b γ 11. Impuls 11.0 Mathematische Grundlagen à Integral über 0 à Winkel zwischen zwei Vektoren

Transkript

1 . Impuls Peter Riegler, FH Wolfenbüttel.0 Mathematische Grundlagen à Integral über 0 Welche Funktion ergibt abgeleitet 0, d.h. was ist FHxL = Ÿ 0 x? FHxL =, denn F ÅÅÅÅÅÅÅ x = 0. à Winkel zwischen zwei Vektoren b γ a Berechnung über Skalarprodukt: a ÿ b =» a»»b» coshgl mit Skalarprodukt a ÿ b = a x b x + a y b y + a z b z ÿb»a»»b» fl coshgl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a Beachte: a ÿ a =» a»»a» cosh0l = a

2 momentum-0.nb Beispiel a = 8, <; b= 8, <; c= 8, <; abetrag = è!!!!!!!!! a.a ; bbetrag = è!!!!!!!!! b.b ; cbetrag = è!!!!!!!!! c.c ; Winkel zwischen a und b : a.b ArcCosA abetrag bbetrag E Im Gradmaß: N@%D 80 π Winkel zwischen a und c : a.c ArcCosA abetrag cbetrag E a.c Zwei Vektoren stehen senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.. Impuls Die Größe p = mv heißt Impuls. NB: æ Der Impuls ist eine vektorielle Größe. æ Wegen F = mv ist F = p. "Kraft ist Impulsänderung", d.h. Kräfte verursachen Impulsänderung und Impulsänderungen verursachen Kräfte. æ Die SI-Einheit des Impulses = kg m/s

3 momentum-0.nb 3. Impuls eines abgeschlossenen Systems Die potentielle Energie eines Körpers ist die Arbeit, die man gegen eine konservative Kraft F um ihn relativ zu einem Bezugspunkt r 0 zu verschieben. E pot Hr r L =Ÿ r F x 0 verrichten muss, Abgeschlossenens System Abgeschlossenes System: System von Massenpunkten, auf die keine Kräfte von außerhalb des Systgems wirken. Trotzdem können interne Kräfte wirken! Beispiel: Massenpunkte P und Q. P wirkt auf Q die Kraft F aus. Bewegungsgleichung von Q: m Q r Q = F actio = reactio fl Q wirkt auf P die Kraft aus. Bewegungsgleichung von P: m P r P =-F Summe der beiden Bewegungsgleichungen m Q r Q + m P r P = F - F = 0 Links stehen Ableitungen der Impulse p i = m i r i : p ges = m Q r Q + m P r P = p Q + p P = 0 p ges = m Q r Q + m P r P = p Q + p P = const. Der Impuls eines Systems aus Massenpunkten bleibt erhalten! Die Aussage lässt sich auf Systeme mit beliebig vielen Körpern verallgemeinern.

4 4 momentum-0.nb.3 Impulserhaltung Impulserhaltung: Der Gesamtimpuls p ges = n i= p i = n i= m v i eines abgeschlossenen Systems aus n Massenpunkten ist zeitlich konstant. NB: æ Impuls ist vektorielle Größe, d.h. die Komponente in jeder Raumrichtung bleibt in einem abgeschlossenen System erhalten. æ Wenn das System nur in einer Raumrichtung "abgeschlossen" ist, d.h. keine Kraft in dieser Raumrichtung wirkt, ist der Impuls in dieser Raumrichtung erhalten. In den anderen Raumrichtungen dagegen nicht. æ Der Impuls jedes einzelnen Massenpunktes kann sich ändern, aber die Summe aller Impulse bleibt erhalten (Beispiel: Stoßgesetze). Alternative Betrachtung Die Summe aller internen Kräfte in einem System ist 0 (wegen actio = reactio). Die resultierende Kraft F R auf das System ist die Summe aller externen Kräfte. Abgeschlossenes System: F R = 0. Dynamischen Grundgesetz: F R = p ges = 0 fl p ges = const. Impuls und Schwerpunkt Wie bewegt sich System, wenn keine externe Kräfte wirken?

5 momentum-0.nb 5 Beispiel: System aus zwei Massenpunkten Es wirke zusätzlich die resultierende Kraft F ext. Bewegungsgleichung: m Q r Q + m P r P = F ext + F - F = 0 Beachte: m Q r Q + m P r P = Hm Q + m P L r SP mit Schwerpunkt r SP = m Q r Q +m P r P ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Bewegungsgleichung des Schwerpunktes: m ges r SP = F ext m Q +m P Die Bewegung des Schwerpunktes eines Systems wird alleine von den externen Kräften bestimmt: m ges r SP = F ext. Der Schwerpunkt des Systems bewegt sich so, als ob die Resultierende aller externen Kräfte alleine auf den Schwerpunkt wirkt, unabhängig von den Bewegungen und Wechselwirkung der Teile des Systems. Wirkt keine resultierende externe Kraft, bewegt sich der Schwerpunkt. Beispiel: Feuerwerkskörper Schwerpunkt behält nach der Explosion Bahnkurve des Feuerwerkskörpers (Wurfparabel) bei. Simulation: demnächst auf diesem Server.4 Stoßgesetze Stöße in einer Dimension Beteiligte Massen bewegen sich vor und nach Stoß in derselben Richtung à Vollkommen inelastischer Stoß Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind gleich. vor Stoß nach Stoß m v w m v w inelastic = 8m v + m v Hm + m L w<;

6 6 momentum-0.nb inelasticsolution = Solve@inelastic, wd êêsimplify 99w m v + m v == m + m Gesamtenergie vor und nach dem Stoß: E = m v + m v ; E = m + m w ê. inelasticsolution@@dd Hm v + m v L Hm + m L Wohin geht Energie verloren? Beim Zusammenstoß werden Massen verformt. Dazu wird Energie benötigt. æ Ist die Verformung elastisch, d.h. geht die Verformung nach dem Stoß zurück, wird die Verformungsenergie wieder in kinetischen Energie umgesetzt. æ Ist die Verformung inelastisch, d.h. geht die Verformung (teilweise) nicht mehr zurück, kann die benötigte Verformungsenergie nicht mehr in kinetischen Energie umgewandelt werden. Numerische Beispiele Animate@inelasticcrash@, 0,,, td, 8t, 0, 0,.<D Gleiche Massen und gleiche, aber entgegengesetzte Geschwindigkeiten: Animate@inelasticcrash@,, 4, 4, td, 8t, 0, 0,.<D Stoß mit sehr schwerer Masse: Animate@inelasticcrash@, 0,, 00, td, 8t, 0, 6,.<D Limit@inelasticSolution, m InfinityD 88w v <<

7 momentum-0.nb 7 à Vollkommen elastischer Stoß Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind gleich. vor Stoß nach Stoß m v w m v w Energie und Impuls sind erhalten! elastic = 9m v + m v m w + m w, m v + m v == m w + m w =; elasticsolution = Solve@elastic, 8w,w <D 98w v,w v <, 9w m v m v + m v,w m + m m v m v + m v == m + m Die zweite Lösung ist die physikalisch sinvolle. Stoß mit endlich schwerer ruhender Masse m : Limit@elasticSolution, m InfinityD 88w v,w v <, 8w v + v,w v << Machen Sie sich dieses Ergebnis im Bezugssystem von m klar! Numerische Beispiele Animate@elasticcrash@, 0,,, td, 8t, 0, 0,.<D Animate@elasticcrash@,,,, td, 8t, 0, 0,.<D Stoß mit sehr schwerer Masse: Animate@elasticcrash@, 0,, 00, td, 8t, 0, 5,.<D Animate@elasticcrash@, 0, 00,, td, 8t, 0, 0,.<D Animate@elasticcrash@, 5, 00,, td, 8t, 0, 0,.<D

8 8 momentum-0.nb à Inelastischer Stoß mit Wirkungsgrad h elasticeta = 9m v + m v m w + m w, m v + m v J m w + m w N=; Solve@elasticEta, 8w,w <D êê Simplify Stöße im Raum Bei zwei beteiligten Massen liegen die beteiligten Impulsvektoren immer in einer Ebene. fl Es liegt Bewegung in der Ebene vor. à Stoß mit ruhender Masse (Spezialfall m = m ) inrest = 9m vx m wx + m wx, 0 m wy + m wy, m vx == m Hwx + wy L + m Hwx + wy L= 9vx m == wx m + wx m,0== wy m + wy m, vx m == Hwx + wy L m + Hwx + wy L m = Solve@inrest, 8wx, wy, wx, wy<d Solve::svars : Equations may not give solutions for all "solve" variables. 99wx Jvx m m vx m m, Hm m + m H4 vx m 4 Hm + m LHwy m + wy m LLL ê H Hm + m LLN, wy wy m, m wx Hm + m L H vx m +, H4 vx m 4 Hm + m LHwy m + wy m LLL=, 9wx Jvx m m vx m m, + Hm m + m H4 vx m 4 Hm + m LHwy m + wy m LLL ê H Hm + m LLN, wy wy m, m wx Hm + m L H vx m, H4 vx m 4 Hm + m LHwy m + wy m LLL== 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten!

9 momentum-0.nb 9 Die Lösung hängt davon ab, ob Stoß zentral ist oder nicht! ("Anschneiden" beim Billiard). Der Einfachheit halber geben wir den "Flugwinkel" von m nach dem Stoß vor: w y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = tanj. w x inrest = 9m vx m wx + m wx, 0 m wy + m wy, m vx == m Hwx + wy L + m Hwx + wy L, wy wx Tan@ϕD= 9vx m == wx m + wx m,0== wy m + wy m, vx m == Hwx + wy L m + Hwx + wy L m, wy == wx Tan@ϕD= inrestsolution = Simplify@Solve@inrest, 8wx, wy, wx, wy<d, 8vx > 0, m > 0, m > 0<D 99wx Jvx Cos@ϕD m JSec@ϕD m + m Tan@ϕD "####################################################### Sec@ϕD m m Tan@ϕD NN í Hm Hm + m LL, wy Jvx Cos@ϕD Sin@ϕD m Jm + "####################################################### Sec@ϕD m m Tan@ϕD NN í Hm Hm + m LL, wy Jvx Cos@ϕD Sin@ϕD Jm m + m + "####################################################### Sec@ϕD m m Tan@ϕD NN, wx Jvx Cos@ϕD m + m Jm + "####################################################### Sec@ϕD m m Tan@ϕD NN=, 9wx Jvx Cos@ϕD m JSec@ϕD m + m Tan@ϕD + "####################################################### Sec@ϕD m m Tan@ϕD NN í Hm Hm + m LL, wy Jvx Cos@ϕD Sin@ϕD m J m + "####################################################### Sec@ϕD m m Tan@ϕD NN í Hm Hm + m LL, wy wx Jvx Cos@ϕD Sin@ϕD Jm m + m "####################################################### Sec@ϕD m m Tan@ϕD NN, Jvx Cos@ϕD m + m Jm "####################################################### Sec@ϕD m m Tan@ϕD NN== Wir identifizieren die richtige Lösung, indem wir j=0 setzen: Simplify@inrestSolution ê. ϕ 0, 8vx > 0, m > 0<D 98wx 0, wy 0, wy 0, wx vx<, 9wx vx m, wy 0, wy 0, wx vx Hm m L == m + m m + m Nur die zweite Lösung ist physikalisch sinnvoll!

10 0 momentum-0.nb à Allgemeiner Stoß mit ruhender Masse vor Stoß nach Stoß m v Hv x 0, v y = 0L w m v = 0 w Impulserhaltung: v = w + w -Komponente: v x = w x + w x y-komponente: 0 = w y + w y fl Massen fliegen in unterschiedliche y-richtungen weg. Energieerhaltung: v = w + w Impulserhaltung quadrieren fl v = w + w + w ÿ w w ÿ w = 0 fl Winkel ist p/ à Stoß gegen Wand Ø Übungsaufgabe.5 Impulsantrieb Newton hat das Dynamische Grundgesetz nicht in der Form F = ma sondern F = p formuliert. Beachte: p = ÅÅÅÅÅÅ d p = ÅÅÅÅÅ d Hm v L = m v + m v d t Massenänderung führt zu Impulsänderung! F = ma gilt nur, wenn m = 0. d t Beispiel: Düsenantrieb Rakete stößt Gas relativ mit v gas aus.

11 momentum-0.nb m dm v R m v + d R v R dm v R + v gas Impulsbilanz ("voher = nachher") Hm + dml v R = m Hv R + d v RL + dm Hv R + v gasl ñ 0 = md v R + dm v gas» ÿ ê dt fl Schubkraft: mv R =-m v gas.6 Drehimpuls Für Drehbewegungen gilt entsprechend: Drehimpulserhaltung: Wirkt kein äußeres Moment IM ext = J w = 0 M, bleibt der Drehimpuls L = J w erhalten. Beispiel: Pirouetten-Drehen: Ausgestreckte Arme: J, w Angewinkelte Arme: J, w Zusammenhang zwischen Trägheitsmomenten: J > J Drehimpulserhaltung: J w = J w fl w = J ÅÅÅÅÅÅ w J fl w = J ÅÅÅÅÅÅ w J >w fl Drehung mit angewinkelten Armen ist schneller

12 momentum-0.nb Lernziele æ Impuls, Drehimpuls definieren können æ Impulserhaltung erklären können æ Impulserhaltung zur Lösung physikalischer Probleme anwenden können æ Eindimensionale Stoßvergänge berechnen können æ Begriffe elastischer Stoß, inelastischer Stoß erklären können æ Zusammenhang Kraft - Impuls erklären können Literatur obligatorisch Tipler: 7 (ganz) oder Feynman: 0- bis 0-4 weiterführend Gerthsen:.5.9 (Anwendungen des Energie- und Impulsbegriffes) Source Code