3D-Bildabgleich. Seminar: Mustererkennung in Bildern und 3D-Daten SoSe Christian Gleichner

Transkript

1 D-Bldabglech Semnar: Mustererkennung n Bldern und D-Daten SoSe 4 Chrstan Glechner

2 Glederung: Enführung Grundtechnken Abglech mt Punktentsprechungen Quaternon Methode, Sngulärwertzerlegung, Duale Quaternonen, Orthogonale Matrzen Abglech ohne Punktentsprechungen ICP, CM Ungenaugketen m Abglech

3 Enführung Abglech on Objekten dredmensonaler Blder über hre Datensätze on D-Koordnaten Matchen zweer D-Punktmengen X, Y durch ermtteln sch entsprechender Punktpaare, und anschleßender ransformaton R + t

4 Abglech mt Punktentsprechungen Entsprechung aller Punkte mt selben Inde zweer D-Punktmengen Regstraton wth Pont Correspondences X Y {,, Κ, } { },, Κ,, R D-Objekte deckungsglech, wenn jeder Punkt über ene ransformaton des entsprechenden Punktes ermttelt werden kann d.h. jewels Punkt auf Punkt matchen

5 Abglech mt Punktentsprechung Algorthmen, de den Abglech zweer überenstmmender Punktmengen möglch machen, werden benötgt Ermttlung der ransformaton zwschen den Punktmengen, d.h. der Rotatonsmatr R und des ranslatonsektors t n jedem Punkt trtt en Fehler e n ungenauen Datensätzen auf R + t Zel der ransformatons-algorthmen st es, de Funkton der Summe der Fehleruadrate zu mnmeren R t + e

6 Quaternon Rotaton Quaternonen snd Vektoren kompleer Zahlen, de -D und -D Rotatonen repräsenteren Vor dem Algorthmus werden de Objekte n den Koordnatenursprung bewegt Schwerpunkte der Objekte ergeben sch dabe aus dem arthmetschen Mttel aller Punkte Berechnung der neuen Punktmengen um den Koordnatenursprung und mt R Y X µ µ Y X Y X µ µ : : ' ' Abglech mt Punktentsprechung

7 Abglech mt Punktentsprechung Quaternon Methode:. Berechnung der Koaranzmatr. Berechnung der Matr A. Konstrukton des smmetrschen Matr Q sp + 4. Berechnung des normerten Egenektors des größten posten Egenwertes on Q R sp Ι a A a a a a a a a a a a a

8 R 5. Berechnung der orthogonalen Rotatonsmatr und des ranslatonsektors X µ Y µ R t Abglech mt Punktentsprechung

9 Sngulärwertzerlegung Auf Sngulärwertzerlegung baserende echnk sngular alue decomposton, SVD Vor dem Algorthmus werden de Objekte, we n der Quaternon Methode, n den Koordnatenursprung bewegt Y X Y X µ µ : : ' ' Y X µ µ Abglech mt Punktentsprechung

10 Abglech mt Punktentsprechung Sngulärwertzerlegung Se A n n Matr A UΛV U n m Matr der Egenektoren on AA V m n Matr der Egenektoren on A A UU U U VV V V Ι Λ Dagonalserung der Sngulärwerte s on A, de sch aus den Egenwerten λ on A ergeben: s λ,... n Λ λ... λ s... s dag s... sn n n >

11 Abglech mt Punktentsprechung SVD Methode:. Berechnung der Koaranzmatr. Fnden der Sngulärwertzerlegung der Koaranzmatr, so das glt:. Berechnung der Rotatonsmatr 4. Prüfen der Determnante um de Gültgket des Ergebnsses scherzustellen Wenn UΛV det Rˆ R R ˆ UV Rˆ

12 Abglech mt Punktentsprechung det Rˆ, Andernfalls, wenn ersagt der Algorthmus, da de berechnete Rotatonsmatr ledglch ene Speglung darstellt. Man braucht ene Garante, das nur gültge Rotatonsmatrzen berechnet werden. Bldung der Matr V ' V Berechnung der Rotatonsmatr R V'U

13 Abglech mt Punktentsprechung Orthogonale Matrzen Weterentwcklung der Quaternon Methode Algorthmus:. Berechnung der Koaranzmatr. Berechnung on Egenwerten und Egenektoren Zerlegung der smmetrschen Matr λ uˆ.... : : ch λ det λ Ι uˆ λι λ uˆ uˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + λuu + λuu

14 Abglech mt Punktentsprechung λ > bzw. rg. Wenn post defnt Berechnung der nersen Matr ansonsten, wenn uˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u uu uu S + + λ λ rg Berechnung der pseudo-nersen Matr 4. Berechnung der Rotatonsmatr R Σ S R ma bzw. + uˆ u S + λ ˆ ˆ ˆ uu λ λ,d.h. λ ˆ lnear abhängg u { + Σ S ± uˆ uˆ } det R post gültge Rotaton, statt Speglung

15 Abglech mt Punktentsprechung Duale Quaternon Methode De duale Quaternon Methode unterschedet sch sgnfkant on den orhergen Algorthmen De Methode wurde ursprünglch entwckelt um de folgende Fehlerfunkton zu mnmeren L α n Rn + β R t n, n α,β ormalenektoren der Objektgrenzen, L Gewchte der Punkt- und ormalenentsprechungen Für de Ermttlung der Rotatonsmatr und des ranslatonsektors der Punktentsprechung genügen Gewchte on α, β

16 Abglech mt Punktentsprechung Rotaton und ranslaton werden durch Quaternonen, bestehend aus zwe elen, dargestellt X r s mt den Egenschaften r r, s r De ransformaton zwschen den Objekten wrd als Rotaton θ um und ranslaton t entlang ener dredmensonalen Geraden mt dem Rchtungsektor n durch den Punkt p ollzogen r sn cos θ θ n s cos θ + sn θ n t sn p n θ

17 . Defnere mt Berechnung der Matrzen wobe Algorthmus: + 4 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ C Q W C W Q C Ι + Ι K W K Q 4 ~, ~ R K Abglech mt Punktentsprechung

18 Abglech mt Punktentsprechung. Berechnung der Quaternon Rotaton r als Egenektor des größten Egenwertes λ ma on A 4 C. Berechnung der Rotatonsmatr C C r A λ Ι r : ma R r r...r... Ι + r...r... + r K r Berechnung der ranslaton t W r s s Cr

19 Abglech mt Punktentsprechung Methoden des Abglechs mt Entsprechungen Jeder der er Algorthmen hat sene Vortele bzw. achtele n Genaugket, Stabltät und Effzenz Kene erheblchen Unterschede be der Anwendung der Methoden auf begrenzten D-Daten Orthogonal Matr Methode st de schnellste für klene Datensätze Dual Quaternon Methode st aufgrund seltener Specherzugrffe für große Datensätze am effzentesten Effzenz hängt be allen Methoden on der Größe des Cache und or allem on der Implementerung der Routnen der lnearen Algebra ab

20 Abglech ohne Entsprechungen Abglech ohne Entsprechung zwschen D-Punktmengen zu kennen Regstraton wthout Correspondences Entsprechungen zwschen den Punkten, und de entsprechende ransformaton snd zu berechnen Algorthmen des Abglechs ohne sch entsprechender Punktpaare sollten en optmales Ergebns, mt möglchst klenen Fehler, erzelen

21 Ermttlung on Punktentsprechungen Iterater Algorthmus des nahsten Punktes Besl, McKa, 99 Iterate Closest Pont Algorthm, ICP Methode, um D-Objekte we Punktmengen, Kuren und Flächen zu erkennen Entwckelt, um en Datensatz enes gemessenen D- Objektes Y gegen ene Modell X zu matchen Enfacher Algorthmus, da nur zwe Prozeduren Bestmmung des nahsten Punktes des Modells zu enem gegebenen Kontrollpunkt enes geometrschen Objektes Berechnung der ransformaton zwschen den zwe entsprechenden gegebene und ermttelte Punktmengen

22 Ermttlung on Punktentsprechungen D-Datensatz Y wrd n Y Punkte und Modell X n X Segmente, Punkte oder Dreecke zerlegt Abstandsmetrk zwschen enem gegebenen Punkt Y und Modell X Punkt c X nahster Punkt zu Y: d, c d, X Blden der Punktmenge X C aller Punkte c der entsprechenden Punkte n Y d, X defnere dazu Operator C: X mn Ermtteln der Rotatonsmatr R, des ranslatonsektors t, des mttleren uadratschen Abstands d, um de zwe Punktmengen X, Y zu matchen defnere dazu ene Prozedur Q, de z.b. ene der beschrebenen Punktentsprechungs-Methoden Quaternon Rotaton, SVD, orthogonale Matrzen, duale Quaternonen umsetzt X C C Y, X R, t, d Q X, Y C

23 Ermttlung on Punktentsprechungen aheste Punkte X C Modell X Gemessener Datensatz Y Kontrollpunkte

24 Ermttlung on Punktentsprechungen Algorthmus:. Intalsere R Ι, t Y Y,. Wederhole für k, k k+ bs der mttlere uadratsche Fehler e zwschen zwe Schrtten unter enen Schwellwert τ > snkt e d k d k <τ a Ermttle de nahesten Punkte b Ermttle de ransformaton X Ck C Yk, X Rk, tk, d k Q Y, X Ck c Berechne aktuelle Punktmenge Y R Y + k + k t k

25 Ermttlung on Punktentsprechungen utzung enes objektabhänggen Schwellwerts τ sp X ICP konergert für ene optmale ransformaton gegen en lokales Mnmum bzgl. des mttleren Abstandes ICP stößt be der Objekt-, Szenenrekonstrukton an sene Grenzen elwese überlappende Schten des abzuglechenden Objekts mt dem Modell können zu fehlerhaften Ergebnssen führen es fehlen Punkte, de sch n X und Y entsprechen und Punktpaare blden können X Y

26 Ermttlung on Punktentsprechungen Modfkatonen des ICP: Verwenden enes Schwellwertes des mamalen Abstandes zwschen den Punktpaaren, de sch n jedem Schrtt entsprechen könnten Datensatz Y muss so ncht unbedngt el des Modells X sen Punkte außerhalb der Flächengrenzen om Matchng ausschleßen Entfernen der perpheren Punkte, de sgnfkante Fehler erursachen utzen on Gewchten entsprechender Punktpaare

27 Ermttlung on Punktentsprechungen Iterater Matchng Algorthmus Chen, Medon, 99 CM Unterschedet sch om ICP nur m Fehlerkrterum Mnmeren des Abstandes der Punkte des Datensatzes Y zu angentenebenen S am Modell X ormalen an Kontrollpunkten schneden Modell X n angentalebenen S n, um de ransformaton, de den Abstand zwschen S und mnmert, zu ermtteln Fehlerfunkton nach k Schrtten k k, d S S

28 Ermttlung on Punktentsprechungen angentalebene S Modell X Gemessener Datensatz Y Kontrollpunkte ormale auf Y m Punkt ormale auf S durch

29 Ermttlung on Punktentsprechungen Algorthmus:. Wählen der Kontrollpunkte Y ` und berechnen der Flächennormalen n an desen Punkten. Wederhole für k, k k+ bs en epermentell ermttelter Schwellwert errecht st k k e e δ ε e mtε e > a Für jeden Kontrollpunkt. Berechne mttels der ransformaton de neuen Punkte und ormalen n k k n.. Ermtteln der Punkte, n denen de ormalen n der das Modell X schneden Berechnen der angentenebenen S an den Punkten

30 Ermttlung on Punktentsprechungen b Ermtteln der ransformaton, de den Abstand zwschen den Kontrollpunkten und den entsprechenden Ebenen S mnmert - Berechnen des zu nahsten Punktes der Ebene S - Berechnen der ransformaton mttels der Punktentsprechungs- Methoden Quaternon Rotaton, SVD, orthogonale Matrzen, duale Quaternonen c Aktualseren der ransformaton k ο k

31 Ungenaugketen m D-Bldabglech Ungenaue Punktdaten n Abglech-Algorthmen Abwechungen n den ermttelten Punkten werten und nutzen, um den Bldabglech zu optmeren Abglechsungenaugketen bewerten nach der Berechnung der ransformaton zwschen den beden Punktmengen en Maß der Ungenaugket n der aktuellen ransformaton ermtteln Verengen der Punkt- und Abglechsungenaugket kombneren der ndduellen Punktabwechung mt den Abwechungen nach der ransformaton, um alle Fehleruellen erengt wedergeben zu können

32 Abglechsungenaugketen Abwechungen treten n jedem Punkt auf und können n ener Koaranzmatr wedergegeben werden jeder Punkt des ermttelten Objektes mt unterschedlcher Abwechung Abwechungen unterscheden sch möglcherwese auch n den Dmensonen des enzelnen Punktes Modfzerung der Abglechsalgorthmen um ermttelte Ungenaugketen zu mnmeren Punktentsprechungs-Methoden Quaternon Rotaton, SVD, orthogonale Matrzen, duale Quaternonen durch echnken, de bekannte Abwechungen n de Berechnung enbezehen, ergänzen

33 Modfzerung des Fehlerkrterums mt Gewchtung w jedes Punktpaares Berechnung der Schwerpunkte entsprechend der Gewchte Gewchtete Koaranzmatr Gewchtete Entsprechungen t R w Y X w w w w µ µ w Y X µ µ Abglechsungenaugketen

34 Abglechsungenaugketen Berechnung der Gewchte: In Verenfachung bezeht sch jedes Gewcht w jewels auf en Punktpaar, nur en enzger Parameter, der de unterschedlchen Ungenaugketen n beden Punkten und hren Dmensonen n sch erengt w sp + sp X Y Spur der Koaranzmatrzen nur en grober Wert der absoluten Ungenaugket n jedem Punkt Kene Quantfzerung des Abglechfehlers dadurch möglch

35 Abglechsungenaugketen Abglech mttels EKF Abglechsmethode mt Punktentsprechung on Pennec und hron Basert auf den erweterten Kalman Flter etended Kalman flter, EKF rekurse, nchtlneare echnk, de Koaranzen der ndduellen Punkte nutzen und Ungenaugketen der ransformaton berechnen kann Zel st de ransformaton d mt hrer Koaranz Σ d zu ermtteln, de de entsprechenden Punktpaare, mt jewelgen Koaranzen Σ, Σ optmal abglecht

36 Abglechsungenaugketen ransformaton n Vektorform Rotaton als Vektor r R darstellbar Rotaton on θ um en Gerade mt Rchtungsektor n n r θn ransformatonsektor d gegeben durch Verengung des Rotatonsektors r und ranslatonsektors t d r t Berechnung der ransformatons-koaranzmatr d [ ] d d d d E mt Mttelwert d und Erwartungswert EX der Zufallsarablen X

37 Abglechsungenaugketen Wahl der Punktentsprechungen In Matchngalgorthmen we ICP, sollten optmale Punktentsprechungen n den zwe Datensätzen gewählt werden, um hn robuster zu gestalten Modfzerung des ICP durch den Quadratschern Mahalanobs-Abstand bezeht de Abwechungen n den Punkten und der ransformaton mt en dabe sollte es zusätzlch enen mamal zulässgen Abstand der zu überprüfenden Punktentsprechungen geben Schwellwert lecht zu ermtteln, da der Mahalanobs- Abstand auf χ -Vertelung mt dre Frehetsgraden basert Berechnen des Konfdenznteralls und ermtteln enes Schwellwert ε aus den Quantlen der χ -Vertelung

38 Rotatonsmatr, ranslatonsektor snd Funktonen des ransformatonsektors: Quadratscher Mahalanobs-Abstand zwschen dem Punkt und dem transformerten Punkt mt der entsprechenden Koaranzmatr M g f g f d d d d d + + d d d J J J d d g f f f d d d d mt σ d t d R g f Abglechsungenaugketen

39 Abglechsungenaugketen Kombnaton der Punkt- und ransformatonsabwechungen ransformaton der Punkte und Berechnung der zugehörgen Koaranz Berechnung der neue Punktdaten mttels der ransformaton d, d, d J d d J d

40 Quellenangaben Bennamoun, M.; Mamc, G. J.: D object creaton for recognton. Fundamental technues / Uncertant n -D regstraton. In: Bennamoun, M.; Mamc, G.J.: Object Recognton Fundamentals and Case Studes. Sprnger, London, S. 7 Sngular Value Decomposton - SVD GEO/Publ/PhDs/CPorthun/node45.html Quaternonen Iterater Algorthmus des nahsten Punktes