Prof. Dr. J. Böhm-Rietig LO FH-Köln, Fak / Lineare Optimierung. Foliensammlung.

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1 Lineare Optimierung Foliensammlung. Definition: die optimale Allokation begrenzter Resourcen auf konkurrierende Aktivitäten. Anwendungsbereiche lineare Produktionsprogrammplanung Kuppelproduktion Intensitätsplanung der Produktion Preiskalkulation für neue Produkte ( Kostenfunktion ) Kostenschätzung für Kapazitätserweiterung oder Outsourcing Personalplanung, Termin- und Resourcenplanung (Güter-)Transportprobleme Verschnitt-, Umlade- und Zuordnungsprobleme Berechnung optimaler (gemischter) Strategien in der Spieltheorie und -praxis. Bestimmung maximaler Flüsse durch Netzwerke Interessenausgleich bei Mehrzieloptimierung, z.b. bei der Neuvergabe von Wahlkreisen. Finanzplanung; Kapitalbereitstellung zum geeigneten Zeitpunkt mit Zwischenfinanzierung Zu vielen der genannten Erweiterungsfälle gibt es jedoch auch spezialisierte effizientere Algorithmen. Jedoch: Vorteile hauptsächlich bei der mittelfristigen Planung der Serienproduktion. [LO_Folien.odt] S. 1 [ ]

2 Modellvorlage Produktionsprogrammplan Die genutzten Ressourcen m Aktivitäten hier : Output, Produkte n a Ressourcenverbrauch jeder Aktivität a mn Kapazität jeder Ressource Intensitivität jeder Aktivität Auswirkung auf das Ziel x x n Z Z n Das Ziel Z a ij : Verbrauch der Ressource i für eine Einheit der Aktivität j Z j : Zieländerung für eine zusätzliche Einheit der Aktivität j x j : Entscheidungsvariable: unbestimmte Intensität der Aktivität j in sinnvollen Einheiten. Wohin : Was ist das Ziel? Zielfestlegung Wie : Was sind die einzelnen prinzipiell unabhängigen Maßnahmen/Aktivitäten mit Zielwirkung? Entscheidungsvariablen Womit : Welche Ressourcen werden verwendet? Konkurrenz! Summe der Ressourcennutzung Was ist zu beachten? Kapazitäten technologische Bed. Teilbarkeit? Negativität von Variablen? [LO_Folien.odt] S. 2 [ ]

3 Mathematisches Modell für den Produktionsprogrammplan Entscheidungs-Variablen (E.V.): x i : Intensität der Aktivität i Grundbedingung an die E.V. : alle x i 0 ( NNB ). Lineare Optimierung nur möglich für beliebig teilbare Aktivitäten: x i [0; ) IR! ( Teilbarkeit ) n Ziel: Z = c x i i Max! i=1 die c i = Z i sind hier meist die Deckungsbeiträge je Einheit. Restriktionen aus Beschränktheit der Ressourcenkapazitäten: a 11 x a 1n x n b 1... a m1 x a mn x n b m bzw. A x b wenn b =(b 1,...,b m ) der Kapazitätsvektor ist. Wenn b 0 gilt, spricht man von einem Standardproblem der Linearen Optimierung oder der Standardform des Simplex-Algorithmus. Es ist unmittelbar lösbar mit dem (primalen) Simplex-Alg.! [LO_Folien.odt] S. 3 [ ]

4 Der (primale) Simplexalgorithmus Mathematische Basis: Die Lösung der Linearen Optimierung ist immer: a) unbeschränkt (meist aufgrund Modellierungsfehler) oder b) leer (dito) oder c) in mindestens einer Ecke eines gerade(eben) berandeten konvexen Körpers zu finden. Georg B. Dantzig, 1947: endlicher, schnell konvergierender Lösungsalgorithmus, der alle Fälle unterscheidet, numerisch stabil ist und weitere wichtige Informationen zur Lösung liefert (1)Starte mit einem zulässigen Eckpunkt (d.h. Restriktionen alle erfüllt) (2)Fahre in Richtung des steilsten Anstiegs fort! (Vektorvergleich) (3)Gehe bis zur nächsten zulässigen Ecke! (Quotientenvergleich) (4)Gehe zu (2) falls möglich, sonst Ende! Da der Körper keine Einbuchtungen hat, muß es immer weitergehen bei (2), es sei denn das Problem ist unbeschränkt, was man immer bei (3) bemerkt. Teilweise kann man bei (2) fortfahren, ohne dass sich Z ändert, dann ist die Lösung mehrdeutig (Teilfläche mit mind. 2 Ecken ist Lösungsmenge). Lösungshilfsmittel: Gausscher Algorithmus für LGS in Tableauform. Aus dem LGS wird schrittweise jeweils eine Variable eleminiert ( Pivotisieren ). [LO_Folien.odt] S. 4 [ ]

5 Anschaulich Ecken : Auflösungen eines zum Ungleichungssystem passenden LGS mit m+n Variablen und n Gleichungen nach m freien Variablen (Rang(A)=n). Es gibt höchstens n m n Ecken! Im Mittel werden nur (n+2m)/2 Rechenschritte benötigt! [LO_Folien.odt] S. 5 [ ]

6 Der Begriff der Linearität von Modellen Ein mathematisches Modell ist dann linear, wenn alle beteiligten Größen Elemente geeigneter normierter Vektorräume über IR bzw. Teilräume, Hyperflächen, Halbräume etc. sind. und sich die Beziehungen zwischen ihnen durch lineare Abbildungen darstellen. Definitionsbereiche der Entscheidungsvariablen sind konvex Die E.V. dürfen nicht multiplikativ miteinander verrechnet sein Die E.V. sind beliebig teilbar und kommen nicht in höheren Funktionen (wie sin, ( ) 2, etc.) vor! Prüfen Sie die vier Grundannahmen für LP/LO! Die Annahme der Proportionalität der Entscheidungsvariablen/Aktivitäten in allen Umständen Die Annahme der Additivität für die Zielfunktion und die Ressourcennutzung Die Teilbarkeitsannahme Bei bestimmten Spezialproblemen ergeben sich aber immer ganzzahlige Lösungen (Transportprobleme), so daß dann nur die Modellvoraussetzungen für diese Fälle zu prüfen sind. Die Annahme der Modell-Bestimmtheit Modell-Determiniertheit. [LO_Folien.odt] S. 6 [ ]

7 Bsp.: Prod. Plan.-Modell mit einigen Erweiterungen 2 Produkte P1, P2 werden in zwei Stufen/Abteilungen A1, A2 hergestellt. Deckungsbeitrag von P1: DB1 = 30 GE/E Deckungsbeitrag von P2: DB2 = 40 GE/E Kapazität A1: Kapazität A2: KapA1 = 7000 ZE KapA2 = 8000 ZE P1 beansprucht 5 ZE/E aus A1 und 4 ZE/E aus A2. P2 beansprucht 2 ZE/E aus A1 und 3 ZE/E aus A2. Absatzhöchstmenge P1: Absatzhöchstmenge P2: 1000 E 2000 E Aufgabe 1: Maximierung des Gesamt-DB! E.V.: x 1 die von P1 geplante Produktionsmenge, entsprechend x 2 von P2. Maximiere Z = 30x x 2. N.B. 5x 1 + 2x (KapA1) 4x 1 + 3x (KapA2) x (AbsMaxP1) x (AbsMaxP2) x j 0 für j=0,1 (NNB) [LO_Folien.odt] S. 7 [ ]

8 Optimale Lösung: x 1 = 500 x 2 = 2000 Z opt = Einschränkende Nebenbedingungen: KapA2 und AbsMaxP2 (Schnittpunkt der Ränder Lösung) Freie Ressourcen in Abteilung A1 (500 ZE), ungenutzte Absatzmöglichkeiten Produkt P1 (500 E) [LO_Folien.odt] S. 8 [ ]

9 4.1.1Aufgabe 2: zusätzliche Berücksichtigung von Überstunden Begrenzt Überstunden in beiden Abteilungen: Abteil ung zusätzliche var. Kosten in GE je ZE max. Überstunden- Kontingent ZE A A Die Anzahl der E.V. vervierft sich: Abt. I Abt. II Produkt j (j=1,2) Normalstunden Normalstunden NN x j Normalstunden Überstunden NU x j Überstunden Normalstunden UN x j Überstunden Überstunden UU x j Wie passen sich die Z i an? Ü nur in A1: vorher Z 1 = DB 1 = 30 und DB 2 = 40 nachher zusätzliche var. Kosten: DB1=30 nur für x 1 NN, DB 1 UN = 30-5*1 = 25 DB 1 UU = 30 5*1 4*2 = 17 usw.: Produkt Produktions-verfahren DB norm Faktoren DB red P1 NN P1 UN P1 NU P1 UU P2 NN P2 UN P2 NU P2 UU Z = 30x 1 NN + 25x 1 UN + 22x 1 NU + 17x 1 UU + 40x 2 NN + 38x 2 UN + 34x 2 NU + 32x 2 UU Max! [LO_Folien.odt] S. 9 [ ]

10 Zusätzliche Nebenbed. (alle anderen modifiziert!) : UN 5 x 1 UU + 5 x 1 UN + 2 x 2 UU + 2 x (Ü-K A1) NU 4 x 1 UU + 4 x 1 NU + 3 x 2 UU + 3 x (Ü-K A2) Das Ergebnis lautet: Z opt = GE. Lösung: 300 E von P1 ohne Überstunden 300 E von P1 mit Überstunden in Abteilung A2 200 E von P1 mit Überstunden in A E von P2 ohne Überstunden. Freie Ressourcen (nicht bindende Nebenbedingungen) : 300 ZE Überstunden von A2 ungenutzt. 200 E der Absatzrestriktion für P1 ungnutzt. Schattenpreise der vier ausgeschöpften/knappen Ressourcen (bindenden Restriktionen) : 22/5 GE/ZE KapA1 2 GE/ZE KapA2 17/5= 3,4 GE/ZE Überstundenrestriktionen von A1 504/20= GE/E Absatzrestriktion von P2. Interessante Mehrdeutigkeit: es gibt 5 sehr verschiedene (Eckpunkt-)Lösungen, deren konvexe Linearkombinationen alle gleichwertigen optimale Lösungen ergeben! Aufgabe 3: Intensitätsmäßige Anpassung der Produktion Wie bei Aufg.1, jedoch in zwei Intensitätsstufen produzieren! In beiden Abteilungen ist eine 25%-ige Intensivierung möglich. var. Kosten je Abt. I Abt. II ZE in Int. Stufe Int. Stufe Abt. I Abt. II Produkt j Int.St. 1 Int.St xj Int.St. 1 Int.St. 2 xj 12 Int.St. 2 Int.St. 1 xj 21 Int.St. 2 Int.St. 2 xj 22 [LO_Folien.odt] S. 10 [ ]

11 Variablen Mehrkosten bei intensiver Produktion : erhöhten var. Kosten abzüglich normalen var. Kosten: Produkt benötigt in benötigt in Mehrkosten in A1 A1 bei Int. A1 bei Int. bei Int. Stufe 2 Stufe 1 Stufe 2 Mehrkosten in A2 bei Int. Stufe 2 (analog) P1 5 5/1,25 = 4 (15*4-10*5)= 10 (20*16/5-15*4)= 4 P2 2 2/1,25 = 8/5 (15*8/5-10*2)= 4 (20*12/5-15*3)= 3 Damit ergeben sich die modifizierten DB (für 8 Variablen) : Produ Int. Stufe in A1 Int. Stufe in A2 DB norm DB red. kt P P = 26 P = 20 P = 16 P P = 37 P = 36 P = 33 Die N.Bed. müssen modifiziert werden, aber keine neuen! Übersicht aller Ergebnisse: Originalproblem Überstunden Intensivierung der Produktion Z opt Menge P Üst Int. Menge P Wie man es auch macht, die Absatzgrenze bei P2 ist der Hemmschuh. [LO_Folien.odt] S. 11 [ ]

12 Sensitivitätsanalyse: Wie empfindlich reagiert die Lösung auf (Zahlen-) Parameteränderungen? Am einfachsten: Variation der rechten Seite b j : a 11 x a 1n x n b 1 + δ δ sei klein! Die (Hyper-)Ebene verschiebt sich parallel proportional zu δ : δ Z neues Opt. a x +...=b +δ altes Opt. a x +... = b Z=Z opt Das neue Optimum hat ein besseres Z: Z opt(neu) = Z opt(alt) + Z Im Bild ist offensichtlich: Z δ Schattenpreis : S.P. 1 = Z / δ ( nur für Engpässe!! ) Excel gibt die Schattenpreise korrekt für Engpässe an! Schattenpreise: Die maximalen Preise, die man für Engpaß- Ressourcen (je Einheit) bei externer Zulieferung bezahlen sollte, um dennoch kein verschlechtertes Ergebnis zu erhalten. Im obigen Beispiel: (Nebenbed.1 und 3 sind keine Engpässe!) S.P.2 = 7,5 (KapA2) S.P.4 = 17,5 (AbsMaxP2) [LO_Folien.odt] S. 12 [ ]

13 Excel gibt auch die reduzierten Zielkoefizieten an: erforderliche Kostenreduktion, damit ein nicht-hergestelltes Produkt in den Plan aufgenommen wird. Oder: erforderlicher erhöhter Erlös des Produktes. Spannweite der Parameteränderung: Excel gibt auch die Spannweite an, innerhalb der die Parameter des Problems sich individuell (nicht gemeinsam!) ändern können, ohne dass sich der optimale Lösungspunkt ändert. Z dagegen kann sich ändern. Im obigen Beispiel: 0 DB1 53,33 22,5 DB AbsMaxP1 1714,29 AbsMaxP KapA1 - KapA Probieren Sie immer nur einen Grenzwert aus! Beispiel: AbsMaxP2 = 1714,29 Lös: x 1 =714,29 ; x 2 =1714,29 ; Z opt = Sowohl KapA1 als auch KapA2 und AbsMaxP2 sind erschöpfte Ressourcen! 3 Geraden schneiden sich in einem Punkt! Die Berechnung der Grenzen ist recht leicht mit dem Simplex- Algorithmus, der ja immer schon die nächste Ecke kennt. Richtige LO-Programme können auch eine Sensitivitätsanalyse der Koefizienten (von A) vornehmen. Noch einen Schritt weiter: Parametrische Optimierung An mehreren Stellen werden Parameterabhängige, gleichzeitige Änderungen berücksichtigt, z.b. für generelle Preis-,Lohn-,Umsatzsteuererhöhungen, Währungsschwankungen u.ä. Es gibt auch noch eine Stochastische Lineare Optimierung. [LO_Folien.odt] S. 13 [ ]

14 Modellvorlage : kostenminimales Qualitätsprogramm Die Qualitätsmerkmale m Aktivitäten hier : Q.- Maßnahmen n a Qualitätsanteil jeder Aktivität zu erfüllenden Qualitätsanforderungen a mn Ziel Auswirkung, Aktivitätskosten Z Z auf das x x n Intensitivität jeder Aktivität Das Ziel Z: Kostens umme a ij : Verbesserung des Q-Merkmals i für eine Einheit der Aktivität/Maßnahme j Z j : Zieländerung (meist Kosten) für eine zusätzliche Einheit der Aktivität j x j : Entscheidungsvariable: unbestimmte Intensität der Aktivität j in sinnvollen Einheiten. [LO_Folien.odt] S. 14 [ ]

15 Beispiel Diätplan Minimierungsproblem Quelle: J. Tietze, 1996, S. 10-4, ähnlich auch bei der Mischung von Legierungen etc. Aufstellung eines kostengünstigen Diätplans, der alle notwendigen Nährstoffe garantiert. 2 Futtermittel (Schweinemästerei)., 3 wichtige Inhaltsstoffe. Bedarf und Kosten je Schwein: Eiweiß (ME/100g) Fett (ME/100g) Energie (ME/100g) Preis ( /100g ) Futter I ,- Futter II ,- Mindestbedarf (ME) n 1 2 Start 3 [LO_Folien.odt] S. 15 [ ]

16 Der Duale Simplexalgorithmus Mathematische Basis: Die Lösung der Linearen Optimierung ist immer: a) unbeschränkt (meist aufgrund Modellierungsfehler) oder b) leer (dito) oder c) in mindestens einer Ecke eines gerade(eben) berandeten konvexen Kegels ( Simplex ) zu finden. Dualer Simplexalgorithmus Besonders wichtig für das Weiterrechnen von einer bekannten Lösung aus mit (kleinen) Änderungen und für viele praktisch & theoretische Abschätzungen. (1)Starte mit einem unzulässigen Eckpunkt mit (über-)optimalem Zielwert (2)Fahre in Richtung der stärksten Verletzung der Nebenbedingungen fort! (Vektorvergleich) (3)Gehe bis zur nächsten (evtl. un-)zulässigen, über-optimalen Ecke! (Quotientenvergleich) (4)Gehe zu (2) falls noch unzulässig, sonst ist dieser Punkt zulässig und optimal! [LO_Folien.odt] S. 16 [ ]

17 Dualitätsprinzip Zu jedem linearen Opt. Problem (Primales Problem) gibt es ein Duales lin. Opt. Problem. Die Lösungen/Aussagen des Primalen Problems sind eindeutig mit den Lösungen/Aussagen des Dualen Problems verknüpft. Das Duale Problem des Dualen Problems ist das Primale Problem (Symmetrie)! Bsp.: Primales Problem ist Produktions-Programmplan Z = DB 1 x 1 +. DB n x n Max! a 11 x a 1n x n b 1... a m1 x a mn x n b m und NNB. Duales Problem: Auwandsminimum bei vorgeg. DB. Z * = b 1 y 1 +. b m y m Min! a 11 y a m1 y m DB 1... a 1n y a mn y m DB n und NNB. Graphisch sehr eindeutig: y 1 y 2 y 3 DB i x x b j : [LO_Folien.odt] S. 17 [ ]

18 Das D.P. fordert die vorgegebenen DB für jedes Produkt. Die Entscheidungsvariablen entsprechen einer Ressourcenbewertung. Das Ziel ist, den Gesamtaufwand (Ressourcen-Kosten) minimal zu halten. Mit den obigen Zahlen: Opt. P.P.: x 1 = 2 ; x 2 = 6 ; Z = 36 Opt. D.P.: y 1 = 0 ; y 2 = 1,5 ; y 3 = 1 ; Z * = 36 Wenn Z die Einheit [GE] hat und 4;12;18 die Kapazitäten von 3 Maschinen z.b. in [Mst] sind, müssen die Dimensionen von y i [GE/Mst] sein. Die Schattenpreise y i bemessen/gewichten den Ressourceneinsatz. Engpässe der Produktion haben einen Schattenpreis 0. Schattenpreise geben an, bis zu welchen Extrakosten man diese Ressource extern einkaufen könnte und trotzdem mehr Gewinn machen könnte. Größere Werte von y i führen zu zulässigen Lösungen des Dualen Problems mit einem Z * > 36 = Z * opt = Z opt. Eigenschaften Dualer Probleme Die Lösungen des Dualen Problems sind die Schattenpreise des P.P. Die Matrix des Standardproblems wird einfach transponiert. Zulässige Lösungen des Dualen Problems ergeben obere Schranken für den Zielwert des P.P.! Der Duale Simplex-Alg. kann mit (primal) unzulässigen Startlösungen beginnen (siehe obiges Minimierungsproblem). Der D.S.A. wird verwendet, wenn zu einem bereits gelösten Problem neue Restriktionen oder neue Variablen hinzugefügt werden sollen, ohne alles neu von vorne zu rechnen. [LO_Folien.odt] S. 18 [ ]

19 Fortführung des Produktions-Programm-Beispiels Aufgabe 4: Ein mehrperiodiges Modell Rollierenden Planung: aufgrund unterschiedlicher Produktionszeiträume, saisonaler Nachfrage- und Arbeitskräfteunterschiede in das Modell aufnehmen: variable Kapazitätsrestriktionen, Absatzmöglichkeiten und Lagerkosten. Bei gleichen Zeitperioden gibt es ein einfaches, erweitertes LO-Modell. Die Modellvariablen setzt man so fest: x j ab mit j : Index für Produkt j a : Erzeugungsperiode b : Absatzperiode, b a. Wird eine Produkteinheit E nicht in der Periode abgesetzt, in der sie produziert wird, so sind Lagerkosten zu berücksichtigen: P1 : 6 GE/E/Periode P2 : 8 GE/E/Periode Zeitabhängige Kosten und Erlöse (Erweiterung von Aufg. 1). 4 Zeitperioden ZP a, a {1,2,3,4}. Zeitperiode : ZP 1 ZP 2 ZP 3 ZP 4 Kapazitäten Abt. A A Absatzmenge Produkt P P Kosten o.lager P P Nettoerlöse P P Angepaßte Deckungsbeiträge [LO_Folien.odt] S. 19 [ ]

20 Erzeugungsperiode a= Absatzperiode b= Stück-DB von P Stück-DB von P z.b. für P1 mit a=2 b=4 pro Mengenheit: Produktionskosten = 57, 2 mal Lagerkosten = 12, Erlös = Summe DB 1 = 28 Over-All Wert maximieren: 2 Z= j=1 4 a=1 4 DB ab x j j ab b=1 Es gibt 20 Variablen, einige (32-20) Summanden sind 0 zu setzen! Die Nebenbedingungen sind ebenfalls anzupassen!! Eine Lösung für dieses LP lautet: Modellvariablen 11 X X X X X X X X X alle sonst 0 Der Schlupfvariablen nicht ausgeschöpfte Resourcen KAP1 A1 500 KAP2 A2 400 KAP3 A2 320 KAP4 A2 980 ABSMAX Q1 P1 900 ABSMAX Q3 P1 280 ABSMAX Q4 P1 520 optimale Zielfunktionswert lautet Z opt = GE. An Lagerkosten fallen an: 400*6 =2400 GE (für x 1 12 ). [LO_Folien.odt] S. 20 [ ]