Vektorrechnung unter besonderer Berücksichtigung der Darstellungsmöglichkeiten eines Computer-Algebrasystems

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1 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems Vektorrechu uter esoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computer-lersystems ) Grudle der Vektorrechu rojektio? VEKTORFEILE!! ) eweise, Formel 3) Vorsweise ei Erstellu eies Moduls - Struktormm 4) Vektorrechu m Dreieck 5) R Modul 6) R 3 Modul Isometrics 7) sps Tests ) Grudle der Vektorrechu: Defiitio eies Vektors (feils): Die Mee ller feile mit dersele Richtu, dersele Orietieru ud dersele Läe ildet eie Vektor der Eee zw. des Rumes. Geht ei Vektor vo eiem ukt us, so ist seie ositio im Koorditesystem eideuti festelet. Gruderiffe: Ei Vektor wird durch ei Tupel defiiert Ei Tupel ist die eordete Zusmmefssu vo Zhle, die eie fixe Reihefole esitze. Jede Zhl steht für die usdehu des Vektors i die jeweilie Richtu. z.. Die erste Zhl it die usdehu Vektors uf der x-chse des Koorditesystems. -Tupel: eordete Zusmmefssu vo -Zhle r: zweidimesioler Vektor, uf eier Eee Tripel: dreidimesioler Vektor, im Rum y liks ist ei zweidimesioler Vektor zu sehe Sei -Tupel oder r ht folede Form: x y x it seie usdehu uf der x-chse ud y die uf der y-chse. x Rechereel: *) dditio / Sutrktio *) Multipliktio / Divisio x x x y y x y z c z c c z c dres Reisier Seite / ki@xpoit.t

2 Spezileiet Mthemtik Sklres rodukt: Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems, 3 R ezeichu: Sklres rodukt der Vektore ud. Ds sklre rodukt zweier Vektore erit immer eie Zhl. We COS( α) d eträt der Wikel zwische ud 9 Vektorprodukt zw. Kreuzprodukt: esucht: Vektor, der zu ud 3 orml 3 ist wir defiiere 3 3 t t 3 t ud erhlte Gleichue mit 3 Uekte / / ( ) 3 t 3 t 3 t 3 t Herushee vo ud t: ( ) t (3 3) ( ) t (3 3) ( ) t ( 3 3 ) dres Reisier Seite / ki@xpoit.t

3 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems 3 3 t 3 t 3 t Sustitutio: 3 3 t 3 t 3 3 t Festleu: t Läe eies Vektors: Die Läe eies Vektors wird mit Hilfe des Stzes vo ythors erechet. y Der Vektor schließt mit de chse ei rechtwikelies Dreieck ei. Der Vektor selst ildet dei die Hypotheuse: x Läe () x y y x Wikel zwische Vektore: esucht: Wikel zwische de Vektore Dei wird der Cosiusstz ewedet. dres Reisier Seite 3/ ki@xpoit.t ud γ

4 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems dres Reisier Seite 4/ Mittelpukt eier Strecke: Normlvektorform: eweis der ehupu: Flächeihlt eies Dreiecks zw. rllelormms: ehuptu: Cos-Stz: ( ) γ COS ( ) ( ) γ COS ( ) γ COS ( ) γ COS ( ) COS γ M ( ) ) ( M X X X ) (X ) : ( / ) ( I II α trioometrische Flächeformel: ) SIN( ) SIN( II I α α ) SIN( α

5 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems α Vorediue: SIN( α) COS( α) SIN( α) COS( α) COS( α) *) *) *) *) ( ) Herleitu des Flächeihltes: SIN( α) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Eiheitsvektor: Um die Läe eies Vektors uf zu veräder, muß m ih durch seie Läe, sprich seie etr, dividiere: Eiheitsve ktor dres Reisier Seite 5/ ki@xpoit.t

6 Spezileiet Mthemtik Normlprojektio: Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems M projeziert de Vektor uf de Vektor ud erhält de Vektor. D m mit de eträe der Vektore rumetiert, k m mit der Wikelfuktio COS reite. COS( α ) COS( α) α M erhält die Läe vo. Will m u ls Vektor, muß m mit Hilfe des Eiheitsvektors die Läe vo die Läe vo leiche. Der erhltee Vektor ist : rmeterdrstellu: Die rmeterdrstellu ht im llemeie folede Gestlt: X t X stellt die Mee ller ukte dr, die vo de t-te std he. ) Vektorrechu im R siehe UVEKTR.MTH: ) Die Gerde: Gerde köe i ezu uf die Vektorrechu mittels er Techike defiiert werde. ) Normlvektordrstellu: hier wird zur ufstellu der Gerde ei ukt ud ei Vektor orml zur Gerde eötit. Die Formel hierzu lutet: X Die expdierte Gleichu sieht d so us: dres Reisier x y p p Seite 6/ ki@xpoit.t

7 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems M k och immer die usdehu des Normlvektors lese. ) rmeterdrstellu: hier wird zur ufstellu der Gerde ei ukt ud dere Richtusvektor eötit. Die Formel hierzu lutet: X t cost. p t p Der rmeter t defiiert die ukte, die vo dem usspukt de t*-te std he. D t vriel ist, etsteht eie Gerde. Leeziehue er Gerde: eee: Gerde: : X G t h : X H s h Es it 3 Mölichkeite der Le der Gerde zueider: ) Es existert ei Schittpukt: Sid die Richtusvektore ud h lier uhäi (l.u.) so existert ei eideuties t ud s ud somit uch ei Schittpukt S. h,h...l.u. h S {} ) ud h sid prllell: Sid die Richtusvektore ud h lier häi (l..) so existert kei eideuties t ud s ud somit uch kei Schittpukt S.,h...l.. h {} Kei ukt der eie Gerde existert uch uf der dere Gerde: h h h 3) ud h sid idet: Sid die Richtusvektore ud h lier häi (l..) so existert kei eideuties t ud s ud somit uch kei Schittpukt S. dres Reisier Seite 7/7 999,h...l.. h h ki@xpoit.t Jeder ukt der eie Gerde existert uch uf der dere Gerde: h h

8 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems h ) Der Kreis: Der Kreis ist die Mee ller ukte, die vo eiem Mittelpukt M desele std he. r X Zur Herleitu der Kreisleichu wird der Stz vo ythors ewdt: x m X M y m M r XM r MX r MX r ( X M) ( x m) ( x m) Leeziehue vo Kreis ud Gerde: ) sste: Die Gerde ht keie Kotkt zum Kreis, es it keie Schittpukt. k {} ) Tete: Die Gerde erührt de Kreis eiem ukt. Es existiert ei Schittpukt. k S {} 3) Sekte: Die Gerde erührt de Kreis zwei ukte. Es existiere zwei Schittpukte. k S,S { } Leeziehue er Kreise: z M z M M Zetrls t d M r r dres Reisier Seite 8/ ki@xpoit.t

9 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems k k ) k ud k erühre sich icht: z r r k k Der Zetrlstd ist kleier ls die Summe eider Rdie. r r < z ) k ud k erühre sich vo uße: k z r r k Der Zetrlstd ist eu so roß wie die Summe eider Rdie. r r z k k {} S 3) k scheidet k ud umekehrt: z r r k k 4) k erührt k vo ie: k z r r k Der Zetrlstd ist kleier wie die Summe eider Rdie ud rößer ls die Differez der Rdie. r r > z r r z k k { S,S } Der Zetrlstd ist kleier wie die Summe eider Rdie ud eu so roß wie die Differez der Rdie. r r > z r r z k k {} S 5) k liet zur Gäze ierhl vo k, kei erühruspukt: r r k k Der Zetrlstd ist kleier wie die Summe eider Rdie ud kleier ls Differez der Rdie. r r > z r r > z k k {} Die Teteleichu: M t ei der ufstellu der Tete i Normlvektorform diet us der Schittpukt mit dem Kreis (S) ls ukt ud der Vektor MS ls Normlvektor ( ): S X S c) erechue m Dreieck: dres Reisier Seite 9/ ki@xpoit.t

10 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems Schwerpukt: C Der Schwerpukt eies Dreiecks teilt die Schwereliie im Verhältis :. Eie Schwereliie ht ihre Urspru m Seitehlieruspukt eier Seite ud ihr Ede m eeüerlieede Eckpukt. S M S : SM S 3 : S (M ) M 3 3 ( ( C)) ( C) ( C) 3 M Höheschittpukt: C Der Höheschittpukt wird durch de Schitt der Höhe eildet welch ei Zufll! H Ikreismittelpukt: C Der Schittpukt der Wikelsymetrle ildet de Ikreismittelpukt. I Umkreismittelpukt: C Der Schittpukt der Seitesymetrle ildet de Umkreismittelpukt. U dres Reisier Seite / ki@xpoit.t

11 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems kreismittelpukt: C Die Schittpukte der Normle der Wikelsymetrle, die durch die Eckpukte ehe, ilde 3 kreisschittpukte. hier ist eier drestellt. I Geroesche ukt: C Der Geroesche ukt etsteht durch ds Scheide der Gerde die durch die Ikreiserührpukte ud die eeüerlieede Eckpukte ehe. I G Nelsche ukt: C Der Nelsche ukt wird durch de Schittpukt der Gerde, die durch die kreiserührpukte ud de eeüerlieede Eckpukt ehe, eildet. Eulersche Gerde: Geht durch de Höheschittpukt, Umkreismittelpukt ud de Schwerpukt. 4) Vektorrechu im R 3 UVEKTR3.MTH: Im 3-dimesiole Rum werde Gerde ur mehr i rmeterform drestellt. Eee hiee i rmeterform ud Normlvektorform. rmeterform eier Eee: Die rmeterdrstellu eier Eee eötit dres Reisier Richtusvektore (v,v) ud rmeter (t,s), Seite d sie / sich 999 j i Richtue usdeht. ki@xpoit.t X t v s v

12 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems v v ) 3D Drstellue U3D.MTH: Drstellu eier Eee im 3D-Fester vo Derive: Im 3D-Fester köe Eee ur i Normlvektorform drestellt werde. Weiters muß der Term explizit sei d.h. m drückt die z-koordite durch die x ud die y- Koordite us. Im Klrtext: M löst die Gleichu ch z. D k m die Eee im 3D-Fester zeiche. Drstellu vo Gerde, Vektore, Eee im D-Fester Isometric(s): UISOMET.MTH Zur Verwedu der ISOMETRIC(S) ud derer dzuehörier Module ist es otwedi ds Utility-File GRHICS.MTH etweder im Hiterrud (Trsfer/Lod/Utility) oder offe (Trsfer/Lod/Derive) zu lde. Es eihltet lle, zur Drstellu 3-dimesioler Ojekte im D-Fester, eötite Fuktioe. Diese ehme eie isometrische rojektio vor. Die usdehu eies 3- dimesiole Ojektes wird uf Dimesioe herutererechet, dei sid lle 3 verwedete Verzerrusfktore leich. ) Zeiche der Koorditechse xes: Die Fuktio xes defiiert 3 Gerde, die die chse drstelle ud sich eliei le zeiche lsse. D y y t _ Derive setzt i de rmeter t_ die vor dem Zeiche ewählte Zhle ierhl der Schrke ei. Die Miimum ud Mximum-Werte elte ls Greze. t x _ z t _ t _ D x t _ t _, t _ xes t _, [, t _] dres Reisier Seite / ki@xpoit.t

13 likes sp: ISOMETRICS(e,t,-,,8, s, -,, 8) Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems ) Die Fuktio ISOMETRIC(v): k zur rojektio eies eiprmetrie Vektors verwedet werde. Die 3 Koordite des 3-dimesiole Vektors werde uf D umerechet. v ISOMETRIC v v3 v v v v v3 z x v v v v3 v y sttt uf de ormle Koorditechse etlzuehe ud de jeweilie Werte de ukt zu setze, eht m de i xes defiierte chse etl. D die Neiu dieser chse ekt ist, führt die dditio der Vektore v ud v zum ukt R. Die weitere dditio der 3.Koordite v3 führt zum esuchte ukt. R v v R R v3 3) Die Fuktio ISOMETRICS(e, t, t, t,, s, s, sm, m): immt eie rojektio eier Eee i rmeterform vor. Zur Drstellu ist die Voreistellu Optio/Stte/Coected zu empfehle. ISOMETRICS erstellt eie -dimesiole Mtrix eies usschittes der ttsächliche Eee. sp: Die Eeefuktio: e : t s Sytx: ISOMETRICS(e, t, t, t,, s, s, sm, m) e...eeeleichu t... rmeter t...std zwische de ukte i t-richtu Der Wert sollte etiv sei, die usdehu erfolt etee der Richtu des rmeters t. t...siehe t, jedoch ewirkt eie Veräderu eie usdehu i de pos. t-ereich....it die zhl der erzeute Kotepukte i t-richtu. s... rmeter dres Reisier s, sm, m...siehe t, t,, jedoch eziehe Seite sich 3/3 die 999 eeee Werte uf die Richtu des Vektors s. ki@xpoit.t

14 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems Durch Vertuschu der eide rmeter k m die Liie i eteeesetzter Richtu zeiche. Ddurch wird eie perfektere Eeedrstellu mölich. Kuel: Eie Kuel ist die Mee ller ukte, die vo eiem ukt deselem std he. r (X M) r (x m) (y m) (z m3) ) Leeziehue: Leeziehue vo Gerde im R 3 : ) Schittpukt: ) rllel: h {} S h {}, h...l.u. 3) idet: 4) widschief: h h h {}, h...l.. Leeziehue zwische Eee ud Gerde: ) Schittpukt:, h...l.., h...l.u. S E Die Gerde scheidet die Eee E E {} S ) rllel: E Die Gerde ist prllel zur Eee E E {} E E 3) liet uf E: Die Gerde liet uf der Eee E E E E dres Reisier Seite 4/ ki@xpoit.t {}

15 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems Leeziehue zwische Eee: ) Schitterde: E E ud E ilde eie Schitterde. E E E E {} E ) prllel: E E E ud E sid prllel. E E E E E E {} 3) idet: E ud E sid idet. E E E E E E E E E E Leeziehue zwische 3 Eee: ) Stpel-Form: E E E3 ) Z-Form: E E3 E E ud E ud E3 sid prllel. E E E3 E ildet eie Schitterde mit E ud E eie Schitterde mit E3. { } E E3 { } E E3 E E 3) Dch-Form: E E E { } dres Reisier Seite 5/5 999 E E3 { } E3 E 3 ki@xpoit.t { }

16 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems E E3 4) Mühlrd-Form: E E, E ud E3 ilde eie Schitterde. E E E E3 {} E3 5) Schittpukt: E E E, E ud E3 ilde eie Schittpukt. E3 E E E3 {} {} E E E3 {} c) stdserechue im R 3 : ) std eies uktes vo eier Gerde: E d S Vorsweise: *) ufstelle eier Eee orml zu : E: X *) Scheide der Gerde mit E: E {} S *) etr des Vektors S : d S ) std eies uktes vo eier Eee: E d Vorsweise: *) ufstelle eier Gerde orml zu E: : X t S *) Scheide der Gerde mit E: E {} S *) etr des Vektors S : d S 3) std eier Gerde vo eier Eee: Vorussetzu: muß prllel zu E sei Vorsweise: dres Reisier *) Extrhiere eies uktes us : Seite 6/ *) Ds rolem ist reduziert uf de std zwische ki@xpoit.t ukt ud Eee > siehe )

17 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems E 4) std er Eee: Vorussetzu: E muß zu E prllel sei E E Vorsweise: *) Extrhiere eies uktes us E oder E: E E *) Ds rolem ist reduziert uf de std zwische ukt ud Eee > siehe ) 5) std er widschiefer Gerde: h E G h {} h Vorsweise: *) ufstelle eier Eee E die uf der Gerde liet ud prllel zu h ist: E E h X G t s h oder: X ( h) G ( h) *) Ds rolem ist reduziert uf de std zwische Gerde ud Eee > siehe 3) 5) llemeie Vorsweise ei der Erstellu eies Moduls: Um lle Fälle, die ei mche rolemem uftrete, i eiem Modul erücksichtie zu köe, muß zwische ihe uterschiede ud der jeweilie Lösuswe verwedet werde. Diese fre üer immt der IF-efehl, der folede Struktur ht: IF ediu THEN ELSE UNKNOWN IF ediu THEN ELSE UNKNOWN dres Reisier Seite 7/ ki@xpoit.t

18 Spezileiet Mthemtik Vektorrechu uter eoderer erücksichtiu der Drstellusmölichkeite eies Computerlersystems Sytx: IF( THEN, IF(THEN, ELSE, UNKNOWN), UNKNOWN) Die oie Drstellu zeit eie -fch verschchtelte IF-ediu. Wird die i der erste IF-fre eötite ediu erfüllt, d wird der efehl im THEN-Zwei useführt. Ist ds icht der Fll, wird uf de ELSE-Zwei zueriffe die dortie ufe estrtet. I userem Fll ist ds eie ereute IF-ediu, die ch demsele Schem fuktioiert wie die üereordete. Jede der eide ht zusätzlich och eie UNKNOWN-Zwei zur Verfüu, der d useführt wird, we sytktische oder dere udefiierte roleme eim luf des rormms uftrete, wie z.. die versehedliche Eie vo Text sttt eier kokrete Zhl. Mit diesem Schchtel-Schem köe vielschichtie roleme eliei eu ufespltet ud differeziert ehdelt werde. dres Reisier Seite 8/ ki@xpoit.t