Kapitel 1 Grundlagen

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1 Kapitel 1 Grudlage

2 I h a ltsverze ichis ZAHLEN... 3 NATÜRLICHE ZAHLEN... 3 GANZE UND RATIONALE ZAHLEN... 3 REELLE ZAHLEN... 4 KOMPLEXE ZAHLEN... 5 ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE... 6 TEILBARKEIT... 6 PRIMZAHLEN... 6 KONGRUENZEN... 7 RESTKLASSEN... 7 ELEMENTARE AUSSAGENLOGIK... 8 AUSSAGEN... 8 ÄQUIVALENTE FORMELN... 9 PRÄDIKATENLOGIK... 9 MENGEN BEGRIFF MENGENOPERATIONEN MENGENIDENTITÄTEN POTENZMENGE MÄCHTIGKEIT UND ABZÄHLBARKEIT RELATIONEN UND FUNKTIONEN RELATIONSBEGRIFF ÄQUIVALENZRELATIONEN HALBORDNUNGEN FUNKTIONEN VOLLSTÄNDIGE INDUKTION DEFINITION BEISPIEL Grudlage Markus Kessler Seite 2 vo 14

3 Zahle N a t ü r l i c h e Z a h l e Füf Peao-Axiome 0 ist eie atürliche Zahl Jede Zahl hat geau eie Nachfolger 0 ist icht Nachfolger Verschiedee at. Zahle besitze verschiedee Nachfolger Jede Eigeschaft die 0 zukommt ud sich vo jeder atürliche Zahl auf de Nachfolger überträgt, kommt alle atürliche Zahle zu (Iduktiosaxiom) Eigeschafte Kommutativgesetz: + m = m +, m = m Assoziativgesetz: ( + m) + k = + (m + k); ( m) k = (m k) Distributgesetz: ( + m) k = k + m k Existez eies eutrale Elemets: + 0 = 0 + =, 1 = 1 = G a z e u d r a t i o a l e Z a h l e Will ma ueigeschräkt subtrahiere, ka es vorkomme, dass das Ergebis uter 0 liegt. Erweitert ma also die atürliche Zahle [0, [ mit ], 0[ (jedoch ur alle Zahle ohe Komma), bekommt ma die Mege der Gaze Zahle. Für die Divisio beötige wir jedoch och eie weitere Zahlegruppe. Die ratioale Zahle. Schreibweise ratioaler Zahle: r = m Jede ratioale Zahl ka also durch eie Divisio vo zwei gaze Zahle (teilerfremd!) ausgedrückt werde. Sie müsse deshalb teilerfremd sei, da asoste als Ergebis selbst eie gaze Zahl etsteht. 0,333 = 1 3 Grudlage Markus Kessler Seite 3 vo 14

4 R e e l l e Z a h l e Defiitio Alle Zahle die icht durch eie Bruch vo zwei gaze, teilerfremde Zahle dargestellt werde köe. Satz 1.6: Die Dezimaletwicklug eier ratioale Zahl ist etweder edlich oder (schließlich) periodisch. Sie ist eideutig, we ma die (schließliche) Periode 999 ausschließt. Beispiel 2 Verwedug des idirekte Beweises: Ageomme 2 wäre durch a mit a, b ε Z teilbar b 2 = a b 2 = a2 b 2 a2 = 2 b 2 2 a 2 2 a Hiweis: Die letzte Aussage sid besser verstädlich, we ma die Primfaktore vo a betrachtet. Ageomme a wäre 12: 12 = 3 4 = = Betrachte wir u a 2 : 12 2 = = = Die Zahle besitze die gleiche Primfaktore, jedoch steigt dere Azahl mit steigeder Potez a. Gilt: da gilt atürlich auch = 4 c2 b 2 a = 2 c a 2 = 4 c 2 b 2 = 2 c 2 2 b 2 2 b a ud b sid teilerfremd, ascheied lasse sie sich jedoch beide mit 2 teile. 2 ka also icht durch die Divisio zwei teilerfremde Zahle dargestellt werde. Grudlage Markus Kessler Seite 4 vo 14

5 K o m p l e x e Z a h l e Die Komplexe Zahle wurde eigeführt, da sich x 2 = 1 mit de bisherige Zahlemege icht löse lässt. x 2 = 1 Eiführug eier imagiäre Eiheit i i 2 = 1 Komplexe Zahle erweiter die Zahleebee i eie eue Ebee (Gaußsche Zahleebee). Die x-achse repräsetiert wie gewoht de Realateil, der eue Imagiärateil erweitert die Zahl wie bei Koordiate i die Y-Achse. 1. Schreibweise (kartesisch): z = a + ib 2. Schreibweise (Polarform): z = [r, φ] Additio: z 1 + z 2 = a + bi + c + di = a + c + i (b + d) Multiplikatio: z 1 z 2 = (a + bi) (c + di) = ac bd + i (ad + bc) = [r 1, φ 1 ] [r 2, φ 2 ] = [r 1 r 2, φ 1 + φ 2 ] Divisio: z 1 = a+bi = (a+bi) (c di) = ac+bd i (ad cb) z 2 c+di (c+di) (c di) c 2 +d 2 = [r 1, φ 1 ] [r 2, φ 2 ] = [r 1 r 2, φ 1 φ 2 ] Kojugiert komplexe Zahl: z = a ib = ac+bd (ad cb) c 2 +d2 i c 2 +d 2 Umrechug der Schreibweise Re(z) = r cos(φ) r = a 2 + b 2 Im(z) = r si(φ) φ = arc ta b a z = r (cos(φ) + i si(φ)) z = [ a 2 + b 2, arc ta b a ] Formel ud Wurzelziehe Moivre sche Formel: (cos φ + i si φ) = cos( φ) + i si( φ) Wurzelziehe: z = [ r, φ 2π k + ] ; 1. Lösug = [ r, φ ] ; 2. Lösug = [ r, φ + 2π ] ; 3. Lösug = [ r, φ + 2π 2 ] ; Grudlage Markus Kessler Seite 5 vo 14

6 E l e meta re Zahlet h e o rie Te i l b a r k e i t Euklidischer Algorithmus Algorithmus für das Bestimme des größte gemeisame Teilers (ggt) vo zwei gaze Zahle. Beispiel: a = 133; b = = = = = Der ggt vo 133 ud 56 ist 7. Eie weitere Nutzug dieses Verfahres ist die Liiearkombiatio. Beispiel: Ma bestimme x ud y i der Gleichug 243x + 198y = 9 Euklidischer Algorithmus Liearkombiatio Somit ist x = 0 ud y = 11. P r i m z a h l e 243 = = = = = = 45 ( ) 2 = = = ( ) = = Eie Primzahl lässt sich ur durch sich selber oder 1 teile. Jede Natürliche Zahl a 2 lässt sich als Produkt vo Primzahle darstelle. Es gibt uedlich viele Primzahle Das ka mit dem idirekte Beweis gezeigt werde. Nehme wir a, es gibt edlich viele Primzahle ud p ist usere größte Primzahl. Jetzt betrachte wir r: r = p + 1 Usere Zahl r ist also das Produkt aller Primzahle +1. Die eue Zahl r ist durch keie der Primzahle teilbar (es bleibt immer 1 Rest). Etweder es gibt eie größere Primzahl die r teilt, oder r ist selbst eie Primzahl. Beide Möglichkeite sid jedoch im Wiederspruch zu der Aahme, dass es edlich viele Primzahle gibt. Grudlage Markus Kessler Seite 6 vo 14

7 K o g r u e z e Defiitio Zwei gaze Zahle a, b heiße kogruet modulo m, we sie bei Divisio durch m deselbe Rest lasse, d.h. we a mod m = b mod m. Ma schreibt dafür kurz: Daraus folgt: a b mod m a b mod m m (a b) a b = m k Beispiele 17 3 mod 7 Rest mod 2 Rest mod 5 Rest 0 Äquivalezrelatio ist eie Äquivalezrelatio, de es gilt Reflexivität a a mod m Symmetrie a b mod m b a mod m Trasitivität a b mod m b c mod m a c mod m Recheregel Zwei gültige Kogrueze mit dem gleiche Modulo-Teil köe beliebig addiert oder multipliziert werde, das heißt für alle a, b, a, b ε Z folgt aus a b mod m ud a b mod m R e s t k l a s s e a + a b + b mod m a a b b mod m Die Restklasse uterteile alle Zahle, die durch Divisio mit m de gleiche Rest vorweise. Jede Mege a = {x ε Z x a mod m} bezeichet ma als Restklasse modulo m. Jedes x ε a heißt Repräsetat vo a. Beispiel: modulo 5 Es existiere i diesem Beispiel also füf Restklasse, da jede Zahl, die mit 5 dividiert wird, etweder 0, 1, 2, 3 oder 4 als Rest besitzt. Die Restklasse mit dem Rest 0 wird als 0 gekezeichet. Restklasse Zahle -10, -5, 0, 5, 10-11, -6, -1, 1, 6-7, -2, 2, 7, 12-8, -3, 3, 8, 11-9, -4, 4, 9, 13 Defiitio m k + 0 m k + 1 m k + 2 m k + 3 m k + 4 Die Additio aller Restklasse (=Teilmege vo Z) ergibt Z. Die Mege aller Restklasse heißt R m, R m = 5 ud R m ist eie Mege vo Mege. Restklasseadditio Seie a, b ε R m, da ist a + b = a + b Beispiel: = = 5 = 0 Restklassemultiplikatio a b = a b Grudlage Markus Kessler Seite 7 vo 14

8 E l e meta re A u s sagelogik A u s s a g e Kojuktio AND Eie Kojuktio verküpft Aussage miteiader. Sid alle Aussage wahr, ist auch die Kojuktio wahr. Ist eie oder mehrere Aussage falsch, ist die Kojuktio falsch. Disjuktio OR Die Disjuktio ist da wahr, we midestes eie der Aussage wahr ist. Nur we alle Aussage falsch sid, ist auch die Disjuktio falsch. Implikatio Die Implikatio verküpft zwei Aussage im Sie, we da oder daraus folgt. Möchte ma bestehede Aussage, die die Implikatio verwede, auf Gültigkeit utersuche, ka ma ach folgedem Prizip vorgehe: Ist die erste Aussage wahr, MUSS für die Gültigkeit der Implikatio, auch die zweite Aussage wahr sei. Ist die erste Aussage falsch, stimmt die Implikatio immer, egal welche Wert die zweite Aussage besitzt. Äquivalez Die Äquivalez verküpft zwei Aussage zu geau da, we. Zum Beispiel ist die Äquivalez der beide Aussage Die Straße ist geau da ass, we es reget. "Die Straße ist ass. " sowie "Es reget". Sid beide Aussage falsch bzw. wahr, stimmt auch die Äquivalez. Uterscheide sich die Wahrheitswerte, ist die Äquivalez falsch. Negatio Die Negatio dreht de Wert der Aussage um. Aussage 1 Aussage 2 Gültigkeit der Aussage wahr wahr wahr wahr falsch falsch falsch wahr wahr falsch falsch wahr a = wahr a = falsch Grudlage Markus Kessler Seite 8 vo 14

9 Ä q u i v a l e t e F o r m e l Tautologie Eie Formel heißt Tautologie, we sie immer wahr ist. Kotradiktio Eie Formel heißt Kotradiktio, we sie iemals wahr ist. Umformuge Zwische Aussageverküpfuge ka ma Umforme. So besagt z.b. die DeMorga sche Regel: Außerdem gilt für, das Assoziativgesetz: (a b) a b a (b c) (a b) c Alle mögliche Umformuge sid im Buch auf Seite 27. P r ä d i k a t e l o g i k Allgemei I der Prädikatelogik versucht ma mathematische Gegebeheite zu abstrahiere ud damit allgemei gültig zu mache. Hat ma mehrere Aussage, die beschreibe, dass etwas klei ist, ka ma diese zusammefasse: Das Haus ist klei Der Ma ist klei P(x) = "x ist klei. " Das Auto ist klei Somit hat ma die abstrakte Aussage, dass ei Elemet x klei ist. Dieses Elemet ist (bedigt) frei wählbar. Quatore Damit wir eischräke köe, was alles i P(x) eigesetzt werde darf, müsse wir de Wertebereich och defiiere. Ma uterscheidet zwische zwei Quatore: Der Allquator x P(x) Für alle x gilt P(x). Der Existezquator x P(x) Es gibt (midestes) ei x, so dass P(x). Mit diese Werkzeuge, köe jetzt komplexere Aussage gebildet werde: P 1 = x ist eie Primzahl ; P 2 = x ist ugerade x (P 1 (x) (P 2 (x) (x = 2))) Für alle x gilt, we x ist eie Primzahl ist, da ist x ugerade oder 2. Grudlage Markus Kessler Seite 9 vo 14

10 M e ge B e g r i f f Defiitio Mege Eie Mege ist eie Asammlug vo Objekte. Sie ka edlich (z.b.: {1, 2, 3}) oder auch uedlich ({N}) sei. Ist ei Elemet x i eier Mege M ethalte, so schreibt ma x M Ist ei Elemet x icht i eier Mege M ethalte, schreibt ma Defiitio Teilmege x M Eie Mege N heißt Teilmege vo M, we jedes Elemet aus N auch i M ethalte ist. Ma schreibt N M Die Teilmege darf also ur aus Elemete der Obermege bestehe. M e g e o p e r a t i o e Vereiigug A B ODER: Umfasst alle Elemete, die i A oder B vorkomme. Durchschitt A B UND: Umfasst ur die Elemete, die i A ud B vorkomme. Komplemet A NOT: Umfasst alle Elemete, die icht i A liege. Megedifferez A \ B Umfasst alle Elemete vo A, die icht i B liege. (A ohe B) Symmetrische Differez Umfasst alle Elemete die i A ud B, jedoch icht im Durchschitt vo A ud B liege. M e g e i d e t i t ä t e Megeidetitäte beschreibe verküpfte Megeoperatioe. Mithilfe vo Wahrheitstabelle köe zwei Megeidetitäte auf Gleichheit überprüft werde. P o t e z m e g e Die Potezmege ist die Mege aller Teilmege vo A. Sie beihaltet als Elemete alle mögliche Kombiatioe aus de Elemete vo A. Als Beispiel: P({1,2}) = {0, {1}, {2}, {1,2}} Die Azahl der Elemete der Potezmege ist gleich 2 hoch der Azahl der ursprügliche Mege. P(A) = 2 A Grudlage Markus Kessler Seite 10 vo 14

11 M ä c h t i g k e i t u d A b z ä h l b a r k e i t Zwei Mege sid gleichmächtig, we es eie bijektive Abbildug zwische ihe gibt, also eie Zuordug, die i beide Richtuge eideutig ist ud beide Mege voll abdeckt. Jede Mege, die gleichmächtig ist wie jee der atürliche Zahle, wir abzählbar geat. Re l atioe ud Fuktioe R e l a t i o s b e g r i f f Geordetes Paar Ei geordetes Paar fasst zwei Elemete a, b zusamme. Die Elemete stehe i eier gewisse Relatio zueiader (z.b. a ket b). Die Reihefolge ist vo Bedeutug, da a ket b icht ubedigt b ket a bedeute muss. Kartesisches Produkt Das kartesische Produkt fidet zwische Mege statt. Es bedeutet ichts aders als die Mege vo alle mögliche geordete Paare. Defiitio Relatio A x B = {(a, b) a A b B} Eie Relatio R zwische zwei Mege A ud B ist eie Teilmege des kartesische Produktes. Sid A ud B gleich, so spricht ma vo eier biäre Relatio. Ä q u i v a l e z r e l a t i o e R A x B Eie biäre Relatio R auf der Mege A heißt Äquivalezrelatio, we folgede drei Eigeschafte erfüllt sid: Reflexivität Symmetrie Trasitivität a A: ara a, b A: arb bra a, b, c A: (arb brc) arc Äquivalezklasse Eie Äquivalezklasse K(a) wird eiem Elemet a A zugeordet. Sie beihaltet alle Elemete, die mit dem Elemet a eie Äquivalezklasse bilde. Partitio K(a) = {b A bra} Alle Äquivalezklasse zusamme bilde eie Partitio vo A. Grudlage Markus Kessler Seite 11 vo 14

12 H a l b o r d u g e Eie biäre Relatio R auf der Mege A heißt Halbordug oder partielle Ordug, we folgede drei Eigeschafte erfüllt sid: Reflexivität Atisymmetrie Trasitivität a A: ara a, b A: (arb bra) a = b a, b, c A: (arb brc) arc Eie Halbordug heißt Totalordug, we immer etweder arb oder bra gilt. Das ist da der Fall, we Zahle vergliche werde. a < b oder b < a. Beides geht icht ud ichts geht auch icht. Hassediagramme Das Hassediagramm stellt die Relatio eier Mege vo Zahle zueiader hierarchisch dar. Bestes Beispiel ist die Teilbarkeit. Empfehleswert ist folgedes Video: F u k t i o e Mit der Grudlage der Relatioe ka ma u de Fuktiosbegriff eu defiiere. Wie wir bereits wisse verküpft eie Fuktio f zwei ichtleere Mege A ud B. Dabei ist eie Fuktio ichts aderes als eie bestimmte Relatio. Defiitio Fuktio Eie Fuktio f verküpft zwei ichtleere Mege A ud B. Das Ergebis ist ei Tripel: R f beschreibt die Fuktiosrelatio. f: A B (A, B, R f ) Damit es sich um eie Fuktio hadelt, muss zu jedem a A midestes ei b B existiere, sodass gilt b = f(a). Defiitio Graph Der Graph eier Fuktio ist die Mege R f = {(a, f(a)) a A} = A x B Eigeschaft: ijektiv Eie Fuktio heißt ijektiv, we es zu eiem b B höchstes ei a A gibt, so dass f(a) = b. Eigeschaft: surjektiv f(a 1 ) = f(a 2 ) a 1 = a 2 Eie Fuktio heißt surjektiv, we es zu jedem b B midestes ei a A gibt. Die gaze Mege B wird also durch die Relatio abgebildet. Eigeschaft: bijektiv b B a A: f(a) = b Eie Fuktio heißt bijektiv, we sie ijektiv ud surjektiv ist. Sie ist da bijektiv, we jedem a A durch die Relatio geau ei eiziges b B zugeordet wird. Damit existiert auch die Umkehrfuktio. Es gilt: Defiitio Idetische Fuktio a A b B: f(a) = b f 1 (b) = a Eie Fuktio id A heißt idetische Fuktio auf eier Mege A, we sie sich selber abbildet. a A: id a (a) = a Grudlage Markus Kessler Seite 12 vo 14

13 Vo l l städige Iduktio D e f i i t i o Die vollstädige Iduktio ist ei Werkzeug, um die Gültigkeit eier Aussage für alle atürliche Zahle zu beweise. Sie gliedert sich i drei Schritte. Iduktiosafag Der Iduktiosafag stellt sicher, dass die Aussage für de kleistmögliche eisetzbare Wert gültig ist. Iduktiosvoraussetzug Eigetlich startet alles immer mit eier Voraussetzug, die ma auf Korrektheit überprüfe muss. Diese Voraussetzug ist meistes die Agabe. Iduktiosschritt Das ist der aufwedigste Teil dieses Beweises. Da wir ja beweise wolle, dass die Voraussetzug ab dem Iduktiosafag für alle weitere Werte gültig ist, müsse wir diese allgemeie Aussage, die sich auf de Nachfolger der atürliche Zahl bezieht, beweise. Am eifachste ist es zu verstehe, we ma es sich ahad eies Beispiels asieht. B e i s p i e l Ma beweise mittels vollstädiger Iduktio: 1 j(j + 1) = + 1 j=1 1 Iduktiosafag Der Iduktiosafag begit mit dem iedrigste wählbare Wert. I userem Beispiel ist das = 1. Jetzt wird die Gültigkeit der Aussage für diese Wert überprüft. Die Aussage ist somit für die utere Schrake gültig. Iduktiosvoraussetzug 1 1(1 + 1) = = 1 2 Das ist die allgemeie Voraussetzug die wir beweise wolle. I userem Fall ist es die Agabe. 1 j(j + 1) = + 1 j=1 Grudlage Markus Kessler Seite 13 vo 14

14 Iduktiosschritt Jetzt kommt der kiffligere Part. Wir wolle beweise, dass die Aussage auch für jede weitere -Wert gilt. Das drücke wir dadurch aus, dass wir = + 1 setze ud die Aussage wieder auf Korrektheit überprüfe. Iduktiosbeweise sid erheblich eifacher, we ma sich zuerst aschreibt, was ma überhaupt zeige möchte. Zu zeige: +1 1 = +1 j=1 j(j+1) +2 Diese Form der Gleichug möchte ich erreiche. Wir starte jedoch, idem wir addiere: Der zweite Summad liefert us 1 j(j+1) ( + 1)( + 2) +1 ud de +1 -Schritt dazu, we wir j = + 1 setze. Köe wir jetzt diese Gleichug so umforme, dass sie +1 ergibt, habe wir de Beweis erbracht. Ich schreibe deshalb scho die Lösug a, da +2 es oft Hiweise gibt, wie ma vorgehe muss. Zum Beispiel sehe ich, dass schlussedlich + 2 im Neer stehe muss. Da bietet es sich schell a, die beide Brüche auf de gleiche Bruchstrich zu brige ud ausmultipliziere. ( + 2) ( + 1)( + 2) + 1 ( + 1)( + 2) = ( + 1)( + 2) = ( + 1) 2 ( + 1)( + 2) = Damit habe wir de Iduktiosbeweis scho erbracht. Bei de meiste vollstädige Iduktioe muss ma ur kleie Umformuge vorehme, um a das gewüschte Ziel zu komme. Grudlage Markus Kessler Seite 14 vo 14