9 Verfahren der Zeit-Frequenz-Analyse. 9.1 Einführung und Grundlagen Einführung

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1 9 Verfahren der Zeit-Frequenz-Analyse 9.1 Einführung und Grundlagen Einführung Für die Spektralanalyse mittels DFT war die Stationarität des Signals eine wichtige Voraussetzung. Dies führte dazu, dass instationäre (zeitvariante) Signale in stationäre (zeitinvariante) Abschnitte segmentiert wurden. Dies gelingt näherungsweise und es resultieren unterschiedlich lange Segmente, die keiner systematischen Spektralanalyse auf der Grundlage gleich langer Analyseintervalle zugänglich sind. Wünschenswert wären Verfahren, die in der Lage sind, die spektralen Eigenschaften instationärer Signale zu kennzeichnen. Die Spektralanalyse wird im Frequenzbereich vorgenommen, die zeitvariante Spektralanalyse im sogenannten Zeit-Frequenz-Bereich. Die Verfahren der zeitvarianten Spektralanalyse werden deshalb auch als Zeit-Frequenz-Analysen und die 2D- bzw. 3D- Darstellungen als Zeit-Frequenz-Maps bzw. Zeit-Frequenz-Darstellungen bezeichnet. Die bekanntesten Vertreter der Verfahren zur Zeit-Frequenz-Analyse sind die Kurzzeit-Spektralanalyse und die Wavelet-Analyse (Morlet-Wavelet-Analyse). Dies sind aber nur die prominentesten Vertreter einer Reihe von miteinander verwandten Verfahren. Um die Verwandtschaft zeigen zu können, und damit Ähnlichkeiten und Unterschiede, kann das sogenannte analytische Signal verwendet werden. Es steht damit ein elegant anwendbares mathematisches Hilfsmittel zur Verfügung, um alle linearen Verfahren zur Zeit-Frequenz-Analyse definieren und beschreiben zu können. Deshalb wird nachfolgend detailliert erläutert, was ein analytisches Signal ist und welche Eigenschaften ein Signal haben muss, damit es zur Zeit-Frequenz-Analyse verwendet werden kann Analytisches Signal Wir gehen von einem einfachen Kosinus-Signal x(t) aus (Abb ). Abbildung 2-165: Definition des analytischen Signals eines Kosinus-Signals. a Das analytische Signal x(t) ist komplex, wobei das eigentlichen Signal x(t) als Realteil verwendet wird und als Imaginärteil das um π 2 verschobene x(t), d.h. cos(ωt π 2 ) = sin ωt (siehe Abb. 1

2 1-11). Interessant ist jetzt der Vergleich der spektralen Eigenschaften des Signals und seines analytischen Signals. Um dies zu zeigen, werden beide mittels Fourier-Transformation in den Frequenzbereich transformiert. Dabei wird beachtet, dass nur endliche Beobachtungszeiten (Analysefenster) zur Verfügung stehen. Wie in Abb gezeigt, wird dafür x(t) mit einem Rechteckfenster der Länge T multipliziert. Die Fourier-Transformierte a a X(ω) für das analytische Signal x(t) ist in Kapitel bereits berechnet worden. Die Ergebnisse können der Abb entnommen werden. Abbildung 2-166: Fourier-Transformierte und Spektrum des Signals und des dazugehörigen analytischen Signals. Es lassen sich aus diesen Ergebnissen eine Reihe von Schlussfolgerungen ableiten, die für die Philosophie der Zeit-Frequenz-Analyse von grundlegender Bedeutung sind. 1. Für das Amplitudenspektrum X(ω) gilt, dass jeweils ein Peak bei den Frequenzen ±ω 1 resultiert (Zweiseitenspektrum). Für beide Peaks gilt < ω <, d.h. beide Peakverläufe überlappen sich. Je mehr sich die Peakfrequenzen ±ω 1 der Frequenz ω = 0 nähern, umso stärker werden die Überlappungseffekte im Bereich ω 1 < ω < ω 1 sein. a 2. Das Amplitudenspektrum des analytischen Signals X(ω) hat nur einen Peak für die positive Frequenz ω 1 (Einseitenspektrum), die Amplitude ist doppelt so groß wie die des entsprechenden Peaks von X(ω). 3. Das Rechteckfenster kann durch ein Gaußfenster ersetzt werden, d.h. das Tapering (verschmälern) wird mit einer anderen Fensterfunktion durchgeführt, was bereits in Abb und 1-63 behandelt worden ist. Damit ändern sich auch die Eigenschaften des Spektralpeaks, der aus der Faltung der Fourier-Transformierten der Fensterfunktion mit der Spektrallinie bei ω 1 resultiert (Multiplikation im Zeitbereich, d.h. Fenster multipliziert mit dem Signal, ergibt eine Faltung im Frequenzbereich). Die Formen (Funktionsgleichungen) der Peaks bei Verwendung eines Rechteck- und eines Gaußfensters ist in Abb dargestellt worden. Das Gaußfenster ergibt im Frequenzbereich wieder eine Gaußfunktion. 2

3 Abbildung 2-167: Fourier-Transformierte des Rechteck- und des Gausßfensters. Für das analytische Signal bei Verwendung eines Gaußfensters ergibt sich folgendes Spektrum (Abb ): Abbildung 2-168: Fourier-Transformierte des Signals x(t) und des analytischen Signals bei Verwendung eines Gaußfensters. Auf der Grundlage dieser Ergebnisse kann man eine Definition des analytischen Signals vornehmen: a x (t) ist das zu x (t) gehörige komplexe Signal, das einen Peak des Amplitudenspektrums a X(ω) im Bereich positiver Frequenzen (Einseitenspektrum) besitzt, der die doppelte Amplitude im Vergleich zu X(ω) (ω > 0) ausweist. Diese Definition kann als Berechnungsvorschrift (Approximation) für das analytische Signal verwendet werden. Man setzt den negativen Frequenzbereich der Fourier-Transformierten X(ω) gleich Null (Fourierkoeffizienten=0) und multipliziert die Fourierkoeffizienten der positiven Frequenzen mit dem Faktor 2. Mit diesem veränderten Frequenzbereich wird die Rücktransformation (inverse Fourier- Transformation) vorgenommen. Man erhält als Ergebnis das zu x(t) gehörige analytische Signal a x(t) (Abb ). Da der Peak für das analytische Signal im Frequenzbereich nicht begrenzt ist ( < ω < ) entspricht die Nullsetzung der Werte im negativen Frequenzbereich (Begrenzung) einer Näherung und damit das analytische Signal einer Approximation. 3

4 Abbildung 2-169: Vorgehensweise bei der Berechnung des analytischen Signals. In Abb sind die Zusammenhänge zwischen dem Gaußfenster im Zeitbereich und der korrespondierenden Gaußfunktion (Peak) im Frequenzbereich anhand von drei Beispielen unter Verwendung des analytischen Signals illustriert worden. Als Parameter für die Breite der Gaußfunktionen ist die einfache Standardabweichung verwendet worden (man kann auch die Werte der zweifachen und dreifachen Standardabweichung als Parameter verwenden). Da das Gaußfenster die Zeitauflösung bestimmt (siehe Abb. 1-50) und die Breite der Gaußfunktion im Frequenzbereich ein Maß für die Frequenzauflösung ist, kann gezeigt werden, dass sich Zeit- und Frequenzauflösung bei der Verwendung eines Gaußfensters reziprok zueinander verhalten σσ ωω = 1 σσ tt, σσ tt σσ ωω = 1. Für andere Fensterfunktionen gilt: σσ tt σσ ωω 1 Diese Relation (oder Zeit-Bandbreiten-Produkt) entspricht der Heisenbergsche Unschärferelation. Damit wird zum Ausdruck gebracht, dass man eine Verbesserung der Zeitauflösung nur auf Kosten der Frequenzauflösung vornehmen kann und vice versa (siehe Kapitel 2.2.6). Abbildung 2-170: Beispiele für unterschiedliche Gaußfenster (a, b vs. c) bei unterschiedlichen Frequenzen (a vs. b, c). Die durch das Tapering entstehenden analytischen Signale (Mitte) werden Gabor- bzw.- Morlet-Wavelets genannt. 4

5 9.1.3 Monokomponenten- und Multikomponenten-Signale Das einfache Kosinus-Signal kann man zu einem bandbegrenzten Monokomponentensignal erweitern (verallgemeinern), indem man die Amplitude und die Frequenz zeitvariant macht, d.h. diese moduliert: A A(t) und φ(t) = (ω 1 + c 2 m F (t))t + φ(0). Die Bedingungen für die Amplitudenund Frequenzmodulation sind so zu wählen, dass insbesondere keine (nur geringe) Überlappung der Frequenzbereiche auftreten, d.h. der Grad der Modulation muss gering sein (Abb ). Alternativ kann φ(t) = ω 1 t + m Ph (t) + φ(0) verwendet werden, es resultiert ein phasenmoduliertes Signal. Jede Frequenzmodulation erzeugt eine Phasenmodulation und vice versa. Abbildung 2-171: Definition einer amplituden- und phasenmodulierten Schwingung als bandbegrenztes Monokomponentensignal. Von einem derartigen Monokomponentensignal kann man die kennzeichnenden Parameter Momentanamplitude (instantaneous amplitude) durch Amplitudendemodulation und die Momentanphase durch Phasendemodulation (instantaneous phase) gewinnen. Die Berechnung geschieht auf der Grundlage des analytischen Signals (Abb ). Die erste zeitliche Ableitung der Momentanphase ist die Momentanfrequenz (Frequenzdemodulation). Diese zeitvarianten Parameter kennzeichnen das Monokomponentensignal eindeutig. Abbildung 2-172: Die zeitvarianten Parameter des Monokomponentensignals werden unter Verwendung des analytischen Signals berechnet. 5

6 Als Beispiel ist ein phasenmoduliertes Signal in Abb dargestellt worden. Die Momentanphasephase wird entweder zwischen π φ(t) π (links unten) oder fortlaufend dargestellt (rechts i unten). Letztere Darstellung (unwrap) erlaubt die Differentiation der Momentanphase. Abbildung 2-173: Demodulation einer phasenmodulierten Schwingung die unteren beiden Teilplots zeigen dem Momentanphase, die mit der Matlab-Funktion atan2 berechnet worden ist. Die Funktion unwrap erzeugt die fortlaufende Darstellung. Für das Beispiel eines amplituden- und frequenzmodulierten Monokomponentensignals können die Ergebnisse der Abb entnommen werden. Die Vorgehensweise ist folgende. Zuerst wird das Signal in den Frequenzbereich überführt und der negative Frequenzbereich ( N 2 1 bis N 1) mit Nullen versehen (Fourierkoeffizienten=0). Die Fourierkoeffizienten im positiven Frequenzbereich werden mit 2 multipliziert. Dies entspricht der Fouriertransformierten des dazugehörigen analytischen Signals (Approximation). Danach erfolgt die Rücktransformation, als Ergebnis resultiert das analytische Signal. Daraus werden die zeitvarianten Parameter berechnet. Abbildung 2-174: Demodulation eines Monokomponentensignals. 6

7 Wenn es sich um ein amplitudenmoduliertes sinusoidales Signal handelt, dann kann man für die Ergebnisdarstellung eine Zeit-Frequenz-Darstellung wählen, die unter Verwendung der Gabor- bzw. der Morlet-Wavelet-Transformation zu einem Zeit-Frequenz-Map (zeitvariantes Spektrum) führt (Abb ). Abbildung 2-175: Die Zeit-Frequenz-Darstellung (Map) eines amplitudenmodulierten sinusoidalen Signals Multikomponentensignale Die Definition des Monokomponentensignals in Abb kann zur Definition eines Multikomponentensignals (K-Komponenten) und des entsprechenden analytischen Signals herangezogen werden (Abb ). Es besteht aus einer Summe von Monokomponentensignalen unterschiedlicher Frequenz, wobei sich die Frequenzbereiche der Einzelspektren nicht überlappen dürfen. Abbildung 2-176: Multikomponentensignal, analytisches Signal und daraus abgeleitete frequenzabhängige, zeitvariante Parameter. 7

8 Durch die unterschiedlichen Frequenzkomponenten des Multikomponentensignals kann man die zeitvarianten Parameter auch frequenzabhängig schreiben, d.h. diese werden aus den analytischen Teilsignalen berechnet. Nur so ergeben die zeitvarianten Parameter einen physikalischen Sinn, d.h. nur so sind sie interpretierbar. Das analytische Signal kann dementsprechend als Zeit- Frequenz-Matrix geschrieben werden (Abb ). Abbildung 2-177: Analytisches Signal eines Multikomponenten Signals als Zeit-Frequenz-Matrix. In Abb ist ein Zweikomponentensignal dargestellt, dessen Zeit-Frequenz-Darstellung mit einem Verfahren der Zeit-Frequenz-Analyse (Gabor-Transformation) berechnet worden ist. Abbildung 2-178: Zweikomponentensignal und die berechnete Zeit-Frequenz-Darstellung (zeitvariantes Amplitudenspektrum). Das EEG kann mit seinen Signalkomponenten (Abb ) als Multikomponentensignal angesehen werden. Abbildung 2-179: EEG-Signalkomponenten. 8

9 9.2 Einteilung der Verfahren zur Zeit-Frequenz-Analyse In dieser Vorlesung werden ausschließlich Verfahren der linearen und nichtparametrischen Zeit- Frequenz-Analyse behandelt, die auch als lineare Transformationen bezeichnet werden. Davon werden die quadratischen Transformationen abgegrenzt, von denen die Wigner-Ville-Verteilung (Wigner Ville Distribution - WVD) die bekannteste ist. Die Bezeichnung nichtparametrisch für lineare und quadratische Transformationen weist darauf hin, dass diese von parametrischen Verfahren unterschieden werden müssen. Diese beruhen auf zeitvarianten parametrischen Signal-Modellen (z.b. autoregressives Modell), die in der Vorlesung Modellierung behandelt werden. Die bekanntesten linearen, nichtparametrischen Verfahren sind: Kurzzeit-Fourier-Transformation (STFT) Gabor-Transformation (GT) Stockwellsche Transformation (S-transform) (wird nicht behandelt). Kontinuierliche Morlet-Wavelet-Transformation(CMWT) Hilbert-Transformation (HT) Die Gabor-Transformation und die Hilbert-Transformation können mit signal-adaptiven Zerlegungsverfahren (Matching Pursuit bzw. Empirical Mode Decomposition) erweitert und damit selbst signaladaptiv gestaltet werden. In der Vorlesung werden die Matched Gabor Transform (MGT) und die Hilbert-Huang-Transformation behandelt. Die Abb zeigt die Übersicht einer Verfahrensklassifikation. Abbildung 2-180: Einteilung der nichtparametrischen Zeit-Frequenz-Verfahren. EMD- Empirical Mode Decomposition, TDF - time frequency distribution, SP(smoothed pseudo), WVD Wigner-Ville Distribution. 9.3 Kurzzeit-Fourier-Transformation (STFT) 9

10 Die Welch-Methode zur Schätzung von konsistenten Leistungspektren (Teil I der Vorlesung) ermöglicht es, den Übergang von der konsistenten Spektralanalyse zur zeitvarianten Spektralanalyse einfach zu erklären. Diese baut darauf auf, überlappende Analyseintervalle (Fenster) zu nutzen. Wählt man die Überlappung derart, dass man für jede Periodogrammberechnung das Fenster immer einen Abtastpunkt weiter verschiebt, so ergibt sich eine zeitvariante Periodogrammanalyse (= Kurzzeit-FT, short time FT = STFT). Abb : Welch-Methode mit überlappenden Analysefenster. Die Theorie der FT haben wir schon behandelt, so dass die STFT folgendermaßen definiert und für zwei Zeitpunkte t 1 und t 2 durchgeführt werden kann. Dabei ist t die absolute Zeit und τ die Fensterzeit, über die integriert wird. Abbildung 2-182: Spektrogramm als Ergebnis der STFT mit einem Rechteckfenster. 10

11 Die Länge des Analysefensters T (von - T 2 bis T 2 ) bestimmt die Zeitauflösung. Dabei ist uns aus dem Teil I der Vorlesung bekannt, dass folgende Zusammenhänge bestehen: Die höchste Frequenz im Spektrum ist die Nyquistfrequenz (= Hälfte der Abtastfrequenz) Die FT führt zu einem Frequenzraster. Die Rasterabstände werden durch f bestimmt, das von der Länge des Analyseintervalls T (Zeitauflösung), der Abtastfrequenz f A = 1/ t und der Anzahl der verwendeten Abtastpunkte N beeinflusst werden kann f A f = = = = T N t N * TA N Teilweise wird das Frequenzraster Δf zur Erklärung des reziproken Verhältnisses von Zeitauflösung (Länge des Analyseintervalls) und Frequenzauflösung herangezogen. Für das Rechteckfenster wird die Frequenzauflösung durch die Breite der Spaltfunktion bestimmt, die umgekehrt proportional zur Länge des Rechteckfensters ist (Zeit-Bandbreiten-Gesetz; Kapitel 2.26). Abb : Zeit- und Frequenzauflösung der Fourier-Transformation. Die praktische Ausführung mittels DFT (bzw. FFT) wird mit diskreten Abtastpunkten n durchgeführt. i i Die Fourierkoeffizienten werden genutzt, um die zeitvarianten Parameter A(k, n) und φ(k, n) zu berechnen (Abb ). Der Index k steht für das Frequenzraster der DFT und n die diskrete Zeitachse. Die zeitvarianten Parameterwerte werden in der Fenstermitte abgetragen, wenn sich auch die Verschiebungszeit darauf bezieht (Abb ). 11

12 Abbildung 2-184: Fourier-Koeffizienten für einen Zeitpunkt der Fensterverschiebung. Wir nutzen die Schreibweise und Definitionen der DFT (Teil I, Kapitel 3.3), so dass folgende Darstellung resultiert (Abb ). Abbildung 2-185: STFT in Matrixschreibweise. Die Elemente der Matrix bestehen aus den zeitvarianten Fourier- Koeffizienten. i Die Berechnung der Hüllkurve A(n) ist in Abb dargestellt worden. Es ist ersichtlich, dass die zeitvarianten Fourierkoeffizienten das analytische Signal bilden. 12

13 Abbildung 2-186: Die zeitvarianten Fourier-Koeffizienten bilden das analytische Signal der STFT. Für das Frequenzraster k kann das Zeit-Frequenz-Map (Abb ) errechnet werden (Spektrogramm, zeitvariantes Spektrum). Abbildung 2-187: Zeit-Frequenz-Map eines simulierten Signals, das mittels STFT berechnet wurde. i Die Momentanphase φ(k, n) einer Frequenzkomponente k kann als Sequenz der Nullphase dieser Komponente rekonstruiert werden. In Abb ist dies für zwei Verschiebungsschritte dargestellt 13

14 worden. Durch das Analysefenster (Rechteck) wird aus einem fortlaufenden sinusoidalen Signal ein Stück mit einem verschobenen Nullphasenwinkel ausgeschnitten und analysiert. Abbildung 2-188: Rekonstruktion der Momentanphase über die Nullphase des durch das Analysefenster ausgeschnittenen Signalabschnitts. 14

15 9.3 Gabor-Transformation Verwendet man für die STFT statt des Rechteckfensters ein Gaußfenster, dann spricht man von der Gabor-Transformation (GT=. Der Vorteil des Gaußfensters ist, dass deren Fourier-Transformierte wieder eine Gaußfunktion ergibt. Es gibt weitere Realisierungsmöglichkeiten der GT, die sich aus dem analytischen Signal der GT ergeben Abb ), d.h. die GT kann über Ihr analytisches Signal GT a x(t) definiert werden. Um nachfolgend alle Verfahren vergleichen zu können, wird zu einem verallgemeinerten analytischen Signal übergegangen, indem GT a x(t) mit e jωωtt multipliziert wird. Dies ist ein mathematischer Kunstgriff (Betrag e jωωtt =1), durch den nur die Phasen beeinflusst werden. Abbildung 2-189: Analytisches und verallgemeinertes analytisches Signal der GT. Das verallgemeinerte analytische Signal kann durch Faltung (Filterung) des Signals x(t) mit den Gabor-Wavelets g GT (ω, t, σσ tt ) berechnet werden. Um dies erkennen zu können, müssen wir uns die einzelnen Terme des verallgemeinerten analytischen Signals für eine Frequenz ω 1 veranschaulichen (Abb und Abb ) und dann in die Form des Faltungsintegrals bringen. 15

16 Abbildung 2-190: Veranschaulichung des verallgemeinerten analytischen Signals für die Frequenz ω 1. Es ist leicht zu erkennen, dass ein(e) ( Art ) Gabor-Wavelet beschrieben wird, wobei der Imaginärteil (rot) eine Sinusfunktion mit negativem Vorzeichen ist (bei Gabor-Wavelet positives Vorzeichen) (Abb ). Wir schreiben die Gleichung in Form eines Faltungsintegrals (Abb ). Abbildung 2-191: Umschreiben der Gleichung als Faltungsintegral, wobei ein Gabor-Wavelet resultiert. 16

17 Jetzt wird ersichtlich, dass sich a x(ω, t) = x(t) g GT (ω, t, σσ tt ) ergibt. Für jede Frequenz ω bedeutet dies eine Faltung (Filterung) des Signals x(t) mit einem Gabor- Wavelet g GT der Frequenz ω und der Gaußfunktion mit σσ tt. Die Filterung mit komplexen Gaborwavelets ist bereits in Kapitel detailliert gezeigt worden. Wenn man sich ein Frequenzraster k vorgibt und die Gaußfunktion wählt, dann kann man mit eine Anzahl k von FIR-Filtern (komplexe Filtergewichte durch Gabor-Wavelet bestimmt) die GT durchführen. Für die praktische Realisierung ist wichtig, dass die Gaußfunktion gestutzt werden muss, da die Gewichte-Anzahl eines FIR-Filters endlich ist. In der Regel werden als Stutzungspunkte die Werte von ±3 σσ tt verwendet. Da die Gaußfunktion für alle Gaborfilter gleich bleibt, ist auch die Zeit-Frequenz-Auflösung aller Filter identisch. In Abb sind die Zeit-Frequenz-Maps eines simulierten Signals für die STFT-Methode und die Filtermethode dargestellt worden. Abbildung 2-192: Zeit-Frequenz-Maps eines simulierten Signals mit beiden Realisierungsmöglichkeiten der GT. Die transienten Signalkomponenten sind nicht nur zeitlich verschliffen, dies wir durch die Zeitauflösung beeinflusst, sondern auch hinsichtlich der Frequenz (Frequenzauflösung). Wir haben gesehen, dass die Zeit- und die Frequenzauflösung bei Nutzung von Gabor-Wavelets reziprok sind, d.h. man muss vor der Anwendung festlegen, ob eine gute Zeitauflösung (dann schlechte Frequenzauflösung) oder eine gute Frequenzauflösung (dann schlechte Zeitauflösung) benötigt wird. Für einen Einheitsimpuls (nur ein Abtastpunkt mit dem Wert =1, Abb ) als Eingangssignal würden die Filtergewichte als Antwortfunktion resultieren, deren Hüllkurve die Gaußfunktion ist ( A(t) = Hüllkurve i aus dem komplexen Wavelet). Die Filterung mit einem Gaborfilter ist eine Bandpass-Filterung. 17

18 Die GT lässt sich sehr einfach im Frequenzbereich implementieren. Die wesentlichen Schritte dafür haben wir schon bei der Implementierung von DFT-Bandpässen gelernt (Abb. 2-98). Die Bandpass- Charakteristik im Frequenzbereich haben wir über Rechteckfunktionen vorgegeben. Dafür wurde das Signal mittels DFT (FFT) in den Frequenzbereich transformiert. Danach wurden außerhalb des Durchlassbereiches alle Fourier-Koeffizienten gleich Null gesetzt. Im Anschluss daran wurde mittels inverser Fourier-Transformation IDFT (IFFT) eine Rücktransformation in den Zeitbereich vorgenommen. Ein entsprechend bandpassgefiltertes Signal resultierte. In Abb ist dies nochmals dargestellt worden. Abbildung 2-193: DFT-Filter zur Realisierung einer Bandpass-Filterung. Diese Vorgehensweise für die Erzeugung eine bandpassgefilterten analytischen Signals GT a x(ω, t) bzw. GT a x(k, n) modifiziert, indem anstatt der Rechteckfunktion eine Gauß-Funktion mit σσ ωω (Stutzungspunkte ±3 σσ ωω ) verwendet wird, die Fourier-Koeffizienten für die negativen Frequenzen gleich Null gesetzt und die Fourier-Koeffizienten der positiven Frequenzen mit zwei multipliziert werden (s. Abb ). Diese modifizierte Vorgehensweise kann Abb entnommen werden. 18

19 a Abbildung 2-194: Erzeugung eines analytischen Signals x(k, n) für eine Frequenz ω GT c = k Nach der Filterung im Frequenzbereich wird eine Rücktransformation über die inverse DFT (IDFT bzw. IFFT) vorgenommen. Dies muss für jede Frequenz des Frequenzrasters durchgeführt werden. Die auf der Frequenzachse verschobenen Gaußfunktionen können für das gesamte Frequenzraster vorberechnet werden. Die entstehende Matrix aus gestutzten Gauß-Funktionen bezeichnet man als Filtermatrix. Als Flowchart mit FFT als Basisalgorithmus- (Abb ) kann diese Vorgehensweise übersichtlicher dargestellt werden. Abbildung 2-195: Flowchart der GT-Realisierung im Frequenzbereich. Die Beziehungen zwischen Zeit- und Frequenzbereich (Zeit-Frequenzauflösung) der GT sind in den Abb und dargestellt worden. 19

20 Abbildung 2-196: Beziehungen zwischen Gabor-Wavelets im Zeitbereich und im Frequenzbereich (Filter-Matrix). Wie bei der STFT ist die Zeit-Frequenzauflösung der GT für alle Frequenzen konstant (frequenzunabhängig). Abbildung 2-197: Zeit-Frequenz-Auflösung der GT. In Abbildung sind Ergebnisse der GT-Analyse für zwei unterschiedliche Zeit-Frequenzauflösungen dargestellt worden. 20

21 Abbildung 2-198: Ergebnisse der GT-Analyse eines Einheitsimpulses (A), eines Zweikomponentensignals (B) und zweier oszillatorischer Spindeln (amplitudenmoduliertes sinusoidales Signal). Für GT1 wurde dies mit schlechterer Zeitauflösung (besserer Frequenzauflösung) im Vergleich zu GT2 getan (in beiden Zeilen ist auf der Ordinate die Frequenz abgetragen). Die überlagerten Gaußfunktionen entsprechen in etwa denen, die für die Zeitauflösung (rosa) und Frequenzauflösung (blau) gewählt wurden. Mit GT1 kann das Zweikomponentensignal (Überlagerung zweier Komponenten mit 2 Hz und 15 Hz) wegen der höheren Frequenzauflösung in die beiden Einzelkomponenten aufgetrennt werden. Dies ist bei Verwendung von GT2 nicht mehr der Fall, da sogenannte Kreuzterme auftreten. Diese kommen durch die Überlappung der Gaußfunktionen im Frequenzbereich zustande, so dass Effekte zwischen den beiden Peaks (Spuren) auftreten. Die oszillatorischen Spindeln können mit GT1 nicht vollständig getrennt werden (schlechte Zeitauflösung), während die Seitenbänder der Amplitudenmodulation wegen der hohen Frequenzauflösung sichtbar sind. GT1 betont die stationäre und GT2 die zeitvariante Sicht des Signals, da mit GT2 die Spindeln voneinander getrennt werden können. In den Zeit-Frequenz-Maps des Einheitsimpulses werden die Gaußfunktionen im Zeitbereich sichtbar (rosa), für die sinusoidalen Komponenten (Peaks bzw. Spuren im Frequenzbereich) die Gaußfunktionen im Frequenzbereich (blau). Beispiele von Zeit-Frequenz-Maps für alle drei Implementierungsarten können für ein simuliertes Signal der Abb entnommen werden, wobei die Filterung im Zeitbereich und die im Frequenzbereich mit aufeinander abgestimmten Parametereinstellung durchgeführt wurden. Daraus resultiert die starke Ähnlichkeit der Ergebnisse. 21

22 Abbildung 2-199: Ergebnisse für die drei Implementierungsarten. Anwendungen der Gabortransformation in der Analyse von EEG-Mustern Gemäß Kap besteht ein elektroenzephalographisches Burst-Suppression-Muster (Abb ) aus dem Wechsel von hochamplitudigen EEG-Burstentladungen (niederfrequente Oszillation überlagert mit hochfrequenten Oszillationen) und niederamplitudiger Aktivität (<20μV) (Suppression). Das Burst-Suppression-Muster (BSM) weist auf schwere Hirnschädigungen oder auf die Wirkung bestimmter Narkosemittel hin. Mit zunehmender Narkosetiefe verändert sich die spektrale Zusammensetzung des EEG. Das BSM ist ein Zeichen für eine unnötig sehr tiefe Narkose. Für die automatische Quantifizierung der Narkosetiefe sind deshalb Detektionsalgorithmen für die Erkennung des beginnenden BSM vorzusehen. Bei der Sedierung, z. B. von Patienten mit schwerem Schädel-Hirntrauma, kennzeichnet das BSM den Zustand einer adäquaten Hirnprotektion, d. h. einen minimalen Energieverbrauch bei zerebraler Vasokonstriktion und (noch) vorhandener elektrischer Aktivität. Eine automatische Kontrolle des BSM ist wünschenswert. Aus beiden Anwendungen lässt sich die Zielstellung ableiten, dass für die Optimierung der Narkose- und Sedierungstiefebestimmung die Signaleigenschaften des EEG-Bursts für unterschiedliche Anästhetika und Anästhetika-Kombinationen im Detail bekannt sein müssen. Zur Vorhersage des BSM ist dies ebenfalls notwendig, da als Arbeitshypothese davon ausgegangen werden kann, dass sich vor der Ausbildung dieses Musters entweder burstähnliche Muster oder deren Signaleigenschaften im EEG nachweisen lassen. Eine detaillierte Analyse der Burstmuster hat also klinische Relevanz. Dieses Burstmuster kann vereinfacht als Überlagerung einer niederfrequenten (0,5-2,5 Hz) und einer hochfrequenten (8-14 Hz) Oszillation gesehen werden. Dabei sind beide Komponenten amplituden- und frequenzmoduliert. Die Hüllkurve (Momentanamplitude) der niederfrequenten und die der hochfrequenten Oszillation sind miteinander gekoppelt, d. h. die niederfrequente moduliert die hochfrequente Oszillation. 22

23 Das Signalmodell kann anhand der einzelnen Komponenten für den Einzelburst in Abb sehr gut illustriert werden. Abbildung 2-202: Niederfrequente (oben) und hochfrequente (Mitte) Signalkomponenten des Bursts und ihre Hüllkurven (Momentanamplitude). Darunter ist das Zeit-Frequenz-Map dargestellt. Es wurde die Implementierung der GT im Frequenzbereich verwendet. Die eingezeichneten Linien entsprechen den Momentanfrequenzen der Signalkomponenten. Aus der Momentanleistung 23

24 S( k,n ) = a [ ] 2 a Re{ x( k,n )} [ Im{ x( k,n )} ] 2 GT + kann der Anteil der evozierten und der induzierten EEG-Leistung an der Gesamtleistung zeitvariant geschätzt werden. Folgende Definitionen können verwendet werden: 1. Evozierte Leistung: Ist die Leistung von Frequenzkomponenten, die mit einem Ereignis phasengekoppelt ist, d. h. die Momentanphase der Signalkomponente ist an ein auslösendes Ereignis gekoppelt. Im Fall des EEG-Bursts des BSM kann als auslösendes Ereignis der Burst-Anfang (onset) angenommen werden. Dieser wird nach vorgegebenen Kriterien automatisch oder durch einen Experten detektiert. 2. Induzierte Leistung: Ist die Leistung von Frequenzkomponenten, die durch ein Ereignis hervorgerufen wird, aber nicht phasengekoppelt ist. Sie ist die Differenz zwischen Gesamtleistung und evozierter Leistung von Frequenzkomponenten. GT Wir setzen voraus, dass wir eine Anzahl 1,, P von Bursts detektiert haben: Zuerst wird aus der Ensemblemittelung (Schätzung) der Einzelschätzungen des Spektrogramms S(k, n) eine konsistente Schätzung des Spektrogramms S Gesamtt (k, n) erzeugt.. kennzeichnet die Ensemblemittelung. Der evozierte Leistungsanteil wird durch eine sogenannte phasenerhaltende Mittelung geschätzt. Diese besteht aus einer separaten Ensemblemittelung des Realteils und des Imaginärteils der analytischen Signale. Die zeitvarianten evozierten und induzierten Leistungen für die Bursts eines BSM sind in Abb dargestellt. 24

25 Abbildung 2-202: Burstverläufe (oben) und die geschätzten zeitvarianten Leistungsverläufe. Man kann deutlich erkennen, dass eine 12Hz-Komponente im Zeitbereich 0,5-0,7s nach dem Burstbeginn phasengekoppelt (phase-locked) ist. Gabor-Kohärenz Man kann aus den analytischen Signalen zweier Signale x(n) und y(n) das zeitvariante Kohärenzspektrum (Kohärenz-Map) berechnen bzw. schätzen. Folgende Vorgehensweise ist dafür notwendig (Abb ): 25

26 Abbildung 2-203: Berechnung (Schätzung) der Gabor-Kohärenz. Ein Beispiel für die Berechnung des Kreuzperiodogramms ist in Abb dargestellt worden. Abbildung 2-204: Beispiel für die Berechnung des zeitvarianten Kreuzspektrums (-periodogramms). 26

27 Sind die Signale verrauscht, dann kann man über Messwiederholungen (Trials) die Schätzung mittels Ensemblemittelung verbessern. Man unterscheidet zwischen Ensemblemittelung und phasenerhaltender Ensemblemittelung (Abb ). Abbildung 2-205: Ensemblemittelung zur Schätzung der zeitvarianten Kohärenz. Beispiele für die Schätzungen der Gabor-Kohärenz auf der Grundlage von 10 Trials sind in Abb zu finden. Abbildung 2-206: Ensemblemittelung zur Schätzung der Gabor-Kohärenz (gleiches Signal wie in Abb , Rauschen wird pro Trial addiert). 27

28 9.4 Kontinuierliche Morlet-Wavelet-Transformation (CMWT) Es wurde im Kapitel 9.3 sehr ausführlich auf die GT eingegangen. Dies ist mit der Zielstellung geschehen, die Grundprinzipien der Wavelet-Transformation und die der Hilbert-Transformation quasi vorwegzunehmen. In der Tat wurde die Wavelet-Transformation auf der Grundlage der Gabor- Transformation entwickelt. Dennis Gábor hat 1946 erstmalig eine STFT mit Gaußenster (Tapering) durchgeführt. Anfang der 1980er Jahre entwickelte J. Morlet die kontinuierliche Wavelet- Transformation auf der Grundlage von Morlet-Wavelets, die im Prinzip Gabor-Basisfunktionen sind und deshalb auch Morlet-Gabor-Wavelets oder auch Gabor-Wavelets genannt werden. Die (zeit)kontinuierliche Wavelet-Transformation (CMWT) wird auch Integral-Wavelet-Transformation genannt. Im Ergebnis erbringt die kontinuierliche Wavelet-Transformation (CWT) redundante Information, so dass die Diskrete Wavelet-Transformation (DWT) eingeführt wurde. Auf die DWT wird hier nicht eingegangen, sie darf aber nicht mit der zeitdiskreten Realisierung der CWT verwechselt werden. Die CWT wird häufiger zur Signalanalyse und die DWT zur Kompression verwendet. Die Morlet-Wavelet-Analyse wurde auf der Grundlage der Wavelet-Theorie durch andere Wavelet- Typen erweitert, wobei für die Analyse neuroelektrophysiologischer Signale der Einsatz von Morlet- Wavelets dominiert: (1) Das Wavelet ist komplex und so kann wiederum das analytische Signal als Grundlage für alle Berechnungen verwendet werden. (2) Das Morlet-Wavelet ist den transienten Oszillationen im EEG ähnlich = Auswahlkriterium. (3) Spektralpeak ist symmetrisch, d. h. Mittenfrequenz des Peaks entspricht der Frequenz des Wavelets. Die Definition der CMWT kann somit wieder über das analytische Signal erfolgen (Abb ), wobei auf den entscheidenden Unterschied zur GT an dieser Stelle hingewiesen werden soll: die verwendeten Morlet-Wavelets sind über ihre Hüllkurve (σσ tt = s = ω 0 ω ) frequenzabhängig. Der Frequenzparameter s heißt Skalierungsfaktor, die CMWTbezogene Zeit-Frequenz-Darstellung wird deshalb auch Scalogramm genannt. Abbildung 2-207: Definition der CMWT und das entsprechende verallgemeinerte analytische Signal, das aus der Faltung des Signals mit Morlet-Wavelets g WT t, ω, σ t = s = ω 0 ω berechnet werden kann. 28

29 Die Systematik der Frequenzabhängigkeit der Morlet-Wavelets ist in Abb mi den Realteilen der Wavelets illustriert worden. Das sogenannte Mutter-Wavelet wird als Ausgangspunkt gewählt (s = 1, d. h ω = ω 0 ). Mit höheren Frequenzen wird die Hüllkurve enger, es befinden sich immer die gleiche Anzahl von Schwingungen z.b. im Bereich ±3 σσ tt. Dementsprechend wird für tiefe Frequenzen die Hüllkurve dilatiert. Man kann ein komplexes Morlet-Wavelet wieder als Filtergewichte interpretieren, so dass die analytischen Signale über eine Filterung gemäß Kapitel realisiert werden kann. Abbildung 2-208: Die Systematik der Frequenzabhängigkeit der CMWT. Im oberen Teil sind die Realteile von Wavelets in der Reihenfolge von tiefen zu hohen Frequenzen dargestellt worden. Die Spektren der komplexen Wavelets sind darunter zu finden. Abb zeigt, dass mit höher werdender Frequenz die Zeitauflösung zunimmt, die Frequenzauflösung jedoch abnimmt. Es gilt σσ ωω = 1 σσ tt. In der Natur ist es häufig so, dass hochfrequente Oszillationen nur kurzzeitig auftreten, tieffrequente Oszillationen sind dagegen von längerer Dauer. Dies ist der Grund, dass die CMWT so häufig angewandt wird. Die Frequenzabhängigkeit der CMWT muss jedoch nicht immer ein Vorteil sein und man muss bereits bei der Wahl des Mutter-Wavelets die zu analysierenden Signaleigenschaften hinreichend genau kennen, d.h. man sollte wissen, welche Zeit-Frequenz-Auflösung man für die Analyse der wichtigsten Frequenzkomponente benötigt. Dies wird in Abb gezeigt. Abbildung 2-209: Zwei z.b. Mutter-Wavelets (Realteile) mit identischer Zeit-Frequenz-Auflösung (σ t der Hüllkurven sind identisch, σ ω = 1 σ t ), aber unterschiedlicher Frequenz. 29

30 Die frequenzabhängige Zeit-Frequenz-Auflösung der CWMT ist im Diagramm Abb zusammengefasst worden. Abbildung 2-210: Zeit-Frequenz-Auflösung der CMWT. Die Implementierung kann mittels einer Bandpassfilter-Bank im Zeitbereich (Kapitel 7.3.5) erfolgen, wobei die spezielle Systematik der Frequenzabhängigkeit als Grundlage verwendet wird (Abb ). Im Frequenzbereich wird die Filterung analog zur GT vorgenommen und die frequenzabhängige Zeit- Frequenz-Auflösung berücksichtigt (Abb ). Abbildung 2-211: Implementierung der CMWT im Frequenzbereich. 30

31 Die Gaußfunktionen im Frequenzbereich (Fourier-Transformierte der Wavelets) sind für ein Frequenzraster (1 Hz Abstand) in Abb dargestellt worden. Abbildung 2-212: Gaußfunktionen für die Implementierung der CMWT im Frequenzbereich (k = 1, 2, 3, 40 Hz). Die Darstellung der Vorgehensweise kann als Flowchart der Abb entnommen werden (Verwendung der FFT). Abbildung 2-213: Vorgehensweise bei der Berechnung der CMWT (Implementierung im Frequenzbereich (Bei der Skalierung wird ausgehend vom Mutter-Wavelet die kleinste Skala gewählt und dann entsprechend des vorgegebenen Frequenzrasters schrittweise erhöht). In Abb werden die zwei GT-Ansätze aus Abb mit zwei CMWT-Ansätzen (unterschiedliche Mutter-Wavelets) miteinander verglichen. CMWT1 hat eine schlechtere Zeitauflösung (betont die stationäre, d.h. zeitinvariante Sicht) im Vergleich zu CMWT2, die sich bei höheren Frequenzen verbessert. Die Frequenzauflösung verhält sich reziprok. Dementsprechend wird in (B) die 2-Hz- Komponente schärfer (höhere Frequenzauflösung) sichtbar als die 15-Hz-Komponente (für CMWT 1 und 2). Für die Spindeln (bzw. für das amplitudenmodulierte sinusoidale Signal) (C) kann mit der schlechteren Zeitauflösung (CMWT1, stationäre Sicht) keine Trennung der Spindeln erreicht werden (vergleichbar mit Ergebnis von GT1), dies ist mit höherer Zeitauflösung (CMWT2) möglich. Die Ergebnisse für den Einheitsimpuls (A) illustrieren die frequenzabhängige Zeitauflösung und die für die überlagerten sinusoidalen Komponenten (B) die frequenzabhängige Frequenzauflösung. 31

32 Abbildung 2-214: Vergleich der Analyseergebnisse auf der Grundlage zweier GT- und zweier CMWT-Ansätze. In Abb wird das Ergebnis der CMWT-Analyse für ein ereigniskorrelierte Potenzial (ERP, EKP) gezeigt. Die charakteristische Zeit-Frequenz-Auflösung spiegelt sich deutlich in der Zeit-Frequenz- Map wider. Abbildung 2-215: Zeit-Frequenz-Map für ein ERP (CMWT-Analyse). 32

33 Mit drei unterschiedlichen Mutter-Wavelets (Zeit-Frequenz-Auflösungen) wurde die Herzratenvariabilität (HRV) von Kindern vor, während und nach einem epileptischen Anfall analysiert (Abb ). Damit kann gezeigt werden, dass man vorher wissen muss, welchen Frequenzbereich mit welcher Zeit-Frequenz-Auflösung (Wahl des Mutter-Wavelets) untersucht werden soll. Abbildung 2-216: HRV-Analyse mittels dreier CMWT-Ansätze. Oben ist der HRV-Verlauf vor, während und nach dem epileptischen Anfall dargestellt worden (volle graue Linie= Anfallsbeginn). Bisher wurden nur Analyseergebnisse gezeigt, die sich auf die Momentanamplitude (-leistung) bezogen (Zeit-Frequenz-Maps, Spektrogramme, zeitvariante Spektren). Gemäß Abb kann aber aus dem analytischen Signal auch die Momentanphase berechnet werden. Auf der Grundlage der Momentanphase werden dann zeitvariante Parameter berechnet (siehe Kapitel 9.8.2, Phasenanalyse), die auch als Zeit-Frequenz-Map dargestellt werden. Selbstverständlich muss auch für diese Phasenparameter die Zeit-Frequenz-Auflösung der GT (frequenzunabhängig) und der CMWT (frequenzabhängig) wirksam werden. Dies kann mit der Abb gezeigt werden. Für die GT wurde die Gabor-Kohärenz als Verfahren ausführlich dargestellt. Die Wavelet-Kohärenz auf der Grundlage der CWMT berechnet sich entsprechend, indem anstatt der analytischen Signale GT a x(k, n) und GT a y(k, n) die der CMWT verwendet werden. 33

34 Abbildung 2-217: Spektrogramm und Phasenkopplung (PLI, siehe Phasenanalyse, Kapitel 9.8.2) eines EEG-Kanals vor und während Flicker-Stimulation, berechnet mit der GT sowie der CMWT und dargestellt als Zeit-Frequenz-Maps. Mit dem Begriff der kontinuierlichen Wavelet-Transformation werden viele Wavelet-Typen subsumiert, die für unterschiedliche Analyseziele eingesetzt werden. Einige wenige Wavelet-Typen sind in Abb dargestellt worden. Abbildung 2-218: Weitere Wavelet-Funktionen (DOG Differentiation der Gauß-Funktion). 34

35 9.5 Matching Pursuit und Matched Gabor Transform Die GT und die CMWT sind Zeit-Frequenz-Verfahren, deren Ergebnisse und damit deren Interpretation von der Wahl der Zeit-Frequenz-Auflösung abhängen. Bei der CMWT ist diese frequenzabhängig, so dass der Wahl des Mutter-Wavelets eine besondere Bedeutung zukommt. Fazit ist, dass es für alle in einem Signal vorkommenden Signalkomponenten keine optimale Zeit-Frequenz-Auflösung mit beiden Verfahren geben kann. Optimalität kann man nur für eine definierte Signalkomponente (annähernd) erreichen. Dies ist der Ausgangspunkt für den Matching-Pursuit (MP)-Algorithmus, der das Signal in Signalmodelle seiner Signalkomponenten zerlegt. Wenn die Signalkomponenten eine spindelförmige Charakteristik zeigen, dies ist für neurophysiologische Daten fast immer der Fall, wird dafür ein Wörterbuch mit den Realteilen von Gabor-(Morlet-) Wavelets (Signalmodelle) genutzt. Diese Zerlegung führt zu einer Anzahl von Modell-Signalkomponenten, die dann mit Zeit-Frequenz-Verfahren weiterverarbeitet werden können. Für jede Signalkomponente ist dann jeweils eine (Teil-) Zeit-Frequenz- Darstellung (Spektrogramm) verfügbar. Die Addition der Teil-Zeit-Frequenz-Maps ergibt eine Gesamt-Zeit-Frequenz-Darstellung. Durch diese Vorgehensweise können auch keine Kreuzterme mehr entstehen, die durch Überlappung der Peaks (Spuren) zweier (mehrerer) Signalkomponenten erzeugt werden, da jeweils nur eine Komponente analysiert wird. Damit entfällt auch die Überlegung, ob eine GT oder CMWT verwendet wird. Beide würden für die Analyse der Modellsignale identische Ergebnisse liefern, da beide komplexe Gabor- (Morlet)-Atome nutzen. Die Voraussetzungen und Annahmen der MP-Zerlegung werden in der Abb gezeigt. Abbildung 2-219: Voraussetzungen und Annahmen der MP. Die MP-Zerlegung erfolgt in einem iterativen Prozess. Dabei wird für jedes Atom des hochredundanten Wörterbuches, d.h. für jeden seiner Verschiebungsschritte, das Skalarprodukt (innere Produkt, entspricht Zähler des linearen Korrelationskoeffizienten) zwischen Atom und Signal berechnet. Aus allen Ergebnissen wird das Atom bei dem Verschiebungsschritt als erste Signalkomponente verwendet, das den höchsten Wert des Skalarprodukts aufweist. Es wird mit dem Skalarprodukt multipliziert (Wichtungsfaktor a n ) und vom Signal subtrahiert. Dann wird diese Prozedur solange wiederholt, bis der Rest einem Residuenkriterium genügt. Die gewichteten Atome werden an der Stelle ihres Auftretens (mit Verschiebungsindex) gespeichert. Die Vorgehensweise wird in Abb als Flowchart dargestellt. 35

36 Abbildung 2-220: Flowchart der MP-Zerlegung. Der Verschiebungs- und Berechnungsprozess (Multiplikation für Skalarprodukt) ist in Abb veranschaulicht worden. Dieser Schritt entspricht der Filterung mittels Korrelations- bzw. Matched-Filter (Kapitel 7.5). Abbildung 2-221: Verschiebung eines Atoms und Multiplikation mit dem Signal, das genau das Atom als eine Komponente enthält. 36

37 Für die Analyse der so selektierten Atome wird im klassischen MP-Algorithmus die Wigner-Ville- Verteilung (WVD, D=distribution), d.h. eine quadratische Transformation, genutzt. Diese gewährleistet die optimale Zeit-Frequenz-Auflösung für jedes selektierte Gabor-Atom. Der schematisierte Gesamtablauf kann der Abb entnommen werden. Abbildung 2-222: Schematisierter Ablauf des Gesamtverfahrens. In Abb ist das Zeit-Frequenz-Map des Spektrogramms für die WVD ohne (b) und mit MP- Zerlegung (c) dargestellt worden. Ohne MP sind viele störende Kreuzterme (Scheinkomponenten) zu erkennen. Abbildung 2-223: Spektrogramme eines Alpha-EEGs (a) bei Flicker-Stimulation (Beginn bei 0 s), berechnet über die WVD (b) und den MP-Algorithmus (MP-Zerlegung plus WVD). 37

38 Ein Beispiel der MP-Analyse für ein simuliertes Multikomponentensignal enthält Abb Abbildung 2-224: Spektrogramm eines simulierten Signals, das über den MP-Algorithmus berechnet worden ist. Damit kann gezeigt werden, dass die MP-Zerlegung zu einer Verbesserung der Spektrogramm- Analyse führt. Der Nachteil ist, dass bei Verwendung der WVD die Phase verlorengeht. Wünschenswert wäre, die Momentanphase ebenfalls mit optimaler Zeit-Frequenz-Auflösung bestimmen zu können. Aus diesem Grund wurde die Matched Gabor Transform (MGT) (von uns) entwickelt. Diese nutzt die MP-Zerlegung mit einem Gabor-Atom-Wörterbuch. Die selektierten Gabor-Atome (Modell für Signalkomponenten), können für die Analyse den entsprechenden komplexen Gabor-Wavelets zugeordnet werden (Realteil ist das Atom, Imaginärteil wird ergänzt). Die Hüllkurve und die Phase können (analytisch) berechnet bzw. über die GT bestimmt werden. Die Vorgehensweise der MGT ist in Abb abgebildet. 38

39 Abbildung 2-225: Ablaufplan des MGT-Algorithmus. Für die Phasenanalyse resultiert folgendes Ergebnis (Abb ). Abbildung 2-226: Zeit-Frequenz-Darstellungen (b, c) der Phasenkopplung (PLI, siehe Kapitel 9.8.2) eines EEG-Signals (a) bei Flicker-Stimulation (Flickerbeginn bei 0 s). Map (b) wurde über die GT und Map (c) über die MGT berechnet. 39

40 9.6 Hilbert-Transformation Während GT, CMWT, MP und MGT das Signal mit all seinen Komponenten analysieren, wird bei der Hilbert-Transformation (HT) vorausgesetzt, dass eine eng bandbegrenztes Signal, d.h. ein Monokomponenten-Signal, vorliegt. Nur unter dieser Voraussetzung ist es möglich, dass die Momentanparameter interpretiert werden können. Dies bedeutet, dass eine Bandpass-Filterung vor der Anwendung der HT im Zeit- oder im Frequenzbereich vorgenommen werden muss. Mit der HT wird der Imaginärteil des analytischen Signals des bandbegrenzten Signals erzeugt. Der Realteil ist das bandbegrenzte Signal selbst (Abb ). Der Imaginärteil kann über eine Filterung im Zeitbereich oder im Frequenzbereich erzeugt werden. Für unser einfaches Kosinus-Signal (Abb ) wurde das analytische Signal folgendermaßen erzeugt: Das Kosinussignal x(t) = cos ωt wurde als Realteil und für den Imaginärteil wurde das um π 2 verschobene cos(ωt π 2 ) = sin ωt verwendet. Die Schlussfolgerung ist, dass die HT die Phasenverschiebung von π 2 für alle Frequenzen des bandbegrenzten Signals erzeugt. Diese spezielle Filterung ist der Kern der HT- Implementierungen. Für den Bereich negativer Frequenzen (konjugierte Form des analytischen Signals) muss eine Verschiebung um + π 2 erfolgen (cos(ωt + π 2 ) = sin ωt). Abbildung 2-227: Grundlagen der HT. Die Implementierung eines Hilbert-Filters wurde ausführlich im Kapitel behandelt, so dass an dieser Stelle darauf verzichtet werden kann. Die Bandpassfilterung muss vorher erfolgen. Mit einem FIR-Bandpass kann man eine Vorwärts- und eine Rückwärtsfilterung vornehmen, damit keine Phasenverschiebungen (bei normaler Vorwärtsfilterung) auftreten (d.h. Phasenverschiebungen werden aufgehoben). Für die Implementierung im Frequenzbereich kann die Bandpass-Filterung (siehe DFT-Filter) mit der HT kombiniert werden. Die HT wird folgendermaßen durchgeführt (Abb ). Abbildung 2-228: Vorschrift für die HT im Frequenzbereich. Zuerst wird das Signal in den Frequenzbereich transformiert und die Bereiche derjenigen Fourierkoeffizienten gleich Null gesetzt, die außerhalb des Durchlassbereiches des Bandpasses liegen (siehe Abb ). Dann werden die Fourierkoeffizienten nach der Vorschrift in Abb behandelt. Die Implementierung mittels (DFT, FFT) wurde unter Verwendung von drei komplexen Fourierkoeffizienten in Abb als Beispiel dargestellt. 40

41 Abbildung 2-229: Implementierung des Hilbert-Operators H HT (ω). Nach der DFT(FFT) und Nullsetzung der Fourierkoeffizienten, liegen die Fourierkoeffizienten als komplexe Zahlen im Durchlassband entsprechend ❶ vor. Danach erfolgt die Multiplikation der komplexen Zahlen für den Bereich positiver Frequenzen mit j und mit j für den Bereich negativer Frequenzen (Anwendung des Hilbert-Operators H HT (ω) ). Die Ergebnisse sind in der grau unterlegten Spalte ❷ dargestellt. Man sieht, dass es zu einem Koeffiziententausch mit Vorzeichenänderungen vom Realteil zum Imaginärteil gekommen ist. Beispiel: j(0,82 j0,27) = 0,27 j0,82 und j(0,82 + j0,27) = 0,27 + j0,82. Diese neuen Fourierkoeffizienten werden rücktransformiert Im{ a x(t) } = F 1 [H HT (ω) F[x(t)](ω)], so dass der Imaginärteil des analytischen Signal resultiert. Die Anwendung des Hilbert-Operators führt zu den Phasendrehungen ± π 2 im negativen bzw. positiven Frequenzbereich. Der Hilbert- Operator kann auch grafisch als Filter-Übertragungsfunktion dargestellt werden (Abb ). 41

42 Abbildung 2-230: Grafische Darstellung der Übertragungsfunktion des Hilbert-Operators (-Filters). Der resultierende Tausch der Fourierkoeffizienten (mit Vorzeichenänderung) kann genutzt werden, um im Zeigerdiagramm die entsprechenden Phasenverschiebungen zu konstruieren (Abb ). Abbildung 2-231: Konstruktion der Phasenverschiebungen für positive und negative Frequenzen über den Koeffiziententausch, der in Pseudo-Programmiersprache dargestellt worden ist. 42

43 Das analytische Signal wird wiederum genutzt, um die Momentanamplitude, die Momentanphase und die Momentanfrequenz zu berechnen. Die HT wird häufig zur Amplituden- und Frequenzdemodulation (Momentanamplitude, Momentanfrequenz) von bandbegrenzten Signalen bzw. Signalkomponenten eingesetzt. Wird ein spezielles Bandpassfilter verwendet, dann kann gezeigt werden, dass die analytischen Signale von GT, CMWT und HT für eine Frequenz identisch sind. Die Filtergewichte müssen dem Realteil der korrespondierenden Gabor-(Morlet-)Wavelets entsprechen. Als Anwendungen sollen die Frequenzdemodulation eines visuell evozierten Potentials (VEP) (Abb ) und eines EEG-Abschnittes mit epileptischen Spikes gezeigt (Momentanfrequenz) werden (Abb ). Abbildung 2-232: Potenzialverläufe und daraus berechnete Momentanfrequenzverläufe für die Elektroden O 1 und O 2. Abbildung 2-233: Zwei Typen von Spikeereignissen (oben) und ihre Momentanfrequenzen (unten). 43

44 9.7 Emperical Mode Decomposition und Hilbert-Huang-Transformation Vor der Anwendung der HT steht die Frage nach der Bandpassfilterung 1, die inhaltlich beantwortet werden muss. Die Extraktion von Frequenzkomponenten, die man nach inhaltlichen Gesichtspunkten als natürliche Signalkomponenten bezeichnen könnte, wäre deshalb sehr hilfreich. Diese Zielstellung wurde mit der Entwicklung der Empirical Mode Decomposition (EMD) verfolgt. Die EMD zerlegt das Signal in sogenannte intrinsic mode functions (IMFs), die als natürliche Signalkomponenten interpretiert werden können. Der nachfolgende Text ist aus der Praktikumsarbeit von S. Bürger entnommen worden. Diese IMFs sind amplituden- und frequenzmodulierte Schwingungen (Monokomponentensignale), die durch die Momentanamplitude (=Hüllkurve=Ergebnis der Amplitudendemodulation) und durch die Momentanfrequenz (=Ergebnis der Frequenzdemodulation) eindeutig beschrieben werden können. Damit besteht die Möglichkeit der Demodulation der IMFs mithilfe der Hilbert-Transformation. Dieser Algorithmus kann auf nichtlineare und instationäre (zeitvariante) Signale angewendet werden. Die Zerlegung eines Signals x(t) durch die EMD resultiert in eine Anzahl M der oben definierten IMFs plus einem Residuum gemäß x(t) = M c n (t) + r M (t) n=1, wobei die Zerlegung durch einen iterativen Verarbeitungsprozess erfolgt. Die IMFs sind als c n (t) und das M-te Residuum r M (t) abgekürzt worden. Wie oben bereits erwähnt, ist die IMF eine amplituden- und frequenzmodulierte Schwingung. Dies bedeutet, dass die Anzahl der lokalen Extremwerte und die Anzahl der Nulldurchgänge sich höchstens um den Wert 1 unterscheiden und der Mittelwert der IMF gleich Null ist. Diese Definition der IMFs, d.h. des Ergebnisses der EMD, ist zum Verständnis der Vorgehensweise bei der EMD und der Definition der Abbruchkriterien wichtig. Der erste Schritt der EMD besteht darin, dass man um das Signal x(t) zwei Hüllkurven konstruiert. Die untere Hüllkurve wird aus die fortlaufend detektierten, lokalen Minimawerten mittels Spline- Interpolation (kubische Splines) berechnet. Für die obere Hüllkurve werden dafür die fortlaufend detektierten, lokalen Maximawerte verwendet. Die Interpolation ist notwendig, da sich die lokalen Extremwerte an unterschiedlichen Zeitpunkten befinden und zur nachfolgenden Mittelwertbildung (zu jedem Zeitpunkt t) ein äquidistantes Zeitraster vorhanden sein muss. Der resultierende Mittelwertverlauf (Grundlinie genannt) wird vom Signal x(t) subtrahiert. Im Workflow des iterativen EMD-Algorithmus wird die Abfolge aus Extremwertdetektion, Interpolation und Subtraktion als Schleifenkörper genutzt. Der Workflow der EMD kann folgendermaßen beschrieben werden: A: Setzen der Anfangswerte Als Zeitreihe der Residuumswerte r 0 (t) wird das Signal x(t) verwendet, d.h. r 0 (t) = x(t). Mit dem Wert n = 1 für die Schleifenvariable n (äußere Schleife) wird gemäß B fortgefahren. B: Bestimmung der IMFs (innere Schleife, Iterationsschritte IS) IS_1: Mit dem Wert i = 1 der Schleifenvariablen j und mit der der nullten Iteration für eine IMF h 0 (t) = r 0 (t) = x(t) wird die innere Schleife initialisiert. Ein Beispielsignal x(t) ist in Abb dargestellt. Verallgemeinert kann geschrieben werden: i = 1, h i 1 (t) = r n 1 (t). IS_2: Detektion der aufeinanderfolgenden lokalen Minima und lokalen Maxima von h i 1 (t). IS_3: Interpolation der lokalen Minima und Maxima mittels kubischer Splines. Damit wird die untere bzw. obere Hüllkurve (=envelope) e mini 1 (t) bzw. e maxi 1 (t) konstruiert. Die Hüllkurven sind als gestrichelte Linien in Abb eingezeichnet worden. IS_4: Berechnung des Mittelwertes für jeden Zeitpunkt aus beiden Hüllkurven. m i 1 (t) = e maxi 1 (t) + e mini 1 (t) 2 Der Mittelwertverlauf (Grundlinie) ist in Abb als fetter Kurvenverlauf dargestellt worden. Danach wird die neue Berechnung der IMF gemäß h i (t)=h i 1 (t) m i 1 (t) 1 Es gibt auch Anwendungen der HT ohne Bandpassfilterung, z.b. wird oft das analytische Signal eines Multikomponentensignals als Eingangssignal für die WVD genutzt (Verringerung der Kreuzterme). 44