Übungsaufgaben Digitale Signalverarbeitung

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Marta Böhmer
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1 Komplexe Zhle ud Wertefolge: Üugsufge Digitle Siglverreitug Ei pr Grudüuge zum Awärme M zerlege die folgede komplexe Zhle i Rel- ud Imgiärteil. Zusätzlich sid die Zhle i Versorschreiweise drzustelle ud ls Vektor i die komplexe Zhleeee eizutrge: x = 3+i -i, x = i. (+i) (+i). (-i), x (+i) =i. 3 (- i), x =e.5. iπ Gegee ist die Wertefolge x = {, +i, i, i-, -, -i, -i}. Bereche Sie die Wertefolge: x. exp(-iπ/) i. x Betrg[x] Phse[x] 3 Gegee ist ei Dtestz X mit N = 8 komplexe Zhlewerte: Re {X} = {, 5,,, -, -,, 3} Im{X} = {, 3, -,,, -3, 5, } 3 Wie lutet der kojugiert-komplexe Dtestz X *? 3 Bereche Sie de Betrg ud die Phse der Wertefolge. Gegee ist eie weitere Wertefolge Z mit N = 8 komplexe Zhlewerte: Re {Z} = {,,,, -,, -, -} Im{Z} = {,, -, 5, -, -,, }. Wie lutet die Dtefolge X.Z?. Bereche Sie die Folge X.Z*..c Bereche Sie die Folge i.x. Kotiuierliche Sigle: Bild zeigt ei zeitkotiuier liches Sigl x(t). Skizziere Sie die folgede Sigle: x(t - s) x( s - t) x(t - s) x(t) + x( s - t)].s( s - t) (s(t) = Stufefuktio) x(t).[δ(t +,5 s) - δ(t-,5 s)] (δ(t) = Dircfuktio) Bild zeigt ei zeitkotiuier liches Sigl h(t). M skizziere die folgede Sigle: x(t) h(t + 3 s) h( s - t) h(t).[s(t + s) - s(t - s)] (s(t) = Stufefuktio) h(t/).δ(t + s) (δ(t) = Dircfuktio) c Aus de eide i Bild gezeigte Sigle skizziere Sie die folgede Sigle: x(t).h(t + s) x(t).h(-t), - h(t) t/s x(t - s).h( s - t) x( s - t).h(t - s) d Vo de eide, i Bild ud Bild drgestellte Sigle sid die gerde ud ugerde Ateile zu ermittel. Bild : Kotiuierliche, zeithägige Sigle x(t) ud h(t) - t/s Prof. Dr. N. Stockhuse, WS /3 Seite

2 Zeitdiskrete, zyklische Sigle: Bild ud zeige zwei zeitdiskrete, zyklische Sigle x ud x. Folgede Sigle sid zu skizziere: x x ( - ) x ( + ), x. x ( - ) x ( - ). δ( - 3), - Die eide, i Bild ud Bild drgestellte Sigle x ud x sid i ihre gerde ud ugerde Ateile zu zerlege. Beide Wertefolge esitze zyklische Chrkter. x 8 c Mit de eide, i Bild ud Bild drgestellte Sigle ist eie zyklische Fltug durchzuführe. Welche Werte der Fltug sid gültig? d Vo de eide, i Bild ud Bild drgestellte Sigle ist die Kreuzkorreltiosfuktio zu ermittel. Welche Werte der KKF sid gültig? - 8 Bild : Diskrete, zyklische Sigle x ud x Kotiuierliche Fltug: Der i Bild 3 gezeigte Dreieckimpuls g(t) etspricht der Impulstwort eies ichtkusle Iterpoltiosfilters. Die i Bild 3 drgestellte Im puls folge x(t) ist durch de folgede mthemtische Ausdruck gegee: + g(t) u(t) = δ(t-m. T) [V] m=- Die Dirc-Folge wird de Eigg eies Systems gelegt. M estimme ds Ausggssigl des Systems y(t) = u(t) g(t) für die folgede Werte vo T: T = s T = s T = 3/ s T = s Gegee ist die die Dirc-Impulsfolge u(t) = + m=- (-) m. δ(t-m. T) [V] M estimme ud skizziere ds Ausggssigl y(t) des Systems mit der i Bild 3 gezeigte Impulstwort, we x(t) mit T = s desse Eigg gelegt wird. Bild : Iterpoltio eier Atstfolge mit eiem ichtkusle Filter - -T - u(t) -T T t / s V V V V V V c Die i Bild gezeigte Impulstwort g(t) defiiert ei echoehftetes System, i ds ei Dreieckimpuls (Bild ) eigespeist wird. Trge Sie ds Ausggssigl i Bild c ei. t g(t) x e (t) x (t) c 3 t / ms t / ms Bild : Modellierug eies echoehftete System durch eie gewichtete Dirc-Folge t / ms Prof. Dr. N. Stockhuse, WS /3 Seite

3 Zyklische Fltug Ds diskrete, zyklische Sigl x = {,,,,, 8,,, 5,,, } soll mit der i Bild 5 drgestellte diskrete, ichtkusle Impulstwort g zyklisch gefltet werde. Welche Werte vo y sid gültig? c Welcher mthemtische Opertio etspricht dieses Filter? Ei zyklisches, diskretes Sigl x ist folgedermße defiiert: x = {,,,,,,,,, } Bild zeigt die ichtkusle, diskrete Impulstwort g.,5 -,5 g - Bild : Nichtkusle Impulstwort eies Digitlfilters g g z x g z c Bild : Zyklische Fltug eier diskrete Wertefolge Welche sttische Üertrgugsfktor k esitzt die Impulstwort g? k = Welche oere Grezfrequez esitzt ds Filter, we die Atstfrequez der diskrete Wertefolge de Wert f T = khz esitzt? f g = Hz c Zeiche Sie die zyklische Impulstwort g z i Bild ei. d Zeiche Sie die (zyklische) Fltugssumme y = x g z i Bild c ei. e Welche Werte der zyklische Fltugssumme y sid ugültig? {} = { } Kotiuierliche Korreltio: Die eide i Bild 7 ud 7 gezeigte Sigle u (t) ud u (t) werde ls Wlsh-Fuktioe ezeichet ud spiele eie wichtige Rolle i der Bildverreitug. U u (t) Wie groß ist die Eergie W ud W der eide Sigle, we die Amplitude i eide Fälle U = mv eträgt? -U W = Eiheit - - W = Eiheit u (t) Zeiche Sie die Autokorreltiosfuktioe AKF (t) ud AKF (t) ud die Kreuzkorreltiosfuktio KKF(t) der eide i Bild 7 ud 7 gezeigte Sigle. U -U Bild : Korreltio vo orthogole Sigle - - Prof. Dr. N. Stockhuse, WS /3 Seite 3

4 Systemfuktioe: I Bild 8 ist i vereifchter Form die zeitkotiuierliche Sprugtwort h(t) eies Wegsesors drgestellt. h(t) i V/mm g(t) Eiheit: Zeiche Sie Impulstwort g(t) des Sesors i A. 8 ei. (Sklierug ud Eiheit gee!) Wie lässt sich der Frequezgg G(f) us g(t) ereche? - Bild : Sprugtwort ud Impulstwort eies Wegsesors I Bild 9 ist die Impulstwort g(t) eies elektroische Systems gegee, desse Eigg der i Bild 9 drgestellte Impuls u(t) gelegt wird. g(t) / khz u(t) / mv y(t) Eiheit: c h(t) Eiheit: d x g (t) / mv e x u (t) / mv f Bild : Systemfuktioe ud Ausggssigl eies elektroische Systems Zeiche Sie ds Ausggssigl y(t) des Systems i Bild 9c ei. (icl. Sklierug ud Eiheit!) Zeiche Sie die Üerggsfuktio h(t) des Systems i Bild 9d ei. (Sklierug ud Eiheit!). c Zeiche Sie jeweils de gerde ud de ugerde Ateil vo u(t) i Bild 9e ud 9f ei. d Welche Eergie W x esitzt ds Sigl u(t)? W u = Eiheit: e Welche sttische Üertrgugsfktor esitzt ds System? k = Eiheit: 3 Eie Elektrode esitzt die Impedz Z(f) = R/( + iπf t) mit dem Wirkwiderstd R = 8 Ω ud der Grezfrequez f g = Hz? Welche Impedz esitzt die Elektrode ei f = f g? Z(f g ) = Ω 3 Welche Spugsmplitude U esitzt ds Ausggssigl ei der Frequez f = f g, we die Amplitude des hrmoische Eiggssigls I e = 5 µa eträgt. U = mv Prof. Dr. N. Stockhuse, WS /3 Seite

5 3 Um welches Zeititervll t ist ds Sigl u (t) gegeüer dem Sigl i e (t) verschoe? 3c Wie lutet die Impulstwort g(t) der Elektrode? (Eiheite echte!) Diskrete Fourier-Trsformtio: g(t) = t = Eiheit: ms Ds Spugssigl u(t) ergit sich us der Summe folgeder Eizelsigle: u(t) = - cos( π [Hz] t) + si( π [Hz] t) + 8 cos( π [Hz] t - π/) [V] Ds Sigl u(t) wird der Atstrte f T = Hz digitlisiert. Der Dtestz u esteht us N = Werte. Trge Sie die diskrete Frequezwerte f des Fourierspektrums U(k) i Telle ei. Trge Sie die jeweils de Relteil Re{U(k)} ud de Imgiärteil Im{U(k)} des Fourier spektrums U(k) i Telle ei c Trge Sie ds Amplitude-Betrgspektrum U(k) i Telle ei. d Trge Sie ds Leistugsspektrum P(k) des diskrete Sigls u(k) i Telle ei. e Wie groß ist die Gesmtleistug P ges des Sigls u(t)? P ges = V f Ds ursprügliche Messsigl u(t) wird um t =.5 s verschoee, so dss uf diese Weise ds Sigl u s (t)=u(t - t ) etsteht. Trge Sie jeweils de Relteil Re{U (k)} ud de Imgiärteil Im{U (k)} des etsprechede Fourier spektrums U (k) i Telle ei. s s s k f k / Hz Re{U(k)} Im{U(k)} U(k) P(k) Re{U s (k)} Im{U s (k)} Telle : Diskrete Spektrlfuktioe der digitlisierte Wertefolge u Bdegreztes Ruschsigl I Bild ist ds zweiseitige Leistugsdichte-Spektrum P(f) eies degrezte Rusch- Prozesses drgestellt. 8 P(f ) i (mv) Hz P(f ) Eiheit: f/khz Bild : Leistugsdichtespektrum eies Ruschprozesses ud desse Atstfolge f/khz Prof. Dr. N. Stockhuse, WS /3 Seite 5

6 Welche Leistug esitzt der Ruschprozess? P u = Eiheit: Wie groß ist die Effektivspug U eff des Ruschprozesses? U eff = mv c Ds degrezte Ruschsigl wird ohe Atilisigfilter mit der Frequez f T = khz getstet. Trge Sie ds Spektrum des Atstsigls i Bild ei. (icl. Sklierug ud die Eiheit) Korreltio vo kustische Sigle Bild zeigt zwei im Astd vo h = cm positioierte Mikrofoe, die ds Sigl eier Ruschquelle erfsse. Die Atstrte eträgt f T = 5 khz. Um die FFT utze zu köe, werde jeweils N = Werte erfßt.. Welche Schritte sid zu uterehme, um us de eide Messsigle x ud x die Kreuzkorreltiosfuktio Φ zu ereche?.:.: 3.:.: Ruschquelle Mikrofo dϕ Mikrofo d = cm Bild : Ortug eier Geräuschquelle mit Hilfe der KKF. Die Ruschquelle erzeugt ei weißes Rusche, ds ei ideles Tiefpßfilter mit der Grezfrequez f g = khz durchläuft. Die Amplitude des Spugsdichte-Spektrums des Ruschsigls eträgt u r = 8 mv/ Hz. Zeiche Sie ds Leistugsdichte-Spektrum P(f) des Ruschprozesses i Bild ei..3 Welche Effektivspug esitzt ds Ruschsigl? U eff = mv Φ (t) Eiheit: P(f) Bild : KKF der Mikrofosigle (Liks) ud Leistugsdichtespektrum des Ruschsigls (Rechts). Die i Bild drgestellte Ruschquelle wird ch liks verschoe. Ds rechts stehede Mikrofo immt u ds Ruschsigl mit eier Verzögerug vo t = 5 µs gegeüer dem liks stehede uf. Zeiche Sie die etsprechede Kreuzkorreltiosfuktio i Bild ei ud skliere Sie die Amplitude der KKF..5 Um welche Fktor erhöht sich die Effektivspug eies weiße Ruschsigls, we m desse Bdreite verdoppelt? Fktor =. Befidet sich die Ruschquelle seitlich ee de Mikrofoe, so ergit sich die mximle Siglverschieug. Um wieviel Positioe müsse die Sigle gegeseitig verschoe werde, we m vo eier Schllgeschwidigkeit vo v s = 3 m/s usgeht? Prof. Dr. N. Stockhuse, WS /3 Seite = f/khz

7 Prof. Dr. N. Stockhuse, WS /3 Seite 7

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