22 Der Poissonprozess

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "22 Der Poissonprozess"

Transkript

1 22 Der Poissonprozess Eines der am meisten verwendeten Modelle der Stochastik ist der sogenannte Poissonprozess. Wir werden einen Poissonprozess dabei als "infinitesimalen" Bernoulliprozess definieren und damit ein tiefes Verständnis für Poissonprozesse erzeugen. Viele interessante Eigenschaften von Poissonprozessen lassen sich damit nämlich auf oft sehr einfache Weise herleiten. Mit einem Poissonprozess sind wieder eine Reihe von Verteilungen eng verbunden. Es handelt sich dabei um die Poissonverteilung, die Gammaverteilung und (als Spezialfälle der Gammaverteilung) die Erlangverteilung und die Exponentialverteilung. Wir werden ausführlich darauf eingehen, bei welchen Fragestellungen diese Verteilungen auftreten und welche Eigenschaften diese Verteilungen besitzen. Außerdem werden wir wieder an Hand von zahlreichen Beispielen zeigen, wie mit diesen Verteilungen gearbeitet wird Der Poissonprozess Sei XŒ n ein vorgegebener Bereich, den wir in lauter "infinitesimale" Teilbereiche X mit gleicher Länge bzw gleichem Flächeninhalt bzw gleichem Volumen X zerlegen. Wichtige Beispiele dafür sind die Bereiche X= die wir in lauter "infinitesimale" Intervalle der t+ td zerlegen sowie Bereiche XŒ 2, die wir in lauter "infinitesimale" Rechtecke der s + sd t + td zerlegen. Mit dieser Vorbereitung sind wir nun in der Lage, den Begriff des Poissonprozesses inhaltlich zu definieren: Definition: Wir betrachten ein Zufallsexperiment, bei dem ein gewisses Ereignis A mit der infinitesimalen Wahrscheinlichkeit l X eintreten kann (tritt das Ereignis A ein, so spricht man von einem Erfolg). Wird dieses Zufallsexperiment laufend in jedem "infinitesimalen" Bereich X unabhängig wiederholt, so sagt man, auf dem Bereich X liegt ein Poissonprozess mit Intensität l vor. Wie wir sehen werden, entspricht die Intensität l der mittleren Anzahl der Erfolge im Einheitsbereich. Einfache Beispiele für Poissonprozesse sind ä die Zeitpunkte, in denen eine radioaktive Substanz a-teilchen emittiert; ä die Zeitpunkte, in denen bei einer Telefonzentrale Anrufe eintreffen; ä die Zeitpunkte, in denen bei einer Bedienungsanlage (Server) Forderungen (Nachrichten) eintreffen; ä die Zeitpunkte, in denen (bei schwachem Verkehr) Fahrzeuge eine bestimmte Zählstelle kreuzen; ä die Orte, in denen ein Garn Noppen aufweist; ä die Orte, in denen ein Stück Stahlblech Fremdkörpereinschlüsse aufweist; ä die Orte eines lichten Waldes, in denen Bäume wachsen; ä die Orte, in denen sich zu einem gewissen Zeitpunkt die Moleküle eines idealen Gases befinden; ä die Positionen der Sonnen eines Kugelsternhaufens. Mit dem Befehl ld lässt sich eine zufällige Realisierung w eines eindimensionalen Poissonprozesses erzeugen. Die Liste S=8s 1, s 2 < beschreibt das 1, s 2 D, in dem wir diese zufällige Realisierung w beobachten, der Parameter l entspricht der mittleren Anzahl der Erfolge im 1D. Die roten Punkte kennzeichnen jene Zeitpunkte, in denen das Ereignis A eintritt, also ein Erfolg zu verzeichnen ist:

2 22_Der_Poissonprozess.nb <, 3D Mit dem Befehl T, ld lässt sich eine zufällige Realisierung w eines zweidimensionalen Poissonprozesses erzeugen. Die Listen S=8s 1, s 2 < und T =8t 1, t 2 < beschreiben das 1, s 2 1, t 2 D, in dem wir diese zufällige Realisierung w beobachten, der Parameter l entspricht der mittleren Anzahl der Erfolge im 1D 1D. Die roten Punkte kennzeichnen jene Punkte, in denen das Ereignis A eintritt, also ein Erfolg zu verzeichnen ist. 60<, 810, 20<, 0.5D T_ListD := liste, posliste, punkte<, n = SP1T, TP2T- TP1TDD; liste = 8n<D; punkte = Red, 8i, 1, n<d; Axes Æ True, AxesOrigin Æ 8SP1T, TP1T<, PlotRange Æ 8S, T<, AspectRatio Æ AutomaticDD tp = 60DD, 20DD<, 8200<D; PlotStyle -> AspectRatio Æ AutomaticD Mit einem Poissonprozess mit Parameter l sind wieder eine Reihe von Zufallsvariablen bzw Verteilungen eng verbunden. Wir werden nun diese Zufallsvariablen zusammen mit ihren Eigenschaften und Verteilungen angeben und diese Verteilungen in den folgenden Abschnitten im Detail besprechen Definition: Für jede Teilmenge BŒX mit endlichem Inhalt B bezeichne die Zufallsvariable Z B die Anzahl der Erfolge in der Menge B. Die diskrete Zufallvariable Z B ist wegen der Formel von Bernoulli mit den Parametern n= B ê B und p=l B binomialverteilt und damit wegen des Gesetzes der seltenen B D-verteilt. Wenn von einem Poissonprozess mit Intensität l auf dem Bereich XŒ n die Rede ist, so versteht man in der

3 120 22_Der_Poissonprozess.nb Wenn von einem Poissonprozess mit Intensität auf dem Bereich die Rede ist, so versteht man in der Stochastik darunter stets diese Familie =8Z B BmX< von Zufallsvariablen. (Mit BmX bezeichnen wir dabei jeweils eine Teilmenge B von X mit endlichem Inhalt B.) Sei =8Z B BmX< ein Poissonprozess mit Intensität l auf dem Bereich X. Da wir Poissonprozesse als infinitesimale Bernoulliprozesse definiert haben, folgt unmittelbar aus Bemerkung Bemerkung: Für paarweise disjunkte Teilmengen B 1, B 2, ŒX mit endlichem Inhalt sind die Zufallsvariablen Z B1, Z B2, vollständig unabhängig. Diese Eigenschaft zusammen mit der Eigenschaft, dass die Zufallsvariablen Z B mit dem Parameter l B poissonverteilt sind, ist charakteristisch für einen Poissonprozess: Bemerkung: Besitzt die Familie =8Z B BmX< von Zufallsvariablen die beiden Eigenschaften a) für alle BmX ist die Zufallsvariable Z B mit dem Parameter l B poissonverteilt; b) für paarweise disjunkte B 1, B 2, mx sind die Zufallsvariablen Z B1, Z B2, vollständig unabhängig, so handelt es sich bei dieser Familie =8Z B BmX< um einen Poissonprozess mit Intensität l. Die folgende Eigenschaft eines Poissonprozesses =8Z B BmX< ist oft von zentraler Bedeutung:

4 22_Der_Poissonprozess.nb Satz: Für beliebige Teilmengen BmX und alle nœ sind unter der Voraussetzung 8Z B = n< die Positionen X 1, X 2,, X n dieser n Erfolge in der Menge B vollständig unabhängig und auf B gleichverteilt. Beweis: Seien BmX und nœ beliebig aber fest gewählt. Für die paarweise disjunkten "infinitesimalen" Bereiche X 1, X 2, X n Œ B gilt wegen Bemerkung und der Tatsache dass sich n Dinge bekanntlich auf n! verschiedene Arten anordnen 1 œ X 1 < 8X n œ X n < 8Z B = n<d= X1 = 1< 8Z X n = 1< 8Z B-H X 1 XnL = 0<D B = n<d = ò =1 = -l X 1 ò =1 = -l B l X 1 -l X n l X n -lh B - X X n L -l B = X 1 X 2 X n Hl B L n B n Basierend auf diesem Satz lässt sich ein Poissonprozess mit Intensität l auf einem beliebigen Bereich Xm d leicht simulieren: Man erzeugt dazu zuerst eine mit dem Parameter l X poissonverteilte Zufallszahl n und wählt anschließend n auf der Menge X gleichverteilte Punkte aus Beispiel: Man entwickle eine Prozedur, mit der sich eine Realisierung w eines zweidimensionalen Poissonprozesses mit Parameter l auf dem 1, S 2 1, T 2 DŒ 2 simulieren und graphisch darstellen lässt. Wir wollen nun eindimensionale Poissonprozesse =8Z B Bm < mit Intensität l näher untersuchen. Aus der Tatsache, dass wir einen Poissonprozess als "infinitesimalen" Bernoulliprozess definiert haben, erhält man unmittelbar die beiden Eigenschaften: Regenerationseigenschaft: Ein eindimensionaler Poissonprozess =8Z B Bm < mit Intensität l verhält sich von einem beliebigen Zeitpunkt tœ an genau so, wie ein zu diesem Zeitpunkt t neu gestarteter, vom bisherigen Verhalten des Prozesses unabhängiger Poissonprozess ` =8Z` mit Intensität l Zeitreversibilität: Invertiert man bei einem eindimensionalen Poissonprozess =8Z B Bm < mit Intensität l die Richtung der Zeit (das bedeutet, dass man alle Realisierungen w dieses Prozesses am Ursprung spiegelt), so erhält man wieder einen eindimensionalen Poissonprozess è =8Z è B Bm < mit Intensität l. Sowohl die Regenerationseigenschaft als auch die Zeitreversibilität eines eindimensionalen Poissonprozesses lässt sich am Ticken eines Geigerzählers (es handelt sich dabei um jene Zeitpunkte, in denen ein a-teilchen einer radioaktiven Substanz, von der wir annehmen wollen, dass sie eine sehr lange Halbwertszeit besitzt, den Geigerzähler trifft) gut veranschaulichen: Die Regenerationseigenschaft entspricht der Tatsache, dass für einen beliebigen Zeitpunkt t der bisherige Verlauf des Tickens keinen Einfluss auf den Verlauf des Tickens ab diesem Zeitpunkt t hat und sich das Ticken dieses Geigerzählers ab diesem Zeitpunkt t nicht vom Ticken eines zum Zeitpunkt t neu gestarteten Geigerzählers unterscheidet. Die Zeitreversibilität beschreibt die Tatsache, dass es unmöglich ist, von einem auf Tonband aufgenommenen Ticken zu entscheiden, ob das Tonband vorwärts oder rückwärts abläuft Definition: Ist =8Z B Bm < ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l, so nennt man für jedes nœ die Zufallsvariable

5 122 22_Der_Poissonprozess.nb jedes n die Zufallsvariable Y n = Min8s s>0und Z D 0, sd = n< die Wartezeit bis zum n-ten Erfolg Satz: Ist =8Z B Bm < ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l, so ist die Wartezeit Y n bis zum n-ten Erfolg 1êlD-verteilt. Wegen Bemerkung ist die Wartezeit Y 1 bis zum ersten Erfolg Beweis: Für alle nœ81, 2, < und alle y>0 gilt n n > D 0, yd n- 1<D Die Behauptung folgt damit unmittelbar aus der Tatsache, dass bei einem eindimensionalen Poissonprozess mit Intensität l die Anzahl der Erfolge Z D 0, yd im Intervall D 0, yd yd-verteilt ist, zusammen mit der Identität - yd, n- 1D ä 1 êld, yd, n Œ IntegersD True

6 22_Der_Poissonprozess.nb 123 Die oben erwähnte Regenerationseigenschaft lässt sich wesentlich verschärfen. Wir benötigen dazu den zentralen Begriff der Stoppzeit: Definition: Sei =8Z B Bm < ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l. Die Zufallsvariable T nennt man eine -Stoppzeit, wenn für alle tœ das Ereignis 8T t< nur vom Verhalten des Prozesses bis zum Zeitpunkt t und eventuell weiteren, vom Prozess unabhängigen Zufallsvariablen abhängt und damit vom Verhalten des Prozesses nach dem Zeitpunkt t unabhängig ist. Ein typisches Beispiel für eine -Stoppzeit ist die Wartezeit Y n bis zum n-ten Erfolg: Für alle tœ hängt das Ereignis 8Y n t< offenbar nur vom Verhalten des Prozesses bis zum Zeitpunkt t ab Verallgemeinerte Regenerationseigenschaft: Ein eindimensionaler Poissonprozess =8Z B Bm < mit Intensität l verhält sich von einer beliebigen -Stoppzeit T an genau so, wie ein zu diesem Zeitpunkt T neu gestarteter, vom bisherigen Verhalten des Prozesses unabhängiger Poissonprozess ` =8Z` mit Intensität l. Beweis: Für alle tœ lässt sich das Ereignis 8T = t< allein durch das Verhalten des Prozesses bis zum Zeitpunkt t, also durch die Zufallsvariablen Z B mit BmD-, td und eventuell weiteren, vom Prozess unabhängigen Zufallsvariablen beschreiben und ist daher vom Verhalten des Prozesses nach dem Zeitpunkt t unabhängig. Unter der Voraussetzung 8T = t< verhält sich der Prozess damit vom Zeitpunkt t an wegen der Regenerationseigenschaft ebenso, wie ein zu diesem Zeitpunkt t neu gestarteter, vom bisherigen Verhalten des ursprünglichen Prozesses und damit auch vom Ereignis 8T = t< unabhängiger Poissonprozess ` =8Z` mit Intensität l. Die verallgemeinerte Regenerationseigenschaft entspricht der Tatsache, dass für eine beliebige Stoppzeit T (etwa jener Zeitpunkt, zu dem der Geigerzähler das n-te mal tickt), der bisherige Verlauf des Tickens keinen Einfluss auf den Verlauf des Tickens nach dieser Stoppzeit T hat und sich das Ticken dieses Geigerzählers ab dieser Stoppzeit T nicht vom Ticken eines zum Zeitpunkt 0 neu gestarteten Geigerzählers unterschiedet Satz: Ist =8Z B Bm < ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l, so sind die Pausen Y 1, Y 2 - Y 1, Y 3 - Y 2, zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Erfolgen vollständig unabhängig und Beweis: Wegen Satz ist die Wartezeit Y Aufgrund der verallgemeinerten Regenerationseigenschaft verhält sich der Prozess von der Wartezeit Y n an genau so, wie ein zu diesem Zeitpunkt Y n neu gestarteter, vom bisherigen Verhalten des ursprünglichen Prozesses =8Z B Bm < unabhängiger Poissonprozess ` =8Z` mit Intensität l. Die Pause Y n+1 - Y n ist damit vom bisherigen Verhalten des Prozesses und damit von den Pausen Y 1, Y 2 - Y 1,, Y n - Y n-1 unabhängig und, da sie der Wartezeit Ỳ 1 des Prozesses ` entspricht, wegen Satz ebenfalls 1êlD-verteilt. Basierend auf diesem Satz lässt sich ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l auf dem Bereich D leicht simulieren: Man muss dazu Zufallszahlen erzeugen und diese als die Pausen des gesuchten Prozesses interpretieren (man vergleiche diese Methode zur Simulation eines eindimensionalen Poissonprozesses mit der unmittelbar vor Beispiel angeführten Methode, welche auf einem ganz anderen Prinzip beruht) Beispiel: Man entwickle eine Prozedur, mit der sich eine Realisierung w eines eindimensionalen Poissonprozesses mit Parameter l auf erzeugen und graphisch darstellen lässt. Lösung: Mit Hilfe von RandomReal erzeugt man dazu eine Liste von Zufallszahlen (es handelt sich dabei um die Pausen zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Erfolgen) und addiert die Zahlen dieser Liste mit

7 124 22_Der_Poissonprozess.nb sich dabei um die Pausen zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Erfolgen) und addiert die Zahlen dieser Liste mit Hilfe von FoldList sukzessive auf, wobei man das unerwünschte erste Element dieser Liste (nämlich die Zahl 0) mit Hilfe von Rest beseitigt (auf diese Weise erhält man jene Zeitpunkte, in denen die einzelnen Erfolge stattfinden). Die graphische Darstellung der auf diese Weise erzeugten Realisierung w erfolgt dann in der üblichen Weise. l = 2; n = 20; liste = 8n<D; poisson = 0, listedd punkte = Red, 0<D<D, 8i, 1, n<d; Axes Æ 8True, False<, PlotRange Æ 880, Automatic<, 8-0.1, 0.1<<, AxesOrigin Æ 80, 0<, AspectRatio Æ 0.04D n, liste, poisson, punkted , , , , , , , , , , , , , , , , , , , < Für tiefer liegende Untersuchungen über eindimensionale Poissonprozesse =8Z B folgende Begriffsbildung von Interesse: Bm < mit Intensität l ist die Definition: Ist =8Z B Bm < ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l, so nennt man für jedes tœ die Zufallsvariable V t = Min8s>0 Z D t,t+sd = 1< die Vorwärtsrekurrenzzeit zum Zeitpunkt t und die Zufallsvariable R t = Min8s>0 Z = 1< die Rückwärtsrekurrenzzeit zum Zeitpunkt t.

8 22_Der_Poissonprozess.nb Satz: Ist =8Z B Bm < ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l, so sind die Vorwärtsrekurrenzzeit V t und die Rückwärtsrekurrenzzeit R t stets unabhängig Beweis: Die Vorwärtsrekurrenzzeit V t hängt nur von den Zufallsvariablen Z B mit BmD ab, die Rückwärtsrekurrenzzeit hängt nur von den Zufallsvariablen Z B mit BmD-, ab. Aus Bemerkung und der Familieneigenschaft folgt daraus die Unabhängigkeit der Vorwärtsrekurrenzzeit V t von der Rückwärtsrekurrenzzeit R t. Wegen der Regenerationseigenschaft verhält sich der Prozess =8Z B Bm < vom Zeitpunkt tœ an ebenso, wie ein zu diesem Zeitpunkt t neu gestarteter, vom bisherigen Verhalten des ursprünglichen Prozesses unabhängiger Poissonprozess ` =8Z` mit Intensität l. Die Vorwärtsrekurrenzzeit V t des Prozesses entspricht dabei der Wartezeit Ỳ 1 des Prozesses ` und ist damit wegen Satz Wegen der Zeitreversibilität entsteht durch Inversion der Zeit aus dem Prozess =8Z B Bm < wieder ein eindimensionaler Poissonprozess è =8Z è B Bm < mit Intensität l. Die Rückwärtsrekurrenzzeit R t des Prozesses entspricht dabei der Vorwärtsrekurrenzeit V`-t des Prozesses è und ist somit Beispiel: Eine Telefonistin beschwert sich bei ihrem Chef darüber, dass sie pro Minute durchschnittlich eine Vermittlung durchführen muss, was für sie zu anstrengend ist. Der penible Chef überprüft diese Behauptung seiner Telefonistin auf folgende Weise: Er betritt zu einigen zufällig gewählten Zeitpunkten die Telefonzentrale, befragt die Telefonistin, wie lange der letzte Anruf zurück liegt und beobachtet, wann der nächste Anruf eintrifft. Dabei stellt er fest, dass die Zeitspanne zwischen den beiden von ihm beobachteten Anrufen im Durchschnitt zwei Minuten beträgt. Hat die Telefonistin gelogen? Lösung: Die Zeitpunkte, in denen Anrufe bei dieser Telefonzentrale eintreffen, bilden einen Poissonprozess mit Intensität l. Die Telefonistin beobachtet die gemäß Satz Pausen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Anrufen. Der Chef beobachtet die wegen Satz und der Faltungsformel für Gammaverteilungen 1êlD-verteilte Summe R t + V t von Rückwärtsrekurrenzzeit und Vorwärtsrekurrenzzeit zum Zeitpunkt t. Wegen 1 êldd, 1 ê ldd< 1 :, λ 2 > λ ist die vom Chef beobachtete Zeitspanne (man spricht dabei von der beobachteten Pause) im Mittel doppelt so lang, wie die von der Telefonistin beobachtete Zeitspanne. Die Telefonistin hat somit nicht gelogen. Inhaltlich wird dieses (auf den ersten Blick überraschende Ergebnis) klar, wenn man berücksichtigt, dass einige wenige lange Pausen zwischen zwei Anrufen bereits einen erheblichen Teil der Arbeitszeit der Telefonistin ausmachen. Das hat zur Folge, dass der Chef eher während einer langen Pause die Telefonzentrale betritt und damit die Länge der von ihm "beobachteten" Pause im Mittel größer ist als die mittlere Länge einer "normalen" Pause. Dieses Beispiel (es handelt sich um das sogenannte Paradoxon der Erneuerungstheorie) sollte zur Vorsicht mahnen! Soll beispielsweise eine Realisierung w eines eindimensionalen Poissonprozesses mit Intensität l auf dem Bereich simuliert werden, so wäre es falsch, mit Hilfe der in Beispiel angeführten Methode zwei Realisierungen w 1 und w 2 eines eindimensionalen Poissonprozesses mit Intensität l auf dem Bereich D zu simulieren und einfach die Zeitpunkte der Realisierung w 1 mit den Zeitpunkten der am Ursprung gespiegelten Realisierung w 2 zu vereinigen. Die Länge der Pause zwischen jenen zwei Erfolgen, welche den Ursprung enthält, wäre dann nämlich sondern 1êlD-verteilt, also im Mittel doppelt so lang, wie die Zeitspanne zwischen den anderen Erfolgen. Mit dem Befehl ld lässt sich eine derartige zufällige Realisierung erzeugen. Der Parameter n beschreibt dabei, wieviele Punkte rechts und links vom Ursprung erzeugt werden sollen, der Parameter l

9 126 22_Der_Poissonprozess.nb ter n beschreibt dabei, wieviele Punkte rechts und links vom Ursprung erzeugt werden sollen, der Parameter entspricht wieder der Intensität. Man erkennt zwar auf den ersten Blick nicht, dass es sich bei dieser Realisierung nicht um eine Realisierung eines Poissonprozesses mit Intensität l handelt. Erzeugt man aber viele derartige Realisierungen, so erkennt man, dass die Länge jener Pause, welche den Ursprung enthält, meistens deutlich größer ist, als die mittlere Länge der anderen Pausen. 3D Pausenlänge im Ursprung: mittlere Pausenlänge: Bei eindimensionalen Poissonprozessen lassen sich die Punkte in natürlicher Weise anordnen. Zusammen mit der in Satz behandelten Eigenschaft, wonach die Pausen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten vollständig unabhängig und exponentialverteilt sind, konnten wir damit eindimensionale Poissonprozesse leicht simulieren. Bei zweidimensionalen Poissonprozessen lassen sich die Punkte gemäß ihrem Abstand vom Ursprung anordnen. Die Rolle der Pausen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten wird dann von den Flächen der Kreisringe zwischen zwei aufeinderfolgenden Punkten übernommen. In Analogie zu Satz gilt: Satz: Ist =8Z B Bm 2 < ein zweidimensionaler Poissonprozess mit Intensität l und ordnet man die Punkte nach ihrem Abstand vom Ursprung, so sind die Flächen der Kreisringe F 1, F 2 - F 1, F 3 - F 2, zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Punkten vollständig unabhängig und Die Winkel, welche die Radiusvektoren zu diesen Punkten mit der x-achse einschließen, sind sowohl von den Flächen dieser Kreisringe als auch untereinander vollständig unabhängig 2p<D-verteilt. Basierend auf diesem Satz lässt sich ein zweidimensionaler Poissonprozess mit Intensität l leicht simulieren: Man muss Zufallszahlen erzeugen und diese als Flächen der Kreisringe zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten interpretieren 2p<D-verteilte Zufallszahlen erzeugen und diese als Winkel, welche die Radiusvektoren zu diesen Punkten mit der x-achse einschließen, interpretieren (man vergleiche diese Methode mit der in Beispiel angeführten Methode) Beispiel: Man entwickle eine Prozedur, mit der sich die n dem Ursprung nächstgelegenen Punkte einer Realisierung w eines zweidimensionalen Poissonprozesses mit Parameter l erzeugen und graphisch darstellen lässt. Lösung: Mit Hilfe von RandomReal erzeugt man dazu eine Liste von Zufallszahlen (es handelt sich dabei um die Flächen der Kreisringe zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Punkten), addiert die Zahlen dieser Liste mit Hilfe von FoldList sukzessive auf, wobei man das unerwünschte erste Element dieser Liste mit Rest beseitigt, dividiert die Zahlen dieser Liste durch p und berechnet anschließend von diesen Zahlen die Wurzel (die dabei entstehende Liste radien gibt die Abstände dieser n Punkte vom Ursprung an). Mit Hilfe von RandomReal erzeugt man anschließend die Liste winkel 2p<D-verteilte Zufallszahlen (bei dieser Liste handelt es sich um die Winkeln, welche die Radiusvektoren zu diesen n Punkten mit der x-achse einschließen). Die graphische Darstellung der auf diese Weise erzeugten Realisierung w erfolgt in der üblichen Weise, indem man zuerst eine Liste der Koordinaten der zu zeichnenden Punkte erzeugt und diese Punkte in der üblichen Weise plottet.

10 22_Der_Poissonprozess.nb 127 l = 2; n = 40; liste = 8n<D; radien = 0, listeddêpd; winkel = 2 p<d, 8n<D; punkte = Red, radienpit 8i, 1, n Axes Æ True, AxesOrigin Æ 80, 0<, AspectRatio Æ AutomaticD n, liste, radien, winkel, punkted Poissonprozesse sind der Ausgangspunkt für eine Reihe von weiteren Modellen, mit denen sich zufällige Vorgänge in Naturwissenschaft und Technik beschreiben lassen. Eines dieser Modelle ist der sogenannte Poisson-Geradenprozess, welche vor allem bei Problemen im Bereich der Textilindustrie und der Mineralogie auftreten Definition: Unter einem Poisson-Geradenprozess mit Intensität l versteht man einen zweidimensionalen Poissonprozess =8Z B BmX< mit Intensität l auf dem Bereich bei dem man jeden Punkt 8d, j<œx als Gerade jd interpretiert, welche vom Ursprung den Normalabstand d besitzt und deren Normalvektor mit der x-achse den Winkel j einschließt. Der Zusammenhang zwischen einem zufälligen Punkt 8d, j< des Poissonprozesses und der dazu gehörigen Geraden jd des Poisson-Geradenprozesses wird in der folgenden Zeichnung erläutert: d j 8d, j< Mit dem Befehl ld lässt sich eine zufällige Realisierung w eines Poisson-Geradenprozesses erzeugen. Der Parameter T beschreibt das TD TD, in dem wir die zufälligen Geraden einzeichnen, der Parameter l entspricht der Intensität des diesem Prozess zugrunde liegenden Poissonprozesses.

11 128 22_Der_Poissonprozess.nb 3D Abschließend befassen wir uns noch mit der Überlagerung bzw Verdünnung von Poissonprozessen: Beispiel: Man zeige: Sind =8X B BmX< bzw =8Y B BmX< zwei unabhängige Poissonprozesse mit den Intensitäten l bzw m, so ist ihre Überlagerung =8Z B BmX< mit Z B = X B + Y B ein Poissonprozess mit Intensität l+m. Beweis: Für alle Teilmengen BmX sind die beiden Zufallsvariablen X B bzw Y B unabhängig B D- B D-verteilt, also ist die Zufallsvariable Z B = X B + Y B wegen der Faltungsformel für B D-verteilt. Außerdem sind die Zufallsvariablen Z B1, Z B2,, Z B n für paarweise disjunkte Teilmengen B 1, B 2,, B n mx offenbar vollständig unabhängig. Beim Prozess =8Z B BmX< handelt es sich somit wegen Bemerkung um einen Poissonprozess mit Intensität l+m.

12 22_Der_Poissonprozess.nb Beispiel: Man zeige: Ist =8Z B BmX< ein Poissonprozess mit Intensität l und werden die einzelnen Punkte unabhängig voneinander und unabhängig vom Prozess mit der Wahrscheinlichkeit p markiert, so ist der Prozess * =8Z B * BmX< der markierten Punkte ein Poissonprozess mit Intensität pl. Beweis: Für alle Teilmengen BmX und alle kœ80, 1, 2 < gilt aufgrund des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit (die Summe werten wir unter Verwendung der Abkürzung a=l B mit Hilfe von Mathematica B = * = k< 8ZB = B = n<d= n=k n = K k O pk H1- pl n-k -l B Hl B L n = -pl B Hpl B L k n=k n! k! kd p k H1-pL n-k n ên!, 8n, k, <D, p < 1D p α p k α k Damit haben wir gezeigt, dass die Zufallsvariable Z* B B D-Verteilung genügt. Außerdem sind die Zufallsvariablen Z* B1, ZB2 *,, ZB * für paarweise disjunkte Teilmengen B n 1, B 2,, B n mx offenbar vollständig unabhängig. Beim Prozess * =8Z* B BmX< handelt es sich somit wegen Bemerkung um einen Poissonprozess mit Intensität p l Die Wir fassen die bereits bekannten Eigenschaften der Poissonverteilung [l] zusammen: Bemerkung: Die besitzt den Träger =80, 1, 2, < die -l l z êz! für zœ80, 1, 2, < 0 sonst und die Verteilungsfunktion 0 für z<0 -l l k êk! =G ld für z 0 k=0 Zufallsvariable Z besitzt den und die Für Poissonverteilungen gilt @l+md Es folgen wieder eine Reihe von Beispielen, mit denen gezeigt wird, wie sich die Poissonverteilung bei der Behandlung von konkreten Problemen einsetzen lässt:

13 130 22_Der_Poissonprozess.nb Beispiel: Nach den Beobachtungen der beiden Physiker RUTHERFORD und GEIGER gibt eine gewisse radioaktive Substanz im Verlauf von 7.5 Sekunden durchschnittlich 3.87 a-teilchen ab. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Substanz während einer Sekunde mindestens ein a-teilchen emittiert. Lösung: Nach unseren bisherigen Ausführungen darf man annehmen, dass die Zeitpunkte, in denen diese radioaktive Substanz ein a-teilchen emittiert, einen eindimensionalen Poissonprozess mit Intensität l bilden (als Zeiteinheit verwenden wir dabei eine Sekunde). Damit ist die Anzahl der im td emittierten D=3.87 ergibt sich für die Intensität l der Wert l=3.87ê7.5. Für die von uns @0,1D = 0<D gilt damit 1 - ê7.5d, 0D Beispiel: An einem Sommerabend wird durchschnittlich alle 10 Minuten eine Sternschnuppe beobachtet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass während einer Viertelstunde genau zwei Sternschnuppen beobachtet werden? Lösung: Wir dürfen wieder annehmen, dass die Zeitpunkte, in denen Sternschnuppen auftreten, einen eindimensionalen Poissonprozess mit Intensität l bilden (als Zeiteinheit verwenden wir dabei eine Minute). Damit ist die Anzahl der im td auftretenden D=1 ergibt sich für die Intensität l der Wert l=1ê10. Für die von uns = 2<D gilt damit 2D Beispiel: In einem lichten Wald stehen pro 100 m 2 durchschnittlich 3 Bäume. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass alle Bäume einen kreisförmigen Querschnitt mit einem Radius von r = 20 cm besitzen. Jemand steht in diesem Wald und feuert zufällig in eine Richtung, in welcher der Waldrand d = 100 m entfernt ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Gewehrkugel einen Baumstamm trifft? Lösung: Die Mittelpunkte der Bäume in einem lichten Wald bilden in erster Näherung einen zweidimensionalen Poissonprozess mit Intensität l (als Flächeneinheit verwenden wir dabei einen Quadratmeter). Damit ist die Anzahl Z B der Bäume, deren Mittelpunkte sich im Bereich B B D-verteilt. Bezeichnet A einen Bereich von 100 m 2, so ergibt sich A D=3 für die Intensität l der Wert l=3ê100. Die Gewehrkugel trifft einen Baumstamm genau dann, wenn sich im Schusskanal K - es handelt sich dabei um einen Bereich, welcher d = 100 m lang und 2 r= 0.4 m breit ist (der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Kugel punktförmig ist) - der Mittelpunkt von mindestens einem Baum befindet. Für die von uns gesuchte K K = 0<D gilt damit d = 100; r = 0.2;l=0.03; r ld, 0D r, ld

14 22_Der_Poissonprozess.nb Beispiel (Die mittlere freie Weglänge): Wir betrachten ein ideales Gas, bei dem sich in einem Kubikzentimeter durchschnittlich l Moleküle befinden, welche wir uns als Kugeln vom Radius r vorstellen. Man bestimme die mittlere freie Weglänge eines Moleküls dieses Gases. Lösung: Unter einem idealen Gas verstehen die Physiker ein Gas, bei dem die einzelnen Moleküle so weit voneinander entfernt sind, dass sie miteinander nicht in Wechselwirkung treten. Die Orte, in denen sich die einzelnen Gasmoleküle zu einem festen Zeitpunkt befinden, bilden dann näherungsweise einen dreidimensionalen Poissonprozess mit Intensität l (als Volumeneinheit verwenden wir dabei einen Kubikzentimeter). Wir wählen nun ein Gasmolekül aus und beobachten dessen freie Weglänge X, also die Länge jenes Weges, den dieses Molekül zurücklegt, bis es erstmals mit einem anderen Molekül zusammenstößt. Für die Berechnung der Verteilung der freien Weglänge X unseres Moleküls dürfen wir (auf Grund von tiefliegenden Erkenntnissen über die Dynamik von Poissonprozessen) annehmen, dass sich alle anderen Moleküle in Ruhe befinden. Für alle x > 0 gilt damit (mit K x bezeichnen wir einen Zylinder mit Radius 2 r und Höhe > K x = 0<D=1- -4 r2 pl x also ergibt sich für die von uns gesuchte mittlere freie Weglänge (das Integral werten wir mit Mathematica 0 x x=ÿ 0 xi4 r 2 plm -4 r 2 pl x x= 1 4 r 2 pl 4 r 2 r 2 plxd, 8x, 0, <, Assumptions Æ8r > 0, l > 0<D 1 4 π r 2 λ Beispiel: In einem Kleiderstoff kommen auf je 100 m Stoff durchschnittlich fünf Fehler. Ein Ballen von 100 m wird in n=25 Stücke zu je 4 m zerschnitten. Wie viele fehlerfreie Stücke sind zu erwarten? Lösung: Die Fehler im Kleiderstoff bilden einen Poissonprozess mit Intensität l. Damit ist die Anzahl Z B der Fehler in einem Bereich B B D-verteilt. Wählt man als Längeneinheit einen Meter, so ergibt sich für die Intensität D=5 der Wert l=5ê100. Das laufende Prüfen, ob die einzelnen Stücke, in die der Stoffballen zerschnitten wird, fehlerfrei sind, bildet einen Bernoulliprozess mit = 0<D= -4l Die Anzahl X der fehlerfreien Stücke ist pd-verteilt. Es sind p= fehlerfreie Stücke zu erwarten. n = 25;l=5ê100; p = n pêê N l, pd Beispiel: Die Positionen der Sonnen in einem Kugelsternhaufen bilden in erster Näherung einen Poissonprozess mit Intensität l. Man berechne die mittlere Entfernung zweier benachbarter Sonnen.

15 132 22_Der_Poissonprozess.nb Lösung: Die Anzahl Z B der Sonnen in einem Bereich B dieses Kugelsternhaufens ist B D-verteilt. Für den Abstand X zweier benachbarter Sonnen dieses Kugelsternhaufens gilt damit (K x bezeichne dabei eine Kugel mit Radius x ohne ihren > K x = 0<D=1- -4 x3 plê3 also (das Integral werten wir mit Hilfe von Mathematica 0 x x=ÿ 0 xh4 x 2 pll -4 x 3 plê3 x= H36plL 1ê3 x 2 pll -4 x3 plê3, 8x, 0, <, Assumptions Æ8l > 0<D GammaB 1 3 F 6 2ê3 π 1ê3 λ 1ê Beispiel (Der Schroteffekt): Wir betrachten einen elektronischen Verstärker. Auch wenn am Eingang des Geräts kein Signal anliegt, treffen dort bekanntlich dennoch Elektronen gemäß einem Poissonprozess mit Intensität l ein. Wir nehmen an, dass ein einzelnes Elektron, welches zum Zeitpunkt t beim Eingang des Verstärkers eintrifft, beim Ausgang die Systemantwort td=: 1-Ht-tLêT fürt<t<t+t 0 sonst bewirkt. Der Verstärker sei linear, das heißt, dass sich die Systemantworten der einzelnen Elektronen überlagern. Man bestimme den t D des Signals A t am Ausgang des Verstärkers zum Zeitpunkt t. Lösung: Die zum Zeitpunkt t am Ausgang des Verstärkers anliegende Spannung hängt offenbar nur davon ab, wann im T, td Elektronen beim Eingang des Verstärkers eintreffen. Unter der Voraussetzung, dass in diesem Intervall n Elektronen beim Eingang des Verstärkers eintreffen, sind die Zeitpunkte X 1, X 2,, X n ihres Eintreffens wegen Satz vollständig unabhängig und im T, td gleichverteilt. Wegen des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit gilt damit für alle tœ (man beachte, i D=t- Tê2 ist) t = = n<d= n=1 n=1 i=1 n 1 Xi = n<d= n n=1i=1 = n<d= l T Beispiel: Die Emission der Elektronen von der Kathode einer Elektronenröhre erfolgt gemäß einem Poissonprozess mit Intensität l. Wir wollen annehmen, dass die Aufenthaltsdauern der Elektronen in der Elektronenröhre voneinander und von den Zeitpunkten ihrer Emission unabhängige, im td gleichverteilte Zufallsvariablen A 1, A 2, sind. Die Röhre wird zum Zeitpunkt 0 eingeschaltet. Man berechne die Verteilung der Anzahl N t der Elektronen, die sich zum Zeitpunkt t>t in der Röhre befinden. Lösung: Unter der Voraussetzung, dass im td von der Elektronenröhre genau n Elektronen emittiert werden, sind die Zeitpunkte X 1, X 2,, X n ihrer Emission wegen Satz vollständig unabhängig und im td gleichverteilt. Für die Wahrscheinlichkeit p, dass sich das i-te dieser n Elektronen zum Zeitpunkt t noch in der Röhre befindet, gilt damit unter Verwendung des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit in differentieller Form (unter der Bedingung = n< sind die Zufallsvariablen X i und A i unabhängig; außerdem ist die Zufallsvariable A i und das Ereignis = n< unabhängig)

16 22_Der_Poissonprozess.nb 133 D < i + A i > t< = n<d= =Ÿ 0 + A i > t< 8X i i, x i + x i D< = i i, x i + x i D< = n<d= =Ÿ 0 t i > t-x i i i, x i + x i D< = n<d=ÿ t-t t-t+x i t 1 t x i = t 2 t Für alle kœ80, 1, 2, < gilt damit unter Verwendung der Formel von Bernoulli (bei jedem einzelnen der n im td von der Kathode emittierten Elektronen wird mit der Wahrscheinlichkeit p ausgewürfelt, ob sich dieses Elektron zum Zeitpunkt t noch in der Röhre befindet; die Summe werten wir mit Mathematica aus) t = = k< = n<d= K k O pk H1- pl n-k -l t Hl tln = n=k n=k n! = -ltê2 Hltê2L k k! kd p k H1-pL n-k tdhl tl n ên!, 8n, k, <D, 1 > p> 0D ê. p ÆtêH2 tl 2 k λ τ 2 Hλ τl k + kd Damit haben wir gezeigt, dass die Anzahl N t der zum Zeitpunkt t in der Elektronenröhre befindlichen Elektronen mit dem Parameter ltê2 poissonverteilt ist Beispiel: Sei =8Z B Bm < ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l. Für alle t 0 sei die Zufallsvariable S t gleich +1, wenn gerade ist und -1 wenn ungerade ist. Für 0 s<t ist die t = S s D< gesucht. Lösung: Für alle 0 s<t gilt (die Zufallsvariable Z D t, sd ist für die Berechnung der Summe verwenden wir t = S s D s, td ist s, td = k<d= 1 k=0 2 H1+ -2lHt-sL L k gerade Ht- sld, kd, 8k, 0,, 2<DD 1 I1+ 2 Hs tl λ M Beispiel: Man bestimme die Verteilung der Anzahl N der Geraden eines Poisson-Geradenprozesses mit Intensität l, welche den Einheitskreis schneiden sowie den der Summe S der Längen der in diesem Kreis liegenden Sehnen. Lösung: Eine Gerade jd (man vergleiche dazu Definition ) schneidet den Einheitskreis genau dann, wenn d < 1 ist. Die Anzahl N der Geraden, welche den Einheitskreis schneiden ist Berücksichtigt man nun die aus der Elementargeometrie bekannte Tatsache, dass zwischen der Länge S einer den Einheitskreis schneidenden Sehne und dem im 1D gleichverteilten Normalabstand D dieser Sehne vom

17 134 22_Der_Poissonprozess.nb Einheitskreis schneidenden Sehne und dem im 1D gleichverteilten Normalabstand D dieser Sehne vom Ursprung die Beziehung S 2 = 4H1+DLH1-DL=4I1-D 2 M besteht, so gilt für den der Länge 1-D 2 D=Ÿ d 2 d =pê2 Da die Anzahl N der den Einheitskreis schneidenden Geraden und die Längen S 1, S 2,, S N der im Einheitskreis liegenden Sehnen offenbar unabhängig sind, folgt aus der Formel 1 + S 2 + +S 2

18 22_Der_Poissonprozess.nb Die Gammaverteilung ld Wir fassen die bereits bekannten Eigenschaften der Gammaverteilung ld zusammen: Bemerkung: Die Gammaverteilung ld besitzt den die Verteilungsdichte l -a z a-1 -zêl für z 0 sonst und die Verteilungsfunktion 0 für 1 Ÿ z l -a t a-1 -têl 0, zêld für z 0 0 Eine ld-verteilte Zufallsvariable Y besitzt den und die 2 Für Gammaverteilungen mit dem gleichen! Parameter l gilt die Faltungsformel ld* ld= b, ld Bei der Untersuchung von Poissonprozessen treten ausschließlich Gammaverteilungen der Form 1êlD mit nœ auf. Nach dem deutschen Nachrichtentechniker ERLANG nennt man eine derartige Gammaverteilung auch Erlangverteilung mit den Parametern nœ und l>0 und bezeichnet diese Verteilung ld (dabei beachte man, dass gilt). Für die Verteilungsdichte und die Verteilungsfunktion der Erlangverteilung ergeben sich etwas einfachere und vor allem besser handhabbare Formeln als für die allgemeine Gammaverteilung: Bemerkung: Die ld mit nœ und l>0 besitzt den die l -l z Hl zl n-1 für z 0 Hn- 1L! 0 sonst und die Verteilungsfunktion 0 für n l z Hl zl k für z 0 k=0 k! ld-verteilte Zufallsvariable Y besitzt den und die 2 Für Erlangverteilungen mit dem gleichen! Parameter l gilt die ld

19 136 22_Der_Poissonprozess.nb Mit einigen Beispielen zeigen wir wieder, wie sich die Gammaverteilung (es handelt sich dabei eigentlich um die Erlangverteilung) bei der Behandlung von konkreten Problemen einsetzen lässt: Beispiel: Die Partikel der kosmischen Höhenstrahlung treffen gemäß einem Poissonprozess mit Intensität l eine Zählvorrichtung und geben dort eine gewisse Energie ab. Wir nehmen an, dass diese von den einzelnen Teilchen an der Zählvorrichtung abgegebenen Energien Zufallsvariable sind, welche sowohl vom Poissonprozess als auch untereinander vollständig unabhängig und md-verteilt sind. Die Zählvorrichtung sendet ihrerseits genau dann einen Impuls aus, wenn die Summe der an der Zählvorrichtung abgegebenen Energien erstmals einen gewissen Schwellwert S überschreitet. Gesucht ist der Erwartungswert der Zeitspanne Y zwischen zwei derartigen Impulsen. Lösung: Wir beginnen mit unserer Beobachtung zu einem Zeitpunkt, in dem die Zählvorrichtung gerade einen Impuls aussendet und bezeichnen mit Y n jenen Zeitpunkt, zu dem das n-te Partikelchen die Zählvorrichtung trifft, mit A n die vom n-ten Partikelchen an der Zählvorrichtung abgegebene Energie und mit N die Anzahl der an der Zählvorrichtung eintreffenden Teilchen, bis die Summe der von ihnen dort abgegebenen Energien erstmals den Schwellwert S überschreitet. Die folgende Zeichnung veranschaulicht eine typische Realisierung dieses Vorgangs: S 3 2 A 3 A 4 A 5 A 6 1 A 1 A 2 Zeit Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y=Y 6 Aufgrund der Faltungsformel für Erlangverteilungen ist die Summe A 1 + A A n der von den ersten n Partikelchen an der Zählvorrichtung abgegebenen md-verteilt. Also gilt für alle = > > n<d= 1 + A A n A A n S<D= =H1- k=0 n-2 -m S Hm SL k k! L-H1- k=0 n-1 -m S Hm SL k k! L= -m S Hm SL n-1 Hn-1L! Da die Wartezeit Y n auf das n-te Partikelchen wegen Satz êlD-verteilt ist, gilt damit unter Verwendung des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit und der Tatsache, dass das offenbar nur von den Energien A 1, A 2, abhängige Ereignis 8N = n< und die Zufallsvariable Y n unabhängig sind (die Summe werten wir mit 8N = = = n<d= 1+m S n=1 n=1 l 1êlDD SDHm SL n-1 êhn - 1L!, 8n, 1, <D 1 + S µ λ Beispiel (Zählgerät erster Art): Die Zeitpunkte, in denen die von einer radioaktiven Substanz emittierten a-teilchen einen Geigerzähler treffen, bilden bekanntlich einen Poissonprozess mit Intensität l. Aus physikalischen Gründen registriert ein Geigerzähler aber nicht alle a-teilchen, die das Gerät treffen. Unter einem Zählgerät erster Art versteht man ein Gerät, das nach jedem Zählvorgang für eine (zufällige)

20 22_Der_Poissonprozess.nb 137 Unter einem Zählgerät erster Art versteht man ein Gerät, das nach jedem Zählvorgang für eine (zufällige) Zeitspanne blockiert ist und während dieser Zeitspanne alle das Gerät treffenden Teilchen völlig ignoriert. Unter der Voraussetzung, dass diese "Totzeiten" T 1, T 2, sowohl vom Prozess der das Gerät treffenden Teilchen als auch untereinander vollständig unabhängig und sind, bestimme man die Verteilungsdichte Yn+1 * -Y* der Zeitspanne Y* n n+1 - Y* n zwischen dem n-ten und n+1-ten registrierten Teilchen. Lösung: In der folgenden Skizze haben wir jene Zeitpunkte, zu denen Teilchen das Gerät treffen und registriert werden durch rote und jene Zeitpunkte, zu denen Teilchen das Gerät treffen und nicht registriert werden durch blaue Punkte markiert. Die grünen Balken entsprechen den Totzeiten. Die senkrechten schwarzen Linien markieren die Zeitpunkte Y 1 * + T1, Y 2 * + T2,, zu denen das Gerät wieder aufnahmefähig ist. Bei diesen Zeitpunkten handelt es sich offenbar um Stoppzeiten des Poissonprozesses der das Gerät treffenden Teilchen. T 1 T 2 T 3 T 4 Y 1 * Y * Y * 2 Y * 3 Y * 1 +T1 Y * 2 +T2 Y * 3 +T3 4 Y * 4 +T4 Wegen der verallgemeinerten Regenerationseigenschaft zusammen mit Satz ist die Länge der Zeitspanne Y* n+1 -HY* n + Tn L zwischen dem Zeitpunkt, zu dem das Gerät wieder aufnahmefähig ist und jenem Zeitpunkt, zu dem das nächste Teilchen das Gerät trifft (und damit registriert und natürlich von der Totzeit T n unabhängig. Die Verteilung der Zeitspanne Y* n+1 - Y* n = Tn +HY* n+1 -HY* n + Tn LL zwischen dem n-ten und dem n+1-ten registrierten Teilchen ist damit gleich Für die gesuchte Verteilungsdichte Yn+1 * -Y* ergibt sich unter Verwendung von Mathematica im Fall l m n Yn+1 * n lm m-l H -l y - -m y L für y 0 0 sonst y- xd xd, 8x, 0, y<d I y λ y µ M λ µ λ µ Aus der verallgemeinerten Regenerationseigenschaft folgt außerdem, dass die Längen dieser Zeitspannen - es handelt sich dabei um die Längen der Intervalle zwischen zwei roten Punkten - vollständig unabhängig sind. Da die Längen dieser Zeitspannen offenbar sind, handelt es sich beim Prozess der registrierten Teilchen nicht! um einen Poissonprozess Beispiel (Zählgerät zweiter Art): Im Unterschied zu Zählgeräten erster Art handelt es sich bei Zählgeräten zweiter Art um Geräte, die nach jedem das Gerät treffenden Teilchen für eine (zufällige) Zeitspanne blockiert sind. Jedes Teilchen, das während dieser Zeitspanne das Gerät trifft, wird zwar nicht registriert, erneuert aber die Totzeit des Geräts. Unter der Voraussetzung, dass diese "Totzeiten" T 1, T 2, sowohl vom Prozess der das Gerät treffenden Teilchen als auch untereinander wieder vollständig unabhängig und sind, bestimme man für ein derartiges Zählgerät die Verteilung der Anzahl N der Teilchen, welche zwischen zwei vom Gerät registrierten Teilchen das Gerät treffen und nicht registriert werden. Lösung: Das n+1-te Teilchen wird registriert, wenn die vom n-ten Teilchen Totzeit T n kleiner ist als die davon unabhängige und wegen Satz Pause Y n+1 - Y n zwischen dem n-ten und dem n+ 1-ten das Gerät treffenden Teilchen. Für die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass das n+ 1-te Teilchen

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

Klassische Risikomodelle

Klassische Risikomodelle Klassische Risikomodelle Kathrin Sachernegg 15. Jänner 2008 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 1.1 Begriffserklärung.................................. 3 2 Individuelles Risikomodell 3 2.1 Geschlossenes

Mehr

i x k k=1 i u i x i v i 1 0,2 24 24 0,08 2 0,4 30 54 0,18 3 0,6 54 108 0,36 4 0,8 72 180 0,60 5 1,0 120 300 1,00 2,22 G = 1 + 1 n 2 n i=1

i x k k=1 i u i x i v i 1 0,2 24 24 0,08 2 0,4 30 54 0,18 3 0,6 54 108 0,36 4 0,8 72 180 0,60 5 1,0 120 300 1,00 2,22 G = 1 + 1 n 2 n i=1 1. Aufgabe: Der E-Commerce-Umsatz (in Millionen Euro) der fünf größten Online- Shopping-Clubs liegt wie folgt vor: Club Nr. Umsatz 1 120 2 72 3 54 4 30 5 24 a) Bestimmen Sie den Ginikoeffizienten. b) Zeichnen

Mehr

23 Die Normalverteilung

23 Die Normalverteilung 23 Die Normalverteilung Unter aller Verteilung tritt die Normalverteilung in den Anwendungen am häufigsten auf. Der Grund dafür ist der zentrale Grenzverteilungssatz. Wir werden diesen zentralen Grenzverteilungssatz

Mehr

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8 . Aufgabe: Für zwei verschiedene Aktien wurde der relative Kurszuwachs (in % beobachtet. Aus den jeweils 20 Quartaldaten ergaben sich die folgenden Box-Plots. Box-and-Whisker Plot Aktie Aktie 2-0,2 0,8,8

Mehr

9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz

9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz 9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Wenn wir die Standardabweichung σ nicht kennen,

Mehr

Verteilungsmodelle. Verteilungsfunktion und Dichte von T

Verteilungsmodelle. Verteilungsfunktion und Dichte von T Verteilungsmodelle Verteilungsfunktion und Dichte von T Survivalfunktion von T Hazardrate von T Beziehungen zwischen F(t), S(t), f(t) und h(t) Vorüberlegung zu Lebensdauerverteilungen Die Exponentialverteilung

Mehr

4. Woche Decodierung; Maximale, Perfekte und Optimale Codes. 4. Woche: Decodierung; Maximale, Perfekte und Optimale Codes 69/ 140

4. Woche Decodierung; Maximale, Perfekte und Optimale Codes. 4. Woche: Decodierung; Maximale, Perfekte und Optimale Codes 69/ 140 4 Woche Decodierung; Maximale, Perfekte und Optimale Codes 4 Woche: Decodierung; Maximale, Perfekte und Optimale Codes 69/ 140 Szenario für fehlerkorrigierende Codes Definition (n, M)-Code Sei C {0, 1}

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

Multiple-Choice Test. Alle Fragen können mit Hilfe der Versuchsanleitung richtig gelöst werden.

Multiple-Choice Test. Alle Fragen können mit Hilfe der Versuchsanleitung richtig gelöst werden. PCG-Grundpraktikum Versuch 8- Reale Gas Multiple-Choice Test Zu jedem Versuch im PCG wird ein Vorgespräch durchgeführt. Für den Versuch Reale Gas wird dieses Vorgespräch durch einen Multiple-Choice Test

Mehr

Beispielarbeit. MATHEMATIK (mit CAS)

Beispielarbeit. MATHEMATIK (mit CAS) Abitur 2008 Mathematik (mit CAS) Beispielarbeit Seite 1 Abitur 2008 Mecklenburg-Vorpommern Beispielarbeit MATHEMATIK (mit CAS) Hinweis: Diese Beispielarbeit ist öffentlich und daher nicht als Klausur verwendbar.

Mehr

Name:... Matrikel-Nr.:... 3 Aufgabe Handyklingeln in der Vorlesung (9 Punkte) Angenommen, ein Student führt ein Handy mit sich, das mit einer Wahrscheinlichkeit von p während einer Vorlesung zumindest

Mehr

Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes

Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes Aufgabe 1: Wetterbericht Im Mittel sagt der Wetterbericht für den kommenden Tag zu 60 % schönes und zu 40% schlechtes

Mehr

Fotios Filis. Monte-Carlo-Simulation

Fotios Filis. Monte-Carlo-Simulation Fotios Filis Monte-Carlo-Simulation Monte-Carlo-Methoden??? Spielcasino gibt Namen Monte Carlo war namensgebend für diese Art von Verfahren: Erste Tabellen mit Zufallszahlen wurden durch Roulette-Spiel-Ergebnisse

Mehr

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0. 1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt!

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! 1 Einführung 2 Wahrscheinlichkeiten kurz gefasst 3 Zufallsvariablen und Verteilungen 4 Theoretische Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

Monte Carlo Simulation (Grundlagen)

Monte Carlo Simulation (Grundlagen) Der Titel des vorliegenden Beitrages wird bei den meisten Lesern vermutlich Assoziationen mit Roulette oder Black Jack hervorrufen. Allerdings haben das heutige Thema und die Spieltische nur den Namen

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Statistik. R. Frühwirth. Statistik. fru@hephy.oeaw.ac.at. VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090. Februar 2010. R. Frühwirth Statistik 1/536

Statistik. R. Frühwirth. Statistik. fru@hephy.oeaw.ac.at. VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090. Februar 2010. R. Frühwirth Statistik 1/536 fru@hephy.oeaw.ac.at VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090 Februar 2010 1/536 Übersicht über die Vorlesung Teil 1: Deskriptive Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 3: Zufallsvariable Teil 4: Parameterschätzung

Mehr

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678 Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Nichtlebenversicherungsmathematik Aus welchen Teilen besteht eine Prämie Zufallsrisiko, Parameterrisiko, Risikokapital Risikomasse (VaR, ES) Definition von Kohärenz Zusammengesetze Poisson: S(i) CP, was

Mehr

Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels. - Diskontfaktor des Verhandlungspartners

Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels. - Diskontfaktor des Verhandlungspartners 1 KAP 15. Spiele unter unvollständiger Information Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels seine Gegenspieler, deren Aktionen, deren Nutzen, seinen eigenen Nutzen etc. Oft kennt man

Mehr

Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten

Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten I.1 Erweitertes Urnenmodell mit Zurücklegen In einer Urne befinden sich ( N Kugeln, davon M 1 der Farbe F 1, M 2 der Farbe l ) F 2,..., M

Mehr

Martingale. Kapitel 6. 6.1 Martingale in diskreter Zeit. 6.1.1 Definition und Beispiele

Martingale. Kapitel 6. 6.1 Martingale in diskreter Zeit. 6.1.1 Definition und Beispiele Kapitel 6 Martingale In der Statistik modellieren Martingale z.b. Glücksspiele oder Handelsstrategien in Finanzmärkten und sind ein grundlegendes Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer

Mehr

Risiko und Versicherung - Übung

Risiko und Versicherung - Übung Sommer 2009 Risiko und Versicherung - Übung Entscheidungstheoretische Grundlagen Renate Bodenstaff Vera Brinkmann r.bodenstaff@uni-hohenheim.de vera.brinkmann@uni-hohenheim.de https://insurance.uni-hohenheim.de

Mehr

Molekularfeldtheorie (MFT)

Molekularfeldtheorie (MFT) 29.06.2006 Motivation Anwendungen der MFT MFT-Herleitung mittels Variationsansatz und Anwendung Grenzen der Anwendung der MFT Motivation Meisten Probleme nur unter Berücksichtigung von Wechselwirkungen

Mehr

Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik

Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik Sächsisches Staatsministerium für Kultus Schuljahr 2000/01 Geltungsbereich: - Allgemein bildendes Gymnasium - Abendgymnasium und Kolleg - Schulfremde Prüfungsteilnehmer Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach

Mehr

Vorlesung. Komplexe Zahlen

Vorlesung. Komplexe Zahlen Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems

Mehr

Einführung in die Stochastik

Einführung in die Stochastik Einführung in die Stochastik Josef G. Steinebach Köln, WS 2009/10 I Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 Wahrscheinlichkeitsräume, Urnenmodelle Stochastik : Lehre von den Gesetzmäßigkeiten des Zufalls, Analyse

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Zusammengestellt von Irina Bayer-Krakvina, KSR Lernziele: - Wissen, was ein Steigungsdreieck einer Geraden ist und wie die Steigungszahl

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen

Mehr

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses.

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses. XI. Binomialverteilung ================================================================== 11.1 Definitionen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Zwei Aufgaben, die auf windschiefe Regelflächen führen,

Zwei Aufgaben, die auf windschiefe Regelflächen führen, Zwei Aufgaben, die auf windschiefe Regelflächen führen, von À. KIEFER (Zürich). (Als Manuskript eingegangen am 25. Januar 1926.) I. Gesucht im Raum der Ort des Punktes, von dem aus die Zentralprojektionen

Mehr

Kapitalversicherungen

Kapitalversicherungen Kapitalversicherungen Sanela Omerovic Proseminar Versicherungsmathematik TU Graz 11. Dezember 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 2 Einfache Versicherungsformen 3 2.1 Todesfallversicherungen (Life Insurance)....................

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Stochastische Analysis. Zufallsmatrizen. Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada

Stochastische Analysis. Zufallsmatrizen. Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada Stochastische Analysis für Zufallsmatrizen Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada Was ist eine Zufallsmatrix? Zufallsmatrix = Matrix mit zufälligen Einträgen A : Ω M N (C) Was ist eine Zufallsmatrix?

Mehr

34 5. FINANZMATHEMATIK

34 5. FINANZMATHEMATIK 34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.

Mehr

Radioaktivität II. Gamma Absorption. (Lehrer AB) Abstract:

Radioaktivität II. Gamma Absorption. (Lehrer AB) Abstract: Radioaktivität II Gamma Absorption (Lehrer AB) Abstract: Den SchülerInnen soll der Umgang mit radioaktiven Stoffen nähergebracht werden. Im Rahmen dieses Versuches nehmen die SchülerInnen Messwerte eines

Mehr

Physikalisches Anfängerpraktikum Universität Hannover Sommersemester 2009 Kais Abdelkhalek - Vitali Müller. Versuch: D10 - Radioaktivität Auswertung

Physikalisches Anfängerpraktikum Universität Hannover Sommersemester 2009 Kais Abdelkhalek - Vitali Müller. Versuch: D10 - Radioaktivität Auswertung Physikalisches Anfängerpraktikum Universität Hannover Sommersemester 2009 Kais Abdelkhalek - Vitali Müller Versuch: D0 - Radioaktivität Auswertung Radioaktivität beschreibt die Eigenschaft von Substanzen

Mehr

ZUFALLSZAHLEN. WPG Informatik / Mathematik. BG/BRG Bad Ischl. A. Lindner

ZUFALLSZAHLEN. WPG Informatik / Mathematik. BG/BRG Bad Ischl. A. Lindner ZUFALLSZAHLEN WPG Informatik / Mathematik BG/BRG Bad Ischl A. Lindner 1 BEDEUTUNG VON ZUFALLSZAHLEN Beispiel: Computertip für Lotto in einer Trafik. Wie kann ein (elektronisches) Gerät, das nach einem

Mehr

Gruppe: 1/8 Versuch: 4 PRAKTIKUM MESSTECHNIK VERSUCH 5. Operationsverstärker. Versuchsdatum: 22.11.2005. Teilnehmer:

Gruppe: 1/8 Versuch: 4 PRAKTIKUM MESSTECHNIK VERSUCH 5. Operationsverstärker. Versuchsdatum: 22.11.2005. Teilnehmer: Gruppe: 1/8 Versuch: 4 PRAKTIKUM MESSTECHNIK VERSUCH 5 Operationsverstärker Versuchsdatum: 22.11.2005 Teilnehmer: 1. Vorbereitung 1.1. Geräte zum Versuchsaufbau 1.1.1 Lawinendiode 1.1.2 Photomultiplier

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management

Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management P Kreditportfolio bestehend aus m Krediten; Verlustfunktion L = n i=1 L i; Die Verluste L i sind unabhängig bedingt durch einen Vektor Z von ökonomischen

Mehr

Mathematik-Dossier. Die lineare Funktion

Mathematik-Dossier. Die lineare Funktion Name: Mathematik-Dossier Die lineare Funktion Inhalt: Lineare Funktion Lösen von Gleichungssystemen und schneiden von Geraden Verwendung: Dieses Dossier dient der Repetition und Festigung innerhalb der

Mehr

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r )

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r ) Definition B : Menge der binären Bäume, rekursiv definiert durch die Regeln: ist ein binärer Baum sind t l, t r binäre Bäume, so ist auch t =, t l, t r ein binärer Baum nur das, was durch die beiden vorigen

Mehr

Verwendet man zur Darstellung nur binäre Elemente ( bis lat.: zweimal) so spricht man von binärer Digitaltechnik.

Verwendet man zur Darstellung nur binäre Elemente ( bis lat.: zweimal) so spricht man von binärer Digitaltechnik. Kursleiter : W. Zimmer 1/24 Digitale Darstellung von Größen Eine Meßgröße ist digital, wenn sie in ihrem Wertebereich nur eine endliche Anzahl von Werten annehmen kann, also "abzählbar" ist. Digital kommt

Mehr

Der Bipolar-Transistor und die Emitterschaltung Gruppe B412

Der Bipolar-Transistor und die Emitterschaltung Gruppe B412 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Der Bipolar-Transistor und die Emitterschaltung Gruppe B412 Patrick Christ und Daniel Biedermann 16.10.2009 1. INHALTSVERZEICHNIS 1. INHALTSVERZEICHNIS... 2 2. AUFGABE 1...

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte März 2008 Zusammenfassung IB 1. Lagebeziehungen zwischen geometrischen Objekten 1.1 Punkt-Gerade Ein Punkt kann entweder auf einer gegebenen

Mehr

a' c' Aufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und Anti-Steinersche Punkte Darij Grinberg

a' c' Aufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und Anti-Steinersche Punkte Darij Grinberg ufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und nti-steinersche Punkte Darij Grinberg Eine durch den Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks B gehende Gerade g werde an den Dreiecksseiten B; und B gespiegelt;

Mehr

Kugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten

Kugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten Kugel-Fächer-Modell n Kugeln (Rosinen) sollen auf m Fächer (Brötchen) verteilt werden, zunächst 3 Kugeln auf 3 Fächer. 1fach 3fach Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten } 6fach 3! Möglichkeiten Es

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

Funktionen (linear, quadratisch)

Funktionen (linear, quadratisch) Funktionen (linear, quadratisch) 1. Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = 16 x 2 2x + 4 2. Umkehrfunktionen Wie lauten die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen? (a)

Mehr

Die Monte-Carlo-Methode mit Pseudo- und Quasi-Zufallszahlen

Die Monte-Carlo-Methode mit Pseudo- und Quasi-Zufallszahlen Die Monte-Carlo-Methode mit Pseudo- und Quasi-Zufallszahlen Marco A. Harrendorf Hauptseminar Methoden der experimentellen Teilchenphysik WS 2011/2012 Karlsruhe Institut für Technologie (KIT) 25.11.2011

Mehr

Physikalische Grundlagen der Hygrometrie

Physikalische Grundlagen der Hygrometrie Den Druck der durch die verdampfenden Teilchen entsteht, nennt man auch Dampfdru Dampfdruck einen gewissen Wert, so können keine weiteren Teilchen aus der Flüssigk Physikalische Grundlagen der Hygrometrie

Mehr

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen 1. (Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1898, S. 309 316.)

Mehr

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Grundkurs Mathematik

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Grundkurs Mathematik Abitur 008 LA / AG II. Abenteuerspielplatz Der Gemeinderat beschlie t, einen eher langweiligen Spielplatz zu einem Abenteuerspielplatz umzugestalten. Das Motto lautet Auf hoher See. Daher soll ein Piratenschiff

Mehr

Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A

Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A Name: Klasse: Datum: Teil B Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A 1. Gegeben ist die Exponentialfunktion y=f x = 0,5 x ; x R. (9P) a) Geben Sie die folgenden Eigenschaften dieser Funktion an! Wertebereich,

Mehr

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 S n 1250 1244, 085 1214, 075 1220, 136 1226, 167 Nach einem Jahr beträgt der Schuldenstand ca. 1177,09.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 S n 1250 1244, 085 1214, 075 1220, 136 1226, 167 Nach einem Jahr beträgt der Schuldenstand ca. 1177,09. Gymnasium Leichlingen 10a M Lö 2007/08.2 2/2 Aufgaben/Lösungen der Klassenarbeit Nr. 4 von Fr., 2008-04-25 2 45 Aufgabe 1: Die A-Bank bietet Kredite zu einem Zinssatz von 6% pro Jahr an. Ein privater Keditvermittler

Mehr

Intermezzo: Das griechische Alphabet

Intermezzo: Das griechische Alphabet Intermezzo: Das griechische Alphabet Buchstaben Name Buchstaben Name Buchstaben Name A, α Alpha I, ι Iota P, ρ Rho B, β Beta K, κ Kappa Σ, σ sigma Γ, γ Gamma Λ, λ Lambda T, τ Tau, δ Delta M, µ My Υ, υ

Mehr

38. Algorithmus der Woche Zufallszahlen Wie kommt der Zufall in den Rechner?

38. Algorithmus der Woche Zufallszahlen Wie kommt der Zufall in den Rechner? 38. Algorithmus der Woche Zufallszahlen Wie kommt der Zufall in den Rechner? Autor Tim Jonischkat, Universität Duisburg-Essen Bruno Müller-Clostermann, Universität Duisburg-Essen Algorithmen sind clevere

Mehr

Beispielaufgaben zum Pflichtteil im Abitur Mathematik ab 2014

Beispielaufgaben zum Pflichtteil im Abitur Mathematik ab 2014 Beispielaufgaben zum Pflichtteil im Abitur Mathematik ab 04 Schwerpunkt: grundlegendes Anforderungsniveau 0 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Seite Vorbemerkungen... Aufgabenvariationen und Ergänzungen

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

3.2 Spiegelungen an zwei Spiegeln

3.2 Spiegelungen an zwei Spiegeln 3 Die Theorie des Spiegelbuches 45 sehen, wenn die Person uns direkt gegenüber steht. Denn dann hat sie eine Drehung um die senkrechte Achse gemacht und dabei links und rechts vertauscht. 3.2 Spiegelungen

Mehr

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

Die Avogadro-Konstante N A

Die Avogadro-Konstante N A Die Avogadro-Konstante N A Das Ziel der folgenden Seiten ist es, festzustellen, wie viele Atome pro cm³ oder pro g in einem Stoff enthalten sind. Chemische Reaktionen zwischen Gasen (z.b. 2H 2 + O 2 2

Mehr

Sprechen wir über Zahlen (Karl-Heinz Wolff)

Sprechen wir über Zahlen (Karl-Heinz Wolff) Sprechen wir über Zahlen (Karl-Heinz Wolff) Die Überschrift ist insoweit irreführend, als der Autor ja schreibt und nicht mit dem Leser spricht. Was Mathematik im allgemeinen und Zahlen im besonderen betrifft,

Mehr

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Aufgabe 2. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Ergebnis und Ergebnismenge Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, oft Zufallsexperiment genannt Bei der Beschreibung der Ergebnisse wird stets ein bestimmtes Merkmal

Mehr

12. Vergleich mehrerer Stichproben

12. Vergleich mehrerer Stichproben 12. Vergleich mehrerer Stichproben Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Häufig wollen wir verschiedene Populationen, Verfahren, usw. miteinander vergleichen. Beipiel: Vergleich

Mehr

Derivatebewertung im Binomialmodell

Derivatebewertung im Binomialmodell Derivatebewertung im Binomialmodell Roland Stamm 27. Juni 2013 Roland Stamm 1 / 24 Agenda 1 Einleitung 2 Binomialmodell mit einer Periode 3 Binomialmodell mit mehreren Perioden 4 Kritische Würdigung und

Mehr

RSA Verfahren. Kapitel 7 p. 103

RSA Verfahren. Kapitel 7 p. 103 RSA Verfahren RSA benannt nach den Erfindern Ron Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman war das erste Public-Key Verschlüsselungsverfahren. Sicherheit hängt eng mit der Schwierigkeit zusammen, große Zahlen

Mehr

Kapitel 4: Chemische. Woher stammen die chemischen Symbole?

Kapitel 4: Chemische. Woher stammen die chemischen Symbole? Kapitel 4: Chemische Symbole Woher stammen die chemischen Symbole? Das sind die Anfangsbuchstaben (manchmal auch die ersten beiden Anfangsbuchstaben) der lateinischen oder griechischen Namen der Elemente.

Mehr

Theorien für die Darstellung von Unsicherheit Ein Vergleich der Wahrscheinlichkeits-, Möglichkeits- und Dempster-Shafer Theorie

Theorien für die Darstellung von Unsicherheit Ein Vergleich der Wahrscheinlichkeits-, Möglichkeits- und Dempster-Shafer Theorie Theorien für die Darstellung von Unsicherheit Ein Vergleich der Wahrscheinlichkeits-, Möglichkeits- und Dempster-Shafer Theorie Johannes Leitner Inhalt I Modellierung von Unschärfe Unscharfe Mengen Unscharfe

Mehr

2013/2014 Abitur Sachsen - Leistungskurs Mathematik

2013/2014 Abitur Sachsen - Leistungskurs Mathematik Schriftliche Abiturprüfung Leistungskurs Mathematik Inhaltsverzeichnis Vorwort...1 Hinweise für den Teilnehmer...2 Bewertungsmaßstab...2 Prüfungsinhalt...2 Aufgabe A...2 Aufgabe B 1...3 Aufgabe B 2...5

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

Amerikanischen Optionen

Amerikanischen Optionen Die Bewertung von Amerikanischen Optionen im Mehrperiodenmodell Universität-Gesamthochschule Paderborn Fachbereich 17 Seminar Finanzmathematik SS 2001 Referentin: Christiane Becker-Funke Dozent: Prof.

Mehr

Der Huffman Algorithmus

Der Huffman Algorithmus Der Huffman Algorithmus Für das Folgende setzen wir voraus, dass die Quellensymbole q ν einem Alphabet {q μ } = {A, B, C,...} mit dem Symbolumfang M entstammen und statistisch voneinander unabhängig seien.

Mehr

Kreditrisiko bei Swiss Life. Carl-Heinz Meyer, 13.06.2008

Kreditrisiko bei Swiss Life. Carl-Heinz Meyer, 13.06.2008 Kreditrisiko bei Swiss Life Carl-Heinz Meyer, 13.06.2008 Agenda 1. Was versteht man unter Kreditrisiko? 2. Ein Beisiel zur Einführung. 3. Einige kleine Modelle. 4. Das grosse kollektive Modell. 5. Risikoberechnung

Mehr

Credit Risk+: Eine Einführung

Credit Risk+: Eine Einführung Credit Risk+: Eine Einführung Volkert Paulsen December 9, 2004 Abstract Credit Risk+ ist neben Credit Metrics ein verbreitetes Kreditrisikomodell, dessen Ursprung in der klassischen Risikotheorie liegt.

Mehr

Wie löst man Mathematikaufgaben?

Wie löst man Mathematikaufgaben? Wie löst man Mathematikaufgaben? Manfred Dobrowolski Universität Würzburg Wie löst man Mathematikaufgaben? 1 Das Schubfachprinzip 2 Das Invarianzprinzip 3 Das Extremalprinzip Das Schubfachprinzip Verteilt

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung. Mathematik. Probeklausur März 2014. Teil-1-Aufgaben

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung. Mathematik. Probeklausur März 2014. Teil-1-Aufgaben Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik Probeklausur März 2014 Teil-1-Aufgaben Beurteilung Jede Aufgabe in Teil 1 wird mit 0 oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in

Mehr

Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL

Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Max C. Wewel Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Methoden, Anwendung, Interpretation Mit herausnehmbarer Formelsammlung ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow,

Mehr

Primzahlen zwischen 50 und 60. Primzahlen zwischen 70 und 80. Primzahlen zwischen 10 und 20. Primzahlen zwischen 40 und 50. den Term 2*x nennt man

Primzahlen zwischen 50 und 60. Primzahlen zwischen 70 und 80. Primzahlen zwischen 10 und 20. Primzahlen zwischen 40 und 50. den Term 2*x nennt man die kleinste Primzahl zwischen 0 und 60 zwischen 0 und 10 zwischen 60 und 70 zwischen 70 und 80 zwischen 80 und 90 zwischen 90 und 100 zwischen 10 und 20 zwischen 20 und 0 zwischen 0 und 40 zwischen 40

Mehr

1 Das Lemma von Burnside und seine Anwendungen

1 Das Lemma von Burnside und seine Anwendungen Das Lemma von Burnside und seine Anwendungen Mit dem Lemma von Burnside lassen sich Zählprobleme lösen, bei denen Symmetrien eine Rolle spielen. Betrachten wir als einführendes Beispiel die Anzahl der

Mehr

Thermische Isolierung mit Hilfe von Vakuum. 9.1.2013 Thermische Isolierung 1

Thermische Isolierung mit Hilfe von Vakuum. 9.1.2013 Thermische Isolierung 1 Thermische Isolierung mit Hilfe von Vakuum 9.1.2013 Thermische Isolierung 1 Einleitung Wieso nutzt man Isolierkannen / Dewargefäße, wenn man ein Getränk über eine möglichst lange Zeit heiß (oder auch kalt)

Mehr

Die Cantor-Funktion. Stephan Welz

Die Cantor-Funktion. Stephan Welz Die Cantor-Funktion Stephan Welz Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemester 2009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In dieser

Mehr

Single Parity check Codes (1)

Single Parity check Codes (1) Single Parity check Codes (1) Der Single Parity check Code (SPC) fügt zu dem Informationsblock u = (u 1, u 2,..., u k ) ein Prüfbit (englisch: Parity) p hinzu: Die Grafik zeigt drei Beispiele solcher Codes

Mehr