Kurvenintegrale und komplexe Analysis

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1 Kpitel 8 Kurvenintegrle und komplexe Anlysis 1 Kurvenintegrle Wir kehren hier zur eindimensionlen Anlysis zurück und interessieren uns zunächst für Kurven im R n. Mn bezeichnet jede stetige Abbildung eines Intervlls in den R n ls Kurve. Dies hört sich zunächst vernünftig n, llerdings lässt die Forderung der Stetigkeit noch Abbildungen zu, die nschulich weit entfernt dvon sind, eine Kurve zu sein. So ht G. Peno 1905 stetige Kurven konstruiert, die ds Intervll [0, 1] surjektiv uf die Fläche eines Dreiecks bbilden. Wir sollten lso lieber etws mehr verlngen ls nur Stetigkeit. Definition 1.1 (C 1 -Kurve) Ist C 1 (I,R n ), I Intervll, so heißt C 1 -Kurve im R n. Beispiel 1.1 Für p,v R n mit v 0 ist (t) = p+tv eine prmetrisierte Gerde. Der Fll v = 0 ist jedoch durch Definition 1.1 nicht usgeschlossen. Die Kurve : R R 2, (t) = (rcost,rsint) mit r > 0, durchläuft den Kreis vom Rdius r um den Nullpunkt unendlich oft. Durch Hinzufügen einer dritten Komponente entsteht die Schrubenlinie : R R 3, (t) = (rcost,rsint,t) für > 0. Bei einem Umluf wächst die dritte Komponente um die Höhe 2π. Ds Bild der Kurve sieht us wie eine etws deformierte Acht. : R R 2, (t) = (cost,sin2t) Definition 1.2 (Bogenlänge) Die Bogenlänge einer Kurve C 1 (I,R n ), I = [,b], ist L() =. I 40

2 Eigentlich müsste diese Formel durch Approximtion von mit Polygonzügen, deren Länge elementr definiert ist, begründet werden. Für eine Zerlegung = t 0 <... < t N = b sollte näherungsweise gelten: N (t i ) (t i 1 ) = i=1 N i=1 ti (t)dt t i 1 N (t i ) t i i=1 I (t) dt. Wir verzichten ber hier druf, dieses Argument rigoros zu mchen. Beispiel 1.2 Die Länge von (t) = (rcost,rsint,t), 0 t 2π, ist L() = 2π 0 ( rsint,rcost,) dt = 2π r Die Schrubenlinie verläuft uf dem Mntel des Zylinders x 2 +y 2 = r 2, und mn knn ds Ergebnis durch Abrollen des Zylinders mit dem Stz des Pythgors bestätigen. Anschulich besteht eine Kurve us ihrem Bild im R n und einem Fhrpln, wie dieses Bild durchlufen werden soll. In der Physik spielt der Fhrpln eine wesentliche Rolle, zum Beispiel für unsere Jhreszeiten. Die Bogenlänge ist jedoch eine geometrische Größe, und sollte nicht vom Fhrpln bhängen. Ds soll nun präzisiert werden. Definition 1.3 (Umprmetrisierung) Seien 1,2 : I 1,2 R n prmetrisierte Kurven. Dnn heißt 2 Umprmetrisierung von 1, flls eine Bijektion ϕ C 1 (I 2,I 1 ) mit ϕ 0 existiert, so dss 2 = 1 ϕ. Die Bijektion ϕ nennt mn uch Prmetertrnsformtion. An dieser Stelle ergibt sich die Frge, wrum wir die Bedingung ϕ 0 verlngen. Eine Antwort ist, dss wir jedenflls die Differenzierbrkeit der Prmetertrnsformtionen verlngen wollen, ußerdem sollte die Sche symmetrisch bezüglich 1 und 2 sein. Die Bedingung ϕ 0 ist ber äquivlent dzu, dss die inverse Prmetertrnsformtion ϕ 1 differenzierbr ist. Ttsächlich ist die Reltion 1 2, flls 2 Umprmetrisierung von 1, eine Äquivlenzreltion (Übungsufgbe). Lemm 1.1 (Invrinz der Bogenlänge) Sind 1,2 C 1 (I 1,2,R n ) und ist 2 eine Umprmetrisierung von 1, so folgt L( 2 ) = L( 1 ). Beweis: Sei 2 = 1 ϕ für ϕ C 1 (I 2,I 1 ) mit ϕ 0. Dnn folgt je nch Vorzeichen von ϕ 2(t) = 1(ϕ(t)) ϕ (t) = ± 1(ϕ(t)) ϕ (t), lso liefert die Substitution s = ϕ(t) für I 1 = [ 1,b 1 ] sowie I 2 = [ 2,b 2 ] L( 2 ) = b2 2 2(t) dt = ± b2 2 1(ϕ(t) ϕ (t)dt = ± ϕ(b2 ) ϕ( 2 ) 1(s) ds = L( 1 ). Es ist eine nheliegende Frge, ob für eine gegebene Kurve eine besonders schöne Umprmetrisierung existiert. Ws dbei besonders schön sein soll, sgt folgende Definition. 41

3 Definition 1.4 (Prmetrisierung nch der Bogenlänge) Eine Kurve c C 1 (I,R n ) heißt nch der Bogenlänge prmetrisiert, wenn gilt: c (s) = 1 für lle s I. Physiklisch betrchtet wird eine nch der Bogenlänge prmetrisierte Kurve mit Absolutgeschwindigkeit Eins durchlufen. Geometrisch folgt für jedes Teilintervll [, b] I L ( ) b c [,b] = c (s) ds = (b ), ds heißt ds Intervll wird durch c längentreu bgebildet. Stz 1.1 (Prmetrisierung nch der Bogenlänge) Sei C 1 ([,b],r n ) eine Kurve mit Länge L = L(). Es gelte (t) 0 für lle t I. Dnn gibt es eine C 1 -Bijektion ϕ : [0,L] [,b] mit ϕ > 0, so dss c = ϕ nch der Bogenlänge prmetrisiert ist. Beweis: Wir betrchten die Bogenlängenfunktion (1.1) σ : [,b] [0,L], σ(t) = t (τ) dτ. Es gilt σ (t) = (t) > 0 nch Vorussetzung, lso ist σ eine Bijektion der Klsse C 1. Bezeichnet ϕ : [0,L] [,b] die Umkehrfunktion, so folgt ( ϕ) (s) = (ϕ(s)) ϕ (s) = (ϕ(s)) 1 σ (ϕ(s)) = 1. Eine Kurve mit (t) 0 für lle t nennt mn regulär (oder immergiert). Verzichtet mn uf die Bedingung der Regulrität, so knn ds Bild sogr einer C -Kurve Singulritäten ufweisen. Ein Beispiel ist die Neilsche Prbel : R R 2, (t) = (t 2,t 3 ). Ds Bild (R) = {(x,±x 3/2 ) : x R} ht eine Spitze im Nullpunkt. Die Regulrität einer Kurve bleibt unter Umprmetrisierungen erhlten, denn es gilt ( ϕ) = ( ϕ)ϕ mit ϕ 0 nch Definition. Insbesondere knn uf die Vorussetzung 0 in Stz 1.1 nicht verzichtet werden. Ist der Endpunkt einer Kurve der Anfngspunkt einer zweiten Kurve, so ist es nheliegend, diese zu einer Kurve zusmmenzusetzen. Im llgemeinen wird ds Ergebnis dnn keine C 1 -Kurve mehr sein. Auch stückweise linere Kurven sind in der Regel nicht C 1. Es ist dher prktisch, ls Verllgemeinerung stückweise C 1 -Kurven einzuführen. Definition 1.5 (stückweise C 1 ) Eine Kurve C 0 ([,b],r n ) heißt stückweise C 1, wenn es eine Zerlegung = t 0 <... < t N = b gibt, so dss mit I k = [t k 1,t k ] gilt: Ik C 1 (I k,r n ) für lle k = 1,...,N. Nottion: PC 1 (I,R n ) (piecewise continuously differentible). 42

4 In den Unterteilungspunkten existieren die links- und rechtsseitigen Grenzwerte ± (t i), die jedoch nicht übereinstimmen müssen. Setzen wir willkürlich (t i ) = 0, so ist die Funktion : [,b] R n stückweise stetig, insbesondere ist : [,b] R Riemnn-integrierbr, siehe Kpitel 5, Abschnitt 1. Die Bogenlänge ist lso uch für PC 1 ([,b],r n ) durch Definition 1.2 erklärt. Insbesondere hängt die Länge nicht von der Whl der Unterteilung b. Im Folgenden bezeichne, stets ds Stndrdsklrprodukt im R n. Definition 1.6 Ist F C 0 (Ω,R n ), Ω R n offen, und PC 1 ([,b],ω), so heißt ds Kurvenintegrl von F längs c. F dx := b F ( (t) ), (t) dt In der Physik ist zum Beispiel F ds Grvittionsfeld, und ds Kurvenintegrl ergibt die Arbeit, die beim Trnsport einer Msse längs einer Kurve innerhlb des Feldes verrichtet wird. Dbei wird dx ls vektorielles Längenelement interpretiert, und der Punkt bedeutet ds Sklrprodukt im R n. Wir hben diese Nottion übernommen, obwohl sie für uns rein symbolisch ist, ds heißt dx ht keine eigene mthemtische Bedeutung, ähnlich wie beim Riemnnintegrl. Ds Kurvenintegrl ist llein durch die rechte Seite in Definition 1.6 erklärt. Allerdings ist die Merkregel, dss dx durch (t)dt zu ersetzen ist, hilfreich. Beispiel 1.3 (Grvittionsfeld) Ds Grvittionsfeld der Sonne ist gegeben durch F : R 3 \{0} R 3, F(x) = C x x 3 mit C > 0. Beispiel 1.4 (Winkelvektorfeld) Wir betrchten hier ds Vektorfeld W : R 2 \{0} R 2, W(x,y) = ( y x 2 +y 2, x ) x 2 +y 2. Ist : [,b] R 2 \{0}, (t) = r(t) ( cosθ(t),sinθ(t) ) mit r,θ C 1 (I), so folgt (1.2) W dx = b ( ) ( ) ( ) 1 sinθ cosθ sinθ,r +rθ dt = θ(b) θ(). r cosθ sinθ cosθ Also liefert ds Kurvenintegrl von W die Differenz der Polrwinkel von Endpunkt und Anfngspunkt der Kurve. Eine Prmetertrnsformtion ϕ : I 2 I 1 heißt orientierungserhltend (bzw. orientierungsumkehrend), wenn ϕ > 0 (bzw. ϕ < 0) ist. Anschulich wird bei Umprmetrisierung mit einer orientierungsumkehrenden Prmetertrnsformtion die Kurve umgekehrt durchlufen, Anfngs- und Endpunkt tuschen ihre Rollen. Während die Bogenlänge unter llen Umprmetrisierungen invrint ist, ist ds Kurvenintegrl nur bei orientierungserhltenden Umprmetrisierungen invrint, bei orientierungsumkehrenden Umprmetrisierungen wechselt es sein Vorzeichen. Dies wird sogleich gezeigt. Lemm 1.2 Ds Kurvenintegrl ht folgende Eigenschften: 43

5 () Linerität: sind F 1,2 C 0 (Ω,R 2 ) und λ 1,2 R, so gilt für PC 1 ([,b],ω) (λ 1 F 1 +λ 2 F 2 ) dx = λ 1 F 1 dx+λ 2 F 2 dx. (b) Additivität bei Zerlegungen: ist PC 1 ([,b],r n ) und = t 0 <... < t N = b eine beliebige Zerlegung von [,b], so folgt mit i = [ti 1,t i ] F dx = N i=1 i F dx. (c) Invrinz bei Umprmetrisierungen: sei PC 1 (I 1,R 2 ) und ϕ C 1 (I 2,I 1 ) eine Prmetertrnsformtion. Dnn gilt, je nch Vorzeichen von ϕ, F dx = ± F dx. ϕ Beweis: () und (b) folgen us der Definition und den Eigenschften des Riemnnintegrls. Für (c) sei I 1 = [ 1,b 1 ] und I 2 = [ 2,b 2 ]. Mit der Substitution ϕ(t) = s ergibt sich F dx b2 = (F ϕ)(t),( ϕ) (t) dt 2 ϕ = = b2 2 F (ϕ(t)), (ϕ(t)) ϕ (t)dt ϕ(b2 ) ϕ( 2 ) (F )(s), (s)) ds. Ist ϕ orientierungserhltend, so gilt ϕ( 2 ) = 1 und ϕ(b 2 ) = b 1 und wir bekommen ds Kurvenintegrl. Ist ϕ orientierungsumkehrend, so sind die Grenzen vertuscht und wir bekommen ds negtive Kurvenintegrl. Wir benötigen wie beim Riemnn-Integrl eine Stndrdbschätzung des Kurvenintegrls. Lemm 1.3 Sei F C 0 (Ω,R n ), Ω R n offen, und PC 1 (I,Ω) mit I = [,b]. Dnn gilt mit F I = sup t I F((t)) F dx F I L(). Beweis: Aus der Ungleichung von Cuchy-Schwrz und der Stndrdbschätzung des Riemnn-Integrls folgt b F((t)), b (t) dt F((t)), (t) dt b F((t)) (t) dt b F I (t) dt = F I L(). 44

6 Die Physiker nennen ds Grvittionsfeld konservtiv, weil der Energieerhltungsstz gilt. Die verrichtete Arbeit zum Beispiel bei Trnsport einer Msse vom Mthemtischen Institut zum Kndel entspricht genu der zugewonnen Lgeenergie, und diese kommt beim Herunterrollen uch wieder herus, theoretisch jedenflls. Der Begriff des konservtiven Feldes ist uch in der Mthemtik interessnt. Definition 1.7 Sei Ω R n offen. Ein Vektorfeld F C 0 (Ω,R n ) heißt Grdientenfeld (bzw. konservtiv), wenn es eine Funktion ϕ C 1 (Ω) gibt mit grdϕ = F. Die Funktion ϕ heißt Stmmfunktion (bzw. Potentil) von F. Lemm 1.4 (Eindeutigkeit der Stmmfunktion) Ist Ω R n wegweise zusmmenhängend, so ist eine Stmmfunktion von F C 0 (Ω,R n ) eindeutig bestimmt, bis uf eine dditive Konstnte. Beweis: Sind ϕ 1,ϕ 2 C 1 (Ω) Stmmfunktionen von F, so folgt grd(ϕ 2 ϕ 1 ) = grdϕ 2 grdϕ 1 = F F = 0, lso ist ϕ 2 ϕ 1 konstnt nch Stz 1.1, ds heißt ϕ 2 = ϕ 1 +c. Wir werden jetzt sehen, dss die Existenz einer Stmmfunktion gleichbedeutend dmit ist, dss ds Kurvenintegrl für Kurven mit gleichem Anfngs- und Endpunkt stets denselben Wert ht. Zuvor eine Definition. Definition 1.8 Eine Kurve : [,b] R n heißt geschlossen, wenn () = (b). Aus () = (b) folgt nicht notwendig () = (b), zum Beispiel ist im Fll der Acht us Beispiel 1.1 (π/2) = (3π/2) = (0,0), während (π/2) = ( 1, 2) (1, 2) = (3π/2). Anschulich schneidet sich die Kurve hier mit einem Winkel. Stz 1.2 (Wegunbhängigkeit des Kurvenintegrls) Sei Ω R n offen und wegweise zusmmenhängend. Für ein Vektorfeld F C 0 (Ω,R n ) sind folgende Aussgen äquivlent: () F ist ein Grdientenfeld. (b) Für jede geschlossene Kurve PC 1 ([,b],ω) ist F dx = 0. (c) Für je zwei Kurven 0, 1 PC 1 ([,b],ω) mit 0 () = 1 (), 0 (b) = 1 (b) gilt F dx = F dx. 0 1 Beweis: Ist F = grdϕ mit ϕ C 1 (Ω), so folgt für PC 1 ([,b],ω) geschlossen b F dx = grdϕ ( (t) ) b, (t) dt = (ϕ ) (t)dt = ϕ((b)) ϕ(()) = 0. Für 0,1 PC 1 ([,b],ω) mit gleichem Anfngs- und Endpunkt ist die Kurve { 0 (t) t b (t) = 1 (2b t) b t 2b 45

7 geschlossen und stückweise C 1, und us (b) ergibt sich mit Lemm = F dx = F dx F dx. 0 1 Für (c) () sei x 0 Ω fest. Zu x Ω wählen wir eine Kurve x PC 1 ([0,1],Ω) mit x (0) = x 0 und x (1) = x, und setzen ϕ(x) = F dx. x Die Existenz von x ist gesichert nch Lemm 1.2 in Kpitel 7, genuer können wir x stückweise liner wählen. Nch Vorussetzung (c) hängt ds Kurvenintegrl nicht von der Whl von x b. Dher ist die Funktion ϕ : Ω R wohldefiniert. Sei nun x Ω. Für h klein erhlten wir eine Kurve von x 0 nch x + he j, indem wir x mit der Kurve c : [0,1] R n, c(t) = x+the j, zusmmensetzen. Es folgt ϕ(x+he j ) ϕ(x) h = F dx = Also gilt j ϕ = F j für j = 1,...,n. c 1 0 F(x+the j ),e j dt F j (x) mit h 0. Die zentrle Frge dieses Kpitels ist: wie können wir entscheiden, ob ein gegebenes Vektorfeld ein Grdientenfeld ist? Für C 1 -Vektorfelder gibt es eine notwendige Bedingung, die offensichtlich ist. Stz 1.3 (Rottionsfreiheit von Grdientenfeldern) Sei Ω R n offen. Ist F C 1 (Ω,R n ) ein Grdientenfeld, so gilt für lle i,j = 1,...,n i F j = j F i in Ω. Beweis: Ist F = grdϕ, so folgt ϕ C 2 (Ω) und wegen der Vertuschbrkeit der prtiellen Ableitungen, Stz 2.2 in Kpitel 6, gilt i F j = i j ϕ = j i ϕ = j F i. Für n = 3 lässt sich die Bedingung schreiben ls rotf = 0, wobei rotf = ( 2 F 3 3 F 2, 3 F 1 1 F 3, 1 F 2 2 F 1 ). Beispiel 1.5 F : R 2 R 2, F(x,y) = ( y,x), ht keine Stmmfunktion uf R 2, denn Beispiel 1.6 Für ds Winkelvektorfeld vgl. Beispiel 1.4, berechnen wir 1 F 2 = 1, ber 2 F 1 = 1. W : R 2 \{0} R 2, W(x,y) = ( y x 2 +y 2, 1 W 2 = y2 x 2 (x 2 +y 2 ) 2 = 2W 1, 46 x ) x 2 +y 2

8 ds heißt die notwendige Bedingung us Stz 1.3 ist erfüllt. Dennoch ist ds Kurvenintegrl nicht wegunbhängig: für k Z und r > 0 ist die Kurve k : [0,2π] R 2 \{0}, k (t) = r(coskt,sinkt), geschlossen und es gilt nch Beispiel 1.4 k W dx = 2πk ( 0 für k Z\{0}). Wir wollen jetzt untersuchen, wie sich ds Kurvenintegrl längs einer Schr von Kurven ändert. Sttt Schr verwenden wir den moderneren Ausdruck Homotopie. Dies ist ein fundmentles Konzept der Anlysis. Definition 1.9 (Homotopie) Eine Homotopie in Ω zwischen Kurven 0, 1 C 0 ([,b],ω) ist eine Abbildung C 0 ([,b] [0,1],Ω) mit (,0) = 0 und (,1) = 1. Gilt 0 () = 1 () = p, 0 (b) = 1 (b) = q, und gibt es eine Homotopie mit (,t) = p, (b,t) = q für lle t [0,1], so heißen 0, 1 homotop in Ω mit festen Endpunkten. Gilt 0 () = 0 (b), 1 () = 1 (b), und gibt es eine Homotopie mit (,t) = (b,t) für lle t [0,1], so heißen 0, 1 in Ω geschlossen homotop. Es gilt folgende llgemeine Formel für die Änderung des Kurvenintegrls unter (hinreichend gltten) Homotopien. Lemm 1.5 (Homotopieformel) Sei Ω R n offen und F C 1 (Ω,R n ). Dnn gilt für C 1 ([,b] [0,1],Ω), flls s t C 0 ([,b] [0,1],R 2 ), F dx F dx = F dx F dx (,1) (,0) (b, ) 1 b + 0 (, ) ( DF t, s DF s, ) dsdt. t Gilt i F j = j F i für i,j = 1,...,n, und ht die Homotopie feste Endpunkte oder ist geschlossen, so ist die rechte Seite Null. Beweis: Nch Zustz zum Stz von Schwrz, Stz 2.2 in Kpitel 6, gilt t s = s t. Wir berechnen mit Stz 4.2 und prtieller Integrtion bezüglich s [, b] t (,t)f dx = b F((s,t), t s (s,t) ds b = DF t, b 2 ds+ F, ds s t s = b DF t, s ds+ F, t s=b s= b DF s, ds. t Integrtion bezüglich t ergibt die Formel. Ist i F j = j F i oder mit nderen Worten DF symmetrisch, so verschwindet ds Doppelintegrl. Bei festen Endpunkten sind (, ) und (, b) konstnt, lso die zugehörigen Kurvenintegrle Null. Ist die Homotopie geschlossen, so gilt (, ) = (, b) und die Kurvenintegrle rechts heben sich gegenseitig weg. Wir können n dieser Stelle ls Anwendung den Fundmentlstz der Algebr (Kpitel 2, Stz 3.10) beweisen. Es gibt vielleicht einfchere Beweise, ber dieses Argument ist jedenflls sehr nschulich. 47

9 Stz 1.4 (Fundmentlstz der Algebr) Jedes komplexe Polynom vom Grd n 1 ht mindestens eine Nullstelle z 0 C. Beweis: Wir verwenden ds Winkelvektorfeld W : R 2 \{0} R 2. Nch Beispiel 1.6 gilt 1 W 2 = 2 W 1. Sei p(z) = z n + n 1 z n mit i C und n 1. Schreibe p(z) = p n (z) + q(z) mit p n (z) = z n. D q höchstens den Grd n 1 ht, gilt z n q(z) 0 mit z, lso für R > 0 hinreichend groß q(re iθ ) 1 2 Rn für θ [0,2π]. Betrchte nun die geschlossene Kurve 0 : [0,2π] R 2, 0 (θ) = p(re iθ ), und die Homotopie : [0,2π] [0,1] R 2, (θ,t) = p n (Re iθ )+(1 t)q(re iθ ). Wir berechnen (θ,t) p n (Re iθ ) q(re iθ ) R n 1 2 Rn > 0. D (θ,1) = p n (Re iθ ) = R n e inθ, folgt us Lemm 1.5 und Beispiel 1.6 W dx = W dx = 2πn. 0 (,1) Wir betrchten jetzt eine zweite, ebenflls gltte Homotopie: : [0,2π] [0,R] R 2, (θ, ) = p( e iθ ). Es ist (θ,0) = p(0) = 0 eine konstnte Abbildung. Hätte p keine Nullstelle in C, so ist uch dies eine geschlossene Homotopie in R 2 \{0}, und es folgt wieder mit Lemm 1.5 W dx = W dx = 0, 0 (,0) ds heißt 2πn = 0, ein Widerspruch. Lemm 1.6 (ffine Homotopie) Sei Ω R n offen und F C 1 (Ω,R n ) mit i F j = j F i für i,j = 1,...,n. Für Kurven 0, 1 PC 1 ([,b],ω) betrchte die ffine Homotopie : [,b] [0,1] R n, (s,t) = (1 t) 0 (s)+t 1 (s). Hben 0, 1 gleiche Endpunkte oder sind geschlossen, und gilt ([,b] [0,1]) Ω, so folgt F dx = F dx. 0 1 Beweis: Sind 0, 1 C 1 ([,b],ω), so folgt die Aussge direkt us Lemm 1.5. Für 0, 1 stückweisec 1 zerlegen wir[,b] inteilintervlle, ufdenenbeidekurvenc 1 sind,undwenden Lemm 1.5 uf den Teilintervllen n. Die Rndintegrle heben sich bei Addition herus. Stz 1.5 (Homotopieinvrinz des Kurvenintegrls) Sei Ω R n offen und F C 1 (Ω,R n ) mit i F j = j F i uf Ω für 1 i,j n. Sind dnn 0, 1 PC 1 ([,b],ω) homotop in Ω mit festen Endpunkten (oder geschlossen homotop), so gilt F dx = F dx

10 Beweis: Ist die Homotopie hinreichend gltt, so folgt die Aussge us Lemm 1.5. Es geht lso um ds technische Problem, dss die gegebene Homotopie C 0 ([,b] [0,1],Ω) eventuell nur stetig ist. Die Lektüre des Beweises könnte zurückgestellt werden. Aus Kompktheitsgründen gibt es ein ε > 0 mit B 2ε (p) Ω für lle p ([,b] [0,1]), vgl. Lemm 1.1 in Kpitel 7. D uf der kompkten Menge [,b] [0,1] gleichmäßig stetig ist, gibt es weiter ein δ > 0 mit (s 0,t) (s 1,t), (s,t 0 ) (s,t 1 ) < ε für s 0 s 1, t 0 t 1 < δ. Wir ersetzen jetzt (,t) durch stückweise linere Kurven. Für N N mit (b )/N < δ und s k = +k(b )/N, k = 0,1,...,N, definieren wir : [,b] [0,1] R n durch (s,t) = s k s s k s k 1 (s k 1,t)+ s s k 1 s k s k 1 (s k,t) für s [s k 1,s k ]. Es gilt (,t) = (,t), (b,t) = (b,t) für lle t [0,1]. Für s [s k 1,s k ] hben wir s k s ( (s,t) (s,t) = (sk 1,t) (s,t) ) + s s k 1 ( (sk,t) (s,t) ) < ε. s k s k 1 s k s k 1 Für λ [0,1] folgt ( 1 λ)(s,t)+λ (s,t) ) (s,t) (s,t) (s,t) < ε, ds heißt die ffine Homotopie zwischen (,t) und (,t) liegt in Ω. Insbesondere folgt us Lemm 1.6 (1.3) F dx = F dx und F dx = F dx. 0 (,0) 1 (,1) Weiter gilt für t 0 t 1 < δ und s [s k 1,s k ] s k s ( (s,t 0 ) (s,t 1 ) = (sk 1,t 0 ) (s k 1,t 1 ) ) + s s k 1 ( (sk,t 0 ) (s k,t 1 ) ) < ε, s k s k 1 s k s k 1 und es folgt für lle λ [0,1] ( (1 λ) (s,t 0 )+λ (s,t 1 ) ) (s,t 0 ) (s,t 1 ) (s,t 0 ) + (s,t 0 ) (s,t 0 ) < 2ε. Für 1/N < δ folgt mit t l = l/n für l = 0,1,...,N us Lemm 1.6 F dx = F dx für l = 1,...,N, (,t l ) (,t l 1 ) und Kombintion mit (1.3) beweist den Stz. Definition 1.10 Eine Menge Ω R n heißt einfch zusmmenhängend, wenn jede geschlossene Kurve C 0 ([,b],ω) in Ω geschlossen homotop zu einer konstnten Kurve ist. Beispiel 1.7 Eine Menge Ω R n heißt sternförmig, wenn es ein x 0 Ω gibt mit (1 t)x+tx 0 Ω für lle x Ω, t [0,1]. Eine sternförmige Menge ist einfch zusmmenhängend, denn jede geschlossene Kurve 0 C 0 ([,b],ω) ist homotop zur konstnten Kurve in x 0, nämlich durch die Homotopie : [,b] [0,1] Ω, (s,t) = (1 t) 0 (s)+tx 0. 49

11 Stz 1.6 Sei Ω R n offen und einfch zusmmenhänged. Dnn sind für ein Vektorfeld F C 1 (Ω,R n ) folgende Aussgen äquivlent: () i F j = j F i für i,j = 1,...,n. (b) F ht eine Stmmfunktion. Beweis: Aus () folgt mit Stz 1.5 für jeden geschlossenen Weg PC 1 ([,b],ω) F dx = 0. Hierus ergibt sich mit Stz 1.2 die Existenz einer Stmmfunktion. Die umgekehrte Impliktion wurde schon in Stz 1.3 festgestellt. Beispiel 1.8 Ein Spezilfll von Stz 1.6 ist ds Lemm von Poincré: ist Ω R n sternförmig und F C 1 (Ω,R n ) rottionsfrei, so besitzt F eine Stmmfunktion ϕ. Ttsächlich knn diese explizit ngegeben werden: Integrtion längs x (t) = (1 t)x 0 +tx, t [0,1], ergibt ϕ(x) = F dx = x 1 0 F((1 t)x 0 +tx,x x 0 dt. Wir fssen unsere Resultte über Kurvenintegrle in einer kleinen Tbelle zusmmen: F Grdientenfeld Stz 1.2 F dx wegunbhängig Stz fch zshg. Stz 1.6 Stz 1.5 i F j = j F i F dx homotopieinvrint Zu begründen ist noch die Impliktion von rechts nch links in der unteren Zeile. Ist ds Kurvenintegrl homotopieinvrint, so ist es uf einer Umgebung B (x) Ω ber wegunbhängig. Also ht ds Vektorfeld uf B (x) eine Stmmfunktion, und es folgt i F j = j F i uf B (x). Wir wollen zum Schluss des Abschnitts eine lterntive Nottion für Kurvenintegrle einführen, die uf lnge Sicht ds überlegene Konzept ist. Wir bruchen dzu den Rum L(R n,r) ller Linerformen uf R n, mit nderen Worten den Dulrum (R n ). Definition 1.11 (1-Form) Eine Abbildung α : Ω (R n ) heißt Differentilform vom Grd Eins oder kurz 1-Form (oder uch Kovektorfeld) uf Ω. Für f C 1 (Ω) ist die Ableitung df (die wir in diesem Kontext mit einem kleinen d sttt einem großen D schreiben) eine 1-Form, ds sogennnte Differentil von f: df : Ω (R n ), df(x)v = 50 n j=1 f x j (x)v j.

12 Speziell bezeichnet mn die Differentile der n Koordintenfunktionen x x i uf R n mit dx i : R n (R n ). Es gilt lso dx i (x)v = v i, insbesondere dx i (x)e j = δ ij. D dx i (x) für lle x R n gleich ist, ds heißt die Abbildung dx i : R n (R n ) ist konstnt, wird die Vrible x meistens weggelssen und stttdessen ein Punkt geschrieben, lso dx i (x)v = dx i v. Jede 1-Form uf Ω R n ht nun eine eindeutige Drstellung α = n α i dx i mit α i : Ω R, α i (x) = α(x)e i. i=1 Dies folgt sofort, wenn wir n der Stelle x Ω beide Seiten uf die Bsis e 1,...,e n nwenden. Die α 1,...,α n sind die Koordintenfunktionen von α. Für ds Differentil einer Funktion gilt beispielweise n f df = dx i. x i i=1 Eine Form α = n i=1 α idx i uf Ω ist von der Klsse C k, flls α i C k (Ω) für i = 1,...,n. Definition 1.12 (Kurvenintegrl von 1-Formen) Sei α eine stetige 1-Form uf der offenen Menge Ω R n. Für PC 1 ([,b],ω) setzen wir α = b α((t)) (t)dt. Ds Stndrdsklrprodukt erlubt es, jedem Vektorfeld eine 1-Form bijektiv zuzuordnen, und zwr definiert mn für ds Vektorfeld A : Ω R n die 1-Form α : Ω (R n ) durch α(x)v = A(x),v für x Ω, v R n. Dnn hben A und α die gleichen Koordintenfunktionen, denn es ist α i (x) = α(x)e i = A(x),e i = A i (x); Insbesondere ist die Gleichung A = grdϕ äquivlent zu α = dϕ. Etws bstrkter ergibt sich ds uch us der Chrkterisierung des Grdienten in Gleichung (3.5), Kpitel 6: A = grdϕ A(x),v = dϕ(x)v für lle x Ω, v R n α = dϕ. Nch Definition von α gilt weiter α((t)) (t) = A((t)), (t), und dmit α = A dx. Es wird folgende Terminologie eingeführt. Definition 1.13 Eine 1-Form α uf der offenen Menge Ω R n heißt () exkt, wenn es eine Funktion ϕ C 1 (Ω) gibt mit α = dϕ, (b) geschlossen, wenn α C 1 und i α j = j α i uf Ω für i,j = 1,...,n. 51

13 Ist α dem Vektorfeld A zugeordnet, so ist demnch α genu dnn exkt, wenn A ein Grdientenfeld ist, und genu dnn geschlossen, wenn A rottionsfrei ist. Wir können somit lle unsere Resultte in der Sprche der 1-Formen neu forumulieren: genu dnn ist α exkt, wenn ds Kurvenintegrl wegunbhängig ist; ist α exkt, so uch geschlossen; ist α geschlossen, so ist ds Kurvenintegrl homotopieinvrint; uf einem einfch zusmmenhängenden Gebiet ist jede geschlossene 1-Form exkt. Der Vorteil der 1-Formen gegenüber den nschulicheren Vektorfeldern liegt nun im Trnsformtionsverhlten. Seien dzu U R n und V R m offene Mengen, und φ C 1 (U,V). Ist ω eine 1-Form uf V, so erhlten wir eine 1-Form φ ω uf U, den pullbck von ω unter φ, durch die Formel (φ ω)(x)v = ω(φ(x))dφ(x)v für x U, v R n. Sind dy i die Koordintendifferentile uf R m, so berechnen wir (φ dy i )(x)v = dy i Dφ(x)v = dφ i (x)v beziehungsweise kurz φ dy i = dφ i für i = 1,...,m, und llgemeiner φ ω = m (ω i φ)dφ i mit dφ i = i=1 n j=1 φ i x j dx j. Ist φ C k+1 und ω C k für k N 0, so ist demnch φ ω C k. Stz 1.7 (Trnsformtion des Kurvenintegrls) Seien U R n, V R m offen und φ C 1 (U,V). Für eine stetige 1-Form ω uf V und PC 1 ([,b],u) gilt φ Beweis: Aus den Definitionen ergibt sich φ ω = b ω = ω ( φ((t)) ) Dφ((t)) (t)dt = φ ω. b (φ ω)((t)) (t)dt = φ ω. Ds Kurvenintegrl von Vektorfeldern benutzt wesentlich ds Sklrprodukt, ws bei der Anlyse des Trnsformtionsverhltens mit berücksichtigt werden müsste. Bei der Umrechnung des Lplceopertors uf krummlinige Koordinten wird uns so etws noch begegnen. 52

14 2 Komplexe Anlysis In diesem Abschnitt wollen wir einen kurzen Ausflug in die komplexe Anlysis die sogennnte Funktionentheorie unternehmen, und zwr wollen wir jetzt komplexe Kurvenintegrle betrchten. Im folgenden sei stets Ω eine offene Teilmenge von C = R 2. Definition 2.1 Die Funktion f : Ω C heißt komplex differenzierbr in z Ω mit Ableitung f (z) = c C, flls gilt: f(w) f(z) lim = c. w z w z f heißt komplex differenzierbr oder holomorph uf Ω, wenn f in llen z Ω komplex differenzierbr ist. Forml ist diese Definition völlig nlog zur Definition der Differenzierbrkeit einer Funktion einer reellen Vriblen, nur dss eben jetzt der Differenzenquotient in C sttt in R gebildet wird. Demzufolge gelten uch lle üblichen Differentitionsregeln: Differenzierbrkeit in z Ω impliziert Stetigkeit in z Ω. Linerität der Ableitung: für f,g : Ω C und α,β C gilt (αf +βg) = αf +βg. Produktregel: für f,g : Ω C gilt (fg) = f g +fg. Quotientenregel: für f,g : Ω C mit g 0 gilt ( f g) = f g fg g 2. Kettenregel: für offene U,V C und f : U V, g : V C gilt (g f) = (g f)f. Die Beweise sind weitgehend nlog zu den reellen Beweisen und wir wollen us Zeitgründen drufverzichten. Wirhltennurfest,dsszumBeispielPolynomeP(z) = z+...+ n z n differenzierbr sind mit Ableitung P (z) = n n z n 1. Soweit verläuft die Diskussion der komplexen Differenzierbrkeit lso gnz prllel zum reellen Fll. Vergessen wir die komplexe Multipliktion, so ist C nichts nderes ls der R 2 mit Stndrdbsis 1 = (1,0) und i = (0,1). Eine Funktion f : Ω C ist dnn eine vektorwertige Funktion f : Ω R 2, f(x,y) = ( u(x,y),v(x,y) ), wobei u(x,y) = Ref(x+iy) und v(x,y) = Imf(x+iy). Es stellt sich nun die Frge: in welcher Beziehung stehen die komplexe Differenzierbrkeit von f und die Differenzierbrkeit ls reelle, vektorwertige Funktion? Stz 2.1 (Cuchy-Riemnnsche Differentilgleichungen) Für f : Ω C, f = u+iv, sind folgende Aussgen äquivlent: () f ist uf Ω komplex differenzierbr. (b) f : Ω R 2 ist (reell) differenzierbr mit u x = v y und u y = v x. 53

15 Beweis: Die Multipliktion mit einer komplexen Zhl c ist eine linere Abbildung von R 2 nch R 2, genuer gilt für c = +ib mit einer einfchen Rechnung ( ) b cz = Cz mit C =. b Auf der linken Seite steht dbei ds Produkt der komplexen Zhlen c und z, rechts die Anwendung der Mtrix C R 2 2 uf den Vektor z R 2. Ist f in z Ω komplex differenzierbr mit f (z) = c, so folgt mit dieser Whl von C f(w) f(z) C(w z) w z = f(w) f(z) c(w z) w z w z w z 0, lso gilt Df(z) = C. Außerdem erhlten wir mit f = u+iv im Punkt z die Gleichungen (2.4) f = u x iu y = v y +iv x = 1 2( fx if y ). Sei jetzt umgekehrt f reell differenzierbr in z = (x, y), und die Cuchy-Riemnn Gleichungen seien im Punkt z erfüllt. Dnn gilt für = u x und b = u y ( ) ux u y Df(z) = lso folgt mit c = +ib für w z v x v y = ( b b ), f(w) f(z) c(w z) w z = f(w) f(z) Df(z)(w z) w z w z w z 0. Die komplexe Differenzierbrkeit ist lso stärker ls die reelle Differenzierbrkeit der vektorwertigen Funktion, und zwr müssen die prtiellen Ableitungen zusätzlich die Gleichungen u x = v y sowie u y = v x erfüllen. Wir wollen ls nächstes ds komplexe Kurvenintegrl definieren. Ds Riemnn-Integrl einer C-wertigen Funktion f = u+iv : I C ist wie üblich komponentenweise definiert, ds heißt f = u + i v C. I I Definition 2.2 (komplexes Kurvenintegrl) Sei Ω C offen und f C 0 (Ω,C). Für PC 1 ([,b],ω) definieren wir f dz = b I f((t)) (t)dt. ImIntegrl rechts steht ds Produktderkomplexen Zhlenf((t)) und (t). Um dsintegrl in reelle Kurvenintegrle umzuformen, schreiben wir f = u + iv mit u,v C 0 (Ω) sowie = x+iy mit x,y PC 1 (I) für I = [,b], und berechnen (f ) ( ) = (u+iv) (x +iy ( ) = (u )x (v )y ) +i ( (u )y +(v )x ), I I I 54

16 ds heißt es gilt (2.5) f dz = (udx vdy)+i (udy +vdx). Als Merkregel knn mn hier dz = dx+idy benutzen, die rechte Seite der Formel ergibt sich dnn durch formles Ausmultiplizieren. Beispiel 2.1 Sei der gegen den Uhrzeigersinn durchlufene Kreis mit Rdius r > 0 um den Punkt z 0 C, ds heißt genuer : [0,2π] C\{0}, (θ) = z 0 +re iθ. Es gilt (θ) = ire iθ. Wir berechnen nun für k Z (z z 0 ) k dz = 2π 0 (re iθ ) k ire iθ dθ = { 0 flls k Z\{ 1}, 2πi flls k = 1. Stz 2.2 (Cuchys Integrlstz) Die Funktion f : Ω C, Ω C offen, sei stetig prtiell differenzierbr und holomorph. Ist dnn PC 1 (I,Ω) geschlossen homotop zu einer konstnten Kurve, so folgt f dz = 0. Beweis: Nch Stz 1.5 in diesem Kpitel müssen wir nur prüfen, ob die Differentilformen udx vdy und udy +vdx geschlossen sind, ds heißt ob gilt u y = v x und u x = v y. Ds sind ber genu die Cuchy-Riemnnschen Differentilgleichungen. Etws llgemeiner besgt Stz 1.5, dss ds Kurvenintegrl von f(z) dz, f holomorph, den gleichen Wert ergibt für zwei Kurven, die homotop mit festen Endpunkten oder geschlossen hoomotop sind. Ttsächlich knn uf die Stetigkeit der prtiellen Ableitungen verzichtet werden, es reicht ls Vorussetzung dss f holomorph ist. Diese Verschärfung ist für uns ber nicht relevnt. Definition 2.3 (komplexe Stmmfunktion) Sei Ω C offen und f : Ω C. Dnn heißt F : Ω C (komplexe) Stmmfunktion von f uf Ω, flls gilt: F (z) = f(z) für lle z Ω. Im Gegenstz zur Sitution bei Funktionen einer reellen Vriblen, wo beknntlich jede stetige Funktion eine Stmmfunktion besitzt, müssen für die Existenz einer komplexen Stmmfunktion wieder Integrbilitätsbedingungen erfüllt sein. Folgerung 2.1 (Existenz komplexer Stmmfunktionen) Sei Ω C offen und einfch zusmmenhängend. Für f C 1 (Ω,C), f = u+iv, sind folgende Aussgen äquivlent: () f besitzt uf Ω eine komplexe Stmmfunktion. (b) f ist komplex differenzierbr uf Ω. 55

17 Beweis: Sei F = U + iv Stmmfunktion von f, lso u + iv = U x iu y = V y + iv x nch (2.4). Es folgt U,V C 2 (Ω) und u x v y = V yx V xy = 0 und u y +v x = U xy U yx = 0. Gelten umgekehrt die Cuchy-Riemnn Gleichungen für f, so sind die 1-Formen udx vdy sowie udy+vdx geschlossen, besitzen lso StmmfunktionenU,V : Ω R nch Stz 1.6. Für U, V verifiziert mn leicht die Cuchy-Riemnn Gleichungen, lso ist F = U + iv komplex differenzierbr und mit (2.4) erhlten wir F = f. Im folgenden schreiben wir D r (z 0 ) = {z C : z z 0 < r}, und setzen f(z)dz = f(z)dz, für : [0,2π] D r (z 0 ), (t) = z 0 +re it. D r(z 0 ) Beknntlich hängt ds Integrl nicht von der Whl der Prmetrisierung von D r (z 0 ) b, solnge der Kreis im positiven Sinn (lso gegen den Uhrzeigersinn) durchlufen wird. Der folgende Stz besgt unter nderem, dss eine holomorphe Funktion uf einer Kreisscheibe schon durch ihre Werte uf dem Rnd der Kreisscheibe bestimmt ist. Für reell differenzierbre Funktionen ist ds keineswegs so, zum Beispiel gibt es (viele) Funktionen η C (R) mit η(x) = 0 für x 1. Stz 2.3 (Cuchy Integrlformel) Sei f C 1 (Ω,C) holomorph und D r (z 0 ) Ω. Dnn gilt für lle z D r (z 0 ) f(z) = 1 f(ζ) 2πi D r(z 0 ) ζ z dζ. Beweis: In Ω\{z} ist der Kreis D r (z 0 ) homotop zu D ε (z), jeweils mit der mthemtisch positiven Orientierung, flls 0 < ε < r z z 0. Die Konstruktion der Homotopie sei den LeserInnen überlssen. Nun ist die Funktion ζ f(ζ)/(ζ z) uf Ω\z komplex differenzierbr nch der Quotientenregel, und dmit ds Kurvenintegrl homotopieinvrint nch (der nchfolgenden Bemerkung zu) Stz 2.2 Es ergibt sich 1 f(ζ) 2πi D r(z 0 ) ζ z dζ = 1 2πi (ζ = z +εe it ) = 1 2πi = 1 2π D ε(z) 2π 0 2π 0 f(ζ) ζ z dζ f(z +εe it ) εe it f(z +εe it )dt. iεe it dt D f im Punkt z stetig ist, geht die rechte Seite gegen f(z) mit ε 0. Stz 2.4 (holomorph = nlytisch) Sei f C 1 (Ω,C) komplex differenzierbr und D r (z 0 ) Ω. Dnn gilt für lle z D r (z 0 ) die Potenzreihenentwicklung f(z) = k=0 k (z z 0 ) k mit k = 1 f(ζ) dζ. 2πi D r(z 0 ) (ζ z 0 ) k+1 Insbesondere ist f uf Ω unendlich oft komplex differenzierbr. 56

18 Beweis: Aus der Cuchyschen Integrlformel, Stz 2.3, erhlten wir durch Entwicklung des Integrnden in eine geometrische Reihe für z D r (z 0 ) die Drstellung f(z) = 1 f(ζ) 1 2πi D r(z 0 ) ζ z 0 1 z z dζ = 1 f(ζ) ( z z0 ) kdζ. 0 ζ z 0 2πi D r(z 0 ) ζ z 0 ζ z 0 Aus der Linerität des Kurvenintegrls folgt mit der Definition der k 1 f(ζ) n ( z z0 ) kdζ 1 n = (z z 0 ) k 2πi D r(z 0 ) ζ z 0 ζ z 0 2πi k=0 k=0 n = k (z z 0 ) k. k=0 k=0 D r(z 0 ) f(ζ) dζ (ζ z 0 ) k+1 Ds komplexe Kurvenintegrl ist wie in Lemm 1.3 bgeschätzt durch Länge der Kurve ml Supremum des Integrnden. Es folgt mit M = mx ζ z0 =r f(ζ) für z z 0 < r n f(z) k (z z 0 ) k 1 f(ζ) ( z z0 ) kdζ = 2πi k=0 D r(z 0 ) ζ z 0 ζ z 0 k=n+1 1 2π 2πr M ( z z0 ) k r r k=n+1 M ( z z0 ) n+1 = 0 mit n. r 1 z z 0 r Dmit ist die Potenzreihendrstellung bewiesen. Sei nun llgemein f(z) = k=0 k(z z 0 ) k eine uf D r (z 0 ) konvergente Potenzreihe. Die Polynome f n (z) = n k=0 k(z z 0 ) k sind komplex differenzierbr, lso gilt uf D r (z 0 ) nch Stz 2.1 ( ) cn d Df n = n n wobei c n +id n = f n = k k (z z 0 ) k 1. d n c n Die gliedweise differenzierte Potenzreihe g(z) = k=1 k(z z 0 ) k 1 konvergiert ber ebenflls lokl gleichmäßig uf D r (z 0 ), siehe Lemm 3.1 in Kpitel 5. D prtielle Ableitungen eindimensionle Ableitungen sind, können wir die beknnte Vertuschbrkeit von Konvergenz und Ableitung, Stz 3.2 in Kpitel 5, hier nwenden und erhlten mit n uf D r (z 0 ) ( ) c d Df = wobei c+id = g. d Nch Stz 2.1 ist f lso komplex differenzierbr mit f = g. Durch Induktion ergibt sich, dss f uf D r (z 0 ) unendlich oft komplex differenzierbr ist. Wir sehen jetzt noch deutlicher, dss komplexe Differenzierbrkeit eine viel stärkere Bedingung drstellt ls reelle Differenzierbrkeit. Die Existenz von Potenzreihendrstellungen ist sehr einschneidend, zum Beispiel ist eine holomorphe Funktion f : Ω C, deren Nullstellenmenge einen Häufungspunkt in Ω ht, utomtisch die Nullfunktion. Dies folgt jetzt us dem Identitätsstz für Potenzreihen, siehe Stz 4.11 in Kpitel 2. Für reell differenzierbre Funktionen ist eine solche Aussge keineswegs whr. Aus Zeitgründen müssen wir den Ausflug in die Funktionentheorie nun leider beenden. 57 k=1

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