Analytische Zahlentheorie. Sommersemester 2013

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1 Analyische Zahlenheorie Sommersemeser 3

2 Inhalsvereichnis Ereugende Funionen. Einleiende Beispiele Exurs über unendliche Produe Pariionen. Grundlagen über Pariionen Asympoisches Verhalen von pn n N Primahlen 5 3. Der Primahlensa und sein Beweis Zum Zusammenhang wischen der Zeafunion und den Primahlen Zur Forsebarei der riemannschen Zeafunion Sichworvereichnis 6

3 ERZEUGENDE FUNKTIONEN Ereugende Funionen. Einleiende Beispiele.. Beispiel Fibonacci-Folge Die Fibonacci-Folge F n n N is reursiv definier durch F :, F : sowie F n : F n + F n für alle n N. Sei ferner r R { } der Konvergenradius der Poenreihe f : F n n. Dann gil r, denn: Miels vollsändiger Induion ann geeig werden, dass die Folge F n n N monoon seigend is. Dami gil F n F n F n F n für alle n N. Für alle B C,5 onvergier somi die Reihe F n n absolu nach dem Quoienenrierium. Also gil n Dami is r : sup { ɛ R > B C ɛ F n n is onvergen }. n f : B C r C, F n n eine wohldefiniere, holomorphe Funion. Ferner folg für alle Br C mi den Rechenregeln für Poenreihen, dass f F n n+ F n n, f F n n+ F n n und somi n n f f f f F n n F n n F n n F + F F + n n n n n n Fn F n F }{{ n n. } gil. Also gil f für alle B C r. Es soll nun eine weiere Formel ur direen Berechnung der n-en Fibonacci-Zahl, welche nach Moivre und Bine benann worden is, hergeleie werden: Für alle B C gil a b n n mi a : + 5 und mi b : 5. Dami ha f eine Parialbrucherlegung der Form f α a + β b für alle B C mi α, β C. Dami folg, dass für alle BC min{ a, b } f α a β a b α b a a α a n+ β b n+ n. Dami folg nach dem Ideniässa für Poenreihen, dass für alle n N gil. Ferner gil für α und β: F n α a n+ β b n+ n β b n b

4 ERZEUGENDE FUNKTIONEN. Es gil α lim af lim a a a a b lim a b a a b a 5 und somi folg α a 5.. Es gil β lim bf lim b b b b 5 a b lim a a b b a und somi folg β b 5. Außerdem gil a + 5 und b 5. Somi folg insgesam die Formel von Moivre und Bine: Für alle n N gil F n α a n+ β b n+ α a a n β b b n n 5 n. Bemerungen:. Ineressan is bei dieser Formel für die Fibonacci-Zahlen, dass ur Berechnung der ganen Zahl F n mi n N die irraionale Zahl 5 benöig wird.. Eine alernaive Mehode ur Berechnung der Fibonacci-Zahlen is durch Fn Fn F n F n }{{} : A mi n N gegeben. Also gil Fn F n A n F F für alle n N. Dabei is die Marix A diagonalisierbar. Das heiß, es exisieren a, b R und a T GL R, so dass A T T gil. Dami folg b für alle n N. Fn F n T a n b n T F F Is eine reursive Formel für eine Zahlenfolge beann, so ann diese leich miels vollsändiger Induion bewiesen werden. Jedoch ann eine solche Formel schwerlich ohne analyische Hilfsmiel über die Funion, die über von der Folge ereuge Poenreihe definier is, gefunden werden... Definiion Sei K {R, C} und sei a n n N K N eine Folge. Dann heiß die Poenreihe fx : a n x n n

5 ERZEUGENDE FUNKTIONEN die ereugende Funion von der Folge a n n N. Die Sraegie is, aus den analyischen Eigenschafen einer ereugenden Funion f von einer Folge an n N K N Informaionen über die Folge u gewinnen. Im Allgemeinen is es nich möglich, eine expliie Formel ur Berechnung von a n für ein n N wie im Fall der Fibonacci-Folge vgl... u erhalen. Jedoch önnen häufig Informaionen über das asympoische Verhalen der Folgeglieder gewonnen werden. Im Fall der Fibonacci-Folge gil um Beispiel: für den Konvergenradius r der Poenreihe der ereugenden Funion f von F n n N : Sei r R { } der Konvergenradius der Poenreihe F n n. Nach der Formel von Cauchy und Hadamard gil dann r lim sup α a + n Fn lim sup β b n n Fn. Ferner is g : C\{a, b} C, mi a und b definier wie in.. holomorph und is somi auf Bs C mi s : min{ a, b } a > als Poenreihe darsellbar. Außerdem gil F n n g für alle B C nach obigen Rechnungen. Dami sind die Koeffiienen der n Poenreihe, die g auf Bs C darsell, nach dem Ideniässa für Poenreihen die Fibonacci- Zahlen. Also folg r a Somi exisier für alle ɛ R > ein n N, so dass 5 nach der Definiion des Konvergenradius einer Poenreihe. für alle n N mi n n gil. F n r + ɛ n 5 + n + ɛ Es sollen nun noch weiere Beispiele für ereugende Funionen berache werden:..3 Beispiel Sei m N und sei f : 6 Dann gil für alle C. Also folg n f n m 6m p n,m nm m 6 n p n,m n für alle C mi {p n,m m n 6m} geeigne. n 6 n,..., n m { n,..., n m 6 m n n m m n n } für alle n N mi m n 6m. Das heiß, für alle n N mi m n 6m is p n,m genau die Anahl der Möglicheien, bei m-maligen Würfeln als Summe der Augenahlen die Zahl n u erreichen. Es soll nun außerdem eine ewas uriose Anwendung dieser Idee berache werden: Es gil 6 n und dami n 6 n n Konvergenradius is der maximale Radius um den Enwiclungspun der Poenreihe, so dass die Reihe für alle Were aus dem Konvergenreis onvergier. 3

6 ERZEUGENDE FUNKTIONEN für alle C. Die Inerpreaion der leen Gleichung is dabei die Folgende: Zwei sechsseiige Würfel seien einmal mi den Zahlen, weimal, weimal 3 und 4 beschrife und einmal mi den Zahlen, 3, 4, 5, 6 und 8 beschrife. Dann is die Anahl der Möglicheien und dami die Wahrscheinlichei, mi diesen beiden Würfeln die Augensumme n mi n N u erielen, genauso groß wie bei einem Paar gewöhnlicher sechsseiiger Würfel, und war für jedes n N. Bemerungen:. Allgemein gil für wei Würfel mi den Augenahlen a,..., a 6 N bw. b,..., b 6 N, dass die ereugende Funion der Folge q n n N, wobei für alle n N q n die Anahl der Möglicheien, mi diesen beiden Würfeln die Augensumme n u erielen, sei, mi r R { } geeigne is. 6 f : Br C C, a..4 Beispiel Sei c n : {, l, m N 3 + l + 3m n} für alle n N und sei c :. Sei ferner f die ereugende Funion von c n n N und sei r der Konvergenradius der Poenreihe von f um. 3 Dann gil für alle C mi < min{r, }: c n n +l+3m +l+3m n n,l,m N +l+mn,l,m 6 b l 3m l 3 m m m Somi folg r. Durch Parialbrucherlegung und geeigneer Zusammenfassung der Terme mi einfachen Polen folg f für alle C mi < min{r, }. Wegen d d n d d und 3 d d für alle C mi < folg somi bw. c n wegen n+n+ + n+ 4 n d d n + n + + n + 4 n + n n + 5 n n + n n n + n n + c n n, falls n und 3 n, falls n und 3 n, falls n und 3 n sons n + n + n + n + n für alle n N, wobei x : min{y Z y x} und x : max{y Z y x} die obere bw. unere Gaußlammer für x R beeichnen. Für n N is c n die Anahl der Möglicheien, den Geldberag der Höhe n in Münen mi den Weren, und 3 u ereilen. 3 Da die Reihe n c n divergen is, gil r. 4

7 ERZEUGENDE FUNKTIONEN Bemerungen:. Werden allgemein n N Münen mi den Weren w,..., w n N berache, so wird anselle von f : B C C, 3 die Funion g : B C C, n w. Dann is g holomorph und somi exisier c m m N, so dass g die ereugende Funion dieser Folge is. Sei w. Es is dann im Allgemeinen hoffnungslos bw. ompliier, eine expliie Formel für die Folge c m m N durch Parialbrucherlegung u erlangen. Jedoch exisier eine Parialbrucherlegung. Seien,..., mi N die Nullsellen des Nenners, die möglicherweise omplex sind, so erhäl man eine Darsellung der folgenden Form: Für alle C\{w C n w w } gil g n β + m l β l l, wobei m die Vielfachhei der Nullselle im Nenner der Parialbrucherlegung für alle n m n also sei, und wobei β l C für alle und für alle l m sei. Dabei gil m < n für alle. Es gil nun für alle B C und für alle N d d! m m + l m. 3 Die Sraegie ur Berechnung der Folge c m m N is nun Folgende: Für alle m N ann c m wegen der Gleichungen und 3 in der Form c m wobei d m eine Summe von Thermen der Form mi, l, n is. l β m n n! m + l + d m, l β l l! m m + j mi, l m und Wegen,..., B C exisier eine Konsane A R >, so dass d m Am n für alle m N gil. Also folg, dass eine Konsane B R > und eine Folge e m m N C N exisier, so dass c m β n n! mn + e m mi e m Bm n für alle m N gil. Mi den Landausymbolen ann dies auch in der Form c m β n n! mn + Om n für m geschrieben werden. Ferner gil sowie lim w w n β n lim n g lim l j w für alle n nach L Hospial. Also gil β n n c m n w mn + Om n 5 w und somi folg

8 ERZEUGENDE FUNKTIONEN für m. Insbesondere folg dami für m. c m n w mn..5 Beispiel In diesem Beispiel soll folgende Frage beanwore werden: Frage: Exisier eine Zerlegung von N in disjune Teilmengen A und B, so dass für alle n N { a, a A a + a n, a a } { b, b B b + b n, b b } gil. Zur Klärung dieser Frage sei unächs einmal angenommen, dass A, B N mi obigen Eigenschafen exisieren. Dann gil: O.B.d.A. gele A. Dann gil B, da ansonsen in A einer Zerlegung der enhalen is, aber in B eine Zerlegung der wegen A B exisier. Ebenso folg B, 3 A, 4 B, 5, 6 A usw. Jedoch is unlar, wie diese Aufeilung weiergeh. Zur genaueren Unersuchung seien dau f : B C C, n A n und g : B C C, n B n. Dann sind f und g wohldefiniere, holomorphe Funionen, da die geomerische Reihe für beide Reihen ses eine loale Majorane is. Ferner gil für alle B C. Mi f + g n n c n : {a, a A a + a n, a a } für alle n N und mi A : {a N } mi a < a + für alle N folg dann für alle B C : Es gil f x a n x a +a n n,l N x a +a l a,a A x a+a und somi f f c n x n. Analog folg g g c n x n. Dies liefer f g n n f g f g f g f + g, das heiß, es gil f g f g. Induiv folg dami, dass für alle n N n f g f n+ g n+ 6

9 ERZEUGENDE FUNKTIONEN gil. Wegen < und wegen der Seigei von f und g gil lim fn+ f, da A gil, sowie lim gn+ g, da / B, B gil. Somi folg f g lim n. Ferner besi jedes n N eine eindeuige Darsellung dyadische Darsellung genann der Form n mn p n, mi p n,,..., p n,mn N paarweise verschieden und mi m n N, wobei der Beweis von dieser Aussage hier nich vollführ werden soll. Im Folgenden seien für n N die Zahlen p n,,..., p n,mn, m n vermöge der eben genannen Eigenschafen definier. 4 Ausmulipliieren liefer nun, dass n n+ m A n B n mi m :, mi A n : { n+ m } und mi B n : { n+ m } für alle n N gil. Sei A : { N m } und sei B : { N m }. Insgesam folg dann dami n n f g lim n n. n A n B A n B n n A n B Nach dem Ideniässa für Poenreihen folg nun A A und B B bw. A B und B A. Dami sind A und B wei wie in obiger Fragesellung gesuche Mengen. Ferner eigen die vorangegangenen Rechungen, dass dies bis auf Verauschung die einigen Mengen mi diesen Eigenschafen sind.. Exurs über unendliche Produe Moivaion In..5 wurde für eine Zahlenfolge p n n N KN mi K {R, C} der Grenwer n lim p berache. Es wäre somi naheliegend, in Analogie mi unendlichen Reihen unendliche Produe durch p : lim n p u definieren, falls dieser Grenwer exisier. Gil um Beispiel aber p n : für alle n N, so folg lim n p lim n lim. n+ Das Produ wäre, wobei jedoch einer der Faoren is. Daher wird wie folg vorgegangen: Sei im Folgenden ses p n n N KN mi K {R, C} eine Zahlenfolge. 4 Die Zahl m n für n N is die Anahl der Einsen in der Binärdarsellung von n. 7

10 ERZEUGENDE FUNKTIONEN.. Definiion Das unendliche Produ p heiß onvergen, falls ein N N exisier, so dass der Grenwer lim n N n N exisier und ungleich is. Im Fall der Konvergen sei p : N Bemerungen:. Für alle N mi N gil p. p p lim n N n p.. Es gil p genau dann, wenn ein p onvergen is und ein N mi p exisier. In Analogie u onvergenen Reihen gil:.. Lemma Is p onvergen, so gil lim p. Beweis: Analog um ensprechenden Beweis für onvergene Reihen. Bemerungen:. Die Umehrung gil im Allgemeinen nich, denn für die Folgen a N : N und b N : + N gil lim a lim b. Aber mi..4 und mi..5 folg, dass die unendlichen Produe dieser Folgen nich exisieren.. Wegen lim p im Konvergenfall des unendlichen Produes wird für alle N das Folgeglied p of in der Form p : + q geschrieben und das Produ + q sa berache...3 Definiion Ein unendliches Produ N + p heiß absolu onvergen, falls + p onvergier...4 Sa Sei + p absolu onvergen. Dann is + p onvergen. p Beweissie: Da + p onvergen is, exisier N N, so dass lim n N + p exisier und ungleich is. Dami gil für alle m, n N mi N < m < n n + p N m + p N,..., l X l p i i n + p N,..., l X m + p N l p i für eine gewisse Menge X von Muliindies. Die Behaupung folg nun aus dem Cauchyrierium. i 8

11 ERZEUGENDE FUNKTIONEN..5 Sa Das unendliches Produ + p onvergier genau dann absolu, wenn die Reihe p absolu onvergier. Beweis: O.B.d.A. gele p R für alle N. Ferner gele o.b.d.a. lim p, denn:. Is + p absolu onvergen, so gil lim + p nach.. und somi lim p nach den Limesrechenregeln.. Is p absolu onvergen, so gil lim p. Also exisier ein N N mi p für alle N. See c : ln 3. Dann gil für alle x [, ]. Dami folg für alle n N: c n p N cx ln + x x n n ln + p ln N N Dami folg die Behaupung aus dem Majoranenrierium. + p n p...6 Sa Absolu onvergene unendliche Produe onvergieren auch bei Umordnung der Faoren, und war gegen denselben Grenwer. Beweis: Analog um ensprechenden Beweis für Reihen. N 9

12 PARTITIONEN Pariionen. Grundlagen über Pariionen Für alle n, N N sei c N n die Anahl der Möglicheien, die Zahl n als Summe mi Summanden aus N u schreiben. Das heiß, es gil c N n { x,..., x N N N N x n } für alle n, N N. Ferner sei c N : für alle N N. In..4 wurde geeig, dass P 3 : B C C, 3 die ereugende Funion der Folge c 3 n n N is. Mi analoger Beweisführung folg, dass für alle N N N P N : B C C,. die ereugende Funion der Folge c N n n N is. Werden nun beliebige Summanden aus N ugelassen, so folg:.. Sa / Definiion Für alle n N sei ferner c N n die Anahl der Möglicheien, die Zahl n als Summe mi Summanden aus N u schreiben und sei c N :. Dann is P : B C C, die ereugende Funion der Folge c N n n N und P is eine nullsellenfreie, holomorphe Funion. Beweis: Für alle n N sei f n : B C C, n. Dann onvergier f absolu loal gleichmäßig und somi onvergier + f absolu loal gleichmäßig. 5 Dami folg:. Wegen für alle B C und für alle N onvergier Somi is P eine wohldefiniere Abbildung mi / ImF.. Da n für alle B C. + f n absolu loal gleichmäßig onvergier, onvergier das Produ gegen eine holomorphe Grenfunion, und war gegen P. Somi is P holomorph. Dami is P um in eine Poenreihe enwicelbar, wobei der Konvergenradius dieser Poenreihe is, da wegen c N n die Reihe c N n divergen is. Sei also a n n N eine Folge in C mi n P a n n für alle B C. Sei für alle n N die holomorphe Funion P n definier wie oben. Da n n + f n absolu loal gleichmäßig onvergier, und da für alle B C n und für alle n N gil, onvergier die Folge P N N N loal gleichmäßig gegen auch P. Daher folg für alle n N mi dem Sa von Weiersraß, dass a n P n n! lim N P n N lim n! N cn n lim N cn n c N n gil, da für alle N N die Folge c N n n N N onsan is. Somi is die Behaupung geeig. 5 Vergleiche Fischer, Funionenheorie, S.95.

13 PARTITIONEN.. Definiion Sei n N. Dann heißen n,..., n N mi N eine Pariion von n, falls n i i n sowie n n... n gil. Für alle n N sei pn die Anahl der Pariionen der Zahl n. Ferner heiß p : N N, n pn mi p : Pariionsfunion. Bemerungen:. Für n N gib pn die Anahl der Pariionen ohne Berücsichigung der Ordnung an, denn um Beispiel is durch die Gleichung nur eine Pariion der 5 gegeben.. In..4 wird geeig, dass pn exp π n 3 für n gil n Die obige Vorüberlegung liefer nun das folgende Lemma:..3 Lemma P is die ereugende Funion der Folge pn n N. Das heiß, es gil B C. Beweis: Wegen c N n c n n für alle n N folg die Behaupung sofor. { x,..., x n N n n n x n } n pn n für alle..4 Definiion Für n N beeichne p u n die Anahl der Pariionen von n in ungerade Summanden und p v n beeichne die Anahl der Pariionen von n in paarweise verschiedene Summanden. Ferner seien p u : : p v. Beispiele:. Es gil.b. p u 4, denn die einigen Pariionen von 4 in ungerade Summanden sind + 3 und Lemma Sei M N und seien a n die Anahl der Pariionen von n mi Summanden aus M und b n die Anahl der Pariionen von n mi paarweise verschiedenen Summanden aus M für alle n N. Seinen ferner a : : b. Dann gil: a. Die ereugende Funion der Folge a n n N is F : B C C, b. Die ereugende Funion der Folge b n n N is F : B C C, Beweissie: Sei N N und sei M N eine N-elemenige Menge. Dann gil für alle C. Dabei sei a m M + m a :. Es folg, dass A N m M a a A m M m M n m. + m. + m c n n für alle C gil, wobei für alle n N c n die Anahl der Pariionen mi paarweise verschiedenen Elemenen aus M sei. Dies gil analog auch, falls die Menge M unendlich is. Ferner ann Aussage a. wie in.. geeig werden. 6 Zur Definiion von siehe..5. n

14 PARTITIONEN Bemerungen:. Sei M : {n N n }. Dann gil somi für alle B C n n N p u n m M m. Es gil p v n n + n für alle B C. n N n...6 Sa Für alle n N gil p u n p v n. Beweis: Aufgrund der Bemerungen u Lemma..5 reich es u eigen, dass N + für alle B C gil, denn dann folg die Behaupung aus dem Ideniässa für Poenreihen.7 Sei ferner {, falls n δn :, falls n N für alle n N. Dami folg dann für alle B C, dass + n lim + < lim N lim n lim n n δ n lim lim n lim n δ lim N n gil. Für alle B C exisieren dabei alle uneigenlichen Produe bw. alle Grenwere wegen der absoluen Konvergen von n nach..5. Insbsondere sind dabei die Reihenfolgen der Mulipliaion irrelevan nach..6. n. Asympoisches Verhalen von pn n N In diesem Paragraphen soll das asympoische Verhalen der Folge pn n N genauer unersuch werden und eine Formel dafür gefunden werden. Dau wird nun mi den Vorbereiungen begonnen... Lemma Für alle x R mi x < gil Beweis: Sei x R. Für alle N gil ln P x x x. ln x ln x l+ l l 7 Vergleiche Vorlesung Analysis II. x l l x l l,

15 PARTITIONEN wobei die Reihe l x l l absolu onvergen is 8, sowie ferner l Somi onvergier l x l l x l l l x l l absolu. Es folg somi, dass lnp x ln x ln lim lim N N l Wegen x < gil dabei x x x x x. N ln x N lim N x l l x l.. Lemma Für alle x R mi < x < gil l l xl x l x l. N x lim ln N x l N x l l x l für alle l N und somi folg die Behaupung. ln P x π 6 x x. Beweis: Sei x R mi < x <. Nach der bernoullischen Ungleichung gil y y für alle y R und für alle N. 9 Dami gil für alle N und somi folg ln P x.. x x x x x x x x x x x x l π 6 x x. Mihilfe von.. folg eine Abschäung von pn für n N nach oben, die sich jedoch als schwächer als die asympoische Formel, die späer bewiesen wird, erweis...3 Sa Für alle n N gil pn exp π n. 3 Beweis: Sei n N. Mi..3 gil pnx n P x für alle x R mi < x < und somi folg P x lnpn ln x n ln P x + n ln ln x P x + n ln.. π 6 x x + n ln + x π x 6 x x + n x x 8 Für alle, l N gil xl l x l x l. 9 Bernoullische Ungleichung: Für alle y R und für alle N gil + y + y. + x x 4 3

16 PARTITIONEN für alle x R mi < x <. Um nun die gewünsche Abschäung für pn u erhalen, soll x, derar gewähl werden, dass die reche Seie der Gleichung 4 minimal wird. Sei dau g : R > R, y π 6 y + ny. Dann nimm g in y : π 6n sein Minimum an. Dami folg ln pn n gy π 3. Da die Exponenialfunion sreng monoon wachsend und bijeiv is, folg die Behaupung. Bemerungen:. Sei y n : π 6n und sei x n definier vermöge y n : xn und x n x n y n π 6n für. x n für alle n N. Dann gil lim x n. Mi ewas mehr Aufwand ann diese Abschäung nach oben von pn für n N verbesser werden und ferner ann auch eine Abschäung nach unen aufgesell werden. Um die genaue Asympoi von pn mi n N u besimmen, werden omplexe Kurveninegrale benu. Grundlegend is dabei das folgende Resula, das eine diree Folgerung aus der Inegralformel von Cauchy is...4 Lemma Sei a n n N C N und sei R R > { } der Konvergenradius der durch a n n N um definieren Poenreihe. Sei ferner f : BR C C, a n n. Dann gil n a n πi r f d n+ für alle n N mi r < R. Beweis: Siehe Vorlesung Analysis IV. Bemerungen:. Dabei sei für eine seige Abbildung g : U C mi Br C U C mi r R > das Inegral g d inerpreier als r g d g d r mi γ : [ π, π] C, re i. Das heiß, es gil Also folg r a n πi für alle n N mi r < R. g d r π π f d n+ π π gγγ d i π π γ π fre i r n e in d πr n gre i re i d. π π fre i e in. Die Reihe f a n n ann auch in der Form fre i a n r n e in geschrieben werden, n das heiß, die Reihe ann als Fourierreihe mi Forieroeffiienenfolge a n r n n N geschrieben werden. Mi anderen Woren: Die obige Formel ur Berechnung der Koeffiienen der Poenreihe is nichs anderes als die Formel ur Berechnung der Forieroeffiienen einer periodischen Funion. 4 n d

17 PARTITIONEN..5 Definiion Seien a n n N und b n n N Folgen in C\{} N. Dann werden die Folgen asympoisch gleich genann, a in falls lim n bn gil. In diesem Fall wird auch a n b n für n geschrieben...6 Definiion Seien f, g : U C\{} mi U C wei Funionen und sei außerdem U { }. Dann heißen f f f und g asympoisch gleich für, falls lim g exisier und falls lim g gil. In diesem Fall wird auch f g für geschrieben...7 Lemma Sirlingsche Formel Es gil n! n πn n e für n. Beweis: Für alle C gil e n n!, wobei der Konvergenradius dieser Poenreihe gleich is. n Dami folg mi..4 und der Bemerung dau, dass n! πi r e d n+ πi π π e rei re i n+ irei d π πr n expre i in d π für alle n N und für alle r R > gil. Im Folgenden wird es sich als sinnvoll erweisen, für alle n N ur Berechnung von n! für das Inegral r n u wählen. Sei T : C C, n Sei R der Konvergenradius dieser Poenreihe. Dann gil R n i lim sup n+3 sup n + 3! n N i n+3 n + 3! n. inf n n i n+3 n + 3! nach der Formel von Cauchy-Hadamard wegen lim n n+3!, und somi is der Konvergenradius gleich. Also is T holomorph und somi exisier ein δ, 5 4 R > mi T Bδ C BC T. 3 Das heiß, für alle Bδ C gil T T T + T < 3 + i 6 5. Ferner gil für alle R und somi e i + i + T 3 re i r + i + T 3 in r + r ni r + rt 3 5 für alle r R > nach Konsruion von T. Diese Gleichung leg nun nahe, für alle n N ur Berechnung von π n! das Inegral expne i in d u berachen. Dabei folg dann mi Vorherigem für alle n N, dass n! πn n en πn n πn n π π π π π expne i in d π πn n exp n n + nt 3 d π exp n + nt 3 d en πn n In + I n Siehe Gleichung 5 dau. Auf jedem Kompaum des Konvergenreises lieg gleichmäßige Konvergen vor. 5

18 PARTITIONEN mi I n δ : δ exp n + nt 3 d sowie mi I n :. Es gil mi a n :, 5 n I n δ δ für alle n N. Somi folg δ π exp a n + nt 3 d Subs. n n lim a n I n lim In exp n + nt 3 d gil. Es folg: a nδ a nδ e s + n 6n s T s 3 ds exp s ds Übungsserie nach dem Sa von Lebesque über majorisierende Konvergen, denn es gil für alle n N und für alle s a n δ, a n δ gil 6n T n s s 3 s und somi haben die Inegranen jeweils eine inegrierbare Majorane.. Für alle n N gil I n e n e n I n e n δ π π expne i in d e n π δ max δ π expnei in e n π δ max in δ π erenei e n cos δ, 5 4 π δ max en π δ e cosδ n δ π mi cosδ, und somi folg wegen lim x xe x Also gil lim Bemerungen: n lim π In π δ π cosδ lim cosδn. exp cosδn πn n e n n! und dami folg die Behaupung aus den Limesrechenregeln.. Sei n N. Analog um Beweis von..3 gil xn n! x! e x und somi n! expx n lnx für alle x R. Auch in diesem Fall soll nun die reche Seie dieser Ungleichung minimier werden. Wegen d dy y n lny n yx y für alle x R folg, dass das Minimum in x : n angenommen wird. Dami folg n! en n und somi gil n! n n. n e Exurs ur Saelpunmehode Sei R R > { } und sei f : BR C C eine holomorphe Funion. Sei ferner r < R und sei n N. Bei der Berechnung des Inegrales πi r f d n+ πr n π π fre i e in is es of sinnvoll, r als riischen Pun der Funion h : BR C f \{} C, u wählen, n sofern dies möglich is. Das heiß, r wird derar gewähl, dass h r gil. Dann is r ein Saelpun der Funion h. Im Beweis von..7 wurde diese Mehode für f exp durchgeführ und heiß Saelpunmehode. Es exisiere nun eine holomorphe Funion g : BR C C, so dass f eg für alle BR C d 6

19 PARTITIONEN gil. Ferner exisiere r < R, so dass h r für die oben definiere Funion h gil. Es folg dann, dass h r rn g re gr nr n e gr r n e gr egr r n g r n r g r r n n r n+ gil. Also gil g r n r. Sei nun ɛ R > derar gewähl, dass Bɛ C r BR C gil. Da e i i! : + i + S für alle R gil, gil dann gre i g r re i r! gr + g r re i r + g r gr + n r r i + S + r g r gr + ni n + r g r + U re i r g r + re i r! 3 }{{} : T i + S + T für alle [ π, π] mi re i B C ɛ r, wobei U geeignee auf B C ɛ r definiere holomorphe Funion sei. Dami folg wobei πi πr n r π π π egr πr n π π π f d n+ πr n π π fre i e in d πr n exp gr + ni n + r g r + U in d exp n + r g r + U d, π π exp gre i in d exp n + r g r + U π d n + r g r gil, falls der e U -Term gu abgeschä werden ann. Noaionen Es seien D : B C { C < } sowie H : { C Re > }. Außerdem sei Log : C\R {w C Im π, π}, ln + i arg, das heiß, Log is also derjenige Haupweig des omplexen Logarihmus mi Log R> ln. Um die Asympoi von pn besser besimmen u önnen, muss P genauer als bisher vergleiche n N.. abgeschä werden. Dau sei unächs bemer, dass sich Lemma.. wie folg verallgemeinern läss: 7

20 PARTITIONEN..8 Lemma Für alle D\P R gil Beweis: Für alle ɛ R > gil die Reihe LogP ɛ ɛ. für alle B C ɛ und für alle N, und ɛ ɛ onvergier für alle ɛ R > nach Lemma.. absolu.dami onvergier die Folge S N N N mi S N : D C, N Funion S : D C, für alle N N loal gleichmäßig auf D gegen die. Da S N für alle N N holomorph is, is somi S nach dem Sa von Weiersraß holomorph. Dami folg mi.. und mi Log R> ln die Behaupung nach dem Ideniässa. Es soll nun das Verhalen von P für unersuch werden. Wegen e w e Rew für alle w C is die Abbildung T : H D\, ], w e w wohldefinier und holomorph, die ferner surjeiv is. Dann gil nach Lemma..8 LogP e w e w e w e w für alle w H mi P e w / R. Da P, R > gil, und da P holomorph is, exisier U D offen, so dass, U und P U C\P R gil. Somi exisier V H offen mi V, so dass P e w / R für alle w V gil. Dami ensprich die Berachung von P mi in U einer Berachung von P e mi w in V. Erinnerung Sei δ R > und sei N N. Sei ferner g : U C eine holomorphe Funion, wobei U H ein Gebie mi, Nδ U sei. Dann is N gδ N δ gδ δ δ N gδ δ eine riemannsche Summe für das Inegral Nδ g d. Die Idee is nun, eine geeignee Funion g : H C u finden, so dass das uneigenliche Inegral g d exisier, und so dass für alle w H mi P e w / R die Summe e w durch dieses Inegral in Abhängigei von w gu approximier werden ann. Jedoch ann g nich einfach vermöge g exp für alle H gewähl werden, da die Folge n g d divergen is. Das n N ensprich auch der Tasache, dass P für erware werden ann. Dami wird wie folg verfahren: Idee: Sei g : H C, exp. Sei dann h : H g h C derar gewähl, dass d onvergier, und dass hw Es gil g e + O für, denn: Sei für alle w H mi P e w / R berechne werden ann. f : C C, { e, falls sons 8.

21 PARTITIONEN Dabei is wegen lim f eine hebbare Singulariä von f mi lim f nach C\{} L Hospial. Dami sind f und ˆf : f holomorph. Nach der Inegralsa von Cauchy gil somi ˆf ˆf + ˆf + ˆf! + O für. Also gil wegen lim e g ˆf + O e + O für. Dies leg nahe, die Funion h folgender Maßen u wählen: Sei Dann gil: a. Das uneigenliche Inegral b. Wegen Log + + h : H C, w w e w. g h d exisier nach Lemma..9. für alle D folg Log e w + e w e w für alle w H. Dami gil für alle w H. w π 6 + Log e w Dami folg für alle w H mi P e w / R, dass w e w hw LogP e w e w e w w + e w e w hw + hw + π 6w + Log e w 6 gil...9 Lemma Es gil Beweis: Sei e + e d ln π lnπ. S : R > R, e + e. Es wurde bereis im Vorherigen geeig, dass g e + O für gil. Also exisieren ɛ, K R >, so dass e + g h e K 9

22 PARTITIONEN für alle, ɛ] gil. Somi die seige Funion S nach dem Sa über majorisierende Konvergen inegrierbar, wobei wegen der Seigei I : S d S d gil. Sei ferner R > S n : R > R, e n e + e für alle n N. Dann exisier S n d für alle n N analog u oben nach dem Sa über majorisierende Konvergen. Insbesondere liefer der Sa über majorisierende Konvergen mi und I für alle n N. 3 Dami folg: lim S n d lim A n : e n B n :. Für alle R > und für alle n N gil e n e und somi e n e n n n e e e S n d lim An + B n e d e n e d e e n e n e e e n e n n e e Also gil wegen + e e > für alle R > A n n parieller Inegraion gil ferner + e für alle R >. Dami folg A n + n + n n [ xe x ] e x e xe x d dx ln n + n n n e n + e e dx e n e e + e. e d für alle n N. Miels xe x dx x + x dx ln ln n n n ln + ln n + n lnn ln n + n lnn n ln n + n lnn lnn! 3 Exisen der Inegral ann analog u oben bewiesen werden.

23 PARTITIONEN mi dem Sa von Fubini für alle n N.. Desweieren gil e n e für alle R > und somi folg mi Fubini e e n+ n+ e x dx B n n+ e x d dx n+ lnn + dx x Insgesam folg mi der sirlingschen Formel siehe..7 und mi der Seigei von ln somi n n n + I lim An + B n lim ln e n lim n! ln nn n n + + lim n! e ln n lim ln nn n n + + lim n! e ln nn n n + ln lim + ln lim n n! e n ln + ln ln π π mi den Limesrechenregeln... Lemma Für alle α, π exisier M α R >, so dass e w w + e w für alle w D mi argw α gil. Beweis: Siehe S.. e + e d M α w Sei im Folgenden M α mi α, π ses mi den Eigenschafen aus dem vorherigen Lemma gewähl. Zum Beweis von Lemma.. wird das folgende Lemma benöig:.. Lemma Sei f : [, C seig differenierbar. Seien ferner N N und δ R >. Dann gil Nδ fd δ N fδ δ Nδ f d. Beweis: Siehe Übungsserie 5, Aufgabe. Bemerungen:. Es gil sogar die Behaupung für N mi nδ dann, falls die uneigenlichen Inegrale exisieren. Beweisidee von Lemma..: Sei α, π und sei für alle v BC die differenierbare Abbildung f v : [, C definier vermöge f v : e v v + e v d

24 PARTITIONEN für alle [,. Dann exisier nach..9 das uneigenliche Inegral f d und mi der Subsiuionsregel folg für alle v B C, dass gil. Ferner ann geeig werden, dass M α R > mi f v d f d f v d für alle v B C exisier, und dass ferner ein f v d M α für alle v B C mi argv α exisier. Dami liefer.. usammen mi der daugehörigen Bemerung, dass e w w + e w e w v w v + e w v f v d w f v w w mi v : e iargw für alle w D mi argw α gil. e + e f d f v d M α w Für alle α, π sei im Folgenden M α R > gewähl nach... Mi 6 und mi..9 gil dann LogP e w π 6w + Log e w lnπ + R w 7 für alle w U : {w D H P e w / R }, 4 wobei R : U C, w e w w + e w d e + e d 8 sei. 5 Dann folg also für alle α, π, dass R w M α w für alle w U mi argw α gil. Es soll nun unersuch werden, wie für α, π die Bedingung argw α für w U als eine Bedingung für e w ausgedrüc werden ann, dami?? in eine ensprechende Gleichung für LogP umgeschrieben werden ann. Für alle α, π und für alle w U gil w Rew + Imw Rew + anargw Rew Rew + anargw Rew cosargw und somi gil wegen argw π, π die folgenden Äquivalen: argw α cosargw cosα w Rew cosα Ferner gil e w w und e w Rew für w in H. Also gil e w e w w Rew 4 Da P holomorph mi P, H is, exisier ein ɛ R >, so dass B C ɛ H U gil. 5 Dabei is U C offen, da P holomorph is. w Rew cosα.

25 PARTITIONEN für w in H. Sei nun S β : { D β, } P R 9 für alle β R >. Dann gil für alle β R >, r [, und für alle [ π, π]: re i S β rei β r β r re i r cos + r cos + r β r r Also gil insbesondere S β für alle β R. Insgesam folg nun: β r. } r {{} >.. Lemma Für alle β R exisieren außerdem δ R > und α, π, so dass für alle S β Bδ C Folgendes gil: a. Es exisier w U mi e w. b. Für alle w U mi e w gil Beweis: Hier nich. Sei und sei w Rew cosα. T : D\R H, Log R : T U\P R C, R T. Dann gil für alle β R > mi α und δ gewähl mi obigen Eigenschafen: a. Sei S β B C δ und sei w H D mi e w. Dann folg wegen w Rew obigen Rechnungen, dass argw α und somi R R w M α w gil. cosα nach b. Da S β \B C δ { S β δ} ompa is, 6 is die holomorphe Funion R auf dieser Menge beschrän. Ferner ann nun Gleichung 7 für alle DR in der folgenden Form geschrieben werden: LogP π 6Log + Log ln π + R. n 3 4 3n Die resliche Vorgehensweise um Bewei, dass pn exp π Folgenden lediglich siier: für n gil, wird im Beweissie Es gil w Log Log + und somi folg w + O für. Die Abschäung R w M α w überse sich in R M. Also gil LogP π 6Log + Log ln π + R mi R M für alle S β und für alle β R. Da e x x + Ox für x gil, folg expr K β für alle S β mi K β R > für alle β R. Sei nun η : expr. Es folg: 6 Da P R P R < gil, is S β abgeschlossen als Schni von abgeschlossenen Mengen und ferner is S β auch beschrän. Somi is S β nach Heine-Borell ompa. 3

26 PARTITIONEN..3 Lemma Für alle β R exisier K β R >, so dass P exp π + η 6Log für alle S β gil. Dabei gil η K β für alle S β. Für alle n R und für alle r, gil pn πi See nun r n : exp β R, für alle n N und für alle θ [ π, π]: r P d. n+ π 6n für alle n N. Dann gil rn r n e iθ S β θ θ n β : arccos β r n. r n π 6n für n. Ferner gil für alle Ferner gil arccos x x + x Es folg, dass β θ n β r n + O r n 3! πβ + On.5 r n 6n β für alle β R und für alle n N gil. Sei γ β : 6 für alle β R. Sei π G : C\R C, exp π 6Log und für alle n N sowie für alle β R seien p β G n : d πi n+ p β 3 n : πi Dami gil pn rn arg θnβ rn θnβ arg 3 für alle n N. Es folg: G d n+ p β n : πi rn arg θnβ p β für alle n N und für alle β R. Außerdem sei exp qn : 4 3n n 3 F G n+ d..4 Sa Es gil pn qn für n. Beweisidee: Bei geschicer Wahl von β R p β n, pβ 3 n o qn für n gil. ann geweig werden, dass p β n qn und 4

27 3 Primahlen 3. Der Primahlensa und sein Beweis Noaion Mi P sei die Menge der Primahlen beeichne. 3.. Sa Es gil P. Beweis: Angenommen es gil P <. Dann exisier ein N N mi P : {p N }. Sei m : N p +. Dann gil p m für alle N und somi folg m P. Ferner gil m p für alle N. Also gil P. Im Folgenden sei P : {p N} mi p < p + für alle N. Ferner wird des Öferen bei Summaionen der Zusa p P ausgelassen, wobei die Variable p ausschließlich für Primahlen verwende wird. 3.. Definiion Für alle x R sei πx : P [, x] Sa Primahlensa Es gil πx x lnx für x. Beweis: Siehe Seie 38. Dieses Ergebnis wurde bereis um 8 von Gauß und anderen Mahemaiern vermue und 896 von Hadamard und de la Vallée-Poussin unabhängig voneinander mi Mehoden der omplexen Analysis bewiesen. Der Primahlsa soll auch nun bewiesen werden, wobei aber auf diverse, von verschiedenen Mahemaiern gefundene Vereinfachungen des ursprünglichen Beweises urücgegriffen werden ann. Zunächs sollen einige elemenare Abschäungen aufgesell werden. Dau is es sinnvoll, für x R > neben πx auch den folgenden Wer u berachen: 3..4 Definiion Für alle x R sei θx : p x Bemerungen:. Für alle x R gil offensichlich θx p x lnp R. 7 lnp p x lnx lnx πx lnx und somi θx lnx πx. Späer liefer Gleichung 5 mi ɛ, dass πx + o θx lnx für x gil Lemma Es gil πx θx lnx für x. Beweis: Siehe Seie 9. 7 Dabei gil θx lnp für alle x [,. p p x 5

28 Erinnerung ur Definiion der Landau-Symbole Sei a R und seinen f, g : a, R wei Funionen. a. Es gil fx ogx für x, falls für alle ɛ R > ein R R >a exisier, so dass fx ɛ gx für alle x R, gil. Falls / Img b, für ein b R >a gil, so is dies fx äquivalen u x lim gx. x>b b. Es gil fx Ogx für x, falls Konsanen K R > und R R >a exisieren, so dass fx K gx für alle x R, gil. Falls / Img für ein b R >a gil, so is dies b, äquivalen u lim sup fx x gx <. x>b Analog werden die Landau-Symbole für Grenübergänge für x x R definier Lemma Sei f : R > R, x p x lnp p. Dann gil fx lnx + O für x. Außerdem exisieren a, b R >, so dass für alle x R gil. Beweis: Siehe unen. ax θx bx Bevor diese beiden Aussagen bewiesen werden, soll eine Folgerung aus den beiden vorherigen Lemmaa bewiesen werden: 3..7 Korollar Es exisieren c, d R >, so dass c x lnx πx d x lnx für alle x R gil. Beweis: Wegen πx θx für x gil lim lnxπx θx lnx. Also exisier δ R >, so dass x θx lnxπx < für alle x δ, gil. Dami gil für alle x δ, mi a, b R > nach 3..5 gewähl: a x lnx θx lnx πx 3 θx lnx 3b x lnx. Ferner is die Abbildung f : [, δ ] R >, x x lnx seig und somi exisieren M : und M : min fx. Dami folg für alle x [, x [,δ ] δ ]: x M lnx π πx π δ + π δ + x M lnx. Dann erfüllen c : min{ M, a 3b } und d : max{, π δ + M } die Behaupung. Beweis von Lemma 3..6: Der Beweis des ersen Teils der Behaupung erfolg in vier Schrien, und war: a. Sei n N und sei ep : max{ N p n!} für alle p P. Dann gil n! p n max fx x [,δ ] p ep Primfaorerlegung 8. Ferner gil {m n p m} n p für alle N, denn für alle N gil 8 Da n! n gil, sind alle Primahlen in der Faorisierung von n! leiner oder gleich n, denn jede dieser Primahlen muss einen Faor aus dem Produ n eilen. 6

29 {m n p m} [, n p ] N p. Also gil ep {m n p m} n p für alle p P mi p n!, wobei die Summe wegen n p für alle p P und für alle N mi p > n endlich is. Wegen der Endlichei der Summe folg dami lnn! ln Dabei gil für alle p P mi p n: Es folg daher p ep ep lnp p n p n p n n lnp + n p p lnp. p n p n n p p n für n, denn: Für alle N > gil < dass für alle dann ln folg wegen p P die Konvergen von lnp pp. Somi folg die Behaupung nach Definiion des Landausymbols O. n p n p n p lnp p n lnp pp p P p n p p n lnp pp n p P lnx. Da lim x x < gil. Da die Reihe ln n p lnp n pp. lnp pp On, α ln, exisier ein N, so für alle α R > onvergier.,5 < Ferner gil nach der sirlingschen Formel vergleiche..7 lnn! ln + o n n πn e n ln n lnπn + + o n lnn n + lnn + O e n lnn + On. für n. Insgesam gil also für n wegen p n b. Mi Gleichung n p p n p n n lnp n lnn + On p n p lnp R > für alle n N. n lnp p p n n p lnp p n n lnn + On n lnn + On 4n lnn + On On. 7 n lnp p

30 für n. Ferner gil x x {, x < x + sons für alle x R > und somi insbesondere x x für alle x [,. Also gil n n p p für alle n N und für alle p P n, n] wegen p n. Dies liefer dann n p n p lnp lnp θn θn p n für alle n N. Dami gil insgesam für n. p n,n] θn θn On. c. Für alle x R gil P x, x wegen N x, x { x + }. Somi folg, dass θx θ x lnp lnx ln + lnx + lnx Ox für x sowie x < p x θx θ x lnx Ox. für x gil. Dami folg mi Gleichung, dass θx θx θ x + θ x + Ox Ox für x gil. Also exisieren ɛ, K R >, so dass für alle x R ɛ dann θx θx Kx gil, da θ monoon seigen is. Wegen θ,ɛ θɛ und wegen Imθ R exisier somi R > mi θx θx Kx für alle x R >. Dami folg für alle x R > und somi induiv θx θx θ x + θ x Kx + θ x θ x + θ x Kx + Kx + θ x n θx Kx + θ n x Kx + θ n x Kx + θ n x x für alle n N. Für alle x R > sei nun x N mi x < minimal gewähl. Dann folg wegen θx für alle x, dami θx Ox 3 für x. d. Mi Gleichung folg nun nfn n p n lnp p p n θn + n lnn + On n lnn + On n + lnp θn + n lnp p p p n für alle n. Da wischen wei naürlichen Zahlen eine Primahl lieg, gil fx fn für alle x [n, n + für alle n N gil, und somi folg der erse Teil der Behaupung. 8

31 Es verbleib, die Exisen einer oberen und uneren Schrane für θx für alle x R u eigen. Mi Gleichung 3 und mi der Monoonie von θ folg die Exisen der oberen Schrane für θ R. Ferner exisier auch die unere Schrane, denn es gil: Da fx lnx + O für x gil, exisieren Konsanen K, R R >, so dass fx lnx K für alle x R, gil. Dami folg für alle α, und für alle x R > mi x > R α > R, dass fx fαx lnα fx fαx lnx lnαx fx lnx fαx + lnαx fx lnx + fαx + lnαx 4 K gil. Sei nun α, derar gewähl, dass lnα K > gil, und sei Dann folg mi Gleichung 4, dass für alle x R >α R gil. Andererseis gil f α : R > R, x fx fαx. f α x lnα K, lnα + K R > f α x αx <p x lnp p αx αx <p x lnp θx αx für alle x R. Somi folg αx θx für alle x R >α R und mi der Beschränhei von θ auf, α R] folg insgesam die Behaupung. Beweis von Lemma 3..5: Es gil θx lnp lnx lnx πx lnx p x p x p x und somi Es gil πx lnx θx für alle x R. Ferner gil für alle ɛ R > : θx x ɛ < p x lnp x ɛ < p x ɛ lnx πx πx ɛ lnx ɛ ɛ x ɛ < p x lnx für alle x R >. Sei a R > gewähl nach Lemma Dann folg für alle x R > πx ɛ θx lnx + πx ɛ ɛ θx lnx + x ɛ ɛ θx lnx + x ɛ ɛ θx lnx + a θx x ɛ und somi Wegen lim y y ɛ lny gil somi πx lnx θx ɛ + lnx a x ɛ. πx lnx θx + ɛ, 5 ɛ falls x R > groß genug is. Dami gil für alle ɛ R > : 9

32 y y Wegen lim y y so dass exisier δ R > mi δ δ δ < ɛ. Dann exisier nach Obigen ein x R, πx lnx θx für alle x R >x gil. Dann gil für alle x R >x : πx lnx θx πx lnx θx δ + δ δ δ + δ δ δ < ɛ. πx lnx Also folg lim x θx und somi gil πx θx lnx für x. Ein wesenliches Hilfsmiel bei der Unersuchung der Primahlen und insbesondere auch beim Beweis des Primahlensaes is die im Folgenden definiere riemannsche Zeafunion. Zunächs jedoch eine Erinnerung: Erinnerung Für alle a R > und für alle C sei a : explna. Die Funion f a : C C, a is für alle a R > gan. Ferner gil für alle a R > und für alle C: a exp lna Re exp i lna Im a Re. Noaion Für alle R > sei H : { C Re > } Definiion / Sa Die Funion ζ : H C, n Beweis: Sei ζ N : H C, N n n n heiß riemannsche Zeafunion und is holomorph. für alle N N. Dann is ζ N N N eine Folge holomorpher Funionen. Dabei gil für alle ɛ R > : Es gil n n Re n +ɛ für alle H +ɛ und für alle n N. Dami folg für alle H +ɛ und für alle N N: ζ N ζ Da + ɛ > gil, onvergier gegen ζ H+ɛ. Wegen H n N H + n n n +ɛ nn+ n +ɛ nn+ n +ɛ. absolu und somi onvergier ζ N H+ɛ N N gleichmäßig folg nach dem Sa von Weiersraß, dass ζ holomorph is Sa Sei η : H C, ζ. Dann besi η eine holomorphe Forseung auf H. Beweis: Es gil für alle H : Wegen Re > gil lim n lim n Re und daher gil n [ x ] n x dx + n n + n. + n 3

33 für alle n N. Also gil x dx und somi folg η ζ n n x dx n n+ n n x dx n n+ n n x dx. Da f : C\{} C, für alle C holomorph is, gil außerdem n x x n d d s x ds x n max [n,x] Re n + d x n x n n Re+ d x n max + [n,x] + n Re+ für alle n N, für alle x [n, n + ] und für alle H und somi folg, dass n+ n n d n Re+ n +ɛ für alle H +ɛ und für alle ɛ R > gil. Dami onvergier die Folge η N N N mi η N : H C, N n n+ n n x dx für alle N N loal gleichmäßig auf H gegen eine Funion η : H C mi η H η. Da η N für alle N N holomorph is, is auch η nach dem Sa von Weiersraß holomorph. Bemerungen:. Tasächlich is η auf gan C holomorph forsebar vergleiche Mi der voherigen Bemerung is ζ holomorph auf H \{} forsebar und besi wegen lim einen einfachen Pol in. ζ lim η + lim η + Konvenion Sei G C ein Gebie und sei f : G C eine holomorph. Sei ferner H C ein Gebie mi G H, so dass f nach H holomorph forsebar is. Dann sei die holomorphe Forseung von f nach H wieder mi f beeichne. Dieser Konvenion folgend sei nun im Folgenden mi ζ die ensprechende holomorphe Forseung der in 3..8 definieren Funion ζ auf H \{} gemein. Der Zusammenhang wischen der riemannschen Zeafunion ζ und den Primahlen wird durch folgenden Sa deulich: 3.. Sa Für alle H gil ζ p P p. Beweis: Es gil für alle H : Wegen Re > onvergier p absolu, da n n eine absolu onvergene Majorane is. Dami is p ebenfalls absolu onvergen nach..5 und somi onvergen nach..4. das 3

34 uneigenliche Produ. Dabei is die Reihenfolge der Mulipliaion bei der Berechnung p p P von wegen p p p und wegen der absoluen Konvergen des p P p P rechen unendlichen Produes irrelevan. Sei M N : {n N N α,..., α N N N N p α n} für alle N N. 9 Dann gil p n n M N für alle N N und für alle H, denn per Induion folg für alle H : IA: Es gil n p n n mi der Cauchy-Produformel, wobei m p m n n m p m pn m { p p n m m n, n N } { p p l, l N } { n n M } gil. Dami folg mi der absoluen Konvergen der Reihe n m p m pn m die Behaupung für N, da die Reihenfolge der Summaion ohne Änderung des Reihenweres verausch werden ann. IS: Der Induionsschri erfolg analog ur Beweisführung beim Induionsanfang. Da p für alle p P und für alle H gil, folg somi für alle H. N lim p N 3.. Korollar Für alle H gil ζ. Beweis: Folg sofor mi 3.., da p p lim N n n M N n N, n ζ für alle p P und für alle H gil. Eines der berühmesen ungelösen Probleme der Mahemai is das Folgende: Riemannsche Vermuung Für alle H mi ζ gil Re. Dabei heiß G : R C, + i die riische Gerade. Dami besag die obige Vermuung, dass { H ζ } G gil. Ein Beweis der riemannschen Vermuung würde sehr gue Abschäungen des Fehlerverhalens im Primahlensa liefern. Genauer: Das Resglied würde πx x d + Rx ln 9 M N is also die Menge aller naürlichen Zahlen, für deren Primfaorerlegung nur Primahlen aus {p,..., p n} benöig werden. 3

35 mi Rx x +ɛ für x und für ɛ erfüllen vergleiche dau Abschni 3.. Für den Beweis des Primahlensa in dessen hier angegebener Form reich jedoch eine schwächere Aussage: 3.. Sa Für alle C mi Re gil ζ. Beweis: Siehe S. 36. Für den Beweis dieses Saes wie auch im weieren Beweis des Primahlensaes is es günsig, eine weiere Funionen u berachen, die an die in Lemma 3..6 berachee Summe erinner: 3..3 Definiion / Sa Sei φ : H C, onvergier. p P Beweis: Sei φ N : H C, N lnp p. Dann is φ holomorph, wobei die Reihe loal gleichmäßig auf H n Funionen. Dabei gil für alle ɛ R > : Wegen lim x lnx x α gil. Dami gil lnp p für alle N N. Dann is φ N N N eine Folge holomorpher für alle α R > exisier ein N, so dass lnp p ɛ für alle N mi lnp lnp p p Re für alle N mi und für alle H +ɛ Analog u 3..8 folg dami die Behaupung. Erinnerung Sei G C ein Gebie und sei f n lnp p +ɛ p + ɛ n N eine Folge holomorpher Funionen von G nach C. Falls f n n absolu loal gleichmäßig onvergier, so heiß + f n absolu loal gleichmäßig onvergen. In diesem Fall is f : G C, + f n eine wohldefiniere holomorphe Funion. n n 3..4 Lemma Für alle H gil ζ ζ φ + lnp p p, p P wobei die reche Reihe sogar loal gleichmäßig auf H onvergier. Beweis: Zuers sollen wei für den Beweis der Behaupung nowendige Hilfsaussagen bewiesen werden: Hilfsaussage: Sei G C ein Gebie und sei f n eine Folge holomorpher, nullsellenfreier n N Funionen von G nach C. Sei ferner F n : n f für alle n N sowie sei F : f. Dann gil: a. Für alle n N gil F n F n n f f. b. Konvergier das unendliche Produ f absolu loal gleichmäßig, so gil F F Beweis: a. Die erse Aussage folg sofor aus der Quoienenregel miels vollsändiger Induion über n N. Vergleiche Fischer, Funionenheorie, S.95 und S.96. f f. 33

36 b. Da f absolu loal gleichmäßig onvergier, is F nach obiger Erinnerung holomorph und Fn n N onvergier loal gleichmäßig gegen F. Dami onvergier F n loal gleichmäßig n N gegen F nach dem Sa von Weiersraß. Dami folg F F n n f lim lim F F n f für alle G mi den Limesrechenregeln und der erse Aussage. Sei f : H C, p für alle N. Dann gil für alle ɛ R > : Für alle H +ɛ und für alle N gil f p Re Also onvergier f absolu gleichmäßig auf H +ɛ. p +ɛ. f f Dami onvergier nach obiger Erinnerung f absolu loal gleichmäßig und mi Sa 3.. sowie mi der obigen Hilfsaussage gil für alle H ζ ζ ζ ζ f f lnp p p lnp p und somi dann ζ ζ φ lnp p p lnp p p. Außerdem gil für alle ɛ R > und für alle H +ɛ: lnx Wegen lim x x für alle α R α > exisier ein N, so dass lnp p ɛ für alle N mi gil. Da lim n ɛ gil, gele o.b.d.a. < p ɛ für alle N mi. Dami gil insbesondere p ɛ < für alle N mi. Somi gil für alle N mi und somi p +ɛ > p + ɛ > p + ɛ + lnp lnp p p p Re p lnp p Re p Re lnp p +ɛ p +ɛ < p ɛ p + ɛ p + ɛ p +. ɛ Dami onvergier die Folge f n n N mi f n : H gleichmäßig gegen die Funion f n : H die Reihe lnp p p für alle H C, Reihe gegen denselben Wer, das heiß, für alle H C, n lnp p p für alle n N loal lnp p p für alle n N. Ferner onvergier absolu und dami onvergier auch jede Umorndnung dieser gil lnp p p p P lnp p p. 34

37 Nach 3..9 besi η : H C, ζ eine holomorphe Forseung auf H und somi is die riemannsche Zeafunion ζ meromorph auf H derar forsebar, dass die Forseung einen einfachen Pol in besi, und dass ζ holomorph is. Dabei gil ferner lim ζ. H \{} Dami is die Funion { ζ, falls H \{} g : H C, sons nach dem riemannschen Hebbareissa holomorph, da diese Funion seig in is. Dami folg ζ ζ ζ ζ g ζ ζ + g g für alle H \ζ {}, wobei nach 3.. H H \ζ {} gil. Ferner gil mi 3..4 φ ζ ζ p P lnp p p g g p P lnp p p 6 für alle H. Dami folg: 3..5 Lemma Für alle C mi Re gil ζ genau dann, wenn die holomorphe Funionen f : H C, φ eine holomorphe Forseung auf ein Gebie G C mi H G besi. Beweis: Sei die Funion g definier wie oben. Es gele ζ für alle C mi Re. Sei G : H \ζ {}. Dann gil H G nach Impliaionsannahme und mi 3... Sei ferner g definier wie auf der vorherigen Seie und sei h : G C, g g. Dann is h eine wohldefiniere, holomorphe Funion. Nach 3..4 is außerdem die Funion S : H C, p P lnp p p holomorph. Mi Gleichung 6 folg dann, dass f auf G H holomorph forsebar is. Sei G C ein Gebie mi H G derar, dass f : H C, φ G forsebar is. Da S : H C, lnp p p p P holomorph auf eine holomorphe Funion is, gil für alle C mi Re mi Gleichung 6, dass g lim g lim S f lim S lim f C gil. Also gil ζ für alle C mi Re. Es soll nun der Beweis von 3.. nachgeragen werden: 35

38 Beweis von Sa 3..: Angenommen es exisier ein C mi Re, so dass ζ gil. Da ζ in einen einfachen Pol besi, gil. Somi exisier ein α R\{} mi α Im. Da nach 3.. ζ eine Nullsellen besi, die in H liegen, is eine Nullselle endlicher Ordnung von ζ. Somi exisieren m N, eine Umgebung U von in H \{} sowie eine holomorphe Funion f : U C mi f, so dass ζ f für alle U gil, denn: Wegen exisier ein r R >, so dass B C r H \{} gil. Sei U : B C r H \{}. Dann is ζ U holomorph und es exisier eine Folge a n n N C N, so dass ζ a n n n für alle U gil. Da die Nullselle Ordnung m ha, gil a n für alle n m und a m. Sei nun f : U C, a n n m. nm Dann ha diese Poenreihe nach Cauchy-Hadamard denselben Konvergenradius wie die Poenreihe a n n, das heiß, der Konvergenradius der Poenreihe a n n m is größer n bw. gleich r. Da Poenreihen auf jeden Kompaum ihres Konvergenreises gleichmäßig onvergieren, is f nach dem Sa von Weiersraß holomorph, wobei wegen a m offenbar f gil. Ferner gil ζ f für alle U nach Konsruion von f. Dann gil mi der Keenregel für alle U\{ } und somi folg ζ ζ m + f f nm lim ζ m + lim f m ζ f nach den Limesrechenregeln. Außerdem gil ζx R für alle x R > und dami gil ζ ζ für alle H \{} nach dem Ideniässa. Also is auch eine Nullselle von ζ der Ordnung m. Dami gil analog u oben. Sei ferner S : H lim ζ m ζ C, p P lnp p p. Dann is S nach 3..4 holomorph und somi is φ nach 3..4 holomorph auf G : H \{} forsebar. Da G gil, folg mi 3..4 lim φ lim ζ ζ + S m und analog lim φ m. Vergleiche Fischer, Funionalanalysis, S

39 Also gil insbesondere wegen lim ɛ ɛ lim ɛ ɛ ɛ φ + iα + ɛ lim ɛ ɛ iα + ɛ φ + iα + ɛ lim ɛ ɛ + iα + ɛ φ + iα + ɛ m ɛ φ iα + ɛ. Sei : + iα. Analog u oben exisieren dann eine holomorphe Funion f : V C mi V Umgebung von in H \{} und ein n N, so dass ζ f für alle V gil. Dabei is n möglich, da ζ gelen ann. Analog u oben folg dann lim ɛ φ + iα + ɛ n lim ɛ φ iα + ɛ. ɛ ɛ ɛ ɛ Da ζ einen einfachen Pol in besi, gil lim ζ vergleiche die weie Bemerung u Dami is is die Funion { ζ, falls g : H C,, falls nach dem riemannschen Hebbareissa holomorph. Also exisier ein r R >, so dass g für alle B : B C r gil. Ferner gil für alle B\{} ζ ζ ζ ζ g ζ ζ + g g und somi folg ζ ζ + O für, da g B g B insbesondere seige - Abbildung is. Daher folg und somi lim ɛ ɛ lim ɛ ɛ ɛ + ɛ lim ɛ ɛ ɛ ζ + ɛ ζ + ɛ + lim ɛ ɛ eine wohldefiniere und holomorphe - also ɛ ζ + ɛ ζ + ɛ ɛs + ɛ lim ɛφ + ɛ ɛ ɛ mi Insgesam folg aus den obigen Formeln dann 4 lim ɛ φ + ɛ + iα n + 6 8m < ɛ + ɛ mi den Limesrechenregeln. Andererseis gil aber mi der binomischen Formel für alle p P iα p + p iα p iα p i4 α 4 p i α und dami gil für alle für alle ɛ R > 4 φ + ɛ + iα + lnp p +ɛ p P lnp p P Rep iα p+ɛ 4 p iα + p P p P lnp lnp p +ɛ+iα p iα + p iα p+ɛ 4 p iα

40 Dami gil insgesam > lim ɛ ɛ ɛ 4 φ + ɛ + iα. + Also gil ζ für alle C mi Re. Für den Beweis des Primahlensaes wird nun ule noch die folgende Aussage benöig, deren Beweis späer nachgeragen und dabei in einen Konex eingeordne wird Definiion / Sa Sei f : R C eine beschräne und messbare Funion. Sei ferner g : H C, fe d. Dann heiß g die Laplace-Transformiere von f. Falls g eine holomorphe Forseung auf ein Gebie T G C mi H G besi, so exisier das uneigenliche Inegral f d : lim f d und T es gil Beweis: Siehe S. 4. Bemerungen:. Für alle H exisier f d g lim g. fe d, denn für H gil: Da f beschrän is, exisier ein M R >, so dass f M für alle R gil. Dami gil fe Me Re für alle R. Da h : R C, Me Re inegrierbar is, folg die Exisen des uneigenliches Inegrals fe d mi dem Sa von Lebesque über majorisiere Konvergen. Also is g eine wohldefiniere Abbildung und nach dem Holomorphiesa über parameerabhängige Inegrale 3 is g auf H +ɛ für alle ɛ R > holomorph. Somi is g wegen H holomorph.. Enscheidende Vorausseung is die holomorphe Forsebarei von g. n N H + n Bevor der Beweis des Primahlensaes nun erbrach wird, soll noch einmal an wei Beeichnungen erinner werden: Zum einen sei P : {p N} mi p < p + für alle N und um anderen sei mi Log derjenige Haupweig des omplexen Logarihmus beeichne, für den Log R> ln gil. Beweis des Primahlensaes siehe 3..3: Nach 3..5 gil πx θx lnx für x. Dami is es ausreichend, θx x für x u eigen, denn dann folg θx πx lnx πx lnx lim lim lim x x x θx x x Vergleiche Königsberger, Analysis, S Vergleiche Königsberger, Analysis, S