2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen. Betrachten Sie folgende Liste von Zahlen: Erkennen Sie ein Gesetz, mit dem man die Liste sinnvoll fortsetzen kann?

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1 2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen Betrachten Sie folgende Liste von Zahlen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, Erkennen Sie ein Gesetz, mit dem man die Liste sinnvoll fortsetzen kann? Offenbar können Sie mit diesem Gesetz zu jeder vorgegebenen Position das zugehörige Element der Liste ausrechnen. Jeder natürlichen Zahl ( Position ) wird also eine reelle Zahl ( Listenelement ) zugeordnet es entsteht eine Abbildung a : N R. Solche Abbildungen heißen Zahlenfolgen. Sie spielen in vielen Anwendungen eine große Rolle und liefern uns den Schlüssel zum Verständnis des Grenzwerts - des wohl wichtigsten Begriffs der Analysis. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 89

2 Definition 2.1 (Zahlenfolge). Eine Abbildung a, die jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl a n zuordnet, heißt (unendliche reelle) Zahlenfolge. Statt a : N R schreibt man (a n ) n N oder kurz (a n ). a n = a(n) heißt n tes Folgenglied dieser Zahlenfolge. Anmerkung: Wie schon beim Induktionsprinzip kann man als Indexmenge auch jede Menge der Form {n Z : n n 0 } für festes n 0 Z benutzen. Insbesondere ist N 0 zulässig. Notation für diesen Fall: (a n ) n n0. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 90

3 Die Beschreibung von Folgen erfolgt i. d. R. durch Angabe von Bildungsgesetzen. Explizites Bildungsgesetz Der Wert a n wird mittels einer Gleichung in Abhängigkeit von n angeben (Funktionsvorschrift). Beispiel: Die Bildungsvorschrift a n = ( 1) n 1 n 2 erzeugt die Folge 1, 1 4, 1 9, 1 16, 1 25, 1 36, 1 49, 1 64,... Das 42-te Glied kann man direkt berechnen: a 42 = ( 1) = Man gebe die ersten 7 Glieder der Folgen ( 1 2 n ) und ( n n) (ggf. näherungsweise) an. Wie lautet das 1000-te Folgenglied? Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 91

4 Rekursionsvorschrift Der Wert a n+1 wird in Abhängigkeit von a n und n ausgedrückt. Zusätzlich wird a 1 angegeben (vgl. Induktionsprinizip). Beispiel: Die Rekursionsvorschrift a n+1 = a n + n erzeugt die Folge 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29,... Das Glied a 42 = 903 über diese Vorschrift zu berechnen ist mühsam. (Später werden wir sehen, wie dies explizit besser geht). Man gebe die ersten 7 Glieder der durch a n+1 = an 2 und a 1 = 1 gegebenen Folge an. Können Sie eine explizite Bildungsvorschrift finden? Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 92

5 Gelegentlich greift man in Rekursionsformeln auch auf mehrere vorhergehende Glieder zurück. Drückt man dabei a n+m über a n,..., a n+m 1 aus, muss man m Startwerte angeben. Beispiel: Die Rekursionsvorschrift für die Fibonacci-Zahlen erzeugt die Folge a n+2 = a n+1 + a n, a 1 = 1, a 2 = 1 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... Diese Folge wurde von Leonardo da Pisa (Fibonacci), ca , bei der mathematischen Modellierung einer Kaninchenpopulation entdeckt. Fibonacci gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 93

6 Exkurs: Fibonacci-Zahlen in der Natur Fibonacci-Zahlen finden sich häufig an Pflanzenteilen wieder. Grund ist die damit erreichbare hohe Lichtausbeute: Die Anzahl von Blütenblättern ist oft eine Fibonacci-Zahl (Ringelblume 13, Aster 21, Sonnenblume, Gänseblümchen 21/34/55/89) Die Anzahl gewisser Spiralen in Blütenkörbchen (Sonnenblumenkerne) oder bei Zapfen (Kiefer) ist häufig eine Fibonacci-Zahl Bilder alle aus Wikimedia Commons, links: André Karwath aka Aka, Mitte: KENPEI, rechts: Dr. Helmut Haß, Koblenz / Wolfgang Beyer Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 94

7 Anmerkung: Die Umwandlung von expliziter in rekursive Vorschrift und zurück kann schwierig sein. Es gibt Folgen, bei denen nur eine Form oder sogar gar kein Bildungsgesetz bekannt ist. Beispiel: Folge der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... Die Bestimmung z. B. des 42-ten Folgenglieds (181) ist hier ohne eine betreffende Liste sehr aufwändig. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 95

8 Visualisierung von Folgen Darstellung des Graphen in der Ebene: Der Graph einer Zahlenfolge (a n ) besteht aus den diskret liegenden Punkten (n, a n ), n N. Mitunter ist es auch zweckmäßig, lediglich die Folgenglieder auf dem Zahlenstrahl darzustellen: b 2 b 4 b 6 b 5 b 3 b Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 96

9 Beschränktheit und Monotonie Definition 2.2. Eine Folge (a n ) heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl C 0 gibt, so dass a n C für alle n N. Eine Folge (a n ) heißt (streng) monoton wachsend, wenn a n a n+1 (bzw. a n < a n+1 ) für alle n N, (streng) monoton fallend, wenn a n a n+1 (bzw. a n > a n+1 ) für alle n N, (streng) monoton, falls sie (streng) monoton wachsend oder fallend ist. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 97

10 Beispiele ( 1 n ) ist streng monoton fallend und beschränkt (C = 1). ( ( 1)n n ) ist nicht monoton, aber beschränkt (C = 1). ( n) ist streng monoton wachsend und unbeschränkt. Bilder zu den drei Folgen: Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 98

11 Spezielle Folgen Definition 2.3 (Arithmetische Folge). Eine Folge (a n ) heißt arithmetische Folge, falls die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder immer den gleichen Wert ergibt, d. h. für eine Konstante d R. Satz 2.4. a n+1 a n = d Sei (a n ) eine arithmetische Folge mit a n+1 a n = d (n N). Dann lautet die explizite Bildungsvorschrift: a n = a 1 + (n 1)d. (1) Beispiel: Mit a 1 = 3 und d = 2 erhält man die Folge 3, 1, 1, 3, 5, 7, 9,... Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 99

12 Graphische Darstellung Nach Satz 2.4 kann man eine arithmetische Folge als Einschränkung der affin linearen Funktion f : R R, f(x) = a 1 + d(x 1) = a 1 d + dx auf die natürlichen Zahlen auffassen. Die Punkte des Graphen liegen somit auf einer Geraden mit Anstieg d: a 1 = 7 10, d = 1 10 a 1 = 2 5, d = 0 a1 = 1, d = 1 6 Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 100

13 Definition 2.5 (Geometrische Folge). Eine Folge (a n ) heißt geometrische Folge, falls der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer den gleichen Wert ergibt, d. h. für eine Konstante q R, q 0. Satz 2.6. a n+1 a n = q Sei (a n ) eine geometrische Folge mit a n+1 /a n = q (n N). Dann lautet die explizite Bildungsvorschrift: a n = a 1 q n 1. (2) Beispiel: Mit a 1 = 1 und q = 1 2 erhält man die Folge 1, 1 2, 1 4, 1 8, 1 16, 1 32, 1 64,... Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 101

14 Graphische Darstellung Nach Satz 2.6 kann man für q > 0 eine geometrische Folge als Einschränkung der Funktion f : R R, f(x) = a 1 q x 1 = a 1 q qx auf die natürlichen Zahlen auffassen. Die Punkte des Graphen liegen für q > 0 somit auf dem Graphen einer Exponentialfunktion mit Basis q. a 1 = 1, q = 1 ( ) 2 a1 = 1, q = 1.25 ( ) 10 a1 = 1, q = 2 3 a 1 = 1, q = 3 (+) 4 1 a1 =, q = 1.2 (+) 10 Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 102

15 Folgen und Wachstumsprozesse Arithmetische Folgen werden häufig verwendet, wenn es um einen konstanten Zuwachs (lineares Wachstum) geht. Geometrische Folgen benutzt man, wenn das Wachstum proportional zur Grundmenge erfolgt (exponentielles Wachstum). Ein typisches Beispiel ist die Zinseszinsformel K n = K 0 (1 + p) n (K 0 Anfangskapital, p Zinssatz, K n Kapital nach n Jahren). An einer für Mitteleuropa typischen Stelle beträgt die Temperatur in 25 m Tiefe etwa 10 C. Schätzen Sie die Temperatur in 10 km Tiefe, indem Sie von einem Zuwachs von 3 K pro 100 m ausgehen. In einer Nährlösung befinden sich 1000 Einzeller, bei denen es durchschnittlich alle 20 min zur Teilung kommt. Schätzen Sie die Zahl der Einzeller nach 24 h bei ungebremstem Wachstum ohne Tod. Aufgaben auf diesem Frame frei nach Bigalke/Köhler: Mathematik, Band 1, Analysis. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 103

16 2.2 Grenzwerte und Konvergenz In einigen unserer Beispiele konnten wir feststellen, dass sich die Folgenglieder für große n immer weiter an eine feste Zahl annähern. Mathematisch wird dies mit den Begriffen Konvergenz und Grenzwert gefasst. Konvergenz ist ein grundlegendes Prinzip der Analysis. Der Grenzwertbegriff in seiner modernen Form wurde erstmals durch L. A. Cauchy formuliert. Augustin Louis Cauchy ( ), französischer Mathematiker, entwickelte u. a. die durch Leibniz und Newton aufgestellten Grundlagen der Analysis weiter. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 104

17 Definition 2.7 (Grenzwert). Eine Zahl a heißt Grenzwert der Folge (a n ), wenn zu jedem ε > 0 ein Index n 0 N existiert, so dass a n a < ε für alle n n 0. Besitzt die Folge (a n ) einen Grenzwert, so heißt sie konvergent, anderenfalls divergent. Schreibweisen: a = lim n a n a n a für n, oder kürzer: a n a. Zum besseren Verständnis: Denken Sie vor allem an beliebig kleine ε > 0. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 105

18 Graphische und sprachliche Illustration des Begriffs a + ε a a ε n 0 = n 0 (ε) Für hinreichend großes n liegen die Folgenglieder a n beliebig nahe am Grenzwert a. (Bild unten: Wikimedia Commons; Matthias Vogelgesang (Youthenergy)) Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 106

19 Beispiele: a n = c c: Sei ε > 0 gegeben. Dann a n c = 0 < ε für alle n. a n = 1 n 0: Sei ε > 0 gegeben. Wähle ein n 0 N mit n 0 > 1/ε, dann gilt: a n 0 = a n = 1 n < 1 1 ε = ε für n n 0. a n = n2 +1 1: Sei ε > 0 gegeben. Wähle ein n n 2 0 N mit n 0 > 1/ ε, dann gilt: a n 1 = n n 2 1 = 1 n 2 < 1 ) 2 = ε für n n 0. Satz 2.8. ( 1 ε Der Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 107

20 Definition 2.9 (Nullfolge). Eine Folge (a n ) heißt Nullfolge, wenn a n 0 für n. Nullfolgen können für eine weitere Charakterisierung von Grenzwerten benutzt werden: Satz Eine Folge (a n ) n N ist genau dann konvergent, wenn (a n a) n N eine Nullfolge ist. Dabei vereinbaren wir, dass arithmetische Operationen auf Folgen immer gliedweise zu verstehen sind. Beispiel: a n = n+1 n 1, denn a n 1 = n+1 n 1 = 1 n 0. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 108

21 Eng im Zusammenhang mit konvergenten Folgen steht folgender Begriff: Definition 2.11 (Cauchy-Folge). Eine Folge (a n ) heißt Cauchy-Folge, wenn zu jedem ε > 0 ein n 0 N existiert, so dass a n a m < ε für alle n, m n 0. (3) Bei einer Cauchy-Folge liegen also die Glieder für hinreichend große Indizes beliebig eng beisammen. Der Bezug zur Konvergenz von reellen Zahlenfolgen lautet: Satz 2.12 (Cauchysches Konvergenzkriterium). Eine reelle Zahlenfolge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 109

22 Die Konvergenz von Cauchy-Folgen in R resultiert aus der Vollständigkeit. Die umgekehrte Aussage benötigt jedoch nur die Definition des Grenzwerts: Zeigen Sie, dass jede konvergente Zahlenfolge (a n ) die Cauchy-Eigenschaft (3) besitzt. Der Nutzen von Satz 2.12 liegt nicht in der konkreten Berechnung von Grenzwerten, sondern eher in theoretischen Betrachtungen und Entscheidungen über das Konvergenzverhalten einer Folge an sich. Begründen Sie mit Satz 2.12, dass eine arithmetische Folge mit d 0 nicht konvergent sein kann. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 110

23 Bezug zu Monotonie und Beschränktheit Satz Jede konvergente Folge ist beschränkt. Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent. Finden Sie eine Folge die konvergent, aber nicht monoton ist. Beweisen Sie Satz Sie benötigen nur die Grenzwertdefinition und die Tatsache, dass jede beschränkte Menge in R ein Supremum besitzt. Begründen Sie mit Satz 2.13, dass die Folge (q n ) n N für q > 1 divergiert. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 111

24 Rechnen mit konvergenten Folgen Wir beginnen mit einigen Vergleichskriterien für Grenzwerte. Satz Gilt a n a, b n b, und ist fast immer a n b n (d. h. durchweg ab einem bestimmten Index), so gilt auch a b. Achtung: Aus a n < b n folgt dagegen i. a. nicht die strenge Beziehung a < b. Betrachte zum Beispiel die Folgen a n = 1 1 n und b n = n. Folgerung 2.15 (Sandwichsatz, Prinzip der zwei Milizionäre). Gilt a n a und b n a, und gilt ferner fast immer a n c n b n, so gilt auch c n a. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 112

25 Folgerung Ist (b n ) Nullfolge und gilt fast immer a n b n, so ist auch (a n ) eine Nullfolge. Visualisierungen zu Folgerung 2.15 und 2.16: b n c n a n b n a n Für Nullfolgen gilt noch ein weiteres Ergebnis: Satz Ist (a n ) Nullfolge und (b n ) beschränkt, so ist (a n b n ) wieder eine Nullfolge. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 113

26 Für die Berechnung von Grenzwerten hilft meist auch folgender Satz: Satz 2.18 (Rechenregeln für Grenzwerte). Seien (a n ) und (b n ) Zahlenfolgen mit a n a und b n b. Dann gilt (1) a n + b n a + b, (2) a n b n a b, (3) a n b n ab, (4) λa n λa für jede Konstante λ R. Ist weiterhin b 0, so gibt es ein n 0 N, so dass b n 0 (n n 0 ). Die Folge (b n ) n n0 konvergiert mit (5) an b n a b. Beispiel: Aus 1 n 0 folgt z. B n 3 n = 2. Man beweise Aussage (1) mit Hilfe der Grenzwertdefinition. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 114

27 Bestimmte Divergenz Definition Eine Folge (a n ) heißt bestimmt divergent gegen + (Schreibweise a n oder lim n a n = + ), wenn zu jeder Zahl C R ein n 0 N existiert, so dass a n C für n n 0. Entsprechend heißt (a n ) bestimmt divergent gegen (Schreibweise a n oder lim n a n = ), wenn zu jeder Zahl C R ein n 0 N existiert, so dass a n C für n n 0. Beispiele: Es gilt n und n 2 + 3n für n. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 115

28 Einige Rechenregeln aus Satz 2.18 lassen sich teilweise auf bestimmt divergente Folgen übertragen. Dazu definiert man: c + = + = für c R, c = = für c R, c = = ( ) ( ) = für c > 0, c = ( ) = ( ) = für c < 0, c ( ) = für c > 0, c ( ) = für c < 0, c ± = 0 für c R. Achtung: Ausdrücke wie, +, ± ±, 0 (± ), ± 0 sind unbestimmt und können nicht sinnvoll definiert werden. Man finde Beispiele für Folgen vom Typ 0 mit Grenzwert 0, 1, 42, bestimmter Divergenz in beide Richtungen sowie nicht bestimmter Divergenz. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 116

29 Wichtige Beispiele Für α k, β l 0 gilt k α j n j j=0 = l β j n j j=0 α 0 + α 1 n α k n k β 0 + β 1 n β l n l 0, falls k < l; α k β l, falls k = l;, falls k > l, α k, falls k > l, α k β l > 0; β l < 0. Beweisen Sie die Aussage, indem Sie jeweils die höchste in Zähler und Nenner vorkommende Potenz von n ausklammern und dann die Grenzwertsätze anwenden. Wie lauten die Grenzwerte der Folgen ( n+3 n 2 +4n 1 ), ( n n 2 4n+1 ) und ( 4n3 +1 8n+1 )? Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 117

30 Geometrische Folge: q n 0, für q < 1; 1, für q = 1; +, für q > 1. Für q 1 ist die Folge (q n ) divergent, aber nicht bestimmt divergent (alternierendes Vorzeichen). Man führe den Beweis für 0 < q < 1 mit Hilfe der Bernoulli- Ungleichung (vgl. S. 49) aus. Für q < 1 gilt im übrigen sogar n k q n 0 für alle k N. Das polynomielle Wachstum von n k ist also schwächer als das exponentielle Abklingen von q n. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 118

31 Weitere Beispiele: n r { +, falls r > 0; 0, falls r < 0. n c 1 für jede Zahl c > 0, n n 1, (1 + 1 n )n e = (1 + x n )n e x. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 119

32 2.3 Unendliche Reihen Addieren wir von einer gegebenen Zahlenfolge (a k ) die jeweils ersten Glieder, so entstehen Partialsummen : s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,. s n = a 1 + a a n =. n a k, Diese Partialsummen bilden eine neue Folge (s n ) und führen uns zum Begriff der (unendlichen) Reihe. k=1 Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 120

33 Definition 2.20 (Reihe). Sei (a k ) k N eine Zahlenfolge. Dann heißt s n := n k=1 a k die n-te Partialsumme von (a k ). Die Folge (s n ) n N wird Reihe mit den Gliedern a k genannt. Man verwendet für sie die Schreibweise k=1 a k. Eine Reihe k=1 a k heißt konvergent, wenn die zugehörige Partialsummenfolge konvergiert, andernfalls divergent. Gilt s n s für n, so schreibt man a k = s k=1 und bezeichnet s auch als Wert oder Summe der Reihe k=1 a k. Anmerkung: Wie bei Folgen ist man bei den Indizes auch hier nicht auf den Startwert 1 festgelegt. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 121

34 Beispiel: Die Reihe k=1 1 konvergiert gegen 1, wie folgende geometrische 2 k Betrachtung deutlich macht: Man schreibt also k=1 1 2 k = 1. Es handelt sich hierbei um einen Spezialfall der geometrischen Reihe, die uns später noch beschäftigen wird. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 122

35 Beispiel: Die Partialsummen zur Folge (a k ) mit a k = 1 k(k+1) sind gegeben durch s n = a 1 + a a n = n(n + 1) = 1 1 n + 1. Damit gilt s n 1 für n ; wir schreiben also k=1 1 k(k + 1) = 1. Beweisen Sie die Formel für die Partialsummen mittels vollständiger Induktion (Hausaufgabe). Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 123

36 Beispiel: Die zur Reihe ( 1) k = (4) k=0 gehörige Partialsummenfolge ist (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1,...) und die Reihe damit divergent. Dieses Beispiel zeigt eindrucksvoll, dass Reihen nicht einfach als unendliche Summen aufgefasst werden können: Paarweises Zusammenfassen benachbarter Glieder (1 1 = 0) in (4) könnte zum Beispiel zu völlig falschen Schlüssen führen! Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 124

37 Beispiel: Seit Ihrer frühen Schulzeit verwenden Sie für reelle Zahlen auch die Dezimaldarstellung. Betrachtet man zum Beispiel die Zahl π, so gilt: π = = Allgemein lässt sich die Zifferndarstellung einer Dezimalzahl mit einer Vorkommastelle und Ziffernfolge (z k ) (z k {0, 1,..., 9}) als folgende Reihe auffassen: z 1, z 2 z 3 z 4 z 5... = z z z z = z k 10 k 1. k=1 Die Basis 10 ist übrigens willkürlich gewählt (Anzahl der Finger). Computer verwenden intern zumeist die Basis 2 (Dualzahlen), in Babylon verwendete man 60; bei den Indianern Südamerikas waren 4, 8 und 16 als Basis gebräuchlich (Rechnen ohne Daumen). Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 125

38 Partialsummen arithmetischer Folgen Erinnerung: Eine arithmetische Folge ist gekennzeichnet durch immer gleiche Differenz ihrer Folgenglieder. Satz Sei (a k ) eine arithmetische Folge mit a k+1 a k = d (also mit a k = a 1 + (k 1)d, vgl. Satz 2.4). Dann gilt s n = n k=1 a k = n 2 (a 1 + a n ) = n (a ) (n 1)d. (5) Die zugehörige Reihe n k=1 a k ist daher immer divergent mit Ausnahme des Falles a k = 0 (k N) (d. h. a 1 = 0 und d = 0). Bei arithmetischen Folgen sind also nur die Partialsummen, aber nicht deren Grenzwerte interessant. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 126

39 Exkurs: Gaußsche Summenformel Einen Spezialfall von (5) bildet die Formel ( Kleiner Gauß ): n k = 1 n(n + 1). 2 k=1 Sie war bereits den Babyloniern bekannt und wurde vom 9-jährigen C. F. Gauß bei der Schulaufgabe, die natürlichen Zahlen von 1 bis 100 zu addieren, wiederentdeckt. Schema: i = = i=1 Carl Friedrich Gauß (deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker, ). U. a. ermöglichte die von ihm entwickelte Ausgleichsrechnung die Wiederentdeckung des Kleinplaneten Ceres (1801). Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 127

40 Geometrische Reihe Die Reihe zur geometrischen Folge ist eine der wichtigsten in der Mathematik überhaupt. Auch hier beginnen wir wieder mit einer Aussage über die Darstellung der Partialsummen: Satz Sei (a k ) eine geometrische Folge mit a k+1 /a k = q (also mit a k = a 1 q k 1, vgl. Satz 2.6). Dann gilt { n q a n 1 s n = a k = 1 q 1, falls q 1; na 1, falls q = 1. k=1 (6) Man beweise Satz 2.22 mittels vollständiger Induktion über n. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 128

41 Mittels Grenzübergang n erhält man aus Formel (6): Satz 2.23 (Geometrische Reihe). Eine Reihe der Form k=1 a 1q k 1 heißt geometrische Reihe. Die geometrische Reihe konvergiert für q < 1, in diesem Falle gilt k=1 Für q 1 ist die Reihe divergent. a 1 q k 1 = a q. (7) Man berechne die Summen der Reihen 3 k=1 und 7 k 1 k= k Bemerkung: In Tafelwerken finden Sie auch häufig die Formeln a 1q k q = a 1 1 q und a 0q l 1 = a 0 1 q. k=1 Diese erhält man aus (7) durch Multiplikation von a 1 mit q bzw. durch Indexverschiebung l = k 1. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 129 l=0

42 Harmonische Reihe Eine Reihe der Form k=1 1 k mit α > 0 wird harmonische Reihe α genannt. Es gilt: k=1 1 k ist konvergent für alle α > 1. α k=1 1 k = +, d. h. die Reihe divergiert, für alle α 1. α Insbesondere sind also die Reihen k=1 1 k und k=1 1 k divergent, während k=1 1 konvergiert. k 2 Die Divergenz von k=1 1 k erfolgt dabei extrem langsam; hier einige Zahlenwerte zur Illustration: n s n Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 130

43 Exkurs zur Divergenz von k=1 1 k Die Divergenz von k=1 1 k zeigt man durch Abschätzung der Partialsummen für n = 2 m : s 2 m = 1+ 1 ( ) ( ) ( ) m m 1+ 1 ( ) ( ) ( ) m 2 m }{{}}{{}}{{} 2 mal 4 mal = m für m. 2 2 m 1 mal Die Partialsummenfolge enthält also eine divergente Teilfolge und ist damit selbst divergent. Dieser Beweisansatz findet sich übrigens bereits in mittelalterlicher Literatur (um 1350). Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 131

44 Rechnen mit konvergenten Reihen Wendet man die Grenzwertsätzen (Satz 2.18) auf Partialsummenfolgen an, erhält man: Satz Sind k=1 a k und k=1 b k beide konvergent, so gilt: (a k + b k ) = a k + k=1 (a k b k ) = k=1 k=1 k=1 (λa k ) = λ k=1 k=1 a k k=1 a k k=1 b k b k für λ R Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 132

45 Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe ( 1 k=1 + 4 ) 5 k 3 k Machen Sie sich anhand der Partialsummen klar, dass Aussagen analog zu Satz 2.24 für k=1 (a k b k ) nicht gelten können. Absolut konvergente Reihen Definition 2.25 (Absolute Konvergenz). Eine Reihe k=1 a k heißt absolut konvergent, wenn k=1 a k konvergiert. Absolut konvergente Reihen sind besonders komfortabel zum Beispiel darf man nur bei ihnen die Glieder beliebig umordnen, ohne den Grenzwert zu verändern. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 133

46 Der folgende Satz liefert den Bezug zur gewöhnlichen Konvergenz: Satz Eine absolut konvergente Reihe k=1 a k ist erst recht konvergent. Für sie gilt die verallgemeinerte Dreiecksungleichung a k a k. k=1 k=1 Beispiele: ( 1) k+1 k=1 k ist konvergent (Nachweis später), aber nicht absolut konvergent. Es gilt ( 1) k+1 k=1 k = ln 2. ( 1) k+1 k=1 k 2 0 k=1 ( 1) k+1 k 2 ist absolut konvergent. Es gilt = π2 12 π2 6 = k=1 1 k 2. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 134

47 Konvergenzkriterien Mitunter stellt man lediglich die Frage nach der Konvergenz einer Reihe, ohne deren konkreten Grenzwert berechnen zu wollen. Hierbei helfen sogenannte Konvergenzkriterien. Einen ersten Satz erhalten wir aus dem Cauchy-Kriterium für die Partialsummenfolge zu einer konvergenten Reihe k=1 a k. Es gilt und daher a n = s n s n 1 < ε für großes n Satz 2.27 (Notwendiges Konvergenzkriterium). Bei einer konvergenten Reihe k=1 a k bilden die Glieder eine Nullfolge, d. h. a k 0 für k. Kann die Reihe k k=1 2k+1 konvergieren? Gilt die Umkehrung von Satz 2.27? Wenn nicht, finden Sie Gegenbeispiele. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 135

48 Für alternierende Reihen (d. h. mit wechselndem Vorzeichen der Glieder) ist das folgende Kriterium häufig hilfreich: Satz 2.28 (Leibniz-Kriterium). Eine alternierende Reihe k=1 ( 1)k a k konvergiert, wenn (a k ) eine monotone Nullfolge ist. Was lässt sich über die Konvergenz der Reihen ( 1) k+1 k=1 k absolut? und ( 1) k k=1 2k 3 k=1 ( 1) k k, sagen? Konvergieren diese Reihen auch Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 136

49 Nach Satz 2.13 ist eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern genau dann konvergent, wenn ihre Partialsummenfolge beschränkt ist. Daraus folgen: Satz 2.29 (Majorantenkriterium). Ist k=1 b k eine konvergente Reihe mit nichtnegativen Gliedern, und gilt fast immer a k b k, so konvergiert k=1 a k, und zwar sogar absolut. Die Reihe k=1 b k wird dabei Majorante von k=1 a k genannt. Beispiel: k=1 k=1 1 k 2 1 k 2 +k konvergiert, denn 1 k 2 +k 1 k 2 konvergiert. für alle k N, und Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 137

50 Satz 2.30 (Minorantenkriterium). Ist k=1 b k eine divergente Reihe mit nichtnegativen Gliedern, und gilt fast immer a k b k, dann ist auch k=1 a k divergent. Die Reihe k=1 b k wird dabei Minorante von k=1 a k genannt. Beispiel: k=1 1 k+ divergiert, denn 1 k k+ 1 k k+k = 1 2k divergiert (harmonische Reihe). und k=1 1 2k für alle k N, Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 138

51 Durch Verwendung von geometrischen Reihen als Majoranten bzw. Minoranten erhält man zwei Kriterien, die häufig bei Reihengliedern mit Quotienten-/Potenzstruktur greifen: Satz 2.31 (Quotientenkriterium). Gilt mit einer festen positiven Zahl q < 1 fast immer a k+1 a k q, so konvergiert die Reihe k=1 a k, und zwar sogar absolut. Gilt jedoch fast immer a k+1 a k 1, so ist k=1 a k divergent. Dabei ist natürlich vorauszusetzen, dass fast immer a k 0 ist. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 139

52 Satz 2.32 (Wurzelkriterium). Gilt mit einer festen positiven Zahl q < 1 fast immer k ak q, so konvergiert die Reihe k=1 a k, und zwar sogar absolut. Gilt jedoch fast immer k ak 1, so ist k=1 a k divergent. Achtung: Es reicht nicht, lediglich k a k < 1 bzw. nachzuweisen, um auf Konvergenz zu schließen! Testen Sie dies am Beispiel k=1 k+1 k. a k+1 a k < 1 Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 140

53 Folgende Version von Quotienten- und Wurzelkriterium ist besonders handlich und wird in der Praxis am häufigsten verwendet: Folgerung 2.33 (Quotienten- und Wurzelkriterium). Konvergiert die Quotientenfolge ( a k+1 ) a k oder die Wurzelfolge ( k a k ) gegen einen Grenzwert α, so ist die Reihe k=1 a k (absolut) konvergent, wenn α < 1, divergent, wenn α > 1. Bemerkung: Im Falle α = 1 liefern die Kriterien kein Ergebnis. Eine nähere Untersuchung wird notwendig. Warum ist Folgerung 2.33 eine unmittelbare Konsequenz der Sätze 2.31 und 2.32? Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 141

54 Beispiele: k=1 k2 k=1 k k k 2 k konvergiert, denn a k+1 a k = (k+1) 2 2 k = 1 k 2 2 k+1 2 (1+ 1 k ) konvergiert, denn k k = k k k k k 0 (da k k 1). k=0 1 k! konvergiert, denn a k+1 a k = k! (k+1)! = 1 k+1 0. Dabei ist k! := k(k N), 0! := 1 ( k-fakultät ). Es konvergiert sogar k=0 xk k! für beliebiges x R, denn a k+1 a k = x k+1 = x k+1 0. k! x k (k+1)! Wir werden diese Reihe später nutzen, um damit die Exponentialfunktion zu definieren: e x := k=0 xk k!. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 142

55 Ausblick: Anwendungen in den Naturwissenschaften In den Naturwissenschaften tauchen Reihen häufig in der Gestalt von Potenz- und Fourierreihen auf (spezielles Kapitel in HM 2). Desweiteren werden wir im Kapitel Differentialrechnung den Satz von Taylor kennenlernen, welcher mit solchen Reihenentwicklungen im Zusammenhang steht. Diese Sätze begründen u. a. folgende häufig verwendeten Näherungen für betragsmäßig kleine x R: sin x tan x x, cos x x2, 1 1 x 1 + x, 1 1+x 1 x. Zum Beispiel führt die erstgenannte Näherung auf die typischen Sinusschwingungen beim Fadenpendel. Die Näherungen in der letzten Zeile beruhen auf geometrischen Reihen. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 143

56 Exkurs: Achilles und die Schildkröte... ist ein bekannter Trugschluss (Paradoxon) des griechischen Philosophen Zenon von Elea (ca v. Chr.). Es wird behauptet, dass der Läufer Achilles niemals eine Schildkröte einholen kann, wenn sie einmal einen gewissen Vorsprung hat. Folgende Argumentation: Wenn Achilles den Startpunkt der Schildkröte erreicht hat, hat diese einen neuen (kleineren) Vorsprung gewonnen, Wenn Achilles diesen neuen Vorsprung aufgeholt hat, ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter vorn usw. Was Zenon damit zeigen wollte, ist auch aufgrund der Quellenlage unklar. Fakt ist, dass die Vorstellungen von Grenzwert und Unendlichkeit in der Antike noch nicht gut ausgeprägt waren. Lösen Sie das Paradoxon mit Ihrem neu erworbenen Wissen über Reihen auf. Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 144

57 Ziele erreicht? Sie sollten nun (bzw. nach Abschluss der Übungen/Tutorien): wissen, was man unter Folgen und Reihen versteht, die Grenzwertdefinition tiefgehend verstanden haben und beherrschen (auswendig!), Grenzwerte von Folgen mit Hilfe der Grenzwertsätze sicher berechnen können, an einfachen Beispielen Vergleichskriterien anwenden können (gilt für Folgen und Reihen), über die Konvergenzeigenschaften von geometrischer und harmonischer Reihe bescheidwissen, anhand von Konvergenzkriterien das Konvergenzverhalten von Reihen analysieren können (mit besonderem Schwerpunkt auf den Sätzen 2.27 und 2.28 sowie Folgerung 2.33). Sie sind sich nicht sicher oder meinen nein? Werden Sie aktiv! Folgen und Reihen TU Bergakademie Freiberg 145