VERSCHIEBUNGSGRÖßENVERFAHREN (VV, WGV)

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1 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) 4. VERSCHIEUNGSGRÖßENVERFAHREN (VV, WGV) Im Verschebunsverfahren (eentlch Verformunsrößenverfahren) werden de Knotenverformunen (Verschebunen und Verdrehunen) als unbeannte Größen eneführt. Es bt verschedene ezechnunen für das Verschebunsverfahren (VV): Werößenverfahren (WGV) Formänderunsrößenverfahren eformatonsmethode Stefetsmethode Stand:..7 emerun: Werden als Verformunsrößen nur Knotendrehwnel und Stabdrehwnel ewählt, dann sprcht man vom rehwnelverfahren (as Thema wrd n der Vorlesun ncht behandelt, sehe Lteraturanaben). as rehwnelverfahren lt nur für EA, d.h. nur für dehnstarre Stäbe und es ann nur de M-Lne bestmmt werden, de V-Lne und N-Lne müssen dann nachträlch mt Hlfe der M-Lne bestmmt werden. 4. Prnzpelle Vorehenswese und Verlech mt dem KGV Am espel enes Enfeldträers wrd de Vorehenswese des VV erläutert. Ursprünlches System mt elastun: q EA A l. Schrtt: Umwandlun n en eometrsch bestmmtes Grundsystem (durch Enfüen von Festhaltunen bzw. Festenspannunen an jedem Knoten). K ϕ A abe wrd der rehwnel (bzw. de Verdrehun ϕ) auseschaltet bzw. esperrt.. Schrtt: Nullzustand NZ ( ϕ, VK II beachten!) q K p p M K M A M + A

2 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) K hervorerufen. Somt st das Glech- urch de enefüte Festhaltun wrd en Moment ewcht dort verletzt! M. Schrtt: Enhetsverschebunszustand EZ A K M : K M + K 4EI M M 4. Schrtt: Glechewchtsbednun M M + M oder K K + K K M : K M ϕ p 48EI 5. Schrtt: Superposton (Endzustand) M A + M M + M w p ϕ 48EI w w + w A as obe espel zet, dass das VV (WGV) ewsse Ähnlchet zum KGV hat. En Verlech beder Verfahren st n den nachfolenden Tabellen aneeben. K, K und K e durch den Enbau zusätzlcher Festhaltunen entstandenen Kraftrößen ( ) nennt man Verstefunsräfte, Festhalteräfte oder Zwansräfte. ese Kräfte snd m Ornalsystem ncht vorhanden und müssen daher aus der Glechewchtsbednun elmnert werden (m espel K!).

3 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) 4.. Geenüberstellun von Kraft- und Verschebunsrößenverfahren Festhaltunen

4 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) Vorehenswese von Kraft- und Verschebunsrößenverfahren

5 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) 5 4. Geometrsch bestmmtes System: En statsches System st eometrsch bestmmt, falls alle Knotenverformunsrößen beannt (d.h. dese Verformunen snd n der Reel Null) snd. espele: EA -fach eometrsch unbestmmt! ( unbeannte Verformunen) K K eometrsch bestmmt (unbeannte Verformunen esperrt) EA -fach eometrsch unbestmmt! ( unbeannte Verformun) K eometrsch bestmmt (unbeannte Verformun esperrt) emerunen: - En eometrsch bestmmtes System st rundsätzlch statsch unbestmmt! - as KGV st sehr anschaulch und enet sch für de Handrechnun. Es st aber schwer zu prorammeren bzw. zu automatseren. - as VV st wener anschaulch aber sehr formal. Es st lechter zu prorammeren bzw. zu automatseren. e mesten Rechenproramme verwenden das VV (auch de FEM verwendet das VV).

6 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) 6 espel zur Wahl des Rechenverfahrens: 9-fach statsch unbestmmt! (9 unbeannte Kraftrößen bem KGV) EA -fach eometrsch unbestmmt! ( unbeannte Verformunen bem VV) EA -fach eometrsch unbestmmt! ( unbeannte Verformun bem VV) e desem espel st das VV vortelhafter, da wener Unbeannte m VV auftreten.

7 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) 7 4. Grad der eometrschen Unbestmmthet Geometrsch bestmmtes System: e enem eometrsch bestmmten System snd alle Knotenverformunen beannt, n der Reel lech Null. Grad der eom. Unbestmmthet n Anzahl der unbeannten Knotenverformunsrößen. e unbeannten Knotenverformunsrößen werden als eometrsch Unbeannte oder Überzähle bezechnet. En eometrsch bestmmtes System wrd auch als Starrsystem oder Vollenspannsystem bezechnet. Allemen lt: dabe: n n + n ϕ V nϕ - Anzahl der unabhänen Knotendrehunen nv - Anzahl der unabhänen Knotenverschebunen n Anzahl der Unbeannten m VV. Je rößer n, desto mehr Unbeannte, desto mehr Rechenaufwand. 4.. ehnbare Stäbe (EA ) EA Länsverformun der Stäbe mölch! e ebenen Traweren bestzt jeder Knoten Frehetsrade (FG, zwe Verschebunen u, w und ene Verdrehun ϕ). Um en eometrsch unbestmmtes System eometrsch bestmmt zu machen werden ünstlche Festhaltunen eneführt. e unbeannten Knotenverformunsrößen werden dadurch auseschaltet. An den ünstlchen Festhaltunen entstehen somt ünstlche Verstefunsräfte K. Se stellen de Wderstandsräfte oder Stefeten enes Systems een de Enhetsverschebunszustände dar. Last- oder Nullzustand: K Enhetszustand: K : Festhaltun een Verdrehun : Festhaltun een Horzontalverschebun : Festhaltun een Vertalverschebun. espel, K..., K , K..., K..., K , K n 6

8 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) 8. espel, K..., K , K..., K... n 4 GE II n. espel n 6 4. espel n 4 GE II n

9 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) ehnstarre Stäbe (EA ) e dehnstarren Traweren st ene Länsverformun (Länenänderun) der Stäbe mölch ese Annahme st be den mesten n der Praxs vorommenden beebeanspruchten Traweren mt ausrechender Genauet zutreffend. e Annahme EA ann de Anzahl der unbeannten Knotenverschebunsrößen drastsch reduzeren. Entschedend dabe st de estmmun der Anzahl der unabhänen Knotenverschebunen, da ene Knotenverschebunen von den unabhänen Knotenverschebunen abhänen önnen. estmmun der Anzahl der unabhänen Knotenverschebunen n v : Anzahl der unabhänen Knotenverschebunen Grad der Knemat der Gelenfur Anzahl der anzubrnenden Stäbe oder Festhaltunen, um de Gelenfur unverscheblch zu machen!. espel EA ψ ( abhän ) ( unabhän ) ψ n ϕ Gelenfur n v n n + n + ϕ v

10 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT). espel n ϕ, K... Gelenfur n v n. espel n ϕ n n + n ϕ v n v, K......, K

11 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) Abhäne Verschebunen: e abhänen Knotenverschebunen erhält man enen systemabhänen Zusammenhan. Nur ene davon st unabhän oder fre wählbar: u u u u l l ψ ψ ψ l u n v und u u eeben, u u u u ψ l n snd abhäne Knotenverschebunen! v u u ψ ψ l l Abhäne Knotenverdrehunen: e starren Scheben oder beestarren Stäben önnen de Knotenverdrehunen von den Knotenverschebunen abhänen. 4.. ehandlun statsch bestmmter Trawerstele Für de Handrechnun st es snnvoll, statsch bestmmte Trawerstele durch hre Wrun auf das Restsystem zu elmneren und ncht als eometrsch unbestmmte Trawerstele enzuführen. es st zwar ncht notwend (z.. be Computerrechnunen), reduzert aber den Rechenaufwand be Handrechnunen.

12 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) espel Kraarm F F F a a espel Pendelstütze F / l F l EA F / l F c F EA l Stütze Stütze l EA espel Fachwer w wl l

13 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) 4.4 estmmun der Stefeten K K - Verstefunsräfte K - Last- bzw. Nullzustand ( ) K - Enhetsverschebunszustände ( ) e Stefeten K önnen aus dem Knotenlechewcht bestmmt werden: ϕ z y x K K K H K Kräfte V K M K Moment } emerun: e EA önnen de Verstefunsräfte K und K mt dem PvV bestmmt werden. amt ann man omplzerte Komponentenzerleunen der Läns- und Querräfte be schräen Stabanschlüssen vermeden. K K K K aus PvV K aus PvV K aus M Als vrtuelle Verschebunsfur ann de verschobene Gelenfur verwendet werden.

14 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) 4 EA

15 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) 5

16 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) 6

17 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) 7 Andere Mölchet zur estmmun von Lastzustand: : K : K K K über M K über PvV K p 8 M : p h p Fh K F K 5 N Fh 8 PvV: K F 4 F K + F + + ( ) K N 4 4 Hnwes: nur Stabendmomente und äußere Lasten lesten Arbeten!

18 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) 8 Enhetsverformunszustände: : EI s K EI s EI s M : K EI s PvV: K EI s EI s EI s 4 EI s K + EIs + EIs + EIs K EI s : Analo!

19 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) estmmun der Verläufe der Schnttrößen Aus dem VV erhält man de Knotenmomente (Stabendmomente). Aus den Knotenmomenten önnen de Verläufe der Schnttrößen Q und N bestmmt werden. Her für den Lastfall onstante Strecenlast bzw. Glechlast. eemomente (VZ nach VK II!!) Superposton: Stabendmomente + Momente am alen auf Stützen M j M j j + p pl 8 + M j l M j (Enhänen der p 8 + pl 8 - Parabel) j Querräfte (VZ nach VK II!!) M j Qj l Verlauf der Querräfte: Stabendquerräfte + Verlauf der Querräfte am alen auf Stützen p j Qj M j Stabendquerräfte M j + M j Qj Q j M j + M j Q j + j Qj + pl + l pl + j

20 VORLESUNGSMANUSKRIPT AUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) Normalräfte (VZ nach VK II!!) e Normalräfte werden aus dem Knotenlechewcht bestmmt. j N j Q j H N j V N j Q j N j 4.6 estmmun der Verläufe der Verformunsrößen Aus dem VV erhält man de Knotenverformunsrößen. Falls dsrete Verformunsrößen an ener beleben Stelle zu bestmmen snd, ann der Redutonssatz bzw. das PvK verwendet werden. Falls de Verläufe der Verformunsrößen zu bestmmen snd, ann de ω -Tabelle verwendet werden: V M ( x) V ( x) + V ( x) } } aus ω -Tab. bem Verformunslastfall V ( x) : Verformunsrößen am eometrsch bestmmten Hauptsystem V M ( x) : elastsche Verformunsrößen (Änderunen eenüber dem eom. bestmmten Hauptsystem)