4 Parameterabhängige Integrale

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1 4 Prmeterbhängige ntegrle m letzten Abschnitt dieses Kpitels behndlen wir ls Anwendung der prtiellen Ableitung prmeterbhängige ntegrle. Sei dzu Ω R n offen und = [,b] ein kompktes ntervll. Für eine gegebene Funktion f : Ω R, f = f(x,y, betrchten wir die neue Funktion (4.7 φ : Ω R, φ(x = f(x,ydy. Diese Funktion wird ls prmeterbhängiges ntegrl bezeichnet, wobei die Prmeter hier die Punkte x = (x 1,...,x n Ω sind. Dmit φ wohldefiniert ist, müssen die ntegrle existieren,lsosolltefürjedesx ΩdieFunktionf(x, : R,y f(x,y,riemnn-integrierbr sein. Wir interessieren uns für die Stetigkeit und Ableitung der Funktion φ(x. Dbei werden wir benutzen, dss stetige Funktionen uf kompkten Mengen gleichmäßig stetig sind, vgl. Kpitel 6, Stz 1.8. Stz 4.1 (Stetigkeit von Prmeterintegrlen Sei f C (Ω, f = f(x,y, wobei Ω R n offen und = [,b] kompkt. Dnn ist die Funktion wohldefiniert und stetig. φ : Ω R, φ(x = f(x,ydy, Beweis: Die Funktion ist wohldefiniert, denn für x Ω ist f(x, C (, lso Riemnnintegrierbr. Zu x Ω gibt es ein δ > mit K := {x R n : x x δ } Ω. D K kompkt, ist f : K R gleichmäßig stetig, insbesondere gibt es zu ε > ein δ (,δ ], so dss für lle y gilt: f(x,y f(x,y < ε b für x x < δ. Wir erhlten für x x < δ die Abschätzung φ(x φ(x f(x,y f(x,y dy < ε. Wir gehen direkt weiter zur Differenzierbrkeit und Berechnung der Ableitung. Stz 4.2 (Differentition unter dem ntegrl Sei Ω R n offen und = [,b]. Für f : Ω R mit f(x, C ( für lle x Ω setze φ : Ω R, φ(x = f(x,ydy. st C (Ω für ein j {1,...,n}, so folgt φ (x = (x,ydy. Sind f und x 1,..., x n in C (Ω, so ist φ C 1 (Ω. 44

2 Beweis: Zu x Ω wähle δ >, so dss K = {x R n : x x δ } Ω. D gleichmäßig stetig uf K ist, gibt es zu ε > ein δ (,δ ], so dss für lle y gilt: (x,y (x,y < ε b für x x < δ. Nch dem Huptstz der Differentil- und ntegrlrechnung gilt f(x+he j,y f(x,y h = 1 h 1 d ds f(x+she j,yds = 1 (x+she j,yds. Für h [ δ,δ] und s [,1] ist (x+she j,y (x,y < ε/(b, lso φ(x+he j φ(x ( (x,ydy h = f(x+hej,y f(x,y (x,y dy h 1 ( = (x+she j,y (x,y dsdy 1 (x+she j,y (x,y dsdy < ε. Dmit ist die Differentitionsregel gezeigt. Die Zustzussge folgt nun us Stz 4.1. Beispiel 4.1 Wir berechnen hier ds ntegrl der Gußschen Dichtefunktion (ds früher uf 1-Mrk-Scheinen zu finden wr e x2 dx = π. Der Beweis ist trickreich, und zwr betrchten wir die Funktion ( x 2, F : [, R, F(x = e dξ ξ2 und berechnen mit dem Huptstz und nschließender Substitution ξ = xy, lso dξ = xdy, x F (x = 2e x2 e ξ2 dξ = 1 2xe (1+y2 x 2 dy = 1 x (x,ydy, wobei f(x,y = e (1+y2 x 2 /(1+y 2. D f uf (, [,1] gltt ist, können wir nch Stz 4.2 den Opertor x herusziehen, und mit φ(x = 1 f(x,ydy folgt φ (x = 1 x (x,ydy = F (x. Nun gilt F( φ( = 1 (1 +y2 1 dy = rctn1 = π/4, lso F(x = φ(x +π/4 für lle x [,. Aber φ(x e x2 mit x, und so π e x2 dx = lim F(x = x 2. 45

3 n dieser Vorlesung werden wir us Zeitgründen kein mehrdimensionles ntegrl behndeln, dies soll in Anlysis 3 usführliches Them sein. mmerhin können wir ls nützliche Anwendung hier die Vertuschbrkeit der ntegrtionsreihenfolge in Mehrfchintegrlen folgern. Stz 4.3 (Kleiner Fubini Seien = [,b], J = [,β] kompkte ntervlle. Dnn gilt β ( b f(x,ydx dy = b ( β Beweis: Wir betrchten die Funktionen φ,ψ : [,b] R mit φ(x = β ( x f(ξ,ydξ dy und ψ(x = f(x,ydy dx für f C ( J. x ( β f(ξ,ydy dξ. Nch Stz 4.1 sind y x f(ξ,ydξ sowie ξ β f(ξ,ydy stetig, und dmit beide Seiten wohldefiniert mit φ( = ψ( =. Wir zeigen φ (x = ψ (x für lle x, worus die Behuptung φ(b = ψ(b folgt. Der Huptstz der Differentil- und ntegrlrechnung liefert Weiter ht die Funktion F(x,y = x und us Stz 4.2 folgt φ (x = ψ (x = β β f(x,ydy. f(ξ,ydξ die prtielle Ableitung F x = f C ( J, F β x (x,ydy = f(x,ydy. Viele interessnte Prmeterintegrle sind uneigentliche ntegrle, zum Beispiel bei der Definition der Gmmfunktion oder der Fouriertrnsformtion. Aus Zeitgründen können wir druf jetzt nicht eingehen, werden ber Prmeterintegrle nochmls innerhlb der Theorie des Lebesgue-ntegrls im dritten Semester ufgreifen. 46

4 Kpitel 8 Kurvenintegrle und komplexe Anlysis 1 Kurvenintegrle Wir kehren hier zur eindimensionlen Anlysis zurück und interessieren uns zunächst für Kurven im R n. Mn bezeichnet jede stetige Abbildung eines ntervlls in den R n ls Kurve. Dies hört sich zunächst vernünftig n, llerdings lässt die Forderung der Stetigkeit noch Abbildungen zu, die nschulich weit entfernt dvon sind, eine Kurve zu sein. So ht G. Peno 195 stetige Kurven konstruiert, die ds ntervll [, 1] surjektiv uf die Fläche eines Dreiecks bbilden. Wir sollten lso lieber etws mehr verlngen ls nur Stetigkeit. Definition 1.1 (C 1 -Kurve st C 1 (,R n, ntervll, so heißt C 1 -Kurve im R n. Beispiel 1.1 Für p,v R n mit v ist (t = p+tv eine prmetrisierte Gerde. Der Fll v = ist jedoch durch Definition 1.1 nicht usgeschlossen. Die Kurve : R R 2, (t = (rcost,rsint mit r >, durchläuft den Kreis vom Rdius r um den Nullpunkt unendlich oft. Durch Hinzufügen einer dritten Komponente entsteht die Schrubenlinie : R R 3, (t = (rcost,rsint,t für >. Bei einem Umluf wächst die dritte Komponente um die Höhe 2π. Ds Bild der Kurve sieht us wie eine etws deformierte Acht. : R R 2, (t = (cost,sin2t Definition 1.2 (Bogenlänge Die Bogenlänge einer Kurve C 1 (,R n, = [,b], ist L( =. 47

5 Eigentlich müsste diese Formel durch Approximtion von mit Polygonzügen, deren Länge elementr definiert ist, begründet werden. Für eine Zerlegung = t <... < t N = b sollte näherungsweise gelten: N (t i (t i 1 = i=1 N i=1 ti (tdt t i 1 N (t i t i i=1 (t dt. Wir verzichten ber hier druf, dieses Argument rigoros zu mchen. Beispiel 1.2 Die Länge von (t = (rcost,rsint,t, t 2π, ist L( = 2π ( rsint,rcost, dt = 2π r Die Schrubenlinie verläuft uf dem Mntel des Zylinders x 2 +y 2 = r 2, und mn knn ds Ergebnis durch Abrollen des Zylinders mit dem Stz des Pythgors bestätigen. Anschulich besteht eine Kurve us ihrem Bild im R n und einem Fhrpln, wie dieses Bild durchlufen werden soll. n der Physik spielt der Fhrpln eine wesentliche Rolle, zum Beispiel für unsere Jhreszeiten. Die Bogenlänge ist jedoch eine geometrische Größe, und sollte nicht vom Fhrpln bhängen. Ds soll nun präzisiert werden. Definition 1.3 (Umprmetrisierung Seien 1,2 : 1,2 R n prmetrisierte Kurven. Dnn heißt 2 Umprmetrisierung von 1, flls eine Bijektion ϕ C 1 ( 2, 1 mit ϕ existiert, so dss 2 = 1 ϕ. Die Bijektion ϕ nennt mn uch Prmetertrnsformtion. An dieser Stelle ergibt sich die Frge, wrum wir die Bedingung ϕ verlngen. Eine Antwort ist, dss wir jedenflls die Differenzierbrkeit der Prmetertrnsformtionen verlngen wollen, ußerdem sollte die Sche symmetrisch bezüglich 1 und 2 sein. Die Bedingung ϕ ist ber äquivlent dzu, dss die inverse Prmetertrnsformtion ϕ 1 differenzierbr ist. Ttsächlich ist die Reltion 1 2, flls 2 Umprmetrisierung von 1, eine Äquivlenzreltion (Übungsufgbe. Lemm 1.1 (nvrinz der Bogenlänge Sind 1,2 C 1 ( 1,2,R n und ist 2 eine Umprmetrisierung von 1, so folgt L( 2 = L( 1. Beweis: Sei 2 = 1 ϕ für ϕ C 1 ( 2, 1 mit ϕ. Dnn folgt je nch Vorzeichen von ϕ 2(t = 1(ϕ(t ϕ (t = ± 1(ϕ(t ϕ (t, lso liefert die Substitution s = ϕ(t für 1 = [ 1,b 1 ] sowie 2 = [ 2,b 2 ] L( 2 = b2 2 2(t dt = ± b2 2 1(ϕ(t ϕ (tdt = ± ϕ(b2 ϕ( 2 1(s ds = L( 1. Es ist eine nheliegende Frge, ob für eine gegebene Kurve eine besonders schöne Umprmetrisierung existiert. Ws dbei besonders schön sein soll, sgt folgende Definition. 48

6 Definition 1.4 (Prmetrisierung nch der Bogenlänge Eine Kurve c C 1 (,R n heißt nch der Bogenlänge prmetrisiert, wenn gilt: c (s = 1 für lle s. Physiklisch betrchtet wird eine nch der Bogenlänge prmetrisierte Kurve mit Absolutgeschwindigkeit Eins durchlufen. Geometrisch folgt für jedes Teilintervll [, b] L ( b c [,b] = c (s ds = (b, ds heißt ds ntervll wird durch c längentreu bgebildet. Stz 1.1 (Prmetrisierung nch der Bogenlänge Sei C 1 ([,b],r n eine Kurve mit Länge L = L(. Es gelte (t für lle t. Dnn gibt es eine C 1 -Bijektion ϕ : [,L] [,b] mit ϕ >, so dss c = ϕ nch der Bogenlänge prmetrisiert ist. Beweis: Wir betrchten die Bogenlängenfunktion (1.1 σ : [,b] [,L], σ(t = t (τ dτ. Es gilt σ (t = (t > nch Vorussetzung, lso ist σ eine Bijektion der Klsse C 1. Bezeichnet ϕ : [,L] [,b] die Umkehrfunktion, so folgt ( ϕ (s = (ϕ(s ϕ (s = (ϕ(s 1 σ (ϕ(s = 1. Eine Kurve mit (t für lle t nennt mn regulär (oder immergiert. Verzichtet mn uf die Bedingung der Regulrität, so knn ds Bild sogr einer C -Kurve Singulritäten ufweisen. Ein Beispiel ist die Neilsche Prbel : R R 2, (t = (t 2,t 3. Ds Bild (R = {(x,±x 3/2 : x R} ht eine Spitze im Nullpunkt. Die Regulrität einer Kurve bleibt unter Umprmetrisierungen erhlten, denn es gilt ( ϕ = ( ϕϕ mit ϕ nch Definition. nsbesondere knn uf die Vorussetzung in Stz 1.1 nicht verzichtet werden. st der Endpunkt einer Kurve der Anfngspunkt einer zweiten Kurve, so ist es nheliegend, diese zu einer Kurve zusmmenzusetzen. m llgemeinen wird ds Ergebnis dnn keine C 1 -Kurve mehr sein. Auch stückweise linere Kurven sind in der Regel nicht C 1. Es ist dher prktisch, ls Verllgemeinerung stückweise C 1 -Kurven einzuführen. Definition 1.5 (stückweise C 1 Eine Kurve C ([,b],r n heißt stückweise C 1, wenn es eine Zerlegung = t <... < t N = b gibt, so dss mit k = [t k 1,t k ] gilt: k C 1 ( k,r n für lle k = 1,...,N. Nottion: PC 1 (,R n (piecewise continuously differentible. 49

7 n den Unterteilungspunkten existieren die links- und rechtsseitigen Grenzwerte ± (t i, die jedoch nicht übereinstimmen müssen. Setzen wir willkürlich (t i =, so ist die Funktion : [,b] R n stückweise stetig, insbesondere ist : [,b] R Riemnn-integrierbr, siehe Kpitel 5, Abschnitt 1. Die Bogenlänge ist lso uch für PC 1 ([,b],r n durch Definition 1.2 erklärt. nsbesondere hängt die Länge nicht von der Whl der Unterteilung b. m Folgenden bezeichne, stets ds Stndrdsklrprodukt im R n. Definition 1.6 st F C (Ω,R n, Ω R n offen, und PC 1 ([,b],ω, so heißt ds Kurvenintegrl von F längs. F dx := b F ( (t, (t dt n der Physik ist zum Beispiel F ds Grvittionsfeld, und ds Kurvenintegrl ergibt die Arbeit, die beim Trnsport einer Msse längs einer Kurve innerhlb des Feldes verrichtet wird. Dbei wird dx ls vektorielles Längenelement interpretiert, und der Punkt bedeutet ds Sklrprodukt im R n. Wir hben diese Nottion übernommen, obwohl sie für uns rein symbolisch ist, ds heißt dx ht keine eigene mthemtische Bedeutung, ähnlich wie beim Riemnnintegrl. Ds Kurvenintegrl ist llein durch die rechte Seite in Definition 1.6 erklärt. Allerdings ist die Merkregel, dss dx durch (tdt zu ersetzen ist, hilfreich. Beispiel 1.3 (Grvittionsfeld Ds Grvittionsfeld der Sonne ist gegeben durch F : R 3 \{} R 3, F(x = C x x 3 mit C >. Beispiel 1.4 (Winkelvektorfeld Wir betrchten hier ds Vektorfeld W : R 2 \{} R 2, W(x,y = ( y x 2 +y 2, x x 2 +y 2. st : [,b] R 2 \{}, (t = r(t ( cosθ(t,sinθ(t mit r,θ C 1 (, so folgt (1.2 W dx = b ( ( ( 1 sinθ cosθ sinθ,r +rθ dt = θ(b θ(. r cosθ sinθ cosθ Also liefert ds Kurvenintegrl von W die Differenz der Polrwinkel von Endpunkt und Anfngspunkt der Kurve. Eine Prmetertrnsformtion ϕ : 2 1 heißt orientierungserhltend (bzw. orientierungsumkehrend, wenn ϕ > (bzw. ϕ < ist. Anschulich wird bei Umprmetrisierung mit einer orientierungsumkehrenden Prmetertrnsformtion die Kurve umgekehrt durchlufen, Anfngs- und Endpunkt tuschen ihre Rollen. Während die Bogenlänge unter llen Umprmetrisierungen invrint ist, ist ds Kurvenintegrl nur bei orientierungserhltenden Umprmetrisierungen invrint, bei orientierungsumkehrenden Umprmetrisierungen wechselt es sein Vorzeichen. Dies wird sogleich gezeigt. Lemm 1.2 Ds Kurvenintegrl ht folgende Eigenschften: 5

8 ( Linerität: sind F 1,2 C (Ω,R 2 und λ 1,2 R, so gilt für PC 1 ([,b],ω (λ 1 F 1 +λ 2 F 2 dx = λ 1 F 1 dx+λ 2 F 2 dx. (b Additivität bei Zerlegungen: ist PC 1 ([,b],r n und = t <... < t N = b eine beliebige Zerlegung von [,b], so folgt mit i = [ti 1,t i ] F dx = N i=1 i F dx. (c nvrinz bei Umprmetrisierungen: sei PC 1 ( 1,R 2 und ϕ C 1 ( 2, 1 eine Prmetertrnsformtion. Dnn gilt, je nch Vorzeichen von ϕ, F dx = ± F dx. ϕ Beweis: ( und (b folgen us der Definition und den Eigenschften des Riemnnintegrls. Für (c sei 1 = [ 1,b 1 ] und 2 = [ 2,b 2 ]. Mit der Substitution ϕ(t = s ergibt sich F dx b2 = (F ϕ(t,( ϕ (t dt 2 ϕ = = b2 2 F (ϕ(t, (ϕ(t ϕ (tdt ϕ(b2 ϕ( 2 (F (s, (s ds. st ϕ orientierungserhltend, so gilt ϕ( 2 = 1 und ϕ(b 2 = b 1 und wir bekommen ds Kurvenintegrl. st ϕ orientierungsumkehrend, so sind die Grenzen vertuscht und wir bekommen ds negtive Kurvenintegrl. Wir benötigen wie beim Riemnn-ntegrl eine Stndrdbschätzung des Kurvenintegrls. Lemm 1.3 Sei F C (Ω,R n, Ω R n offen, und PC 1 (,Ω mit = [,b]. Dnn gilt mit F = sup t F((t F dx F L(. Beweis: Aus der Ungleichung von Cuchy-Schwrz und der Stndrdbschätzung des Riemnn-ntegrls folgt b F((t, b (t dt F((t, (t dt b F((t (t dt b F (t dt = F L(. 51