5.1 Einführung (Plattenkondensator, homogenes E-Feld)

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1 Kapitel 5: Elektostatisches Feld und Kapazitäten 5.1 Einfühung (Plattenkondensato, homogenes E-Feld) Zu Einfühung einnen wi uns an das elektische Stömungsfeld in einem leitfähigen Mateial, das zwischen zwei ideal leitfähigen Platten eingespannt ist. E n ϕ1 > 0 S n κ = 0 ϕ0= 0V I κ = 0 Fläche A Abstand Q d Salzwasse I= S i da = S A (A) Stömungsfeld (leitfähiges Mateial) n E n ϕ1 > 0 I = 0! κ = 0! κ = 0 Luft Isoliestoff R ϕ 0 = 0 V neue Situation (Isoliestoff) Bild 5.1: Vegleich von Stömungsfeld und elektostatischem Feld U=ϕ ϕ = E d= E ds i 1 0 n Sn =κ En S da = 0 (A) R = U/ I= d κ A (d) keine Stömung von Ladungen möglich κ > 0 Sn = 0 En = 0; E n vohanden I = 0 Elektostatisches Feld (weil keine Bewegung efolgt) Bestimmungsstücke: E, dw D, Q,, C dv Egebnis: Befindet sich zwischen den Platten ein leitfähiges Medium, so bewegen sich die feien positiven Ladungstäge entlang de duch die angelegte Potenzialdiffeenz (Spannung U) bewikten E-Linien und bilden einen Stom I. Befindet sich zwischen den Platten ein ideale Isoliestoff, so kann keine Bewegung von Ladungen efolgen. Die Ladungen bleiben ehalten. Es entsteht ein statisches E-Feld. Eine Ladungstennung kann z. B. duch Reibungsenegie efolgen (elektostatische Aufladung von Pesonen, Wolken bei Gewitte). Wid die Festigkeit des Isoliestoffes übeschitten, kommt es zu einem Ladungsausgleich (Blitz, Funken) duch einen leitfähigen Kanal. ET04_105.doc Skipt Elektotechnik fü MB, Teil 1, Ausgabe Mäz 004 Bü 69

2 Beispiel 1: Duchschlagsvesuch im Epeiment in de Hochspannungshalle Bild 5.: Duchschlag an einem Höneblitzableite in de Hochspannungshalle de TU Desden Wechselspannung 50 Hz, 1.8 MV Die elektische Feldstäke ist so goß gewoden, dass die daduch entstehenden Käfte die Luftmoleküle zeeißen und ionisieen. Die beweglichen Ladungstäge wanden als sichtbae Stom zu den jeweiligen Gegenelektoden. Im Hintegund ist de zweistufige Hochspannungs-Püftansfomato (U ma <. MV) zu sehen, von dem die Wechselspannung entnommen wid. De Blitzableite schützt eine nachfolgende Elektoanlage bei einem Einschlag vo Übespannung, die göße ist als seine Zündspannung. Die Enegie wid im Lichtbogen in Wäme umgewandelt. Beispiel : Aufbau eine Isolieung (Kabel) Bild 5.3: Aufbau de Feststoffisolation eines Einleite-Enegiekabels fü Mittelspannung (U < 30 kv) Dielektikum: Polyethylen Weitee Kunststoffschichten dienen zu Potentialsteueung (Vegleichmäßigung de Spannungsbeanspuchung) ET04_105.doc Skipt Elektotechnik fü MB, Teil 1, Ausgabe Mäz 004 Bü 70

3 5. Bestimmungsstücke des elektostatischen Feldes Stäke - elektische Feldstäke E (Abstand de E-Linien) Definition siehe Kapitel 1 Dichte - Veschiebungsflussdichte D (D-Linien) - Mateialgleichung D =ε0 ε E mit de Pemittivität ε und den Mateialkonstanten 1 As ε 0 = 8, elektische Feldkonstante im Vakuum Vm ε Pemittivitätszahl, [ε ] = 1 As V As Maßeinheitskontolle: [ D] = [ ε0] [ E] = V mm = m Satz: Das E-Feld veschiebt Ladungen (Dipolbildung im Wekstoff) beim Aufbau und Abbau des E-Feldes und speichet damit eine neue elektische Enegiefom, die kapazitive Enegie, die das Gegenstück zu magnetischen Enegie ist. Die Ändeung des Enegiezustands wikt nach außen (an den Anschlüssen) als ein Ladungstanspot (= Veschiebungsstom) Inhalt des Feldes - Veschiebungsfluss ψ (wenig wichtig) Satz von Mawell: Wid das Skalapodukt aus Veschiebungsflussdichte und Flächennomale übe eine geschlossene Obefläche integiet, so egibt D sich ida die Menge de in diese Obefläche eingeschlossenen Ladung. =ψ= Q Enegieinhalt eines Volumenelements an kapazitive Enegie Analogie zum Magnetfeld, abe D an Stelle von B: dw el (A) D E = dv Mit diesen Bestimmungsstücken kann die Eigenschaft eine Anodnung beechnet weden, beim Anlegen eine Spannung U eine bestimmte Menge an Ladung Q zu speichen. Diese Eigenschaft eine Elektodenanodnung heißt KAPAZITÄT. Ein Bauelement, dessen Kapazität benutzt wid, heißt Kondensato. ET04_105.doc Skipt Elektotechnik fü MB, Teil 1, Ausgabe Mäz 004 Bü 71

4 5.3 Kapazität Satz: Die Kapazität C eine Isolieanodnung ist die Göße de in ih speichebaen Ladung Q bezogen auf die anliegende Spannung U. Definition de Kapazität C: Beispiel Plattenkondensato: Q C = U Schaltzeichen analog zu L = ψ i i ϕ 1 = U D = 0 E D ε A ϕ 0 = 0 V Bild 5.4: Anodnung eines Plattenkondensatos Bestimmung de Ladungsmenge mit dem Satz von Mawell: 1 D da = D A cos0 = Q (A) ε0 ε E A = Q, E U = d Hüllfläche d U ε0 ε A = Q d Bemessungsgleichung de Kapazität Q A C = = ε0 ε U d Maßeinheitskontolle: [ ] As C = = 1F V (Faad) Zusammenschaltung von Kapzitäten Paallelschaltung U C 1, Q 1 C, Q C es Q es Bild 5.5: Zu Paallelschaltung von Kapazitäten (Kondensatoen) Q = C U U 1 = U = 0 C es = Q 1 + C C es = C 1 + C /:U Achtung, im Unteschied zu L und R wid hie bei Paallelschaltung addiet! ET04_105.doc Skipt Elektotechnik fü MB, Teil 1, Ausgabe Mäz 004 Bü 7

5 Reihenschaltung C 1 U C es Bild 5.6: Zu Reihenschaltung von Kapazitäten U 1 U Q 1 = Q = Q U = U 1 + U /:Q n 1 Ces = 1/ ν= 1 Cν Bei de Reihenschaltung addieen sich die Spannungen. Wegen de konstanten Ladung müssen die Kehwete de Kapazitäten addiet weden. Achtung, das ist geade umgekeht wie bei L! Stom Spannungsgleichung: Veschiebungsstom i v = i i v ( ) dq dcu du dc = = = C + u dt dt dt dt = 0 fü C konst. du iv = i= C dt An den Anschlüssen eines Kondensatos kann nicht unteschieden weden, ob die bewegten Ladungen duch Polaisation (Veschiebung) mit dem E-Feld in einem Isoliestoff ode duch Stömung von Ladungen in einem leitfähigen Medium entstanden sind. Dahe gilt i v = i. u, i u(t) Bild 5.7: Beispiel fü die Bildung des Veschiebungsstoms in einem Kondensato mit de Kapazität C +Q i(t) t -Q Im nächsten Abschnitt folgen Aussagen zu technisch ausgefühten Kondensatoen in de Elektoenegietechnik und de Elektonik. ET04_105.doc Skipt Elektotechnik fü MB, Teil 1, Ausgabe Mäz 004 Bü 73

6 5.4 Baufomen und Anwendung von Kondensatoen Kondensatoen weden sowohl in de de Elektoenegietechnik als auch in de Elektonik eingesetzt in Fom von: Folienwickelkondensatoen (Aufbau eines Wickels s. Bild 5.8) mit veschiedenem Dielektikum Kunststoff (K)-Kondensatoen (Metallfolie + Dielektikumsfolie) KP Polypopylen 50 V V / pf nf KS Polystyol billige Massenwae fü viele Anwendungen NF bis HF Metallpapie (MP)-Kondensatoen (metallisietes Papie) 630 V... 5 kv / 100 pf mf billige Leistungskondensatoen, Selbstheilungseffekt! metallisiete Kunststofffolie (MK)-Kondensatoen 50 V... kv / 100 pf µf hochwetige Leistungskondensatoen, selbstheilend Aluminium-Elektolyt (Al-Elko) (Al + Elektolyt im Bechegehäuse) 6 V V / 1 µf... 1 F hohe Enegiedichte, nu polaisiet beteibba! Siebkondensatoen Tantal-Elektolyt (Ta-Elko) (Beche- und Chip-Gehäuse) 6 V V / 100 mf... 1 mf hohe Enegiedichte, fü hochwetige Elektonikaufgaben Supe-Kondensato (eta goße Obefläche) V / 1 F F Neuentwicklung fü die Speicheung gößee Enegiemengen Bild 5.8: Aufbau eines Kondensatowickels Die Wickel können diekt vegossen (Elektonik) ode in Metallbeche (Leistungskond.) eingebaut weden. ET04_105.doc Skipt Elektotechnik fü MB, Teil 1, Ausgabe Mäz 004 Bü 74

7 Keamik-Kondensatoen (Aufbau s. Bild 5.9) Keamik-Kondensatoen nutzen spezielle Keamiken als Dielektikum, wobei es Keamiken mit etem hohe elative Pemittivität (ε : (Epsilan)) gibt. Keamik-Kondensatoen sind kleinäumig und weden fü geinge Spannungen (4 V bis 500 V) und Kapazitäten zwischen 1 pf bis 1 µf hegestellt. Bild 5.9: Aufbau eines Keamikkondensatos Das Dielektikum ist Sintekeamik. Die metallischen Beläge bestehen aus Palladium-Silbe-Legieungen. Die Einsatzfelde von Kondensatoen ichten sich nach Spannung und Kapazität. Bild 5.10: Einsatzfelde von Kondensatoen nach Spannungsfestigkeit und Kapazität (Quelle: Heing) Einsatzgebiete von Kondensatoen Enegietechnik: zu Blindleistungskompensation Glättung von Gleichspannungen zu Enegiespeicheung (Supekondensatoen einige F) Elektonik: in Schwingkeisen (L C Schwingungen) als Stützkondensatoen von Vesogungsspannungen als HF-Hochpass in analogen Schaltungen ET04_105.doc Skipt Elektotechnik fü MB, Teil 1, Ausgabe Mäz 004 Bü 75

8 5.4 Kaftwikung im elektostatischen Feld Die Kaftwikung lässt sich seh einfach am Beispiel eines Plattenkondensatos übe eine Enegiebilanz (Pinzip de vituellen Veschiebung) emitteln. D, E e Bild 5.11: Ableitung de Kaft mit dem Pinzip de vituellen Veschiebung mechanische Abeit = Zunahme an elektische Enegie j 1 j 0 D E = = F d dwel A d F εε A = U d 0 F Anwendung: Hochspannungsmessung d Kaft auf fei bewegliche Leitungstäge (vgl. Kapitel ) v y U Bild 5.1: Rauchgaseinigung duch Aufladung de Rauchpatikel und Abscheidung duch ein elektostatisches Feld Q Kaftwikung: F = E Q F 0 V Weitee Anwendungen: Ablenkung in Elektonenöhen Elektonenmikoskop ET04_105.doc Skipt Elektotechnik fü MB, Teil 1, Ausgabe Mäz 004 Bü 76

9 5.5 Genzflächen und inhomogene E-Felde Genzflächenbedingungen In Analogie zum Magnetfeld gelten auch fü die E- und D-Linien Regeln an den Genzflächen zwischen zwei Dielektika (Bechungsgesetz), die fü die Auslegung de Spannungsfestigkeit von Geäten genutzt weden. Längsgenzfläche dy y -E t Stoff mit ε 1 d D n1 d Stoff mit ε 1 E t1 y D n dy E Stoff mit ε E E 1 E n1 α 1 E t1 Stoff mit ε Stoff mit ε 1 Stoff mit ε Die E-Feldlinie wid im Stoff mit dem kleineen ε Quegenzfläche zu Nomalen hin gebochen! 1. Längsgenzfläche: E i d = 0; Et d Et1 d = 0;. Quegenzfläche: (Element) Aus obigem Bild kann das Bechungsgesetz abgeleitet weden: tan tan tan E E ε ε E ε ε α = ; t1 t1 1 0 t 0 α 1 = = ; tan En1 Dn1 Dn α E 1 t1 ε1 ε0 Dn = α Dn1 Et ε ε0 (A) E D t1 n1 E t α = E E t = D tanα tanα n1 n E n ε = ε 1 1 Bild 5.13: Zu Ableitung de Genzbedingungen fü ε 1 > ε! DidA = Q = 0; D d dy + D d dy = 0; n Ähnlich wie bei Magnetfelden können damit Feldbilde entwofen und beechnet weden, die sich übe Genzflächen hinweg und zwischen gekümmten Elektoden ausbilden. Diese Felde weisen eine äumlich unteschiedliche Feldstäke E auf (inhomogene Felde). ET04_105.doc Skipt Elektotechnik fü MB, Teil 1, Ausgabe Mäz 004 Bü 77

10 Inhomogene Felde in Luft Elektoden: Kugeln, Zylinde, Spitzen, Leitezüge auf Leiteplatten Beispiel 1: Feldbild eine positiv geladenen Kugel in Luft E, D Bild 5.14: Zu Ableitung des Feldbildes um eine Kugelelektode ε 0, ε = Q DidA = Q Satz von Mawell D 4π = Q E ( ) () Q = 4π ε 0 E () 1 1 ϕ () = E () d; ϕ() d ϕ() = E() d Zusammenhang zwischen elektische Feldstäke und Potenzial im elektostatischen Feld (Beispiel Kugelfeld) Beispiel : Feldbild zweie entgegengesetzt geladene Kugeln in Luft ϕ = 0 E 1 E Bild 5.15: Feldbildentwuf und Velauf von ϕ() und E () auf de Vebindung de Kugeln Je kleine de Kugeladius, um so höhe ist die jeweils adial geichtete Feldstäke E () 1/. + - Die Übelageung de Teilvektoen E fü beide Kugeln an einem Punkt im Raum egibt das esultieende E Feldbild. K ϕ = 0 E () ϕ() Anwendung: Beechnung de Höchstfeldstäken und Auslegung von Elektodenanodnungen zum Eeichen de Spannungsfestigkeit. ET04_105.doc Skipt Elektotechnik fü MB, Teil 1, Ausgabe Mäz 004 Bü 78