= 2. Korrelationskoeffizient. Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen
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- Volker Sternberg
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1 Korrelatoskoeffzet Der Korrelatoskoeffzet st e Maß für de leare Zusammehag zwsche zwe Varale X ud Y. Er st durch folgede Formel charaktersert: r corr XY ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Statstk für SozologIe Regresso Korrelatoskoeffzet 3 II. Quadrat ( ) I. Quadrat - ( ) -3 - III. Quadrat IV. Quadrat Statstk für SozologIe Regresso
2 Test auf Sgfkaz Wll ma Hpothese der Form H : corr versus H a : corr (zwesetg) zw. H : corr< versus H a : corr> (esetg) teste, so ka des uter der Aahme eer varate Normalvertelug mt folgeder Statstk erfolge: r t mt Frehetsgrade r Dese Teststatstk st uter der Nullhpothese t vertelt mt - Frehetsgrade Statstk für SozologIe 3 Regresso Smulato aus eer -dmesoale Normalvertelug 6 Couts Statstk für SozologIe 4 Regresso
3 Bvarate Normalvertelug Statstk für SozologIe 5 Regresso Bespel X Y X² XY Y² Summe Wr wolle de Nullhpothese teste, dass de Merkmale X ud Y ukorrelert sd. Kovaraz S 484 Varaz X S 6 Varaz Y S 467 Korrelato R,7 Teststatstk Zähler, Neer,7 t 3, Taellewert t -;,975,3 > Ho alehe Statstk für SozologIe 6 Regresso 3
4 Bespel mt SPSS Statstk für SozologIe 7 Regresso Bespel Lestug kw ud Kraftstoff-Verrauch l pro km vo see verschedee VW-Golf Bezmotore [] kw l/km 55 6,4 74 7,6 77 6,8 85 7,9 9,3 5,8 [] Quelle: Statstk für SozologIe 8 Regresso 4
5 Streudagramm: Lestug - Verrauch Kraf ftstoffverrauch l/k km Lestug kw Statstk für SozologIe 9 Regresso Grudmodell Zelgröße (ahägge Varale; Regressad) Y Eflussgröße (uahägge gg Varale; Regressor) X Im Bespel: Y... Kraftstoffverrauch X... Lestug Aahme: Es esteht e fuktoaler Zusammehag zwsche de ede Merkmale: Y f(x) Statstk für SozologIe Regresso 5
6 De Regressosaalse st e Istrumet zur Utersuchug ees fuktoale Zusammehags zwsche zwe Merkmale. Im Utersched zur Korrelatosaalse hadelt es sch also um e gerchtetes Modell Mt der Regressosaalse ka e fuktoaler Zusammehag erkat werde ma ee solche Bezehug statstsch achwese Art ud Größe ees Zusammehags geschätzt werde fehlede oder zuküftge Werte progostzert werde Statstk für SozologIe Regresso Dae hadelt es sch cht um ee eakte Fukto m streg mathematsche Se Aufgrud vo Messfehler ud Zufallseflüsse werde de ezele Messuge cht dealtpsch auf dem Fuktosgraphe lege, soder zufällg aweche Wr erweter user Modell daher um ee Fehlerterm (zufällge Kompoete) e, we folgt: Y f(x) + e Statstk für SozologIe Regresso 6
7 Stochastscher Fuktoszusammehag Statstk für SozologIe 3 Regresso Leare Regresso De efachste Form ees fuktoale Zusammehages stellt ee leare Fukto dar Modellvorstellug: der Zusammehag zwsche X ud Y ka (zumdest stückwese) durch ee Grade eschree werde: Y + X + e... Astad der Gerade vom Ursprug auf der Ordate... Stegug der Gerade Statstk für SozologIe 4 Regresso 7
8 Learer stochastscher Fuktoszusammehag 5 4 Asteg: Statstk für SozologIe 5 Regresso Notato De Ausgagspukt lde Beoachtugspaare (, ), de wr als Datepukte eem Streudagramm vsualsere köe. X Y Statstk für SozologIe 6 Regresso 8
9 Learer stochastscher Fuktoszusammehag e ˆ Asteg: ˆ Statstk für SozologIe 7 Regresso Bestmmug der Regressosgerade. Idee: Gerade durch alle Pukte lege der Pras cht möglch. Idee: Gerade durch zufällge Pukte lege Nachtel: De Gerade ka dadurch ee upassede Lage aehme (sehe Grafk): Statstk für SozologIe 8 Regresso 9
10 Bestmmug der Regressosgerade 3. Idee: Gerade so wähle, dass de SUMME aller Awechuge mmal wrd. Nachtel: kee edeutge Lösug, da postve ud egatve Awechuge eader aufhee köe. - + ( ) m! Statstk für SozologIe 9 Regresso Bestmmug der Regressosgerade 4. Idee: Gerade so lege, daß de Summe des BETRAGES aller Awechuge mmal wrd Nachtele: Mathematsch aufwädg (Betragsfukto cht zwemal dfferezerar) hat der Pras relatv gergere Bedeutug ( ) m! Statstk für SozologIe Regresso
11 Bestmmug der Regressosgerade 5.Idee: Gerade so lege, daß de Summe der QUADRATE aller Awechuge mmal wrd. Klest-Quadrate-Przp De optmale Regressosgerade ergt sch da durch Lösug folgeder Optmerug:! S Statstk für SozologIe Regresso ( ) m! e S Mathematsche Herletug ( ) S ( ) S () + () + Aus ( ) Statstk für SozologIe Regresso ( ) ach Susttuto: ˆ
12 Iterpretato der Formel für Koeffzete Stegug der Regressosgerade: Kovaraz vo X ud Y dvdert durch de Varaz vo X ˆ cov( X, Y ) var( ) X Astad auf der Ordate: Leare Regressosgerade verläuft durch de Schwerpukt der Pukte ˆ Statstk für SozologIe 3 Regresso Taellarsches Recheschema Nr. X Y X X*Y Y 55 6, , , ,4 57, , ,6 46, , ,5 6,4 5 9,3 3 86,49 6 5, ,64 Summe 55 48, ,5 4,5 Mttelwert vo X: 9,83 Mttelwert vo Y: 8,3 ˆ Berechug vo : Neer 3399,,5 Zähler 66, 3,73 Statstk für SozologIe 4 Regresso
13 Graphsche Darstellug Streudagramm: Lestug - Verrauch toffverrauch l/km Kraftst 8,5 + 3, , 6, 8,,, 4, 6, 8, Lestug kw Statstk für SozologIe 5 Regresso Automatserte Berechug mt EXCEL Statstk für SozologIe 6 Regresso 3
14 Erges mt SPSS Statstk für SozologIe 7 Regresso Regressosgerade als Istrumet zur Vorhersage Basered auf de geschätzte Parameter köe wr für ee Wert de zugehörge g Wert schätze Progose-Szeare Wert vo Schätzwert für 4 5,65 Statstk für SozologIe 8 Regresso 4
15 Gefahre ud Greze der Progostk Wewet ka e learer Tred svoll fortgeschree werde? 5 5 Erkee vo Wedepukte Prolem vo Strukturrüche Statstk für SozologIe 9 Regresso Wchtge Egeschafte der Regressosgerade Fehlerausglechede Gerade e De Summe der Awechuge vo der ach dem Kl. Quadrate Przp optmale Gerade st glech Null. Regressosgerade läuft durch Schwerpukt + Statstk für SozologIe 3 Regresso 5
16 K.Q. - Gerade geht durch de Schwerpukt Statstk für SozologIe 3 Regresso Varaltät der Regresso ŷ P(, ) ŷ + ŷ ŷ ( ) ( ŷ ) + ( ŷ ) SQT SQR SQE ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) e Totale Quadratsumme der Awechuge vom arthmetsche Mttel cht erklärte (resduale) Awechugsquadratsumme erklärte Awechugsquadratsumme Statstk für SozologIe 3 Regresso 6
17 Statstk für SozologIe 33 Regresso Zerlegug der Quadratsumme SQT SQR + SQE ( ) e + ( ˆ ) SQE SQT r ( ˆ ) ( ) r Bestmmthetsmaß Atel der erklärte Varaz a der gesamte Varaz r Korrelatoskoeffzet Statstk für SozologIe 34 Regresso 7
18 Iterpretato vo r² r² ka Werte zwsche Null (ke Zusammehag zwsche Y ud X) ud Es (alle Pukte lege eakt auf eer Gerade) aehme Je äher r² e es legt, desto esser wrd Y durch X mttels eer leare Regresso erklärt r² st der Atel der Varato vo Y, der durch X erklärt werde ka Statstk für SozologIe 35 Regresso Bestmmug vo r² m Bespel Nr. X Y X X*Y Y e e ŷ ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) 55 6, ,96 6,37,3, 3, -,77 3, 74 7, ,4 57,76 7,8,3,,8 -,85, , ,6 46,4 7,4 -,6,39,78 -,7, , ,5 6,4 7,8,99,,55 -,33, 5 9,3 3 86,49 9,,3,9,36,87,76 6 5, ,64,9 -,, 7,,79 7,77 Summe 55 48, ,5 4,5 48,8,,6 3,59,,99 Mttelwert vo X: 9,83 Mttelwert vo Y: 8,3 Berechug vo : Neer 3399, 5,5 Zähler 66, 3,73 SQT 3,59,% SQR,6 4,4% SQE,99 95,6% Statstk für SozologIe 36 Regresso 8
19 Iferezstatstk Es wrd ageomme, daß de Werte der uahägge Varale feste (chtzufällge) Größe sd. Es wrd ageomme, daß sch de Beoachtuge der ahägge Varale durch ee X leare Term plus eer zufällge Störkompoete ergee. Üer de Störkompoete werde folgede Aahme getroffe Kee sstematsche Störug, d.h. Erwartugswert st ull E(e ) Kostate Streuug der Störkompoete Var(e ) cost. De Störuge sd uahägg voeader Cov(e, e j ) De Störkompoete se ormalvertelt mt Erwartugswert ud der Varaz σ² Statstk für SozologIe 37 Regresso Modellaahme De edgte Dchte vo Y für gegeee Wert vo X uterschede sch ur hrem Erwartugswert Statstk für SozologIe 38 Regresso 9
20 Sgfkaz der Regressosezehug Frage st der Atel der erklärte Varaz sgfkat? Atwort: F-Test Erklärte durch chterklärte mttlere Quadratsumme (das st de Quadratsumme durch de Zahl der Frehetsgrade dvdert) Dese Prüfgröße st F-vertelt mt ud - Frehetsgrade F SQE / SQR /( ) r / ( r ) /( ) Statstk für SozologIe 39 Regresso Durchführug des Tests ANOVA (Aalss of Varace) Frehetsgrade (df) Quadratsumme (SS zw. SQ) Mttlere Quadratsumme Prüfgröße (F) P-Wert Regresso,99,99 86,95,7 Resdue 4,63,5 Gesamt 5 3,593 r²,956 (-r²),44 (-r²)/4, Statstk für SozologIe 4 Regresso
21 Schätzug vo σ² De Schätzug der uekate Varaz der Störkompoete st de Voraussetzug für Iferez üer de Parameter zw. für Kofdeztervalle für Progosewerte. Naheleged st de achstehede Formel (E(e)!) σˆ e De postve Quadratwurzel führt zum Stadardfehler der Resdue (Resdual Stadard Error) Statstk für SozologIe 4 Regresso Kofdeztervalle ud Tests für Regressoskoeffzete Schätzug der Varaz der Regressoskoeffzete ˆ σ ˆ σ ˆ σ ( ) ˆ σ ( ) Iterpretato: Be große Werte vo st de Varaltät der Kostate ceters parus größer. Je stärker de -Werte streue, desto gerger st ceters parus de Streuug eder Koeffzete Statstk für SozologIe 4 Regresso
22 Test für de Regressoskoeffzete Nullhpothese: Koeffzet Stadardfehler t-statstk P-Wert 3,73,5 7,465,7,48,5 9,84,7 ˆ σ,6 / 4,5 ( ) , ,8,5 ˆ, 5 σ Iterpretato: 5.654,8... Geht de Regresso durch de Ursprug?... Ist de Stegug sgfkat vo Null verschede? Das etsprcht m Fall der Efachregresso der zuvor dskuterte Fragestellug: Ist der Atel der erklärte Varaz sgfkat? Hwes: Vergleche de p-value für de Stegug mt dem F-Test Statstk für SozologIe 43 Regresso Kofdeztervall für de durchschttlche Progosewert T Ŷ E(Y ) S t-vertelt mt - Frehetsgrade Ŷ P(Ŷ P(Y ts E(Y ) ŶY + ts ) α Ŷ Ŷ Für ee kokrete Stchproe ergt sch damt das folgede Kofdeztervall für de durchschttlche Progosewert (Vertrauestervall) ŷ ts E(Y ) ŷ + ts Ŷ Ŷ mt ud ŷ + s Yˆ ˆ σ + ( ) j ( ) j Statstk für SozologIe 44 Regresso
23 Progosetervall für dvduelle Progosewert Y T Ŷ Y S t-vertelt mt - Frehetsgrade F P(Ŷ (Y ts Y ŶY + ts ) α F F Aus eer kokrete Stchproe ergt sch somt das folgede Kofdeztervall für de Progose ees estmmte Ezelwertes a der Stelle : ŷ ts Y ŷ + ts F F mt ŷ + ud s F ˆ σ + + ( ) j ( ) j Statstk für SozologIe 45 Regresso Awedug m Bespel Progosetervall für Ezelwerte (dvduelle Progosewerte) S F Progose UG OG se,388 5,477 6,88 4,887 7, t: 78, ,464 6, , , ,454 6,6758 5, , ,446 6,8473 5,69 8,7333 7,434 7,8687 5,8836 8,949 75,48 7,365 6,3756 8, ,437 7,5667 6, , ,48 7,858 6, , ,494 8,4546 6, , ,496 8,85 7,6 9,454,44 8,5476 7, , ,448 8,7644 7, ,9438,497 9,45 7,869,974 5,436 9,437 8,335,45435,4438 9, ,53,7558 Statstk für SozologIe 46 Regresso 3
24 Vertraues- ud Progosetervall Kraftstoffverrauch l/km 5 5 Vertrauestervall Progosetervall 5 5 Lestug kw Statstk für SozologIe 47 Regresso 4
Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen X und Y. Er ist durch folgende Formel charakterisiert:
Korrelatoskoeffzet Der Korrelatoskoeffzet st e Maß für de leare Zusammehag zwsche zwe Varable X ud Y. Er st durch folgede Formel charaktersert: r xy corr XY ( x x)( y y) ( ) x x ( y y) x x y x ( ) ( )
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