Zusammenfassung Analysis

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1 Zusmmefssug Alysis Michel Gregorius 14. März

2 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis 1 Folge ud Grezwert 3 2 Reihe 7 3 Ds Vollstädigkeitsxiom 8 4 Kovergezkriterie für Reihe 11 5 Fuktioe ud Stetigkeit 15 6 Differezierbrkeit 24 7 Itegrtio 33 8 Differettio ud Itegrtio 38 9 Ueigetliche Itegrle Fuktioefolge ud -reihe Potezreihe Tylor-Reihe Die Expoetilreihe Sius, Cosius, Tges ud Cotges Prtilbruchzerlegug 63 2

3 1 Folge ud Grezwert 1 Folge ud Grezwert ffl Ws ist eie Folge? Eie Folge i eier Mege X ist eie Abbildug : N! X. Sttt () schreibt m meist ud die gze Folge bezeichet m mit ( ) bzw. ( ) 2N. Dbei ist f j 2 Ng die Mege der Elemete, die i der Folge uftrete. Beispiele: 1. = c, f j 2 Ng = fcg 2. =( 1), f j 2 Ng = f 1;1g 3. = Dbei brucht X icht umbedigtr zu sei. Mit X = R 2 k m z.b. die folgede Folge betrchte: cosϕ 4. = mit ϕ > 0 siϕ cosϕ 5. = r mit q > 0;r > 0 siϕ Uter eier Folge reeller Zhle versteht m lso eie Abbildug N! R. Jedem 2 N wird lso eie reelle Zhl zugeordet. Die gesmte Folge ( 0 ; 1 ; 2 ;:::) wird uch mit ( ) 2N bezeichet. Ist 0 eie beliebige türliche Zhl, d heißt uch ( ) 0 oder ( 0 ; 0 +1; 0 +2;:::) Folge. ffl W heißt eie reelle Zhlefolge koverget? Eie reele Zhlefolge ist koverget, geu d, we folgedes gilt: 9 2 R mit 8ε > 0:9 0 2 N : ( > 0 )j j < ε) heißt Limes der Folge ud m schreibt uch: lim! =. Kovergiert( ) gege 0, so heißt die Folge Nullfolge. Kovergiert( ) icht, so heißt die Folge diverget. Die Aussge obe bedeutet prktisch, dß der Abstd zwische de Folgeglieder ud dem Limeswert, i Abhägigkeit vo eiem bestimmte beliebig klei wird. Oder ders gesgt: Ab eiem bestimmte > 0 liege lle Folgeglieder i eier sogete Epsilo-Umgebug ] ε; + ε[. ffl W heißt eie Folge koverget? Um diese Frge zu betworte, müsse wir erst betrchte, ws ei metrischer Rum ist. Ei metrischer Rum ist ei X 6= /0 mit eier Metrik d : X X!R, wobei folgedes gilt: 1. 8x;y 2 X : d(x;y) 0mitd(x;y) =0, x = y 2. 8x;y 2 X : d(x;y) =d(y;x) 3. 8x;y;z 2 X : d(x;y)+d(y;z) d(x;z) (Dreiecksugleichug) 3

4 1 Folge ud Grezwert Eie Folge ( ) heißt koverget, geu d we: 9 2 R mit 8ε > 0:9 0 2 N : ( > 0 ) d( ;) < ε) Beispiele für Metrike: I Rp ist eie Metrik gegebe durch d(x;y) =jx yj. Ebeso i C : d(z 1 ;z 2 )=jz 1 z 2 j = ( 2 1 ) 2 +(b 2 b 1 ) 2 mit z k = k + b k i. Desweitere für R d ;d 2 die euklidische Metrik: v u d(x;y) = t d (x k y k ) 2 k=1 ffl Zeige, dß der Limes eier Folge eideutig bestimmt ist! Ageomme eie Folge ( ) htzweigrezwerte; 0 mit 6= 0. Die Folge kovergiert gege beide Grezwerte lso k m eie ε-umgebug wähle, i der d fst lle Glieder der Folge liege. Wir wähle ε = j 0 j 2. Es gilt u: 1. D lim = gibt es ei N 1 2 N,sodß8 N 1 : j j»ε gilt.! 2. D lim = 0 gibt es ei N 2 2 N,sodß8 N 2 : j 0 j»ε gilt.! Nu setze wir = mxfn 1 ;N 2 g. Für dieses liege d lle Glieder i der ε- Umgebug. Drus folgt jedoch mit Hilfe der Dreiecksugleichug: j 0 j = j( )+( 0 )j»j j + j 0 j < 2ε = j 0 j Es folgt lso j 0 j < j 0 j. Ei Widerspruch, lso muß = 0 gelte. ffl W heißt eie Folge beschräkt? Eie Folge ( ) heißt beschräkt, we gilt: 9c : j j»c;8 2 N ffl W heißt eie Folge (streg) mooto? Eie Folge heißt (streg) mooto flled, we gilt: 8 : +1» ( +1 < ) Bei (streg) mooto steigede Folge ist es log. ffl W heißt eie Folge lteriered? Eie Folge heißt lteriered, we gilt: 8 :sg +1 = sg ffl Zeige, dß jede kovergete Folge beschräkt ist! Sei ( ) eie kovergete Folge mit lim! ( )=. D existiert zu ε = 1ei ε, so dß 8 > ε : d( ;) < 1, d.h. f j > ε g fxjd(x;) < 1g. fxjd(x;) < 1g ist 4

5 1 Folge ud Grezwert beschräkt ud es ist leicht eizusehe, dß eie edliche Azhl vo Folgeglieder uch i jedem Fll beschräkt ist (durch ds bsolut mximle Elemet). ffl Ws gilt für die Summe kovergeter Folge? Sid ( ) ud (b ) kovergete Folge mit lim! = ud lim! b = b, soist uch die Folge (c ) 2N mit c := + b koverget ud zwr gilt: lim! c = + b Beweis: Der Beweis läuft ählich wie obe. Wir wähle ei beliebiges ε > 0. D ist uch ε 2 > 0. Desweitere gibt es N 1;N 2 2 N, sodßj j < ε 2 für N 1 bzw. jb bj < ε 2 für N 2.Wiederwähle wir N = mxfn 1 ;N 2 g. Es gilt d für lle N: j( + b ) ( + b)j»j j + jb bj < ε 2 + ε 2 = ε Beispiel: Gegebe sei = +1 = + 1. D gilt: + 1 lim = lim!! + lim 1! = = 1 ffl Ws gilt für ds Produkt zweier kovergeter Folge? Sid ( ) ud (b ) zwei kovergete Folge mit de Grezwerte ud b, so ist uch die Folge ( b ) 2N koverget ud zwr gilt: lim! b =(lim! )( lim! b )=b Beweis: Wie wir scho gesehe hbe, ist jede kovergete Folge beschräkt: Dher gibt es ei K > 0, so dß j j»k für lle. Desweitere köe wir ehme, dß jbj < K gilt. Die Folge ( ) ud (b ) sid koverget, dher köe wir ehme, dß es für jedes ε > 0zweiZhleN 1 ;N 2 2 N gibt, so dß j j < ε 2K für N 1 bzw. jb bj < ε 2K für N 2 Auch hier wähle wir N = mxfn 1 ;N 2 g. D gilt für lle N: j b bj = j (b b)+( )bj» j jjb bj + j jjbj ε < K ε 2K + 2K K = K 2ε 2K = ε Demch kovergiert uch (λ ) 2N gege λ, we lim! = gilt. I diesem Flle wählt m (b ) mit b = λ. ffl Ws gilt für die Differez zweier kovergeter Folge? Sid ( ) 2N ud (b ) 2N kovergete Folge, so ist uch ( b ) 2N eie kovergete Folge ud es gilt: lim! ( b )= lim! lim! b 5

6 1 Folge ud Grezwert Dies folgt us de Sätze über die Summe ud ds Produkt zweier kovergeter Folge, d b = +( 1)b. ffl Ws gilt für de Quotiete zweier kovergeter Folge? Sid ( ) ud (b ) kovergete Folge mit lim = ud limb = b 6= 0, so gilt für b 0 mit b 6= 0für 0 : lim! lim =! b lim b! Beweis: Zu zeige ist ur der Spezilfll, dß ( ) die kostte Folge mit = 1ist, d gilt: D b 6= 0 gibt es ei 0 2 N,sodß b = 1 b jb bj < jbj 2 für lle 0: Drus folgt jb j jbj 2, isbesodere b 6= 0für lle 0. Zu eiem vorgegebee ε gibt es d ei N 1 2 N,sodß jb bj < εjbj2 2 für lle N 1. D gilt für lle N := mxf 0 ;N 1 g: 1 1 b b b b = b b 1 = jb jjbj jb bj < 2 jbj 2 εjbj2 2 = ε ffl W heißt eie Folge bestimmt diverget? Eie Folge ( ) 2N heißt bestimmt diverget gege + bzw., we es zu jedem K 2 R ei N 2 N gibt, so dß > K bzw. < K für lle N. Eie solche Folge wird uch ueigetlich koverget get. Schreibweise: lim! = bzw. lim! = 6

7 2 Reihe 2 Reihe ffl Ws ist eie Reihe? Eie Reihe ist eie Folge spezieller Burt. Sei ( ) 2N eie Folge. Die Folge der Prtilsumme s := k heißt d (uedliche) Reihe ud wird mit k bezeichet. Kovergiert die Folge (s ) 2N, so wird ihr Grezwert ebeflls mit k bezeichet. Also ist k zum eie die Folge ( k) 2N der Prtilsumme, ls uch der Grezwert lim! k. Es gilt: k kovergiert (divergiert), (s ) 2N kovergiert (divergiert) Eie Reihe kovergiert lso, we die Folge der Prtilsumme kovergiert. ffl Ws ist die geometrische Reihe? Die geometrische Reihe ist gegebe durch q k ud kovergiert für jqj < 1gege 1 q 1 ud divergiert für jqj > 1. Beweis: Für q 6= 1 ist die Prtilsumme explizit gebbr: q k = q 0 + q 1 + q q = q+1 1 q 1 = 1 q+1 1 q Es gilt u lim! q +1 = für jqj > 1 ud lim! q +1 = 0für jqj < 1. Also uch: 1 q +1 lim 1 = für jqj < 1! 1 q 1 q ffl Ws gilt für die Summe bzw. Differez zweier kovergeter Reihe? Sid k ud b k zwei kovergete Reihe, so sid uch ( k ± b k ),sowie (λ k) koverget ud es gilt: ( k ± b k )= (λ k )=λ k k ± b k Beweis: Es sei c := k ud d := b k jeweils die -te Prtilsumme. D gilt für die Prtilsumme ( k + b k ): ( k + b k )= k + b k = c + d D der Grezwert der Reihe der Grezwert der Folge der Prtilsumme ist, gilt: ( k + b k )= lim (c + d )= lim c + lim!!! d Etspreched beweist m die beide dere Formel. Für ei Beispiel mit periodische Dezimlbrüche, siehe Forster. 7

8 3 Ds Vollstädigkeitsxiom 3 Ds Vollstädigkeitsxiom ffl W heißt eie Folge Cuchy-Folge? Eie Folge ( ) 2N heißt Cuchy-Folge, we es zu jedem ε > 0eietürliche Zhl N gibt, so dß gilt: j m j < ε für lle ;m N Mit dere Worte: Der Abstd zwische de Folgeglieder wird für geüged große Idex beliebig klei. ffl Zeige, dß jede kovergete Folge reeller Zhle eie Cuchy-Folge ist! Ageomme, die Folge ( ) 2N kovergiert gege. D gibt es zu vorgegebee ε ei N 2 N,sodß Für lle ;m N gilt d: j j < ε 2 : j m j = j( ) ( m )j»j j + j m j < ε 2 + ε 2 = ε ffl Ws besgt ds Vollstädigkeitsxiom? Ds Vollstädigkeitsxiom besgt, dß jede Cuchy-Folge i R kovergiert. Siehe Forster! ffl Ws ist ei b-discher Bruch? Für eie Zhl b 2isteib-discher Bruch eie Reihe der Form: ± = k b Dbei gilt k 0 ud 0» < b. IstdieBsisb bekt, d k m diese Reihe uch i folgeder Form gebe: ± k k+1 ::: 1 0 : ::: Implizit dürfte diese Art der Reihedrstellug b-discher Brüche jedem Leser bekt sei. Im Alltg beutzt m b-dische Brüche zur Bsis b = 10. D.h. die Zhl 23:463 bedeutet: ( ) Es gilt u, dß jeder b-dische Bruch eie Cuchy-Folge ist ud sich umgekehrt jede reelle Zhl ieieb-dischebruch etwickelläßt. Um ersteres zu beweise, muß m zeige, dß die Folge der Prtilsumme eies b-dische Bruches eie Cuchy- Folge bilde. 8

9 3 Ds Vollstädigkeitsxiom Wir deiere lso eie Folge (x ) k mit x = j= k jb j. jx x m j = j b j» (b 1)b j j=m+1 j=m+1 (m+1) = (b 1)b (m+1) b j (b 1) = j=0 b m+1 1 bm 1 b 1» (b 1) b m (b 1) = b m D lim m! b m = 0ist.Gibteszujedemε > 0 lso ei m 2 N,sodßjb m 0j < ε. Somit ist ei b-discher Bruch eie Cuchy-Folge. ffl Ws ist eie Teilfolge? Sei ( ) 2N eie Folge ud 0 < 1 < 2 <::: eie Folge türlicher Zhle. D heißt die Folge ( k ) k2n =( 0 ; 1 ; 2 ;:::) Teilfolge der Folge ( ) 2N. Es ist umittelbr eisehbr, dß die Teilfolge eier kovergete Folge wieder koverget sid. Es gibt jedoch och eie Aussge bezüglich icht kovergete Folge: ffl Zeige, dß jede beschräkte Folge eie kovergete Teilfolge besitzt! Dies ist der Stz vo Bolzo-Weierstrß. D die Folge beschräkt ist, liege lso lle ihre Folgeglieder i eiem Itervll I 0 =[A;B]. Wir wolle u eie kovergete Teilfolge kostruiere. Als erstes Glied 0 ehme wir i jedem Fll 0.ImItervll [A;B] liege uedlich viele Folgeglieder. Wir werde u eie Folge vo Itervlle deiere, so dß folgedes gilt: 1. Jedes Itervll I k ;k 2 N ethält uedlich viele Glieder der Folge ( ) 2N. 2. I k I k 1 für lle k dim(i k )=2 k dim(i 0 ). Ds Itervll I k+1 =[A k+1 ;B k+1 ] erhält m dbei wie folgt us dem Itervll I k = [A k ;B k ]: Hlbiere ds Itervll I k ud ehme ds Itervll ls I k+1, i dem uedlich viele Folgeglieder liege. Dieses eue Itervll etspricht immer och dem Pukte 1-3, so dß m dieses Verfhre beliebig fortsetze k. Als Elemet k ehme wir ei beliebiges Elemet us dem Itervll I k. Es bleibt ur och zu zeige, dß die Folge ( k ) k2n eie Cuchyfolge ist. Es sei ei ε vorgegebe. Wir wähle u ei N, so dß gilt: dim(i N ) < ε. Für lle k; j < N gilt u: Also gilt doch: k I k I N ud j I j I N j k j j»i N < ε Mit dere Worte: D sich die Größe der Itervlle i jedem Schritt hlbiert, k ihre Größe beliebig klei werde. Alle Folgeglieder liege b eiem bestimmte Pukt i eiem solche Itervll, lso k ihr Abstd uch beliebig klei gemcht werde. 9

10 3 Ds Vollstädigkeitsxiom ffl Ws ist ei Häufugspukt? Eie Zhl heißt Häufugspukt eier Folge ( ) 2N we es eie kovergete Teilfolge ( k ) k2n mit lim k! k = gibt. Es muß lso eie Teilfolge gebe, die gege kovergiert. Zum Beispiel besitzt die Folge (( 1) ) 2N die Häufugspukte 1 ud 1, d die Teilfolge (( 1) 2k+1 ) k2n ud (( 1) 2k ) k2n gege 1 bzw. 1 kovergiere. ffl Zeige, dß jede beschräkte ud mootoe Folge kovergiert! Die Folge ist beschräkt ud besitzt somit ch dem Stz vo Bolzo-Weierstrß eie kovergete Teilfolge ( k ) k2n. Sei der Grezwert dieser Teilfolge. Wir zeige u, dß d ufgrud der Mootoie uch die gze Folge gege kovergiert: Zumidest gibt es für die kovergete Teilfolge zu jedem ε > 0ei 2 N, sodß lle Glieder der Teilfolge i der ε-umgebug liege. D die Folge mooto ist, folgt drus, dß d uch lle dere Folgeglieder i der ε-umgebug liege müsse, de sie werde vo de Glieder der Teilfolge eigeschlosse: k < i < i+1 < < k+1 10

11 4 Kovergezkriterie für Reihe 4 Kovergezkriterie für Reihe ffl Ws ist ds llgemeie Cuchysche Kovergezkriterium? Sei ( ) 2N eie Folge reeller Zhle. Die Reihe =0 kovergiert geu d, we gilt: 8ε > 0:9N 2 N : k < ε für lle m N k=m Beweis: Es sei s p := p k die p-te Prtilsumme. D gilt: s s m 1 = k k=m Also ist die Folge der Prtilsumme eie Cuchy-Folge ud dmit die Reihe koverget, d jede Cuchy-Folge i R kovergiert. ffl Ws ist eie otwedige, ber icht hireichede Bedigug für die Kovergez eier Reihe? Die Reihe =0 kovergiert, we lim! = 0 gilt. Beweis: Die Reihe kovergiert,lso gilt ds llgemeie Cuchysche Kovergezkriterium: k < ε für lle m N k=m Isbesodere gilt d doch für m = : (j 0j =)j j < ε für lle N Also lim! = 0. Jedoch gilt die Umkehrug hiervo icht! Dies zeigt scho ds Beispiel =1 1. ffl Ws besgt ds Leibiz sche Kovergezkriterium? Es sei ( ) 2N eie Folge luter icht-egtiver Zhle mit lim! = 0. D kovergiert folgede Reihe: ( 1) =0 Beweis: Es ist zu zeige, dß die Folge der Prtilsumme eie mooto steigede, beschräkte Teilfolge ud eie mooto fllede, beschräkte Teilfolge ethält ud die Grezwerte dieser Teilfolge idetisch sid. Zuletzt zeigt m och, dß die gesmte Folge gege diese Grezwert kovergiert. Die Prtilsumme s k sei gegebe durch s k = k =0 ( 1). Wir betrchte zuächst die Folge der Prtilsumme (s 2k ) k2n. Es gilt: s 2k+2 s 2k = 2k 1 + 2k» 0 Drus folgt s 2k+2» s 2k ud somit isgesmt: s 0 s 2 s 4 s 2k s 2k+2 ::: 11

12 4 Kovergezkriterie für Reihe Nu betrchte wir die Folge der Prtilsumme (s k+1 ) k2n. Hier gilt: s 2k+3 s 2k+1 = 2k+2 2k+3 0 Hierus wiederum folgt s 2k+3 s 2k+1. Isgesmt: s 1» s 3»»s 2k+1» s 2k+3» ::: Aus s 2k+1 s 2k = 2k+1» 0 folgt, dß ei Folgeglied, welches uf ei deres folgt, höchstes geuso groß ist wie der Vorgäger. Die Folge (s 2k ) k2n ist lso mooto flled ud beschräkt. Also existiert lim s 2k = S: k! Ebeso ist (s 2k+1 ) k2n mooto steiged ud beschräkt. Deetspreched existiert Nu zeige wir, dß S = S 0 ist. Es gilt: lim s 2k+1 = S 0 k! S S 0 = lim(s 2k+1 s 2k )= lim 2k+1 = 0 k! k! Es bleibt ur och zu zeige, dß die gze Folge kovergiert. Sei ε vorgegebe. D existiere N 1 ;N 2 2 N,sodß js 2k Sj < ε für k N 1 ud js 2k+1 Sj < ε für k N 2 Jetzt setze wir N := mxf2n 1 ;2N 2 + 1g ud es gilt: js Sj < ε für lle N ffl Gebe Beispiele für Reihe, die ch dem Leibiz sche Kovergezkriterium kovergiere! ( 1) 1. 1 = l2 =1 2. ( 1) k 2k+1 = π 4 12

13 4 Kovergezkriterie für Reihe ffl W heißt eie Reihe bsolut koverget? Eie Reihe =0 heißt bsolut koverget, we we die Reihe =0 j j kovergiert. Jede bsolut kovergete Reihe kovergiert uch im herkömmliche Sie. ffl Zeige, dß eie bsolut kovergete Reihe uch im gewöhliche Sie koverget ist! Die Reihe =0 j j sei koverget, d.h.: N : 8m; 0 : k=m j k j = j k j < ε k=m Nch der verllgemeierte Dreiecksugleichug gilt jedoch: k» k=m j k j < ε k=m Jedoch kovergiert icht jede kovergete Reihe bsolut! Ei Beispiel ist die lterierede geometrische Reihe. ffl Ws ist ds Mjorte-Kriterium? Es sei =0 c eie kovergete Reihe mit c 0für lle 2 N. Desweitere sei ( ) 2N eie Folge für dere Glieder j j»c für lle 2Ngilt. D kovergiert die Reihe =0 k bsolut. Beweis: Die Reihe =0 c kovergiert, lso kovergiert sie uch ch dem Cuchy- Kriterium ud es gilt: ψ m m k» j k j» c k» ε für lle m; ε k=! m k= k= ffl Ws ist ds Quotiete-Kriterium? Es sei =0 eie Reihe ud desweitere gelte 0 < q < 1. Die Reihe =0 kovergiert bsolut, we es ei 0 2 N gibt, so dß gilt: +1» q für lle 0 Desweitere müsse türlich lle 6= 0sei,für lle 0. Beweis: Wir äder m Kovergezverhlte der Reihe ichts, we wir edlich viele Glieder bäder. Dher köe wir ehme: +1» q für lle 2 N D ergibt sich per vollstädiger Iduktio: j +1 j»j j q»j 1 j q 2»» j 0 j q +1 Allgemei lso j j»j 0 j q.alsoist =0 j 0j q für 0 < q < 1 eie kovergete Mjorte, d dies die geometrische Reihe ist. Dmit kovergiert =0 bsolut. 13

14 4 Kovergezkriterie für Reihe ffl Ws ist ds Wurzelkriterium? Auch ds Wurzelkriterium läuft uf eie kovergete Mjorte hius. Es sei =0 eie Folge. Gibt es ei 0 < q < 1 ud ei 0 2 N,sodß p j j»q für lle 0 d kovergiert p =0 bsolut. Beweis: j j»q ist gleichbedeuted mit j j»q ud dmit ist die geometrische Reihe wieder eie kovergete Mjorte. ffl Ws weißt du zur Umordug vo Reihe? Seie =0 eie bsolut kovergete Reihe mit Grezwert c, d kovergiert uch jede Umordug vo =0 gege c. 14

15 5 Fuktioe ud Stetigkeit 5 Fuktioe ud Stetigkeit ffl Ws ist eie Fuktio? Sei D R. Uter eier reelle Fuktio versteht m eie Abbildug f : D! R. Dbei heißt D der Deitiosbereich. DerGrph eier Fuktio f ist Für Beispiele siehe Forster. Γ f = f(x;y) ρ D Rjy = f (x)g: ffl Ws ist eie Polyomfuktio? Ws eie rtiole Fuktio? Seie 0 ;:::; 2 R.Dist eie Polyomfuktio. Sid p() ud q() Polyome x 7! x x x + 0 p() = x x x + 0 q() = m x m x x + 0 ud D := fx 2 Rjq(x) 6= 0g d ist eie rtiole Fuktio r = p q deiert durch r : D! R mit r(x) = p(x) q(x) ffl Ws ist eie Treppefuktio? Seie < b reelle Zhle. D wird die Fuktio ϕ : [;b]! R mit = t 0 < t 1 < < t 1 < t = b ud c 1 ;:::;c 2 R mit ϕ(x) =c i für x 2]t i 1 ;t i [ (1» i» ) Treppefuktio get. Die Fuktioswerte ϕ(t i ) i de Trepukte köe beliebig sei. ffl Ws sid rtiole Opertioe uf Fuktioe? Seie f;g : D! R Fuktioe ud λ 2 R. 1. ( f + g)(x) := f (x)+g(x) 2. (λ f )(x) := λ f (x) 3. ( f g)(x) := f (x) g(x) 4. Sei D 0 = fxjg(x) 6= 0g,duch f g : D0! R: f f = (x) g g(x) 15

16 5 Fuktioe ud Stetigkeit ffl Ws ist ei Berührpukt? Sei D =];b[. Ei Pukt heißt Berührpukt, we es eie Folge vo Elemete x 2 D gibt, so dß gilt: lim! x = Jeder Pukt 2 D ist logischerweise Berührpukt, d m die trivile Folge x = für lle 2 N wähle k. ffl Welche Grezwertbegriffe für Fuktioe kest du? Sei f : D! R ud 2 R ei Berührpukt vo D. 1. lim f (x) =c x! Dies bedeutet, dß für jede Folge (x ) 2N mit x 2 D ud lim! x = gilt: lim f (x )=c:! 2. lim f (x) =c x% Dies bedeutet, dß für jede Folge (x ) 2N mit x 2 D ud lim! x = ud x < für lle x gilt: lim! f (x )=c 3. lim f (x) =c x& Dies bedeutet, dß für jede Folge (x ) 2N mit x 2 D ud lim! x = ud x > für lle x gilt: lim! f (x )=c ffl W heißt eie Fuktio stetig? Sei f : D! R ud ei Berührpukt vo D. f heißt im Pukt stetig, we gilt: lim f (x) = f () x! Eie Fuktio heißt i ihrem Deitiosbereich stetig, we sie i jedem Pukt 2 D stetig ist. ffl Welches dere Kriterium für Stetigkeit kest du? Ds ε-δ-kriterium. Eie Fuktio heißt i eiem Pukt stetig: 8ε > 0:9δ > 0:jx j < δ )jf (x) f ()j < ε Umggssprchlich k m dies wie folgt formuliere: Zu jedem ε-schluch ] f () ε; f ()+ε[ k ich eie δ-schluch de, so dß lle Elemete us ] δ; + δ[ i diesem ε-schluch liege. Betrchte wir die Expoetilfuktio, die, wie wir och sehe werde, i jedem Pukt stetig ist: 16

17 5 Fuktioe ud Stetigkeit f() 1 M k sich de Nchweis der Stetigkeit uch wie ei Spiel vorstelle: 1. Der Geger gibt us de Pukt der icht stetig sei soll ud ei ε vor. 2. Wir wähle eie δ-schluch, so dß lle Elemete des δ-schluchs i de ε- Schluch bbilde. Dies fuktioiert zum Beispiel icht bei der Fuktio f (x) =bxc. Sie sieht wie folgt us: User Geger behuptet, die Fuktio sei im Pukt 1 ustetig (sie ist i jedem Pukt 2 Zustetig) ud gibt ε = 1 2 vor. 2. Liks vo der 1 liege keie Fuktioswerte im Schluch. Rechts dvo zwr scho, ber der δ-schluch muß j symmetrisch um 1 liege. Also liege ur die Fuktioswerte vo ]1 0;1 + 0[ im Schluch, ws jedoch ei Widerspruch zur ε-δ-bedigug ist, die δ > 0 fordert. I userem Fll ist δ = 0. ffl Wie k m eue stetige Fuktioe erzeuge? Sid f;g : D! R zwei stetige Fuktioe ud λ 2 R,sosiduch 1. f ± g 2. λ f 3. f g 4. f g,weg(x) 6= 0für lle x 2 D, 17

18 5 Fuktioe ud Stetigkeit stetige Fuktioe. Dies ergibt sich us de Grezwertsätze für Folge. Wir beweise es ber och eiml exemplrisch für f + g: f ud g sid stetig, d.h. es gilt: Also gilt doch isgesmt: lim x! lim( f + g)(x) =lim f (x)+lim x! x! x! f (x) = f () ud lim g(x) =g() x! g(x) = f ()+g() =(f + g)() ffl Zeige, dß die Kompositio stetiger Fuktioe wieder eie stetige Fuktio ergibt! Sei f : D! Rud g : E! R stetige Fuktioe ud f (D) E. D ist uch die Kompositio stetig: ffl Ws besgt der Nullstellestz? Sei ;b 2 R; < b;i =[;b] ud f : I! R eie stetige Fuktio mit f () > 0 ud f (b) < 0 (oder f () < 0; f (b) > 0), d gibt es eie Pukt c 2 [;b], so dß gilt: f (c) =0 f(x) c b Hier gibt es zwei Beweismöglichkeite, die jedoch beide uf ds Vollstädigkeitsxiom zurückgreife. Wir setze N := fxj f (x)» 0g ud setze weiter c := ifn. D ist f (x) > 0 i eiem Itervll [;d 1 ]; < d 1 ud f (x) < 0ieiemItervll [d 2 ;b];d 2 < b. Ageomme es gelte f (c) < 0, d ist f (x) < 0 i eiem Itervll [g 1 ;c], welches liks vo c liegt. D köte c jedoch icht ds Imum vo N sei. Geuso k m rgumetiere, we f (c) > 0wäre. D wäre f (x) > 0ieiem Itervll [c;g 2 ]. D f (x) uch liks vo c größer 0 wäre, köte c wieder icht ds Imum vo N sei. Also muß f (c) =0 gelte. ffl Ws besgt der Zwischewertstz? Der Zwischewertstz ist ei Korollr zum Nullstellestz. Er besgt, dß we ;b 2 R; < b;i =[;b] ud f : I! R gilt, die Fuktio jede Wert zwische f () ud f (b) immt. Sei etw f () q f (b) (siehe Zeichug). D gibt es lso ei c 2 [;b],für ds gilt: f (c) =q 18

19 5 Fuktioe ud Stetigkeit f(x) q g(x) c b Beweis: Wir setze g(x) = f (x) q. D gilt weiterhi g() 0 ud g(b)» 0. Nch dem Nullstellestz gibt es d ei c 2 [;b] mit g(c) =0. Drus folgt d jedoch: g(c) = f (c) q = 0 ) f (c) =q ffl W heißt eie Fuktio beschräkt? Ist f : D! R eie Fuktio mit D 6= /0, d heißt f beschräkt, we f (D) eie beschräkte Teilmege vo R ist. ffl Ws besgt ds Prizip vom Mximum? Ds Prizip vom Mximum besgt: Ist ;b 2 R;< b;i =[;b] ud f : I! R eie stetige Fuktio, d ist f beschräkt ud f (D) =[m;m], wobei m = if f (D) ud M = sup f (D). Ds Bild der Fuktio ist lso eie beschräkte Teilmege vo R,die ei Miimum ud ei Mximum besitzt. Beweis: Zuerst setze wir: ρ sup f (I), flls f (I) ch obe beschräkt ist A := sost D ist A 2 R ud es gibt eie Folge (y ) 2N mit y 2 f (I) ud lim! y = A. Nch dem Zwischewertstz gibt es zu jedem y ei etsprechedes x mit f (x )=y.für diese x gilt:» x» b. Die Folge der etsprechede x ist lso beschräkt ud besitzt ch dem Stz vo Bolzo-Weierstrß eie kovergete Teilfolge (x k ) k2n. Sei p der Grezwert dieser kovergete Teilfolge, lso p = lim k! x k = p. Df im Pukt p stetig ist, gilt lso: D gilt isgesmt folgede Schlußkette: lim f (x k )= f (p): k! A = lim! y = lim! f (x )= lim k! f (x k )= f (p) Isgesmt gilt lso A = f (p) 2 f (I). Also ist isbesodere A 6= ud somit f (I) ch obe beschräkt. Ergebis: Alog rgumetiert m beim Imum. M = A = supf(i) = f (p) ffl W heißt eie Fuktio (streg) mooto steiged/flled? Eie Fuktio heißt 19

20 5 Fuktioe ud Stetigkeit mooto wchsed, x» y ) f (x)» f (y). streg mooto wchsed, x < y ) f (x) < f (y). mooto flled, x» y ) f (x) f (y). streg mooto flled, x < y ) f (x) > f (y). ffl Ws besgt der Stz über die Umkehrfuktio? Der Stz über die Umkehrfuktio besgt: Ist I R ei icht-etrtetes Itervll (besteht icht ur us eiem Pukt, lso [;]) ud f : I! R eie stetige, streg mootoe Fuktio, so ist uch die Umkehrfuktio f 1 : I Λ!Reie stetige, streg mootoe Fuktio. Dbei ist I Λ = f (I) ebeflls ei Itervll. Beweis: Im folgede gehe wir dvo us, dß f mooto steiged ist. Zuerst wird gezeigt, dß I Λ ei Itervll ist: Wir setze: ρ ifi α Λ, flls I Λ ch ute beschräkt := ρ sost. supi β Λ, flls I Λ ch obe beschräkt := sost. f(b) y f() x b Sei y 2 R mit α < y < β. Dgibtesy 1 ;y 2 2 I Λ mit α» y 1 < y < y 2» β. Nch dem Zwischewertstz gibt es d x 1 ;x 2 2 I, für die gilt: f (x 1 )=y 1 < y < y 2 = f (x 2 ) D gibt es wieder ch dem Zwischewertstz uch ei x 2 [x 1 ;x 2 ] mit f (x) =y. Also ist y 2 I Λ. Dmit ist I Λ ei Itervll. Die Mootoie der Umkehrbbildug g : I Λ! R ergibt sich us der Äquivlez x < y, f (x) < f (y): Es bleibt lso ur och die Stetigkeit zu beweise: ffl Zeige, dß eie stetige Fuktio ijektiv ist, geu d we sie streg mooto ist. Sei f : I! R eie stetigefuktioud I ei icht etrtetes Itervll. Zu zeige ist lso: f ijektiv, f streg mooto Ntürlich sid hier beide Richtuge zu zeige: 20

21 5 Fuktioe ud Stetigkeit ( : Ist trivil. We f streg mooto ist, gilt x < y ) f (x) < f (y) bzw. x > y ) f (x) > f (y). Dmit bilde verschiedee x uf verschiedee f (x) b. ) : Wir gehe lso dvo us, dß f ijektiv ist, d.h. x 6= y ) f (x) 6= f (y). Wir setze: ρ ifi, flls I ch ute beschräkt α := ρ sost. supi, flls I ch obe beschräkt β := sost. D gilt für eie Pukt u 2 I etweder Typ 1: f (x) < f (u) für lle x < y ud f (x) > f (u) für lle x > u. Typ 2: f (x) > f (u) für lle x < y ud f (x) < f (u) für lle x > u. Typ 1: f(u) u De für u > α ist fxjx < ug ei Itervll, uf dem die stetige Fuktio de Wert f (u) icht immt (wege der Ijektivität) ud dher ch dem Zwischewertstz etweder ur Fuktioswerte < f (u) oder > f (u) besitzt. Im Flle u < β gilt dsselbe für fxjx > ug. Desweitere k es icht sei, dß fx 2 Ijx < ug ud fx 2 Ijx > ug beide gleichzeitig ur Fuktioswerte < f (u) oder > f (u) besitze: f(u) u De d köte m ;b 2 I mit < u < b xiere ud us dem Zwischewertstz würde folge, dß die Fuktio f lle Werte zwische [ f (); f (u)] bzw. [ f (b); f (u)] ehme würde. D gäbe es zu eiige Fuktioswerte Elemete, die beide uf deselbe Fuktioswert bbilde. Dies wäre jedoch ei Widerspruch zur Ijektivität. Also sid lle Pukte u 2 I etweder vom Typ 1 oder vom Typ 2 ud dmit streg mooto. 21

22 5 Fuktioe ud Stetigkeit ffl Wie ist der Logrithmus deiert? Die Expoetilfuktio exp :R! R Λ + ist stetig ud streg mooto. Also existiert eie ebeflls stetige ud streg mootoe Umkehrfuktio l = exp 1 : R Λ +! R die türlicher Logrithmus get wird. Für sie gilt die Fuktiolgleichug: l(x y) =lx + ly ffl Beweise die Fuktiolgleichug des türliche Logrithmus! Die Fuktiolgleichug des türliche Logrithmus ergibt sich us der Fuktiolgleichug der Expoetilfuktio: exp(lx + l y) =exp(lx) exp(ly) =x y We m diese Gleichug och eiml logrithmiert, ergibt sich: lx + l y = l(x y) 2.5 log(x) ffl Wie sid llgemeie Poteze deiert? Die llgemeie Potez zur Bsis ist wie folgt deiert: r = e r l für 2 R Λ +;r 2 Q ffl Beweise die Formel für die llgemeie Poteze! Dies geht über eie Iduktosbeweis ch r (zuerst ur r 2 N): Iduktiosfg: Für r = 0 gilt: 0 = 1 = e 0 = e 0 l. Iduktioshme: Für r 2 N gelte r = e r l. Iduktiosschluß: D gilt wege 2 R Λ + : r+1 = r = e r l e l = e r l+ = e (r+1) l 22

23 5 Fuktioe ud Stetigkeit Dmit hbe wir die Gleichug für r 2 N bewiese. Jetzt weite wir de Beweis uf die gze Zhle us. Es sei r 2 N,lsor 2 Z;r» 0. D gilt: r =( 1 ) r r l 1 = e Betrchte wir l 1. Aus der Fuktiolgleichug folgt: l + l 1 = l( 1 )=l1 = 0 Also ist doch l 1 ds iverse Elemet bezüglich der Additio vo l. l 1 = l. Dieses Ergebis setze wir obe ei: Dmit r =( 1 ) r = e r l 1 = e r ( l) = e r l 23

24 6 Differezierbrkeit 6 Differezierbrkeit ffl W heißt eie Fuktio i eiem Pukt diffezierbr? Eie Fuktio f : D! R;D R heißt i eiem Pukt x 0 2 D differezierbr, we der f (x) f (x 0 ) lim := f 0 (x 0 ) x!x 0 ;x2dfx 0 g x x 0 existiert. Der Grezwert f 0 (x 0 ) heißt Differetilquotiet oder die Ableitug vo f im Pukt x 0. Eie Fuktio ist differezierbr i D, we sie i jedem Pukt x 2 D differezierbr ist. I dieser Deitio köe wir uch h = x x 0 setze ud erhlte d: f 0 (x 0 ) := f (x 0 + h) f (x 0 ) lim h!0;x 0 +h2dfx 0 g h ffl Ws ist die Differezequotietefuktio? Die Differezequotietefuktio eier Fuktio f der Stelle x 0 ist deiert ls: g : Dfx 0 g! R mit g(x) := f (x) f (x 0) x x 0 Dß eie Fuktio i eiem Pukt x 0 diffezierbr ist, ist d gleichbedeuted dmit, dß m die Fuktio g, die der Stelle x 0 icht deiert ist, zu eier stetige Fuktio g ergäze k ud zwr durch: g(x) := ( g(x) = f (x) f (x 0) x x 0 für x 6= x 0 f 0 (x 0 ) für x = x 0 ffl Welche Differetitiosregel kest du? 1. Summeregel 2. Produktregel 3. Ketteregel 4. Quotieteregel 5. Umkehrregel ffl Ws besgt die Summeregel? Beweis? Die Summeregel besgt: ( f + g) 0 (x) = f 0 (x)+g 0 (x) 24

25 6 Differezierbrkeit Wir beutze die Deitio der Differetitio: ( f + g)(x + h) ( f + g)(x) lim h!0;h6=0 h f (x + h)+g(x + h) f (x) g(x) = lim h!0;h6=0 h f (x + h) f (x) g(x + h) g(x) = lim + lim h!0;h6=0 h h!0;h6=0 h = f 0 (x)+g 0 (x) ffl Ws besgt die Produktregel? Beweis? Die Produktregel lutet: ( f g) 0 (x) = f (x)g 0 (x)+ f 0 (x)g(x) Sei (x ) 2N eie Folge mit lim! x = x ud x 2 Dfxg für lle 2 N: ( f g)(x ) ( f g)(x) lim! x x = lim! f (x )g(x ) f (x)g(x) x x = lim! f (x )g(x ) f (x )g(x)+ f (x )g(x) f (x)g(x) x x = lim f (x g(x ) g(x) f (x ) f (x) ) + lim! x x! x x = f (x)g 0 (x)+ f 0 (x)g(x) Speziell mit g(x) =λ folgt (λ f ) 0 (x) =λ f 0 (x). ffl Ws besgt die Ketteregel? Beweis? Es sei D;E Rmit f : D!Rud g : E!R. Desweitere gelte f (D) E. Istf i x 2 D differezierbr ud g i y = f (x) 2 E, d ist die Kompositio (gf f ) : D!R i x differezierbr ud es gilt: (g f f ) 0 (x) =g 0 ( f (x)) f 0 (x) g(x) Dieser Stz dürfte us der Schule ls iere Ableitug ml äußere Ableitug bekt sei. Beispiel: f (x) =e x2 ud f 0 (x) =2x e x2 oder g(x) =(e x ) 2 ud g 0 (x) =e x 2e x = 2e 2x Beweis: Wir deiere us eie eue Fuktio, mit dere Hilfe wir die lte chher drstelle: g 1 (z) = ( g(z) g(y) z y für z 6= y g 0 (y) für z = y Aufgrud der Differezierbrkeit vo g i y ist diese Fuktio d uch stetig, de: lim g 1 (z) =g 0 (y) =g 1 (y) z!y;z2efyg 25

26 6 Differezierbrkeit Stelle wir die obere Gleichug für g 1 um, folgt: Betrchte wir u g(z) g(y) =g 1 (z)(z y) g( f (u)) g( f (x)) lim u!x;u2dfxg u x g 1 ( f (u))( f (u) f (x)) = lim u!x;u2dfxg u x = lim g f (u) f (x) 1( f (u)) lim u!x;u2dfxg u!x;u2dfxg u x = g 1 ( f (x)) f 0 (x) = g 0 ( f (x)) f 0 (x) Letzteres gilt wege f (x) =y ud g 1 (y) =g 0 (y). ffl Ws besgt die Quotieteregel? Sei D R ud f;g : D! R i x differezierbr mit g(u) 6= 0für lle u 2 D. D ist uch die Fuktio f g : D! R differezierbr ud es gilt: f g Beweis: Zuerst drücke wir 0 (x) = f 0 (x)g(x) f (x)g 0 (x) g 2 (x) 1 g (x) durch eie Ketteregel us: h : R Λ! R mit h(y) = 1 y ist i jedem Pukt y 2 D differezierbr ud es gilt: h0 (y) = 1 y 2.Dist 1g usdrückbr ls (h f g)(x). Nch der Ketteregel gilt: (h f g) 0 (x) =h 0 (g(x))g 0 (x) = 1 g 2 (x) g0 (x) = g0 (x) g 2 (x) f g 0 drücke wir u mit der Produktregel us: f 0 g = f 0 (x) (x)+ f (x) (x) g g f 0 (x) = f (x)g0 (x) f 0 x)g(x) f (x)g 0 (x) g(x) g 2 = (x) g 2 (x) ffl Ws besgt die Umkehrregel? Beweis? Ist f : I!Reie streg mootoe, stetige Fuktio, so existert die Umkehrfuktio f 1 : I Λ! R mit I Λ = f (I). Istf im Pukt x differezierbr ud ist f 0 (x) 6= 0, d ist uch f 1 im Pukt y = f (x) differezierbr ud es gilt: ( f 1 ) 0 (y) = 1 f 0 (x) = 1 f 0 ( f 1 (y)) ffl W heißt eie Fuktio k-ml (stetig) differezierbr? Sei D R ud f : D! R mit x 2 R. 26

27 6 Differezierbrkeit 1. Wir setze f (0) (x) = f (x). 2. Sei k 2N. Gibt es ei ε > 0, so dß die Fuktio f (k 1) : D ]x ε;x+ε[ deiert ud i x differezierbr ist, so setze wir f (k) (x) := (f (k 1) ) 0 (x) ud ee f (k) diek-te Ableitug vo f i x. I diesem Fll ist f k-ml differezierbr i x. Ist fk-ml differezierbr ud f (k) : D! R stetig, d ee wir f i Dk-ml stetig differezierbr. ffl Ws ist ei lokles Extremum? Ws gilt Extrem? Seie ;b 2 R ud f :];b[! R eie Fuktio. D ht f i x 0 2];b[ ei lokles Mximum (Miimum), we es ei ε > 0 gibt, so dß f (x)» f (x 0 ) ( f (x) f (x 0 ))ist, für lle x 2]x 0 ε;x 0 +ε[. Gilt ds Gleichheitszeiche ur für x = x 0, d heißt x 0 ei streges bzw. isoliertes Mximum (Miimum). Ist x 0 ei lokles Mximum bzw. Miimum, so heißt x 0 ei lokles Extremum. x0 x1 I der Grk stellt x 0 ei lokles Mximum ud x 1 ei lokles Miimum dr. Für beide sid ε-umgebuge eigezeichet, die die obe gete Bedigug für Extrem erfülle. Besitzt eie Fuktio f :];b[! R; < b;;b 2 R ei Extremum x 0 ud ist i diesem differezierbr, d gilt f 0 (x 0 )=0. Beweis: Wir zeige die Aussge für ei lokles Mximum: x 0 ist ei lokles Mximum, lso gibt es ei ε > 0, so dß für lle x 2]x 0 ε;x 0 + ε[ f (x)» f (x 0 ). Wir betrchte u zwei Folge, die sich dem Mximum x 0 eiml vo liks ud eiml vo rechts äher: 1. Sei (x ) 2N eie Folge mit lim! x = x 0 ud x < x 0 für lle 2 N. D gilt doch: f (x ) f (x 0 ) lim 0! x x 0 Dies folgt us f (x ) f (x 0 )» 0für lle 2 N ud x x 0» 0für lle 2 N. 2. Sei (x ) 2N eie Folge mit lim! x = x 0 ud x > x 0 für lle 2 N. D gilt etspreched: f (x ) f (x 0 ) lim» 0! x x 0 Dies folgt us f (x ) f (x 0 )» 0für lle 2 N ud x x 0 0für lle 2 N. 27

28 6 Differezierbrkeit D die Fuktio f i x 0 differezierbr ist, folgt die Gleichheit der Grezwerte ud dmit f 0 (x 0 )=0. Es ist jedoch zumerke, dß icht gilt: f 0 (x) =0, f besitzt ei Extremum bei x Ei Gegebeispiel ist f (x)=x 3. Es gilt f (0)= f 0 (0)=0 jedoch ist 0 kei Extremum! ffl Ws besgt der Stz vo Rolle ud wrum ist er so wichtig? Sei ;b 2 R;< b ud f : [;b]! R eie stetige Fuktio mit f () = f (b). Weiter sei f im Itervll ];b[ differezierbr. D gibt es ei x 0 2];b[ mit f 0 (x 0 )=0. Aschulich sieht dies wie folgt us: b Beweis: Wir hbe zwei Fälle zu uterscheide: 1. f ist eie kostte Fuktio. D gilt 8x 2];b[: f (x) = f () = f (b). Ud dmit uch f 0 (x) =0für lle x 2];b[. 2. Es gibt ei x 1 2];b[ mit f (x 1 ) > f () bzw. f (x 1 ) < f (). Dmit ist ds ch dem Prizip vom Mximum existierede Mximum bzw. Miimum x 0 lso vo ;b verschiede ud liegt i ];b[. Es gilt ch obige Stz über Extrem f 0 (x 0 )=0. Der Stz vo Rolle ist so wichtig, weil er gebrucht wird, um de folgede Stz (Mittelwertstz) zu beweise. ffl Ws besgt der Mittelwertstz? Sei ;b 2 R; < b ud f : [;b]! R eie stetige Fuktio, die i jedem x 2];b[ differezierbr ist. D gibt es ei x 0 2];b[ mit f 0 (x 0 )= f (b) f () b f(b) f() x0 b Zu der Sekte durch die Pukte (; f ()) ud (b; f (b)) gibt es lso eie prllele Tgete, die die Steigug im Pukt x 0 ist. 28

29 6 Differezierbrkeit Beweis: Wir kostruiere us eie Hilfsfuktio F : [;b]! R, uf die wir de Stz vo Rolle wede köe, so dß die Behuptug folgt. Es sei F(x) = f (x) Zuächst eiml gilt F() =F(b) = f (), de: F() = f () F(b) = f (b) f (b) f () b f (b) f () b f (b) f () (x ): b f (b) f () ( ) = f () b 0 = f () (b ) = f (b) f (b)+ f () = f () Also gibt es ei x 0 2];b[ mit F 0 (x 0 )=0. Die Ableitug vo F(x) ist: F 0 (x) = f 0 (x) De m k F(x) uch schreibe ls: f (b) f () b F(x) = f (x) f (b) f () b D es ei x 0 2];b[ gibt mit F 0 (x 0 )=0 folgt: f (b) f () x + b z } cost: 0 = f 0 (x 0 ) f (b) f () b, f 0 (x 0 )= f (b) f () b ffl Ws besgt der erweiterte Mittelwertstz? Sei ;b 2R;< b ud f;g : [;b]!rstetige Fuktioe, die i [;b] differezierbr sid. Es gelte g 0 (x) 6= 0für lle x 2 [;b]. D gibt es ei x 0 2 [;b], so dß gilt: f (b) f () g(b) g() = f 0 (x 0 ) g 0 (x 0 ) Beweis: Auch hier kostruiere wir us wieder eie Hilfsfuktio. Jedoch ist es wichtig, dß g(b) 6= g() ist, dmit die Hilfsfuktio fuktioiert. Dies ist jedoch der Fll, d g 0 (x) 6= 0für lle x 2 [;b]. Dewäre g()=g(b) gäbe es ch dem Mittelwertstz ei x 0 2 [;b],sodß g 0 (x 0 )= g(b) g() b = g(b) g(b) b = 0 b = 0: Dies ist jedoch durch die Bedigug usgeschlosse. Wir betrchte die Fuktio F(x) = f (x) f (b) f () (g(x) g()): g(b) g() Diese Fuktio ist stetig ud differezierbr i [;b]. Desweitere gilt uch hier F()=F(b)= f (). Alsoköe wir uch hier wieder de Stz vo Rolle wede, d.h. es gibt ei x 0 2 [;b],sodßf 0 (x 0 )=0. Die Ableitug vo F(x) ist: F 0 (x) = f 0 (x) f (b) f () g(b) g() g0 (x) 29

30 6 Differezierbrkeit Also für F 0 (x 0 )=0: f 0 (x 0 ) g 0 (x 0 ) f (b) f () =. Dies ist jedoch die Behuptug. g(b) g() ffl Zeige, dß eie Fuktio kostt ist, we die Ableitug i lle x des Deitiosbereich Null ist. Wir zeige lso: Sei ;b 2 R; < b ud f : [;b]! R stetig ud differezierbr i [;b] mit f 0 (x) =0für lle x 2 [;b],dist f (x) =c mit c 2 R. Dzu müsse wir erst eie dere Stz beweise. Gibt es m;m 2 R mit m» f 0 (x)» M für lle x 2 [;b], d gilt die Abschätzug: m(y x)» f (y) f (x)» M(y x) für lle x;y 2 [;b] mit x» y Beweis: Wir wede für x 6= y (dieser Fll ist trivl) de Mittelwertstz uf ds Itervll [x;y]. D gilt doch: f (y) f (x) m»» M y x De m k j die eizele f 0 (x) so bschätze. D y x > 0istköe wir uch ruhig i der Ugleichug dmit multipliziere: m(y x)» f (y) f (x)» M(y x) I userem Fll ist m = M = 0 eie utere bzw. obere Schrke für die Steigug, lso folgt: 0(y x)» f (y) f (x)» 0(y x) Ud dmit f (x) = f (y) für lle x 2 [;b],d.h. f (x) ist kostt. ffl Ws k m mit Hilfe der erste Ableitug über ds Mootoieverhlte eier Fuktio ussge? Wie immer sei ;b 2 R; < b ud f : [;b]! R stetig ud differezierbr i [;b]. D gilt: 1. f 0 (x) 0für lle x 2];b[, f ist mooto wchsed. 2. f 0 (x) > 0für lle x 2];b[ ) f ist streg mooto wchsed. 3. f 0 (x)» 0für lle x 2];b[, f ist mooto flled. 4. f 0 (x) < 0für lle x 2];b[ ) f ist streg mooto flled. M bechte, dß hier i eiige Fälle, ud i eiige ur ) steht! Zum Beispiel ist f (x) =x 3 streg mooto steiged, jedoch gilt f 0 (0)=0. Also gilt ur die eie Richtug bei streger Mootoie. Beweis: ) : Wir zeige hier ur f 0 (x) > 0, die dere Fälle gehe log. Wir betrchte y;z 2 [;b] mit y < z. Dköe wir de Mittelwertstz uf [y;z] wede, d.h. es gibt ei x 0 2 [y;z] [;b] mit f (z) f (y) z y = f 0 (x 0 ) > 0 D ist wege z y > 0uch f (z) f (y) > 0lso f (y) < f (z). 30

31 6 Differezierbrkeit ( : Wir behdel ur de Fll, dß f mooto wchsed ist. Für lle x;y 2 [;b] mit x 6= y gilt d 0 ud dmit uch f (x) f (y) x y Also f 0 (y) 0für lle y 2 [;b]. f (x) f (y) lim 0: x!y;x2[;b]fyg x y ffl W besitzt eie Fuktio ei lokles Extremum? Sei ;b 2 R;< b ud f : [;b]!rstetig ud i jedem x 2];b[ differezierbr. Im Pukt x 0 sei f zweiml differezierbr. Gilt f 0 (x 0 )=0 ud f 00 (x 0 ) < 0(f 00 (x 0 ) > 0), so besitzt f der Stelle x 0 ei streg lokles Mximum (Miimum). ffl W heißt eie Fuktio kovex (kokv)? Sei I R ei Itervll ud f : I! R. f heißt kovex, we gilt: 8;b 2 I ^8λ 2 [0;1] : f (λ +(1 λ)b)» λ f ()+(1 λ) f (b) Eie Fuktio f heißt kokv, we f kovex ist. Aschulich bedeutet die Gleichug, dß sich lle Fuktioswerte im Itervll [;b] uterhlb der Sekte durch die Pukte (; f ()) ud (b; f (b)) bede: f(b) f() b Dbei ist λ +(1 λ)b mit λ 2 [0;1] ei Pukt im Itervll [;b],defür λ = 0erhält m b ud für λ = 1erhält m. Alsoistf (λ+(1 λ)b) ei Fuktioswert us dem Itervll [;b]. Udλ f ()+(1 λ) f (b) ist die Sekte durch die Pukte (; f ()) ud (b; f (b)). ffl Welches dere Kriterium für Kovexität gibt es? Sei f : I! R eie zweiml differezierbre Fuktio. D gilt: f ist kovex, f 00 (x) 0für lle x 2 I So ist zum Beispiel die Fuktio f (x) =e x kovex, d f 00 (x) =e x im gze Deitiosbereich positiv ist. Ebeso ist f (x) =x 2 kovex, d f 00 (x) =2 ist. Die Fuktio f (x) =x 3 higege ist im Bereich ] ;0] kokv ud im Bereich [0;[ kovex, d f 00 (x) =6x. ffl Ws ist ds Newto-Verfhre ud wie fuktioiert es? Sei D R ud f : D! R differezierbr. Gesucht ist eie Nullstelle vo f i D. Die Idee des Newto-Verfhres ist es, die Fuktio i eiem Pukt x 0 2 D durch die Tgete t 0 (x) im Fuktioswert dieses Puktes zuäher ud die Nullstelle dieser Tgete ls eue Pukt zur Aäherug zu ehme: 31

32 6 Differezierbrkeit f(x) t0(x) t1(x) x2 x1 x0 Die Tgete t 0 (x) im Pukt x 0 ist t 0 (x) = f 0 (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ). Gesucht ist die Nullstelle dieser Tgete, lso ds x für welches t 0 (x) =0 gilt. Dies det m durch umstelle: Es gilt lso llgemei f 0 (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) = 0 f 0 (x 0 ) x f 0 (x 0 ) x 0 + f (x 0 ) = 0 f 0 (x 0 ) x = f 0 (x 0 ) x 0 f (x 0 ) x = f 0 (x 0 ) x 0 f 0 (x 0 ) x = x 0 f (x 0) f 0 (x 0 ) x +1 = x f (x ) f 0 (x ) : f (x 0) f 0 (x 0 ) We lle x deiert sid ud die Folge (x ) 2N gege ei p 2 D kovergiert ud we f i D stetig differezierbr ist mit f 0 (x) 6= 0für lle x 2 D, d folgt: p = p f (p) f 0 (p) Dies ist jedoch gleichbedeuted mit f (p) =0. Also ist p eie Nullstelle vo f. Jedoch muß die Folge (x ) 2N icht kovergiere bzw. die eizele x müsse scho gricht deiert sei. ffl I welchem Fll kovergiert ds Newto-Verfhre? Zeige dies! Sei ;b 2 R; < b ud f : [;b]! R eie i [;b] zweiml differezierbre kovexe Fuktio mit f () < 0 ud f (b) > 0. D gilt: 1. Es gibt geu eie Nullstelle p 2 [;b] mit f (p) =0. 2. Ist x 0 2 [;b] ei Pukt mit f (x 0 ) 0 so ist die durch x +1 = x f (x ) f 0 (x deierte ) Folge für lle 2 N deiert, mooto flled ud koverget. Beweis: Wir zeige beide Pukte: 1. f ist kovex, lso gilt f 00 (x) 0für lle x 2];b[. Alsoistf 0 uf [;b] mooto wchsed. D f differezierbr ud dmit uch i jedem Pukt des Deitiosbereich stetig ist, gibt es ch dem Prizip vom Mximum ei q 2 [;b] mit f (q) =iff f (x)jx 2 [;b]g. Desweitere ist f (q) < 0wege f () < 0, de sostwäre f (q) icht ds Imum. 32

33 7 Itegrtio 7 Itegrtio ffl Wie ist die Itegrlrechug motiviert? Sei ;b 2 R; < b ud f : [;b]! R + stetig. D soll R b Fläche zwische der Fuktio ud der x-achse sei: f (x)dx der Ihlt der b Bei eifch gebute Fuktioe R ist d och klr, wie m ds Itegrl berechet. b Ist z.b. f (x) =c, so gilt f (x)dx = c (b ). Auch bei Treppefuktioe k m ds Itegrl och leicht bereche. Es gelte f : [;b]! Rmit = t 0 < t 1 < < t = b ud f (x) =c i für x 2]t i ;t i 1 [.D ist ds Itegrl deiert ls: f (x)dx = i=1 c i (t i t i 1 ) M et ds ( + 1)-Tupel (t 0 ;:::;t ) uch eie Prtitio oder Uterteilug des Itervlls [;b]. ffl Zeige, dß ds Itegrl eier Treppefuktio icht vo der Prtitio bhägt! Es sei ϕ 2 T [;b] mit zwei verschiedee Uterteiluge Z : Z 0 : = x 0 < x 1 < < x = b = t 0 < t 1 < < t m = b mit Zur Abkürzug setze wir: ϕ(x) =c i für x 2]x 1 ;x i [ bzw. ϕ(x) =c 0 j für x 2]t i 1;t i [ Z Z ϕ = i=1 c i (x i x i 1 ) bzw. Z m ϕ = j=1 Z 0 R =R Zu zeige ist lso Z ϕ 0 Z ϕ. Wir uterscheide zwei Fälle: c 0 j (t j t j 1 ) 1. Fll: Jeder Teilpukt vo Z ist uch Teilpukt vo Z 0.Etwx i = t ki. D gilt ud x i 1 = t ki 1 < t ki 1 +1 < < t ki = x i c 0 j = c i für k i 1 < j» k i 33

34 7 Itegrtio Drus folgt: Z Z0 ϕ = i=1 k i j=k i 1 c i (t j t j 1 )= i=1 Z c i (x i x i 1 )= 2. Fll: Z ud Z 0 seie beliebig ud Z Λ sei die Prtitio die lle Teilpukte vo Z ud Z 0 ethält. D gilt ch 1: Z Z ϕ = Z Z Λ ϕ = Z Z 0 ϕ Z ϕ ffl Zeige, dß die Mege der Treppefuktioe eie Utervektorrum des Vektorrumes ller reeller Fuktioe bildet! Zu zeige ist lso: Sei T [;b] die Mege ller Treppefuktioe i [;b] mit ;b 2 R;< b. D gilt: T [;b], wobei 0 : [;b]! R mit 0(x) =0für lle x 2 [;b] 2. f;g 2 T [;b] ) f + g 2 T [;b] 3. f 2 T [;b];λ 2 R) λ f 2 T [;b] Beweis: 1. Ist klr. 2. Nur hier ist ws zu zeige. Wir hbe zwei Fuktioe mit zwei Prtitioe. Zu f gibt es eie Prtitio = s 0 < s 1 < < s m = b ud zu g gibt es eie Prtitio = t 0 < t 1 < < t = b ud die beide Fuktioe sid jeweils kostt uf de Teilitervlle. Nu betrchte wir die Prtitio = u 0 < u 1 < < u k = b, wobei gilt: fu 0 ;u 1 ;:::;u k g = fs 0 ;s 1 ;:::;s m g[ft 0 ;t 1 ;:::;t g Sowohl f ls uch g sid uf de Teilitervlle ]u i ;u i 1 [ für i 2f1;:::;kg kostt, lso ist uch f +g uf diese Teilitervlle kostt. Also f +g 2 T [;b]. 3. Ist klr. ffl Zeige, dß ds Itegrl ei lieres Fuktiol uf dem Vektorrus ller Treppefuktioe ist. Zeige, dß dieses Fuktiol mooto ist! Zu zeige ist lso: Seie f;g 2 T [;b] ud λ 2 R. D gilt: 1. R b ( f + g)(x)dx =R b f (x)dx+r b g(x)dx. 2. R b (λ f )(x)dx = λ R b f (x)dx. 3. f» g ) R b f (x)dx»r b g(x)dx 34

35 7 Itegrtio Dbei gilt f» g,8x 2 [;b] : f (x)» g(x). Beweis: Wir köe für beide Fuktioe jeweils eie Prtitio = t 0 < t 1 < < t = b de, die lle Teilpukte vo f ud g ethält. D folgt: 1. ( f + g)(x)dx = = = i=1 i=1 (c i + d i ) (t i t i 1 ) c i (t i t i 1 )+ f (x)dx+ i=1 g(x)dx d i (t i t i 1 ) 2. R b λ f (x)dx = i=1 (λ c i) (t i t i 1 )=λ i=1 c i (t i t i 1 )=λ R b f (x)dx 3. Ist eifch logisch. ffl Wie ist ds Oberitegrl bzw. Uteritegrl deiert? Es sei ;b 2 R;< b ud f : [;b]! R eie beschräkte Fuktio. D deiere wir ds R R Oberitegrl ls b Λ f (x)dx := iff b ϕ(x)dxjϕ 2 T [;b] ud f» ϕg ud ds R R Uteritegrl ls b Λ f (x)dx := supf b ϕ(x)dxjϕ 2 T [;b] ud f ϕg. ffl W heißt eie beschräkte Fuktio Riem-itegrierbr? Sei ;b 2 R; < b ud f : [;b]! R sei eie beschräkte Fuktio. D ist f (Riem-)itegrierbr, we gilt: I diesem Fll setze wir f (x)dx = Λ f (x)dx = Λ f (x)dx = Λ f (x)dx Λ f (x)dx ud ee es ds Itegrl vo f über [;b]. Zum Beispiel ist jede Treppefuktio itegrierbr, d die Treppefuktio selbst ds Imum ud Supremum der Mege ller Treppefuktioe ist, die kleier gleich bzw. größer gleich der Treppefuktio sid. Ei Beispiel für eie icht itegrierbre Fuktio ist die Dirichlet sche Sprugfuktio, d hier die Ober- ud Uteritegrle icht übereistimme. ffl Zeige, dß der folgede Stz gilt: Es sei ;b 2 R; < b ud f : [;b]! R. D gilt: f ist itegrierbr geu d, we zu jedem ε > 0 Treppefuktioe ϕ;ψ 2 T [;b] existiere mit ϕ» f» ψ ud R b ψ R b ϕ» ε. Beweis: 35

36 7 Itegrtio ) : Es gibt ϕ;ψ 2 T [;b] mit ϕ» f» ψ ud br R R Λ f (x)dx» b ϕ(x)dx» b Λ f (x)dx+ 2 ε br R R Λ f (x)dx b ψ(x)dx b Λ f (x)dx 2 ε R R R b Es gilt f (x)dx = b Λ b f (x)dx = Λ f (x)dx, d die Fuktio itegrierbr ist. Desweitere gilt: Z Z Z Z b b b ϕ(x)dx ψ(x)dx» f ε b (x)dx+ 2 f ε (x)dx+ 2 = ε ( : Gibt es Treppefuktioe ϕ;ψ 2 T [;b] mit ϕ» f» ψ ud ψ(x)dx ϕ(x)dx» ε so folgt: Λ f (x)dx Z Λ f (x)dx» ψ(x)dx ϕ(x)dx» ε D ist f itegrierbr, d dies für jedes ε > 0 gilt, d.h. der Abstd zwische Oberitegrl ud Uteritegrl wird beliebig klei. ffl Welche itegrierbre Fuktiosklsse kest du? Alle stetige Fuktioe f : [;b]! Rsid itegrierbr, ebeso wie lle mootoe Fuktioe g : [;b]! R. ffl Wie lutet der Mittelwertstz der Itegrlrechug? Es sei ;b 2 R; < b ud f;ϕ : [;b]! R stetige Fuktioe, wobei ϕ > 0. D gibt es ei ξ 2 [;b], so dß gilt: Beweis: f ist stetig, lso gibt es Desweitere gilt die Abschätzug: f (x)ϕ(x)dx = f (ξ) ϕ(x)dx m = iff f (x)jx 2 [;b]g M = supf f (x)jx 2 [;b]g m ϕ(x)» f (x) ϕ(x)» M ϕ(x) 36

37 7 Itegrtio Also gilt uch: Dies ist gleichbedeuted mit: m m ϕ(x)dx» ϕ(x)dx» f (x) ϕ(x)dx» f (x) ϕ(x)dx» M R b D ϕ(x)dx 0ist,köe wir weiter umstelle: m» br f (x)ϕ(x)dx» M R b ϕ(x)dx M ϕ(x)dx ϕ(x)dx m ud M sid Fuktioswerte vo f, dher existiert ch dem Zwischewertstz ei R b ξ 2 [;b] mit f (ξ) = R f (x)ϕ(x)dx b. We m dies wieder umstellt, ergibt sich dher die Behuptug: ϕ(x)dx Z b f (ξ) ϕ(x)dx = f (x)ϕ(x)dx Speziell der Fll ϕ(x) =1 ist iteresst, de d ergibt sich: f (x)dx = f (ξ) 1dx = f (ξ) (b ) b Es gibt lso eie Pukt f (ξ), durch de m eie Gerde ziehe k, so dß die Fuktio f (x) mit der Gerde eie Fläche eischließt. Der Flächeihlt der Fläche oberhlb dieser Gerde ist d gleich dem Flächeihlt der Fläche uterhlb dieser Gerde. Dieser Fll wird uch och wichtig, um zu zeige, dß es ei F(x) = R x f (x)dx gibt mit F 0 (x) = f (x). 37

38 8 Differettio ud Itegrtio 8 Differettio ud Itegrtio ffl Ws ist ei ubestimmtes Itegrl? R b Bis jetzt hbe wir immer ur bestimmte Itegrle f (x)dx über ei Itervll [;b] usgerechet. Wir köe jedoch uch eie Itegrtiosgreze vribel lsse ud so eie Fuktio F : [;b]! R deiere. Es sei I R ud f : I! R stetig mit ;x 2 R. D deiere wir: Z x F(x) = f (t)dt M k zeige, dß für diese Fuktio F 0 (x) = f (x) gilt. Dzu bilde wir de Differtilquotiete: F 0 F(x + h) F (x) 1 (x) = lim = lim (F(x + h) F (x)) h!0;h6=0 h h!0;h6=0 h Zx+h Z Z 1 x x+h = f (x)dx f (x)dxa 1 = f (x)dxa h!0;h6=0 h h!0;h6=0 h R x+h Betrchte wir x f (x)dx. Nch dem Mittelwertstz gibt es ei ξ h 2 [x;x + h] (bzw. [x + h;x] we h egtiv ist), so dß gilt: Z x+h x f (x)dx = f (ξ h ) Wir betrchte lso weiter: lim h!0;h6=0 Z x+h x 1dx = f (ξ h ) (x + h x) =f (ξ h ) h 1 h h f (ξ h)= lim f (ξ h) h!0;h6=0 D ξ h 2 [x;x + h] gilt ud h gege 0 strebt, strebt ξ h lso gege x. Df stetig ist gilt d: lim h!0;h6=0 f (ξ h)= f (x) x ffl Ws ist eie Stmmfuktio? Es sei I R ud f : I! R. Eie Fuktio F : I! R heißt Stmmfuktio vo f we gilt: F 0 (x) = f (x) ffl Zeige, dß sich Stmmfuktioe ur um eie Kostte uterscheide! Zu zeige ist lso: Sei I R ud f : I! R. F : I!R sei eie Stmmfuktio vo f. D gilt: G ist eie Stmmfuktio vo f, F G = c mit c 2 R 38

39 8 Differettio ud Itegrtio ) : Sei G eie Stmmfuktio. Also G0 = f = F 0. D gilt (F G) 0 = F 0 G 0 = f f = 0. Demch ist die Ableitug vo (F G) für jedes x 2 I gleich 0. Drus folgt, dß F G kostt sei muß. ( : Es gelte F G = c. Dies k m umforme zu G = F c. D ist jedoch G 0 = F 0 = f.alsoistgeie Stmmfuktio zu f. ffl Ws besgt der Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug? Dieser Stz wird uch Fudmetlstz der Differetil- ud Itegrlrechug get. Sei I R ud f : I! R. Ist F eie Stmmfuktio vo f so gilt für lle ;b 2 I: f (x)dx = F(b) F() := F(x)j b Es sei F 0 eie weitere Stmmfuktio vo f. D gilt: Z x F 0 (x) = f (x)dx R R b Wie m sieht ist F 0 (b) = f (x)dx ud F 0()= f (x)dx = 0. F ud F 0 uterscheide sich d ur um eie Kostte, dher gilt: F(b) F() =F 0 (b) F 0 () =F 0 (b) 0 = F 0 (b) = f (x)dx ffl Wie fuktioiert die Substitutiosregel? Die Substitutiosregel mcht Gebruch vo der Ketteregel der Differettio. Es sei I R ud f : I! R eie stetige Fuktio. Desweitere sei ;b 2 R; < b ud ϕ : [;b]! R eie stetig differezierbre Fuktio mit ϕ([;b]) I. D gilt: f (ϕ(t))ϕ 0 (t)dt = Z ϕ(b) ϕ() f (x)dx Beweis: Sei F : I! R eie Stmmfuktio vo f.dist (F f ϕ) deiert ud es gilt ch der Ketteregel für t 2 [;b]: (F f ϕ) 0 (t) =F 0 (ϕ(t)) ϕ 0 (t) = f (ϕ(t))ϕ 0 (t) Also ist (F f ϕ)(t)=f(ϕ(t)) eie Stmmfuktio vo f (ϕ(t))ϕ 0 (t) ud es gilt isgesmt: f (ϕ(t))ϕ 0 (t)dt = F(ϕ(t))j b = F(ϕ(b)) F(ϕ()) = Z ϕ(b) ϕ() f (x)dx 39

40 8 Differettio ud Itegrtio ffl Wie fuktioiert prtielle Itegrtio? Bei der prtielle Itegrtio mcht m Gebruch vo der Produktregel der Differettio. Es sei ;b 2 R;< b ud f;g : [;b]! R stetig differezierbre Fuktioe. D gilt: Zb f (x)g 0 (x)dx = f (x)g(x)j b Es sei F = fg. D gilt ch der Produktregel: Drus folgt d: f 0 (x)g(x)dx+ F 0 (x) = f 0 (x)g(x)+ f (x)g 0 (x) f 0 (x)g(x)dx f (x)g 0 (x)dx = F(x)j b = f (x)g(x)jb R R b Beispiel: Wir wolle (si2 b x)dx = (sixsix)dx usreche. D setze wir: f (x) = cosx; f 0 (x) =six;g(x) =six ud g 0 (x) =cosx. D gilt: b (six z} z} six)dx = cosx z } z} six j b ( cosx z } cosx z})dx f 0 (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g 0 (x) Wir schreibe u cos 2 x ls 1 si 2 x: D gilt lso: Z Z = cosx sixj b + b (si 2 x)dx = cosx sixj b + b 2 Z Z = cosx sixj b + b Z = cosx sixj b + b (cos 2 x)dx (cos 2 x)dx (1 si 2 x)dx 1dx = cosx sixj b +(b ) b = ( cosx six + x)j b (si 2 x)dx =( cosx six + x)j b Z (si 2 x)dx (si 2 x)dx (si 2 x)dx 40

41 8 Differettio ud Itegrtio Ud dmit: (si 2 x)dx = cosx six + x 2 b ffl Wie fuktioiert logrithmische Itegrtio? Es sei ;b 2 R; < b ud ϕ : [;b]! R eie stetig differezierbre Fuktio mit ϕ(t) 6= 0für lle t 2 [;b]. D gilt: Beweis: Zuerst schreibe wir R b Z ϕ 0 (t) b dt ϕ(t) = ϕ 0 (t) ϕ(t) = l ϕ(b) ϕ() ϕ 0 (t) dt ders. Wir setze f ϕ(t) (x) = 1 x. D gilt: f (ϕ(t)) ϕ 0 (t)dt = Die Stmmfuktio vo f ist F = ljxj. Also: Z ϕ(b) ϕ() Z ϕ(b) ϕ() f (x)dx = Z ϕ(b) ϕ() 1 x = ϕ(b) ljxjjϕ(b) = ljϕ(b)j ljϕ()j = l ϕ() ϕ() Beispiel: Wir bereche ds Itegrl des Tges: (tx)dx = six cosx dx = 1 x dx six cosx dx cosb = (ljcosxjjb )= l cos 41

42 9 Ueigetliche Itegrle 9 Ueigetliche Itegrle ffl Wie ist die Gmmfuktio deiert? Die Gmmfuktio Γ : R Λ +! R ist über ei ueigetliches Itegrl deiert: Z Γ(x) := 0 t x 1 e t dt ffl Wofür brucht m die Gmmfuktio? Zeige dies! Die Gmmfuktio iterpoliertdie Fkultät, so dß diese uf reelle Zhl usgeweitet werde k. Es gilt: Γ(x + 1) =x Γ() Für 2 N ist d Γ( + 1) =!. Beweis: Der Beweis wird mittels prtieller Itegrtio geführt: Z 0 t x z} f (t) e t z} g 0 (t) dt = t x e t j 0 Betrchte wir u t x e t j 0. Wir setze Z = t x e t j 0 + x 0 Z 0 x t x 1 e t dt t x 1 e t dt t x e t j 0 = lim!0;b! tx e t j b = lim!0;b! bx e b + x e = = 0 Also gilt doch isgesmt: Desweitere gilt Γ(1) =1: Z Γ(x + 1) = Z Γ(1) = 0 0 t 0 e t = t x e t = x Z 0 Z 0 t x 1 e t = x Γ(x) e t = e t j 0 = = 1 42

43 10 Fuktioefolge ud -reihe 10 Fuktioefolge ud -reihe ffl Ws ist eie Fuktioefolge? Es sei D R ud ( f (x)) 2N eie Folge vo reellwertige Fuktioe, die lle uf D erklärt sid. Kovergiert die Folge ( f (x 0 )) 2N für ei x 0 2 D, so heißt die Folge koverget i x 0. Kovergiert ( f (x)) 2N für jedes x 2 D, so wird durch f (x) := lim! f (x) uf D eie Fuktio deiert. ffl Ws ist der Uterschied zwische puktweiser ud gleichmäßiger Kovergez? Kovergiert eie Fukioefolge uf D gege eie Fuktio f (x), so k sie puktweise oder gleichmäßig gege f (x) kovergiere: Puktweise Kovergez: Bei der puktweise Kovergez gibt es zu jedem ε > 0 ei ε;x 0 2 N, welches vo ε ud x bhägt, so dß gilt: j f (x) f (x)j < ε für lle ε;x 0 Gleichmäßige Kovergez: Im Gegestz zur puktweise Kovergez hägt bei der gleichmäßige Kovergez ds ε ur och vo ε b, so dß gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es ei ε 2 N, so dß gilt: j f (x) f (x)j < ε für lle ε ud für lle x 2 D f(x) f (x) Ei Beispiel hierfür det sich im Roseberger-Skript: f (x) =x uf D =[0;1] ffl Ws ist eie Fuktioereihe? Es sei ( f ) 2N eie uf D R erklärte Fuktioefolge ud F(x) = f k (x) existiere für lle x 2 D. D heißt die Reihe f k(x) gleichmäßig koverget uf D, we die Folge der Prtilsumme s (x) = f k (x) 43