Grundlagen der deskriptiven Statistik

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1 . Ihaltsverzeichis. Ihaltsverzeichis. Begriffsbestimmug ud Ablauf eier empirische Utersuchug 3 3. Grudbegriffe ud Typisierug statistischer Merkmale 5 4. Aufbereite vo Date 0 5. Darstelle vo Date 3 6. Bestimmug vo Kegröße 6. Kegröße eidimesioaler Verteiluge 6.. Maße der zetrale Tedez 6.. Maße der Streuug (Dispersiosmaße) Beispielaufgabe 3 6. Zweidimesioale Verteiluge Graphische Auswertug eies Zusammehags Recherische Auswertug eies Zusammehags Der Produkt-Momet-Korrelatioskoeffiziet (PMK) Der Phi-Koeffiziet Korrelatio ud Kausalität Lieare Regressio 47

2 . Begriffsbestimmug ud Ablauf eier empirische Utersuchug Was bewirkt mediale Gewalt bei Kider ud Jugedliche? Gibt es eie Zusammehag zwische Eikomme der Elter ud Schulabschluss? Wie ist der Wissesstad deutscher Schüler im iteratioale Vergleich? Wirkt ei eues Medikamet besser gege Kopfschmerze als diejeige, die am Markt etabliert sid? Was sid Kude bereit, für ei eues Produkt zu zahle? Diese ud ähliche Fragestelluge sid Ausgagspukt empirischer Forschug i der Erziehugswisseschaft, Soziologie, Psychologie, Pharmazie oder i der Marktforschug. Aber auch adere Wisseschafte greife heute mehr de je auf Statistike zurück. Udekbar wäre zum Beispiel Wahlabede ohe Wahlprogose, ei Sotag ohe Politbarometer. Um Frage der Qualitäts-sicherug, Retabilität ud Marktforschug geht es dem Wirtschaftswisseschaftler. Kurzum: Empirischstatistische Methode sid fester Bestadteil wisseschaftlicher Forschugsprozesse. Durch techologische Iovatioe, vor allem im Bereich statistischer Software, ist heute vieles eifacher ud beutzerfreudlicher geworde als früher. Deoch sid für ei kozeptioelles Verstädis vo Forschugs-prozesse ud die korrekte Iterpretatio statistischer Date ach wie vor methodologische Grudbegriffe ud mathematische Grudlage eie uverzichtbare Voraussetzug. 3. Dateaufbereitug (Skalierug ud Typisierug statistischer Merkmale; Auswertug ud Darstellug vo Date); 4. Dateaalyse (Häufigkeite ud Kozetratiosmessug; Maße der zetrale Tedez; Streuugsmaße; Korrelatiosaalyse; Regressiosaalyse); 5. Iterpretatio der Date ud 6. Verwertug der Date (Pfeiffer/Püttma, 008, S.9-4). Wir werde us im Rahme des Mathematikuterrichts (leider) icht weiter mit dem forschugslogische Ablauf befasse köe. Stattdesse steht hier die deskriptive Statistik im Mittelpukt der folgede Überleguge. Allgemei umfasst der Begriff Statistik alle quatitative Aalysetechike mittels derer empirische Date zusammefassed beschriebe werde köe (Deskriptivstatistik) bzw. durch die sich auf Grud vo empirische Date Aussage über die Richtigkeit vo Hypothese formuliere lasse ( Iferezstatistik). Arbeite mit statistische Methode bedeutet aber icht ur dressiere vo Zahle, soder isbesodere auch die präzise Plaug ud Durchführug realitätsbezogeer Aalyse. Dabei folgt jede empirische Utersuchug eiem forschugslogische Ablauf, der i sechs Schritte utergliedert werde ka:. Plaug (Aufgabestellug, Zielsetzug, Koste- ud Zeitrahme);. Dateerhebug (Erhebugstechik: Primärerhebug, Sekudärerhebug; Erhebugsumfag: Festlegug der zu Befragede bzw. der Befragte; Art der (Primär-)Erhebug: Beobachtug, schriftliche Befragug, müdliche Befragug); 3 4

3 3. Grudbegriffe ud Typisierug statistischer Merkmale Für die empirische Forschug sid Begriffe, die eie Realitätsbezug aufweise sogeate deskriptive Begriffe vo zetraler Bedeutug. Dabei uterscheide wir prizipiell drei Bezugsebee, die de Objektbereich eier Utersuchug strukturiere: Tab.: Bezugsebee deskriptiver Begriffe weils mit eigee Risike ud Probleme behaftet sid. Wird der im Operatioalisierugsprozess hergestellte Beobachtugsbezug quatifiziert, so spricht ma vo eier Messug. Der hier verwadte Messbegriff ist bewusst weit gefasst, ämlich als systematische Zuordug vo Zahle zu Objekte gemäß eier Regel. Diese Zuordug ergibt eie sogeate Skala. Die verschiedee Skaletype sid i Tabelle zusammegestellt. Bezugsebee Objekte (Merkmalsträger; Grudgesamtheit): Persoe, soziale Systeme Merkmale (Variable): Idividualmerkmale, Kollektivmerkmale, Kotextmerkmale Auspräguge (Merkmalsauspräguge, Werte): kategoriale, komparative, metrische Beispiele alle Schüler der FOS, alle Schule i Lippstadt (Wer wird befragt?) Geschlecht, mathematisches Iteresse, Alter, Größe, Liebligsmusiker, Schulklima, Arbeitsklima, Krimialitätsrate (Woach wird gefragt?) Kategoriale (klassifikatorische), komparative, metrische [mälich/weiblich], [hoch/mittel/iedrig], [7/8/9/0,...], [0-9] (Welche Atworte sid möglich? Was ka agekreuzt werde?) Die folgede Zusammehäge gelte dabei für jede statistische Utersuchug. Die Persoe oder Objekte eier statistische Utersuchug bilde die Grudgesamtheit. Die Elemete dieser Grudgesamtheit sid Merkmalsträger vo verschiedee zu utersuchede Merkmale, die i uterschiedliche Merkmalsauspräguge auftrete köe. Dabei wird zwische quatitative ud qualitative Merkmale uterschiede. Bei quatitative Merkmale lasse sich die Merkmalsauspräguge durch Zahlewerte ausdrücke ud so i eier metrische Skala erfasse, ma spricht daher auch vo metrische Merkmale. (Itervallskala ud Ratioalskala Tab. ) Der Zusammehag zwische de drei Ebee stellt sich wie folgt dar: Gegestad der Forschug sid Objekte (Persoe, Kollektive, Situatioe). Diese köe i der Regel icht i ihrer Gesamtheit utersucht werde, soder ur i Bezug auf gaz bestimmte Charakteristika (Merkmale, Eigeschafte) hisichtlich derer Ausprägug sie sich gleiche oder uterscheide. Diese Merkmale werde daher auch als Variable bezeichet, da sie bei uterschiedliche Objekte uterschiedliche Werte aehme köe. Die Beschreibug der Verteilug dieser Werte ud die Zusammehäge zwische ihe ist eie der Hauptaufgabe der Statistik (Pfeiffer/ Püttma, 008, S.7). Eie weitere zetrale Aufgabe vo empirische Forschugsmodelle ist die Verbidug vo der begrifflich-theoretische Ebee ud der Beobachtugsebee. Um diese Verbidug herzustelle, müsse Begriffe der theoretische Ebee i Forschugsoperatore übersetzt, d. h. operatioalisiert werde. Grudsätzlich bedürfe sämtliche Begriffe der Operatioalisierug. Im Falle direkter Beobachtugsbegriffe (Alter, Eikomme, Geschlecht) ist diese relativ uproblematisch. Hadelt es sich jedoch um Begriffe, die icht direkt beobachtbar sid (Kreativität, Itelligez, Umweltbewusstsei) so ist die Operatioalisierug ei Übersetzugsprozess, der sich über mehrere Stufe hiziehe ka, die wiederum je- 5 Die Merkmalsauspräguge vo qualitative Merkmale werde icht durch Zahle, soder durch Name oder Eigeschafte dargestellt (Kategorie, Klasse). Köe dabei die verschiedee Merkmalsauspräguge eies qualitative Merkmals i eie atürliche Reihefolge oder Ragfolge gebracht werde, so köe die Merkmalsauspräguge i eier sogeate Ordialskala ( Tab. ) erfasst werde. Vo eier atürliche Reihefolge spricht ma da, we sich diese Reihefolge umittelbar aus de Merkmalsauspräguge ergibt ud alterative Reihefolge ausgeschlosse sid. Dabei gilt eie Umkehrug der Reihefolge (zum Beispiel: Sortierug vo schlecht zu gut statt vo gut zu schlecht) keie Rolle, da letztlich die Abfolge erhalte bleibt. Köe die verschiedee Merkmalsauspräguge eies qualitative Merkmals icht i eie atürliche Reihefolge oder Ragfolge gebracht werde, so spricht ma vo eier sogeate Nomialskala ( Tab. ). Das Skaleiveau der bei eier empirische Utersuchug erfasste Merkmale hat Kosequeze für die mit diese Merkmale bzw. ihre Merkmalsauspräguge 6

4 durchführbare mathematische Auswertuge (wie z.b. Mittelwertbestimmug oder Korrelatiosutersuchug) auf die i de folgede Kapitel och eigegage wird. Um festzustelle, welches maximale Skaleiveau ei Merkmal besitzt, hat sich i der Praxis das folgede Schema bewährt: Tab.: Skaleiveaus ach Steves Skala Beschreibug / Bemerkuge Beispiele Nomialskala Edliche Azahl diskreter qualitativer Merkmalsauspräguge ohe atürliche Reihefolge Gleichheit ud Ugleichheit Auf eier Nomialskala ist ur die Zuordug vo Häufigkeite (Zähle) sivoll. Parteizugehörigkeit Geschlecht Beruf Natioalität... Drücke die Messwerte Größer/ Kleier-Beziehuge aus? (atürliche Reihefolge?) Ja! Sid die Messwerte metrisch (messbar)? Nei! Nei! Nomialskala Ordialskala Ordialskala oder Ragskala Edliche Azahl diskreter (komparativer) Merkmalsauspräguge mit atürlicher Reihefolge Iteresse (groß, weig, klei) Ja! Ordugsrelatioe Gleichheit ud Ugleichheit; größer ud kleier Wir verwede sie da, we zur Quatifizierug keie Maßeiheite gegebe sid, d. h. wir köe icht uterscheide, wie groß die Abstäde zwische de Ragplätze sid. Grad der Zustimmug (hoch, weiger hoch, mittel, iedrig, keie) Hierarchie (Schulabschluss, Zugart bei der Deutsche Bah, etc.)... Hat die Skala eie atürliche Nullpukt? Ja! Nei! Itervallskala Itervallskala (metrische Skala) Ratioalskala oder Verhältisskala (metrische Skala) Potetiell uedliche Azahl kotiuierlich abgestufter quatitativer Merkmalsauspräguge mit atürlicher Ragfolge; der Nullpukt ud die Eiheite der Skala köe jedoch willkürlich gewählt werde. Vergleiche ud Differeze köe hier gebildet ud iterpretiert werde. Die Bildug vo Verhältisse (doppelt so groß, halb so viel, ) ist jedoch usiig. Potetiell uedliche Azahl kotiuierlich abgestufter quatitativer Merkmalsauspräguge mit atürlicher Ragfolge, aber mit eiem atürliche Nullpukt, der icht willkürlich gewählt werde ka Hier ist auch die Bildug vo Verhältisse (Quotiete) vo Werte ist möglich. Temperature i Celsius oder Fahreheit Datum Pukte im Itelligeztest Läge Masse (Gewicht) Fläche Zeitdauer... Ratioalskala Abb.: Etscheidugshilfe zur Bestimmug des maximale Skaleiveaus Damit die eue Begriffe icht im leere Raum bleibe, solle vier Beispiele diese verdeutliche. Beispiel (Ratioalskala metrische Skalierug) Die durchschittliche Puktzahl, die i eiem Mathematiktest der FOS a erreicht wurde, beträgt 6,5 Pukte. Hier bilde die Schülerie ud Schüler der Klasse FOS a die Objektebee, also die Persoe, a dee das zu messede Merkmal beobachtet wird; das zu messede Merkmal ist die Puktzahl im Mathematiktest mit de (Merkmals-) Auspräguge,, 3, (Pukte). Die hier verwedete Pukteskala weist Größer/Kleier- Beziehuge auf, ist gleichabstädig ud besitzt eie atürliche Nullpukt. Demzufolge hadelt es sich hier um eie Ratioalskala (Verhältisskala). 7 8

5 Beispiel (Nomialskala) Vo de Klasse des Berufskollegs der Marieschule Lippstadt e.v. gehöre im Schuljahr 007/008 acht zur FOS, drei zur AHR, sechs zur FSP ud vier zur BFK. Merkmalsträger ist hier das System Berufskolleg, das gemessee Merkmal die Schulform mit de Merkmalsauspräguge FOS, AHR, FSP bzw. BFK. Offesichtlich drückt die Skala keie Größer/Kleier-Beziehug aus, somit liegt hier eie Nomialskala der Messug zugrude. Beispiel (Ordialskala) Bei eier Umfrage uter de Fußgäger i der Fußgägerzoe i Lippstadt äußerte sich 35% zufriede mit der Eikaufssituatio i Lippstadt, 45% ware weiger zufriede ud 0% icht zufriede. Merkmalsträger sid die Fußgäger i der Fußgägerzoe Lippstadts, das gemessee Merkmal ist die Zufriedeheit mit der Eikaufssituatio. Die Zufriedeheit wurde auf eier Ordialskala gemesse. Die ist umittelbar erkebar a de Auspräguge zufriede, weiger zufriede bzw. icht zufriede, die eie Ragfolge bilde. Hiweis: Sortiert ma die Auspräguge vo icht zufriede bis zufriede so bleibt die selbe atürliche Reihefolge erhalte. 4. Aufbereite vo Date Wir habe bereits gelert, dass bei statistische Utersuchuge Date vo Persoe oder Objekte bezüglich bestimmter Merkmale erhobe ud erfasst werde. Im Folgede soll es darum gehe, wie diese Date aufbereitet bzw. dargestellt werde köe, um sie beispielsweise i eier Präsetatio oder i eiem (Forschugs-) Bericht verwede zu köe. Die eifachste Form der Aufbereitug vo Date ist, festzuhalte, mit welcher Häufigkeit ei gemessees Merkmal auftaucht. Dabei uterscheide wir i der eifachste Form zwische absoluter ud relativer Häufigkeit. Defiitio (absolute Häufigkeit) Die absolute Häufigkeit H ( x i ) eizeler Merkmalsauspräguge x i erhalte wir durch eifaches Zähle. Diese Azahl gibt a, wie oft eie bestimmte Ausprägug eies bestimmte Merkmals vorkommt. Beispiel (absolute Häufigkeit) Bei der Rückgabe eier Klausur wird häufig der Notespiegel a die Tafel geschriebe. Wir ehme a, dass bei eier Mathematikklausur folgede Note erzielt worde sid: Tab.3: Noteverteilug i eier Mathematikklausur Beispiel (Itervallskala, Ratioalskala metrische Skalierug) Die Schüler messe im Biologieuterricht die Temperatur des Schulteiches mit 8,8 C bzw. 9,95 K. Am Objekt Schulteich wird das Merkmal Temperatur mit Hilfe eies Thermometers mit der Celsiusskala gemesse. Die Temperaturskala ach Celsius ist gleichabstädig ud hat eie willkürliche Nullpukt (Warum sollte gerade der Gefrierpukt vo Wasser als Nullpukt sivoll sei? Der Nullpukt eier Messug i Kelvi K ist die absolut tiefste Temperatur die physikalisch erreicht werde ka, sie liegt bei 73,5 C; 0 C etspreche demach 73,5 K. ). Somit hadelt es sich bei Messuge i C um eie Itervallskala, wohigege i K agegebee Temperature dem Ratioalskaleiveau etspreche. Beide Temperatur-messuge sid metrisch skaliert. Hier gilt H ( ) ; H ( ) 4 ; H ( 3) 7 ; H ( 4) 5 ; H ( 5) 5 ; H ( 6). Defiitio (relative Häufigkeit) Die relative Häufigkeit h x ) eier Merkmalsausprägug erhalte wir durch Quotietebildug. Es ist Note Azahl ( i H( x ) absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägug h( x i ) i. Gesamtzahl aller Merkmalsauspräguge Die relative Häufigkeit eier Merkmalsausprägug gibt also de Ateil a, de diese Ausprägug uter alle betrachtete Persoe oder Objekte (Merkmalsträger) hat. 9 0

6 Diese Ateile werde durch gewöhliche Brüche, Dezimalbrüche oder i Prozet agegebe. Dabei gilt für die Ermittlug des Prozetwertes: h ( x ) h( x ) 00%. % i i Beispiel (absolute, relative ud prozetuale Häufigkeit) Wir betrachte och eimal user Beispiel Klassespiegel. Isgesamt habe 3 Schülerie ud Schüler die Mathematikklausur mitgeschriebe. Damit ergebe sich für die relative Häufigkeite die Werte () H 5 5 () H h () 0,08 ; h () 0, 6 usw. Die etsprechede prozetuale Häufigkeite sid da usw. h () h() 00% 0,08 00% 8% ; % h () h() 00% 0,6 00% 6 % ; % Isgesamt ergibt sich da für das Beispiel die folgede Häufigkeitstabelle: Tab.4: Häufigkeite i eier Mathematikklausur Note H h 0,08 0,6 0,8 0,0 0, 0,08 h % 8% 6% 8% 0% 0% 8% Am Beispiel lässt sich ferer verdeutliche, dass die Summe der relative bzw. prozetuale Häufigkeite eier vollstädige Erhebug, bei der sich die Merkmalsauspräguge icht überscheide, gleich bzw. 00% ist. Mit dieser sogeate Summeprobe ka die Vollstädigkeit eier Erhebug oder die Richtigkeit eier Rechug überprüft werde. Tabelle, i dee die verschiedee Auspräguge eies Merkmals zusamme mit de relative (prozetuale) Häufigkeite abgedruckt werde, bezeiche wir als Häufigkeitsverteilug eies Merkmals. Die obige Tabelle lasse sich ebefalls verstehe als Wertetabelle eier Fuktio Merkmalsausprägug a Häufigkeit der Merkmalsausprägug. We die Azahl der Merkmalsträger zu gerig oder die Azahl der Merkmalsauspräguge zu hoch ist, ka es mituter sivoll oder gar otwedig sei, verschiedee Merkmalsauspräguge zusammezufasse. Dies ka geschehe bei metrische Merkmale, idem Itervalle vo Messdate gebildet werde, bei omiale Merkmale ohe atürliche Reihefolge, idem mehrere Eigeschafte/Kategorie zusammegefasst werde, bei Ragmerkmale, idem die Azahl der Räge durch Zusammefassug reduziert wird. Der Vorteil solcher Klassebilduge besteht i der Übersichtlichkeit der Präsetatio. Der Nachteil liegt dari, dass durch die Zusammefassug Iformatioe verlore gehe, die für eie spätere Iterpretatio durchaus wichtig sei köte. Beispiel (Klassebildug) I der folgede Tabelle wurde die Iteretutzug der Schülerie us Schüler der FOS Klasse a eiem ormale Motag erfasst. Dabei ergabe sich folgede Werte [i Miute]: Tab.5: Nutzug des Iterets vo Schülerie ud Schüler der FOS Diese Variable köe z.b. zu folgede Klasse zusammegefasst werde: weiger als eie Stude: Itervall: I [ 0;60[ eie Stude bis weiger als zwei Stude: Itervall: I [ 60;0[ zwei Stude bis weiger als drei Stude: Itervall: I [ 0;80[ drei Stude bis weiger als vier Stude: Itervall: I [ 80 40[ 3 4 ; Achtug: 0 mi gehöre ach der obige Eiteilug zum Itervall I 3, icht zu I. Hiweis: Die Itervalle müsse de betrachtete Zahleraum vollstädig erfasse ud die Zuordug zu de Itervalle muss eideutig sei. Hiweis: Die Itervalle köe auch uterschiedlich groß sei. (Im obige Beispiel umfasse alle Itervalle 60 Miute)

7 5. Darstelle vo Date es sich um ei Balkediagramm ( Abb.3). Ei solches empfiehlt sich vor allem, we eie größere Azahl vo Kategorie vorliegt. Nebe der Tabelleform lasse sich Date auch graphisch darstelle. Die gägigste Forme der graphische Darstelluge wie Säulediagramm, Balkediagramm, Blockdiagramm, Kreisdiagramm bzw. Polygozug werde im Folgede exemplarisch dargestellt. Dabei bildet stets die bereits im obige Beispiel zu de verschiedee Häufigkeite aufgeführte Mathematikklausurstatistik (Tab.6 zeigt diese hier och eimal, um ei Zurückblätter zu vermeide) die Grudlage der folgede Abbilduge. Auf eie gesoderte Defiitio der verschiedee Darstellugsarte werde wir jedoch verzichte Note 3 Ergebis der Mathematikklausur Tab.6: Häufigkeite i eier Mathematikklausur ( Tab.4) Note Absolute Häufigkeit H h 0,08 0,6 0,8 0,0 0, 0,08 h % 8% 6% 8% 0% 0% 8% Säulediagramme ( Abb.) bestehe aus ebeeiader stehede, gleich breite Rechtecke; die Höhe der Rechtecke etspricht der absolute oder der relative Häufigkeit der jeweilige Merkmalsausprägug. Abb.3: Beispiel eies Balkediagramms Werde higege die Häufigkeite vo Merkmalsauspräguge übereiader oder ebeeiader zu eiem Gesamtrechteck gestapelt, so dass sich die Beträge der eizele Werte mit dem Gesamtbetrag vergleiche lasse, da spricht ma vo eiem Blockdiagramm ( Abb.4). Sid dabei die Prozetateile der eizele Kategorie eigetrage, so müsse sich diese Ateile zu eiem Rechteck summiere, desse Gesamtläge geau 00% etspricht. 8 7 Ergebis der Mathematikklausur Ei solches Blockdiagramm ist vor allem sivoll, we die Verteilug eies Merkmals i verschiedee Gruppe vergleiched visualisiert werde soll. Ergebis der Mathematikklausur Absolute Häufigkeit Note Abb.: Beispiel eies Säulediagramms Prozet 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% Erfolgt die Aordug der Rechtecke icht wie i Abb. ebeeiader, soder übereiader, so dass die Häufigkeite auf der x-achse abgetrage werde, hadelt 0% Abb.4: Beispiel eies Blockdiagramms 3 4

8 Bei Kreisdiagramme wird jeder Merkmalsausprägug ei Kreissektor zugeordet, desse Mittelpuktswikel α (im Vergleich zum Vollwikel vo 360 ) der relative Häufigkeit der jeweilige Ausprägug etspricht. I der obige Klausurstatistik ergibt sich beispielsweise für die Merkmalsausprägug ei Mittelpuktswikel vo 360 o 00% α 8% 8, 8. Isgesamt ergibt sich so das folgede Kreisdiagramm: Ergebis der Mathematikklausur 0% 8% 8% 6% Bei eiem Puktdiagramm werde die Merkmalsauspräguge (erhobee Date) vo eiem oder zwei Merkmale i eiem kartesische Koordiatesystem als Pukte dargestellt, wodurch sich eie Puktwolke ergibt. Mit Puktdiagramme versucht ma häufig die Beziehug zwische zwei Variable eier Erhebug darzustelle. Aufgrud der Form der etstehede Puktwolke ergebe sich erste Hiweise für das Bestehe vo Zusammehäge. Dabei werde die Auspräguge des eie Merkmals auf der x-achse ud die des adere auf der y-achse agezeigt. Die jeweilige Wertepaare lege da die Positio des Puktes fest. Die Darstellug der Pukte ka durch verschiedee kleie Symbole erfolge. Im achfolgede Beispiel bilde die Agabe zur Körpergröße die x-werte der eigezeichete Pukte, die Agabe zum Gewicht ergebe die zugehörige y-werte. Ei sivoller Zusammehag ka atürlich ur da dargestellt werde, we die Zuordug vo Körpergröße ud Gewicht zu de befragte Persoe erhalte bleibt. Nr. Körpergröße (x i ) Gewicht (y i ) 0% % Abb.5: Beispiel eies Kreisdiagramms Kreis- ud Blockdiagramme gebe also a, wie sich die Stichprobe bzgl. eies Merkmals zusammesetzt. Das bedeutet zwagsläufig, dass sich die betrachtete Merkmalsauspräguge gegeseitig ausschließe müsse. Das wiederum hat zur Folge, dass beispielsweise bei eier (schriftliche) Befragug keie Mehrfacheuge zugelasse werde dürfe. Kreisdiagramme eige sich isbesodere da, we vorliegede Mehrheitsverhältisse verdeutlicht werde solle; Blockdiagramme lasse eher de Vergleich der Ergebisse aus verschiedee Erhebuge zu. A Säulediagramme lasse sich higege leichter ablese, welche Reihefolge hisichtlich ihrer Häufigkeite die verschiedee Auspräguge habe. Hier sid im Gegesatz zu de beide adere Diagrammtype auch Mehrfacheuge darstellbar Abb.6: Puktdiagramm (Körpergröße ud Gewicht) Ei Puktdiagramm ka auch zur Darstellug eier eizele Variable beutzt werde, z.b. um Messreihe, zeitliche Etwickluge oder Verteiluge ierhalb eier Gruppe darzustelle. Dabei werde auf der y-achse die verschiedee Merkmalsauspräguge (oder ihre Häufigkeit) eigetrage ud auf der x-achse wird zum Beispiel der zeitliche Ablauf eigetrage (Zeitstrahl) oder aber die zu de Merkmalsauspräguge gehörede Stichprobeummer. 5 6

9 Nr. Körpergröße Abb.7: Puktdiagramm (Körpergröße) Um diese Etwicklug och zu betoe, ka ma diese Pukte machmal zusätzlich miteiader durch eie Liie verbude. Solche Polygozüge (Liiediagram Abb.6) fide vor allem bei Tredaalyse wie etwa im Politbarometer Verwedug. Sie werde aber auch eigesetzt, we uterschiedliche Stichprobe vergliche werde solle. Gerade bei siguläre Date wird dadurch aber auch eie kotiuierliche Etwicklug vorgetäuscht, die so i der Regel icht vorliegt. Liege die Date i klassifizierter Form vor, ist es üblich, diese durch Histogramme darzustelle. Histogramme sid Säulediagramme, bei dee keie Lücke zwische de eizele Säule gelasse werde. Im vorliegede Beispiel sid alle Säule vo gleicher Breite, da die Klassifizierug hier durch die verschiedee Notestufe erfolgt ( Abb.7). Geerell gilt, dass bei Histogramme vo omial oder ordial Skalierte Date stets alle Säule die gleiche Breite besitze. Bei metrische Date erfolgt die Klassebildug oft durch die Agabe vo Itervalle. Da etspricht die Breite der Säule (Rechtecke) de agegebee Itervallbreite ud der Flächeihalt der zugehörige absolute bzw. relative Häufigkeit, mit der die Merkmalsausprägug auftritt. Dies führt bei uterschiedlich große Itervalle auch zu uterschiedlich breite Säule. Dadurch wird verhidert, dass bei große Itervalle mit eier gerige Häufigkeit die Fläche der zugehörige Säule eie zu bedeutede Eidruck erweckt, zur Iterpretatio muss also u die Flächegröße ud icht wie bei de Säulediagramme die Höhe heragezoge werde. Für die Höhe der Säule gilt dabei die Formel: Klassehäufigkeit Säulehöhe. Klassebreite I der folgede Tabelle sid die Ergebisse eier Umfrage zur moatlich zur Verfügug stehede Geldsumme, die i eier Abiturklasse durchgeführt wurde, i Klasse zusammegefasst. Klasse [ 0; 50 [ [ 50 ; 00 [ [ 00 ; 00 [ [ 00 ; 300 [ Häufigkeit Klassebreite Säulehöhe 5 0, 6 0, , , 00 0 Bei verschiede große Klasse ka für das Erstelle eies Histogramms der Wert für die Klassebreite der kleiste Klasse gewählt werde. Die adere Klassebreite ergebe sich da als Vielfache dieser Breite. Abb.8: Beispiel eies Polygozugs Die jeweilige Säulehöhe ergibt sich weiterhi ach aus der obige Formel. (Quelle: 7 8

10 Klasse [ 0; 50 [ [ 50 ; 00 [ [ 00 ; 00 [ [ 00 ; 300 [ Häufigkeit Klassebreite Säulehöhe ,5 Mit dieser Vereifachug der Klassebreite ergibt sich da folgedes Histogramm: we sie bewusst eigesetzt werde, die Meiug des Lesers beeiflusse köe ud solle. Typische Fehler eier solche grafische Darstellug sid z. B. Verstöße gege Proportioalität perspektivische Verzerruge Stauchug oder Streckug vo Achse Verwedug vo Polygozüge astelle vo Säulediagramme Verwedug vo dreidimesioale astelle vo zweidimesioale Forme etc. Aus Grüde der Vollstädigkeit seie a dieser Stelle zwei Beispiele für Piktogramme, wie sie etwa i de bekate Wochezeituge Spiegel oder Focus zu fide sid, ohe Kommetar aufgeführt. Abb.0: Beispiele für Piktogramme (aus: Griesel/Postel, 999, S.) Abb.9: Beispiel eies Histogramms Grudsätzlich gilt, dass Iformatioe durch geeigete grafische Darstellugsforme zwar leichter zu vermittel sid, dass sie aber auch bessere Möglichkeite der Maipulatio biete. Dies gilt gaz besoders für die heute i Zeituge ud Zeitschrifte oft ud gere verwedete Piktogramme, die mit Hilfe vo Symbole die betrachtete Größe veraschauliche solle. Durch diese Darstellugsforme geligt es oft, die besodere Aufmerksamkeit des Lesers zu wecke. Dabei uterlaufe häufig - gewollt oder ugewollt Fehler, die, 9 0

11 6. Bestimmug vo Kegröße 6. Kegröße eidimesioaler Verteiluge 6.. Maße der zetrale Tedez Maße der zetrale Tedez fasse Häufigkeitsverteiluge i eier eizige Kezahl zusamme. Ziel dieser Datereduktio ist es, die Häufigkeitsverteilug eies gemessee Merkmals durch eie eizige Zahl zu charakterisiere. Somit gebe Maße der zetrale Tedez wichtige Iformatioe über ei betrachtetes Merkmal, idem sie die Gesamtzahl der Eizeliformatioe zu eier eizige statistische Kezahl verdichte dem sogeate Schwerpukt oder Mittelpukt eier Häufigkeitsverteilug; sie sid überschaubar ud repräsetativ ud lasse erste grobe Vergleiche zu. Die i der Statistik gebräuchlichste Maße der zetrale Tedez wie Modalwert (Mo), Media (Md) ud () Mituter ka es vorkomme, dass eie Verteilug mehr als ei lokales Maximum besitzt. Im Säulediagramm bzw. Histogramm komme somit zwei (oder mehr) uterschiedliche Gipfel vor. Wir spreche i eiem solche Fall vo eier bimodale (multimodale) Verteilug. Defiitio (Media) Der Media Md ist der Wert, der die geordete Datereihe i zwei gleich große Hälfte uterteilt, d. h. es liege je 50% der Date oberhalb ud uterhalb des Medias. Mit adere Worte: Der Media liegt geau i der Mitte der sortierte Date. Ist die Azahl der utersuchte Merkmalsträger ugerade, so lässt sich der Media bestimme, idem die Messwerte der Größe ach geordet ud die utere ( ) / Werte abgezählt werde. Der ächste Wert ist da der gesuchte Media. Eie Alterative bietet die Formel Md. x + Ist die Azahl der utersuchte Merkmalsträger gerade, so ist der Media icht zwiged ei Wert der Datereihe selbst. Er errechet sich durch ( x + x ) Md. + arithmetisches Mittel (M) werde im Folgede äher beschriebe. Defiitio (Modalwert) Der Modalwert bzw. Modus (Mo) eier Verteilug ist derjeige Wert, der am häufigste i eier Verteilug vorkommt, d. h. es ist die Merkmalsausprägug, die die meiste utersuchte Objekte aufweist. Bei der graphische Darstellug eier Verteilug ist der Modalwert somit der Wert, bei dem die Verteilug ihr Maximum besitzt. So ist z. B. i Abb. ( S.3) oder Abb.5 ( S.5) leicht erkebar, dass die Merkmalsausprägug 3 mit 7 die größte absolute Häufigkeit besitzt. Demach ist 3 der Modalwert dieser Häufigkeitsverteilug, kurz Mo 3. Amerkuge () Bei klassierte Date gilt die Klassemitte der am häufigste besetzte Kategorie als Modalwert. Defiitio (arithmetisches Mittel) Das arithmetische Mittel M ist das gebräuchlichste Maß zur Kezeichug der zetrale Tedez. Es wird berechet, idem die Summe aller Werte durch die Azahl aller Werte dividiert wird: M x i i xi x + x + + x i... Das arithmetische Mittel wird umgagssprachlich auch als Durchschitt bezeichet. Das arithmetische Mittel ist uter aderem dadurch gekezeichet, dass Abweichuge ach obe ud ach ute ausgegliche werde, d. h. die Summe aller Abweichuge vom arithmetische Mittel ist 0: i ( xi M) 0..

12 Beispiel (arithmetisches Mittel; Media; Modalwert) Eie Befragug vo 0 Schülerie ud Schüler der FOSb über dere tägliche Iteretkosum i Miute ergab folgede (ugeordete) Datereihe: Das arithmetische Mittel errechet sich hier zu M xi ,. 0 i Orde wir die Date der Größe ach, ergibt sich folgede geordete Datereihe: Der Media ist da ( x + x ) ( ) 68, 5 + Md. Die Merkmalsausprägug 68 besitzt mit 4 die größte absolute Häufigkeit. Demach ist Mo 68. Damit ergibt sich die folgede Häufigkeitstabelle: Tab.7: Klassebildug bei eier Befragug zum Iteretkosum [ 50 ;60[ [ 60 ;70[ [ 70 ;80[ [ 80 ;90[ [ 90 ;00[ Werde mit dieser Häufigkeitstabelle die verschiedee Mittelwerte bestimmt, so ist icht mehr zu ermittel, ob die Werte aus de verschiedee Itervalle im Bereich der utere oder der obere Itervallgreze liege. Somit muss die jeweilige Klassemitte für die Berechuge beutzt werde. Die Klassemitte ka mit der folgede Formel berechet werde: like Itervallgreze + rechte Itervallgreze Klassemitte. Für die Klasse [ ;60[ bedeutet das: Klassemit te 55 Tab.8: Klassebildug bei eier Befragug zum Iteretkosum mit der Agabe der Klassemitte Klasse [ 50 ;60[ [ 60 ;70[ [ 70 ;80[ [ 80 ;90[ [ 90 ;00[ Klassemitte H ( x i ) Beispiel (Arithmetisches Mittel, Media ud Modalwert bei Klassebildug) Die Ergebisse eier Befragug vo 0 Schülerie ud Schüler der FOSb über dere tägliche Iteretkosum wurde zu folgede Klasse zusammegefasst: I [ 50;60[ ; I [ 60;70[ ; I 3 [ 70;80[ ; 4 [ 80;90[ I [ 90; 00[. 5 I ud Das arithmetische Mittel errechet sich hier, idem wir die jeweilige Klassemitte mit ihre (absolute) Häufigkeite multipliziere, die Ergebisse addiere ud durch die Gesamtzahl ( 0) dividiere: M H( xi ) xi ( ) 7. 0 i Der Media wird da bestimmt durch: ( x + x ) ( x0 + x) Md

13 Sowohl die Stelle x 0, als auch die Stelle x liege i der Klasse [ 60 ;70[, de die erste beide Werte liege i der Klasse [ 50 ;60[; die ächste eu ebe i [ 60 ;70[. Der Media wird u durch die Klassemitte charakterisiert: Md 65. Der Modalwert ergibt sich umittelbar aus dem Vergleich der Häufigkeite der verschiedee Klasse. Er wird ebefalls durch die Klassemitte dargestellt: M 65. o Hiweis Wir sehe beim zweite Beispiel deutlich, dass durch die Klassebildug zusätzlich weitere Iformatioe zu de erhobee Date verlore gehe: Obwohl die gleiche Ausgagsdate wie im erste Beispiel beutzt werde, veräder sich alle Zetralwerte. Dieser Umstad sollte bei eier Klassebildug stets bedacht werde. Es sei hier dara eriert, dass aufgrud der Recheoperatioe, die zur Bestimmug der Maße der zetrale Tedez durchgeführt werde, ei bestimmtes Skaleiveau des utersuchte Merkmals vorausgesetzt werde muss. Eie Übersicht bietet folgede Tabelle: Tab.9: Skaleiveaus der Maße der zetrale Tedez Skala Nomial- Ordial- Itervall- Verhältis- Modalwert Mo Media Md - Arithmetisches Mittel M - - Amerkuge. Im Vergleich zum arithmetische Mittel ist der Media weiger empfidlich (robuster) gegeüber sogeate Ausreißer (Extremwerte), da es bei der Mediabestimmug icht auf jede eizele Wert, soder ur auf dere Reihefolge akommt.. Bei der Erhebug vo Date wisse wir zuächst icht, warum Ausreißer auftrete, ob sie vielleicht ur Messfehler darstelle, oder ob es sich um sehr spezielle Fälle hadelt. Es ist daher sivoll, stets auch de Media azugebe ud Abweichuge vom arithmetische Mittel ud vom Media zu überprüfe. Zur geauere Betrachtugsweise wird zusätzlich der Modalwert mit eibezoge. 3. Die drei Maße der zetrale Tedez uterscheide sich, wie aus obiger Tabelle zu ersehe ist, zuächst hisichtlich ihrer Awedbarkeit auf de uterschiedliche Skaleiveaus. Sid die Date midestes itervallskaliert, so ist eie Berechug aller drei Maße sivoll. 6.. Maße der Streuug (Dispersiosmaße) Maße der Streuug (Dispersiosmaße) kezeiche die Streuug eier Häufigkeitsverteilug um de Mittelwert. Hier geht es um die Frage: Wie typisch ist der errechete Mittelwert für die Gesamtreihe der Messwerte? Die eifache Überlegug ist: je geriger die Streuug der Messwerte, umso typischer ist der Mittelwert ud umso homogeer (gleichmäßiger zusammegesetzt) ist die Verteilug. Wie bei de Maße der zetrale Tedez ist auch für die Dispersiosmaße das Skaleiveau ausschlaggebed, welches Maß zur Beschreibug der Verteilug sivoll berechebar ist. Tab.0: Skaleiveaus der Dispersiosmaße Skala Nomial- Ordial- Itervall- Verhältis- Variatiosbreite SP - mittlere lieare Abweichug d Variaz s², Stadardabweichug s

14 Defiitio (Variatiosbreite bzw. Spaweite) Die Variatiosbreite bzw. Spaweite SP (eglisch: rage) ist das am eifachste zu bestimmede Dispersiosmaß. Sie wird ermittelt, idem wir die Differez aus dem größte ud kleiste Wert der Messreihe bilde: SP x x. max Der Nachteil dieses Streuugsmaßes ist, dass es lediglich auf de beide Extremwerte basiert ud somit höchst usicher ist; es sagt zudem ichts über die dazwische liegede Werte aus. Der Vorteil ist, dass wir die Spaweite scho bei ordialskalierte Werte bestimme köe. Defiitio (Quartilsabstad) Der Quartilsabstad bezeichet die Spaweite zwische uterem ud oberem Viertel eier Verteilug, d. h. er gibt de Abstad für die mittlere 50% der Fälle a. Auch mi dieses Maß eiget sich bereits für ordiale Größe. Defiitio (mittlere lieare Abweichug d) Bei metrisch skalierte Merkmale bietet sich als Streuugsmaß die mittlere lieare Abweichug d (egl.: mea deviatio) a. Sie ist das arithmetische Mittel der absolute Abweichuge der eizele Messwerte vom Mittelwert. Üblicherweise wird zur Berechug das arithmetische Mittel als Mittelwert verwedet, so dass sich ergibt: d xi M. i Defiitio (Variaz s²; Stadardabweichug s) Die Variaz s² wird defiiert als mittlere quadratische Abweichug vom arithmetische Mittel. Ihre Wurzel wird als Stadardabweichug s bezeichet. s ² ( xi M ) bzw. s s ( xi M) i ². i Durch das Quadriere der Abweichuge vom arithmetische Mittel werde egative Differeze vermiede; die Stadardabweichug wiederum erlaubt eie Iterpretatio des Ergebisses i der ursprügliche Dimesio. Beispiel (Variaz ud Stadardabweichug ) Es liege folgede 0 Werte für Messuge uterschiedlicher Flüssigkeitsmege vor: 6 ml, 8 ml, 6 ml, 3 ml, 9 ml, 3 ml, 36 ml, 4 ml, 3 ml ud 5 ml Dies ergibt ei arithmetisches Mittel vo M 8 [ml]. Variaz ud Stadardabweichug erreche sich wie folgt: Die mittlere lieare Abweichug vom arithmetische Mittel wird i der Praxis selte beutzt; die ebefalls mögliche lieare Abweichug vom Media fast überhaupt icht. Deoch sid diese Maße für Zwecke der Deskriptivstatistik brauchbare ud aschaulich iterpretierbare Kezahle zur Messug der Dispersio. ud s ² 0 [(6 8) + (8 8) (3 8) + (5 8) ] 48 4, 8 0 Für de eifache Vergleich vo Stichprobeergebisse wäre die Agabe ud der Vergleich der mittlere lieare Abweichug durchaus ausreiched. Nicht zuletzt aus Grüde der Geeralisierbarkeit vo Stichprobeergebisse ( Iferezstatistik) werde allerdigs adere Dispersiosmaße vorgezoge, ämlich die Variaz s² als mittlere quadratische Abweichug ud ihre Wurzel, die Stadardabweichug s. s s² 4,8 [ml ] 3,847 [ml]. 7 8

15 Häufig köe wir us die Berechug mit Hilfe vo Tabelle erleichter: Beispiel (Variaz ud Stadardabweichug ) Gegebe ist folgede Tabelle: Tab.0: Beispiel Variaz ud Stadardabweichug mit Fehler! Es ist icht möglich, durch die Bearbeitug vo Feldfuktioe Objekte zu erstelle. ergibt sich Fehler! Es ist icht möglich, durch die Bearbeitug vo Feldfuktioe Objekte zu erstelle. bzw. VP x i 4 ( x i M) 468,6875, 65 s s². 4 i x i M ( x M) i ,75-5,75 (-5,75)² 48, ,5 370, ,75 75, ,5 540,565 4 x i i i ( x i M ) 0 ( x i M ) 874, 75 Es bleibt zu kläre, wie die errechete Kegröße, wie die Variaz bzw. Stadardabweichug zu iterpretiere sid. Was bedeutet es beispielsweise, we i eiem Test ei Mittelwert vo 50 Pukte ud eie Stadardabweichug vo 0 Pukte auftrete? Um hier eie Atwort gebe zu köe, betrachte wir die sogeate Normalverteilug ( Abb.9): Diese Häufigkeitsverteilug hat eie uimodale ud glockeförmige Verlauf. 4 i Liegt aäherd eie Normalverteilug vor, da gilt, dass im Itervall [ M s ; M + s], Abb.: Normalverteilug also im stadardisierte Bereich um M herum, ca. zwei Drittel aller utersuchte Fälle (68,7%) zu fide sid. Erweiter wir de Bereich auf zwei Stadardabweichuge [ M s ; M + s], so befide sich i diesem Itervall ca. 95% (95,45%) aller Fälle. Beispiel (Normalverteilug) Bei eier schulitere Studie wurde der Itelligezquotiet für jede Schüleri ud jede Schüler der FOS getestet. Dabei ergab sich ei arithmetisches Mittel vo M 95 ud eie Stadardabweichug vo s 9. Wir ehme a, dass die Häufigkeitsverteilug aäherd ormalverteilt ist, da befide sich im Itervall [ 95 9; ] [ 86; 04] ca. 68% aller Schülerie ud Schüler der utersuchte Jahrgagsstufe. Umgekehrt lässt sich formuliere: Bei Vorliege eier Normalverteilug ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Messwert um mehr als eie Stadard-abweichugseiheit vom Mittelwert abweicht, ca. 3%. 9 30

16 6..3 Beispielaufgabe Aufgabe Im Biologieuterricht wird i eier Klasse vo jedem der 6 Schüler eie Bohe gepflazt. Nach eiiger Zeit wird die Läge der verschiedee Rake gemesse. Dabei ergebe sich die folgede (ugeordete) Date (Agabe i mm): 6,5 7,5 6,8 4,98 6,49 7,95 8,6 7,5 5,98 7,6 6,09 6,44 7,95 4,99 8,55 8,9 7,95 6,46 4,9 7,64 4,99 8,46 5, 9,36 4,99 5,67 a) Bestimme Sie de arithmetische Mittelwert M. 6 76,3 M 6,77 [cm] 6 x i. 6 i b) Bestimme Sie de Media Md 6, also gilt 4,9 4,98 4,99 4,99 4,99 5, 5,67 5,98 6,09 6,5 6,8 6,44 6,46 6,49 7,6 7,5 7,5 7,64 7,95 7,95 7,95 8,9 8,46 8,55 8,6 9,36 ( x ) ( ) 6 + x 6 x + ( 6,46 + 6,49 ) 6,475 [cm] Md + x. c) Bestimme Sie de Modalwert Mo. 3 4 (geordete Datereihe) A der geordete Datereihe ka ma ablese, dass der Wert 4,99 dreimal auftritt. Daher gilt Mo 4,99 [cm]. d) Bestimme Sie die Spaweite der Werte aus der Tabelle. A der geordete Datereihe ergibt sich SP x x 9,36 4,9 4,45 [cm]. max mi e) Bestimme Sie die Stadardabweichug. Tab.: Berechug des Mittelwertes ud der Abweichugsquadrate vom Mittelwert i x i x i M (x i M) 4,9 4,9 6,77 -,86 (-,86)² 3,46 4,98 -,79 3,0 3 4,99 -,78 3,7 4 4,99 -,78 3,7 5 4,99 -,78 3,7 6 5, -,55,40 7 5,67 -,, 8 5,98-0,79 0,6 9 6,09-0,68 0,46 0 6,5-0,6 0,38 6,8-0,59 0,35 6,44-0,33 0, 3 6,46-0,3 0,0 4 6,49-0,8 0,08 5 7,6 0,39 0,5 6 7,5 0,48 0,3 7 7,5 0,74 0,55 8 7,64 0,87 0,76 9 7,95,8,39 0 7,95,8,39 7,95,8,39 8,9,4,0 3 8,46,69,86 4 8,55,78 3,7 5 8,6,85 3,4 6 9,36,59 6,7 76,3 0 45,9 Damit ergibt sich mit M 6,77 [cm] (vgl. a) 6 45,9 6 6 i ² für die Variaz s ( x i M),766 [cm ] ud somit für die Stadardabweichug s s²,766,33 [cm]. 3 3

17 Aufgabe Bei eiem Preisvergleich für ei eues Notebook im Iteret ergabe sich die i Tabelle XX erfasste Preise i Euro. Bereche Sie de arithmetische Mittelwert. Tab.: Preisvergleich für ei Notebook im Iteret Preis H(x i ) i Isgesamt wurde H( x ) Agebote ermittelt. Im Durchschitt ergibt sich da ei Preis vo M 3 ( ) ,90 3 [ ] Aufgabe 3 I der folgede Tabelle wurde der Iteretkosum der Schülerie ud Schüler der Klasse FSP a eiem Motag erfasst. Zur bessere Übersicht erfolgte eie Klasseeiteilug. Bestimme Sie das arithmetische Mittel. Tab.3: Iteretkosum der FSP Zeit i mi H(x i ) 6 Klassemitte 9,5 89,5 49,5 09,5 Gesamtzahl der Schülerie ud Schüler: H( x ) i Uter Verwedug der Klassemitte ergibt sich da ( 9,5 + 89, ,5 + 09,5 ) ,5 [mi] M. 6. Zweidimesioale Verteiluge 6.. Graphische Auswertug eies Zusammehags Wie Sie sicherlich erahe köe, geht es bei eier empirische Utersuchug i der Regel icht um eie Merkmalsverteilug allei. Vielmehr werde zwei ud mehr Merkmale gleichzeitig betrachtet ud der Zusammehag zwische diese Merkmale utersucht. Die eifachste Form stellt die zweidimesioale Erhebug dar, i der wir versuche, de lieare Zusammehag (lieare Korrelatio) zwische zwei verschiedee Merkmale zu utersuche. Ausgagspukt sid Date über zwei Merkmale eier Perso bzw. eies Objektes. Für die Darstellug zweidimesioaler Verteiluge sid die meiste Diagrammtype ugeeiget, de u geht es darum, beide Merkmale i eier Graphik darzustelle, d. h. wir beötige die x-achse zur Darstellug des erste Merkmals ud die y-achse zur Darstellug des zweite Merkmals. Zu jeder beobachtete Perso bzw. zu jedem beobachtete Objekt P gehört also ei Beobachtugspaar (x i, y i ), welches als Pukt i ei Koordiatesystem eigezeichet wird. Mehrfach vorhadee Pukte werde dabei ur eimal eigetrage. Diese sogeate Puktdiagramme oder Streudiagramme (ma spricht i diesem Zusammehag auch vo eier Puktwolke) köe eie erste Hiweis auf eie potetielle Zusammehag zwische de betrachtete Merkmale gebe. Um mit Hilfe eies Streudiagramms iterpretiere zu köe, welche Art eies (lieare) Zusammehags vorliegt, ist es zuächst otwedig, zu kläre, welche Zusammehäge zwische zwei Merkmale grudsätzlich bestehe. Dabei lasse sich zuächst vier Fälle uterscheide: a. Je größer das eie, desto größer das adere. Große d. h. überdurchschittliche Merkmalsauspräguge der Variable X gehe mit große Merkmalsauspräguge vo Y eiher, kleie mit kleie ud mittlere mit mittlere. Es besteht da ei positiver (liearer) Zusammehag bzw. eie positive (lieare)korrelatio. b. Je größer das eie, desto kleier das adere. Große d. h. überdurchschittliche Merkmalsauspräguge der Variable X gehe mit kleie d. h. uterdurchschittliche Merkmalsauspräguge vo Y eiher, kleie vo X mit große vo Y ud mittlere mit mittlere. Es besteht da ei egativer (liearer) Zusammehag bzw. eie egative (lieare) Korrelatio. 34

18 c. Beide Merkmale habe ichts miteiader zu tu, d. h. sie sid uabhägig voeiader. Große ud kleie Werte der Variable X gehe mit beliebige Werte der Variable Y zusamme. Die Verteilug der Pukte weist keie Struktur auf, eie Korrelatio ist icht feststellbar. d. beide Merkmale hebe eie Zusammehag, dieser ist jedoch icht liear Die Verteilug der Pukte weist eie Struktur auf, jedoch zum Beispiel i Form eier Parabel oder eier Siuskurve. Kei Zusammehag Die Puktwolke lässt keierlei Struktur erkee: Die Werte liege gleichermaße i alle Quadrate verteilt Abb.4: kei Zusammehag Zur Verdeutlichug eies lieare Zusammehags köe i das Streudiagramm die Mittelwertachse der jeweilige Merkmalsverteilug eigetrage, so dass das Koordiatesystem i vier Quadrate zerlegt wird. Dabei sid folgede Situatioe zu uterscheide: Tab.4: Zusammehäge zwische Merkmale Kei liearer Zusammehag Hier ist zwar ei klarer Zusammehag erkebar, jedoch ist dieser icht liear, soder immt hier aäherd die Form eier ach ute geöffete Parabel a Zusammehag Positiver liearer Zusammehag Die große Mehrzahl der Persoe fidet sich im erste ud dritte Quadrate. Eie mögliche Iterpretatio wäre: Je größer ei Mesch ist, desto schwerer ist er tedeziell. Die Puktwolke liegt lägs eier Gerade, die im Streudiagramm vo liks ute ach rechts obe verläuft. Je äher sich die Puktwolke um diese Gerade aordet, desto größer ist der Zusammehag. Negativer liearer Zusammehag Die große Mehrzahl der Persoe fidet sich im zweite ud vierte Quadrate. Eie mögliche Iterpretatio wäre: Je besser ei Schüler i Biologie ist, desto tedeziell schlechter ist er i Mathematik. Die Puktwolke liegt lägs eier Gerade, die im Streudiagramm vo liks obe ach rechts ute verläuft. Auch hier gilt: Je äher sich die Puktwolke um diese Gerade aordet, desto größer ist der Zusammehag graphische Darstellug II. I. III. IV Abb.: positiver liearer Zusammehag Abb.3: egativer liearer Zusammehag Hiweis Abb.5: kei liearer Zusammehag Die hier abgebildete Streudiagramme sid mit MS-Excel erstellt worde. Dazu beötige Sie ur füf Arbeitsschritte:. Starte Sie MS-Excel ud gebe Sie a beliebiger Stelle Ihre Date tabellarisch ei.. Markiere Sie mit der Maus de Datebereich, für de ei Streudiagramm gezeichet werde soll. 3. Betätige Sie mit der like Maustaste de Diagramm-Assistet-Schaltkopf bzw. wähle sie uter Eifüge Diagramm aus. 4. Es öffet sich ei Fester, i dem Sie de Diagrammtyp auswähle köe. Um ei Streudiagramm zu zeiche, wähle Sie Pukt (XY). 5. Folge Sie zur weitere Verarbeitug dem Diagramm-Assistete

19 6.. Recherische Auswertug eies Zusammehags Zur Berechug eies Zusammehagmaßes ist es zuächst hilfreich, das Skaleiveau der beide Merkmale zu bestimme. De wie auch scho bei de eidimesioale Verteiluge gibt das Skaleiveau vor, welches Maß das richtige ist. Falls beide Merkmale ei metrisches Skaleiveau erreiche, berechet ma de Produkt-Momet-Korrelatioskoeffiziete, falls eies oder sogar beide Merkmale dieses Skaleiveau icht erreiche bietet der Phi-Koeffiziet eie Möglichkeit das Maß des Zusammehages zwische de beide utersuchte Merkmale recherisch zu bestimme Der Produkt-Momet-Korrelatioskoeffiziet (PMK) Die Stärke des lieare Zusammehags zweier metrischer Variable wird durch eie Maßzahl beschriebe, die als Produkt-Momet-Korrelatioskoeffiziet (PMK) r xy bezeichet wird. Dieses, ach Karl Pearso ( ) bezeichete Maß, errechet sich ach der Formel Dabei sid r xy i ( xi Mx ) ( yi My ) sxy. s s s s M x ud M y die Mittelwerte sowie s x ud s y die Stadardabweichuge der beide itervallskalierte Variable. Der im Zähler stehede Ausdruck wird als Kovariaz bezeichet. Defiitio (Kovariaz) s xy (xi Mx ) (yi My ) i s x y xy (xi Mx ) (yi My ) i x Kreuzproduktsumme Umfagder Stichprobe y Amerkug () Bereits ahad der Kovariaz zweier Merkmale lässt sich erkee, i welchem Ausmaß die Uterschiedlichkeit der Utersuchugseiheite bezoge auf das Merkmal X der Uterschiedlichkeit der Utersuchugseiheite im Merkmal Y etspricht: Eie hohe positive Kovariaz würde bedeute, dass alle Utersuchugseiheite i beide Merkmale de gleiche relative Abstad zum jeweilige Mittelwert habe, d. h. we diejeige Utersuchugseiheite, die i Bezug auf das Merkmal X eie überdurchschittliche bzw. uterdurchschittliche Merkmalsausprägug aufweise, weitestgehed auch i Bezug auf das utersuchte Merkmal Y etsprechede überdurchschittliche bzw. uterdurchschittliche Messwerte erziele. Demetspreched wird die Kovariaz egativ groß, we beispielsweise gute Persoe im Test A im Test B schlecht sid oder umgekehrt. Die Kovariaz ist Null, we die Beziehug zwische de Variable usystematisch ist, d.h. we die Utersuchugseiheite i Bezug auf die Variable Y uabhägig vo ihre etsprechede Merkmals-auspräguge i Bezug auf die Variable X ausgeprägt sid ud umgekehrt. Für de Fall, dass keierlei systematische Beziehug zwische de Variable besteht, so dass s xy wird, ist die Kovariaz direkt iterpretierbar. I de Fälle eies positive oder egative Zusammehags jedoch hägt dere Größe vom Maßstab der Skala ud der Verteilug der beide utersuchte Merkmale ab. Daher muss die Kovariaz auf die beide Stadardabweichuge s x ud s y ormiert werde. Diese Normierug bewirkt, dass der Korrelatioskoeffiziet stets zwische ud + liegt, so dass Koeffiziete uterschiedlicher Verteiluge direkt miteiader vergleichbar werde. () Für die Bestimmug dieses Korrelatioskoeffiziete sollte die Möglichkeite, die sich aus dem heutige Stad der Techik ergebe auch geutzt werde. So eige sich die verschiedee Tabellekalkulatiosprogramme (wie z.b. Excel ) bestes dazu die erforderliche Berechuge durchzuführe. Isgesamt ka ma sage, dass solche Programme heute uverzichtbare Hilfsmittel für die Darstellug ud Auswertug vo statistische Utersuchuge sid. 0 heißt Kovariaz zweier Merkmale

20 Die Awedug der obige Formel soll u a eiem Beispiel verdeutlicht werde. Um edlose Zahlekoloe zu vermeide, wurde hier ei Beispiel mit eier für statistische Utersuchuge viel zu kleie Stichprobe ausgesucht. Eie Bemerkug och vorab: Zur Berechug des PMK wird die Urliste (Tab.5) sekrecht geschriebe ud um füf Spalte zu eier Arbeitstabelle (Tab.6) erweitert. Beispiel Vo zeh zufällig ausgewählte (im Krakehaus verstorbee) Persoe möge die Variable X ( tägliche Kalorieaufahme ) ud Y ( Sterbealter ) vorliege. Tab.5: Beispiel eier Urliste zur Bestimmug des PMK Mit Hilfe der jeweilige Summe erreche wir bzw. VP M x ,7 M 60,4. y x i y i Eie erste Aäherug bzw. Orietierug erlaubt die graphische Darstellug: Lebeserwartug Beispiel zur Bestimmug des PMK Kalorieverbrauch Abb.6: Beispielberechug PMK Zur Berechug des PMK erweiter wir Tab.5 um die jeweilige Spalte Abweichug x i vom Mittelwert M x ( ( i My x M ) bzw. Abweichug y i vom Mittelwert M y i x y ) sowie der jeweilige Quadratische Abweichug vom Mittelwert ( x M )² ( i x ud y M )²) ud dem Produkt der Abweichuge vo de Mittelwerte ( i y ( x M )(y M ). Der Vorteil liegt dari begrüdet, dass sich das Edergebis der ( i x i y asoste lagwierige Rechug da fast vo selbst ergibt. Tab.6: Beispiel eier Arbeitstabelle zur Bestimmug des PMK VP x i y i x M x M )² yi My ( yi My )² ( xi Mx )( y i My ) i x ( i x , ,89 7,60 57, , , ,69 3,60 84,96 833, , ,09,60 58,76 7, , ,69-7,40 54,76 439, , ,69 -,40,96 964, ,7 576,09-0,40 0,6 9, ,3 403,69-3,40,56-497, ,7 0098,89-3,40 79,56 443, ,7 3349,69-4,40 07,36 889, ,3 979,69 6,60 43,56 06, , , 0,00 900,4 443, 39 40

21 Die Spalte x M ) ud y M ) ( i x ( i y diee hier als reie Zwischeergebisse. Die Berechuge sollte eigetlich kei Problem sei. Wir subtrahiere lediglich vo jeder Merkmalsausprägug de jeweilige Mittelwert ud beachte sehr geau das Vorzeiche. Zur Erierug: We Sie die Zahle i diese Spalte addiere, muss sich 0 ergebe. Die Spalte x M ), ( i x y M ) ud x M )( y M ) ( i y ( i x i y müsse wie agegebe berechet werde. Aschließed addiere wir die Werte für jede Spalte. Eie leichte Rechug liefert da ud 98888, 0 s 546,07 bzw. s 9, 49 x y 900,4 0 Für die recherische Iterpretatio des lieare Zusammehags ist die i der Tab.53 aufgeführte Eistufug hilfreich. Tab.53: Eistufug des lieare Zusammehags Korrelatioskoeffiziet Eistufug r 0 keie Korrelatio 0,0 < r 0, gerige Korrelatio 0, < r 0,6 mittlere Korrelatio 0,6 < r <,0 starke Korrelatio r perfekte Korrelatio 443, 0 s 443,. xy Für de PMK erhalte wir schließlich 443, r xy 0,8. 546,07 9,49 Es ergibt sich also eie starke positive Korrelatio zwische täglich aufgeommeer Kaloriemege ud der Lebeserwartug. Eie Beurteilug, ob dieses Ergebis sivoll im Sie eier realistische We-da-Beziehug ist, ist icht Aufgabe der Mathematik. Die Iterpretatio des Zahlematerials obliegt der jeweilig beteiligte Fachwisseschaft, hier etwa der Medizi. Amerkuge () Beim Korrelatioskoeffiziete ist zu beachte, dass dieser aufgrud der Radverteiluge oft icht de maximale Wert vo aehme ka. () Der Korrelatioskoeffiziet ist stets i de Greze ud + gelege. Damit gilt stets r +. (3) Für die Beschreibug der Stärke des Zusammehags ist allei der Betrag des Korrelatioskoeffiziete maßgebed. Das Vorzeiche higege gibt a, ob der Zusammehag gleichläufig oder gegeläufig ist (vgl. S. 33, Abb. 0 ud ). 4 4