Mathematik 1 für Informatik Übungsbeispiele

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1 Mathematik für Iformatik Übugsbeispiele ) Zeige Sie, daß irratioal ist ) Zeige Sie, daß 5 irratioal ist ) Zeige Sie, daß irratioal ist 4) Zeige Sie, daß 0 irratioal ist 5) Zeige Sie, daß 0 irratioal ist ) Zeige Sie, daß 4 irratioal ist 7) Ma überprüfe die Gleichug = ( + )( + ), für alle N für die erste füf atürliche Zahle ud beweise soda dere Gültigkeit für alle atürliche Zahle durch vollstädige Iduktio 8) Ma zeige mittels vollstädiger Iduktio, daß für die rekursiv defiierte Folge x = ud x k+ = x k + 8k für k allgemei gilt: x = ( ), für alle 9) Ma zeige mittels vollstädiger Iduktio, daß für die rekursiv defiierte Folge x = ud x k+ = x k + 8k + 5 für k allgemei gilt: x = ( + ), für alle 0 0) Nach der sogeate abessiische Bauermethode werde zwei Zahle, zb ud 7, wie folgt multipliziert: Dabei wird der erste Faktor laufed durch dividiert (ud der Rest dabei verachlässigt), währed der zweite Faktor stets verdoppelt wird Nach dem Motto der abessiische Bauer Gerade Zahle brige Uglück streicht ma u alle Zeile, i dee die Zahl i der erste Spalte gerade ist Die Summe der verbleibede Zahle i der zweite Spalte liefert da das Ergebis 7 = 57 Ma begrüde, warum diese Methode zum richtige Resultat führt (Hiweis: Ma gehe vo eier Darstellug des erste Faktors im Biärsystem aus) ) Ma bestätige die Richtigkeit der folgede Behauptuge: (a) Für alle N ist stets durch teilbar mittels eies direkte Beweises (b) Ist die Summe m + zweier Zahle m, Z ugerade, da ist geau eier der beide Summade ugerade mittels eies idirekte Beweises (c) Ist das Quadrat eier gaze Zahl Z gerade, da ist auch gerade mittels eies Beweises durch Kotrapositio (d) Die Aussage vo (a) mittels eies Beweises durch vollstädige Iduktio ) Ma beweise mittels vollstädiger Iduktio: ) 4) ) 8) j(j ) = j= j= ( )( + ) j(j + ) = + ( ) ) ( ) 5) j j = + ( ) + ( 0) 7) j=0 k5 k = 5 (5+ ( + )5 + ) ( ) k= 9) j(j + ) = ( + + 4) ( ) j= j= j= j(j ) = ( ) j j = ( ) + 4 0) Ist F 0 = 0, F = ud F + = F + + F für alle N, so gilt [( ) ( ) ] F = l= 5 ) Ist L 0 =, L = ud L + = L + + L für alle N, so gilt (( + ) ( 5 ) ) 5 L = + ( ) l l = ( N) ) Ist F 0 = 0, F = ud F + = F + + F für alle N, so gilt F < ( 7 4) ) Ma utersuche mittels vollstädiger Iduktio, für welche 0 die agegebee Ugleichug gilt: ) 9 8 4) 4 5) + ) ( + ) 4 7) Ma zeige für alle N \ {0}: a k b k = a b k (a k+ a k ) k= k= k= k b j 8) Wo steckt der Fehler im Beweis der folgede Behauptug: Ist i eier Gruppe vo Persoe eie Perso blod, so sid alle blod Beweis: a) = : Hier stimmt die Behauptug trivialerweise b) Die Behauptug gelte für Gruppe der Größe Nu sei vo + Persoe eie blod Betrachte ma diese Perso zusamme mit weitere Da sid ach Iduktiosaahme diese Persoe auch blod Folglich ist i der Gruppe dieser Persoe zusamme mit der och icht betrachtete Persoe wieder weigstes eie blod, woraus folgt, daß auch diese letzte Perso blod sei muß 9) Wo steckt der Fehler im Beweis der folgede Behauptug: Je zwei atürliche Zahle a, b sid gleich groß j=

2 Beweis: Vollstädige Iduktio ach dem max{a, b} a) max{a, b} = 0: Hier gilt a = b = 0 b) Die Behauptug gelte für max{a, b} = Sei u max{a, b} = + Da ist max{a, b } =, ud es folgt aus der Iduktiosvoraussetzug b), daß a = b ist, womit aber auch a = b gilt 0) Ma zeige, daß i R die Beziehug = 7 5 = gilt Was ergibt sich bei Rechug i ormalisierter Gleitkomma-Darstellug zur Basis 0 mit vierstelliger Matisse? ) Ma fide alle sechste Wurzel vo z = 8i i C ud stelle sie i der Gaußsche Zahleebee dar ) Ma fide alle sechste Wurzel vo z = 7 i C ud stelle sie i der Gaußsche Zahleebee dar ) Ma bestimme recherisch (ohe Tascherecher) ud graphisch Summe ud Produkt der komplexe Zahle z = 4i ud z = [, π ] 4) Wie bei ) für z = 4 + 5i ud z = [, π 4 ] 5) Wie bei ) für z = 5 + i ud z = [, π ] ) Ma bereche ohe Tascherecher alle Werte vo 4 + i i der Form [r, ϕ] 7) Wie bei ) für 5 8 i 8) Wie bei ) für i 9) Wie bei ) für 5 i 40) Ma beweise z z = z z ud z z = z z ( ) z 4) Ma beweise = z z z 4) Stelle Sie alle Lösuge der quadratische Gleichug z + z + 4 = 0 sowohl i der Form a + ib, a, b R, als auch i Polarkoordiateform r(cosϕ + i siϕ), r 0, 0 ϕ < π, dar 4) Wie Bsp 4) für z + 4z + 8 = 0 44) Für welche komplexe Zahle gilt z = z? 45) Ma zeige z + z + z z = ( z + z ) 4) Ma beschreibe die Mege jeer komplexe Zahle z, die Re ( ) z a b > 0 erfülle (a, b C, b 0) 47) Ma beschreibe die Mege jeer komplexe Zahle z, die Im ( ) z a b > 0 erfülle (a, b C, b 0) 48 49) Welche Teilmege der komplexe Zahleebee beschreibt die agegebee Ugleichug? 48) z + 4 z 4 < 49) z + 5 z < 4 50) Ma bereche alle Werte vo 7 + 4i = a + ib ohe Beützug der trigoometrische Darstellug (Hiweis: Ma quadriere die zu lösede Gleichug ud vergleiche Real- ud Imagiärteile) 5) Wie Bsp 50) für 8 i = a + ib 5) Ma bestimme de ggt(749, 44) mit Hilfe des Euklidische Algorithmus 5) Ma bestimme de ggt(09, 4999) mit Hilfe des Euklidische Algorithmus 54) Ma bestimme de ggt(008, 8) mit Hilfe des Euklidische Algorithmus 55) Ma bestimme de ggt(007, 87) mit Hilfe des Euklidische Algorithmus 5) Ma bestimme de ggt(07, 9849) mit Hilfe des Euklidische Algorithmus 57) Ma bestimme zwei gaze Zahle x, y, welche die Gleichug 4x + 98y = 9 erfülle 58) Ma bestimme zwei gaze Zahle x, y, welche die Gleichug 45x + 7y = erfülle 59) Ma zeige für atürliche Zahle a, b die Eigeschaft ggt(a, b) kgv(a, b) = a b 0) Ma zeige, daß jede gaze Zahl der Form (mit > ) keie Primzahl ist (Hiweis: Ma uterscheide zwische geradem ud ugeradem Isbesodere betrachte ma bei ugeradem die Zerlegug ( + + (+)/ )( + (+)/ )) ) Sei eie beliebige positive atürliche Zahl ud N = Ma zeige, daß die Summe aller Teiler vo N durch teilbar ist 7) Löse Sie die folgede Kogrueze (d h Gleichuge i Restklasse i Z) bzw beweise Sie die Ulösbarkeit (i Z): ) a) 8x 4 (mod ), b) 8x 4 (mod 5) ) a) x (mod 9), b) x 4 (mod 9) 4) a) x 9 (mod ), b) x 9 (mod ) 5) a) x (mod ), b) x (mod 5) ) a) x (mod 5), b) x (mod 7) 7) a) x x + 0 (mod 5), b) x x + 0 (mod ) 8) Ma beweise die folgede Regel für das Reche mit Kogrueze: (a) a b mod m, c d mod m a + c b + d mod m (b) a b mod m, c d mod m a c b d mod m (c) ac bc mod mc, c 0 a b mod m 9) Im europäische Artikelummersystem EAN werde Zahle mit Dezimalziffer der Form a a a p verwedet Dabei wird die letzte der Ziffer, das ist die Prüfziffer p im EAN-Code so bestimmt, daß a + a + a + a a + a + p 0 mod 0 gilt Ma zeige, daß beim EAN-Code ei Fehler i eier eizele Ziffer stets erkat wird, währed eie Vertauschug vo zwei beachbarte Ziffer geau da icht erkat wird, we die beide Ziffer gleich sid oder sich um 5 uterscheide 70) Sei a die Aussage Es gibt eie größte atürliche Zahl ud b die Aussage 0 ist die größte atürliche Zahl Ma etscheide, ob die Aussage a b bzw b a wahr oder falsch sid 4

3 7) Ma bestimme alle m, N, für welche die Prädikate P() bzw P(m, ) i eie wahre Aussage übergehe (a) P() :! 0 (b) P() : ( 5 0) ( 0) (c) P(, m) : (m =!) (m ist durch 0 teilbar) 7 77) Etscheide Sie mit Hilfe eier Wahrheitstafel, ob die folgede Äquivaleze richtig sid 7) a (b c) (a b) c 7) a (a b) a 74) a (b c) (a b) (a c) 75) (a b) c a (b c) 7) a b (a b) (b a) 77) (a b) a b 78 8) Beweise Sie die folgede Beziehuge mit Hilfe vo Elemettafel oder gebe Sie ei kokretes Gegebeispiel a 78) A (B C) = (A B) C 79) (A \ B) \ C = A \ (B \ C) 80) (A B) = A B 8) (A B) (B C) A B 8) (A B) = A B 8) (A B) = A B 84) A B = (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B) 85) A (B C) = (A B) (A C) 8) A (B C) = (A B) (A C) 87) Ma zeige, daß es sich bei dem logische Ausdruck um eie Tautologie bzw bei dem Ausdruck um eie Kotradiktio hadelt [(B C) (B A) A] C (A C) (C B) A B 88) Ma beweise, daß die folgede drei Aussage äquivalet sid (D h, gilt eie der drei Aussage, da gelte alle drei) (i) A B, (ii) A B = B, (iii) A B = A 89) Gelte folgede Formel? Gebe Sie jeweils eie verbale Begrüdug (a) x N y N : x < y (b) y N x N : x < y (c) x N y N : y < x (d) x Z y Z : y < x 90) Sei T N (a) Uter welche beide Voraussetzuge a T garatiert das Iduktiosaxiom (ach Peao) T = N? (b) Gebe Sie eie verbale Formulierug für die durch folgede Formel ausgedrückte Eigeschaft eier Mege T N: N(( k N(k < k T)) T) (c) Ka ma aus der Eigeschaft i (b) stets auf T = N schließe? (d) Sei a 0 = 0 ud a + = a + ( + ) Zeige Sie mittels Iduktio a = (+) 9 94) Beweise oder widerlege Sie die folgede Idetitäte für Mege: 9) (A B) (B A) = (A B) (A B) 9) (A B) (B A) = (A B) (A B) 9) (A B) (A C) = A (B C) 94) (A B) (A C) = A (B C) 95) Sei M eie ichtleere edliche Mege Zeige Sie, daß M gleich viele Teilmege mit gerader Elemetazahl wie solche mit ugerader Elemetazahl besitzt, idem Sie ei Verfahre agebe, das aus de Teilmege der eie Art umkehrbar eideutig die der adere Art erzeugt 9) Es sei A eie Mege mit Elemete ud P(A) die Mege aller Teilmege der Mege A Zeige Sie, daß P(A) Elemete besitzt 97) Sei A = {,,, 8} ud R biäre Relatio auf A defiiert durch a R b a = b oder ggt(a, b) =, a, b A Ma gebe explizit die Relatio R sowie ihre Graphe G R a 98) Ma utersuche achstehed ageführte Relatioe R M i Hiblick auf die Eigeschafte Reflexivität, Symmetrie, Atisymmetrie ud Trasitivität: (a) M = Mege aller Eiwoher vo Wie (Volkszählug 00), a R b a ist verheiratet mit b (b) M wie obe, a R b a ist icht älter als b (c) M wie obe, a R b a ist so groß wie b (d) M = R, a Rb a b Z (e) M = R, (x,,x ) R (y,,y ) x i y i i =,, 99) Ma zeige, daß durch a R b a b für alle a, b Z eie Äquivalezrelatio R i der Mege Z erklärt wird, ud bestimme die zugehörede Partitio 00) Ma zeige, daß durch a R b a b für alle a, b Z eie Äquivalezrelatio R i der Mege Z erklärt wird, ud bestimme die zugehörede Partitio 5

4 0 0) Stelle Sie die folgede Relatioe im cartesische Koordiatesystem ud auch als gerichtete Graphe dar ud utersuche Sie weiters, ob eie Äquivalezrelatio vorliegt 0) Die Relatio R sei für m, {,, 4, 5} defiiert durch mr m+ ugerade oder m = 0) mr m + gerade, m, {,, 4, 5} 0) mr m ugerade oder m =, m, {,,, 4, 5, } 04) mr ggt(m, ) =, m, {,,, }, wobei ggt(m, ) de größte gemeisame Teiler der Zahle m ud bezeichet 05) mr ggt(m, ) =, m, {, 4,, }, wobei ggt(m, ) de größte gemeisame Teiler der Zahle m ud bezeichet 0) Utersuche Sie, ob die Relatio ARB A B = ( die symmetrische Differez) auf der Potezmege eier Mege M eie Äquivalezrelatio bildet 07) Utersuche Sie, ob die Relatio ARB A B = A ( die symmetrische Differez) auf der Potezmege eier Mege M eie Äquivalezrelatio bildet 08) Sei f : A B Ma zeige, daß durch x y f(x) = f(y) eie Äquivalezrelatio auf der Mege A defiiert wird 09) Seie R ud R Äquivalezrelatioe auf der Mege M Ma beweise, daß da auch ihr Durchschitt R = R R Äquivalezrelatio auf M ist 0) Sei T 70 die Mege aller atürliche Zahle, die 70 teile Ma vergleiche die Hassediagramme der beide Halborduge P({a, b, c}), ud T 70, ) Sei mr m, m, Z Ist R eie Halbordug auf Z? ) Utersuche Sie, ob die Relatio ARB A B auf der Potezmege eier Mege M eie Halbordug bildet ud zeiche Sie gegebeefalls das Hassediagramm ) Für k, {,, 4,, 0} sei kr, falls k ei Teiler vo ist ud k ud k teilerfremd sid Ma utersuche, ob die Relatio R eie Halbordug ist ud ermittle gegebefalls das Hassediagramm 4) Wie Bsp ) für k, {,, 4, 0} 5) Seie R ud R Halborduge auf der Mege M Ma beweise, daß da auch ihr Durchschitt R = R R Halbordug auf M ist 8) Welche der Eigeschafte Reflexivität, Symmetrie, Atisymmetrie ud Trasitivität habe folgede Relatioe R auf Z: ) mr m =? 7) mr m 4 = 4? 8) mr m =? 9) Ma zeige: (C, ) ist Halbordug mit z = a + ib w = c + id, falls a < c oder (a = c ud b d) Weiters gebe ma drei verschiedee komplexe Zahle z, z, z C \ {0} a, für die z z ud z 0, aber z z z z gelte 0) Ma zeige: (C, ) ist Halbordug mit z = a + ib w = c + id, falls a > c oder (a = c ud b d) Weiters gebe ma drei verschiedee komplexe Zahle z, z, z C \ {0} a, für die z z ud z 0, aber z z z z gelte 5) Utersuche Sie, ob es sich bei de folgede Relatioe R A B um Fuktioe, ijektive Fuktioe, surjektive Fuktioe bzw bijektive Fuktioe hadelt (R + bezeichet die Mege aller positive reelle Zahle) ) R = {( x, x ) x R+ }, A = B = R + ) R = {(x, x ) x R + }, A = B = R ) Wie ) jedoch A = B = R + 4) R = {(log x, x) x R + }, A = B = R 5) R = {(log x, x ) x R + }, A = R, B = R + ) Sei f : Z R eie beliebige Fuktio Welche der Eigeschafte Reflexivität, Symmetrie ud Trasitivität hat die folgede Relatio auf Z? mr f(m) = f()? Uter welcher Voraussetzug a die Fuktio f ist die Relatio R auch atisymmetrisch? Ist R eie Äquivalezrelatio? Falls ja, bestimme Sie auch die durch R iduzierte Partitio auf Z für die Fuktioe (a) f(x) = x, (b) f(x) = x mod, (c) f(x) = x 7) Auf de Mege A = N, Z, Q, R, C seie die biäre Relatioe f A := {(x, x) x A} ud g A := {(x, x) x A} gegebe (a) Für welche A gilt g A : A A, dh wa hadelt es sich bei g A um eie Fuktio? (b) Für welche A ist f A eie Fuktio, wa sogar ijektiv, surjektiv, bijektiv? (c) Sid f A B ud g B C Relatioe, so ist (aalog zur Kompositio vo Abbilduge) das Relatioeprodukt g f A C defiiert als Relatio {(a, c) b B : (a, b) f, (b, c) g} Beschreibe Sie g A f A (d) Sei f A A eie Relatio auf A Begrüde Sie mittels Iduktio, dass die rekursive Defiitio der Iteratioe f, N, durch f 0 := {(x, x) x A} udf + := f f für alle N Fuktioe f : A A defiiert, sofer f : A A (f also selbst eie Fuktio ist) 8) Seie f : A B ud g : B C ijektive Abbilduge Ma zeige, daß da auch h = g f : A C ijektiv ist ((g f)(x) = g(f(x))) 9) Seie f : A B ud g : B C surjektive Abbilduge Ma zeige, daß da auch h = g f : A C surjektiv ist ((g f)(x) = g(f(x))) 0) Seie f : A B ud g : B C Abbilduge Zeige Sie, daß aus der Surjektivität vo g f die Surjektivität vo g ud aus der Ijektivität vo g f die Ijektivität vo f folgt ) Seie f : A B ud g : B C zwei Abbilduge, sodaß g f surjektiv ud g ijektiv ist Ma zeige, daß da auch f surjektiv ist ) Zu de achstehede Abbilduge f bzw g auf der Mege {0,,, 9} bestimme ma jeweils de zugehörede Graphe ud utersuche die agegebee Zuordug auf Ijektivität, Surjektivität ud Bijektivität: (a) f(x) = x mod 0, (b) g(x) = x mod 0 7 8

5 ) Ma zeige, daß die Fuktio f : R \ {7} R \ {}, y = x + bijektiv ist ud bestimme x 7 ihre Umkehrfuktio 4) Ma zeige, daß die Fuktio f : R \ {7} R \ {}, y = 0x + bijektiv ist ud bestimme x ihre Umkehrfuktio 5) Bestimme Sie zur folgede Permutatio π die Zykledarstellug, das Vorzeiche, sowie die iverse Permutatio π : ( ) π = ) Sei eie Permutatio π vo {,,, } i zweizeiliger Darstellug gegebe Uter der Iversiostafel vo π versteht ma die Folge (b,,b ), wobei b k 0 agibt, wieviele größere Zahle i der zweite Zeile liks vom Elemet k stehe Bestimme Sie für die Permutatio π aus Aufgabe 5) die Iversiostafel Wie ka ma bei Ketis der Iversiostafel die Permutatio rekostruiere? Demostriere Sie ei geeigetes Verfahre am obige Beispiel 7) Bestimme Sie zur folgede Permutatio π die Zykledarstellug, das Vorzeiche, sowie die iverse Permutatio π : ( ) π = ) Ma bestimme zu de Permutatioe ( ) σ =, ρ = ( ) die Permutatioe σ ρ ud σ ρ σ sowie dere Zykledarstelluge ud Vorzeiche 9) (a) Gegebe sid die Permutatioe π = (4), ρ = (45) ud σ = ()(5) der S Ma bereche πρ σ ud πρσ (b) Ma schreibe die folgede Permutatioe i Zykledarstellug bzw als Produkt vo Traspositioe, ud gebe dere Vorzeiche a: ( ) ( ) π =, ρ =, ( ) σ = ) Gegebe seie die folgede Permutatioe der S 8 : ( ) π = (74), ρ = (45) ud σ = Bereche Sie πρ σ ud π ρσ sowie dere Zykledarstelluge ud Vorzeiche 4) Utersuche Sie, ob π eie Permutatio festlegt ud gebe Sie gegebeefalls de Graphe, die Zykledarstellug, sowie die Zykledarstellug ohe Klammer a: π(k) = 4k + mod 0, 0 k 9 9 4) Ma utersuche, ob die Fuktioe f(x) = x mod 0 bzw g(x) = x mod 0 auf der Mege {0,,, 9} bijektiv sid, dh Permutatioe festlege 4) Schreibe Sie π aus Aufgabe 4 als Produkt vo Zweierzykle 44) Ma beweise die Beziehug ( +) ( k+ = ( k+) + ( k) durch Iterpretatio vo k) als Azahl der k-elemetige Teilmege eier -elemetige Mege 45) Ma beweise die Beziehug ( ) ( + k+ = ( k+) + ( k) mit Hilfe der Formel ) k =! k!( k)! 4) Wieviele Wörter der Läge 8 gibt es, bei dee geau 5-mal der Buchstabe a, 4-mal b, 5-mal c, -mal d vorkomme ud geau eimal e vorkommt? 47) Wieviele Möglichkeite gibt es, verschiedegroße Kugel so zu färbe, daß 9 rot, 5 schwarz, 4 blau, 4 grü sid ud eie weiß ist? 48) Wieviele Wörter der Läge 8 aus de Buchstabea,bgibt es, die geau 5-malaethalte ud zwische je zwei a midestes -mal de Buchstabe b? 49) Wieviele Möglichkeite gibt es, aus eiem -bädige Lexiko geau 7 Bücher auszuwähle, wobei zwische zwei ausgewählte Bäde immer midestes eier im Regal stehe bleibe soll? 50) Wieviele Möglichkeite gibt es, aus eiem 50-bädige Lexiko geau Bücher auszuwähle, wobei zwische zwei ausgewählte Bäde immer midestes drei im Regal stehe bleibe solle? 5) Jemad wirft -mal eie Müze Wieviele verschiedee Spielverläufe gibt es, we gleich oft Kopf wie Adler auftrete soll? 5) Wieviele Permutatioe π vo {,,, } gibt es, mit π(k) k + für alle k? 5) Wieviele Möglichkeite gibt es, drei (voeiader uterscheidbare) Würfel so zu werfe, daß geau zwei dieselbe Augezahl zeige? 54) Ma bestimme die Azahl der mögliche Tototips (,, x) bei Spiele ud die Azahl der mögliche richtige Zeher (D h die Azahl derjeige Tips, die mit eier vorgegebee Koloe a geau 0 der Stelle übereistimme) 55) Ma bestimme die Azahl der mögliche aus 45 -Lottotips ud die Azahl der mögliche richtige Vierer (d h, die Azahl derjeige -elemetige Teilmege vo {,,,45}, die mit eier vorgegebee -elemetige Teilmege geau 4 Elemete gemeisam habe) 5) Ma bestimme für das aus 45 -Lotto die Azahl der mögliche richtige Füfer (d h, die Azahl derjeige -elemetige Teilmege vo {,,, 45}, die mit eier vorgegebee -elemetige Teilmege geau 5 Elemete gemeisam habe) 57) Ma bestimme für das aus 45 -Lotto die Azahl der mögliche richtige Füfer mit Zusatzzahl (d h, die Azahl derjeige -elemetige Teilmege vo {,,,45}, die mit eier vorgegebee -elemetige Teilmege geau 5 Elemete gemeisam habe ud dere sechstes Elemet eie vorgegebee Wert außerhalb der -elemetige Mege hat) 58) Wie viele verschiedee Tips müsse beim Lotto aus 45 abgegebe werde, um sicher eie Sechser zu erziele? Wie viele verschiedee Tips führe zu keiem Gewi (dh, diese Tip ethalte maximal zwei richtige Zahle), bei wie viele mögliche Tips stimmt midestes eie Zahl, bei wie viele sid alle Zahle falsch? 59) Sei M eie ichtleere edliche Mege Zeige Sie: M besitzt gleich viele Teilmege mit gerader Elemetazahl wie solche mit ugerader Elemetazahl 0) Wieviele atürliche Zahle < ethalte i ihrer Dezimaletwicklug geau dreimal die Ziffer drei? 0

6 ) Wieviele atürliche Zahle < ethalte i ihrer Dezimaletwicklug geau viermal die Ziffer zwei? ) Bei eier schriftliche Prüfug trete k Persoe a Es steht eie lage Bak mit (der Reihe ach durchummerierte) Sitze ebeeiader zur Verfügug Die Sitze müsse so belegt werde, dass zwische zwei Persoe jeweils zwei freie Plätze bleibe Eie erlaubte Belegug B soll also aufgefasst werde als eie Mege B = {b < b < < b k } {,,, } mit b i+ > b i + (a) Wie groß muss (zu gegebeem k) midestes sei, damit eie erlaubte Belegug existiert? (b) Bezeiche M(t, m), t, m N, die Mege aller t-elemetige Teilmege eier m-elemetige Mege (t, m N) Wie errechet sich M(t, m)? (Uterscheide Sie die Fälle t m ud t > m) (c) Wähle Sie t ud m geeiget ud gebe Sie eie Bijektio zwische der Mege aller erlaubte Beleguge ud M(t, m) a (d) Schließe Sie damit auf die Azahl aller erlaubte Beleguge (uter der Voraussetzug aus (a)) ) Bezeiche N die Mege {,,},, ud S die Mege aller Bijektioe f : N N (a) Sei A die Azahl aller -tupel (a,,a ) mit {a,, a } = {,, } = N, B die Azahl der Mege {a,,a } mit a i N, C die der Elemete vo S Orde Sie die Zahle A, B, C der Größe ach (b) Gebe Sie Formel für A, B ud C a (c) Wieviele f S gibt es, die M = {,,, m} (m ) ivariat lasse, dh die f(i) m für alle i m erfülle 4) Ma beweise achstehede Idetitäte für Biomialkoeffiziete: (a) ( ) ( ) = k k 5) Ma beweise die Formel (b) ( ) = ( ) ( ) + = k k + ( ) = k ( ) + k + ( )( ) k k (Hiweis: Ma betrachte die Koeffiziete vo ( + x) ( + x) = ( + x) ) ) Zeige Sie die folgede Formel vo Vadermode ( x + y ) = ( )( ) x y k k für x, y, N mit Hilfe der Idetität ( + z) x ( + z) y = ( + z) x+y (c) ( ) = k 7) Zeige Sie die Formel vo Vadermode aus Bsp mit Hilfe kombiatorischer Deutug 8) Ma zeige ( ) x ( ) k k ( ) x = ( ) für alle x ud x N mit Hilfe der Idetität ( + z) x +z = ( + z)x 9 7) Bereche Sie uter Beützug des Biomische Lehrsatzes (ud ohe Beützug der Differetialrechug): 9) 7) ( ) k4 k k ( ) ( ) k k k 70) 7) ( ) k5 k k ( ) ( k) k k 7) Eie Datei ethalte 7 Datesätze vom Typ A, 4 vom Typ B, vom Typ C, vom Typ D ud vom Typ E Sie soll so i eie doppelt verkettete Liste sortiert werde, daß die Radelemete (erster ud letzter Satz) ur Sätze der Type A oder E sei dürfe Weiters solle zwische zwei Datesätze desselbe Typs keie Sätze adere Typs stehe Wie viele mögliche Aorduge gibt es? 74) Wie viele verschiedee Variableame ka ma i eier fiktive Programmiersprache verwede, we diese Name aus midestes eiem, höchstes aber vier (icht otwedig verschiedee) Buchstabe {A,, Z} bestehe müsse, ud die Befehle AND, OR, IF, THEN ud GOTO icht als Teilwörter ethalte sei dürfe 75) Wieviele Möglichkeite gibt es, k uuterscheidbare Kugel auf uterscheidbare Kästche zu verteile, we jedes Kästche beliebig viele Kugel (eischließlich 0) aufehme ka? 7) Ei Turm soll auf eiem Schachbrett vo der like utere Ecke i die rechte obere Ecke ziehe Wieviele verschiedee Wege gibt es, we der Turm ie ach liks oder ute ziehe darf, d h i jedem Schritt ur ei oder mehrere Felder ach rechts oder ach obe 77 90) Die folgede Aufgabe solle mit dem Iklusios-Exklusiosprizip bearbeitet werde! 77) I eier Mege vo Persoe köe 0 Persoe Deutsch, 7 Eglisch, 5 Frazösisch, Deutsch ud Eglisch, 4 Deutsch ud Frazösisch, Eglisch ud Frazösisch, alle drei Sprache ud iemad keie der drei Sprache Wie groß ist? 78) I eier Mege vo Persoe köe Persoe Deutsch, 8 Eglisch, 7 Frazösisch, 5 Deutsch ud Eglisch, Deutsch ud Frazösisch, Eglisch ud Frazösisch, alle drei Sprache ud iemad keie der drei Sprache Wie groß ist? 79) I eier Mege vo Persoe köe 0 Persoe Deutsch, 9 Eglisch, 9 Frazösisch, 5 Deutsch ud Eglisch, 7 Deutsch ud Frazösisch, 4 Eglisch ud Frazösisch, alle drei Sprache ud iemad keie der drei Sprache Wie groß ist? 80) Wieviele atürliche Zahle mit 0 gibt es, die weder Quadrat, och dritte, vierte oder füfte Potez eier atürliche Zahl sid? 8) Wieviele atürliche Zahle mit 0 8 gibt es, die weder dritte, och vierte, füfte oder sechste Potez eier atürliche Zahl sid?

7 8) Wieviele atürliche Zahle mit 0 gibt es, die durch ud 5, aber weder durch 9 och durch teilbar sid? 8) Wieviele atürliche Zahle mit 0 4 gibt es, die durch 9 ud, aber weder durch 5 och durch 7 teilbar sid? 84) Wieviele atürliche Zahle mit 0 4 gibt es, die durch, 5 ud 7, aber weder durch 9 och durch teilbar sid? 85) Wie viele atürliche Zahle mit 000 gibt es, die durch, 5 oder durch teilbar sid? Wie viele sid weder durch, och durch 5, och durch teilbar sid? 8) Wieviele atürliche Zahle mit 0 gibt es, die weder durch teilbar, och Quadratzahle, och dritte, och 4 Poteze atürlicher Zahle sid? 87) Ma bestimme die Azahl aller Aorduge (Permutatioe) der Buchstabe a, b, c, d, e, f, g, i dee weder der Block abcd och der Block fa vorkommt (Hiweis: Die Azahl der Permutatioe eier -elemetige Mege ist!) 88) Ma bestimme die Azahl aller Aorduge (Permutatioe) der Buchstabe a, b, c, d, e, f, i dee weder der Block bcf och der Block eb vorkommt (Hiweis: Die Azahl der Permutatioe eier -elemetige Mege ist!) 89) Ma bestimme die Azahl aller Aorduge (Permutatioe) der Buchstabe a, b, c, d, e, f, g, h, i dee weder der Block acg och der Block cgbe vorkommt (Hiweis: Die Azahl der Permutatioe eier -elemetige Mege ist!) 90) Auf wieviele Arte köe 8 Türme auf ei Schachbrett gestellt werde, derart daß sie eiader icht schlage ud die weiße Diagoale freibleibt? (Ei Turm schlägt eie adere Figur, die horizotal oder vertikal auf gleicher Höhe steht, sofer keie adere Figur dazwische steht) 9) Stelle Sie sich ei rechteckiges Schachbrettmuster vor, bestehed aus m mal Quadrate mit Seiteläge Wege seie ur etlag der Räder dieser Quadrate erlaubt Die kürzeste Wege vom like utere zum rechte obere Eckpukt des Rechtecks habe offebar alle die Läge m + Die Mege all dieser kürzeste Wege sei mit K(m, ) bezeichet (a) Wieviele kürzeste Wege gibt es für m = ud = 4? (b) Jeder kürzeste Weg w lässt sich darstelle als eie Abfolge vo Schritte w i ach obe (o) oder ach rechts (r), symbolisch also w = (w, w,, w m+ ), zb w = (r, o, r, r, o, o, o, r, r, r) (hier ist wieder m =, = 4) Beschreibe Sie eie Bijektio f zwische K(m, ) ud der Mege T(m, ) aller m-elemetige Teilmege vo {,,, m + } (c) Gebe Sie eie allgemeie Formel für K(m, ) a 9) Bezeiche N die Mege {,,},, ud S die Mege aller Bijektioe f : N N (a) Sei A die Azahl aller -tupel (a,,a ) mit {a,, a } = {,, } = N, B die Azahl der Mege {a,,a } mit a i N, C die der Elemete vo S Orde Sie die Zahle A, B, C der Größe ach (b) Gebe Sie Formel für A, B ud C aus (a) (c) Wieviele f S gibt es, die M = {,,, m} (m ) ivariat lasse, dh die f(i) m für alle i m erfülle 9 95) Ma bestimme G G ud G G : 9) G : V (G ) = {,,, 8}, E(G ) = { x, y x teilt y, x < y}, G : V (G ) = {,,, 5}, E(G ) = { x, y x < y x + } 94) G : V (G ) = {,,, 7}, E(G ) = { x, y x < y x + }, G : V (G ) = {,,, 9}, E(G ) = { x, y x teilt y, x < y} 95) G : V (G ) = {,,, 9}, E(G ) = { x, y x teilt y, x < y oder x = y + }, G : V (G ) = {,,, 9}, E(G ) = { x, y xy < 5, x < y} 9) (a) I achstehedem Graphe gebe ma (verschiedee) Beispiele für eie gerichtete Katefolge, eie Katezug ud eie Bah vom Kote zum Kote a (b) Desgleiche fide ma eie geschlossee Katefolge, eie geschlossee Katezug sowie eie Zyklus jeweils durch de Kote 5 (c) Ma zeige, daß G schwach, aber icht stark zusammehäged ist, ud bestimme die starke Zusammehagskompoete ) Die Abbilduge aller Graphe G i, auf die i de folgede Beispiele Bezug geomme wird, fide Sie auf Seite 8 97) Ma bestimme alle Quadrupel (a, b, c, d), a, b, c, d {,,, 7}, sodaß der vo de Kote a, b, c, d i G aufgespate Teilgraph mit G idetisch ist 98) Ma bestimme alle Quadrupel (a, b, c, d), a, b, c, d {,,, 7}, sodaß der vo de Kote a, b, c, d i G aufgespate Teilgraph mit G 4 idetisch ist 99) Ma bestimme die kleiste trasitive Relatio R, die G (als Relatio aufgefaßt) umfaßt 00) Ma bestimme die kleiste trasitive Relatio R, die G (als Relatio aufgefaßt) umfaßt 0) Kostruiere Sie, we möglich eie ugerichtete Graphe mit de Grade (a),,,, 4, 4 (b),,, 4, 4, 4 (c),,,, 4, 4 4 4

8 0) Ei schlichter Graph G = (V, E) heißt kubisch, we jeder Kote v V Kotegrad d(v) = hat (a) Gebe Sie ei Beispiel für eie kubische Graphe mit α 0 (G) = a! (b) Gibt es eie kubische Graphe mit ugerader Koteazahl α 0 (G)? (c) Zeige Sie, daß es zu jedem eie kubische Graphe mit α 0 (G) = gibt! 0) Ma bestimme die starke Zusammehagskompoete des Graphe G 04) Ma bestimme die starke Zusammehagskompoete des Graphe G 05) Ma bestimme die starke Zusammehagskompoete des Graphe G 5 0) Ma bestimme die starke Zusammehagskompoete des Graphe G 7 07) Sei Ḡ 7 jeer Graph, der aus G 7 durch Umdrehe aller Katerichtuge etsteht Ma bestimme die starke Zusammehagskompoete ud die Reduktio Ḡ 7R des Graphe Ḡ 7 08) Bezeiche G = (V, E) eie gerichtete Graphe, V die Kote-, E V die Katemege Defiitiosgemäß heiße zwei gerichtete Graphe G i = (V i, E i ), i =,, isomorph, we es eie bijektive Abbildug f : V V gibt mit: (x, y) E (dh die Kote x ud y sid i G durch eie Kate verbude) geau da, we (f(x), f(y)) E (dh we auch f(x) ud f(y) i G durch eie Kate verbude sid) Skizziere Sie zwei gerichtete Graphe G i = (V i, E i ) mit V i = (i =, ), die icht isomorph sid Begrüde Sie, warum die vo Ihe gewählte Beispiele tatsächlich icht isomorph im Sie obiger Defiitio sid Wieviele Kate muss ei stark zusammehägeder gerichteter Graph mit sechs Kote midestes habe, wieviele ei zusammehägeder ugerichteter Graph? 09) Gegebe sei der ugerichtete schlichte Graph G = V, E mit V = {a, b, c, d, e} ud E = {ab, ac, ae, bc, bd, ce} Ma veraschauliche G graphisch, bestimme seie Adjazezmatrix sowie alle Kotegrade ud zeige, daß die Azahl der Kote, die eie ugerade Kotegrad besitze, gerade ist Gilt diese Aussage i jedem ugerichtete Graphe? 0) Welche der achstehede Adjazezmatrize stellt eie Baum dar? A = , B = ) Die Abbilduge aller Graphe G i, auf die i de folgede Beispiele Bezug geomme wird, fide Sie auf Seite 8 ) Ma bestimme die Adjazezmatrix A G ud die Potez A G ) Ma bestimme die Adjazezmatrix A G ud die Potez A G 5 ) Ma bestimme die Adjazezmatrix A(G 5 ), sowie (mit dere Hilfe) die Azahl der gerichtete Katefolge der Läge vo 4 ach 4) Sei Ḡ 5 jeer Graph, der aus G 5 durch Umdrehe aller Katerichtuge etsteht Ma bestimme die Adjazezmatrix A(Ḡ5), sowie (mit dere Hilfe) die Azahl der gerichtete Katefolge der Läge vo 4 ach 5) Ma bestimme im Graphe G 5 die Azahl der Zykle der Läge, auf dee der Kote 4 liegt ) Sei Ḡ 5 jeer Graph, der aus G 5 durch Umdrehe aller Katerichtuge etsteht Ma bestimme im Graphe Ḡ 5 die Azahl der Zykle der Läge, auf dee der Kote 4 liegt 7) Ma bestimme im Graphe G 9 mit Hilfe vo A G 9 die Azahl der Dreiecke (d h die Azahl der Kreise der Läge ) 8) Ma bestimme im Graphe G 0 mit Hilfe vo A G 0 die Azahl der Dreiecke (d h die Azahl der Kreise der Läge ) 9) Ma bestimme im Graphe G mit Hilfe der Adjazezmatrix A(G ) die Matrix R der Erreichbarkeitsrelatio 0) Sei Ḡ jeer Graph, der aus G durch Umdrehe aller Katerichtuge etsteht Ma bestimme im Graphe Ḡ mit Hilfe der Adjazezmatrix A(Ḡ ) die Matrix R der Erreichbarkeitsrelatio ) Ma utersuche, ob der Graph G 4 eie Eulersche Liie besitzt, ud bestimme gegebeefalls eie ) Ma zeige, daß es i eiem schlichte, gerichtete Graphe G = V, E immer zwei Kote x, y V, x y, gibt mit gleichem Weggrad d + (x) = d + (y), we es keie Kote x V (G) mit Weggrad d + (x) = 0 gibt ) Ma zeige mit Hilfe eies graphetheoretische Modells, daß es umöglich ist, daß bei 5 Persoe, die jeweils drei adere eie Karte sede, alle geau vo jee Karte erhalte, dee auch sie eie geschickt habe 4) Sei G ei eifacher Graph Ma zeige, daß da die Azahl der Kote ugerade Grades gerade ist 5) Ma zeige, daß es i jedem eifache Graphe G mit Kote weigstes zwei Kote mit gleichem Kotegrad gibt ) Uter Maschafte wird ei Turier ausgetrage, ud es habe isgesamt scho + Spiele stattgefude Ma zeige, daß midestes eie Maschaft da bereits a midestes Spiele teilgeomme hat 7) Ma zeige, daß es i eiem Graphe G mit 0 < α (G) < α 0 (G) immer eie Kote v V (G) mit d(v) gibt 8) Ma zeige mit Hilfe eies geeigete graphetheoretische Modells, daß es i jeder Stadt midestes zwei Bewoher mit der gleiche Azahl vo Nachbar gibt 9) Ma bestimme alle Bäume T, für die auch T κ ei Baum ist T κ bezeiche de komplemetäre Graphe defiiert durch: V (T κ ) = V (T) ud E(T κ ) = (V V )\(E(T) {(x, x) x V }) 0) Sei G ei schlichter Graph mit α 0 (G) > 4 Ma zeige, daß da etweder G oder G κ (der komplemetäre Graph, siehe Aufgabe 9) eie Kreis ethält (G κ ist der komplemetäre Graph zu G, dh G κ ethält dieselbe Kote wie G ud alle Kate (v, w) V (G) V (G), v w, die icht i E(G) ethalte sid)

9 ) Für welche m, besitzt der vollstädige paare Graph K m, eie geschlossee Hamiltosche Liie? (Die Kotemege V eies vollstädige paare Graphe K m, besteht aus disjukte Teilmege V, V mit V = m ud V = ud die Katemege E besteht aus alle ugerichtete Kate (v, v ) mit v V ud v V ) ) Gegebe seie die Date A,, F durch die Schlüsselfolge A = 0000, B = 00,C = 000,D = 00,E = 000, F = 0000 Kostruiere Sie de zugehörige Trie, Patricia Trie ud Digitale Suchbaum ) Die extere Pfadläge eies Tries (das ist ist ei Biärbaum, bei dem die Date i de Blätter gespeichert werde) ist die Summe der Abstäde vo der Wurzel zu alle besetzte Edkote des Baumes, wobei die Abstäde i der Azahl der Kate auf dem etsprechede Weg gemesse werde Wie groß ist die extere Pfadläge eies Tries, der N Date ethält, midestes? (Hiweis: Welche Gestalt des Biärbaums führt zu kleier Pfadläge?) 4) Ei t-ärer Baum (t N, t ) ist ei ebeer Wurzelbaum, bei dem jeder Kote etweder 0 Nachfolger (Edkote) oder geau t Nachfolger (iterer Kote) hat Für t = ergebe sich also geau die Biärbäume Wieviele Edkote hat ei t-ärer Baum mit itere Kote? 5) Zum Abarbeite der Kote eies Biärbaumes verwedet ma gere rekursive Algorithme, die i wohldefiierter Reihefolge die folgede Schritte ausführe: () Bearbeite de aktuelle Kote, () Gehe zur Wurzel des like Nachfolgebaums des aktuelle Kotes, () Gehe zur Wurzel des rechte Nachfolgebaums des aktuelle Kotes B C D E F G H A I Am Begi steht ma bei der Wurzel des Gesamtbaumes Führt ma die geate Schritte () bis () rekursiv i der agegebee Reihefolge aus, so spricht ma vo Präordertraversierug Beim utestehede Baum werde die Kote also i folgeder Reihefolge bearbeitet: A, B, D, E, H, I, C, F, G Wie ädert sich diese Reihefolge, we ma im Algorithmus jeweils die Abfolge ()()() immt (Iordertraversierug), wie we ma die Abfolge ()()() wählt (Postordertraversierug)? ) Gegebe sei ei zusammehägeder bewerteter Graph G durch seie Kate / Bewertuge: ab/, ac/, ad/7, ae/, bd/4, bf/8, bk/, bl/, cf/, ck/5, de/, df/, dg/9, dh/, dj/, ef/, ei/, fg/, gh/4, fk/, gi/, hk/7 (a) Ma gebe drei verschiedee Gerüste vo G a (b) Ma bestimme mit Hilfe des Algorithmus vo Kruskal ei Miimalgerüst vo G ud desse Gesamtläge G 7 G d a b c 4 5 G 7 G 4 d a b c G 5 4 G G 8 G G 9 4 G G G G G 4 7 8

10 7 40) Ma bestimme im folgede Graphe H für de agegebee Wert vo x mit Hilfe des Kruskalalgorithmus eie miimale ud eie maximale spaede Baum H 5 8 x ) x = 8) x = 9) x = 4 40) x = 5 4) I der folgede schematisch skizzierte Ladkarte sid für eie bestimmte Fracht die Trasportkoste zwische eizele Orte agegebe Welches ist der billigste Weg vom Ort P zum Ort P 0? 5 5 P P 8 5 P P 7 8 P 4 5 P 0 0 P 4 4 P P 0 5 P 9 7 4) Bestimme Sie mit dem Algorithmus vo Dijkstra eie kürzeste Weg zwische de Kote x ud y im folgede Graphe: b 7 c 4 d 4 x y 5 7 e f 5 g 44) Gegebe seie die folgede zweistellige partielle Operatioe i der Mege M Ma utersuche, i welchem Fall eie Operatio i M vorliegt Welche der Operatioe sid assoziativ, welche kommutativ? (a) M = {, 0, }, gewöhliche Additio bzw Multiplikatio (b) M = N, a b = ab (c) M = Q, a b = ab + (d) M = R, a b = a + b (e) M, a b = a 45) Ma zeige, daß Z, mit der Operatio a b = a + b ab, a, b Z eie Halbgruppe ist Gibt es ei eutrales Elemet? We ja, welche Elemete habe Iverse? 4) Sid X ud Y Mege vo Wörter über eiem Alphabet, da bezeiche XY = {w w w X, w Y } Für A = {a} ud B = {b, c} bestimme ma A, B, A B, AB, (A B) ud ABA B 4) Im achstehede bewertete Graphe bestimme ma de Etferugsbaum bezüglich des Kotes v 0 v 0 v v 8 5 v v 4 5 v 47 5) Utersuche Sie, ob die Mege M mit der Operatio ei Gruppoid, eie Halbgruppe, ei Mooid bzw eie Gruppe ist: 47) M = {0,, }, m = mi(m +, ) 48) M = {0,,, }, m = mi(m, ) 49) M = {,, 0,, }, m = m 50) M = {z C z = }, z z = zz 5) M = {z C z = }, z z = z z 5) M = {z C z = }, z z = z z 5) M = {z C z = oder z = }, z z = z z 54) M = P(A), d h die Potezmege der Mege A, B C = B C 55) M = P(A), d h die Potezmege der Mege A, B C = B C 5) M = P(A), d h die Potezmege der Mege A, B C = B C (die symmetrische Differez) 57) M = P(A), d h die Potezmege der Mege A, B C = B \ C (die Megedifferez) 58) M = Q, a b = a b 59) M = {x Q x 0}, a b = a+b +ab 0) M = Q, a b = ab + ) M = Q \ {}, a b = a + b ab 0

11 ) M = Q \ {0}, a b = a/b ) M = Q \ { }, a b = a + b + ab 4) M = N, a b = max{a, b} 5) M = N, a b = mi{a, b} 7) Ma ergäze die folgede Operatiostafel so, daß G = {a, b, c}, eie Gruppe ist ) a b c a a b c 7) a b c a b b c 8 9) Ma ergäze die folgede Operatiostafel so, daß G = {a, b, c, d}, eie Gruppe ist 8) a b c d a a b a c a d 9) a b c d a a b c c d 70 7) Ma ergäze die folgede Operatiostafel so, daß G = {a, b, c, d}, eie Gruppe ist 70) a b c d a b b b c b d 7) a b c d a a b a c d a 7) Ma zeige: Gilt für ei Elemet a eier Gruppe G: a a = a, da ist a das eutrale Elemet vo G 7) Ma zeige: Eie ichtleere Teilmege U eier Gruppe G (mit eutralem Elemet e) ist geau da Utergruppe vo G, we (i) a, b U ab U, (ii) e U, (iii) a U a U für alle a, b G erfüllt ist Dies ist geau da der Fall, we a, b U ab U 74) Ma zeige: Eie ichtleere Teilmege U eier edliche Gruppe G ist geau da Utergruppe vo G, we a, b U ab U für alle a, b G gilt 75) Beweise Sie, daß i eier Gruppe (G, ) die folgede Recheregel für alle a, b, c G gelte: (a) a b = a c b = c (b) (a ) = a (c) (ab) = b a (d) Die Gleichug a x = b ist i G immer eideutig lösbar 7) Ma bestimme alle Utergruppe der Gruppe S aller Permutatioe vo drei Elemete mit der Operatio der Hitereiaderausführug 77) Ma bestimme alle Utergruppe eier zyklische Gruppe der Ordug, d h, vo G = {e, a, a, a, a 4, a 5 } 78) Ma zeige: Der Durchschitt zweier Utergruppe ist wieder eie Utergruppe Gilt dies auch für die Vereiigug zweier Utergruppe? 79) Sei G die Mege der Permutatioe {(), (), (4), ()(4), ()(4), (4)(), (4), (4)} Ma veraschauliche G, idem ma die Permutatioe auf die vier Eckpukte eies Quadrates wirke lasse ud als geometrische Operatioe iterpretiere Ma zeige mit Hilfe dieser Iterpretatio, daß G eie Utergruppe der symmetrische Gruppe S 4 ist (Symmetriegruppe des Quadrates), ud bestimme alle Utergruppe 80) I der Symmetriegruppe des Quadrates aus Aufgabe 79) bestimme ma die Rechts- bzw Liksebeklassezerlegug ach eier (a) vo eier Drehug, (b) vo eier Spiegelug erzeugte Utergruppe 8) Sei U die vo ()() erzeugte Utergruppe der S Ma bestimme die Rechtsebeklasse vo U Ist U Normalteiler vo S? 8) Sei U die vo ()() erzeugte Utergruppe der S Ma bestimme die Liksebeklasse vo U Ist U Normalteiler vo S? 8) Sei U die vo () erzeugte Utergruppe der S Ma bestimme die Liksebeklasse vo U Weiters stelle ma fest, ob U Normalteiler vo S ist ud bestimme gegebeefalls die Gruppetafel der Faktorgruppe S /U 84) Es sei U eie Utergruppe der Gruppe G Ma zeige, dass die Relatio a b a U = b U eie Äquivalezrelatio auf G ist ud dass die Äquivalezklasse vo die Liksebeklasse vo U i G sid 85) Ma zeige, daß die vo erzeugte Utergruppe U vo Z 9, + ei Normalteiler vo Z 9, + ist ud bestimme die Gruppetafel der Faktorgruppe Z 9 /U 8) Ma zeige, daß die vo 4 erzeugte Utergruppe U vo Z, + ei Normalteiler vo Z, + ist ud bestimme die Gruppetafel der Faktorgruppe Z /U 87) Ma zeige, daß die vo 5 erzeugte Utergruppe U vo Z 5, + ei Normalteiler vo Z 5, + ist ud bestimme die Gruppetafel der Faktorgruppe Z 5 /U 88) Ma zeige, daß die vo erzeugte Utergruppe U vo Z, + ei Normalteiler vo Z, + ist ud bestimme die Gruppetafel der Faktorgruppe Z /U 89) Ma zeige: Das Zetrum Z(G) = {x G x y = y x für alle y G} eier Gruppe G, ist Normalteiler vo G 90 9) Defiitio: Der Kommutator K(G) eier Gruppe G ist jee Utergruppe vo G, die vo alle Elemete xyx y (x, y G) erzeugt wird 90) Ma zeige: K(G) ist ei Normalteiler vo G (Hiweis: Ma beweise zuächst axyx y a = ( (ax)y(ax) y )( yay a ) ) 9) Ma zeige: Die Faktorgruppe G/K(G) ist kommutativ (Hiweis: ab = baa b ab)

12 9) Sei ϕ : G H ei Gruppehomomorphismus Ma zeige, daß da ϕ(g) eie Utergruppe vo H ist 9) Sei ϕ : G H ei bijektiver Gruppehomomorphismus Ma zeige, daß da auch ϕ : H G ei Gruppehomomorphismus ist 94) Seie ϕ : G H ud ψ : H K Gruppehomomorphisme Ma zeige: ψ ϕ : G K ist auch ei Gruppehomomorphismus 95) Sei ϕ : G H ei Gruppehomomorphismus ud e das eutrale Elemet vo G Ma zeige, daß ϕ(e) das eutrale Elemet vo H ist (Hiweis: Ma verwede Bsp 7) 9) Sei ϕ : G H ei Gruppehomomorphismus ud N ei Normalteiler vo H Ma zeige, daß da U = ϕ (N) ei Normalteiler vo G ist 97) Bestimme Sie alle Utergruppe der Gruppe der vo 0 verschiedee Restklasse modulo 5 mit der Multiplikatio 98) Bestimme Sie alle Utergruppe der Gruppe der Restklasse modulo 4 mit der Additio 99) Ma bestimme alle Utergruppe der Z, + 00) Ma bestimme alle Utergruppe der Z, + 0) Ma bestimme alle Utergruppe der Z 8, + 0) Ma bestimme alle Utergruppe der Z 9, + 0) Sei (G, ) eie Gruppe Utersuche Sie, ob (G G, ) mit (a, b) (c, d) = (a c, b d) ebefalls eie Gruppe ist 04) Seie (G, ) ud (H, ) zwei Gruppe Utersuche Sie, ob (G H, ) mit (a, b) (c, d) = (a c, b d) ebefalls eie Gruppe ist 05) Auf Z sei eie Additio + kompoeteweise defiiert, dh, (ā, ā ) + ( b, b ) = (ā + b, ā + b ) Beweise Sie, daß (Z, + ) eie Gruppe ist ud gebe Sie auch die Operatiostafel vo + a 0) Vo der Abbildug f : (Z ) (Z ) 4 sei bekat, daß f ei Gruppehomomorphismus bezüglich der Additio ist (die jeweils kompoeteweise defiiert sei soll), sowie daß f(0, ) = (0,,, ), f(, 0) = (, 0,, 0) Ma ermittle daraus f(w) für alle w (Z ) 07) Wie Bsp 0) für f(, 0) = (0,,, ), f(0, ) = (, 0, 0, ) 08) Wie Bsp 0) für f(, 0) = (, 0, 0, ), f(, ) = (,, 0, ) 09) Wie Bsp 0) für f(, 0) = (0,,, ), f(, ) = (,,, 0) 0) Ma bestimme die prime Restklasse modulo 9, d h alle Restklasse ā mit ggt(a, 9) = Ma zeige, daß die Mege Γ 9 dieser prime Restklasse bezüglich der Restklassemultiplikatio eie Gruppe bildet ) Wie Bsp 0) für die prime Restklasse modulo ) Wie Bsp 0) für die prime Restklasse modulo 8 ) Sei Γ 9, die Gruppe aus Bsp 0) Ma bestimme die vom Elemet 8 erzeugte Utergruppe sowie dere Nebeklasse i Γ 9 4) Sei Γ, die Gruppe aus Bsp ) Ma bestimme die vom Elemet 9 erzeugte Utergruppe sowie dere Nebeklasse i Γ 5) Sei Γ 8, die Gruppe aus Bsp ) Ma bestimme die vom Elemet 7 erzeugte Utergruppe sowie dere Nebeklasse i Γ 8 ) Sei G eie Gruppe, dere Ordug G eie Primzahl ist Ma zeige, daß G ur die triviale Utergruppe {e} ud G hat 7 4) Utersuche Sie, ob die folgede Strukture Rige, Itegritätsrige bzw Körper sid: 7) M = {0, } mit der Additio modulo ud dem Produkt a b = 0 für alle a, b M 8) M = {0,, } mit der Additio modulo ud dem Produkt a b = für alle a, b M 9) M = Q[ 5] = {a + b 5 a, b Q} mit der Additio ud Multiplikatio aus R 0) Wie 9), jedoch M = Q[ ] ) Wie 9), jedoch M = Q[ 7] ) Wie 9), jedoch M = Q[ 4] ) M = {0,, } mit der Additio modulo ud der Multiplikatio modulo 4 4) M = {0, } mit der Additio = 0, 0 + = + 0 =, + =, ud der Multiplikatio modulo 5) Vo der Mege K C sei bekat: i) R K, ii) +i K ud iii) K, +, ist ei Körper (mit der Additio bzw Multiplikatio aus C) Zeige Sie, daß K = C sei muß ) Vo der Mege K C sei bekat: i) R K, ii) i K ud iii) K, +, ist ei Körper (mit der Additio bzw Multiplikatio aus C) Zeige Sie, daß K = C sei muß 7) Gibt es eie Mege K mit R K C, die mit der übliche Additio bzw Multiplikatio eie Körper bildet? (Begrüdug!) 8) Sei R, +, ei Rig mit Eiselemet ud E(R) die Mege derjeige Elemete i R, die bezüglich der Multiplikatio ei iverses Elemet besitze Zeige Sie, daß E(R) mit der Multiplikatio eie Gruppe bildet (die Eiheitegruppe vo R) 9) Ma zeige, daß für eie beliebige Mege M die Algebra (P(M),, ei kommutativer Rig mit Eiselemet ist Für welche M ist dieser Rig sogar ei Körper? 0) Bestimme Sie die Eiheitegruppe (vgl 8) des Restklasseriges Z 9 ) Ma bestimme Z ud Z ud überprüfe, ob diese beide Gruppe isomorph sid 4) Beweise Sie, daß die agegebee Idetität i eiem Rig R für alle a, b R gilt ( c bezeichet das additive Iverse zu c): ) ( a)b = (ab) ) a( b) = (ab) 4) ( a)( b) = ab 5) Sei R, +, ei Rig Ma zeige, daß da auch R R mit de Operatioe ei Rig ist (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (a c, b d) ) Seie R, +, ud R, +, Rige Ma zeige, daß da auch R R mit de Operatioe (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (a c, b d) 4

13 ei Rig ist 7) Sei R ei Rig ud R[[z]] die formale Potezreihe 0 a z mit Koeffiziete a R Ma zeige, daß R[[z]] mit de Operatioe z 0a + b z = (a + b )z, a z z b = ( ) a k b k z 0 ei Rig ist Ma zeige weiters, daß R[[z]] ei Itegritätsrig ist, we R ei Itegritätsrig ist 8) Ma ermittle, ob beim Übergag vo R zu R R (Bsp 5)) die folgede Eigeschafte erhalte bleibe: a) Kommutativität, b) Nullteilerfreiheit, c) Existez eies Eiselemetes 9) Sei R, +, ei Rig, i dem a = a für alle a R gilt Ma zeige, daß da auch a+a = 0 für alle a R gilt (Hiweis: Ma betrachte (a + a) ) 40) Sei R, +, ei Rig, i dem a = a für alle a R gilt Ma zeige, daß da R kommutativ ist (Hiweis: Ma betrachte (a + b) ud (ab + ab) ) 4) Ma bestimme mit Hilfe der Lösugsformel für quadratische Gleichuge alle Lösuge vo 4x + 7x + 7 = 0 über dem Körper Z 4) Ma bestimme mit Hilfe der Lösugsformel für quadratische Gleichuge alle Lösuge vo x + x + = 0 über dem Körper Z 7 4) Ma bestimme mit Hilfe der Lösugsformel für quadratische Gleichuge alle Lösuge vo x + x + 7 = 0 über dem Körper Z 44 48) Ei Polyom heißt irreduzibel, we es icht als Produkt zweier Polyome kleiere Grades darstellbar ist 44) Ma utersuche das Polyom x + x + auf Irreduzibilität a) über Q, b) über Z 45) Ma utersuche das Polyom x + x + auf Irreduzibilität a) über R, b) über Z 5 4) Ma utersuche das Polyom x + auf Irreduzibilität a) über Q, b) über Z 5 47) Ma utersuche das Polyom x + x + 5 auf Irreduzibilität a) über Q ud b) über Z 7 48) Ma utersuche das Polyom x x + auf Irreduzibilität a) über Q ud b) über Z ) Ma zeige, dass die folgede algebraische Strukture Verbäde sid Welche sid außerdem distributiv, ud welche sid Boole sche Algebre? 49) a) (R, mi, max), b) (N, ggt, kgv) 50) a) (P(A),, ), b) ({U U G},, ), G Gruppe 5) Sei (M,, ) eie Boolesche Algebra Beweise Sie: a) a M : a =, a 0 = 0 b) Falls a b = ud a b = 0, so folgt b = a 5) Sei M die Mege aller Teiler vo 0 Bestimme Sie alle Komplemete i (M, ggt, kgv) Ist diese Struktur eie Boolesche Algebra? 5) Sei (M,, ) ei Verbad mit 5 Elemete Zeige Sie, daß (M,, ) keie Boolesche Algebra ist Hiweis: Betrachte Sie alle mögliche Hassediagramme der durch de Verbad bestimmte Halbordug 5 54) Sei (M,, ) eie Boolesche Algebra Beweise Sie: a) (a ) = a b) (a b) = a b ud (a b) = a b 55 0) Bildet R mit de agegebee Operatioe eie Vektorraum über R? 55) (x, x ) + (y, y ) = (x + y, 0), λ(x, x ) = (λx, 0) 5) (x, x ) + (y, y ) = (0, x + y ), λ(x, x ) = (0, λx ) 57) (x, x ) + (y, y ) = (x + y, x + y ), λ(x, x ) = (λx, λx ) 58) (x, x ) + (y, y ) = (x + y, x + y ), λ(x, x ) = (λx, λx ) 59) (x, x ) + (y, y ) = (x + y, 0), λ(x, x ) = (λx, x ) 0) (x, x ) + (y, y ) = (0, x + y ), λ(x, x ) = (x, λx ) 7) Utersuche Sie, ob W Teilraum des Vektorraums R über R ist ud beschreibe Sie die Mege W geometrisch: ) W = {(x, y, z) x = y} ) W = {(x, y, z) y = z} ) W = {(x, y, z) x + y + z = 0} 4) W = {(x, y, z) xy = 0} 5) W = {(x, y, z) x + y + z 0} ) W = {(x, y, z) x + y + z 0} 7) W = {(x, y, z) x + y + z = 0} 8) W = {(x, y, z) x = z} 9) W = {(x, y, z) x = z} 70) W = {(x, y, z) xy = 0} 7) W = {(x, y, z) x + y = } 7 7) Utersuche Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V über K ist 7) Sei V der Vektorraum aller Fuktioe f : R R über K = R, W die Mege aller ugerade Fuktioe i V, d h aller Fuktioe f, für die gilt f(x) = f( x) 7) Sei V Vektorraum aller Fuktioe f : R R über K = R, W die Mege aller gerade Fuktioe i V, d h aller Fuktioe f, für die gilt f(x) = f( x) 74) Zeige Sie: Q[ 5] (vgl Aufgabe 9)) bildet mit de i R ausgeführte Operatioe Additio ud Produkt mit eiem Skalar eie Vektorraum über Q 75) Zeige Sie: Q[ 7] (vgl Aufgabe 9)) bildet mit de i R ausgeführte Operatioe Additio ud Produkt mit eiem Skalar eie Vektorraum über Q 7) Zeige Sie: C bildet mit de i C ausgeführte Operatioe Additio ud Produkt mit eiem Skalar eie Vektorraum über R 77) Zeige Sie: I jedem Vektorraum V über dem Körper K gilt λ o = o für alle λ K ud 0 a = o für alle a V 78 80) Zeige Sie, daß i jedem Vektorraum V über dem Körper K für alle a V, λ K gilt: 78) ( λ)a = (λa) 79) λ( a) = (λa) 80) ( λ)( a) = λa

14 8) Zeige Sie: Die Mege aller Polyome a 0 +a x+a x +a x +a 4 x 4 vom Grad kleier gleich 4 mit Koeffiziete a i aus Q bildet mit der übliche Additio ud dem übliche Produkt mit eiem Skalar eie Vektorraum über Q 8) Bestimme Sie de kleiste Teilraum des Vektorraumes aus 8) der die Polyome x ud x ethält 8) Bestimme Sie de kleiste Teilraum des Vektorraumes aus 8) der die Polyome x x ud x + x ethält 84) Bestimme Sie de kleiste Teilraum des Vektorraumes aus 8) der die Polyome x + x, x x + ud 5x 5x + 8 ethält 85) Bestimme Sie de kleiste Teilraum des Vektorraumes aus 8) der die Polyome +x x, + 5x 4x ud 4 x + x ethält 8) Zeige Sie: Die Mege aller Polyome a 0 + a x + a x + a x vom Grad kleier gleich mit Koeffiziete a i aus R bildet mit der übliche Additio ud dem übliche Produkt mit eiem Skalar eie Vektorraum über R Bestimme Sie eie Basis dieses Vektorraums, die ur Polyome dritte Grades ethält 87) Bestimme Sie de kleiste Teilraum des Vektorraumes aus 8) der die Polyome x ud x ethält 88) Bestimme Sie de kleiste Teilraum des Vektorraumes aus 8) der die Polyome x x, x x ud x + x ethält 89) Bestimme Sie de kleiste Teilraum des Vektorraumes aus 8) der die Polyome x x, x 5x + ud x + x ethält 90) Zeige Sie, daß B = {(,, 4), (, 4, ), (4,, )} eie Basis des R ist 9) Utersuche Sie, ob B = {(, 4, 4), (, 4, 7), (,, )} eie Basis des R ist 9) Utersuche Sie, ob B = {(0, 7, 4), (, 4, 5), (,, )} eie Basis des R ist 9) Zeige Sie, daß die Vektore x, x, x eies Vektorraumes geau da liear uabhägig sid, we x + x, x + x, x liear uabhägig sid 94) Zeige Sie, daß die Vektore x, x, x eies Vektorraumes geau da liear uabhägig sid, we x + x + x, x + x, x liear uabhägig sid 95) Zeige Sie, daß die Vektore x, x, x eies Vektorraumes geau da liear uabhägig sid, we x x, x, x x liear uabhägig sid 9) Utersuche Sie, ob die folgede Vektore des R 4 liear uabhägig sid: (,,, 4), (,, 4, 5), (, 4, 5, ) 97) Utersuche Sie, ob die folgede Vektore des Z 4 7 liear uabhägig sid: (,,, 4), (,, 4, 5), (, 4, 5, ) 98) Utersuche Sie, ob die folgede Vektore des Z 4 liear uabhägig sid: (,,, 4), (,, 4, 5), (, 4, 5, ) 99) Utersuche Sie, ob die folgede Vektore des R 4 liear uabhägig sid: (4,,, ), (,, 4, 5), (, 4, 5, ) 400) Utersuche Sie, ob die folgede Vektore des R 4 liear uabhägig sid: (,,, ), (,,, ), (,,, ) 40) Utersuche Sie, ob die folgede Vektore des R 4 liear uabhägig sid: (,, 0, ), (0, 7,, ), (,, 0, 4) 40) Utersuche Sie, ob die folgede Vektore des Z 4 5 liear uabhägig sid: (,,, 4), (,, 4, ), (, 4,, ) 40) Sei V = { i=0 a ix i a i R, N } der Vektorraum aller Polyome mit reelle Koeffiziete Utersuche Sie, ob daß + x + x, x + x ud 5 + x + x x liear uabhägig sid 404) Wie 40, ur für x + x, x + x ud 5 + x + x 4x 405) Wie 40, ur für x x, x ud + x x 40) Sei V = {f f : R R} der Vektorraum aller reellwertige Fuktioe Utersuche Sie, ob f ud g mit f(x) = si(x) ud g(x) = cos(x) liear uabhägig sid 407) Wie 40, ur für f(x) = si(x) ud g(x) = si(x) 408) Wie 40, ur für f(x) = cos(x) ud g(x) = cos(x) 409) Wie 40, ur für f(x) = cos(x) ud g(x) = e x 40) Wie 40, ur für f, g, h mit f(x) = e x, g(x) = e x ud h(x) = xe x 4) Wie 40, ur für f, g, h mit f(x) = e x, g(x) = xe x ud h(x) = x e x 4) Wie 40, ur für f, g, h mit f(x) =, g(x) = e x ud h(x) = e x 4) Sei ( ) A = Utersuche Sie, ob die Matrize I, A ud A im Vektorraum der reelle -Matrize liear uabhägig sid 44) Sei ( ) A = Utersuche Sie, ob die Matrize I, A ud A im Vektorraum der reelle -Matrize liear uabhägig sid 45) Sei ( ) A = ud B = ( ) Utersuche Sie, ob die Matrize A, B ud B im Vektorraum der reelle -Matrize liear uabhägig sid 4) Beweise Sie, daß jede quadratische Matrix A als Summe eier symmetrische Matrix B (dh, B = B T ) ud eier schiefsymmetrische Matrix C (dh, C = C T ) geschriebe werde ka (Hiweis: Wähle Sie B = (A + AT )) Wie sieht diese Zerlegug kokret für die Matrix aus? A =