Teil 5 Elastizitätstheorie II. Ordnung Stabilitätsnachweise

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1 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 1 Teil 5 Elastizitätstheorie II. Ordnung Stabilitätsnachweise 5. Elastizitätstheorie II. Ordnung Stabilitätsnachweise 5.1 Einleitung und Grundgedanken Im Abschnitt 1 wurden die Verfahren benannt und beschrieben, nach denen die Schnittgrößen berechnet und die Nachweise geführt werden dürfen bzw. müssen. Für die Nachweise der Sannungen bzw. Schnittkräfte in den Querschnitten konnten zum Beisiel für Querschnitte der Klassen 1und lastische Reserven ausgenutzt werden. Dagegen bleibt für Querschnitte der Klassen 3 und 4 das Verfahren auf die Elastizitätstheorie beschränkt. Die wesentlichen Grundlagen für beide Fälle sind in den Abschnitten 3 und 4 dargelegt. Die Beschränkung der Nachweise auf die Sannungen und Schnittgrößen, die im Querschnitt, also ohne Blick auf das System bzw. das Tragwerk, erforderte den Ausschluss von Stabililtätsversagen, auch örtlicher Natur, wie zum Beisiel das lokale Beulen. Für Nachweise am Querschnitt reicht es dann in der Regel aus, die Schnittgrößen am unverformten System zu berechnen und der Teilsicherheitsbeiwert für das Material konnte für diese Nachweise gemäß NA zur EN mit γ M0 =1,0 festgelegt werden. Das Bilden der Gleichgewichtsbedingungen am unverformten System liegt allerdings nicht immer auf der sicheren Seite, wie durch folgende einfache Überlegung gezeigt wird (Bild 5-1). l N l w N max M I = l 8 max M II = l 8 + N w Bild 5-1: Gleichgewicht am unverformten und am verformten Träger Bezogen auf die unverformte Stabachse erzeugt die horizontale Druckkraft N kein Biegemoment und das maximale Biegemoment am Träger des linken Bildes errechnet sich allein aus der vertikalen Streckenlast (x)= nach der einfachen bekannten Gleichung: M I = l 8 (5-1) Unter Verwendung der maximalen Verformung w in Trägermitte erzeugt die Druckkraft N jedoch einen zusätzlichen Anteil M zum Biegemoment:

2 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner M II = M I + M = l + N w (5-) 8 Unter Beibehaltung des Hookschen Elastizitätsgesetzes, der Bernoullischen Hyothese vom Ebenbleiben der Querschnitte und bei Verwendung einer linearen Momenten-Krümmungs-Beziehung wird mit dem Übergang von Gleichung (5-1) zu (5-) die lineare Elastizitätstheorie II. Ordnung beschrieben. Zur Entwicklung wichtiger weiterer Beziehungen wird das Gleichgewicht jedoch am differentiellen Stabelement anzuschreiben sein (s. 5.). Die rechte Darstellung im Bild 5-1 zeigt, dass die Druckkraft N das Biegemoment infolge der Verformungen vergrößert. Analog führt eine Zugkraft zu einer Verkleinerung des Biegemomentes im betrachten Träger. Im Zusammenhang mit der im Bauwesen üblichen Forderung nach möglichst kleinen Verformungen wird man zunächst geneigt sein, die Verformungen stets zu vernachlässigen. Das wäre jedoch ein fataler Fehler, wie sich sätestens bei der Ableitung der Stabilitätsfälle zeigen wird. Andererseits ist es tatsächlich in sehr vielen raktischen Fällen völlig ausreichend, die Nachweise nach Theorie I. Ordnung zu führen. Darüber hinaus ist es nach vielen Normen, so auch in der Reihe EN 1993, üblich und legitim, Die Effekte der Theorie II. Ordnung nicht exakt, sondern durch geeignete Anassungen der Ergebnisse nach Theorie I. Ordnung zu erfassen. So dürfen beisielsweise Ersatzlasten aus Vorverformungen und Schiefstellungen am unverformten System angesetzt werden, statt die Berechnungen am verformten System zu führen. Ob eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung zwingend erforderlich ist, kann anhand des sogenannten Verzweigungslastfaktors beurteilt werden (s. weiter hinten im Abschnitt 5). In der Praxis kommen Programme, mit denen nach Theorie II. Ordnung gerechnet werden kann, immer häufiger vor. Die Anwendung dieser Programme erfordert ein hohes Maß an Erfahrungen im Umgang mit der Theorie II. Ordnung. Zur Erfassung aller möglichen Versagenskriterien ist es so zum Beisiel erforderlich, das Berechnungsmodell sehr wirklichkeitsnah zu beschreiben. Ebene Modelle sind dazu in aller Regel nicht (mehr) geeignet. Mit dem Einsatz räumlicher Modelle steigt dann aber die Fehleranfälligkeit bei der Modellierung. Ferner wird ein Vielfaches der Daten erzeugt, die beim Nachweis ebener Systeme entstehen. Die Beschreibung der Stäbe und des Systems in unterschiedlichsten Koordinatensystemen bereitet ebenso häufig Schwierigkeiten, wie die Interretation der Ergebnisse, auch im Zusammenhang mit der gegenüber älteren Normengenerationen erheblich gestiegenen Zahl an Lastfällen, Nachweisen und Nachweiskombinationen. Ein wichtiger Asekt für die Stabilitätsnachweise im Stahlbau ist dahingehend die Verwendung des Sicherheitsbeiwertes γ M1 statt des aus den Abschnitten 3 und 4 bekannten Beiwertes γ M0. Es gilt nach dem NA zur EN : γ M1 =1,1 (5-3) Im Zusammenhang mit den unterschiedlichen Sicherheitsbeiwerten für Nachweise im Querschnitt und Nachweise unter Beachtung der Stabilitätsgefährdung von Systemen werden die lastischen Widerstandsgrößen in Tabellenbüchern oftmals nur für eine mit γ M1 abgeminderte Fließsannung angegeben. Die Berechnung der Angaben erfolgte

3 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 3 also nach den Gleichungen (5-4), was für Nachweise nach Abschnitt 4 zwar auf der sicheren Seite liegt, aber auch zu unwirtschaftlichen Ergebnissen führen kann. N l = A f y γ M1, M l = W l f y γ M1, V l = A V f y (3) γ M1 (5-4) 5. Gleichgewicht am unverformten und am verformten ebenen Stabelement Am unverformten Stabelement werden die Beziehungen mit den Bezeichnungen des Abschnitts 5 im Bild 5- dargestellt und zur Wiederholung aufgeschrieben: (x) V z M y + d M y N x N x M y V z + dv z Bild 5-: Gleichgewicht am unverformten ebenen Stabelement Für die hier getroffenen Ableitungen sei das ebene Stabelement der Länge nur mit einer von der x-koordinate abhängigen Querbelastung (x) belastet. Damit gilt bei Bildung der Summe aller (im Bild) horizontalen Kräfte: H =! 0 N x N x =0 N x =konstantüber (5-5) Die Summe der (im Bild) vertikalen Kräfte ergibt: V =! 0 V z (x) (V z +dv z )=0 (x)= dv z =V ' z (5-6) Es wird eine bekannte Beziehung bestätigt: Die erste Ableitung der Querkraftfunktion V z (x) nach der Stabkoordinate x entsricht dem negativen Wert der Belastungsfunktion (x) an dieser Stelle. Am rechten Rand des differentiellen Stabelements wird die dritte Gleichgewichtsbedingung in der Ebene gebildet. Es gilt: M =! 0 M y (x) (M y +dm y ) +V z =0 (5-7)

4 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 4 Unter Verwendung der Tatsache, dass das Produkt im zweiten Term von (5-7) als Quadrat der ohnehin schon sehr kleinen differentiellen Länge den Term sehr klein gegenüber den anderen Termen werden lässt, kann er vernachlässigt werden. Damit wird erhalten: V z = dm y (5-8) und eine zweite bekannte Beziehung bestätigt: Die Querkraftfunktion V z (x) ist die Ableitung der Funktion für das Biegemoment M y (x). Wie erwartet taucht die konstante Normalkraft N x nicht in den Gleichgewichtsbedingungen (5-6) und (5-8) auf. Am verformten ebenen Stabelement wird das nicht mehr der Fall sein. Die Verhältnisse sind im Bild 5-3 skizziert: x w R V z H N x M y ϕ tanϕ (x) dw M y + d M y H R + dr Bild 5-3: Gleichgewicht am verformten ebenen Stabelement Das Stabelement als Bestandteil des ehemals geraden Stabes ist zunächst um den Winkel ϕ verdreht. Da es einen Teil der nun gekrümmten Stabachse darstellt, wird die Krümmung im folgenden Abschnitt noch zu beschreiben sein. Hier geht es aber zunächst um das Gleichgewicht, bei dem die Verformung des Elements selbst keine Rolle sielt. Infolge der Verdrehung des Elements um den Winkel ϕ können nun aber nicht mehr die Schnittkräfte N x und V z in die Beziehungen eingeführt werden, sondern es muss unter Beachtung des Drehwinkels gedanklich eine Aufteilung der beiden Kräfte in H und R gemäß Bild 5-3 erfolgen. Sind H und R bekannt, können mit der Transformationsbeziehung (5-9) die Schnittgrößen bezüglich der verformten Stabachse berechnet werden: N x V z = cosϕ sin ϕ sinϕ cosϕ H (5-9) R Die Matrizenschreibweise wurde in Anlehnung an EDV orientierte Schreibweisen bewusst gewählt. Mit ihr lassen sich viele Formeln einfacher und übersichtlicher darstellen, als mit

5 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 5 herkömmlichen Schreibweisen. Der Zusammenhang ist im Bild 5-4 nochmals skizziert. x w N x R V z ϕ tanϕ = dw H dw Bild 5-4: Transformation zwischen R und H sowie V z und N x Ferner wird die gebräuchliche Ingenieurvereinfachung für kleine Winkel ϕ genutzt: ϕ tan ϕ fürkleinewinkelϕ (5-10) Die Berechnung des Winkels wird damit vereinfacht: tan ϕ ϕ = dw =w' (5-11) Die Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen am verformten differentiellen Stabelement ergibt schließlich: H =! 0 H H =0 H =konstantüber,n x konst. (5-1) für die (im Bild) horizontal wirkenden Kräfte. V =! 0 R (x) (R+dR)=0 (x)= dr z =R' (5-13) für die (im Bild) vertikal wirkenden Kräfte sowie für die Momente: M =! 0 M y (x) H dw +R (M y+dm y ) =0 dm y =R H dw =R H w' (5-14) Auch in diesem Fall wird ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erhalten, dessen Lösung im weiteren Verlauf für einige Fälle gezeigt wird. Sind dann R und H berechnet, können mit Gleichung (5-9) die Schnittgrößen N x und V z berechnet werden.

6 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 6 In Auswertung der Gleichung (5-14) wird deutlich, dass eine Zugkraft H offensichtlich die Biegemomente vermindert, während eine Druckkraft die Biegemomente erhöht. Im Bild 5-3 ist eine Zugkraft dargestellt. Bei vielen Ableitungen in der Literatur zur Stabilitätstheorie wird säter eine Vorzeichenumkehr stattfinden. Druckkräfte werden dann entgegen der bekannten Statikkonvention ositiv angegeben und Zug negativ. Gleichung (5-14) ist die gegenüber (5-8) erweiterte Ableitung der Momentenfunktion nach Theorie II. Ordnung. 5.3 Momenten-Krümmungs-Beziehungen Im Bild 5-3 blieb das betrachtete verformte Teil der Stabachse zunächst gerade. Tatsächlich muss sich auch dieser differentiell kleine Abschnitt der Stabachse verkrümmen. Dargestellt im Bild 5-5 ist zu erkennen, dass die Tangenten an die Punkte 1 und des rot gekennzeichneten Achsenabschnitts die x -Achse unter verschiedenen Winkeln schneidet. Aus dem Winkel ϕ wird der Winkel ϕ+d ϕ. Mit Gleichung (5-11) wurde bereits angedeutet, wie der Winkel ϕ berechnet wird. In Worten formuliert: Die erste Ableitung der Verschiebungsfunktion w(x) nach der Stabkoordinate x ist die Funktion der Drehwinkel ϕ(x). ϕ ϕ + d ϕ x w dw 1 ds ϕ Bild 5-5: Änderung des Winkels ϕ am Sehnenstück ds Die Sehnenlänge ds des verformten Sehnenstücks kann aus dem zugeordneten Anteil der Verschiebung dw und der Länge des Stabachsenstücks im unverformten Zustand einfach nach dem Satz des Pythagoras berechnet werden: ds = +dw (5-15) Diese Gleichung kann umgeformt werden: ds = 1 +(dw ) = 1 +w' (5-16) Es ist offensichtlich, dass für die Verkrümmung der Stabachse das angreifende Biegemo-

7 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 7 ment M y zuständig ist. Der Widerstand des Stabes wird durch seine Biegesteifigkeit ausgedrückt. Ein gängiges Maß für die Verkrümmung wird folglich das Verhältnis des einwirkenden Biegemomentes zur Biegesteifigkeit sein. Dieses Maß wird als Krümmung κ definiert: κ = M y (5-17) Da die Verhältnisse nach dem Bild 5-5 angeschrieben werden, muss ein negatives Vorzeichen eingeführt werden, da in der Darstellung die gezogene Faser gedrückt wird. Der reziroke Wert der Krümmung wird als Krümmungsradius ρ bezeichnet: ρ = 1 κ (5-18) Mit der Beziehung (5-17) kann nun der Zusammenhang zwischen Moment und Krümmung weiter entwickelt werden. Die Krümmung κ lässt sich geometrisch auch als Änderung des Winkels ϕ zwischen den Punkten 1 und des Sehnenstücks ds definieren. Damit wird erhalten: κ = M y = d ϕ ds (5-19) Die rechte Seite von Gleichung (5-19) wird nunmehr entwickelt, wobei mit den o.a. Gleichungen (5-11), (5-15) und (5-16) bereits wichtige Beziehungen aufgeschrieben wurden: κ = dϕ ds = d ds ϕ = d w' (5-0) ds Mit ds nach Gleichung (5-16) wird die Ableitung nach ds in eine Ableitung nach der d Stabkoordinate x überführt. Das ist nötig, da in (5-0) mit eine Ableitung nach ds ds und mit w' eine Ableitung nach enthalten ist. κ = d w' 1 +w' = d [w' (1 +w' ) 1 ] (5-1) Die Schreibweise d ist die Anweisung, den Klammerausdruck nach x zu differenzieren (abzuleiten). Für die Ableitung des Klammerausdrucks in (5-1) ist die Produktregel anzuwenden. Mit (u v)' =u v' +u' v und u =w' u' =w'' v =(1 +w' ) 1 v' =[(1 +w' ) 1 ]' (5-)

8 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 8 kann die Ableitung gewonnen werden. Dabei ist zur Bildung von v' wiederum die Anwendung der Kettenregel erforderlich, nach der die Ableitung einer verketteten Funktion sich aus dem Produkt der Ableitungen von innerer und äußerer Funktion ergibt: g [f(x)] = g[ ] d [f(x)] f (x) (5-3) Damit kann zunächst v' aus (5-) entwickelt werden, wobei für die Ableitung des Quadrates von w' erneut die Produktregel anzuwenden ist: v' = [(1 +w' ) 1 ]' = 1 (1+w' ) 3 (w' )' = 1 (1+w' ) 3 w' w'' (5-4) mit w' =w' w' =w' w'' +w'' w' = w' w''. Damit sind alle Teile aus denen sich die Ableitung der Gleichung (5-1) zusammensetzt bekannt und die Ableitung kann zusammengestellt werden: κ =u' v +u v' =w'' (1 +w' ) 1 +w' [ 1 (1 +w' ) 3 w' w''] (5-5) Zur besseren Übersicht wird zur Weiterrechnung kurzzeitig a = (1 +w' ) substituiert. κ =w'' a 1 a 3 w' w'' κ =w'' (a 1 a 3 w' ) κ =w'' ( a 3 a 1 3 a a 3 a 3 3 a w' ) κ = w'' (a w' )= w'' ((1 +w' ) w' ) = a 3 a 3 w'' 3 (1 +w' ) (5-6) Dabei wurde im letzten Schritt die Substitution rückgängig gemacht. Durch Gleichsetzen mit Gleichung (5-17) wird zunächst die nichtlineare Momenten-Krümmungsbeziehung erhalten: κ = M y = w'' (1 +w' ) 3 (5-7) Für bauraktisch übliche kleine Drehwinkel ϕ =w' ist nun aber dessen Quadrat w' wiederum so klein, dass es ausreichend ist, mit der linearen Momenten-Krüm-

9 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 9 mungs-beziehung zu arbeiten: κ =w'' = M y (5-8) In Worten formuliert bedeutet Gleichung (5-8) Die zweite Ableitung der Verschiebungsfunktion w(x) nach der 1 Stabkoordinate x ist die mit dem Faktor vervielfachte Funktion des Biegemomentes M y (x). Damit sind alle Zusammenhänge für den ebenen Stab aufgestellt. 5.4 Das Differentialgleichungssystem für den ebenen Stab In den vorhergehenden Abschnitten wurden die Differentialgleichungen für den ebenen Stab aufgeschrieben. Alle Beziehungen zusammen ergeben ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen, welches stets eine eindeutige Lösung hat, die aber nicht in jedem Fall geschlossen aufgeschrieben werden kann. Der Beweis dafür wurde bereits von Robert Kirchhoff ( ) erbracht. In vielen Fällen kann aber auch eine geschlossene Lösung durch Integration gewonnen werden, wenn ausreichend viele Randbedingungen vorgegeben werden. In der Zusammenfassung kann unter Verwendung einer im Stab konstanten Biegesteifigkeit der Zusammenhang zwischen Belastungsfunktion (x) und Biegelinie w(x) als lineare inhomogene Differentialgleichung 4. Ordnung erhalten werden: w'''' = ϕ''' = ( M y v )'' = ( z )' = (x) w'''' =(x) (5-9) Gleichung (5-9) gilt, wie an der Unabhängigkeit von N x zu erkennen ist, für die lineare Elastizitätstheorie I. Ordnung. Für den Fall der linearen Elastizitätstheorie II. Ordnung (Gleichgewicht am verformten System) ist (5-9) gemäß den o.a. Beziehungen zu ergänzen. Ausgegangen wird dabei von der linearen Momenten-Krümmungs-Beziehung: w'' = M y (x) (5-30) Im Folgenden wird daher von bauraktisch kleinen Drehwinkeln ausgegangen, was zur Folge hat, dass auch gilt: cosϕ 1 sinϕ 0 (5-31) Damit gilt gemäß der Transformationsbedingung (5-9) auch näherungsweise N x H und V z R und die Gleichungen können entwickelt werden:

10 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 30 [ w''(x)]' = dm y (x) [ w''(x)]'' = d M y (x) = V z (x) = dv z(x) = * (x) (5-3) In diesen Gleichungen ist für die Funktion des Biegemomentes das Ergebnis aus (5-14) zu verwenden. Daher wurde in (5-3) zunächst mit * statt mit gearbeitet. dm y = (R H w') V z (x)+n x w' [ w''(x)]'' = d M y (x) w'''' =(x) +N x w'' = dv z(x) +N x w'' w'''' N x w'' =(x) (5-33) Gleichung (5-33) entsricht Gleichung (5-9), erweitert um den Term N x w''. Das ist die Ergänzung der Differentialgleichung der Biegelinie zur linearen Elastizitätstheorie II. Ordnung. Sie gilt für gerade ebene Stäbe mit konstanter Biegesteifigkeit sowie für kleine Drehwinkel ϕ der verformten Stabachse. 5.5 Lösung des Differentialgleichungssystems für Sonderfälle Zunächst wird die Lösung der Differentialgleichung für einen ausgewählten Fall nach ET I. O. gezeigt. Es gelte Bild 5-6. Ferner seien x =const. und ebenso E I=const.. x =const. i k x z w y (x)??? l E I=const. Bild 5-6: Gesucht ist die Funktion w y (x) für die Biegelinie eines Trägers auf Stützen unter konstanter Linienlast ( x) = Gleichung (5-6) wird zunächst integriert: V z ' ( x)= (x)= V z ( x)= (x)= x C 1 (5-34)

11 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 31 Als zweiter Schritt ist Gleichung (5-8) unter Verwendung von (5-34) zu integrieren: M ' (x)=v z ( x)= x C 1 M y (x)= V z ( x)= ( x+c 1 )= ( 1 x +C 1 x+c ) (5-35) Nunmehr können die ersten Randbedingungen eingearbeitet werden. Am statischen System (Bild 5-6) gilt offenbar. M y (x=0) = 0, M y (x=l)= 0 (5-36) und damit können die Integrationskonstanten C 1 und C wie folgt berechnet werden: M y (x=0) = 1 0 +C 1 0+C = 0 C = 0 M y (x=l) = 1 l +C 1 l = 0 C 1 = 1 l (5-37) Die Werte für C 1 und C vervollständigen die Gleichungen (5-35) und (5-37) und dienen nun zur Berechnung ausgewählter Werte, die zwar aus der technischen Mechanik bekannt sind, aber zum Vergleich hier auch angegeben werden sollen. Für die Querkraft an den Stellen x=0 und x=l wird zum Beisiel berechnet: V z ( x) = x+ 1 l V z ( x=0) = 0+ 1 l = 1 l V z ( x=l) = l+ 1 l = 1 l (5-38) und das Moment in Feldmitte wird für den Funktionswert x = l bestimmt: M y (x) = 1 x + 1 l x M y( x=1 ) = 1 l l l M y( x=1 ) = 1 8 l (5-39)

12 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 3 Unter Verwendung der Zwischenergebnisse kann nunmehr (5-8) integriert werden. Dabei wird in der hier angegebenen Schreibweise (5-11) imlementiert: w ' '(x)= ϕ ' (x) = M (x) EI = 1 EI ( 1 x + 1 l x) w ' '(x)= ϕ ' (x) = 1 EI ( 1 x 1 l x) (5-40) w '(x) = ϕ( x) = [ 1 EI ( 1 x 1 l x)] w '(x) = ϕ( x) = EI ( x l x) w '(x) = ϕ( x) = EI ( 1 3 x3 1 x l + C 3 ) (5-41) Da für den Drehwinkel der Stabachse keine Randbedingungen vorgegeben werden können, ist diese Gleichung analog der Gleichung (5-34) direkt ein zweites Mal zu integrieren. w(x)= ϕ(x) = EI ( 1 3 x3 1 x l + C 3 ) w(x)= EI ( 1 1 x4 1 6 x3 l + C 3 x + C 4 ) (5-4) Anhand der Gleichung (5-4) können die weiteren Randbedingungen zur Bestimmung der Integrationskonstanten C 3 und C 4 ausgewertet werden. Offensichtlich gilt für die Verschiebungen analog zu Gleichung (4): w(x=0) = 0 ; w(x=l)= 0 (5-43) Auswertend wird berechnet: w(x=0) =( l + C C 4 )= 0 C 4 = 0 w(x=l)= ( 1 1 l l 3 l + C 3 l)= 0 C 3 = 1 1 l 3 (5-44) Mit den berechneten Konstanten werden die Funktionsgleichungen für die Drehwinkel und die Verschiebung endgültig erhalten: ϕ( x)= EI ( 1 3 x3 1 x l l 3 ) (5-45)

13 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 33 w(x)= EI ( 1 1 x4 1 6 x3 l x l 3 ) (5-46) Damit sind die Funktionsgleichungen für den Träger auf Stützen unter konstanter Linienbelastung als Lösung der Differentialgleichungen für den ebenen Stab bestimmt worden. Sie sind insbesondere abhängig von den Randbedingungen, die zur Berechnung der Integrationskonstanten genutzt wurden. Bei anderen Randbedingungen werden entsrechend andere Ergebnisse erzielt. Die Auswertung kann nunmehr für sezielle Funktionswerte als klassische Kurvendiskussion erfolgen. So wird der Maximalwert einer Durchbiegungsfunktion (Biegelinie) dort auftreten, wo die erste Ableitung der Biegelinie, also die Funktion der Drehwinkel, eine Nullstelle hat, usw.... Vorliegend wird die maximale Durchbiegung in Feldmitte wird für x = l Gleichung (5-46) erhalten: aus der w(x= l ) = EI [ 1 1 ( l 4 ) 1 6 ( l ) 3 l ( l ) l 3 ] w(x= l ) = 4 EI ( l l 4 ) w(x= l ) = l 4 4 EI ( ) w(x= l ) = 5 l EI (5-47) Dieses Ergebnis ist in Tabellenbüchern (Scheider, Wendehorst, etc.) für den Träger auf zwei Stützen und den angegebenen Belastungsfall tabelliert. In der Literatur wurden auf diese Weise für viele häufig in der Praxis vorkommende Randbedingungen die entsrechenden Ergebnisse erzielt und aufgeschrieben. Ist die Lösung der Differentialgleichungen bei ET.I.O relativ einfach, so steigt der Aufwand für die Integration der Gleichung (5-33) für ET.II.O sehr schnell. Es liegt ebenfalls eine lineare inhomogene Differentialgleichung 4. Ordnung vor. Sie wird allgemein durch das Verfahren Variation der Konstanten gelöst, deren Lösung sich stets aus der Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung und einer artikulären (seziellen) Lösung zusammensetzt. Zunächst wird entwickelt: λ = N x (5-48) w'''' + λ w'' = (x) (5-49) Das komlette Lösungsverfahren kann an dieser Stelle nicht aufgezeigt werden. Die Lö-

14 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 34 sung lautet: w(x)=c 1 sin λx +C cos λx + 1 [M 0 N y (x) 1 x λ M 0 y''(x) + 1 λ 4M 0 IV y 1 λ 6M 0VI y (x) +...] (5-50) Die in der Gleichung enthaltenen Integrationskonstanten C 1 und C sind analog aus den Randbedingungen zu bestimmen. Darüber hinaus enthält die angegebene Form der 0 Lösung für die Biegelinie die Momentenfunktion M y nach Theorie I. Ordnung und deren Ableitungen als unendliche Reihe. Soll die Lösung also direkt aufgeschrieben werden, muss die Momentenfunktion nach Theorie I. Ordnung also bekannt sein. Die nachfolgenden Beisiele sind folglich (auch) Lösungen für den konkreten Einzelfall und beinhalten eine vorherige Betrachtung nach Theorie I. Ordnung. a) Lösung für eine exzentrische Druckkraft N Die betrachtete Situation ist im Bild 5-7 dargestellt. N N a w M = N a = konst. l Bild 5-7: erstes System für eine Beisiellösung der Gleichung (5-50) Es ist vollkommen klar, dass die mit dem Abstand a in den Stab bzw. Träger eingeleitete Normalkraft N im Stab konstant ist. Ferner ist im Stab das Biegemoment nach Theorie I. Ordnung ebenfalls konstant: M y 0 =N a (5-51) erzeugt. Da es konstant ist, gilt für die Ableitungen dieser Momentenfunktion: M y 0'' =M y 0 IV =M y 0VI =0 (5-5) Aus (5-51) folgt direkt: N x = N = M 0 y a (5-53) Das Vorzeichen entsteht aus der Definition der Kraft N x bei der Herleitung der Differentialgleichung und deren Lösung als Zugkraft mit ositivem Vorzeichen. Die Zwischenergebnisse aus (5-51) bis (5-53) werden in (5-50) eingearbeitet:

15 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 35 w(x)=c 1 sin λx +C cos λx a M 0 [M0...(alleWerte =0)...] w(x)=c 1 sin λx +C cos λx a (5-54) Nunmehr können die Randbedingungen eingearbeitet werden. Aus Bild 5-7 wird klar, dass die Verschiebungen an den beiden Auflagern identisch Null sein müssen: w(x=0) = 0 w(x=l)= 0 (5-55) Für x=0 wird: w(x=0) = C 1 sin 0 + C cos0 a = 0 C C 1 a = 0 C = a (5-56) Anschließend wird für x = l ausgewertet: w(x=l)= C 1 sin(λ l) + a cos(λ l) a = 0 1 cos(λ l) C 1 = a = a tan(λ l sin(λ l) ) (5-57) Damit kann die Ergebnisfunktion für die Biegelinie zusammengestellt werden: w(x)= a tan(λ l ) sin(λ x) + a cos(λ x) a w(x)= a [tan(λ l ) sin(λ x)+ cos(λ x) 1] (5-58) Die Funktion für das Biegemoment kann nunmehr über die. Ableitung der Biegelinie (5-58) im Zusammenhang mit (5-30) gefunden werden. Vorliegend ist es jedoch einfacher, die Funktion direkt herzuleiten. Am System ist erkennbar, dass sich das Biegemoment nach ET.II.O in Ergänzung der Beziehung (5-51) wie folgt berechnen lässt: M y II ( x)= M y 0 + N w( x) M y II ( x)= N a + N w( x) = N [a + w(x)] M y II ( x)= N a [tan(λ l ) sin(λ x) + cos(λ x)] (5-59) Die Querkraftfunktion wird als Ableitung der Funktion für das Biegemoment erhalten, wobei hier wiederum die Kettenregel zu beachten ist:

16 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 36 V z II = λ N a [tan(λ l ) cos(λ x) sin(λ x)] (5-60) Für weitere Fälle werden nachfolgend die Lösungen angegeben, ohne den Rechenweg komlett aufzuzeigen. Dieser kann bei Interesse der Fachliteratur entnommen werden, wobei ggf. abweichende Bezeichnungen und Vorzeichendefinitionen zu beachten sind. z, d F z, d N x, d N x, d z v z (x) l x z v z (x) l x Bild 5-8: Fälle für weitere Beisiellösungen der Gleichung (5-50) Für den Träger auf Stützen unter konstanter Linienbelastung z, d und einer Druckkraft N x, d beträgt die maximale Durchbiegung: v z ( x = l ) = z,d l 4 N x,d [ 1 cos( λ l ) ( λ l 4 ) cos(λ l ) ] 1 (5-61) Dabei ist der Wert λ nach Gleichung (5-48) definiert und es ist zu beachten, dass sich das Vorzeichen wegen der Druckkraft im Bild 5-8 umkehrt: λ = N x = N x,d, (5-6) denn bei der Herleitung der Differentialgleichungen wurde N x während im Bild 5-8 mit Druckkräften gearbeitet wird. als Zugkraft angesetzt, Für das rechte Teilbild 5-8, den Träger auf Stützen unter mittiger Einzellast, wird für die maximale Durchbiegung (6-63) λ l v z ( x = l ) = F l z, d [tan( ) 4 N x,d λ l 1] (5-63) erhalten. Die ausführlichen Lösungen sind u.a. von Roik gezeigt [1]. In der Bauraxis wird die Theorie II. Ordnung heute in der Regel mit EDV-Unterstützung eingesetzt. Viele übliche Stabwerksrogramme können nach Theorie II. Ordnung rechnen. Dabei wird ein iteratives Verfahren eingesetzt, bei dem die Verformungen nach Theorie I.

17 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 37 Ordnung Ausgangsunkt für weitere Berechnungen des Systems sind, bei dem dann durch Bildung des Gleichgewichts an der verformten Stabachse die Momente schrittweise dem endgültigen Wert zustreben. Die Berechnung wird in der Regel abgebrochen, wenn sich die Ergebnisse zweier aufeinanderfolgender Iterationsschritte um nicht mehr als einen vorgegebenen Wert unterscheiden. Diese Genauigkeitsschranke kann wahlweise als Absolutwert oder Prozentwert angegeben werden. Berechnungen nach Theorie II. Ordnung sind nur sinnvoll, wenn es gelingt, das Modell so zu beschrieben, dass alle Effekte enthalten sind, wie z.b.: - sannungslose Vorverformungen der Tragwerksteile, - herstellungsbedingte Maßtoleranzen - Schiefstellungen und Lotabweichungen - exzentrische Lasteinleitungen - außermittige Bauteilverbindungen an den Knoten - wirklichkeitsnahe Auflagermodellierung Damit ist es möglich, die Tragwirkung so zu beschreiben, dass die Einhaltung der zulässigen Sannungen bzw. die Einhaltung der Querschnittstragfähigkeit bei zugelassener (teilweiser) Plastizierung als Nachweis der Tragsicherheit gemäß EN gelten kann. In allen anderen Fällen sind neben den Sannungsnachweisen weitere Nachweise erforderlich, die im Folgenden beschrieben und dargelegt werden. Wegen des erhöhten Aufwands bei der Modellbildung für Berechnungen nach Theorie II. Ordnung ist nach wie vor gängige Praxis, die Stabilitätsnachweise gesondert zu führen. Bild 5-9: Biegemomente an einer Rahmenecke (Hallenrahmen) links: nach Theorie I. Ordnung - 34,8 knm rechts: nach Theorie II. Ordnung - 334,46 knm Erhöhung,97 %