A: Präsenzaufgaben am 4. Dezember Taylorreihen. Wahr oder falsch: Die Taylorreihe einer beliebigen Polynomfunktion R! R, x 7! p an,...

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1 Übungen zu 65-84: Mathematik I für Stuierene er Holzwirtschaft un Geowissenschaften (Elementare Analysis), Universität Hamburg, Wintersemester 25, Übung 7 Fachbereich Mathematik, Dr. Peter Heinig A: Präsenzaufgaben am 4. Dezember 25. Taylorreihen. Wahr oer falsch: Die Taylorreihe einer beliebigen Polynomfunktion R! R, x 7! p an,...,a (x) mit(a,...,a n ) 2 N n+ (Notation aus Satz 2..9 er VL) um en Entwicklungspunkt a ist gleich p an,...,a (x). Begrünen Sie Ihre Antwort. Antwortbeispiel. Wahr. Begrünung: Das lässt sich unmittelbar aus em Satz von Taylor (Satz 2.5. er Vorlesung vom vom 27. November 25) ablesen, insbesonere weil schließlich alle Ableitungen null sin. 2. Taylorreihen. Berechnen Sie as Taylorpolynom 2-ter Ornung (im Sinne von [TWH, S. 798]) von f(x) : cos(3x) bezüglich Entwicklungspunkt a. Antwortbeispiel. Laut en allgemeinen (Kettenregel) un speziellen (Ableitung von cos in Satz 2..8) Ableitungsregeln in er 3. Vorlesung ist x 7! cos(3x) beliebig-oft i erenzierbar an jeer Stelle von R, un 2 x cos(3x) 3sin(3x), cos(3x) 9cos(3x). () x Mit en Notationen aus Satz 2.5. (mit a,f cosunx statt b) istaher 2 x cos(3x) P 2(x) cos(3 ) + x cos(3x) (x ) + x 2! (wegen ()) cos() 3 sin(3 ) x 9 cos(3 ) x 2 B: Aufgaben bis spätestens. Dezember 25 x (x ) 2 9x 2. (2). Abkühlung. Logarithmus als Umkehrfunktion. Eine praktikable erste Näherung bei er Moellierung er Abkühlung eines von einer Maschine neu gefertigten un aus sehr homogenem Material bestehenen Rohlings R mit Temperatur T(t) zurzeitt ist T(t) (T() T u ) exp( C R t)+t u, wobei T u ie (als konstant, insbesonere vom Rohling selbst unbeeinflusst angenommene) Umgebungstemperatur, un C R > eine messbare, für as Material spezifische Proportionalitätskonstante ist. Angenommen, C R.34, T u 27 un T() 93. Zu welchem Zeitpunkt t 3 (gerunet auf zwei Dezimalstellen) hat er Rohling ie Temperatur T(t 3 ) 3 erreicht? (4 Pkte.) (Bei ieser Aufgabe geht es nur um ie richtige Antwort, mit Begrünung; ie Rechnung selbst ürfen Sie hier einer elektronischen Rechenmaschine übertragen. Insbesonere ist hier aners als in Übung 3 keine Dokumentation von Rechnungen mit Dezimalzahlen verlangt.) Antwortbeispiel. Auflösen er bereits gegebenen Formel nach t liefert ie Lösung: Es ist exp( C R t 3) T (t 3 ) T u T () T u, un nach Definition in VL 7 un Definition in VL 8 ist log(exp( C R t)) C R t, aher T (t3) T u t 3 log C R T () T u T () Tu log C R T (t 3) T u log log(.34 2 ). (3)

2 Rechenmaschinen zufolge ist < 33 log( ) < 8.246, aher ist ie Antwort: Ungefähr zum Zeitpunkt.34 2 t Zeiteinheiten hat er Rohling eine Temperatur von 3 Temperatureinheiten erreicht. 2. Abbauraten. Anwenungen es Logarithmus bei Zerfallsprozessen. Relatives Denken. Sie untersuchen zwei Gesteinsproben G un G 2, beie erkaltetes Magma, auf ihren jeweiligen Anteil erselben (hier nicht weiter spezifizierten) Substanz S. In G messen Sie einen Anteil a S (t) 6%, in G 2 hingegen nur a S 2(t) 4%. (Wir nehmen hier an, ass Sie iese beien Messungen genau zum selben Zeitpunkt t vorgenommen haben.) Sie wissen, ass für beie i 2 {, 2} er Anteil a S i (t) von S in guter Näherung einem exponentiellen Abbau-Prozess mit Basis e (Eulersche Zahl) un konstanter Halbwertszeit von 573 Jahren unterliegt. Weer für i nochfür i 2kennen Sie en absoluten Wert a S i (t,i), en Anteil von S zum Zeitpunkt t,i <t, kurz nach Erstarren es Magmas. Sie haben aber gute Grüne, anzunehmen, ass ie Bescha enheit es Magmas anfangs gleich war, insbesonere machen Sie ie relative Annahme, ass a S (t, )a S 2(t,2 ). Berechnen Sie aus iesen Informationen eine Schätzung afür, um wie viele Jahre älter G 2 im Vergleich zu G ist,.h. berechnen Sie ie Di erenz t, t,2. (4 Pkte.) Antwortbeispiel. Nach Definition von exponentieller Zerfallsprozess in VL vom 4. Dezember 25 existiert für jees i 2 {, 2} genau ein t h,i 2 R mit a S i (t h,i ) 2 as i (t,i). Laut Def VL ist t h, t, t h,2 t,2 ie Halbwertszeit es exponentiellen Zerfallsprozesses in G i,unfürbeie i 2 {, 2} ist aher a S i (t) a S i (t,i) exp( a S i (t,i) exp( Durch Division von (4) für i urch (4) für i 2 folgt t h,i t,i (t t,i)) as (t) a S 2 (t) as (t,) exp( (t t,) (t,2) (wegen er Annahme a S (t,) a S 2(t,2)) a S 2 (t t,i)) (4) (t t,2)) exp( (t,2 t,)), (5) un aus (5) un VL Definition folgt urch Anwenung von log für en Altersunterschie, ass t, t,2 log( ) log( 2 ) Jahre Anwenung von Taylorpolynomen in er Rechenpraxis. Benutzen Sie in er Vorlesung mitgeteilte Aussagen, um urch konkrete Rechnungen un Abschätzungen mit Dezimalzahlen zu beweisen, ass log(2.7) <. (Es geht bei ieser Aufgabe insbesonere um saubere Ausführung, übersichtliche Dokumentation Ihrer Rechnungen als Übung einer praktischen Fähigkeit; auch un gerae afür weren hier Punkte vergeben weren.) (4 Pkte.) 4. Di erentiation er Umkehrfunktion. Bezeichne arcsin wie üblich ie Umkehrfunktion er Funktion sin [ /2, /2] :[ /2, /2]! R. (a) Beweisen Sie mit Mitteln er Vorlesung x arcsin(x) ( 2 ) 2 für jees 2 (, ). x (2 Pkte.) Antwortbeispiel. Wegen sin(x) 2 +cos(x) 2 für jees x 2 R gilt cos(x) p cos(x) 2 p sin(x) 2 für jees x 2 R. Wegen cos( ) > fürjees 2 ( /2, /2) gilt cos( ) cos( ) für jees 2 ( /2, /2). Daher cos(x) ( sin(x) 2 ) /2 für jees x 2 ( /2, /2). (6) Wegen < /2 folgt aus (6), ass insbesonere cos(x) ( sin(x) 2 ) /2 für jees x 2 (, ). (7)

3 Gemäß Satz mit f sin [ /2, /2] un f arcsin ist für jees 2 (, ), was zu zeigen war. x arcsin(x) x (sin) (arcsin(x)) x cos(arcsin(x)) x (wegen (6)) ( (sin(arcsin(x))) 2 ) /2 x ( 2 ) ( x 2 ) /2 2, (8) x (b) Bestimmen Sie, mit Begrünung, ie ersten rei nichtverschwinenen Glieer er Taylor- Reihe von arcsin mit Entwicklungspunkt a. (Vorsicht: Es ist nicht nach em Taylor-Polynom 3-ter Ornung gefragt; er Gra es Polynoms ist nicht in er Aufgabenstellung enthalten.) (2 Pkte.) Antwortbeispiel. Anstatt en Satz von Taylor irekt anzuwenen, un abei x arcsin(x) x ( 2 ) 2 mehrfach ableiten zu müssen, ist es einfacher, Teilaufgabe (a), en Hauptsatz in er Version aus Satz er VL un ie Binomialreihe aus Satz VL. 8 zu kombinieren. Es ist (wegen Teilaufgabe (a)) arcsin(x) (wegensatz2.2.7) (arcsin) (t) t ( t 2 ) 2 t (9) Wir wenen jetzt en Satz von Taylor (Satz 2.5.) un en Satz über ie binomische Reihe (Satz in VL vom 4. Dezember 25) an, letzteren mit m /2, un t 2 statt x, wobeiwegen x 2 (, ) un t 2 [,x] ) t 2 (, ) ) t 2 (, ) ) t 2 2 (, ) () in er Situation von (9) ie Voraussetzungen von Satz erfüllt sin. Es ist aher!! ( t 2 ) /2 2 + ( t 2 ) /2 + ( t 2 ) 2 + R(t) t2 + ( ) ( ) 2 2 ( t 2 ) 2 + R(t) 2! + 2 t t4 + R(t), () wobei R(t) aszugehörige Restglie bezeichnet. Aus (9), () un Linearität es Integrals (vgl. Satz in VL vom 6. November 25) folgt arcsin(x) t + 2 t 2 t x x t5 + x + 6 x t5 + t 4 + R(t) t R(t) t R(t) t. (2) Aus (2) un em Satz von Taylor folgt, ass x, 6 t3 un 3 5 ie gesuchten ersten rei nichtverschwinenen Glieer er Taylorreihe von arcsin 4 sin. Nebenbei: Hier sahen Sie auch ie Genese es Faktors 3 8 /2 2,erinerieswöchigen Kolumne eine Rolle spielte.

4 x (c) 5. Taylor-Polynome berechnen. Berechnen Sie für ie Funktionen jeweils as Taylorpolynom 3-ter Ornung, un as zugehörige Restglie, um en angegebenen Entwicklungspunkt a: (a) R >! R, x 7! x,uma 2, ( Pkt.) Antwortbeispiel. Sei f(x) : /( x). Gemäß Definition in VL 8 wir für as zum Taylor- Polynom 3-ter Ornung gehörige Restglie ie 4-te Ableitung von f benötigt. Wir berechnen aher zunächst ie ersten vier Ableitungen von f. Esistf (x) ( ) ( x) 2 ( ) ( x) 2, f (x) ( 2) ( x) 3 ( ) 2( x) 3, f (x) 2 ( 3) ( x) 4 ( ) 6 ( x) 4, f (x) 24( x) 5,aherf (a),f (a) 2, f (a) 6. Daher ist as gesuchte Taylor-Polynom P 3(x) f(a) +f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 + f (a) (x 2! 3! a) 3 +(x 2) (x 2) 2 +(x 2) 3 un as zugehörige Restglie R 3(x) f (4) ( ) (x a) 4 4! einem 2 a x,a+ x 2 x, 2+ x. 24( ) 5 24 (x 2) 4 ( ) 5 (x 2) 4,mit (b) R >! R, x 7! x,uma 4, ( Pkt.) Sei f(x) :/x. Gemäß Definition in VL 8 wir für as zum Taylor-Polynom 3-ter Ornung gehörige Restglie ie 4-te Ableitung von f benötigt. Wir berechnen aher zunächst ie ersten vier Ableitungen von f. Esistf (x) x 2, f (x) 2x 3, f (x) 6x 4, f (x) 24x 5, un amit ergibt sich nach Ausrechnen von f (a),...,f (4) (a) as gesuchte Taylor-Polynom als P 3 (x) 4 6 (x 4)+ 64 (x 4)2 256 (x 4)3 un as zugehörige Restglie a x,a+ x als R 3 (x) f (4) ( ) 4! (x 4) (x 4)4 5 (x 4) 4,miteinem 2 4 x, 4+ x.

5 (c) [, ]! R, x 7! p x 2,uma, ( Pkt.) Antwortbeispiel. Sei f(x) : p x 2.MitanalogerBegrünungwiein un um () in Übungsaufgabe 4 können wir hier statt irekter Anwenung es Satzes von Taylor ie Binomialreihe nutzen: Mit m,un 2 x2 statt x in Satz er VL vom 4. Dezember 25 gilt p x ( x 2 )+ 2 ( 2 ) ( x 2 ) 2 + R(x) 2 2 x2 8 x4 + R(x). Daher ist P 3(x) 2 x2, insbesonere hat hier P 3(x) Gra kleiner als 3. Für as zu P 3(x) gehörige Restglie brauchen wir bekanntlich ie vierte Ableitung. Es ist f (4) 4x (x) (x+) 3 (x ) 3p,aherR3(x) f x x 2 4! 8 ( +) 3 ( ) 3p 2 x4 mit einem 2 [a x,a+ x ] [ x, x ]. () R >! R, x 7! log(2x), um a 3. ( Pkt.) Antwortbeispiel. Sei f(x) : log(2x). Mit analoger Begrünung wie in Teilaufgabe (a) ergibt sich P 3(x) log(6)+ (x 3) (x 3 8 3)2 + (x 3)3 8 Für as zu P 3(x) gehörige Restglie R 3(x) brauchen wir bekanntlich ie vierte Ableitung. Es ist f (4) (x) 6x 4,aherR 3(x) f ( ) (x a) 4 (x 3) 4 mit einem 2 [a x,a+ x ] 4! 4 4 [3 x, 3+ x ], über as sich im Allgemeinen nichts genaueres sagen lässt. (4) ( ) Auflösung Kolumne Blatt 4. Erkenntnisgewinn urch Ableitungen. Ein urchschnittliches, hanelsübliches Fahrra besteht nach Abstraktion von zufälligen Details im Wesentlichen aus einem lenkbaren,.h. um eine zum Fahrtrichtungsvektor senkrechte Achse rehbaren Vorerra un einem nicht-lenkbaren Hinterra. Daher schneiet zu jeem Zeitpunkt t er Fahrrafahrt ie in Fahrtrichtung gezeichnete Tangente an ie Hinterraspur im Aufsetzpunkt H t ie Vorerraspur im Aufsetzpunkt V t es Vorerraes. Eine Argumentation zur Deuktion von Fahrtrichtung un Vorerra- Hinterra-Zuornung für ie vorgefunene Fahrraspur ist aher: Für ie obere Kurve schneiet ie Tangente in keinem ihrer Punkte ie untere Kurve; aher kann ie obere Kurve K V nicht ie es Hinterraes, muss also ie es Vorerraes sein. Damit sin ie Kurven zugeornet. (Nebenbei: Die Spur es Hinterraes ist ie sogenannte Schleppkurve er Spur es Vorerraes.) Die Fahrtrichtung ergibt sich nun aus er unteren Kurve K H:ieTangenteanK H in ihrem oberen Enpunkt schneiet K V nur in einer er beien Richtungen, ie sich er Tangente zuweisen lassen (in er Zeichnung urch en Pfeil von H nach V symbolisiert); ies also muss ie Fahrtrichtung gewesen sein. Ohne en Fachbegri Tangente, er en Begri er Ableitung enthält, wäre es kaum möglich, iese Schlussfolgerung aäquat zu begrünen; insbesonere würen ie Begri e Gerae un Schnittpunkt allein afür nur schwerlich ausreichen. Die wöchentliche Kolumne Zusammenhänge zwischen Experimentalphysik un elementarer Analysis. Vohersagen aus mathematischen Moellen urch Berechnung von Taylorreihen. In Ihrer Experimentalphysik-Vorlesung lernen Sie, ass ie kinetische Energie eines iealen Teilchens er Ruhemasse m un Geschwinigkeit v gleich 2 mv2 ist. Diese Formel ist gemäß er speziellen Relativitätstheorie jeoch nur erster Summan einer Taylorreihe für ie kinetische Energie. DerzweiteTermfolgt(istesnicht staunenswert, wie hier er Kalkül einen Koe zienten wie 3 8 mit experimentell-überprüfbarer physikalischer Beeutung ans Licht förert?) mit em Satz von Taylor zwingen aus er Formel m m / p (v/c) 2 für ie Geschwinigkeitsabhängigkeit er Masse m, wobei c ie Lichtgeschwinigkeit bezeichnet. Mit er Taylorreihe für x 7! ( + x) /2 folgt E kin 2 mv m v2 ( v c )2 +. Solche sogenannten relativistischen Korrekturterme wie 3 8 m v2 ( v c )2 sin auch in en moernen Geowissenschaften von Beeutung, z.b. bei hochtechnisierter Fernerkunung mit Satelliten.