INHALTSVERZEICHNIS 2. LINEARE ALGEBRA 2.1 MATRIZEN 2.2 ADDITION VON MATRIZEN 2.3 MULTIPLIKATION MIT EINER ZAHL
|
|
- Alwin Maus
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Mathematik und Statistik INHALTSVERZEICHNIS. FINANZMATHEMATIK. ZINSESZINSRECHNUNG.2 ENDWERT (VORSCHÜSSIG).3 BARWERT (VORSCHÜSSIG).4 RENTENRECHNUNG.5 ENDWERT EINER NACHSCHÜSSIGEN RENTE.6 BARWERT EINER NACHSCHÜSSIGEN RENTE.7 GRUNDAUFGABEN DER RENTENRECHNUNG.8 EWIGE RENTE.9 TILGUNGSRECHNUNG. RATENKREDIT AM BEISPIEL. ANNUITÄTENDARLEHEN.2 ANNUITÄTENDARLEHEN EINE BESTIMMTE ZAHL SUCHEN 2. LINEARE ALGEBRA 2. MATRIZEN 2.2 ADDITION VON MATRIZEN 2.3 MULTIPLIKATION MIT EINER ZAHL 2.4 BEMERKUNGEN 2.5 MULTIPLIKATION VON MATRIZEN 2.6 TRANSPONIERTE MATRIX 2.7 INVERSE MATRIZEN 2.8 ZEILENUMFORMUNGEN 2.9 BERECHNUNG VON INVERSEN MATRIZEN AM BEISPIEL 2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME (LGS) 2. DER GAUSSCHE ALGORITHMUS AM BEISPIEL 2.2 LINEARE OPTIMIERUNG 2.3 LINEARE OPTIMIERUNG AM BEISPIEL 2.4 BEMERKUNGEN 3. WIRTSCHAFTLICHKEITSRECHNUNG 3. INVESTITIONSRECHNUNG 3.2 KOSTENVERGLEICHSRECHNUNG 3.3 GEWINNVERGLEICHSRECHNUNG 3.4 RENTABILITÄTSRECHNUNG 3.5 KAPITALWERTMETHODE 3.6 INTERNE ZINSFUSSMETHODE THOMAS KUMPAN, WS4/5 IB/FO FHF
2 () Finanzmathematik (.) Zinseszinsrechnung Beispiele: p=2 i=,2= q=,2 2 Kapital zum Zeitpunkt t: Zinsfuß: Zinssatz i: Zinsfaktor q: K t Barwert vorschüssig: * B n Barwert nachschüssig: B n Endwert vorschüssig: S n* Endwert nachschüssig: S n p p =p% p Grundformel Zinseszinsrechnung: K n =K p n K n =K q n Kapital nach einem Jahr: Kapital nach zwei Jahren: K =K K p =K p =K q K 2 =K K p =K p =K q Beispiel: K = p=3 p=8 K 343,- 258,- K ,- 2725,- K 928, ,- Berechnung:,3,8
3 (.2) Endwert (vorschüssig) Der Endwert ist der Wert, der sich durch Aufzinsung von Einzahlungsströmen und Auszahlungsströmen in der Zukunft ergibt. Es können unterschieden werden: Endwert einer einmaligen Zahlung und Endwert mehrerer Zahlungen. R R R R * S... n n-2 n- n Jahre Sn =Sn q= Rq qn q Es gibt eine Rate mehr, da die Rente schon im Jahr beginnt. (.3) Barwert (vorschüssig) Der Barwert ist der Wert, der sich durch Abzinsung zukünftiger Einzahlungsströme oder Auszahlungsströme als Gegenwartswert ergibt. Zu unterscheiden sind: Barwert einer einmaligen Zahlung, Barwert mehrerer Zahlungen. Ba = Sn q = R n q n qn q Exkurs: Logarithmus f x =a x f x =log a x f x = x f x =log x=lg x f x =e x f x =log e x=ln x f x =2 x f x =log 2 x=ld x Rechenregeln:. lg x =lg x lg y y 2. lg x y =lgx lgy 3. lgx y = y lg x
4 (.4) Rentenrechnung. Vorschüssige Renten (Anfang der Periode, z.b. Miete) 2. Nachschüssige Renten (Ende der Periode, z.b. Gehalt) Rente: Eine regelmäßige Zahlung konstanter Höhe heißt Rente. Wir unterscheiden nachschüssige Renten (post numerando): und vorschüssige Renten (prenumerando): R R R... R R R n-2 n- n Jahre 3.2.XX R R R... R R n-2 n- n Jahre..XX (.5) Endwert einer nachschüssigen Rente B R R R R n Sn... n-2 n- n Jahre R R*q Sn=R R q R q 2... R q n Sn=R q q 2... q n Sn=R qn q R*q 2 R*q n- Nachschüssiger Rentenendwert: Sn=R qn q Rentenendwertfaktor: q n q Beispiel: R=, p=5%, n=4 Jahre: S 4 =,54,5 S 4 =2799,77
5 (.6) Barwert einer nachschüssigen Rente B n q n =S n (aufzinsen) B n = q n S n= R q n q n q (abzinsen) Beispiel: Was hätte ich einmalig anlegen müssen, damit ich nach 4 Jahren 2799,77 erhalten hätte? B 4 = S 4 q 4 B 4 = 2799,77,5 4 B 4 =759,9... q n... q n aufzinsen abzinsen NIE ZAHLEN ZUSAMMENZÄHLEN; DIE ÜBER LÄNGERE ZEITRÄUME ANGEFALLEN SIND! (.7) Grundaufgaben Rentenrechnung (hier: nachschüssig) allgemein: p S n =R qn q =R p n =R i n i mögliche Aufgabenstellungen:. Berechne S n : (s.o.) 2. Berechne B n : 3. Berechne R: S n q n S n q q n
6 4. Berechne n: S n =R qn q S n q =q n R q n = S n q R q n = S n q R R lg q n =lg S n q R R n lg g=lg S n q R lg R n= lg S n q R lg R lg q *(q-) :R + Auf den Hauptnenner bringen (.8) Ewige Rente S n =R qn q n Der Endwert einer unendlichen Rente ist unendlich. n q B n = R n q q n q =R q n R q = p Barwert ewiger Rente: R p R=B n p Eine ewige Rente sind die Zinsen aus einem Kapital, welches unangetastet bleibt, z. Bsp. Stiftungskapital (Nobelpreis). Rechnung in Quartalen R R R R Quartale 2 3 Jahre R E =R p 3 4 R p 2 4 R p 4 R Deutsche Formel: K n =K q n Internationale Formel: K t =K q t (t=tage; p=tageszins)
7 (.9) Tilgungsrechnung Kredit = Darlehen Man unterscheidet: Endfällige Kredite: Ratenkredit, Tilgungsdarlehen: Annuitätendarlehen: Rückzahlungen einer Summe ohne Ratentilgung, die Zinsen werden individuell (ratenmäßig oder am Ende) entgolten. z.b. Bausparzwischenfinanzierung, Baufinanzierung über Kapitallebensversicherung) Rückzahlung in Raten, die Rate bleibt nicht konstant (wird geringer), die Tilgung bleibt immer gleich hoch. Rate bleibt konstant, die Tilgung nimmt im Laufe der Zeit zu. (.) Ratenkredit am Beispiel Kreditsumme,- Tilgung n (Laufzeit) 4 Jahre Zinsen p Tilgungsplan: Jahre Restschuld Tilgung t R t- Q Zinsen Rate Restschuld Z t A t R t Q= 4 Z t =, Ratendarlehen werden immer seltener verwendet und Annuitätendarlehen immer öfter, weil. besser kalkulierbar da immer die gleiche Rate 2. Tilgung nimmt zu im Laufe der Zeit: man kann einen höheren Kredit finanzieren, man verschenkt keinen Spielraum in der Kreditsumme, da man sich ausrechnen kann wie viel Geld man für die Annuität ausgeben kann.
8 (.) Annuitätendarlehen Rate bleibt während der Laufzeit konstant, Tilgung nimmt um die ersparten Zinsen zu. Arten:. Laufzeit ist vorgegeben, Anfangstilgung wird berechnet (In welcher Zeit will ich die Schuld getilgt haben?) - Wird eher bei Geschäftskunden benutzt. 2. Anfangstilgung ist vorgegeben, Laufzeit wird berechnet (bei der heutigen Zinslage kann die Laufzeit ins bodenlose gehen (3 Jahre) eher Privatkunden Beispiel: Kreditsumme,- Zinssatz p % anfängliche Tilgung zuzüglich Ersparter Zinsen Jahre t Restschuld R t- Tilgung Q t Tilgungsplan: Zinsen Z t Rate A Restschuld Rate./. Zinsen % der Restschuld R t Restschuld./. Tilgung Früher war der Zinssatz variabel, d.h. damals hat sich durch Erhöhung der Zinsen die Rate erhöht. Heutzutage sind die Zinsen festgeschrieben für -3 Jahre. Wenn man ein Annuitätendarlehen aufnimmt, sollte man sich die Zinsen für die gesamte Laufzeit des Darlehens festschreiben lassen. Beispiel: Ein Darlehen ist auf Jahre festgeschrieben mit 4%. Nach Ablauf der Jahre wird der Zins auf jetzigem Zinsniveau neu festgeschrieben, z.b. 2% mit dem Ergebnis, dass man sich das Darlehen jetzt gar nicht mehr leisten kann. Zinsprognosen sind das Papier nicht wert, auf dem sie stehen, auch nicht für nur ein Jahr in die Zukunft.
9 (.2) Annuitätendarlehen eine bestimmte Zahl suchen Formeln: nach m Jahren getilgte Schuld: Restschuld nach m Jahren: S m =Q qm q R m =K Q qm q R m =K q m A qm q Q =Tilgung Z =Zinsen A= Annuität K =Anfangskapital q= Zinsfaktor n= Laufzeit Laufzeit des Darlehens: n= lg A lg Q lg q Beispiel: Restschuld nach 25 Jahren R m =,24, R m =52,67 Die Restschuld nach 25 Jahren beträgt 52,67 Bislang war die Anfangstilgung vorgegeben Laufzeit berechnet auch: Laufzeit vorgegeben Anfangstilgung wird berechnet Anfangstilgung: A=K q n q q n oder: Q =A Z Q =A K p Beispiel: K : ; p: 6; Laufzeit: 4 Jahre A=,6 4,6,6 4 =2885,92 Q=2885,92-6 =2285,92 22,86% (6 : Z )
10 FIMA a: Ein Kapital von 5 wird 8 Jahre mit 3% und anschließend 4 Jahre mit 5% verzinst. Wie hoch ist das Endkapital nach 2 Jahren? 5,3 8,5 4 =2396,5 Das Kapital beträgt nach 2 Jahren 2396,5. FIMA b: Welches Kapital wächst bei p=5 in Jahren auf 7 an? K = K n q n = 7,5 =4297,39 Ein eingesetztes Kapital von 4297,39 wächst nach Jahren auf 7 an. FIMA c: Bei welchem Zinssatz wächst ein Kapital von 5 in 7 Jahren auf 735,5 an? 5 x 7 =735,5 x 7 =,47 x=, te Wurzel ziehen Bei einem Zinssatz von 5% wächst ein Kapital in 7 Jahren auf 735,5 an. FIMA d: Bei welchem Zinssatz wird ein Kapital in 5 Jahren verdoppelt? x y 5 =2x y 5 =2 y=,4729 /x 5te Wurzel ziehen Bei einem Zinssatz von ~5% verdoppelt sich ein Kapital in 5 Jahren. FIMA e: In wie viel Jahren wächst ein Kapital bei p=6 von 2 auf 8 an? 2,6 n =8,6 n =,5 n=log,6,5 n=6,959 /2 Nach 6,96 Jahren wächst das Kapital auf 8 an. FIMA 2: Der Käufer eines Hauses kann zwischen 3 Angeboten für Ratenzahlungen wählen: Angebot A: 8 bar, 85 nach 3 Jahren, 75 nach 5 Jahren Angebot B: bar, 72 nach 4 Jahren, nach 7 Jahren Angebot C: 9 bar, 75 nach 2 Jahren, 7 nach 6 Jahren Welches Angebot ist bei einem Zinsfuß von p=5 am günstigsten? Angebot : B =8 85,5 3 75,5 5 =239,66 Angebot 2: B = 72,5 4,5 7 =23749,52
11 Angebot 3: B =9 75,5 2 7,5 6 =2262,29 Angebot 3 ist bei einem Zinsfuß von 5% am günstigsten. FIMA 3: Ein Gewinn in Höhe von 2 wird zu 4% angelegt. Der Gewinner möchte nach Ablauf von 8 Jahren 2 Jahre lang den gleichen Betrag als Rente abheben, so dass nach der letzten Abhebung das Kapital aufgebraucht ist. Wie hoch ist die jährliche Rente? 3.2. R R R R R R R R R R R R R S n S n * 2 Lösungsweg : vorschüssig rechnen: gleichsetzen: 2,4 2 = S 2 =R q q 2 q 2,4 2 =R q q 2 q R=2,4 2 q q q 2 R=2,4 2,4,4,4 2 R=2843,8 Lösungsweg 2: nachschüssig rechnen: 2,4 9 =R q2 q... 2,4 8 R q R 2 q R 3 q... R q R 2 = Klammern ausmultiplizieren: 2,4 9 R,4 R 2,4... R,4 R 2 = 2,4 9 =R,4 R,4... R 2,4 9 =R,4,4... 2,4 9 =R q2 q R=2843,8 was geht aufs was geht vom Konto Konto drauf weg
12 FIMA 4: Ein Vater möchte seinen 3 Kindern ein Startkapital von jeweils 3 für ihre Berufsausbildung zukommen lassen. Das erste Kapital soll Ende 2, das zweite Ende 23 und das dritte Ende 26 ausbezahlt werden. Wie hoch ist bei einem Zinssatz von 5% die jährliche Sparleistung des Vaters anzusetzen, wenn er die erste jährliche Zahlung Ende 24 und die letzte Ende 25 (5 Sparraten) leistet? (Wählen sie als Bezugszeitpunkt den ) R R R R R S 5 * rein R 2 R 2 Auf den Zeitpunkt zurückrechnen (abzinsen) R 2 raus R 2 =2 S 5 * (vorschüssiger Endwert): R q q 5 q R 2 abzinsen: Gleichsetzen: R 2 q R 2 2 q R 2 4 q 7 R q q 5 q = R 2 q R 2 2 q R 2 4 q 7 nach R auflösen: R = R 2 q R 2 2 q R q q q q 5 R = 3 7,5 3 2,5 3 4,5,5,5,5 5 R =26,8 Der Vater muss jährlich 26,8 anlegen, um seinen Kindern jeweils 3 zukommen lassen zu können.
13 FIMA 5: Auf einem Sparkonto werden Jahre lang jährlich nachschüssig 5 eingezahlt. Am Ende des 7. Jahres wird eine Sonderzahlung in Höhe von 2 eingezahlt. Das Kapital wird bis zum Ende des 8. Jahres mit p =4 und danach mit p 2 =5 verzinst. Wie hoch ist der Kontostand nach 3 Jahren? +2 S 2 S 8 S 3 R R R R R R R R R R R= p =4% p 2 =5% 3 Jahre Teilsumme S 8 (R bis zum Zinswechsel im achten Jahr): S 8 =5,48,5 5,4 S 8 =5879,97 Teilsumme S 3 (R ab Zinswechsel im achten Jahr): S 3 =5,52,5 3,5 S 3 =86,57 Teilsumme S 2: S 2 =2,4,5 5 S 2 =2654,67 Gesamtsumme: Gesamtsumme = Teilsumme S 8 + Teilsumme S 3 + Teilsumme S 2 Gesamtsumme = 5879, , ,57 Gesamtsumme = 972,2 Der Kontostand nach 3 Jahren beträgt 972,2. FIMA 6a: Ein Ratendarlehen von 4 soll in Jahren vollständig getilgt werden (p=4). Wie hoch sind die Zinsen im 5. Jahr? Q 4 = 4 4=6 Restschuld= 4,- R 5-6,- R 5 24,- Z 5 =24,4=96 Die Zinsen im fünften Jahr betragen 96.
14 FIMA 6b: Wie hoch ist die Restschuld nach Verrechnung der 8. Rate? Q 8 = 4 8=32 R 8-32,- 8,- Restschuld: 4,- Die Restschuld nach Verrechnung der achten Rate beträgt 8. FIMA 6c: Wie hoch ist die Rate im 9. Jahr? Z 8 =Q 8,4 Z 8 =8,4 Z 8 =32 R 9 =R Z 8 R 9 =4 32 R 9 =432 Die Rate im neunten Jahr beträgt 432 FIMA 7a: Ein Annuitätendarlehen von 6 soll in 6 Jahren vollständig getilgt werden (p=5). Wie hoch ist die Annuität? A=K q n q q n A=6,5 6,5,5 6 A=82,48 Die Annuität beträgt 82,48 FIMA 7b: Wie hoch ist die Tilgung bei der 4. Rate? Q =A Z Q =82,48 6,5 Q =882,48 Q 4 =Q,5 3 Q 4 =882,48,5 3 Q 4 =24,66 Die Tilgung bei der vierten Rate beträgt 24,66 FIMA 7c: Welche Restschuld verbleibt nach Verrechnung der 4. Rate? R 4 =K Q q 4 q R 4 =6 882,48,54,5 R 4 =298,8 Nach Verrechnung der vierten Rate verbleibt eine Restschuld von 298,8 FIMA 7d: Welche Zinsen sind im 5. Jahr zu zahlen? Q 5 =Q,5 4 Q 5 =882,48,5 4 Q 5 =722,39 Z 5 = A Q 5 Z 5 =82,48 722,39 Z 5 =99,9 Die Zinsen im fünften Jahr betragen 99,9
15 FIMA 7e: Stellen Sie einen Tilgungsplan auf. Jahre Restschuld Zins Tilgung Restschuld 6, 3, 882, , , , , 4968, , , ,5 3296, ,46 695,82 24,66 298, ,8 99,9 722,39 258, , ,7 258,4, FIMA 8: Ein Unternehmer braucht für eine Investition 8. Er kann eine jährliche Rate von 2 aufbringen. Der Zinssatz beträgt 6%. Kann er bei einem Annuitätendarlehen das Darlehen in 8 Jahren tilgen? Möglichkeit : A=K q n q q n A=8,6 8,6,6 8 A=2882,86 Möglichkeit 2: n= ln A ln Q q ln n= ln 2 ln 72 ln,6 n=8,77 Der Unternehmer müsste entweder 2882,86 aufbringen um die acht Jahre einzuhalten oder er muss das Darlehen in 8,77 Jahren tilgen. FIMA 9a: Eine Bank vereinbart für die Gewährung einses Annuitätendarlehens über mit dem Schuldner: Das Darlehen ist mit 5% zu verzinsen und mit 8% anfänglicher Tilgung zuzüglich ersparter Zinsen zu tilgen. Stellen Sie einen Tilgungsplan auf. Jahre Anfangsbetrag Zins Tilgung Restschuld, 5, 8, 92, 2 92, 46, 84, 836, 3 836, 48, 882, 7478, , 3739, 926, 6559, , 3275, , , , ,75 2, , ,7 2279,23 72, , ,93 743,2 256,8 2367, ,3 8,36 89,64 787,49 787,49 589,37 787,49,
16 FIMA 9b: Berechnen Sie (ohne Verwendung des Tilgungsplanes), nach wievielen Jahren die Hälfte des Darlehens getilgt ist. 5= 8,5m,5 25=5 8,5 m,325=,625,5 m,325=,5 m m=log,5,325 m=5,57 *,5 /-8 +,625 + Nach 5,57 Jahren ist die Hälfte des Darlehens getilgt.
17 2. Lineare Algebra Matrizen Lineare Gleichungssysteme Lineare Optimierung (2.) Matrizen Eine m x n Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten: a a2... a n a 2 a a 2n a m a m2... a mn m x n Beispiele: A = x 3 B = x 2 C = x kurze Schreibweise: A a ij m x n Anwendungsmöglichkeiten: Beispiel : Produktionsproblem Zwei Produkte P und P 2 mit den Stückzahlen x und x 2. Beide Produkte müssen mit beiden Maschinen M und M 2 bearbeitet werden. Bearbeitungszeit in min.: P P 2 Kapazität (Arbeitszeit pro Woche) M 2 24 min/woche M min/woche Frage: Welche Stückzahl muss produziert werden für Vollauslastung?
18 () Schreibweise als Lineares Gleichungssystem: M =x 2x 2 =24 M 2 =3x x 2 =24 (2) Schreibweise als Produktionsmatrix: 2 3 x x 2 = 24 Beispiel 2: digitale Bilder Bild mit 9 Pixeln: = Farbe; = leer bei Farbe: Farbtiefe 6 bit: 2 64 Kontrast: Mathematisches Verfahren, welches über die Matrix läuft und die Farbtöne die nebeneinander liegen angleicht (durch Durchschnittswerte) Matrix: Beispiel 3: Animierte Filme wie 'Findet Nemo' basieren auf Matrizen. (2.2) Addition von Matrizen a ij mxn b ij mxn = a ij b ij mxn Beispiel: = Matrizenaddition nur bei gleichen Spalten und Zeilen!!! (2.3) Multiplikation mit einer Zahl Beispiel: = t a ij mxn = t a ij mxn t R
19 (2.4) Bemerkungen. A B=A B= a ij b ij mxn 2. A B=B A Kommutativgesetz 3. A B C=A B C Assoziativgesetz 4. s t A=s A t A s,t R Distributivgesetz 5. s A B =s A s B Distributivgesetz 6. m=n Quadratische Matrix Definition Einheitsmatrix E (m=n) E= x E= 2x2 E= 3x3 E= 4x4 In der Hauptdiagonale befinden sich Einsen, sonst nur Nullen: ij für i= j ij für i j E= ij mxn ; m N (2.5) Multiplikation von Matrizen Sei A eine m x n Matrix, B eine n x r Matrix, dann ist C = A*B eine m x r Matrix mit: n C ij = k = a ij b kj für i=,...,m ; j=,...,r Beispiel: Vorgehensweise: =a i b j a i2 b 2j... a i n b nj x x4 = x4 C 2 C 24. Schauen, ob die mittleren Zahlen gleich sind 2. Die anderen Zahlen bilden die Größe der Matrix 3. Ein Element rausgreifen, z.b. C 2 = Die zweite Zeile der ersten Matrix, die erste Spalte der zweiten Matrix: 4*5+(-2)*+2*2=22 C 3
20 Weitere Beispiele: C 3: 2*+3*(-6)+(-)*2 = -8 C 24: 4*+(-2)*+2* = 6 Beispiel 2: 2 3 x3 3 2 = x 3x Beispiel 3: x3 = x x3 Bemerkungen:. A*B muss nicht notwendig existieren: a ij 3x4 b ij Existiert A*B, so muss B*A nicht notwendig existieren: A 2x3 * B 3x4 A 3x4 * B 2x3 3. Existieren A*B und B*A (bei quadratischen Matrizen), so gilt i.d.r. A*B B*A: = = 4. (A*B)*C = A*(B*C) (multiplizieren was man will, falls Produkte möglich sind) 5. A*(B+C) = A*B+A*C 6. Bei quadratischen Matrizen A: A*E=E*A=A Empfehlung: Falk sches Schema
21 (2.6) Transponierte Matrix Die transponierte Matrix A' entsteht aus A durch Vertauschen von Zeilen und Spalten. Beispiel: A= x3 A '= x2 Eine Matrix A heißt symmetrisch wenn A=A' ist. Eine Matrix A heißt schiefsymmetrisch, wenn A=-A' ist. Beispiel: für A=symmetrisch: x3 kann man spiegeln, es kommt immer das Gleiche raus. Beispiel: für A=schiefsymmetrisch: x3 die Zahlen außerhalb der Hauptdiagonale spiegeln sich ins Gegenteil, die Zahlen in der Hauptdiagonale bleiben wo sie sind. Regeln:. A'' = A (zweimal vertauschte Matrizen ergeben wieder die Ursprungsmatrix) 2. (A*B)' = B' * A': C= /2 x /2 y 3/4,8,6 z x y z /2 3/4,8 /2,6
22 (2.7) Inverse Matrizen Existiert zu einer quadratischen Matrix A eine Matrix A - mit A*A - = A - * A = E, so heißt A - die zu A inverse Matrix. Rechenregeln:. A = A (eine inverse Matrix invertieren ergibt die Ursprungsmatrix A) 2. A B =B A 3. A '= A ' (2.8) Zeilenumformungen. Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl r 2. Addition einer (mit einer Zahl r multiplizierten Zeile) zu einer anderen Zeile 3. Vertauschen zweier Zeilen
23 (2.9) Berechnung von A - am Beispiel A= von dieser Matrix soll die invertierte berechnet werden: (A soll in E umgeformt werden, E soll links stehen) Sollen Null werden Einheitsmatrix *Zeile -3*Zeile - -Zeile Zeile 3 *( Zeile Einheitsmatrix E Invertierte Matrix Probe: 4 2 = Empfehlung: Strikte Vorgehensweise (im Uhrzeigersinn) oder pivotisieren
24 (2.) Lineare Gleichungssysteme (LGS) Beispiel: Produktproblem (siehe 2.) x 2x 2 =24 3x x 2 =24 Lösung: x = 48 x 2 = 96 Linear: Gleichungssystem: proportional gleichbleibend steigend (eine Gerade) Bestimmte Anzahl von (unbekannten) Gleichungen allgemein: m lineare Gleichungen mit n Unbekannten a x a 2 x 2... a m x n =b a m x a m2 x 2... a mn x n =b m in Matrixschreibweise:... a a n a m... a mn x x n = b m b Anwendungsmöglichkeiten:. Produktprobleme 2. Vollkostenrechnung ( interne Leistungsverrechnung) 3. Wettervorhersage 4. Karosserieform von Automobilen (Gittermodell) ca. 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten m Gleichungen mit n Unbekannten: 3 Gleichungen mit 5 Unbekannten (unterbestimmt) Lösungen 7 Gleichungen mit 4 Unbekannten (überbestimmt) fast nie eine Lösung Trotzdem gibt es: genau eine Lösung keine Lösung unendlich viele Lösungen bei uns grundsätzlich: m = n
25 (2.) Der Gaussche Algorithmus am Beispiel x x 2 5x 3 =2 3x 8x 2 x 3 =9 x 5x 2 2x 3 = (eindeutige Lösung: 3 Gleichungen, 3 Unbekannte) In Matrixschreibweise: x x x 3 = 2 Lösung (in Matrixform) durch Äquivalenzumformungen: Beispiel für unendlich viele Lösungen: *Zeile -*Zeile *Zeile Eine Zeile wird Null unendlich viele Lösungen Unterhalb der Hauptdiagonale soll Null werden (3)=-x 3 =-2 x 3 =2 (2)=-5x 2-6x 3 =-27 ()=x -x 2 +5x 3 =2 x 2 =- x = Schreibweise: x 3 =t ;t R x 2 =5x 2 6t=27 x 2 = 6 5 t 27 5 x =x 6 5 t t=2 x = 49 5 t 87 5 Beispiel für keine Lösung: = ist ein Widerspruch, d.h. Es gibt keine Lösung
26 (2.2) Lineare Optimierung Beispiel: Produktproblem aus (2.): Bisheriges Ziel: Vollauslastung der Maschinen (Lösung mit LGS) x LGS: 2x 2 =24 3x x 2 =24 Lösung: x =48 x 2=96 Neues Ziel: Maximierung des Gewinnes Gewinn/Stk. Produkt P : (x ) Produkt P 2: 3 (x 2) LOP: Lineares Optimierungssystem Ziel: Gewinn G: x 3x 2! = max unter den Nebenbedingungen: x, x 2 (Stk.zahl) 2 x 2x 2 24 (min) 3 3x x 2 24 (min) Grafische Lösung:. Problemformatierung 2. Hilfsrechnungen: Ungleichungen nach x 2 auflösen: x 2x x 2x zu(2): 2 x 24 :2 x 2 2 x 2 zu(3): 3x x x x 2 3x Zeichnung anfertigen 4. Gewinn nach x 2 auflösen: x 3x 2 = x 2 = 3 x -x :3 (einzeichnen) 5. Gewinnfunktion parallel verschieben (solange bis es zu einem max. erreichbaren Schnittpunkt kommt)
27 x 2 Was bedeutet es wenn ein Punkt innerhalb des Bereiches liegt('zulässiger Bereich')? 25 In diesem Bereich sind die Bedingungen erfüllt. Außerhalb beider schraffierter Flächen müsste länger gearbeitet werden, innerhalb einer schraffierter Fläche arbeitet nur eine Maschine. 2 5 Vollauslastung Lösung G= 3 x 5 Parallelverschiebung Zulässiger Bereich x 2 x 2 2 x 2 3 x 24 x 5
28 (2.3) Lineare Optimierung am Beispiel 2 Aufgabe: Herr X braucht 6 gr. Kohlehydrate pro Tag und 3 gr. Eiweiß pro Tag. Dieser Mensch ißt nur Reis und Fisch: x =Reis: 6g Kohlehydrate und 5g Eiweiß / Kg x 2 =Fisch: 2g Kohlehydrate und 6g Eiweiß / Kg Kosten: Reis,- / Kg, Fisch 2,- /Kg Ziel: Kosten minimal halten Kosten: Produkt x : Produkt x 2: 2 LOP: Lineares Optimierungssystem Kostenfunktion: K =x 2x 2! = min unter den Nebenbedingungen: x, x 2 (Stk.zahl) 2,6 x,2 x 2,6 (Kg) 3,5 x,6 x 2,3 (Kg) Hilfsrechnungen: (Ungleichungen nach x 2 auflösen): zu (2),2 x 2,6 x,6 x 2 3x 3 :,2,6x 2,5x,3 zu(3) x 2 4 x 2 :,6 Kostenfunktion nach x 2 auflösen: K =x 2x 2 2x 2 = x -x :2 x 2 = 2 x Der Schnittpunkt der Funktionen ist die Lösung: () und (2) gleichsetzen: 3x 3= 4 2 x = =,99 g y= 3 =,273 g
29 x = 3x 3 2 Zulässiger Bereich Lösung x 2 = 2 x 3 = 4 x x Herr X wird täglich 99g Kohlehydrate und 272g Eiweiß essen wenn er kostensparend essen will. (2.4) Bemerkungen ) Ziel: Maximierung: unendlich viele Lösungen 2) Ziel: Maximierung: keine Lösung
30 LINALG : Bestimmen Sie für folgende Matrizen A jeweils die transponierte Matrix A'. Welche Matrizen sind symmetrisch oder schiefsymmetrisch ( a, b, c, d R )? LINALG a: a A= a a b b b c c 4x2 A '= a b a b b b c c 2x4 LINALG b: A= b b a 3x3 A '= b b a 3x3 symmetrisch (A=A') LINALG c: A= a b a c b c 3x3 A '= a b a c b c 3x3 schiefsymmetrisch (A'=-A) LINALG 2: Gegeben sei Matrix A. Berechnen Sie B=A+A' und B'. Welche Eigenschaften hat die Matrix B? A= A' 3 3x3 4 =B 3 3x x3 B '= x3 symmetrisch LINALG 3a: Berechnen Sie folgende Matrizenprodukte: LINALG 3b:
31 LINALG 4a: Berechnen Sie die inversen Matrizen A - (Lösung durch pivotisieren) /7 4/7-3/7 -/7 6/7 /7 7/3 /3 /3 /7-2/7-5/7 /3 3/3 2/3-7/3 -/3 6/ :7-2*Zeile -5*Zeile -3/7*Zeile 2 *(-7/3) 6/7*Zeile 2-7/3*Zeile 3 -/3*Zeile 3 *3 LINALG 4b: /3 /3 - /3 /3-4/3 2/3 -/2 -/3 /3 /2 3/4 -/3 /6 -/4 -/2 -/3 2/3 /2 /4 -/3 /6 /4-2*Zeile -Zeile -Zeile -Zeile 2 *(-) -Zeile 2 +2*Zeile 2 +Zeile 3 :3 +2*Zeile 3 +2*Zeile 4 -Zeile 4 +2*Zeile 4 :4 LINALG 5: Gegeben seien die Matrizen A*B und A. Berechnen Sie A - und B. A*B= 2 2 A= A - = Weg: A A B = A A B=E B=B = 4 6 4
32 2. Weg: a b c d = 2 2 2a 5c 2b 5d 3a 7c 3b 7d = 2 2 (4 Gleichungen für 4 Unbekannte) Lösung: a=-4, b=, c=6, d=-4 LINALG 6: Gegeben seien die Matrizen M = 3 5 so, dass gilt: M*N = N*M x y 8 4 = x y x 4 3y 2 4x 6 4y 8 = 3x 4y 5x 2y und N = x y 8 4. Bestimmen sie x, y R 4x+6=4 x=6 4y+8=48 y= Probe: LINALG 7: Bestimmen Sie für E= und F= X+F 2 =F*X+E. ( a,b,c,d R ) F X = a b a b c d = c d = c d a b c d a b -E F 2 F*x E alle Matrizen X = a b c d mit a=-c c=-a b=-d d=-b Lösung: a=-c b=-d LINALG 8a: Lösen Sie für die folgenden Matrizen A und Vektoren b die zugehörigen linearen Gleichungssysteme A x= b x, b R n mit dem Gaußschen Algorithmus: 2 6 A= 3 2 b= 4 3 3, 8 Lösung: x =5, x 2=5, x 3=4
33 LINALG 8b: , 5 A= b= 8 3 Lösung: x =8, x 2=2, x 3=-2, x 4=, x 5=3 LINALG 8c: 2 A= b= 4 4, Lösung: x =, x 2=5, x 3=6 LINALG 8d: 3 A= b= 3 2, 2 Lösung: unendlich viele Lösungen, da letzte Zeile Null wird. x 3=t x 2 = 2 t x = 2 t LINALG 9: Drei Kohlegruben K,K 2,K 3 beliefern ausschließlich 3 Werke W,W 2,W 3. Das Werk W benötigt täglich 2 Tonnen Kohle und erhält /3 der täglichen Förderleistung von K, ¼ der von K 2 und die Hälfte der Förderung von K 3. Beim Werk W 2 setzen sich die benötigten 9 Tonnen zusammen aus /6 der Förderung von K und der Hälfte der Förderungen von K 2. Das Werk W 3 erhält 5 Tonnen als Rest der täglichen Fördermengen der drei Gruben. Berechnen Sie die benötigten Fördermengen. W W 2 W 3 K K 2 K 3 /3 /4 /2 /6 /2 /2 /4 /2 3/4 3/2 3/8 -/4 -/8 -/4 2-2/3 -/ *3 -/6*Zeile -/2*Zeile -3/4*Zeile 2 *8/3 +/8*Zeile 2-2*Zeile 3 +2/3*Zeile 3 *(-3) Die benötigten Fördermengen betragen: Für Kohlegrube : K = 8t Für Kohlegrube 2: K 2: 2t Für Kohlegrube 3: K 3: 6t
34 LINALG : gestrichen LINALG : Ein landwirtschaftlicher Betrieb stellt aus zwei Düngemitteln D und D 2 eine Mischung her. Dabei sollen in dieser Mischung mindestens 3 kg Phosphor, 2,4 kg Stickstoff und,3 kg Kalzium enthalten sein. Aus der folgenden Tabelle kann man entnehmen, wieviel g dieser chemischen Elemente in kg der beiden Düngemittel jeweils enthalten ist bzw. Was kg der beiden Düngemittel jeweils kostet: D D 2 Phosphor 5g 3g Stickstoff 2g 2g Kalzium 5g 5g Preis je kg 3 8 Seien x und x 2 die Mengen von D und D 2, die in der Mischung enthalten sind. Bestimmen Sie die Mischungen so, dass die Kosten minimal sind. Kostenfunktion: K =3x 8x 2! = min unter den Nebenbedingungen: ()grundsätzl. Bedingung: x, x 2 (2) Phosphor: 5x 3x 2 3 g (3)Stickstoff: 2x 2x 2 24 g (4)Kalzium: 5x 5x 2 3 g Hilfsrechnungen: zu (2) 5x 3x 2 3 x 2 5x zu (3) 2x 2x 2 24 x 2 /6 x 2 zu (4) 5x 5x 2 3 x 2 x 6 Kostenfunktion nach x 2 auflösen: 3x 8x 2 = x 2 = 3 8 x
35 x = 5x = x 6 2 Lösung K = 3 8 x x 3 = 6 x 2 LINALG 2: Ein Tankstellenbesitzer kauft von einem Großhändler Normal- und Superbenzin. Dabei seien die Mindestabnahmemenge, die maximale Lagerkapazität sowie der Ein- und Verkaufspreis pro l gemäß folgender Tabelle gegeben: Normalbenzin Superbenzin Mindestabnahmemenge 5 l l Max. Lagerkapazität l 8 l Einkaufspreis pro l,6,7 Verkaufspreis pro l,9,95 Der Anteil von Normalbenzin an der Gesamteinkaufsmenge soll höchstens 75% betragen. Insgesamt können nur 8 zum Einkauf ausgegeben werden. Wieviel l soll der Tankstellenbesitzer von jeder Benzinsorte bestellen, damit der Gewinn maximal wird? x : Normalbenzin x 2: Super Gewinn/l Normal:,9-,6=,3 Gewinn/l Super:,95-,7=,25
36 Gewinn: G=,3 x,25 x 2! = max unter den Nebenbedingungen: () x, x 2 (grundsätzliche Bedingung) (2) 5 x (Kapazitätsbeschränkung) (3) x 2 8 (Kapazitätsbeschränkung) (4) x,75 x x 2 (Verhältnis x zu Gesamt) (5),6 x,7 x 2 8 Hilfsrechnungen (Ungleichungen nach x 2 auflösen): (4) x 2 3 x (5) x 2,86 x 429 Gewinnfunktion nach x 2 auflösen: G=,3x,25x 2 x 2 = 6 5 x Lösung: Schnittpunkt (4) und (5): 3 x =,86 x 429 x =96 x 2 =32 x 2 Bedingung 3 5 Zulässiger Bereich Bedingung 5 Bedingung 4 Bedingung 2 Lösung 5 x Gewinnfunktion
37 3. Wirtschaftlichkeitsrechnung (3.) Investitionsrechnung Investitionsrechnung Unternehmensbewertung (nicht Thema der Vorlesung) Wirtschaftlichkeitsrechnung Statische Verfahren Dynamische Verfahren (3.2) Kostenvergleichsrechnung Annahmen:. Vollfinanzierung über Kredit 2. Ratenkredit, Laufzeit = Nutzungsdauer 3. Lineare Abschreibung des Anschaffungswertes Durchschnittlich gebundenes Kapital:(ø-Kap.Einsatz) Kritische Auslastung: = AW RW t RW t2... RW n n = AW RW n 2 = AW RW n Abschreibung 2 M = K A B fix K fix K B var A K var K fix = Fixe Kosten = Fixe Betriebskosten + Abschreibungen + Zinsen K var = variable Kosten pro Stück, M = Stückzahl Bis zu welcher Stückzahl ist A günstiger, ab wann ist B günstiger
38 A. Daten B. Periodenkostenvergleich Rechengrößen Anlage A Anlage B. Anschaffungskosten Fixe Betriebskosten pro Jahr (ohne Abschreibung und Zinsen Variable Betriebskosten pro Mengeneinheit (ME) 3,2 2, 4. Vorraussichtliche Produktion pro Jahr 4 ME 5 ME 5. Geplante Nutzungsdauer 4 Jahre 4 Jahre 6. Restverkaufserlös am Ende der geplanten Nutzungsdauer Zinssatz % %. Fixe Betriebskosten (A2) Variable Betriebskosten (A3*A4) 28 5 A A6 3. Abschreibungen linear A durchschnittlich gebundenes Kapital A A6 B Zinsen (B4*,) Durchschnittliche Gesamtkosten pro Periode C. Stückkostenvergleich B6 A4 4,95 /ME 4,6 /ME
39 (3.3) Gewinnvergleichsrechnung Kennzahlen: Deckungsspanne: Erlöse pro Mengeneinheit variable Kosten pro Mengeneinheit Gewinnschwelle: fixe Kosten Deckungsspanne wie viel Stück muss ich verkaufen, um keine Schulden mehr zu haben(bep) Dbu-Quote : Deckungsspanne Erlöse/ Mengeneinheit soviel % des Erlöses bleiben übrig, um Gewinn zu erzielen Sicherheitskoeffizient: Gewinn/ Periode Deckungsbeitrag/ Periode 2 soviel % der Produktion bleiben übrig, um am Markt reagieren zu können ) Deckungsbeitrag in % des Umsatzes (in diesem Fall Umsatz=Erlöse) 2) Deckungsbeitrag / Periode: Deckungsspanne * Stückzahl Rechengrößen Anlage A Anlage B Anlage C A. Daten. Anschaffungskosten Durchschnittlicher Kapitaleinsatz Geplante Nutzungsdauer Jahre Jahre 6 Jahre 4. Voraus. Leistungsabgabe / Periode 2 ME ME 2 ME 5. Fixe Betriebskosten / Periode Variable Betriebskosten / ME,4,55,24 7. Erlöse pro ME,86 2,5 2,72 8. Zinssatz % % % B. Kostenvergleich. Fixe Betriebskosten / Periode Variable Betriebskosten / Periode Abschreibungen Zinsen Durchschnittliche Gesamtkosten Stückkosten,2,35,97 C. Gewinnvergleich. Erlöse pro Periode Kosten pro Periode Gesamtgewinn pro Periode 3 8 5
40 Rechengrößen Anlage A Anlage B Anlage C A. Daten. Fixe Betriebskosten Abschreibungen Zinsen Fixe Kosten Variable Kosten pro ME,4,55,24 6. Erlöse pro ME,86 2,5 2,72 7. Deckungsspanne,46,6 2,48 8. Deckungsbeitrag pro Periode Gewinn pro Periode B. Gewinnschwellenanalyse. Gewinnschwelle (in % der vorraussichtlichen Leistungsabgabe) 96 ME (55,5%) 5 ME (5%) 3952 ME (69,8%) 2. DBU Quote (Deckungsbeitrag in %,78,74,9 des Umsatzes) 3. Sicherheitskoeffizient 44,5% 5% 3,2% (3.4) Rentabilitätsrechnung (Investitions-)rentabilität: Gewinn geb. Kapital Verzinsung eingesetzten Kapitals (was rentiert sich für einen Anleger) Umsatzrentabilität: Gewinn Erlöse Umsatz Kapitalumsatz: Erlöse gebundenes Kapital
41 Rechengrößen Anlage A Anlage B Anlage C A. Daten (aus Gewinnvergleichsrechnung). Durchschnittlicher Kapitaleinsatz Periodenkosten Stückkosten,2,35,97 4. Erlöse pro Periode Periodengewinn B. Rentabilitätsrechnung. Investitionsrentabilität A5 A 2. Umsatzrentabilität A5 A4 3. Kapitalumschlag A4 A 23,6% 29,% 7,% 34,8% 37,2% 27,6%,68,78,62
42 (3.5) Kapitalwertmethode E t -A t = Einnahmenüberschuss der Periode t (Einnahmen-Ausgaben; E t, A t = Index, kein Exponent!!) Kapitalwert: n E C = A t A t t= p t t=kein Exponent t=exponent C = Kapitalwert A = Investitionsausgabe t = Periode n = Laufzeit p = Kalkulationszins Ist der Kapitalwert C > Investition vorteilhaft (verglichen mit Vergleichszinsfuß) Ist der Kapitalwert C > Investition nicht vorteilhaft Beispiel: Wir leihen A, welche er über 3 Raten mit je 4 begleicht. Wie wird es verzinst? (Vergleichszinsfuß p=5 bei der Bank) E -A E 2 -A 2 E 3 -A rein 2 3 Jahre raus C = 4,5 4,5 4 2,5 3 C =892,99 Die Investition ist vorteilhaft. 892,99 erhalte ich mehr wenn ich das Geld A leihe. Ich müsste 892,99 mehr auf der Bank anlegen, um nach 4 Jahren gleichviel rauszubekommen.
43 (3.6) Interne Zinsfußmethode Beispiel: Wir geben 75 und bekommen dafür in 4 Raten zurück:.jahr 3, 2.Jahr 25, 3.Jahr 2 und 4. Jahr rein Jahre 75 raus 4 E C = A t A t t t= pt C = A E A p E2 A 2 2 p E3 A 3 3 p E4 A 4 4 p Für verschiedene Werte werden Beispiele ausgerechnet, d.h. für verschiedene Zinsfüße rechnen wir den Kapitalwert aus: p C, 5, 336 2, , 3 9, , (C (p)= setzen) Beispiel für p=2 C = 75 3,2 25,2 2 2,2 3 5,2 4 C =45, Der Zinsfuß p mit C = heißt interner Zinsfuß. Damit verzinst sich die betrachtete Investition. Ist der interne Zinsfuß größer als der Vergleichszinsfuß, so ist die Investition vorteilhaft.
44 Prüfungsaufgabe A a: Ein bei einer Bank eröffnetes Sparbuch mit einem Zinssatz von 4% weist folgende Buchungen auf: DM Einzahlung bei Eröffnung am Jahresende je 8 DM Einzahlung jährlich am Jahresende 8 Jahre lang, beginnend mit dem Ende des zweiten Jahres 4 DM Auszahlung nach Jahren je 2 DM Einzahlung am Jahresende 4 Jahre lang, beginnend mit dem Ende des 2. Jahres. Stellen Sie die angegebenen Größen am Zahlungsstrahl dar. T 2 K T R R R R R R R R R 2 R 2 R 2 R 2 T 4 2 p = Auszahlung = 4 T K = 3 S 4 Ausz. R 3 R 3 R 3 R 3 R = 8 R 2 = 2 K 5? K 2 = A b: Wie hoch ist der Kontostand nach 5 Jahren? Berechnung mit nachschüssigem Endwert: Teilsumme : T =,4 5 8,94 Teilsumme 2: T 2 =8,48,4, ,25 Teilsumme 3: T 3 = 4, ,6 Teilsumme 4: T 4 =2,44,4 595,76 Der Kontostand nach 5 Jahren beträgt: 357,24 A c: Welche Rente kann man, nach Ablauf von 8 Jahren beginnend, 4 mal jährlich am Jahresende abheben, wenn nach der letzten Abhebung der Kontostand Null erreicht sein soll? R 3=? Gleichsetzen: K 5 =S 4 357,24,4 6 =R 2,44,4 357,24,4 6,4,4 4 =R 3 R 3 =3384,9 Man kann jährlich 4 mal am Jahresende 3384,9 abheben.
45 Prüfungsaufgabe A2 a: Ein Hauskäufer erhält von einer Bank ein Darlehen in Höhe von 24 DM zugesichert, dessen Rückzahlung bei 7,5% Zins und,5% anfänglicher Tilgung zuzüglich ersparter Zinsen in gleichbleibenden Annuitäten vorgenommen werden soll. Die erste Annuität ist dabei nach einem Jahr zur Zahlung fällig. Wie viel Jahre muss die volle Annuität bezahlt werden? Annuität: 24 *,9 (7,5% +,5%) =26 Tilgung des ersten Jahres: A= 26 Z = 24 * 7,5% = 8 Q = 26-8 = 36 Jahre n: n= lg A lgq lg q lg 26 lg36 n= lg,75 n=24,8 Die volle Annuität muss 24 Jahre bezahlt werden. A2 b: Wie lautet die erste, zweite, dritte und letzte Zeile des Tilgungsplanes, wenn ein sich ergebender Restbetrag mit der letzten vollen Tilgungsrate fällig wird? Jahre Restschuld Zinsen Tilgung Annuität Restschuld i R i- Z i Q i A R i ,75 46, , ,58 262, , ,5 R 23 =K Q q 23 q R 23 =24 36,7523,75 R 23 =34699, ,5 +572,5 A2 c: Um wie viele Jahre verlängert sich die Tilgungszeit, wenn bei gleichbleibender Annuität der Zinssatz nach 3 Jahren auf 8,5% erhöht wird? R 3=228369,75 neues Startkapital Annuität: 26 Z neu: 8,5% = ,75 * 8,5% = 94,43 Q neu: 26-94,43 = 288,57
46 Laufzeit des neuen Darlehens: lg2 lg 288,57 L neu = lg,85 L neu =28, Laufzeit gesamt: 3 Jahre + 28 Jahre = 3 Jahre Laufzeitverlängerung: 3 Jahre 24 Jahre = 7 Jahre Die Laufzeit verlängert sich um 7 Jahre. Prüfungsaufgabe A3 a: Berechnen Sie für die Matrizen A= 2 3 und B= 3 2 die Produkte A' * B und A * B'. A ' B= x3 = x x3 A B '= 2 3 x3 3 2 = x 3x A3 b: Das Produkt zweier symmetrischer Matrizen C und D ist genau dann symmetrisch, wenn C * D = D * C gilt. Beweisen Sie dies. C,D = symmetrisch: C=C'; D=D' CD ist symmetrisch: (CD)=(CD)' C*D = (CD)' C*D = D*C CD=(CD)' D' * C*' = D*C CD=DC D' * C' = (CD)' 2 3 A3 c: Gegeben sei die Matrix B= 2. Berechnen Sie B-. B = 2 2 Prüfungsaufgabe A4 a: Lösen sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus: x + 2y + z = x + y + 2z = 2x + 3y + 3z = 2 2 unendlich viele Lösungen: z=t,t R
47 Zeile2: Zeile: y z= y t= t= y x 2y z= x 2t t= x= 3t Prüfungsaufgabe A5: Ein Kapitaleinsatz von 75 DM führt zu folgenden Rückflüssen: nach Jahr: 3 DM nach 2 Jahren: 25 DM nach 3 Jahren: 2 DM nach 4 Jahren: 5 DM Berechnen Sie den Kapitalwert bei einem Zinssatz von 7% und bei einem Zinssatz von %. Ist die Investition nach der Kapitalwertmethode vorteilhaft? C = 75 3,7 25,7 2 2,7 3 5,7 4 =2642,74 Die Investition ist vorteilhaft. C = 75 3, 25, 2 2, 3 5, 4 = 794,62 Die Investition ist nicht vorteilhaft. Prüfungsaufgabe A6 a: Eine Firma plant die Anschaffung einer Maschine zwecks Erweiterung der Kapazität. Es liegen folgende zwei Angebote vor: Angebot A Angebot B Anschaffungskosten 4 DM 6 DM Fixe Betriebskosten / Jahr (ohne Abschreibungen und 5 DM 4 DM Zinsen) Variable Betriebskosten pro Mengeneinheit (ME) 6,4 DM 5,9 DM Produktion / Jahr 28 ME 28 ME Nutzungsdauer 7 Jahre 7 Jahre Zinssatz % % Bei beiden Alternativen beträgt der Restwert am Ende der Nutzungsdauer Null. Gehen Sie von einer linearen Abschreibung aus. Berechnen Sie den durchschnittlichen Kapitaleinsatz. AW RWdesletztenJahres 2 A= A=8 B= B=92
48 A6 b: Bestimmen Sie mit Hilfe der Kostenvergleichsrechnung das günstigere Angebot. A B Durchschn. Kap.einsatz 8 92 Abschreibungen +Zinsen +fixe Betriebskosten =Fixkosten + variable Kosten =Gesamtkosten Stückkosten , ,55 A6 c: Bestimmen Sie die kritische Auslastung. ME krit = Fixkosten var.kosten ME krit = K fix A K fix B K var B K var A ME krit = ,9 6,4 ME krit =64 Stk. Die kritische Auslastung liegt bei 64 Stück.
SS 2014 Torsten Schreiber
SS 2014 Torsten Schreiber 221 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Wird im Bereich der Rentenrechnung die zugehörige zu Beginn eines Jahres / einer Zeitperiode eingezahlt, so spricht
MehrRente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen
1 3.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind
MehrMathematik-Klausur vom 4.2.2004
Mathematik-Klausur vom 4.2.2004 Aufgabe 1 Ein Klein-Sparer verfügt über 2 000, die er möglichst hoch verzinst anlegen möchte. a) Eine Anlage-Alternative besteht im Kauf von Bundesschatzbriefen vom Typ
MehrMathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.
Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Finanzmathematik 1 11 Folgen und Reihen 1 111 Folgen allgemein 1 112
MehrFinanzmathematik. Dr. Bommhardt. Das Vervielfältigen dieses Arbeitsmaterials zu nicht kommerziellen Zwecken ist gestattet. www.bommi2000.
Finanzmathematik Dr. Bommhardt. Das Vervielfältigen dieses Arbeitsmaterials zu nicht kommerziellen Zwecken ist gestattet. www.bommi2000.de Das Tilgungsrechnen Für Kredite gibt es drei unterschiedliche
MehrRente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen
5.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind zwei
MehrSS 2014 Torsten Schreiber
SS 2014 Torsten Schreiber 204 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Bei der Rentenrechnung geht es um aus einem angesparten Kapital bzw. um um das Kapital aufzubauen, die innerhalb
MehrZinsen, Zinseszins, Rentenrechnung und Tilgung
Zinsen, Zinseszins, Rentenrechnung und Tilgung 1. Zinsen, Zinseszins 2. Rentenrechnung 3. Tilgung Nevzat Ates, Birgit Jacobs Zinsrechnen mit dem Dreisatz 1 Zinsen Zinsrechnen mit den Formeln Zinseszins
MehrMathematik-Klausur vom 16.4.2004
Mathematik-Klausur vom 16..200 Aufgabe 1 Die Wucher-Kredit GmbH verleiht Kapital zu einem nominellen Jahreszinsfuß von 20%, wobei sie die anfallenden Kreditzinsen am Ende eines jeden Vierteljahres der
MehrIm weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: Zinsrechnung
4.2 Grundbegriffe der Finanzmathematik Im weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: K 0 Anfangskapital p Zinsfuß pro Zeiteinheit (in %) d = p Zinssatz pro Zeiteinheit 100 q = 1+d Aufzinsungsfaktor
MehrMathematik-Klausur vom 2. Februar 2006
Mathematik-Klausur vom 2. Februar 26 Studiengang BWL DPO 1997: Aufgaben 1,2,3,5,6 Dauer der Klausur: 12 Min Studiengang B&FI DPO 21: Aufgaben 1,2,3,5,6 Dauer der Klausur: 12 Min Studiengang BWL DPO 23:
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2015/16 Hochschule Augsburg Rentenrechnung Definition Rente: Zahlungsstrom mit Zahlungen in gleichen
MehrTutorium zur Mathematik (WS 2004/2005) - Finanzmathematik Seite 1
Tutorium zur Mathematik WS 2004/2005) - Finanzmathematik Seite 1 Finanzmathematik 1.1 Prozentrechnung K Grundwert Basis, Bezugsgröße) p Prozentfuß i Prozentsatz i = p 100 ) Z Prozentwert Z = K i bzw. Z
MehrÜbungsaufgaben Tilgungsrechnung
1 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 Übungsaufgaben Tilgungsrechnung Überarbeitungsstand: 1.März 2016 Die grundlegenden Ideen der folgenden Aufgaben beruhen auf
MehrMathematik-Klausur vom 28.01.2008
Mathematik-Klausur vom 28.01.2008 Studiengang BWL PO 1997: Aufgaben 1,2,3,4 Dauer der Klausur: 90 Min Studiengang B&FI PO 2001: Aufgaben 1,2,3,4 Dauer der Klausur: 90 Min Studiengang BWL PO 2003: Aufgaben
MehrGrundbegriffe Gegenstand der Tilgungsrechnung ist ein von einem Gläubiger (z. B. Bank) an einen Schuldner ausgeliehener Geldbetrag S;
1 5.3. Tilgungsrechnung Grundbegriffe Gegenstand der Tilgungsrechnung ist ein von einem Gläubiger (z. B. Bank) an einen Schuldner ausgeliehener Geldbetrag S; Bezeichnung: S... Schuld, Darlehen, Kredit
MehrÜbungsaufgaben WFW Finanzierung und Investition handlungsspezifische Qualifikation 2. Tag
1. Aufgabe Als Assistent der Geschäftsleitung wurden Sie beauftragt herauszufinden, ob die Investition in Höhe von 1.200.000 Euro in eine neue Produktionsanlage rentabel ist. Dafür liegen Ihnen folgende
MehrMathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik für Vergleich von Zahlungen, welche
Mehrb) Wie hoch ist der Betrag nach Abschluss eines Studiums von sechs Jahren?
Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta.arrenberg@fh-koeln.de Übungen zur Mathematik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Unterjährliche
MehrAufgabe 1) 100.000 350.000
Aufgabe 1) Ausgangsdaten: Altanlage Ersatzinvestition Anschaffungskosten 500.000 (vor 4 Jahren) 850.000 Nutzungsdauer bisher 4 Jahre 8 Jahre ges. Geschätzte Restnutzungsdauer 5 Jahre erwartete Auslastung:
MehrMathematik-Klausur vom 08.07.2011 und Finanzmathematik-Klausur vom 14.07.2011
Mathematik-Klausur vom 08.07.20 und Finanzmathematik-Klausur vom 4.07.20 Studiengang BWL DPO 200: Aufgaben 2,,4 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI DPO 200: Aufgaben 2,,4 Dauer der Klausur: 60 Min
MehrTechnische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 3914 jutta.arrenberg@th-koeln.
Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 3914 jutta.arrenberg@th-koeln.de Übungen zur Vorlesung QM2 Nachschüssige Verzinsung Aufgabe
MehrGewinnvergleichsrechnung
Gewinnvergleichsrechnung Die Gewinnvergleichsrechnung stellt eine Erweiterung der Kostenvergleichsrechnung durch Einbeziehung der Erträge dar, die - im Gegensatz zu der Annahme bei der Kostenvergleichsrechnung
Mehr3.3. Tilgungsrechnung
3.3. Tilgungsrechnung Grundbegriffe Gegenstand der Tilgungsrechnung ist ein von einem Gläubiger (z. B. Bank) an einen Schuldner ausgeliehener Geldbetrag S; Bezeichnung: S... Schuld, Darlehen, Kredit Es
MehrÜbungen zur Vorlesung QM II Unterjährliche Renten Aufgabe 8.1 Ein Auto wird auf Leasingbasis zu folgenden Bedingungen erworben:
Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 22, Tel. 394 jutta.arrenberg@th-koeln.de Übungen zur Vorlesung QM II Unterjährliche Renten Aufgabe
MehrFakultät für Wirtschaftswissenschaften. Brückenkurs WS14/15: Investitionsrechnung
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Lehrstuhl BWL III: Unternehmensrechnung und Controlling Prof. Dr. Uwe Götze Brückenkurs WS14/15: Investitionsrechnung Aufgabe 1: Kostenvergleichsrechnung Für ein
Mehrist die Vergütung für die leihweise Überlassung von Kapital ist die leihweise überlassenen Geldsumme
Information In der Zinsrechnung sind 4 Größen wichtig: ZINSEN Z ist die Vergütung für die leihweise Überlassung von Kapital KAPITAL K ist die leihweise überlassenen Geldsumme ZINSSATZ p (Zinsfuß) gibt
MehrMathematik-Klausur vom 08.02.2012 Finanzmathematik-Klausur vom 01.02.2012
Mathematik-Klausur vom 08.02.2012 Finanzmathematik-Klausur vom 01.02.2012 Studiengang BWL DPO 2003: Aufgaben 2,3, Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI DPO 2003: Aufgaben 2,3, Dauer der Klausur: 60
Mehr4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante
4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer
MehrSS 2014 Torsten Schreiber
SS 2014 Torsten Schreiber 239 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Durch die wird ein Zahlungsstrom beschrieben, der zur Rückführung eines geliehenen Geldbetrags dient. Der zu zahlende
MehrTilgungsrechnung. (K n + R n = ln. / ln(q) (nachschüssig) + R. / ln(q) (vorschüssig)
(K n + R n = ln n = ln q 1 K 0 + R q 1 (K n q + R q 1 K 0 q + R q 1 ) / ln(q) (nachschüssig) ) / ln(q) (vorschüssig) Eine einfache Formel, um q aus R,n,K n und K 0 auszurechnen, gibt es nicht. Tilgungsrechnung
MehrSS 2014 Torsten Schreiber
SS 2014 Torsten Schreiber 193 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Bei einer Abschreibung werden eines Gutes während der Nutzungsdauer festgehalten. Diese Beträge stellen dar und dadurch
MehrMathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011
Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011 Studiengang BWL DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur:
Mehr2. Ein Unternehmer muss einen Kredit zu 8,5 % aufnehmen. Nach einem Jahr zahlt er 1275 Zinsen. Wie hoch ist der Kredit?
Besuchen Sie auch die Seite http://www.matheaufgaben-loesen.de/ dort gibt es viele Aufgaben zu weiteren Themen und unter Hinweise den Weg zu den Lösungen. Aufgaben zu Zinsrechnung 1. Wie viel Zinsen sind
MehrMathematik-Klausur vom 02.02.2011 und Finanzmathematik-Klausur vom 31.01.2011
Mathematik-Klausur vom 02.02.2011 und Finanzmathematik-Klausur vom 31.01.2011 Studiengang BWL DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur:
MehrÜbungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.
Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines
Mehrn... Laufzeit der Kapitalanlage = Zeit, während der Zinsen zu zahlen sind (oder gezahlt werden) in Zinsperioden (z.b. Jahre)
3. Finanzmathematik 3.1. Zinsrechnung 3.1.1. Grundbegriffe K... Kapital (caput - das Haupt) = Betrag, der der Verzinsung unterworfen ist; Geldbetrag (Währung) z... Zinsen = Vergütung (Preis) für das Überlassen
MehrV 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,
Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen
MehrFinanzmathematik. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Finanzmathematik Literatur Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 1, 17. Auflage,
MehrKurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 3, 4, 5 und 6, SS 2012 1 Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Einsendearbeit 2 (SS 2012)
Mehr1. Wie viel EUR betragen die Kreditzinsen? Kredit (EUR) Zinsfuß Zeit a) 28500,00 7,5% 1 Jahr, 6 Monate. b) 12800,00 8,75 % 2 Jahre, 9 Monate
1. Wie viel EUR betragen die Kreditzinsen? Kredit (EUR) Zinsfuß Zeit a) 28500,00 7,5% 1 Jahr, 6 Monate b) 12800,00 8,75 % 2 Jahre, 9 Monate c) 4560,00 9,25 % 5 Monate d) 53400,00 5,5 % 7 Monate e) 1 080,00
MehrPrüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am 20.02.2015
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am 20.02.205 B Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe 2 4 5 6 7 8 gesamt erreichbare P.
MehrFakultät für Wirtschaftswissenschaft
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 3, 4, 5 und 6, SS 2012 1 Fakultät für Wirtschaftswissenschaft 2. Einsendearbeit zum Kurs 00091: Kurseinheit: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische
MehrAufgabe 1) 100.000 350.000
Aufgabe 1) Ausgangsdaten: Altanlage Ersatzinvestition Anschaffungskosten 500.000 (vor 4 Jahren) 850.000 Nutzungsdauer bisher 4 Jahre 8 Jahre ges. Geschätzte Restnutzungsdauer 5 Jahre erwartete Auslastung:
MehrEinführung in einige Teilbereiche der Wirtschaftsmathematik für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens
in einige Teilbereiche der für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Unterjährige Raten und jährliche Verzinsung Aufteilung der Zinsperiode in mehrere gleich
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrStatische Investitionsrechnung
Statische Investitionsrechnung - geeignet für Bewertung und Beurteilung für kurz- und mittelfristige Investitionsprojekte ins Anlagevermögen - Auswahl einer Investitionsalternative aus mehreren zur Verfügung
MehrÜbungsaufgaben. zur Vorlesung ( B A C H E L O R ) Teil D Investitionsrechnung. Dr. Horst Kunhenn. Vertretungsprofessor
Übungsaufgaben zur Vorlesung FINANZIERUNG UND CONTROLLING ( B A C H E L O R ) Teil D Investitionsrechnung Dr. Horst Kunhenn Vertretungsprofessor Institut für Technische Betriebswirtschaft (ITB) Fachgebiet
Mehr6 Berechnung der Kapitalentwicklung auf der Basis der Zinseszinsrechnung
6 Berechnung der Kaitalentwicklung auf der Basis der Zinseszinsrechnung 61 Wertentwicklung ohne Gut- oder Lastschrift von Zinsen Beisiele: 1 Konstante Produktionszunahme Produktion im 1 Jahr: P 1 Produktion
MehrIm Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b
Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und
MehrFinanzwirtschaft. Teil II: Bewertung
Sparpläne und Kreditverträge 1 Finanzwirtschaft Teil II: Bewertung Sparpläne und Kreditverträge Agenda Sparpläne und Kreditverträge 2 Endliche Laufzeit Unendliche Laufzeit Zusammenfassung Sparpläne und
MehrÜbungsklausur der Tutoren *
Übungsklausur der Tutoren * (* Aufgabenzusammenstellung erfolgte von den Tutoren nicht vom Lehrstuhl!!!) Aufgabe 1 - Tilgungsplan Sie nehmen einen Kredit mit einer Laufzeit von 4 Jahren auf. Die Restschuld
MehrDownload. Klassenarbeiten Mathematik 8. Zinsrechnung. Jens Conrad, Hardy Seifert. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
Download Jens Conrad, Hardy Seifert Klassenarbeiten Mathematik 8 Downloadauszug aus dem Originaltitel: Klassenarbeiten Mathematik 8 Dieser Download ist ein Auszug aus dem Originaltitel Klassenarbeiten
MehrA 95 223 B 125 396 C 75 169 D 105 277 E 115 421 F 85 269
Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 3914 jutta.arrenberg@fh-koeln.de Übungen zur Vorlesung Wirtschaftsstatistik Wiederholungsaufgaben für die Klausur
MehrEine Investition in Wissen bringt noch immer die besten Zinsen. Benjamin Franklin, nordamerikanischer Staatsmann (* 17. 01. 1706 / 17. 04.
Investitionsrechnung Eine Investition in Wissen bringt noch immer die besten Zinsen. Benjamin Franklin, nordamerikanischer Staatsmann (* 17. 01. 1706 / 17. 04. 1790) Recht hat der Mann, aber letztlich
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2015/16 Prof. Dr. M. Hinze Dr. P. Kiani Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt 2 Aufgabe 1: (12 Punkte) a) Beweisen
MehrDarlehen - als Möglichkeit der... -Finanzierung
Darlehen - als Möglichkeit der.... -Finanzierung Situation: Bestattungsinstitut Thomas Bayer e. K. benötigt für ein Investitionsprojekt 0.000 Euro. Die Hausbank bietet dieses Darlehen mit folgenden Konditionen
MehrVerfahren der Wirtschaftlichkeitsrechnung
178 Betriebswirtschaftliche Grundlagen Investition und Finanzierung Klassische Investitionsrechenverfahren Statische Verfahren Kostenwirksamkeitsanalyse Gewinnvergleichsrechnung Amortisationsrechnung Verfahren
MehrRentenrechnung 5. unterjhrige Verzinsung mit Zinseszins K n. q m n =K 0. N=m n N= m=anzahl der Zinsperioden n=laufzeit. aa) K 10
Rentenrechnung 5 Kai Schiemenz Finanzmathematik Ihrig/Pflaumer Oldenburg Verlag 50.Am 0.0.990 wurde ein Sparkonto von 000 eröffnet. Das Guthaben wird vierteljährlich mit % verzinst. a.wie hoch ist das
Mehrn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 S n 1250 1244, 085 1214, 075 1220, 136 1226, 167 Nach einem Jahr beträgt der Schuldenstand ca. 1177,09.
Gymnasium Leichlingen 10a M Lö 2007/08.2 2/2 Aufgaben/Lösungen der Klassenarbeit Nr. 4 von Fr., 2008-04-25 2 45 Aufgabe 1: Die A-Bank bietet Kredite zu einem Zinssatz von 6% pro Jahr an. Ein privater Keditvermittler
MehrPrüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am 15.2.2013
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am 5..3 A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe 3 4 5 6 7 8 gesamt erreichbare P. 4 6 3
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
MehrDownload. Führerscheine Zinsrechnung. Schnell-Tests zur Lernstandserfassung. Jens Conrad, Hardy Seifert. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
Download Jens Conrad, Hardy Seifert Führerscheine Zinsrechnung Schnell-Tests zur Lernstandserfassung Downloadauszug aus dem Originaltitel: Führerscheine Zinsrechnung Schnell-Tests zur Lernstandserfassung
MehrÜbungsserie 6: Rentenrechnung
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Wirtschaftsmathematik I Finanzmathematik Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben Übungsserie 6: Rentenrechnung 1. Gegeben ist eine
Mehr, und wie zuvor. 2. Einmalanlage mehrjährig mit festen Zinssatz (Kapitalentwicklung): mit Endkapital, Anfangskapital und 1 %
Themenerläuterung Das Thema verlangt von dir die Berechnung von Zinsen bzw. Zinseszinsen, Anfangskapital, Endkapital und Sparraten. In seltenen Fällen wird auch einmal die Berechnung eines Kleinkredites
MehrWachstum 2. Michael Dröttboom 1 LernWerkstatt-Selm.de
1. Herr Meier bekommt nach 3 Jahren Geldanlage 25.000. Er hatte 22.500 angelegt. Wie hoch war der Zinssatz? 2. Herr Meiers Vorfahren haben bei der Gründung Roms (753. V. Chr.) 1 Sesterze auf die Bank gebracht
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Lineare Algebra 4 Lineare Programme 5 Folgen und Reihen 6
MehrTutorium Investition & Finanzierung
Fachhochschule Schmalkalden Fakultät Informatik Professur Wirtschaftsinformatik, insb. Multimedia Marketing Prof. Dr. rer. pol. Thomas Urban Tutorium Investition & Finanzierung T 1: In einem Fertigungsunternehmen
MehrZinseszins- und Rentenrechnung
Zinseszins- und Rentenrechnung 1 Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem sich das Einlagekapital K bei a) jährlicher b) monatlicher c) stetiger Verzinsung verdoppelt hat, wobei i der jährliche nominelle Zinssatz
MehrLineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Lösungen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Lösungen. Bestimme rechnerisch und grafisch die Lösungsmenge L der folgenden Gleichungssysteme. a) b) c) I. x y I. 5y (x ) 5 II. x y II. x y I. 5y (x ) 5 II.
MehrWelche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?
Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt
MehrMathematik I für Wirtschaftswissenschaftler
1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.
MehrBedienungsanleitung Rückabwicklungsrechner
1 Eingaben Zelle C2 Auszahlungsbetrag Hier muss der erste Auszahlungsbetrag eingegeben werden. Weitere Auszahlungen siehe Weiter unten. Zelle C3 Zeitpunkt der Auszahlung Datum der ersten Auszahlung Zelle
MehrLU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.
Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrHIER GEHT ES UM IHR GUTES GELD ZINSRECHNUNG IM UNTERNEHMEN
HIER GEHT ES UM IHR GUTES GELD ZINSRECHNUNG IM UNTERNEHMEN Zinsen haben im täglichen Geschäftsleben große Bedeutung und somit auch die eigentliche Zinsrechnung, z.b: - Wenn Sie Ihre Rechnungen zu spät
MehrInvestition und Finanzierung. Investition Teil 1
Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft Investition und Finanzierung Investition Teil 1 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der Entnahme, des Nachdrucks,
MehrMathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45.
Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 8.6.4, 5.45 7.45. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. b) Lösungswege und Begründungen sind anzugeben. Die
MehrAufgabe 1: Finanzmathematik (20 Punkte)
Aufgabe 1: Finanzmathematik (20 Punkte) Im Zusammenhang mit der Finanzmarktkrise entschließt sich der Autohersteller LEPO zusätzlich zu der vom Staat unter bestimmten Voraussetzungen bewilligten Abwrackprämie
MehrSenkung des technischen Zinssatzes und des Umwandlungssatzes
Senkung des technischen Zinssatzes und des Umwandlungssatzes Was ist ein Umwandlungssatz? Die PKE führt für jede versicherte Person ein individuelles Konto. Diesem werden die Beiträge, allfällige Einlagen
MehrFachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen
Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen Verbundstudiengang Technische Betriebswirtschaft Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Teilprüfung: Mathematik 1 (Modul) Termin: Februar
Mehr5. Finanzwirtschaft 5.1 Inhalt und Aufgaben
5. Finanzwirtschaft 5.1 Inhalt und Aufgaben Die Funktionalbereiche der Unternehung und die Eingliederung der Finanzwirtschaft: Finanzwirtschaft Beschaffung Produktion Absatz Märkte für Produktionsfaktoren
MehrVorlesung Finanzmathematik (TM/SRM/SM/MM) Block : Ausgewählte Aufgaben Investitionsrechnung und festverzinsliche Wertpapiere
Hochschule Ostfalia Fakultät Verkehr Sport Tourismus Medien apl. Professor Dr. H. Löwe Sommersemester 20 Vorlesung Finanzmathematik (TM/SRM/SM/MM) Block : Ausgewählte Aufgaben Investitionsrechnung und
MehrKaufmännische Berufsmatura 2007 Kanton Zürich Serie 1
Serie 1 Prüfungsdauer: 150 Minuten Hilfsmittel: Netzunabhängiger Taschenrechner Beigelegte Formelsammlung Bedingungen: Dokumentieren Sie den Lösungsweg auf dem Aufgabenblatt Unbelegte Resultate werden
MehrRekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)
Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder
MehrSchritte 4. Lesetexte 13. Kosten für ein Girokonto vergleichen. 1. Was passt? Ordnen Sie zu.
Kosten für ein Girokonto vergleichen 1. Was passt? Ordnen Sie zu. a. die Buchung, -en b. die Auszahlung, -en c. der Dauerauftrag, - e d. die Überweisung, -en e. die Filiale, -n f. der Kontoauszug, - e
MehrEinführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:
Mehra) Kapital: 4 800 Zinssatz: 1,75 % Zeit: 7 Monate b) Kapital: 1 500 Zinssatz: 2 % Zeit: 9 Monate c) Kapital: 23 500 Zinssatz: 4,5 % Zeit: 3 Monate
Zinsrechnung 2 1 leicht Monatszinsen Berechne jeweils die Zinsen! a) Kapital: 4 800 Zinssatz: 1,75 % Zeit: 7 Monate b) Kapital: 1 500 Zinssatz: 2 % Zeit: 9 Monate c) Kapital: 23 500 Zinssatz: 4,5 % Zeit:
MehrNumerische Mathematik I 4. Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 4.1 Wo treten nichtlineare Gleichungen auf?
Numerische Mathematik I 4. Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 4.1 Wo treten nichtlineare Gleichungen auf? Andreas Rieder UNIVERSITÄT KARLSRUHE (TH) Institut für Wissenschaftliches Rechnen und
MehrSkript und Aufgabensammlung Terme und Gleichungen Mathefritz Verlag Jörg Christmann Nur zum Privaten Gebrauch! Alle Rechte vorbehalten!
Mathefritz 5 Terme und Gleichungen Meine Mathe-Seite im Internet kostenlose Matheaufgaben, Skripte, Mathebücher Lernspiele, Lerntipps, Quiz und noch viel mehr http:// www.mathefritz.de Seite 1 Copyright
MehrProfessionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
MehrFinanzwirtschaft. Teil II: Bewertung
Zeitwert des Geldes 1 Finanzwirtschaft Teil II: Bewertung Zeitwert des Geldes Zeitwert des Geldes 2 Bewertung & Zeitwert des Geldes Finanzwirtschaft behandelt die Bewertung von Real- und Finanzwerten.
MehrPrüfung Investitionsrechnung und -wirtschaft WS 2011/2012
Prüfung Investitionsrechnung und -wirtschaft WS 2011/2012 Fakultät Maschinebau Hochschule Landshut am 07. Februar 2012, 16.30 Uhr Name: Matrikelnummer: Diese Prüfung besteht aus 10 Blättern (inkl. Deckblatt)
MehrDynamische Methoden der Investitionsrechnung
4 Dynamische Methoden der Investitionsrechnung Lernziele Das Konzept des Gegenwartswertes erklären Den Überschuss oder Fehlbetrag einer Investition mit Hilfe der Gegenwartswertmethode berechnen Die Begriffe
MehrZinsrechnung Z leicht 1
Zinsrechnung Z leicht 1 Berechne die Jahreszinsen im Kopf! a) Kapital: 500 Zinssatz: 1 % b) Kapital: 1 000 Zinssatz: 1,5 % c) Kapital: 20 000 Zinssatz: 4 % d) Kapital: 5 000 Zinssatz: 2 % e) Kapital: 10
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
MehrÜbungen lineare Gleichungssysteme - Lösungen 1. Bestimme die Lösungsmenge und führe eine Probe durch! a)
Übungen lineare Gleichungssysteme - Lösungen. Bestimme die Lösungsmenge und führe eine Probe durch! a) b) c) 2x5y=23 2x 3y= 6x0y=64 6x 2y=6 2x3y=20 5x y=33 2x5y=23 2x 3y= 2x5y=23 2x3y= 8y=24 : 8 y=3 6x0y=64
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrLineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)
Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst
Mehr