Regression und Korrelation

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1 Regresso ud Korrelato regresso: Zurückführug, Rückschrete correlato: Wechselbezehug Praktsche Aäherug (Bespel1) wevele Ewessmoleküle sd dem Blutplasma? (Stück, mol, g, ) we gross st de Ewesskozetrato des Blutplasmas? (St/L, mol/l, g/l) be Patete Nephrose (schwere Nerekrakhet) mmt der Wert stark ab drekte Methode: Bestmmug der Azahl der Moleküle eem Volume(?) drekte Methode : Hlfe eer (efach) messbare phskalsche Grösse, de steht streg mooto wachsedem Zusammehag zu der ubekate Grösse (de solche efachste Fukto st...) m 1 St. HSA Mölekül KAD Bemerkug: das Lcht bretet sch Blutplasma lagsamer, we de Plasmaewesskozetrato grösser st, d.h. das Lcht hat grössere Brechzahl (determstscher Zusammehag, Messfehler) Brechzahl des Blutplasmas Plasmaewesskozetrato (g/l) 3 (Bespel) Gewcht (kg) 7 6 Date aus eer Studetegruppe E (Sept. 1994) (zusammegehörge Wertepaare) Körperhöhe (cm) was für ee Tedez ka ma bemerke? cm kg

2 De Korrelatosrechug beschäftgt sch dem smmetrsche Zusammehag zweer Zufallsgrösse postve Korrelato: je mehr, desto mehr egatve Korrelato:je mehr, desto weger her: postve Korrelato 5 Regressosaäherug Sucht ma ee Fuktoszusammehag zwsche eer (oder mehrere) uabhägge Varable () ud eer abhägge Varable () Voraussetzuge: ud umersche ud stetge Merkmale, Zufallsgrösse (hre Grösse wrd cht ur vo der uabhägge Varable, soder durch de Zufall beeflusst) Regressosmodell fert de Tp der Fukto: leare F. = (a + b) + h polomale F. = a + b 1 + b b + h epoetale F. = ab h Potezfukto = a b h ud we wrkt der Zufall auf de abhägge Varable addtverfehler(+ h) oder multplkatver Fehler (. h) (a: Stegug, b: Achseabschtt) 6 Das efachste Regressosmodell: leare Regresso leare Fukto: = (a + b) + h h = -(a + b) 7 6 we der Pukt (, ) oberhalb der Gerade legt we seht de Formel aus, we der Pukt uterhalb der Gerade legt? a + b Beste Gerade: Summe der Fehlerquadrate st mmal (Methode der kleste Quadrate) De beste Stegug: b a Q Q 1 1 Der beste Achseabschtt: wo 1 1 a a s Q : Kovaraz 1 oder ( = a + b) a s s 8

3 Bespel: Refraktometre We gut passe de Messpukte a de Regressosgerade? Korrelatosrechug beschrebt de leare Bezehug zwsche zwe oder mehr statstsche Varable es beschrebt de Stärke der Korrelato es gbt starke ud schwache Korrelato Korrelatoskoeffzet (Pearso) r Q Q Q s s s der Zähler st glech dem Zähler der Stegug der Regressosgerade (der Neer st m bede Fall postv) 9 a Q Q postve Stegug: r st postve Zahl egatve Stegug: r st egatve 1 r 1 Zahl 1 wetere Bemerkuge: 1 r 1 r 1 Korrelatoskoeffzet (Pearso) Bestmmthetsmass (coeffcet of determato) De Korrelato beschrebt cht ubedgt ee Ursache-Wrkugs-Bezehug de ee oder adere Rchtug. Azahl der eue Tumore USA Korrelert hesst cht otwedgerwese kausal verküpft(!) Kw-Kosum USA 1

4 Etrembespel: r=.816, = (Ascombe's quartet) Bespel e: Pr.Buch Abb t-test zur Korrelatosaalse m (kg) t - Gbt es ee Bezehug zw. der Körpergrösse ud Gewcht? r 1 r Weteres Bespel: Lestug der Rötge-Röhre P ~ I m, logp ~ mlogi h (cm) t t 6.3 t krt(,5).3 t 1, 6 1, krt(,1) H st falsch (p<.5) H st falsch (p<.1) 15 P ~ U, logp ~ logu 16

5 Kotgeztabelle. Ch-Quadrat-Test Korrelatosaalse zwsche kategorsche Merkmale Bespel 1 ohe Frau 8 13 Ma ? Häufgketstabelle (Kotgeztabelle): ee tabellarsche Darstellug der gemesame Häufgketsvertelug zweer Varable X (z.b. Geschlecht) ud Y (trägerschaft) ohe Frau a=8 b= 13 Ma c=48 d= Frage: uterschedet sch de Häufgket ees feststellbare Merkmals (Smptoms) zwe Populatoe? 18 H : Geschlecht ud trägerschaft sd voeader uabhägg (es gbt kee Utersched) We gross wäre de erwartete Häufgket (epected frequec) der Zelle a, we de Nullhpothese gültg st? Azahl der Fraue: a + b = 13 Azahl der Persoe : a + c = 76 Aufstellug der Nullhpothese Proporto der Fraue der Stchprobe: P(Frau) = (a + b)/= 13/ Proporto der Persoe : P( ) = (a + c)/= 76/ a' c' b' d' oder a' b' c' d' ohe Frau a =? b =? 13 Ma c =? d =? erwartete (epected) Kreuztabelle 19 Erwartete Häufgkete. Aahme: H st gültg Geschlecht ud trägerschaft sd uabhägge Eregsse a b a c a b a c erwartete Häufgket der erwartete Häufgket der erwartete Häufgket der erwartete Häufgket der ohe F a=8 b= 13 M c=48 d= emprsche (observerte, observed) Kreuztabelle Zelle lks obe : a' a b b d Zelle rechts obe : b' c d a c Zelle lks ute : c' c d b d Zelle rechts ute : d' a b b d c d a c c d b d ohe F 13*76/ 13*14/ 13 M 97*76/ 97*14/ erwartete (epected) Kreuztabelle

6 De erwartete Häufgkete aus der emprsche Häufgkete ohe F a=8 b= 13 M c=48 d= emprsche (observed) Kreuztabelle erwartete Häufgket ohe F a =39.14 b = M c =36.86 d = erwartete (epected) Kreuztabelle Spaltesumme Zelesumme Azahl der Date der Stchprobe 1 We de Nullhpothese st gültg: De Werte der etsprechede Zelle der Kotgeztabelle emprsche ud erwartete Häufgkete sd ugefähr glech. De folgede Prüfgrösse (gewchtete quadratsche Summe) zegt Ch-quadrat Vertelug: O E, Prüfgrösse E wobe O de emprsche (observed) E de erwartete (epected) Häufgket der -te Zelle sd. Frehetsgrad: (Azahl der Zele 1)*(Azahl der Spalte 1) für edmesoale Tabelle: -1 z.b. * (verfelder-) Tabelle: 1 Bedguge der Durchführug Spezelfall für Verfeldertabelle (Praktkumsbuch.b.3) Verveldertest (Stchprobeumfag) soll geüged gross se I der Kotgeztabelle der erwartete Häufgkete solle alle Zellewerte grösser als 1 se. I der Kotgeztabelle der erwartete Häufgkete soll de Azahl der Zelle, de der Wert zwsche 1 ud 5 st, weger als % der Stchprobeumpfag se. (z.b. Verfeldertabelle: alle Elemete solle grösser als 5 se) 3 M ad bc a bc d a cb d De Bedgug der Durchführug: das Produkt der zwe kleste Telsumme soll grösser se als 5 a b c d ad bc 4

7 f 1.5 Ch-Quadrat-Vertelug dem Frehetsgrad 1 1 % de orgale Vertelug f 3 Ch-Quadrat-Vertelug dem Frehetsgrad % de orgale Vertelug (1%) f 1.5 de be.71 abgeschttee Vertelug (1%) f 3.5 de be 6.5 abgeschttee Vertelug (5%) f 1 9 % Restfläche: 1 %.71 de be 3.84 abgeschttee Vertelug (5%) f % Restfläche: 1 % de be 7.8 abgeschttee Vertelug 95 % Restfläche: 5 % 5 95 % Restfläche: 5 % Bespel 1 De Bedgug des Tests: das Produkt der zwe kleste Telsumme soll grösser se als 5 ohe Frau a=8 b= 13 Ma c=48 d= ( ) M > krt =3,84 H st falsch 76*97 = 737 > 5* =1 Ma darf de Ch- Quadrat-Test awede Es gbt ee Zusammehag zw. dem Geschlecht ud der trägerschaft (Mäer trage öfter) 7 8

8 ( ) M > krt =3.84 H st falsch 1.54 > krt =6.63 H st falsch eem Sgfkazveu: <.1 9 Kalkulato Ecel 3 Bespel ohe Frau Ma ? 4*6 = 4 < 5*1 =6 Dürfe wr desem Fall de Ch-Quadrat- Test cht awede. ohe F M ohe ohe es gbt ee Vermutug, aber der Nachwes geht cht Erhöhug des Umfages der Stchprobe 1 Fraue Mäer ohe F 8 13 M ohe ohe vergrössert sch (1 ): der Nachwes geht 3

9 Bespel 3 H : de Häufgket vo Lugekrebs be Raucher ud Nchtraucher st detsch, d.h. =. H 1 : de bede Häufgkete uterschede sch, also st. I der Tabelle sd de Häufgkete der zwe Kollektve aus der Stchprobe eer Lugefürsorge dargestellt. Da 37 = 61 > 561 = 35, ka der Test durchgeführt werde. 61( ) M Es st zu sehe, dass M st, aber st der Utersched auch sgfkat (oder ur zufällg)? Se das Sgfkazveau: 5%. Der Frehetsgrad ( Tabelle) st: > krt =3,84 H st falsch Daach st der Utersched der Häufgket vo Lugekrebs be Raucher ud Ncht-raucher sgfkat (be eem Sgfkazveau vo 5%). Pr.Buch.b.9 (Bemerkug 15) 33 Bespel 4 (Pr. Buch, R.13.) Über ee erfolgreche operatve Korrekto eer bestmmte Augekrakhet (schaemsche optsche Neuropathe vom cht-arterale Tp) wurde m Jahre 1989 ee Veröffetlchug ausgegebe. Da deser Krakhet früher keerle wrksame Behadlugsmethode bekat war, wurde deser Egrff verbretet agewedet. Kürzlch erschee jedoch Berchte auch vo erfolglose Egrffe, daher hat ma 44 solche Krake 5 klsche Zetre statstsch erfasst, vo dee be 119 Persoe de Operato durchgeführt wurde, be 15 Krake jedoch cht. De Beobachtuge tabellarscher Form: emprsche Häufgkete erwartete Häufgkete operert cht op. sg. operert cht op. sg. verbessert verbessert cht verbessert cht verbessert verschlechtert verschlechtert sgesamt sgesamt Es st statstsche Methode zu prüfe, ob de Azahl der Besseruge ohe Operato tatsächlch höher war? H : kee Dfferez kh = ( ) /44.87+( ) / (5 5.67) /5.67+(56.33) /.33 +(8 1.46) /1.46+(16.54) /.54 = 5.47 Wel 5.47 < 5.991= krt, FG=, ablehe wr de H cht. 34 Arte vo Abhäggketsbezehuge IQ Uabhäggket Körpergrösse Assozatosaalse Korrelatosaalse stochastsche Bezehug vermscht Abhäggket determstsche Bezehug m 7 Geschmack 6 5 Färbug Kozetrato Körpergrösse umersch ordal omal umersch 35