A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )

A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen. Eine Funktion ist differenzierbr, wenn sie stetig ist und gltt verläuft, lso wenn es keine Ecken und Spitzen gibt. differenzierbr nicht differenzierbr differenzierbr differenzierbr differenzierbr nicht nicht differenzierbr nicht nicht differenzierbr nicht nicht differenzierbr nicht differenzierbr (streng genommen gelten die beiden rechten Grfiken noch nicht einml ls Funktionen ) Die Stetigkeit von einer Funktion bezieht sich immer uf die -Werte. Die -Werte dürfen niemls von einem Wert plötzlich zu einem nderen Wert springen. Tun sie ds doch, so ist die Funktion n der Stelle nicht stetig. Die Differenzierbrkeit von einer Funktion bezieht sich immer uf die Steigung (den Wert der ersten Ableitung). Die Steigungen [die Werte der ersten Ableitung] dürfen niemls von einem Wert plötzlich zu einem nderen Wert springen. Tun sie ds doch, so ist die Funktion n der Stelle nicht differenzierbr. Mehrfche Differenzierbrkeit. Eine Funktion ist zweiml differenzierbr, wenn die -Werte keine Sprungstelle hben und die Werte der ersten Ableitung und die Werte der zweiten Ableitung uch nicht. Eine Funktion ist z.b. fünfml differenzierbr, wenn die -Werte keine Sprungstelle hben, und die Werte der ersten fünf Ableitungen uch nicht. Mehrfche Differenzierbrkeit ist nur im Studium von strk nturwissenschftlich ngehuchten Studiengängen relevnt. Wir werden dher hier nicht druf eingehen! Eine normle Funktion ist immer stetig und immer differenzierbr! Es ist eher die Ausnhme, dss sie n mnchen Stellen nicht stetig oder nicht differenzierbr ist. Wir werden im nächsten Unterkpitel lernen, diese Ausnhmestellen zu finden. Hvoni 04

A.5.0 A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit Stetigkeit und Differenzierbrkeit von Funktionstpen ( ) Gnzrtionle Funktionen: [Gerden, Prbeln, Prbeln höherer Ordnung] Gnzrtionle Funktionen sind immer stetig und immer differenzierbr! Eponentil-Funktionen: [e-funktionen] Eponentil-Funktionen sind immer stetig und immer differenzierbr! - f() 4 4 f() 4 Trigonometrische Funktionen: Sinus- und Kosinus-Funktionen sind immer stetig und immer differenzierbr! Tngens-Funktionen hben unendlich viele senkrechte Asmptoten, sind lso weder stetig noch differenzierbr. Zu Ihrem Glück interessiert mn sich in der Mthemtik nur sehr selten für Tngens-Funktionen. - f() 4 Bruch-Funktionen: [Gebrochen-rtionle Funktionen und lle nderen, in denen ein Bruch uftucht] Funktionen, in denen ein Bruch uftucht, hben normler Weise eine senkrechte Asmptote bzw. eine Definitionslücke [in der Skizze bei =]. Diese Definitionslücke berechnet mn, indem mn den Nenner Null setzt. Und n genu dieser Definitionslücke ist die Funktion normlerweise nicht stetig und nicht differenzierbr. [ Bsp.0] - f() 4 Logrithmus-Funktionen: [ln-funktionen] ln-funktionen, hben normler Weise eine senkrechte Asmptote bzw. eine Definitionslücke [in der Skizze bei =]. Diese Definitionslücke berechnet mn, indem mn ds Argument des Logrithmus [ds Teil in der Klmmer] Null setzt. Und n genu dieser Definitionslücke ist die Funktion normlerweise nicht stetig und nicht differenzierbr. [ Bsp.0] - f() 4 Wurzel-Funktionen: Wurzel-Funktionen beginnen meist in einem bestimmten Punkt [in der Skizze bei (0,5 0)]. Diese Punkt berechnet mn, indem mn den Term unter der Wurzel Null setzt. Und n genu diesem Punkt ist die Funktion normlerweise nicht stetig und nicht differenzierbr. [ Bsp.0] - f() 4 Hvoni 04

A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit Betrg-Funktionen: Betrg-Funktionen erzeugen meist einen Knick im Schubild der Funktion. Diese Stelle n der sich dieser Knick befindet berechnet mn, indem mn ds Argument des Betrgs [den Term im Inneren des Betrges] Null setzt. An dieser Knickstelle ist die Funktion normlerweise zwr ber nicht differenzierbr. [ Bsp.04] - f() 4 Kreis- und Ellipsen-Funktionen fllen unter Wurzelfunktionen. Zusmmengesetzte Funktionen: Zusmmengesetzte Funktionen [sie heißen uch bschnittsweise definierte Funktionen] bestehen us zwei oder mehreren Funktionen, die künstlich zu einer einzigen zusmmengewurstet werden. Der Übergng erfolgt n einem bestimmten vorgegebenen -Wert [in der Skizze bei =]. Bis zu diesem -Wert gilt eine Funktion, b dem -Wert gilt eine ndere Funktion. An genu diesem Übergng ist die Problemtik, hier knn die Funktion unstetig oder nicht differenzierbr oder sonst ws sein. [Weil mn ls Aufgbensteller hier lle möglichen Fälle reinbringen knn, sind zusmmengesetzte Funktion in Aufgben besonders beliebt.] [ komplettes Kpitel A.5.0] 4 f() g() 4 Bsp. Es sei f()= 5 4 Überprüfen Sie f() uf Stetigkeit und Differenzierbrkeit. Wir hben es hier mit einer gebrochen-rtionlen Funktion zu tun, f() sprich die Funktion ht einen Nenner. D wo der Nenner Null ist, ist die Kcke m Dmpfen [wir Mthemtiker sgen: es gibt eine Definitionslücke oder wenn mn ngeben will: die Funktion weist bei = eine 4 - Singulrität uf ]. Wir berechnen zuerst diese Nennernullstelle. 4=0 =4 = Selbst ohne die Skizze wissen wir nun, dss bei = eine Problemstelle ist: Bei knpp links und rechts von = läuft f() hoch und runter nch + bzw. -. Bei genu = eistiert die Funktion gr nicht. Die Funktion knn lso gr nicht stetig sein [mn knn sie nicht zeichnen, ohne den Stift bzusetzen] und ist dmit utomtisch uch nicht differenzierbr. [Um es genu zu sgen, ist die Funktion nur bei = unstetig und nicht differenzierbr. Bei llen nderen -Werten ist sie ntürlich sowohl stetig ls uch differenzierbr.] Bsp. Es sei f()= ln( ) Überprüfen Sie f() uf Stetigkeit und Differenzierbrkeit. Hvoni 04

4 A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit Ebenso wie beim letzten Beispiel kennen wir uch hier sofort die Stelle, n welcher die Probleme entstehen. Bei einer Logrithmusfunktion ist ds immer die Nullstelle des Arguments. =0 = Bei = ist f() unstetig und dmit uch nicht definierbr! [Mn könnte nun drüber philosphieren, ob f() unstetig ist, d sie j bei = nicht unterbrochen wird, sondern ufhört... Spren Sie sich ds Philosphieren, denn spätestens wenn mn die Definition der Stetigkeit nwendet ( Kp.A.5.0) sieht mn, dss d ttsächlich nichts stetig ist.] - f() 4 Bsp. Es sei f()=, Überprüfen Sie f() uf Stetigkeit und Differenzierbrkeit. Ebenso wie bei den letzten Beispiel kennen wir uch hier sofort die Stelle, n welcher die Probleme entstehen. Bei einer Wurzelfunktion ist ds immer die Nullstelle des Arguments. =0 =0,5 Bei =0,5 ist f() unstetig und dmit uch nicht definierbr! [Zum Beweis, dss f() bei =0,5 ttsächlich unstetig ist: siehe Bsp.0] f() 4 Bsp.4 Es sei f()= 5 6 Überprüfen Sie f() uf Stetigkeit und Differenzierbrkeit. Betrgsfunktionen sind eigentlich immer stetig ber nicht differenzierbr. Die Problemstelle ist ntürlich ebenflls wieder d, wo ds Argument Null wird. 6=0 =6 =. Bei = ist ist f() ber nicht differenzierbr. [Bewiesen hben wir hier noch nichts. Siehe Bsp.] - f() 4 A.5.0 bschnittsweise definierte Funktionen) ( ) Bsp.5 [Siehe Bsp.] -²+4+ für < Es sei f()= -+0 für Untersuchen Sie f() uf Stetigkeit und Differenzierbrkeit. Hvoni 04

A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit 5 Flls Sie f() zeichnen wollen, ist ds keine schlechte Idee. Die eine Funktion f ()=-²+4+ wird links von = gezeichnet. Die zweite Funktion f ()=-+0 wird rechts von = gezeichnet. Auf jeden Fll müssen sowohl Stetigkeit ls uch Differenzierbrkeit nur bei = [der Übergngsstelle] untersucht werden. f() ist stetig, wenn bei = beide Funktionen den 4 5 6 gleichen -Wert liefern: f ()=-²+4 +=-9++=4 f ()=- +0=4 Beide -Wert sind gleich. f() ist bei = stetig [bei llen nderen -Werten sowieso]. f() ist differenzierbr, wenn bei = beide Funktionsteile die gleichen Steigungen liefern. Für die Steigungen brucht mn ntürlich erst die Ableitung. -²+4+ für < f()= -+0 für m =f '()=- +4=-6+4=- f'()= -+4 für < - für m =f '()=- Beide Steigungen sind gleich. f() ist bei = differenzierbr. 5 4 f () f () Bsp.6 [Siehe Bsp.] ³ ²+5 für Es sei f()= -²+ 5 für > Untersuchen Sie f() uf Stetigkeit und Differenzierbrkeit. Streng genommen müssen Sie f() nicht zeichnen. Hier ist zwr eine Skizze, llerdings ist die notwendig. Wir werden uf jeden Fll die Ableitung bruchen. f ()= ³ ²+5 f '()=² 6 f ()=-²+ 5 f '()=-4+ f'()= ² 6 für -4+ für > - f() ist stetig, wenn bei = beide Funktionsteile den gleichen -Wert liefern f ()=³ ²+5=8 +5= f ()=- ²+ 5=-8+4 5= Beide -Wert sind gleich. f() ist bei = stetig. f() ist differenzierbr, wenn bei = beide Funktionsteile die gleichen Steigungen liefern. f'()= ² 6 für ² 6 = =0 für f'()= -4+ für > -4 +=-8+=4 für > Die Steigungen sind nicht gleich. f() ist nicht differenzierbr. 5 4 f () f () 4 5 Hvoni 04

6 A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit Ein Aufgbentp, den mn wirklich oft sieht, ist der mit Prmetern drin: Bsp.7 ³+ +6 für >0 Es sei g()= 0, 5 b+ für 0 Bestimmen Sie die Prmeter und b so, dss g() differenzierbr ist. Bitte denken Sie drn, dss eine Funktion utomtisch uch stetig sein muss, wenn sie differenzierbr sein soll. Die -Werte beider Funktionen müssen bei =0 gleich sein. g (0)=g (0) 0³+ 0+6=0, 0 5 b+ 6=-b+ b=-5 Die Steigungen beider Funktionen müssen bei =0 gleich sein. ²+ für >0 g'()= g 4 für 0 '(0)=g '(0) 4 0²+= 0 =0 Die Prmeter müssen die Werte =0 und b=-5 nnehmen! Und dmit Sie nicht denken, lles wäre super-einfch, hier noch ein hässliches Beispiel. Bsp.8 Es sei h()= +b für - (+) 5 0,8 für <- Bestimmen Sie die Prmeter und b so, dss h() differenzierbr ist. Die -Werte beider Funktionen müssen bei =- gleich sein. h (-)=h (-) ( )+b =(-+) 5 0,8 +b =0, Leider ist ds eine Gleichung mit zwei Unbeknnten. Knn mn nicht direkt lösen. Wir lssen s erst ml stehen und schuen, ws wir mit der zweiten Gleichung für ein Ergebnis erhlten. Die Steigungen beider Funktionen müssen bei =0 gleich sein. Zuerst bestimmen wir die Ableitungen: h ()= +b = [umschreiben] = (+b) 0,5 h '() = 0,5 (+b) -0,5 () = (+b) -0,5 = [umschreiben] = h ()=(+) 5 + h '()=5 (+) 4 h '(-)=h '(-) ( )+b =5 (-+)4 Gleichungen lösen: Leider hben wir weder noch +b =5 4 Gleichung mit zwei Unbeknnten: I) +b =0, Die kommt von der inneren Ableitung [Kettenregel] +b =5 +b b direkt erhlten, sondern nur zwei II) +b =5 Hvoni 04

A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit 7 Allein schon wegen der Wurzel würde ich beide Gleichungen qudrieren. Dnch könnte mn z.b. Gleichung II) nch ² uflösen und in I) einsetzen. I) +b =0, I') ² (-+b)=0,04 II) =5 ² II') =5 II'') ²=5 (-+b) +b +b II'') in I'): (5 (-+b)) (-+b)=0,04 5 (-+b) =0,04 (-+b) = 0,04 5 (-+b) =0,006 -+b=0,04 b=,04 b=,04 in II'') [oder irgendwo nders]: ²=5 (-+,04) ²= =± Die Prmeter müssen die Werte =± und b=,04 nnehmen! A.5.0 Definition von stetig und differenzierbr ( ) Eine Funktion f() nennt mn wenn sie n jeder Stelle [überll, bei jedem -Wert] stetig ist. Eine Funktion f() ist n einer Stelle = wenn gilt:. f() eistiert. lim f( ) = f() >. lim f( ) = f() < Eine Funktion f() nennt mn differenzierbr, wenn sie n jeder Stelle [überll, bei jedem -Wert] differenzierbr ist. Eine Funktion f() ist n einer Stelle = differenzierbr, wenn gilt:. f() ist bei = stetig.. f'() eistiert. lim f'() = f'() > 4. lim f'() = f'() < Bemerkung: Die Nummerierung der Bedingungen ist in der Mthemtik nicht llgemeingültig. Die Bedingungen n sich ntürlich schon! Hvoni 04

8 A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit Bsp.9 Ein Beispiel, ds so einfch ist, dss es schon fst wieder doof ist. Bemerkung: Verwechseln Sie einfch nicht mit kurz. Zeigen Sie, dss die Funktion f()=² 4+ n der Stelle = stetig ist. Es gibt drei Bedingungen, dmit f() stetig ist.. f() muss eistieren,. lim f() = f() >. lim f() = f() < Zu Bedingung. f() eistiert ntürlich, denn mn knn = in f() einsetzen. f()=² 4 +=-. Alles wunderbr, Bedingung ist erfüllt. Zu Bedingung. lim f() = lim ² 4+ = -. Psst. Super! > > Zu Bedingung. lim f() = lim ² 4+ = -. > > Perfekt. Alle drei Bedingungen sind erfüllt. f() ist bei = stetig. Wenn und > (lso z.b.,00...00), kommt ntürlich wieder - rus]. Und wenn und < (lso z.b.,999999), kommt ntürlich wieder - rus]. Bsp.0 [siehe uch Bsp.] Es sei f()=,. Untersuchen Sie f() uf Stetigkeit und Differenzierbrkeit n der Stelle =0,5. Beginnen wir mit der f() muss ntürlich die drei Bedingungen erfüllen. Es gibt drei Bedingungen, dmit f() stetig ist.. f(0,5) muss eistieren,. lim f() = f(0,5). lim f() = f(0,5) 0,5 >0,5 0,5 <0,5 Zu Bedingung. f(0,5) eistiert ntürlich, denn mn knn =0,5 in f() einsetzen. f(0,5)=, 0,5 =, 0=0. Alles wunderbr, Bedingung ist erfüllt. Zu Bedingung. lim f() = lim, =, 0,000...000 0 = f(0,5). Erfüllt. 0,5 >0,5 0,5 >0,5 Zu Bedingung. lim f() = lim, =, 0,000...000 0,5 <0,5 0,5 <0,5 [D <0,5 steht unter Wurzel etws leicht Negtives. Ds ist ntürlich unmöglich. Ds bedeutet ber ntürlich, dss nicht f(0,5) ruskommt, womit die Bedingung nicht erfüllt ist.] f() ist nicht stetig und dmit ntürlich uch nicht differenzierbr. Hvoni 04

A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit 9 Bsp. [siehe uch Bsp.4] Es sei f()= 5 6 Überprüfen Sie f() uf Stetigkeit und Differenzierbrkeit. Die einzige Problemstelle ist bei =, denn d wird ds Innere des Betrges Null. Bei llen nderen -Werten, bei, ist f() selbstverständlich sowohl stetig ls uch differenzierbr. Für die Differenzierbrkeit bruchen wir uf jeden Fll die Ableitung von f(). Die Ableitung einer Betrgfunktion berechnet mn leider etws umständlich, mn brucht eine Fllunterscheidung. Fll : 6>0 >6 > [der Betrg wird zur einfchen Klmmer] f()= 5 ( 6) f'()= 5 () = 6 5 Fll : 6<0 <6 < [der Betrg wird zur negtiven Klmmer] f()= ( ( 6)) = 5 5 ( +6) f'()= 5 ( ) = 6 5 Zu Bedingung. f() eistiert ntürlich, denn mn knn = in f() einsetzen. f()= 5 6 = 5 0 =0. Bedingung ist erfüllt. Zu Bedingung. lim > f() = lim > 6 =,000...000 6 = 0 0 = f(). Erfüllt. 5 5 5 Zu Bedingung. lim f() = lim 6 =,99999... 6 = 0 0 = f(). 5 5 5 < < Alle drei Bedingungen sind erfüllt. f() ist stetig. Bedingung der Differenzierbrkeit ist die Stetigkeit. Wurde eben gezeigt. Bedingung : f'() knn mn eigentlich nicht ngeben, denn f'() ist j die Steigung von f() n der Stelle =. D f() bei = jedoch eine Spitze der Funktion ist, knn mn gr nicht sgen, ws für eine Steigung d ist. Eigentlich wäre mn jetzt schon fertig und könnte sgen: nicht differenzierbr. Spätestens ber, wenn mn die Steigung links und rechts von = nschut, wird klr, dss f() nicht differenzierbr ist, d die Steigungen uf beiden Seiten unterschiedlich ist: lim f'()= 6 5 < lim f'()= 6 5 > f() 4 Unterschiedliche Steigungen. f() ist nicht differenzierbr. - Hvoni 04

0 A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit Bsp. [siehe uch Bsp.5] -²+4+ für < Es sei f()= -+0 für Überprüfen Sie f() uf Stetigkeit und Differenzierbrkeit. f() geht bei = von der einen zur nderen Funktion über. Die einzige Stelle, n der f() lso nicht stetig oder nicht diff.br sein könnte ist =! -+4 für < Vorb noch schnell die Ableitung von f(): f'()= - für Zu Bedingung. f() eistiert ntürlich, denn mn knn = in f() einsetzen. Um genu zu sein, muss mn = in -+0 einsetzen, denn hier ist ds Gleichzeichen mit dbei. -²+4+ gilt nur wenn kleiner ls ist. f()=- +0=4. Bedingung ist erfüllt. Zu Bedingung. lim f() = lim +0 - +0 = 4 = f(). Erfüllt. > > Zu Bedingung. lim f() = lim ²+4+ -²+4 + = 4 = f(). Ebenflls erfüllt. < < Alle drei Bedingungen sind erfüllt. f() ist stetig. Bedingung der Differenzierbrkeit ist die Stetigkeit. Wurde eben gezeigt. Bedingung : f'()=-. Einsetzen ist offensichtlich möglich. Bedingung ist erfüllt. Zu Bedingung : lim f'() = lim = - = f(). Bedingung ist erfüllt. > > Zu Bedingung 4: lim f'() = lim +4 - +4 = - = f(). Bedingung ist erfüllt. < < f() ist differenzierbr. Hvoni 04

A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit Bsp. [siehe uch Bsp.6] ³ ²+5 für Es sei f()= -²+ 5 für > Überprüfen Sie f() uf Stetigkeit und Differenzierbrkeit. f() geht bei = von der einen zur nderen Funktion über. Die einzige Stelle, n der f() lso nicht stetig oder nicht diff.br sein könnte ist =! ² 6 für Vorb noch schnell die Ableitung von f(): f'()= -4²+ für > Zu Bedingung. f() eistiert ntürlich, denn mn knn = in f() einsetzen. Um genu zu sein, muss mn = in ³ ²+5 einsetzen, denn hier ist ds Gleichzeichen mit dbei. -²+ 5 gilt nur wenn größer ls ist. f()=³ ²+5=. Bedingung ist erfüllt. Zu Bedingung. f() = lim ²+ 5 - ²+ 5 = = f(). Erfüllt. > lim > Zu Bedingung. f() = lim ³ ²+5 ³ ²+5 = = f(). Ebenflls erfüllt. < lim < Alle drei Bedingungen sind erfüllt. f() ist stetig. Bedingung der Differenzierbrkeit ist die Stetigkeit. Wurde eben gezeigt. Bedingung : f'()= ² 6 =0. Einsetzen ist möglich. Bedingung ist erfüllt. Zu Bedingung : lim f'() = lim 4+ -4 + = 8 f(). Bedingung ist nicht erfüllt. > > f() ist nicht differenzierbr. [Bedingung 4 ist nicht mehr wichtig] Hvoni 04