschrift: a n = a + (n )d. () Eine arithmetische Folge ist also durch Angabe des ersten Folgenglieds a und der Differenz d eindeutig bestimmt. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 00

5 Beispiel Mit a = 3 und d = 2 erhält man die Folge 3,,, 3, 5, 7, 9,... Die zugehörige Bildungsvorschrift lautet a n = 3 + (n ) ( 2) = 5 2n. Geben Sie eine explizite Bildungsvorschrift zur arithmetischen Folge 2, 7, 2, 7, 22, 27,... an. Berechnen Sie damit das 203-te Folgenglied. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 0 Graphische Darstellung Nach Satz 2.4 kann man eine arithmetische Folge als Einschränkung der affin linearen Funktion f : R R, f(x) = a + d(x ) = a d + dx auf die natürlichen Zahlen auffassen. Die Punkte des Graphen liegen somit auf einer Geraden mit Anstieg d: a = 7 0, d = 0 a = 2 5, d = 0 a =, d = 6 Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 02 Geometrische Folgen Definition 2.5. Eine Folge (a n ) heißt geometrische Folge, falls der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer den gleichen Wert ergibt, d. h. für eine Konstante q R, q 0. Satz 2.6. a n+ a n = q Sei (a n ) eine geometrische Folge mit a n+ /a n = q (n N). Dann lautet die explizite Bildungsvorschrift: a n = a q n. (2) Eine geometrische Folge ist also durch Angabe des ersten Folgenglieds a und des Quotienten q eindeutig bestimmt. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 03

6 Beispiel Mit a = und q = 2 erhält man die Folge, 2, 4, 8, 6, 32, 64,... Die zugehörige Bildungsvorschrift lautet ( ) n a n = = 2 2 n. Wie lautet die explizite Bildungsvorschrift zur geometrischen Folge 2 3, 4 3, 8 3, 6 3, 32 3, 64 3,...? Handelt es sich bei a n = 4 3n 4 7 n+ (n N) um eine geometrische Folge? Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 04 Graphische Darstellung Nach Satz 2.6 kann man für q > 0 eine geometrische Folge als Einschränkung der Funktion f : R R, f(x) = a q x = a q qx auf die natürlichen Zahlen auffassen. Die Punkte des Graphen liegen für q > 0 somit auf dem Graphen einer Exponentialfunktion mit Basis q. a =, q = ( ) 2 a =, q =.25 ( ) 0 a =, q = 2 3 a =, q = 3 (+) 4 a =, q =.2 (+) 0 Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 05 Folgen und Wachstumsprozesse Arithmetische Folgen werden häufig verwendet, wenn es um einen konstanten Zuwachs (lineares Wachstum) geht. An einer für Mitteleuropa typischen Stelle beträgt die Temperatur in 25 m Tiefe etwa 0 C. Schätzen Sie die Temperatur in 0 km Tiefe, indem Sie von einem Zuwachs von 3 K pro 00 m ausgehen. Geometrische Folgen benutzt man, wenn das Wachstum proportional zur Grundmenge erfolgt (exponentielles Wachstum). In einer Nährlösung befinden sich 000 Einzeller, bei denen es durchschnittlich alle 20 min zur Teilung kommt. Schätzen Sie die Zahl der Einzeller nach 24 h bei ungebremstem Wachstum ohne Tod. Ein weiteres Beispiel ist die Zinseszinsformel K n = K 0 ( + p) n (K 0 Anfangskapital, p Zinssatz, K n Kapital nach n Jahren). Aufgaben auf diesem Frame frei nach Bigalke/Köhler: Mathematik, Band, Analysis. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 06

7 2.2 Grenzwerte und Konvergenz In einigen Beispielen konnten wir feststellen, dass sich die Folgenglieder für große n immer weiter einer festen Zahl nähern. Mathematisch wird dies mit den Begriffen Konvergenz und Grenzwert erfasst. Konvergenz ist ein grundlegendes Prinzip der Analysis. Der Grenzwertbegriff in seiner modernen Form wurde erstmals durch L. A. Cauchy formuliert. Augustin Louis Cauchy ( ), französischer Mathematiker, entwickelte u. a. die durch Leibniz und Newton aufgestellten Grundlagen der Analysis weiter. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 07 Definition 2.7 (Grenzwert). Eine Zahl a heißt Grenzwert der Folge (a n ), wenn zu jedem ε > 0 ein Index n 0 N existiert, so dass a n a < ε für alle n n 0. Besitzt die Folge (a n ) einen Grenzwert, so heißt sie konvergent, anderenfalls divergent. Schreibweisen: a = lim n a n a n a für n, oder kürzer: a n a. Zum besseren Verständnis: Denken Sie vor allem an beliebig kleine ε > 0. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 08 Graphische und sprachliche Illustration des Begriffs a + ε a a ε n 0 = n 0(ε) Für hinreichend großes n liegen die Folgenglieder a n beliebig nahe am Grenzwert a. (Bild unten: Wikimedia Commons; Matthias Vogelgesang (Youthenergy)) Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 09

8 Da sämtliche Folgenglieder mit großem n nicht beliebig nahe an zwei verschiedenen Zahlen liegen können, gilt Satz 2.8. Der Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt. Beispiele für Grenzwerte a n = c c: Sei ε > 0 gegeben. Dann a n c = 0 < ε für alle n. a n = n 0: Sei ε > 0 gegeben. Wähle ein n 0 N mit n 0 > /ε, dann gilt: a n 0 = a n = n < ε = ε für n n 0. Gegen welchen Grenzwert a könnte die Folge a n = n2 + konvergieren? n 2 Beweisen Sie Ihre Vermutung mit Hilfe der Grenzwertdefinition. Wie groß ist n 0 mindestens zu wählen, damit a n a < 0 4 für alle n n 0 gilt? Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 0 Definition 2.9 (Nullfolge). Eine Folge (a n ) heißt Nullfolge, wenn a n 0 für n. Nullfolgen können für eine weitere Charakterisierung von Grenzwerten benutzt werden: Satz 2.0. Eine Folge (a n ) n N ist genau dann konvergent, wenn (a n a) n N eine Nullfolge ist. Dabei vereinbaren wir, dass arithmetische Operationen auf Folgen immer gliedweise zu verstehen sind. Beispiel: a n = n+ n, denn a n = n+ n = n 0. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg Eng im Zusammenhang mit konvergenten Folgen steht folgender Begriff: Definition 2. (Cauchy-Folge). Eine Folge (a n ) heißt Cauchy-Folge, wenn zu jedem ε > 0 ein n 0 N existiert, so dass a n a m < ε für alle n, m n 0. (3) Bei einer Cauchy-Folge liegen also die Glieder für hinreichend große Indizes beliebig eng beisammen. Der Bezug zur Konvergenz von reellen Zahlenfolgen lautet: Satz 2.2 (Cauchysches Konvergenzkriterium). Eine reelle Zahlenfolge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 2

9 Die Konvergenz von Cauchy-Folgen in den reellen Zahlen resultiert aus deren Vollständigkeit. Die umgekehrte Aussage benötigt jedoch nur die Definition des Grenzwerts: Zeigen Sie, dass jede konvergente Zahlenfolge (a n ) die Cauchy-Eigenschaft (3) besitzt. Der Nutzen von Satz 2.2 liegt nicht in der konkreten Berechnung von Grenzwerten, sondern eher in theoretischen Betrachtungen und Entscheidungen über das Konvergenzverhalten einer Folge an sich. Begründen Sie mit Satz 2.2, dass eine arithmetische Folge mit d 0 nicht konvergent sein kann. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 3 Konvergenz vs. Monotonie und Beschränktheit Satz 2.3. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent. Finden Sie eine Folge die konvergent, aber nicht monoton ist. Begründen Sie mit Satz 2.3, dass die Folge (q n ) n N für q > divergiert. Schreiben Sie dazu q = + h (h > 0), und wenden Sie die Bernoulli-Ungleichung (Bsp..3) an. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 4 Rechnen mit konvergenten Folgen Wir beginnen mit einigen Vergleichskriterien für Grenzwerte. Satz 2.4. Gilt a n a, b n b, und ist fast immer a n b n (d. h. durchweg ab einem bestimmten Index), so gilt auch a b. Warnung Aus a n < b n folgt dagegen nicht die strenge Beziehung a < b. Machen Sie sich dies am Beispiel a n = n und b n = + n klar. Entwerfen Sie eine Beweisskizze zu Satz 2.4. Verwenden Sie eine indirekte Beweisführung. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 5

10 Folgerung 2.5 (Sandwichsatz, Prinzip der zwei Milizionäre). Gilt a n a und b n a, und gilt ferner fast immer a n c n b n, so gilt auch c n a. Folgerung 2.6. Ist (b n ) Nullfolge und gilt fast immer a n b n, so ist auch (a n ) eine Nullfolge. b n c n a a n b n a n Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 6 Für Nullfolgen gilt desweiteren: Satz 2.7. Ist (a n ) Nullfolge und (b n ) beschränkt, so ist (a n b n ) wieder eine Nullfolge. Unter Rückführung auf die Nullfolge ( n ) bestimme man die Grenzwerte von a n = n + n und b n = n + n sin(3n2 + π). (Hinweis: Man verwende Folgerung 2.6 und Satz 2.7) Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 7 Bei der Berechnung von Grenzwerten hilft folgender Satz: Satz 2.8 (Rechenregeln für Grenzwerte). Seien (a n ) und (b n ) Zahlenfolgen mit a n a und b n b. Dann gilt () a n + b n a + b, (2) a n b n a b, (3) a n b n ab, (4) λa n λa für jede Konstante λ R. Ist weiterhin b 0, so gibt es ein n 0 N, so dass b n 0 (n n 0 ). Die Folge (b n ) n n0 konvergiert mit (5) an b n a b. Beispiel: Aus n 0 folgt z. B n 3 n = 2. Man beweise Aussage () mit Hilfe der Grenzwertdefinition. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 8

11 Bestimmte Divergenz Definition 2.9. Eine Folge (a n ) heißt bestimmt divergent gegen + (Schreibweise a n oder lim n a n = + ), wenn zu jeder Zahl C R ein n 0 N existiert, so dass a n C für n n 0. Entsprechend heißt (a n ) bestimmt divergent gegen (Schreibweise a n oder lim n a n = ), wenn zu jeder Zahl C R ein n 0 N existiert, so dass a n C für n n 0. Beispiele: Es gilt n und n 2 + 3n für n. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 9 Einige Rechenregeln aus Satz 2.8 lassen sich teilweise auf bestimmt divergente Folgen übertragen. Dazu definiert man: c + = + = für c R, c = = für c R, c = = ( ) ( ) = für c > 0, c = ( ) = ( ) = für c < 0, c ( ) = für c > 0, c ( ) = für c < 0, c ± = 0 für c R. Achtung: Ausdrücke wie, +, ± ±, 0 (± ), ± 0 sind unbestimmt und können nicht sinnvoll definiert werden. Man finde Beispiele für Folgen vom Typ 0 mit Grenzwert 0,, 42, bestimmter Divergenz in beide Richtungen sowie nicht bestimmter Divergenz. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 20 Wichtige Beispiele Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen ( ) ( n + 3 n 2 ) + 3 n 2, + 4n 5n 2 4n + und ( 4n 3 ) +. 8n + Es ist dabei zweckmäßig, die höchste in Zähler und Nenner vorkommende Potenz von n auszuklammern und dann die Grenzwertsätze anzuwenden. Ganz analog zeigt man, dass für α k, β l 0 gilt: k α j n j 0, falls k < l; j=0 α 0 + α n α k n k α k β = l β β j n j 0 + β n β l n l l, falls k = l;, falls k > l, α k β l > 0;, falls k > l, α k β l < 0. j=0 Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 2

12 Geometrische Folge: q n 0, für q < ;, für q = ; +, für q >. Für q ist die Folge (q n ) divergent, aber nicht bestimmt divergent (alternierendes Vorzeichen). Man führe den Beweis für 0 < q < mit Hilfe der Bernoulli- Ungleichung (vgl. Bsp..3) aus. Für q < gilt im übrigen sogar n k q n 0 für alle k N. Das polynomielle Wachstum von n k ist also schwächer als das exponentielle Abklingen von q n. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 22 Weitere Beispiele: n r { +, falls r > 0; 0, falls r < 0. n c für jede Zahl c > 0, n n, ( + n )n e = ( + x n )n e x. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg Unendliche Reihen Addieren wir von einer gegebenen Zahlenfolge (a k ) die jeweils ersten Glieder, so entstehen Partialsummen : s = a, s 2 = a + a 2, s 3 = a + a 2 + a 3,. s n = a + a a n =. n a k, Diese Partialsummen bilden eine neue Folge (s n ) und führen uns zum Begriff der (unendlichen) Reihe. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 24

13 Definition 2.20 (Reihe). Sei (a k ) k N eine Zahlenfolge. Dann heißt s n := n a k die n-te Partialsumme von (a k ). Die Folge (s n ) n N wird Reihe mit den Gliedern a k genannt. Man verwendet für sie die Schreibweise a k. Eine Reihe a k heißt konvergent, wenn die zugehörige Partialsummenfolge konvergiert, andernfalls divergent. Gilt s n s für n, so schreibt man a k = s und bezeichnet s auch als Wert oder Summe der Reihe a k. Anmerkung: Wie bei Folgen ist man bei den Indizes auch hier nicht auf den Startwert festgelegt. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 25 Beispiel: Die Reihe konvergiert gegen, wie folgende geometrische 2 k Betrachtung deutlich macht: Man schreibt also 2 k =. Es handelt sich hierbei um einen Spezialfall der geometrischen Reihe, die uns später noch beschäftigen wird. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 26 Beispiel: Die Partialsummen zur Folge (a k ) mit a k = k(k+) sind gegeben durch s n = a + a a n = n(n + ) = n +. Damit gilt s n für n ; wir schreiben also k(k + ) =. Beweisen Sie die Formel für die Partialsummen mittels vollständiger Induktion (Hausaufgabe). Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 27

14 Beispiel Die zur Reihe ( ) k = (4) k=0 gehörige Partialsummenfolge ist (, 0,, 0,, 0,,...), d. h. die Reihe ist divergent. Dieses Beispiel zeigt eindrucksvoll, dass Reihen nicht einfach als unendliche Summen aufgefasst werden können: Paarweises Zusammenfassen benachbarter Glieder ( = 0) in (4) ist z. B. unzulässig und könnte zu völlig falschen Schlüssen führen! Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 28 Beispiel Seit Ihrer frühen Schulzeit verwenden Sie für reelle Zahlen auch die Dezimaldarstellung. Betrachtet man zum Beispiel die Zahl π, so gilt: π = = Allgemein lässt sich die Zifferndarstellung einer Dezimalzahl mit einer Vorkommastelle und Ziffernfolge (z k ) (z k {0,,..., 9}) als folgende Reihe auffassen: z, z 2 z 3 z 4 z 5... = z z z z = z k 0 k. Die Basis 0 ist übrigens willkürlich gewählt (Anzahl der Finger). Computer verwenden intern zumeist die Basis 2 (Dualzahlen), in Babylon verwendete man 60; bei den Indianern Südamerikas waren 4, 8 und 6 als Basis gebräuchlich (Rechnen ohne Daumen). Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 29 Partialsummen arithmetischer Folgen Erinnerung: Eine arithmetische Folge ist gekennzeichnet durch immer gleiche Differenz ihrer Folgenglieder. Satz 2.2. Sei (a k ) eine arithmetische Folge mit a k+ a k = d (also mit a k = a + (k )d, vgl. Satz 2.4). Dann gilt s n = n a k = n 2 (a + a n ) = n (a + 2 ) (n )d. (5) Die zugehörige Reihe n a k ist daher immer divergent mit Ausnahme des Falles a k = 0 (k N) (d. h. a = 0 und d = 0). Bei arithmetischen Folgen sind also nur die Partialsummen, aber nicht deren Grenzwerte interessant. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 30

15 Exkurs: Gaußsche Summenformel Einen Spezialfall von (5) bildet die Formel ( Kleiner Gauß ): n k = n(n + ). 2 Sie war bereits den Babyloniern bekannt und wurde vom 9-jährigen C. F. Gauß bei der Schulaufgabe, die natürlichen Zahlen von bis 00 zu addieren, wiederentdeckt. Schema: k = 00 0 = Carl Friedrich Gauß (deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker, ). U. a. ermöglichte die von ihm entwickelte Ausgleichsrechnung die Wiederentdeckung des Kleinplaneten Ceres (80). Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 3 Geometrische Reihe Die Reihe zur geometrischen Folge ist eine der wichtigsten in der Mathematik überhaupt. Auch hier beginnen wir wieder mit einer Aussage über die Darstellung der Partialsummen: Satz Sei (a k ) eine geometrische Folge mit a k+ /a k = q (also mit a k = a q k, vgl. Satz 2.6). Dann gilt { n q a n s n = a k = q, falls q ; na, falls q =. (6) Man beweise Satz 2.22 mittels vollständiger Induktion über n. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 32 Mittels Grenzübergang n erhält man aus Formel (6): Satz 2.23 (Geometrische Reihe). Eine Reihe der Form a q k heißt geometrische Reihe. Die geometrische Reihe konvergiert für q <, in diesem Falle gilt a q k = a q. (7) Für q ist die Reihe divergent. Man berechne die Summen der Reihen 3 und 7 k. 2 k Bemerkung: In Tafelwerken finden Sie auch häufig die Formeln a q k q = a q und a 0q l = a 0 q. Diese erhält man aus (7) durch Multiplikation beider Seiten mit q bzw. durch Indexverschiebung l = k. l=0 Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 33

16 Exkurs: Achilles und die Schildkröte... ist ein bekannter Trugschluss (Paradoxon) des griechischen Philosophen Zenon von Elea (ca v. Chr.). Es wird behauptet, dass der Läufer Achilles niemals eine Schildkröte einholen kann, wenn sie einen Vorsprung hat. Folgende Argumentation: Wenn Achilles den Startpunkt der Schildkröte erreicht hat, hat diese einen neuen (kleineren) Vorsprung gewonnen, Wenn Achilles diesen neuen Vorsprung aufgeholt hat, ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter vorn usw. Was Zenon damit zeigen wollte, ist aufgrund der Quellenlage unklar. Fakt ist, dass die Vorstellungen von Grenzwert und Unendlichkeit in der Antike noch nicht gut ausgeprägt waren. Lösen Sie das Paradoxon mit Ihrem neu erworbenen Wissen über geometrische Reihen auf. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 34 Harmonische Reihe Eine Reihe der Form k mit α > 0 wird harmonische Reihe α genannt. Es gilt: k ist konvergent für alle α >. α k = +, d. h. die Reihe divergiert, für alle α. α Insbesondere sind also die Reihen k und k divergent, während konvergiert. k 2 Die Divergenz von k erfolgt dabei extrem langsam; hier einige Zahlenwerte zur Illustration: n s n Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 35 Exkurs zur Divergenz von k Die Divergenz von k zeigt man durch Abschätzung der Partialsummen für n = 2 m : s 2 m = + ( ) ( ) ( ) m + 2 m + ( ) ( ) ( ) m 2 }{{}}{{}}{{ m } 2 mal 4 mal 2 m mal = + m für m. 2 Die Partialsummenfolge enthält also eine divergente Teilfolge und ist damit selbst divergent. Dieser Beweisansatz findet sich bereits in mittelalterlicher Literatur (Nicole Oresme, frz. Bischof und Naturwissenschaftler, um 350). Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 36

17 Rechnen mit konvergenten Reihen Wendet man die Grenzwertsätze (Satz 2.8) auf Partialsummenfolgen an, erhält man: Satz Sind a k und b k beide konvergent, so gilt: (a k + b k ) = a k + (a k b k ) = (λa k ) = λ a k a k b k b k für λ R Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 37 Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe ( + 4 ) 5 k 3 k Machen Sie sich anhand der Partialsummen klar, dass im Allgemeinen (a k b k ) ( a k) ( b k) gilt. Absolut konvergente Reihen Definition 2.25 (Absolute Konvergenz). Eine Reihe a k heißt absolut konvergent, wenn a k konvergiert. Absolut konvergente Reihen sind besonders komfortabel zum Beispiel darf man nur bei ihnen die Glieder beliebig umordnen, ohne den Grenzwert zu verändern. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 38 Der folgende Satz liefert den Bezug zur gewöhnlichen Konvergenz: Satz Eine absolut konvergente Reihe a k ist erst recht konvergent. Für sie gilt die verallgemeinerte Dreiecksungleichung a k a k. Beispiele: ( ) k+ k ist konvergent (Nachweis später), aber nicht absolut konvergent. Es gilt ( ) k+ k = ln 2. ( ) k+ k 2 0 ( ) k+ k 2 ist absolut konvergent. Es gilt = π2 2 π2 6 = k 2. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 39

18 Konvergenzkriterien Mitunter stellt man lediglich die Frage nach der Konvergenz einer Reihe, ohne deren konkreten Grenzwert berechnen zu wollen. Hierbei helfen Konvergenzkriterien. Einen ersten Satz erhalten wir aus dem Cauchy-Kriterium (Satz 2.2). Bei einer konvergenten Reihe a k müssen die Partialsummen s n, s n für große n beliebig weit zusammenrücken, d. h. a n = s n s n < ε mit beliebig kleinem ε > 0. Somit gilt Satz 2.27 (Notwendiges Konvergenzkriterium). Bei einer konvergenten Reihe a k bilden die Glieder eine Nullfolge, d. h. a k 0 für k. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 40 Konvergiert die Reihe k 2k+? Gilt die Umkehrung von Satz 2.27? Wenn nicht, finden Sie Gegenbeispiele. Anmerkung Ein Konvergenznachweis mittels Satz 2.27 ist für keine Reihe möglich, allerdings kann man damit ggf. die Konvergenz ausschließen: (a k ) keine Nullfolge a k divergiert. Die obigen Beispiele und Fragen illustrieren das. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 4 Für alternierende Reihen (d. h. mit wechselndem Vorzeichen der Glieder) ist oft folgendes Kriterium hilfreich: Satz 2.28 (Leibniz-Kriterium). Eine alternierende Reihe ( )k a k konvergiert, wenn (a k ) eine monotone Nullfolge ist. Was lässt sich über die Konvergenz der Reihen ( ) k k, ( ) k+ k und ( ) k 2k 3 sagen? Konvergieren diese Reihen auch absolut? Können Sie mit Satz 2.28 auch Aussagen zur Konvergenz der Reihe sin k treffen? ( ) k k Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 42

19 Nach Satz 2.3 ist eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern genau dann konvergent, wenn ihre Partialsummenfolge beschränkt ist. Daraus folgen: Satz 2.29 (Majorantenkriterium). Ist b k eine konvergente Reihe mit nichtnegativen Gliedern, und gilt fast immer a k b k, so konvergiert a k, und zwar sogar absolut. Die Reihe b k wird dabei Majorante von a k genannt. Beispiel: k 2 k 2 +k konvergiert, denn k 2 +k k 2 für alle k N, und konvergiert (harmonische Reihe). Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 43 Satz 2.30 (Minorantenkriterium). Ist b k eine divergente Reihe mit nichtnegativen Gliedern, und gilt fast immer a k b k, dann ist auch a k divergent. Die Reihe b k wird dabei Minorante von a k genannt. Beispiel: k+ divergiert, denn k k+ k k+k = 2k für alle k N, divergiert (harmonische Reihe). und 2k Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 44 Durch Verwendung von geometrischen Reihen als Majoranten bzw. Minoranten erhält man zwei Kriterien, die häufig bei Reihengliedern mit Quotienten-/Potenzstruktur greifen: Satz 2.3 (Quotientenkriterium). Gilt mit einer festen positiven Zahl q < fast immer a k+ a k q, so konvergiert die Reihe a k, und zwar sogar absolut. Gilt jedoch fast immer a k+ a k, so ist a k divergent. Dabei ist natürlich vorauszusetzen, dass fast immer a k 0 ist. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 45

20 Satz 2.32 (Wurzelkriterium). Gilt mit einer festen positiven Zahl q < fast immer k ak q, so konvergiert die Reihe a k, und zwar sogar absolut. Gilt jedoch fast immer k ak, so ist a k divergent. Achtung: Es reicht nicht, lediglich k a k < bzw. nachzuweisen, um auf Konvergenz zu schließen! Testen Sie dies am Beispiel k+ k. a k+ a k < Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 46 Folgende Version von Quotienten- und Wurzelkriterium ist besonders handlich und wird in der Praxis am häufigsten verwendet: Folgerung 2.33 (Quotienten- und Wurzelkriterium). Konvergiert die Quotientenfolge ( a k+ ) a k oder die Wurzelfolge ( k a k ) gegen einen Grenzwert α, so ist die Reihe a k (absolut) konvergent, wenn α <, divergent, wenn α >. Bemerkung: Im Falle α = liefern die Kriterien kein Ergebnis. Es sind dann weitere Untersuchungen notwendig. Warum ist Folgerung 2.33 eine unmittelbare Konsequenz der Sätze 2.3 und 2.32? Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 47 Beispiele k2 k k k 2 k konvergiert, denn a k+ a k = (k+) 2 k 2 2 k 2 k+ = 2 (+ k )2 2. konvergiert, denn k k = k k k k k 0 (da k k ). k=0 k! konvergiert, denn a k+ a k = k! (k+)! = k+ 0. Dabei ist k! := 2... k(k N), 0! := ( k-fakultät ). Es konvergiert sogar k=0 xk k! für beliebiges x R, denn a k+ a k = x k+ k! x k (k + )! = x k + 0. Wir nutzen diese Reihe später für die Definition der Exponentialfunktion: e x := k=0 xk k!. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 48

21 Ausblick: Anwendungen in den Naturwissenschaften In den Naturwissenschaften tauchen Reihen häufig in der Gestalt von Potenz- und Fourierreihen auf (spezielles Kapitel in HM 2). Weiterhin behandeln wir im Kapitel Differentialrechnung den Satz von Taylor kennen, der mit Reihenentwicklungen im Zusammenhang steht. Reihenentwicklungen begründen u. a. folgende häufig verwendeten Näherungen für betragsmäßig kleine x R: sin x tan x x, cos x 2 x2, x + x bzw. +x x. Die erste Näherung verwendet man u. a. in der Bewegungsgleichung für das Fadenpendel und erhält damit die typischen Sinusschwingungen. Die Näherungen in der letzten Zeile beruhen auf geometrischen Reihen. Man kann damit z. B. in Skandinavien leichter Überschläge bei der Währungsumrechnung durchführen ( EUR = 8.79 SEK). Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 49 Ziele erreicht? Sie sollten nun (bzw. nach Abschluss der Übungen/Tutorien): wissen, was man unter Folgen und Reihen versteht, die Grenzwertdefinition tiefgehend verstanden haben und beherrschen (auswendig!), Grenzwerte von Folgen mit Hilfe der Grenzwertsätze sicher berechnen können, an einfachen Beispielen Vergleichskriterien anwenden können (gilt für Folgen und Reihen), über die Konvergenzeigenschaften von geometrischer und harmonischer Reihe bescheidwissen, anhand von Konvergenzkriterien das Konvergenzverhalten von Reihen analysieren können (mit besonderem Schwerpunkt auf den Sätzen 2.27 und 2.28 sowie Folgerung 2.33). Sie sind sich nicht sicher oder meinen nein? Werden Sie aktiv! Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 50