22 Der Poissonprozess

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1 22 Der Poissonprozess Eines der am meisten verwendeten Modelle der Stochastik ist der sogenannte Poissonprozess. Wir werden einen Poissonprozess dabei als "infinitesimalen" Bernoulliprozess definieren und damit ein tiefes Verständnis für Poissonprozesse erzeugen. Viele interessante Eigenschaften von Poissonprozessen lassen sich damit nämlich auf oft sehr einfache Weise herleiten. Mit einem Poissonprozess sind wieder eine Reihe von Verteilungen eng verbunden. Es handelt sich dabei um die Poissonverteilung, die Gammaverteilung und (als Spezialfälle der Gammaverteilung) die Erlangverteilung und die Exponentialverteilung. Wir werden ausführlich darauf eingehen, bei welchen Fragestellungen diese Verteilungen auftreten und welche Eigenschaften diese Verteilungen besitzen. Außerdem werden wir wieder an Hand von zahlreichen Beispielen zeigen, wie mit diesen Verteilungen gearbeitet wird Der Poissonprozess Sei XŒ n ein vorgegebener Bereich, den wir in lauter "infinitesimale" Teilbereiche X mit gleicher Länge bzw gleichem Flächeninhalt bzw gleichem Volumen X zerlegen. Wichtige Beispiele dafür sind die Bereiche X= und die wir in lauter "infinitesimale" Intervalle der t+ td zerlegen sowie Bereiche XŒ 2, die wir in lauter "infinitesimale" Rechtecke der s + sd µ@t, t + td zerlegen. Mit dieser Vorbereitung sind wir nun in der Lage, den Begriff des Poissonprozesses inhaltlich zu definieren: Definition: Wir betrachten ein Zufallsexperiment, bei dem ein gewisses Ereignis A mit der infinitesimalen Wahrscheinlichkeit l X eintreten kann (tritt das Ereignis A ein, so spricht man von einem Erfolg). Wird dieses Zufallsexperiment laufend in jedem "infinitesimalen" Bereich X unabhängig wiederholt, so sagt man, auf dem Bereich X liegt ein Poissonprozess mit Intensität l vor. Wie wir sehen werden, entspricht die Intensität l der mittleren Anzahl der Erfolge im Einheitsbereich. Einfache Beispiele für Poissonprozesse sind ä die Zeitpunkte, in denen eine radioaktive Substanz a-teilchen emittiert; ä die Zeitpunkte, in denen bei einer Telefonzentrale Anrufe eintreffen; ä die Zeitpunkte, in denen bei einer Bedienungsanlage (Server) Forderungen (Nachrichten) eintreffen; ä die Zeitpunkte, in denen (bei schwachem Verkehr) Fahrzeuge eine bestimmte Zählstelle kreuzen; ä die Orte, in denen ein Garn Noppen aufweist; ä die Orte, in denen ein Stück Stahlblech Fremdkörpereinschlüsse aufweist; ä die Orte eines lichten Waldes, in denen Bäume wachsen; ä die Orte, in denen sich zu einem gewissen Zeitpunkt die Moleküle eines idealen Gases befinden; ä die Positionen der Sonnen eines Kugelsternhaufens. Mit dem Befehl PoissonProzess@S, ld lässt sich eine zufällige Realisierung w eines eindimensionalen Poissonprozesses erzeugen. Die Liste S=8s 1, s 2 < beschreibt das 1, s 2 D, in dem wir diese zufällige Realisierung w beobachten, der Parameter l entspricht der mittleren Anzahl der Erfolge im 1D. Die roten Punkte kennzeichnen jene Zeitpunkte, in denen das Ereignis A eintritt, also ein Erfolg zu verzeichnen ist:

2 22_Der_Poissonprozess.nb <, 3D Mit dem Befehl PoissonProzess2D@S, T, ld lässt sich eine zufällige Realisierung w eines zweidimensionalen Poissonprozesses erzeugen. Die Listen S=8s 1, s 2 < und T =8t 1, t 2 < beschreiben das 1, s 2 Dµ@t 1, t 2 D, in dem wir diese zufällige Realisierung w beobachten, der Parameter l entspricht der mittleren Anzahl der Erfolge im 1D µ@0, 1D. Die roten Punkte kennzeichnen jene Punkte, in denen das Ereignis A eintritt, also ein Erfolg zu verzeichnen ist. PoissonProzess2D@820, 60<, 810, 20<, 0.5D UniformProzess2D@S_List, T_ListD := Module@8n, liste, posliste, punkte<, n = RandomInteger@UniformDistribution@SP2T- SP1T, TP2T- TP1TDD; liste = Table@8RandomReal@SD, RandomReal@TD<, 8n<D; punkte = Table@Graphics@8PointSize@0.015D, Red, Point@listePiTD<D, 8i, 1, n<d; Show@8punkte<, Axes Æ True, AxesOrigin Æ 8SP1T, TP1T<, PlotRange Æ 8S, T<, AspectRatio Æ AutomaticDD tp = Table@8RandomReal@UniformDistribution@20, 60DD, RandomReal@UniformDistribution@10, 20DD<, 8200<D; ListPlot@tp, PlotStyle -> PointSize@0.015D, AspectRatio Æ AutomaticD Mit einem Poissonprozess mit Parameter l sind wieder eine Reihe von Zufallsvariablen bzw Verteilungen eng verbunden. Wir werden nun diese Zufallsvariablen zusammen mit ihren Eigenschaften und Verteilungen angeben und diese Verteilungen in den folgenden Abschnitten im Detail besprechen Definition: Für jede Teilmenge BŒX mit endlichem Inhalt B bezeichne die Zufallsvariable Z B die Anzahl der Erfolge in der Menge B. Die diskrete Zufallvariable Z B ist wegen der Formel von Bernoulli mit den Parametern n= B ê B und p=l B binomialverteilt und damit wegen des Gesetzes der seltenen B D-verteilt. Wenn von einem Poissonprozess mit Intensität l auf dem Bereich XŒ n die Rede ist, so versteht man in der

3 120 22_Der_Poissonprozess.nb Wenn von einem Poissonprozess mit Intensität auf dem Bereich die Rede ist, so versteht man in der Stochastik darunter stets diese Familie =8Z B BmX< von Zufallsvariablen. (Mit BmX bezeichnen wir dabei jeweils eine Teilmenge B von X mit endlichem Inhalt B.) Sei =8Z B BmX< ein Poissonprozess mit Intensität l auf dem Bereich X. Da wir Poissonprozesse als infinitesimale Bernoulliprozesse definiert haben, folgt unmittelbar aus Bemerkung Bemerkung: Für paarweise disjunkte Teilmengen B 1, B 2, ŒX mit endlichem Inhalt sind die Zufallsvariablen Z B1, Z B2, vollständig unabhängig. Diese Eigenschaft zusammen mit der Eigenschaft, dass die Zufallsvariablen Z B mit dem Parameter l B poissonverteilt sind, ist charakteristisch für einen Poissonprozess: Bemerkung: Besitzt die Familie =8Z B BmX< von Zufallsvariablen die beiden Eigenschaften a) für alle BmX ist die Zufallsvariable Z B mit dem Parameter l B poissonverteilt; b) für paarweise disjunkte B 1, B 2, mx sind die Zufallsvariablen Z B1, Z B2, vollständig unabhängig, so handelt es sich bei dieser Familie =8Z B BmX< um einen Poissonprozess mit Intensität l. Die folgende Eigenschaft eines Poissonprozesses =8Z B BmX< ist oft von zentraler Bedeutung:

4 22_Der_Poissonprozess.nb Satz: Für beliebige Teilmengen BmX und alle nœ sind unter der Voraussetzung 8Z B = n< die Positionen X 1, X 2,, X n dieser n Erfolge in der Menge B vollständig unabhängig und auf B gleichverteilt. Beweis: Seien BmX und nœ beliebig aber fest gewählt. Für die paarweise disjunkten "infinitesimalen" Bereiche X 1, X 2, X n Œ B gilt wegen Bemerkung und der Tatsache dass sich n Dinge bekanntlich auf n! verschiedene Arten anordnen 1 œ X 1 < 8X n œ X n < 8Z B = n<d= X1 = 1< 8Z X n = 1< 8Z B-H X 1 XnL = 0<D B = n<d = ò =1 = -l X 1 ò =1 = -l B l X 1 -l X n l X n -lh B - X X n L -l B = X 1 X 2 X n Hl B L n B n Basierend auf diesem Satz lässt sich ein Poissonprozess mit Intensität l auf einem beliebigen Bereich Xm d leicht simulieren: Man erzeugt dazu zuerst eine mit dem Parameter l X poissonverteilte Zufallszahl n und wählt anschließend n auf der Menge X gleichverteilte Punkte aus Beispiel: Man entwickle eine Prozedur, mit der sich eine Realisierung w eines zweidimensionalen Poissonprozesses mit Parameter l auf dem 1, S 2 Dµ@T 1, T 2 DŒ 2 simulieren und graphisch darstellen lässt. Wir wollen nun eindimensionale Poissonprozesse =8Z B Bm < mit Intensität l näher untersuchen. Aus der Tatsache, dass wir einen Poissonprozess als "infinitesimalen" Bernoulliprozess definiert haben, erhält man unmittelbar die beiden Eigenschaften: Regenerationseigenschaft: Ein eindimensionaler Poissonprozess =8Z B Bm < mit Intensität l verhält sich von einem beliebigen Zeitpunkt tœ an genau so, wie ein zu diesem Zeitpunkt t neu gestarteter, vom bisherigen Verhalten des Prozesses unabhängiger Poissonprozess ` =8Z` B mit Intensität l Zeitreversibilität: Invertiert man bei einem eindimensionalen Poissonprozess =8Z B Bm < mit Intensität l die Richtung der Zeit (das bedeutet, dass man alle Realisierungen w dieses Prozesses am Ursprung spiegelt), so erhält man wieder einen eindimensionalen Poissonprozess è =8Z è B Bm < mit Intensität l. Sowohl die Regenerationseigenschaft als auch die Zeitreversibilität eines eindimensionalen Poissonprozesses lässt sich am Ticken eines Geigerzählers (es handelt sich dabei um jene Zeitpunkte, in denen ein a-teilchen einer radioaktiven Substanz, von der wir annehmen wollen, dass sie eine sehr lange Halbwertszeit besitzt, den Geigerzähler trifft) gut veranschaulichen: Die Regenerationseigenschaft entspricht der Tatsache, dass für einen beliebigen Zeitpunkt t der bisherige Verlauf des Tickens keinen Einfluss auf den Verlauf des Tickens ab diesem Zeitpunkt t hat und sich das Ticken dieses Geigerzählers ab diesem Zeitpunkt t nicht vom Ticken eines zum Zeitpunkt t neu gestarteten Geigerzählers unterscheidet. Die Zeitreversibilität beschreibt die Tatsache, dass es unmöglich ist, von einem auf Tonband aufgenommenen Ticken zu entscheiden, ob das Tonband vorwärts oder rückwärts abläuft Definition: Ist =8Z B Bm < ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l, so nennt man für jedes nœ die Zufallsvariable

5 122 22_Der_Poissonprozess.nb jedes n die Zufallsvariable Y n = Min8s s>0und Z D 0, sd = n< die Wartezeit bis zum n-ten Erfolg Satz: Ist =8Z B Bm < ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l, so ist die Wartezeit Y n bis zum n-ten Erfolg amma@n, 1êlD-verteilt. Wegen Bemerkung ist die Wartezeit Y 1 bis zum ersten Erfolg Beweis: Für alle nœ81, 2, < und alle y>0 gilt n n > D 0, yd n- 1<D Die Behauptung folgt damit unmittelbar aus der Tatsache, dass bei einem eindimensionalen Poissonprozess mit Intensität l die Anzahl der Erfolge Z D 0, yd im Intervall D 0, yd yd-verteilt ist, zusammen mit der Identität FullSimplify@1 - CDF@PoissonDistribution@l yd, n- 1D ä CDF@GammaDistribution@n, 1 êld, yd, n Œ IntegersD True

6 22_Der_Poissonprozess.nb 123 Die oben erwähnte Regenerationseigenschaft lässt sich wesentlich verschärfen. Wir benötigen dazu den zentralen Begriff der Stoppzeit: Definition: Sei =8Z B Bm < ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l. Die Zufallsvariable T nennt man eine -Stoppzeit, wenn für alle tœ das Ereignis 8T t< nur vom Verhalten des Prozesses bis zum Zeitpunkt t und eventuell weiteren, vom Prozess unabhängigen Zufallsvariablen abhängt und damit vom Verhalten des Prozesses nach dem Zeitpunkt t unabhängig ist. Ein typisches Beispiel für eine -Stoppzeit ist die Wartezeit Y n bis zum n-ten Erfolg: Für alle tœ hängt das Ereignis 8Y n t< offenbar nur vom Verhalten des Prozesses bis zum Zeitpunkt t ab Verallgemeinerte Regenerationseigenschaft: Ein eindimensionaler Poissonprozess =8Z B Bm < mit Intensität l verhält sich von einer beliebigen -Stoppzeit T an genau so, wie ein zu diesem Zeitpunkt T neu gestarteter, vom bisherigen Verhalten des Prozesses unabhängiger Poissonprozess ` =8Z` B mit Intensität l. Beweis: Für alle tœ lässt sich das Ereignis 8T = t< allein durch das Verhalten des Prozesses bis zum Zeitpunkt t, also durch die Zufallsvariablen Z B mit BmD-, td und eventuell weiteren, vom Prozess unabhängigen Zufallsvariablen beschreiben und ist daher vom Verhalten des Prozesses nach dem Zeitpunkt t unabhängig. Unter der Voraussetzung 8T = t< verhält sich der Prozess damit vom Zeitpunkt t an wegen der Regenerationseigenschaft ebenso, wie ein zu diesem Zeitpunkt t neu gestarteter, vom bisherigen Verhalten des ursprünglichen Prozesses und damit auch vom Ereignis 8T = t< unabhängiger Poissonprozess ` =8Z` B mit Intensität l. Die verallgemeinerte Regenerationseigenschaft entspricht der Tatsache, dass für eine beliebige Stoppzeit T (etwa jener Zeitpunkt, zu dem der Geigerzähler das n-te mal tickt), der bisherige Verlauf des Tickens keinen Einfluss auf den Verlauf des Tickens nach dieser Stoppzeit T hat und sich das Ticken dieses Geigerzählers ab dieser Stoppzeit T nicht vom Ticken eines zum Zeitpunkt 0 neu gestarteten Geigerzählers unterschiedet Satz: Ist =8Z B Bm < ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l, so sind die Pausen Y 1, Y 2 - Y 1, Y 3 - Y 2, zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Erfolgen vollständig unabhängig und Beweis: Wegen Satz ist die Wartezeit Y Aufgrund der verallgemeinerten Regenerationseigenschaft verhält sich der Prozess von der Wartezeit Y n an genau so, wie ein zu diesem Zeitpunkt Y n neu gestarteter, vom bisherigen Verhalten des ursprünglichen Prozesses =8Z B Bm < unabhängiger Poissonprozess ` =8Z` B mit Intensität l. Die Pause Y n+1 - Y n ist damit vom bisherigen Verhalten des Prozesses und damit von den Pausen Y 1, Y 2 - Y 1,, Y n - Y n-1 unabhängig und, da sie der Wartezeit Ỳ 1 des Prozesses ` entspricht, wegen Satz ebenfalls amma@1, 1êlD-verteilt. Basierend auf diesem Satz lässt sich ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l auf dem Bereich D leicht simulieren: Man muss dazu Zufallszahlen erzeugen und diese als die Pausen des gesuchten Prozesses interpretieren (man vergleiche diese Methode zur Simulation eines eindimensionalen Poissonprozesses mit der unmittelbar vor Beispiel angeführten Methode, welche auf einem ganz anderen Prinzip beruht) Beispiel: Man entwickle eine Prozedur, mit der sich eine Realisierung w eines eindimensionalen Poissonprozesses mit Parameter l auf erzeugen und graphisch darstellen lässt. Lösung: Mit Hilfe von RandomReal erzeugt man dazu eine Liste von Zufallszahlen (es handelt sich dabei um die Pausen zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Erfolgen) und addiert die Zahlen dieser Liste mit

7 124 22_Der_Poissonprozess.nb sich dabei um die Pausen zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Erfolgen) und addiert die Zahlen dieser Liste mit Hilfe von FoldList sukzessive auf, wobei man das unerwünschte erste Element dieser Liste (nämlich die Zahl 0) mit Hilfe von Rest beseitigt (auf diese Weise erhält man jene Zeitpunkte, in denen die einzelnen Erfolge stattfinden). Die graphische Darstellung der auf diese Weise erzeugten Realisierung w erfolgt dann in der üblichen Weise. l = 2; n = 20; liste = RandomReal@ExponentialDistribution@lD, 8n<D; poisson = Rest@FoldList@Plus, 0, listedd punkte = Table@Graphics@8PointSize@0.015D, Red, Point@8poissonPiT, 0<D<D, 8i, 1, n<d; Show@8punkte<, Axes Æ 8True, False<, PlotRange Æ 880, Automatic<, 8-0.1, 0.1<<, AxesOrigin Æ 80, 0<, AspectRatio Æ 0.04D Clear@l, n, liste, poisson, punkted , , , , , , , , , , , , , , , , , , , < Für tiefer liegende Untersuchungen über eindimensionale Poissonprozesse =8Z B folgende Begriffsbildung von Interesse: Bm < mit Intensität l ist die Definition: Ist =8Z B Bm < ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l, so nennt man für jedes tœ die Zufallsvariable V t = Min8s>0 Z D t,t+sd = 1< die Vorwärtsrekurrenzzeit zum Zeitpunkt t und die Zufallsvariable R t = Min8s>0 = 1< die Rückwärtsrekurrenzzeit zum Zeitpunkt t.

8 22_Der_Poissonprozess.nb Satz: Ist =8Z B Bm < ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l, so sind die Vorwärtsrekurrenzzeit V t und die Rückwärtsrekurrenzzeit R t stets unabhängig Beweis: Die Vorwärtsrekurrenzzeit V t hängt nur von den Zufallsvariablen Z B mit BmD ab, die Rückwärtsrekurrenzzeit hängt nur von den Zufallsvariablen Z B mit BmD-, t@ ab. Aus Bemerkung und der Familieneigenschaft folgt daraus die Unabhängigkeit der Vorwärtsrekurrenzzeit V t von der Rückwärtsrekurrenzzeit R t. Wegen der Regenerationseigenschaft verhält sich der Prozess =8Z B Bm < vom Zeitpunkt tœ an ebenso, wie ein zu diesem Zeitpunkt t neu gestarteter, vom bisherigen Verhalten des ursprünglichen Prozesses unabhängiger Poissonprozess ` =8Z` B mit Intensität l. Die Vorwärtsrekurrenzzeit V t des Prozesses entspricht dabei der Wartezeit Ỳ 1 des Prozesses ` und ist damit wegen Satz Wegen der Zeitreversibilität entsteht durch Inversion der Zeit aus dem Prozess =8Z B Bm < wieder ein eindimensionaler Poissonprozess è =8Z è B Bm < mit Intensität l. Die Rückwärtsrekurrenzzeit R t des Prozesses entspricht dabei der Vorwärtsrekurrenzeit V`-t des Prozesses è und ist somit Beispiel: Eine Telefonistin beschwert sich bei ihrem Chef darüber, dass sie pro Minute durchschnittlich eine Vermittlung durchführen muss, was für sie zu anstrengend ist. Der penible Chef überprüft diese Behauptung seiner Telefonistin auf folgende Weise: Er betritt zu einigen zufällig gewählten Zeitpunkten die Telefonzentrale, befragt die Telefonistin, wie lange der letzte Anruf zurück liegt und beobachtet, wann der nächste Anruf eintrifft. Dabei stellt er fest, dass die Zeitspanne zwischen den beiden von ihm beobachteten Anrufen im Durchschnitt zwei Minuten beträgt. Hat die Telefonistin gelogen? Lösung: Die Zeitpunkte, in denen Anrufe bei dieser Telefonzentrale eintreffen, bilden einen Poissonprozess mit Intensität l. Die Telefonistin beobachtet die gemäß Satz Pausen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Anrufen. Der Chef beobachtet die wegen Satz und der Faltungsformel für Gammaverteilungen amma@2, 1êlD-verteilte Summe R t + V t von Rückwärtsrekurrenzzeit und Vorwärtsrekurrenzzeit zum Zeitpunkt t. Wegen 8Mean@GammaDistribution@1, 1 êldd, Mean@GammaDistribution@2, 1 ê ldd< 1 :, λ 2 > λ ist die vom Chef beobachtete Zeitspanne (man spricht dabei von der beobachteten Pause) im Mittel doppelt so lang, wie die von der Telefonistin beobachtete Zeitspanne. Die Telefonistin hat somit nicht gelogen. Inhaltlich wird dieses (auf den ersten Blick überraschende Ergebnis) klar, wenn man berücksichtigt, dass einige wenige lange Pausen zwischen zwei Anrufen bereits einen erheblichen Teil der Arbeitszeit der Telefonistin ausmachen. Das hat zur Folge, dass der Chef eher während einer langen Pause die Telefonzentrale betritt und damit die Länge der von ihm "beobachteten" Pause im Mittel größer ist als die mittlere Länge einer "normalen" Pause. Dieses Beispiel (es handelt sich um das sogenannte Paradoxon der Erneuerungstheorie) sollte zur Vorsicht mahnen! Soll beispielsweise eine Realisierung w eines eindimensionalen Poissonprozesses mit Intensität l auf dem Bereich simuliert werden, so wäre es falsch, mit Hilfe der in Beispiel angeführten Methode zwei Realisierungen w 1 und w 2 eines eindimensionalen Poissonprozesses mit Intensität l auf dem Bereich D zu simulieren und einfach die Zeitpunkte der Realisierung w 1 mit den Zeitpunkten der am Ursprung gespiegelten Realisierung w 2 zu vereinigen. Die Länge der Pause zwischen jenen zwei Erfolgen, welche den Ursprung enthält, wäre dann nämlich sondern amma@2, 1êlD-verteilt, also im Mittel doppelt so lang, wie die Zeitspanne zwischen den anderen Erfolgen. Mit dem Befehl PoissonProzessFalsch@n, ld lässt sich eine derartige zufällige Realisierung erzeugen. Der Parameter n beschreibt dabei, wieviele Punkte rechts und links vom Ursprung erzeugt werden sollen, der Parameter l

9 126 22_Der_Poissonprozess.nb ter n beschreibt dabei, wieviele Punkte rechts und links vom Ursprung erzeugt werden sollen, der Parameter entspricht wieder der Intensität. Man erkennt zwar auf den ersten Blick nicht, dass es sich bei dieser Realisierung nicht um eine Realisierung eines Poissonprozesses mit Intensität l handelt. Erzeugt man aber viele derartige Realisierungen, so erkennt man, dass die Länge jener Pause, welche den Ursprung enthält, meistens deutlich größer ist, als die mittlere Länge der anderen Pausen. PoissonProzessFalsch@20, 3D Pausenlänge im Ursprung: mittlere Pausenlänge: Bei eindimensionalen Poissonprozessen lassen sich die Punkte in natürlicher Weise anordnen. Zusammen mit der in Satz behandelten Eigenschaft, wonach die Pausen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten vollständig unabhängig und exponentialverteilt sind, konnten wir damit eindimensionale Poissonprozesse leicht simulieren. Bei zweidimensionalen Poissonprozessen lassen sich die Punkte gemäß ihrem Abstand vom Ursprung anordnen. Die Rolle der Pausen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten wird dann von den Flächen der Kreisringe zwischen zwei aufeinderfolgenden Punkten übernommen. In Analogie zu Satz gilt: Satz: Ist =8Z B Bm 2 < ein zweidimensionaler Poissonprozess mit Intensität l und ordnet man die Punkte nach ihrem Abstand vom Ursprung, so sind die Flächen der Kreisringe F 1, F 2 - F 1, F 3 - F 2, zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Punkten vollständig unabhängig und Die Winkel, welche die Radiusvektoren zu diesen Punkten mit der x-achse einschließen, sind sowohl von den Flächen dieser Kreisringe als auch untereinander vollständig unabhängig 2p<D-verteilt. Basierend auf diesem Satz lässt sich ein zweidimensionaler Poissonprozess mit Intensität l leicht simulieren: Man muss Zufallszahlen erzeugen und diese als Flächen der Kreisringe zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten interpretieren 2p<D-verteilte Zufallszahlen erzeugen und diese als Winkel, welche die Radiusvektoren zu diesen Punkten mit der x-achse einschließen, interpretieren (man vergleiche diese Methode mit der in Beispiel angeführten Methode) Beispiel: Man entwickle eine Prozedur, mit der sich die n dem Ursprung nächstgelegenen Punkte einer Realisierung w eines zweidimensionalen Poissonprozesses mit Parameter l erzeugen und graphisch darstellen lässt. Lösung: Mit Hilfe von RandomReal erzeugt man dazu eine Liste von Zufallszahlen (es handelt sich dabei um die Flächen der Kreisringe zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Punkten), addiert die Zahlen dieser Liste mit Hilfe von FoldList sukzessive auf, wobei man das unerwünschte erste Element dieser Liste mit Rest beseitigt, dividiert die Zahlen dieser Liste durch p und berechnet anschließend von diesen Zahlen die Wurzel (die dabei entstehende Liste radien gibt die Abstände dieser n Punkte vom Ursprung an). Mit Hilfe von RandomReal erzeugt man anschließend die Liste winkel 2p<D-verteilte Zufallszahlen (bei dieser Liste handelt es sich um die Winkeln, welche die Radiusvektoren zu diesen n Punkten mit der x-achse einschließen). Die graphische Darstellung der auf diese Weise erzeugten Realisierung w erfolgt in der üblichen Weise, indem man zuerst eine Liste der Koordinaten der zu zeichnenden Punkte erzeugt und diese Punkte in der üblichen Weise plottet.

10 22_Der_Poissonprozess.nb 127 l = 2; n = 40; liste = RandomReal@ExponentialDistribution@lD, 8n<D; radien = Sqrt@Rest@FoldList@Plus, 0, listeddêpd; winkel = RandomReal@UniformDistribution@80, 2 p<d, 8n<D; punkte = Table@Graphics@8PointSize@0.03D, Red, Point@8radienPiT Cos@winkelPiTD, radienpit Sin@winkelPiTD<D<D, 8i, 1, n Show@8punkte<, Axes Æ True, AxesOrigin Æ 80, 0<, AspectRatio Æ AutomaticD Clear@l, n, liste, radien, winkel, punkted Poissonprozesse sind der Ausgangspunkt für eine Reihe von weiteren Modellen, mit denen sich zufällige Vorgänge in Naturwissenschaft und Technik beschreiben lassen. Eines dieser Modelle ist der sogenannte Poisson-Geradenprozess, welche vor allem bei Problemen im Bereich der Textilindustrie und der Mineralogie auftreten Definition: Unter einem Poisson-Geradenprozess mit Intensität l versteht man einen zweidimensionalen Poissonprozess =8Z B BmX< mit Intensität l auf dem Bereich 2p@, bei dem man jeden Punkt 8d, j<œx als Gerade g@d, jd interpretiert, welche vom Ursprung den Normalabstand d besitzt und deren Normalvektor mit der x-achse den Winkel j einschließt. Der Zusammenhang zwischen einem zufälligen Punkt 8d, j< des Poissonprozesses und der dazu gehörigen Geraden g@d, jd des Poisson-Geradenprozesses wird in der folgenden Zeichnung erläutert: d j 8d, j< g@d,j<d Mit dem Befehl PoissonGeradenProzess@T, ld lässt sich eine zufällige Realisierung w eines Poisson-Geradenprozesses erzeugen. Der Parameter T beschreibt das TD µ@-t, TD, in dem wir die zufälligen Geraden einzeichnen, der Parameter l entspricht der Intensität des diesem Prozess zugrunde liegenden Poissonprozesses.

11 128 22_Der_Poissonprozess.nb 3D Abschließend befassen wir uns noch mit der Überlagerung bzw Verdünnung von Poissonprozessen: Beispiel: Man zeige: Sind =8X B BmX< bzw =8Y B BmX< zwei unabhängige Poissonprozesse mit den Intensitäten l bzw m, so ist ihre Überlagerung =8Z B BmX< mit Z B = X B + Y B ein Poissonprozess mit Intensität l+m. Beweis: Für alle Teilmengen BmX sind die beiden Zufallsvariablen X B bzw Y B unabhängig B D- B D-verteilt, also ist die Zufallsvariable Z B = X B + Y B wegen der Faltungsformel für B D-verteilt. Außerdem sind die Zufallsvariablen Z B1, Z B2,, Z B n für paarweise disjunkte Teilmengen B 1, B 2,, B n mx offenbar vollständig unabhängig. Beim Prozess =8Z B BmX< handelt es sich somit wegen Bemerkung um einen Poissonprozess mit Intensität l+m.

12 22_Der_Poissonprozess.nb Beispiel: Man zeige: Ist =8Z B BmX< ein Poissonprozess mit Intensität l und werden die einzelnen Punkte unabhängig voneinander und unabhängig vom Prozess mit der Wahrscheinlichkeit p markiert, so ist der Prozess * =8Z B * BmX< der markierten Punkte ein Poissonprozess mit Intensität pl. Beweis: Für alle Teilmengen BmX und alle kœ80, 1, 2 < gilt aufgrund des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit (die Summe werten wir unter Verwendung der Abkürzung a=l B mit Hilfe von Mathematica B = * = k< 8ZB = B = n<d= n=k n = K k O pk H1- pl n-k -l B Hl B L n = -pl B Hpl B L k n=k n! k! FullSimplify@Sum@Binomial@n, kd p k H1-pL n-k Exp@-aDa n ên!, 8n, k, <D, p < 1D p α p k α k Gamma@1+kD Damit haben wir gezeigt, dass die Zufallsvariable Z* B B D-Verteilung genügt. Außerdem sind die Zufallsvariablen Z* B1, ZB2 *,, ZB * für paarweise disjunkte Teilmengen B n 1, B 2,, B n mx offenbar vollständig unabhängig. Beim Prozess * =8Z* B BmX< handelt es sich somit wegen Bemerkung um einen Poissonprozess mit Intensität p l Die Wir fassen die bereits bekannten Eigenschaften der Poissonverteilung [l] zusammen: Bemerkung: Die besitzt den Träger =80, 1, 2, < die -l l z êz! für zœ80, 1, 2, < 0 sonst und die Verteilungsfunktion 0 für z<0 -l l k êk! =G ld für z 0 k=0 Zufallsvariable Z besitzt den und die Für Poissonverteilungen gilt @l+md Es folgen wieder eine Reihe von Beispielen, mit denen gezeigt wird, wie sich die Poissonverteilung bei der Behandlung von konkreten Problemen einsetzen lässt:

13 130 22_Der_Poissonprozess.nb Beispiel: Nach den Beobachtungen der beiden Physiker RUTHERFORD und GEIGER gibt eine gewisse radioaktive Substanz im Verlauf von 7.5 Sekunden durchschnittlich 3.87 a-teilchen ab. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Substanz während einer Sekunde mindestens ein a-teilchen emittiert. Lösung: Nach unseren bisherigen Ausführungen darf man annehmen, dass die Zeitpunkte, in denen diese radioaktive Substanz ein a-teilchen emittiert, einen eindimensionalen Poissonprozess mit Intensität l bilden (als Zeiteinheit verwenden wir dabei eine Sekunde). Damit ist die Anzahl der im td emittierten D=3.87 ergibt sich für die Intensität l der Wert l=3.87ê7.5. Für die von uns @0,1D = 0<D gilt damit 1 - PDF@PoissonDistribution@3.87 ê7.5d, 0D Beispiel: An einem Sommerabend wird durchschnittlich alle 10 Minuten eine Sternschnuppe beobachtet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass während einer Viertelstunde genau zwei Sternschnuppen beobachtet werden? Lösung: Wir dürfen wieder annehmen, dass die Zeitpunkte, in denen Sternschnuppen auftreten, einen eindimensionalen Poissonprozess mit Intensität l bilden (als Zeiteinheit verwenden wir dabei eine Minute). Damit ist die Anzahl der im td auftretenden D=1 ergibt sich für die Intensität l der Wert l=1ê10. Für die von uns = 2<D gilt damit PDF@PoissonDistribution@1.5D, 2D Beispiel: In einem lichten Wald stehen pro 100 m 2 durchschnittlich 3 Bäume. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass alle Bäume einen kreisförmigen Querschnitt mit einem Radius von r = 20 cm besitzen. Jemand steht in diesem Wald und feuert zufällig in eine Richtung, in welcher der Waldrand d = 100 m entfernt ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Gewehrkugel einen Baumstamm trifft? Lösung: Die Mittelpunkte der Bäume in einem lichten Wald bilden in erster Näherung einen zweidimensionalen Poissonprozess mit Intensität l (als Flächeneinheit verwenden wir dabei einen Quadratmeter). Damit ist die Anzahl Z B der Bäume, deren Mittelpunkte sich im Bereich B B D-verteilt. Bezeichnet A einen Bereich von 100 m 2, so ergibt sich A D=3 für die Intensität l der Wert l=3ê100. Die Gewehrkugel trifft einen Baumstamm genau dann, wenn sich im Schusskanal K - es handelt sich dabei um einen Bereich, welcher d = 100 m lang und 2 r= 0.4 m breit ist (der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Kugel punktförmig ist) - der Mittelpunkt von mindestens einem Baum befindet. Für die von uns gesuchte K K = 0<D gilt damit d = 100; r = 0.2;l=0.03; 1 - PDF@PoissonDistribution@d 2 r ld, 0D Clear@e, r, ld

14 22_Der_Poissonprozess.nb Beispiel (Die mittlere freie Weglänge): Wir betrachten ein ideales Gas, bei dem sich in einem Kubikzentimeter durchschnittlich l Moleküle befinden, welche wir uns als Kugeln vom Radius r vorstellen. Man bestimme die mittlere freie Weglänge eines Moleküls dieses Gases. Lösung: Unter einem idealen Gas verstehen die Physiker ein Gas, bei dem die einzelnen Moleküle so weit voneinander entfernt sind, dass sie miteinander nicht in Wechselwirkung treten. Die Orte, in denen sich die einzelnen Gasmoleküle zu einem festen Zeitpunkt befinden, bilden dann näherungsweise einen dreidimensionalen Poissonprozess mit Intensität l (als Volumeneinheit verwenden wir dabei einen Kubikzentimeter). Wir wählen nun ein Gasmolekül aus und beobachten dessen freie Weglänge X, also die Länge jenes Weges, den dieses Molekül zurücklegt, bis es erstmals mit einem anderen Molekül zusammenstößt. Für die Berechnung der Verteilung der freien Weglänge X unseres Moleküls dürfen wir (auf Grund von tiefliegenden Erkenntnissen über die Dynamik von Poissonprozessen) annehmen, dass sich alle anderen Moleküle in Ruhe befinden. Für alle x > 0 gilt damit (mit K x bezeichnen wir einen Zylinder mit Radius 2 r und Höhe > K x = 0<D=1- -4 r2 pl x also ergibt sich für die von uns gesuchte mittlere freie Weglänge (das Integral werten wir mit Mathematica 0 x x=ÿ 0 xi4 r 2 plm -4 r 2 pl x x= 1 4 r 2 pl Integrate@x 4 r 2 plexp@-4 r 2 plxd, 8x, 0, <, Assumptions Æ8r > 0, l > 0<D 1 4 π r 2 λ Beispiel: In einem Kleiderstoff kommen auf je 100 m Stoff durchschnittlich fünf Fehler. Ein Ballen von 100 m wird in n=25 Stücke zu je 4 m zerschnitten. Wie viele fehlerfreie Stücke sind zu erwarten? Lösung: Die Fehler im Kleiderstoff bilden einen Poissonprozess mit Intensität l. Damit ist die Anzahl Z B der Fehler in einem Bereich B B D-verteilt. Wählt man als Längeneinheit einen Meter, so ergibt sich für die Intensität D=5 der Wert l=5ê100. Das laufende Prüfen, ob die einzelnen Stücke, in die der Stoffballen zerschnitten wird, fehlerfrei sind, bildet einen Bernoulliprozess mit = 0<D= -4l Die Anzahl X der fehlerfreien Stücke ist pd-verteilt. Es sind p= fehlerfreie Stücke zu erwarten. n = 25;l=5ê100; p = Exp@-4lD; n pêê N Clear@n, l, pd Beispiel: Die Positionen der Sonnen in einem Kugelsternhaufen bilden in erster Näherung einen Poissonprozess mit Intensität l. Man berechne die mittlere Entfernung zweier benachbarter Sonnen.

15 132 22_Der_Poissonprozess.nb Lösung: Die Anzahl Z B der Sonnen in einem Bereich B dieses Kugelsternhaufens ist B D-verteilt. Für den Abstand X zweier benachbarter Sonnen dieses Kugelsternhaufens gilt damit (K x bezeichne dabei eine Kugel mit Radius x ohne ihren > K x = 0<D=1- -4 x3 plê3 also (das Integral werten wir mit Hilfe von Mathematica 0 x x=ÿ 0 xh4 x 2 pll -4 x 3 plê3 x= G@1ê3D H36plL 1ê3 Integrate@xH4 x 2 pll -4 x3 plê3, 8x, 0, <, Assumptions Æ8l > 0<D GammaB 1 3 F 6 2ê3 π 1ê3 λ 1ê Beispiel (Der Schroteffekt): Wir betrachten einen elektronischen Verstärker. Auch wenn am Eingang des Geräts kein Signal anliegt, treffen dort bekanntlich dennoch Elektronen gemäß einem Poissonprozess mit Intensität l ein. Wir nehmen an, dass ein einzelnes Elektron, welches zum Zeitpunkt t beim Eingang des Verstärkers eintrifft, beim Ausgang die Systemantwort s@t, td=: 1-Ht-tLêT fürt<t<t+t 0 sonst bewirkt. Der Verstärker sei linear, das heißt, dass sich die Systemantworten der einzelnen Elektronen überlagern. Man bestimme den t D des Signals A t am Ausgang des Verstärkers zum Zeitpunkt t. Lösung: Die zum Zeitpunkt t am Ausgang des Verstärkers anliegende Spannung hängt offenbar nur davon ab, wann im T, td Elektronen beim Eingang des Verstärkers eintreffen. Unter der Voraussetzung, dass in diesem Intervall n Elektronen beim Eingang des Verstärkers eintreffen, sind die Zeitpunkte X 1, X 2,, X n ihres Eintreffens wegen Satz vollständig unabhängig und im T, td gleichverteilt. Wegen des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit gilt damit für alle tœ (man beachte, i D=t- Tê2 ist) t = s@t, = n<d= n=1 n=1 i=1 n 1 Xi = n<d= n n=1i=1 = n<d= l T Beispiel: Die Emission der Elektronen von der Kathode einer Elektronenröhre erfolgt gemäß einem Poissonprozess mit Intensität l. Wir wollen annehmen, dass die Aufenthaltsdauern der Elektronen in der Elektronenröhre voneinander und von den Zeitpunkten ihrer Emission unabhängige, im td gleichverteilte Zufallsvariablen A 1, A 2, sind. Die Röhre wird zum Zeitpunkt 0 eingeschaltet. Man berechne die Verteilung der Anzahl N t der Elektronen, die sich zum Zeitpunkt t>t in der Röhre befinden. Lösung: Unter der Voraussetzung, dass im td von der Elektronenröhre genau n Elektronen emittiert werden, sind die Zeitpunkte X 1, X 2,, X n ihrer Emission wegen Satz vollständig unabhängig und im td gleichverteilt. Für die Wahrscheinlichkeit p, dass sich das i-te dieser n Elektronen zum Zeitpunkt t noch in der Röhre befindet, gilt damit unter Verwendung des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit in differentieller Form (unter der Bedingung = n< sind die Zufallsvariablen X i und A i unabhängig; außerdem ist die Zufallsvariable A i und das Ereignis = n< unabhängig)

16 22_Der_Poissonprozess.nb 133 D < i + A i > t< = n<d= =Ÿ 0 + A i > t< 8X i œ@x i, x i + x i D< = i œ@x i, x i + x i D< = n<d= =Ÿ 0 t i > t-x i i œ@x i, x i + x i D< = n<d=ÿ t-t t-t+x i t 1 t x i = t 2 t Für alle kœ80, 1, 2, < gilt damit unter Verwendung der Formel von Bernoulli (bei jedem einzelnen der n im td von der Kathode emittierten Elektronen wird mit der Wahrscheinlichkeit p ausgewürfelt, ob sich dieses Elektron zum Zeitpunkt t noch in der Röhre befindet; die Summe werten wir mit Mathematica aus) t = = k< = n<d= K k O pk H1- pl n-k -l t Hl tln = n=k n=k n! = -ltê2 Hltê2L k k! FullSimplify@Sum@Binomial@n, kd p k H1-pL n-k Exp@-l tdhl tl n ên!, 8n, k, <D, 1 > p> 0D ê. p ÆtêH2 tl 2 k λ τ 2 Hλ τl k Gamma@1 + kd Damit haben wir gezeigt, dass die Anzahl N t der zum Zeitpunkt t in der Elektronenröhre befindlichen Elektronen mit dem Parameter ltê2 poissonverteilt ist Beispiel: Sei =8Z B Bm < ein eindimensionaler Poissonprozess mit Intensität l. Für alle t 0 sei die Zufallsvariable S t gleich +1, wenn gerade ist und -1 wenn ungerade ist. Für 0 s<t ist die t = S s D< gesucht. Lösung: Für alle 0 s<t gilt (die Zufallsvariable Z D t, sd ist für die Berechnung der Summe verwenden wir t = S s D s, td ist s, td = k<d= 1 k=0 2 H1+ -2lHt-sL L k gerade FullSimplify@Sum@PDF@PoissonDistribution@l Ht- sld, kd, 8k, 0,, 2<DD 1 I1+ 2 Hs tl λ M Beispiel: Man bestimme die Verteilung der Anzahl N der Geraden eines Poisson-Geradenprozesses mit Intensität l, welche den Einheitskreis schneiden sowie den der Summe S der Längen der in diesem Kreis liegenden Sehnen. Lösung: Eine Gerade g@d, jd (man vergleiche dazu Definition ) schneidet den Einheitskreis genau dann, wenn d < 1 ist. Die Anzahl N der Geraden, welche den Einheitskreis schneiden ist Berücksichtigt man nun die aus der Elementargeometrie bekannte Tatsache, dass zwischen der Länge S einer den Einheitskreis schneidenden Sehne und dem im 1D gleichverteilten Normalabstand D dieser Sehne vom

17 134 22_Der_Poissonprozess.nb Einheitskreis schneidenden Sehne und dem im 1D gleichverteilten Normalabstand D dieser Sehne vom Ursprung die Beziehung S 2 = 4H1+DLH1-DL=4I1-D 2 M besteht, so gilt für den der Länge 1-D 2 D=Ÿ d 2 d =pê2 Da die Anzahl N der den Einheitskreis schneidenden Geraden und die Längen S 1, S 2,, S N der im Einheitskreis liegenden Sehnen offenbar unabhängig sind, folgt aus der Formel 1 + S 2 + +S 2

18 22_Der_Poissonprozess.nb Die Gammaverteilung ld Wir fassen die bereits bekannten Eigenschaften der Gammaverteilung ld zusammen: Bemerkung: Die Gammaverteilung ld besitzt den die Verteilungsdichte l -a z a-1 -zêl für z G@aD 0 sonst und die Verteilungsfunktion 0 für 1 G@aD Ÿ z l -a t a-1 -têl 0, zêld für z 0 0 Eine amma@a, ld-verteilte Zufallsvariable Y besitzt den und die 2 Für Gammaverteilungen mit dem gleichen! Parameter l gilt die Faltungsformel amma@a, ld* amma@b, ld= amma@a+ b, ld Bei der Untersuchung von Poissonprozessen treten ausschließlich Gammaverteilungen der Form amma@n, 1êlD mit nœ auf. Nach dem deutschen Nachrichtentechniker ERLANG nennt man eine derartige Gammaverteilung auch Erlangverteilung mit den Parametern nœ und l>0 und bezeichnet diese Verteilung ld (dabei beachte man, dass gilt). Für die Verteilungsdichte und die Verteilungsfunktion der Erlangverteilung ergeben sich etwas einfachere und vor allem besser handhabbare Formeln als für die allgemeine Gammaverteilung: Bemerkung: Die ld mit nœ und l>0 besitzt den Träger die l -l z Hl zl n-1 für z 0 Hn- 1L! 0 sonst und die Verteilungsfunktion 0 für n l z Hl zl k für z 0 k=0 k! ld-verteilte Zufallsvariable Y besitzt den und die 2 Für Erlangverteilungen mit dem gleichen! Parameter l gilt die ld

19 136 22_Der_Poissonprozess.nb Mit einigen Beispielen zeigen wir wieder, wie sich die Gammaverteilung (es handelt sich dabei eigentlich um die Erlangverteilung) bei der Behandlung von konkreten Problemen einsetzen lässt: Beispiel: Die Partikel der kosmischen Höhenstrahlung treffen gemäß einem Poissonprozess mit Intensität l eine Zählvorrichtung und geben dort eine gewisse Energie ab. Wir nehmen an, dass diese von den einzelnen Teilchen an der Zählvorrichtung abgegebenen Energien Zufallsvariable sind, welche sowohl vom Poissonprozess als auch untereinander vollständig unabhängig und md-verteilt sind. Die Zählvorrichtung sendet ihrerseits genau dann einen Impuls aus, wenn die Summe der an der Zählvorrichtung abgegebenen Energien erstmals einen gewissen Schwellwert S überschreitet. Gesucht ist der Erwartungswert der Zeitspanne Y zwischen zwei derartigen Impulsen. Lösung: Wir beginnen mit unserer Beobachtung zu einem Zeitpunkt, in dem die Zählvorrichtung gerade einen Impuls aussendet und bezeichnen mit Y n jenen Zeitpunkt, zu dem das n-te Partikelchen die Zählvorrichtung trifft, mit A n die vom n-ten Partikelchen an der Zählvorrichtung abgegebene Energie und mit N die Anzahl der an der Zählvorrichtung eintreffenden Teilchen, bis die Summe der von ihnen dort abgegebenen Energien erstmals den Schwellwert S überschreitet. Die folgende Zeichnung veranschaulicht eine typische Realisierung dieses Vorgangs: S 3 2 A 3 A 4 A 5 A 6 1 A 1 A 2 Zeit Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y=Y 6 Aufgrund der Faltungsformel für Erlangverteilungen ist die Summe A 1 + A A n der von den ersten n Partikelchen an der Zählvorrichtung abgegebenen md-verteilt. Also gilt für alle = > > n<d= 1 + A A n A A n S<D= =H1- k=0 n-2 -m S Hm SL k k! L-H1- k=0 n-1 -m S Hm SL k k! L= -m S Hm SL n-1 Hn-1L! Da die Wartezeit Y n auf das n-te Partikelchen wegen Satz amma@n, 1êlD-verteilt ist, gilt damit unter Verwendung des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit und der Tatsache, dass das offenbar nur von den Energien A 1, A 2, abhängige Ereignis 8N = n< und die Zufallsvariable Y n unabhängig sind (die Summe werten wir mit 8N = = = n<d= 1+m S n=1 n=1 l Sum@Mean@GammaDistribution@n, 1êlDD Exp@-m SDHm SL n-1 êhn - 1L!, 8n, 1, <D 1 + S µ λ Beispiel (Zählgerät erster Art): Die Zeitpunkte, in denen die von einer radioaktiven Substanz emittierten a-teilchen einen Geigerzähler treffen, bilden bekanntlich einen Poissonprozess mit Intensität l. Aus physikalischen Gründen registriert ein Geigerzähler aber nicht alle a-teilchen, die das Gerät treffen. Unter einem Zählgerät erster Art versteht man ein Gerät, das nach jedem Zählvorgang für eine (zufällige)

20 22_Der_Poissonprozess.nb 137 Unter einem Zählgerät erster Art versteht man ein Gerät, das nach jedem Zählvorgang für eine (zufällige) Zeitspanne blockiert ist und während dieser Zeitspanne alle das Gerät treffenden Teilchen völlig ignoriert. Unter der Voraussetzung, dass diese "Totzeiten" T 1, T 2, sowohl vom Prozess der das Gerät treffenden Teilchen als auch untereinander vollständig unabhängig und sind, bestimme man die Verteilungsdichte Yn+1 * -Y* der Zeitspanne Y* n n+1 - Y* n zwischen dem n-ten und n+1-ten registrierten Teilchen. Lösung: In der folgenden Skizze haben wir jene Zeitpunkte, zu denen Teilchen das Gerät treffen und registriert werden durch rote und jene Zeitpunkte, zu denen Teilchen das Gerät treffen und nicht registriert werden durch blaue Punkte markiert. Die grünen Balken entsprechen den Totzeiten. Die senkrechten schwarzen Linien markieren die Zeitpunkte Y 1 * + T1, Y 2 * + T2,, zu denen das Gerät wieder aufnahmefähig ist. Bei diesen Zeitpunkten handelt es sich offenbar um Stoppzeiten des Poissonprozesses der das Gerät treffenden Teilchen. T 1 T 2 T 3 T 4 Y 1 * Y * Y * 2 Y * 3 Y * 1 +T1 Y * 2 +T2 Y * 3 +T3 4 Y * 4 +T4 Wegen der verallgemeinerten Regenerationseigenschaft zusammen mit Satz ist die Länge der Zeitspanne Y* n+1 -HY* n + Tn L zwischen dem Zeitpunkt, zu dem das Gerät wieder aufnahmefähig ist und jenem Zeitpunkt, zu dem das nächste Teilchen das Gerät trifft (und damit registriert und natürlich von der Totzeit T n unabhängig. Die Verteilung der Zeitspanne Y* n+1 - Y* n = Tn +HY* n+1 -HY* n + Tn LL zwischen dem n-ten und dem n+1-ten registrierten Teilchen ist damit gleich Für die gesuchte Verteilungsdichte Yn+1 * -Y* ergibt sich unter Verwendung von Mathematica im Fall l m n Yn+1 * -Y*@yD= n lm m-l H -l y - -m y L für y 0 0 sonst Integrate@PDF@ExponentialDistribution@mD, y- xd PDF@ExponentialDistribution@lD, xd, 8x, 0, y<d I y λ y µ M λ µ λ µ Aus der verallgemeinerten Regenerationseigenschaft folgt außerdem, dass die Längen dieser Zeitspannen - es handelt sich dabei um die Längen der Intervalle zwischen zwei roten Punkten - vollständig unabhängig sind. Da die Längen dieser Zeitspannen offenbar sind, handelt es sich beim Prozess der registrierten Teilchen nicht! um einen Poissonprozess Beispiel (Zählgerät zweiter Art): Im Unterschied zu Zählgeräten erster Art handelt es sich bei Zählgeräten zweiter Art um Geräte, die nach jedem das Gerät treffenden Teilchen für eine (zufällige) Zeitspanne blockiert sind. Jedes Teilchen, das während dieser Zeitspanne das Gerät trifft, wird zwar nicht registriert, erneuert aber die Totzeit des Geräts. Unter der Voraussetzung, dass diese "Totzeiten" T 1, T 2, sowohl vom Prozess der das Gerät treffenden Teilchen als auch untereinander wieder vollständig unabhängig und sind, bestimme man für ein derartiges Zählgerät die Verteilung der Anzahl N der Teilchen, welche zwischen zwei vom Gerät registrierten Teilchen das Gerät treffen und nicht registriert werden. Lösung: Das n+1-te Teilchen wird registriert, wenn die vom n-ten Teilchen Totzeit T n kleiner ist als die davon unabhängige und wegen Satz Pause Y n+1 - Y n zwischen dem n-ten und dem n+ 1-ten das Gerät treffenden Teilchen. Für die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass das n+ 1-te Teilchen