Elementare Integration und Anwendungen

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1 SoSe 6 Elementre Integrtion und Anwendungen Wiederholung von Vorkenntnissen 8 Bestimmtes Integrl (Bestimmtes Riemnn-Integrl) Dies ist die einfchste und gleichzeitig für ökonomische Anwendungen wichtigste Form eines Integrlbegriffes. Grob, zur Erinnerung: Auf gewissen Intervllunterteilungen/Zerlegungen von [, b] wird die Fläche etws zu kleiner (je mit dem minimlen Funktionswert) und etws zu großer (je mit dem mximlen Funktionswert) Rechteckstücke zwischen x-achse und (positiver) Funktionskurve gemessen. Für jede Zerlegung ergibt sich eine Untersumme und eine Obersumme dieser Rechtecke. Bei einem erfolgreichen Grenzübergng bzgl. immer feinerer Zerlegungen ergibt sich eine Zhl (die unter positiven Kurvenstücken die Fläche misst und nicht von der Whl der Zerlegungsfolge bhängt). Diese Zhl heißt dnn (Riemnn-)Integrl von f über [, b] und die Funktion f heißt über [, b] (Riemnn-)integrierbr Obersummenfolge... Grenzwert Untersummenfolge Schreibweise für den Zhlenwert eines Integrls über [, b]: f(t)dt; dbei heißt t die Integrtionsvrible und f der Integrnd. Wichtige Funktionentypen sind integrierbr: über [, b] stetige Funktionen sind über [, b] integrierbr, über [, b] monotone, beschränkte Funktionen sind über [, b] integrierbr. Insbesondere sind lso lle unsere Grundfunktionen ( Grundl. Nrn. /3/4) integrierbr. Zur konkreten Berechnung eines Integrls wird obige (leicht verständliche) Grenzwertmethode selten herngezogen. Andere Grenzübergänge (z.b. Stmmfunktionen), die ber nicht immer verfügbr sind, lssen oft llgemeinere, formelmäßige Berechnungen zu. Obiges Integrl ist ein Flächenstück unter f(x) = e x / / π ( DM-Schein) Mthemtik für Ökonomen - Cmpus Duisburg von 8

2 SoSe 6 8 Rechenregeln für bestimmte Integrle (R) (R) (R3) (R4) (f(t) ± g(t))dt = f(t)dt ± g(t)dt c f(t)dt = c f(t)dt (c R konstnt) f(t)dt = b f(t)dt, insbesondere f(t)dt = f(t)dt = c f(t)dt + c f(t)dt Regel 4 bedeutet insbesondere, dß stückweise stetige Funktionen (endlich viele Stücke) entsprechend stückweise integriert werden können. Die Funktionswerte n den Nhtstellen sind dbei wegen f(t)dt = ohne Bedeutung. Eine Gleichung hb ich zu diskutieren, doch knn ich vom Integrl nichts spüren. (Schiller: Wllenstein ) Bsp. Gefrgt: t für t < f(t) dt, wobei f(t) = 3/ für t = t 3 für < t 3 f(t) 5 f(t) dt misst die Fläche 3 zwischen der x-achse und der positiven Funktionskurve f(t) f(t) dt = R4 3 t/ dt++ (t 3 ) dt = R,R t t/ dt+ t dt 3 dt (Bsp. wird fortgesetzt) Ein wesentliches Hilfsmittel für Integrlberechnungen beruht uf den Grenzwertbildungen F (x) F (x ) x x F (x ) für die Ableitung n der Stelle x, x x pproximtiv: F (x ) F (x ) (x x ) F (x ), wenn x x klein ist. Wenn F (x ) = f(x ) ist, können lso (in einer ersten Näherung) rechteckige Flächenstücke der Form Breite Höhe = (x x ) f(x ) durch F (x ) F (x ) pproximiert werden. Gesucht: Funktionen, deren Ableitung ein gegebener stetiger Integrnd f ist. Ein wichtiges Ergebnis ( Nr. 84) besgt, dss sich für solche Funktionen die Berechnung eines bestimmten Integrls sehr vereinfcht. Mthemtik für Ökonomen - Cmpus Duisburg von 8

3 SoSe 6 8 F heißt Stmmfunktion zu einer Funktion f über [, b], wenn gilt: F (x) = f(x) für lle x [, b]. Mit F ist uch F + c, (c konstnt), eine Stmmfunktion. Die (bzgl. der Eigenschft Stmmfunktion unbestimmte) Zhl c heißt Integrtionskonstnte. 83 Stmmfunktionen zu Grundfunktionen Funktion f(x) Stmmfunktion F (x) x >, r Q, r : x r r+ xr+ + c x > : x ln x + c x > : ln x x ln x x + c x R, α : e αx α eαx Insbesondere b >, b : log b (x) := ln x ln b b >, b : b x := e x ln b ln b bx + c (x ln x x) + c ln b Bsp. f(x) F (x) f(x) F (x) f(x) F (x) + c x + c x 3 x 3/ + c log (x) ln (x ln x x) + c x x + c x 3 x3 + c ( )x ln(/) ( )x Leider hben mnche wichtige (sogr beliebig oft differenzierbre) Funktionen f keine wie in obiger Tbelle ngebbre Stmmfunktion, sondern nur eine Integrl-Stmmfunktion siehe Gleichung (ISF) unten, z.b. die Dichte f(x) = e x / / π der Stndrdnormlverteilung Sttistik Weitere Sprechweisen für Stmmfunktionen F Unbestimmtes Integrl im Hinblick uf eine gewisse Umkehrung der Differentition: F ist eine (mögliche) Aufleitung von f (und f die Ableitung von F ). Übliche Schreibweise für Stmmfunktionen: F (x) = R f(x) dx + C. Wir werden diese Schreibweise nicht verwenden, d der gleichzeitige Gebruch des Symbols x ls Vrible (links) und ls Integrtionsvrible (rechts) hier in einem gewissen mthemtischen Sinne korrekt ist, in der Folge ber zu großen Verständnisproblemen führt und oft zu fehlerhften Schreibweisen beim bestimmten Integrl. + c Mthemtik für Ökonomen - Cmpus Duisburg 3 von 8

4 SoSe 6 84 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Ist die Funktion f über einem Intervll [, b] stetig und ist F eine Stmmfunktion zu f, dnn gilt (HDIR) F (b) F () = f(t) dt. Übersichtlich und nützlich für lnge Ausdrücke ist die Schreibweise: [F (t)] b := F (b) F () Konstnte Summnden in einer Stmmfunktion (Integrtionskonstnten c) verschwinden dbei durch die Differenzbildung. Wegen cf () cf (b) = c(f (b) F ()) können ußerdem konstnte Fktoren usgeklmmert werden, z.b. [ 3 t3/ ] b ( = 3 [t3/ ] b ) = 3 (b3/ 3/ ). Jetzt, will mir scheinen, müsst ich ugenblicks ds längst gesuchte Integrl gewinnen. (Schiller: Wllenstein ) Bsp. (Fortsetzung) f(t) dt = t/ dt + t dt 3 dt = Bsp. [ 3 t3/ ] + [ 3 t3 ] 3 [t] = 3 ( ) + 3 (8 ) 3 ( ) = Integrl-Stmmfunktion Vrible Integrtionsgrenze x Umgekehrt zu (HDIR) definiert für einen über [, b] stückweise (endlich viele Stücke) stetigen Integrnden f die Funktion (ISF) F (x) := F () + x f(t) dt für x b eine Stmmfunktion von f (d.h. lso F (x) = f(x) für x b, evtl. nicht n den Nhtstellen ) F () ist hierbei die Festlegung für die Integrtionskonstnte, die sich für x = ergeben soll, und die meist eine inhltliche (ökonomische) Bedeutung ht. Diese Festlegung (Schreibweise) ist dnn uch in direkter Übereinstimmung mit (HDIR), d.h. F (x) F () = x Bsp. 3 f(t) dt. Mit f(x) us Bsp. sei F (x) := F () + x f(t) dt für x. Für x < ist x f(t) dt = x t/ dt = 3 x3/ ; f(t) dt = für < x ist x f(t) dt = f(t) dt+ x f(t) dt = 3 + x t dt 3 t/ dt = 3 ; x dt = (x3 ) 3 (x ) = 3 x + 3 x3. Also { F () + F (x) = 3 x 3/ für x F () + 3 x + 3 x3 für < x (mit F (x)=f(x) für x ). Mthemtik für Ökonomen - Cmpus Duisburg 4 von 8

5 SoSe f(t) 3 Fläche = F (.8) F () 3.8 t F (x) F () = x f(t) dt F (.8) F () = F () F () = /3 3.8 Sind z.b. im Rhmen einer Mrginlnlyse im Bereich t b die Grenzkosten f(t) der Ausgngspunkt, dnn werden (für x b) durch F (x) = F () + x f(t) dt die Gesmtkosten drgestellt, durch F () die Fixkosten und durch F (x) F () = x f(t)dt die vriblen Kosten. Weitere Hilfsmittel zur Berechnung bestimmter Integrle 86 Prtielle Integrtion beruht uf der Produktregel der Differentition (PI) ( f (t) g(t) ) dt = [f(t) g(t)] b ( f(t) g (t) ) dt Bsp. 4 Für α, f(t) = α eαt und g(t) = t gilt wegen eαt dt = [ α eαt ] b : b (eαt t) dt = [ α eαt t] b α eαt dt = α [ eαt t] b ( α ) [ e αt ] b (PI) = α (eαb b e α ) ( α ) (e αb e α ), z.b. für = : t eαt dt = α (beαb ) ( α ) (e αb ) und für =, α = : t e t dt = (be b ) (e b ) = e b (+b) 87 Substitutionsregel beruht uf der Kettenregel der Differentition (SR) ( f(g(t)) g (t) ) dt = g(b) g() f(z) dz, wobei z = g(t) dz = g (t)dt Bsp. 5 Bsp. 5 b (e t / t) dt =? (e t / t) dt = g (t) g(t) / (SR) z = g(t) = t /, dz = t dt, f(z) = e z, lso / e z dz = [ e z ] b / / = e / e b / dt =? (mit g(t) > für lle t [, b]) z = g(t), dz = g (t) dt, f(z) = /z, lso g (t) g(t) dt = g(b) (SR) g() z dz = [ln z]g(b) g() z.b. mit z =g(t)=ln t, dz = t dt: = ln g(b) ln g() = ln( g(b) g() ) t ln t dt= ln ln z dz =[ln z]ln ln x =ln( ln ln ) Mthemtik für Ökonomen - Cmpus Duisburg 5 von 8

6 SoSe 6 88 Uneigentliche (bestimmte) Integrle Grenzwerte von Integrlen Für eine stetige Funktion können (ber müssen nicht) die Grenzwerte f(t) dt := lim f(t) dt := lim f(t) dt uneig. Integrl von f über [, ] f(t) dt uneig. Integrl von f über [, b] existieren. Ist D(f) = R, so knn (ber muss nicht) der Grenzwert f(t) dt := d f(t) dt + d f(t) dt uneig. Int. von f über R existieren, wobei d fix (die Whl von d ändert den Grenzwert nicht) Bsp. 6 (λ > fix) λe λt dt = [ e λt ] b = e λ b, lso λe λt dt =. Anders usgedrückt: Die Integrl-Stmmfunktion (F()=) { für x < F (x) := x λe λt dt = e λx erfüllt F ( ):= lim F (x) =. für x x Die obige Grenzwertbildung (Integrtionsgrenzen gegen ± ) ist vor llem für die Whrscheinlichkeitsrechnung von Bedeutung (Bsp. 6 für die Behndlung von Wrtezeiten in Bedienungsstrukturen ). Ebenso knn ein Grenzübergng versucht werden, wenn der Integrnd n einer der Integrtionsgrenzen nicht beschränkt ist (z.b. lim <x f(x) = ± ). Bei Them 3 (LUGS) wren etw die Funktionen vom Typ f(x) = ( x )r = x r mit r > und D(f) = R > von Interesse: Bsp. 7 Für < b ist t r dt = { r [t r ] b für < r, r [ln t] b für r = Mit < bzw. b ergibt sich für die rechts stehenden Ausdrücke: { lim < r (b r r )= r b r für < r < und lim (ln b ln ) = für r > < { für < r < lim r (b r r )= und lim (ln b ln ) = r r für r > Die Grenzwertbildung wird wiederum typogrfisch in die Integrtionsgrenze übernommen, z.b. wenn ( und b = ) bzw. ( = und b ): { 89, t r dt := lim < t r dt = r < r <, r {, < r t r dt := lim t r dt =, r > r z.b. lso t / dt = und t dt = = t dt und t 3/ dt = Mthemtik für Ökonomen - Cmpus Duisburg 6 von 8

7 SoSe 6 (Vereinfchte) Ökonomische Anwendungsbeispiele Ergänzungen Bsp. 8 Beispiel für eine Untersumme: Preisdifferenzierung eines Anbieters (z.b. über Mengenrbtte oder Billigzugben ) Preis Preis-Abstz-Funktion des Anbieters p - p -. p 5 - p : Unverbindl. Preisempfehlung des Herstellers (Mximlpreis) p 5 : Schmerzgrenze des Anbieters (Minimlpreis) x x... x 5 Menge Die Rechteck-Flächen (je Preis Menge) beschreiben den bei Preisdifferenzierung insgesmt erreichbren Erlös: p x + p (x x ) p 5 (x 5 x 4 ) Verfeinerte Untersummen (idelisiert durch den Grenzwert: ds Integrl), ergeben sich bei Aggregtion: Bsp. 9 Interprettion von Flächen: Konsumenten-/Produzentenrente In einem Mrktmodell für ein Gut sind eine (monoton fllende) Nchfrgefunktion p N (x) und eine (monoton wchsende) Angebotsfunktion p A (x) gegeben, die beschreiben, welchen (Stück-)Preis p N (x) die ggregierte Nchfrge x zu zhlen bereit ist und zu welchem klkuliertem (Stück-)Preis p A (x) ds ggregierte Angebot x gemcht wird. Preise und Mengen werden idelisierend ls beliebig (genügend oft) teilbr ngenommen. Die Schnittpunktbedingung p A (x) = p N (x) ergibt den Gleichgewichtspunkt (x, p ) für dieses Gut. Der Profitbereich der Nchfrge (der durch E = p x nicht bgeschöpfte mögliche Erlös bei Nchfrgern mit höherer Preisbereitschft ls p ) heißt Konsumentenrente, der Profitbereich des Angebots (der ls Teil des Gesmterlöses E = p x zusätzlich bgeschöpfte Erlös von Anbietern mit niedrigerer Preisklkultion ls p ) heißt Produzentenrente. Preis p A (x) Gleichgewichtspunkt (x, p ) KR p - PR x p N (x) Menge mit dem (Mrkt-)Erlös E = p x Konsumentenrente bei (x, p ) KR = x p N (t) dt p x Produzentenrente bei (x, p ) PR = p x x p A (t) dt Mthemtik für Ökonomen - Cmpus Duisburg 7 von 8

8 SoSe 6 Bsp. Zeitdiskrete und zeitstetige Zhlungswerte (Summen und Integrle) Betrchteter Zeitrum = [, T ] (Lufzeit T) Bewertungszeitpunkt t z.b. Brwert: t =, Endwert: t = T Bechte: Für q > ist die llgemeine Exponentilfunktion q x := e diskrete Zeit (Zeitpunkte t N) stetige Zeit (t R) Zhlungswert in t K t = K ( + i) t i = Zinsrte je Zinsperiode Zhlungswert in t z.b. t = t = T.58 ( + i) t = e α t..5 Strtkpitl K keine weitere Zhlung 3 Zeitdiskrete Aufzinsung (Treppenfunktion) und zeitstetige Aufzinsung mit äquivlenten Zinssätzen i =.5 und α = ln(.5) Links: Einfche Aufzinsung von g Rechts: Rte A = g bzw. A = α i A x ln q K t = K e α t α = ln( + i) = Zinsintensität t 5 KT (t = T ) Rtenzhlungen in [, T ]: konstnte Rte A bzw. A = (α/i) A K t =( + i) t T (+i) T (+i) A K t = e α(t T ) A = ( + i) t T i (eα T ) T j= A ( + i)j = e α t A = ( + i) t i ( e α T ) T j= A ( + i) j = eα t T HDIR A α i e α t dt (Zhlung nchschüssig) (i = e α ) Die Umrechnungen sind so, dss unten A(t) zum Fktor in t psst Links und rechts stehen zu diskreten Zinszeitpunkten die gleichen Zhlenwerte, hierzu wurden gleichwertige Zinssätze gewählt (i und i = α = ln( + i)) und gleichwertige konstnte Zhlungsflüsse (A und A = (α/i)a). Bei kurzen Zinsperioden oder zeitbhängig vriierenden Zhlungen (die dnn ls stückw. stetiger zeitbhängiger Zhlungsfluss A(t) ufgefsst werden, z.b. die Steuereinnhmen eines Bundeslndes), knn ds zeitstetige Modell gut pssen: Zhlungswert eines stetigen Zhlungsflusses A(t) im Zeitrum [T, T ], bewertet zum Zeitpunkt t : K [T,T ](t ) = e αt T T A(t)e αt dt Mthemtik für Ökonomen - Cmpus Duisburg 8 von 8 T