Grundkurs Analysis Bernd Kummer

Transkript

1 Grudkurs Aalysis Berd Kummer Wer Arme auf de Arm immt, astatt ihe uter die Arme zu greife, sollte besser die Beie uter die Arme ehme, de es gibt mehr Arme als Beie auf der Welt. K. Nisse, M. Reuter: Die eue Leide der juge Wörter: Das aktuelle Wörterbuch zur Rächtschraiprehvorm, Kaur, Müche 999 Dieses Script umfasst wichtige Defiitioe, Sätze ud Beweise des Aalysis Grudkurses, Teil I ud (de grösste Teil vo) Teil II. Es soll Aregug ud Hilfe zum Nacharbeite des Vorlesugsstoffes sei. Es ist icht i jedem Falle die chroologische Vorgehesweise der Vorlesug ud auch icht völlig idetisch mit der tatsächliche Stoffauswahl. Ausserdem gibt es zu jedem Kapitel och viel mehr zu sage. Hiweise auf Fehler werde dakbar etgegegeomme.. Juli 20

2 2

3 Ihaltsverzeichis Elemete der Megelehre 7. Mege ud Fuktioe Mächtigkeit Zahlbereiche Natürliche Zahle ud vollstädige Iduktio Gaze Zahle Ratioale Zahle Reelle Zahle Körpereigeschafte Komplexe Zahle Polarkoordiate ud Wurzel Folge im Reelle 9 2. Spezielle wichtige Grezwerte Metrische Räume Grudlegede Begriffe Kovergez Stetigkeit für verküpfte Fuktioe Überdeckugssatz vo Heie/Borel/Lebesgue Beispiel eier Awedug Vollstädige metrische Räume Baachscher Fixpuktsatz Reihe Kovergezbediguge für Reihe Quotietekriterium, Wurzelkriterium Absolute Kovergez Summe vo Reihe Alterierede Reihe Produkte vo absolut kovergete Reihe Potezreihe Eulersche Zahl e Zusatz: Wichtige Fuktioe Die Potez- ud Logarithmus Fuktio Erweiterug vo f auf R ud f allgemei Differetialrechug Ableitugsregel Wikelfuktioe ud ihre Arcus-Fuktioe Hyperbel-Fuktioe ud ihre Area-Fuktioe Zusammefassug Wichtige Ableituge Höhere ud partielle Ableituge

4 4 INHALTSVERZEICHNIS 6.3 Taylor-Reihe Taylor-Etwicklug für Fuktioe f : R m R Aweduge der Tayloretwicklug Ableituge für f : R R m ud Satz über implizite Fuktioe Satz über implizite Fuktioe Lagrage Multiplikatore für Extrema mit Nebebediguge Newto-Methode zur Lösug vo F (x) = 0: Komplexe Zahle ud Fuktioe Potezreihe ud spezielle komplexe Fuktioe Potezreihe, Expoetial-, Sius- ud Kosius-Fuktio Logarithmus Fudametalsatz der Algebra Beweis des Fudametalsatzes Polyomdivisio ud kojugiert komplexe Nullstelle Komplexe Differezierbarkeit Itegralrechug Das bestimmte Itegral für eie stetige Fuktio Berechug vo Stammfuktioe ud Itegratiosmethode Partielle Itegratio Substitutiosmethode Aweduge der Substitutiosmethode Partialbruchzerlegug Ueigetliche Itegrale Laplace Trasformierte Gamma-Fuktio Näherugsformel für Itegrale Trapezformel Fassformel Polyom-Approximatio stetiger Fuktioe: Berstei-Polyome Satz vo Gree (Gebiets- ud Kurveitegral; Dim. 2) Differetialgleichuge (DGL) Existez ud Eideutigkeit vo Lösuge Der Raum C[a, b] Eie reelle Fuktio wird gesucht Ei System vo Fuktioe wird gesucht Existezsatz für Lieare Systeme Lieare DGL-Systeme mit kostate Koeffiziete Lösugsasätze Beispiele Lösugsasätze für spezielle Type vo DGL Treug der Variable Homogee DGL y = f(y/x) Li. DGL. Ordug (var. Koeff.) Beroulli-Gleichug Riccati-Gleichug Lieare DGL -ter Ordug (feste Koeff.) Ahag 7 0. Kovexität ud Norm-Äquivalez im R Satz vo Arzela-Ascoli Date eiiger bekater Mathematiker Idex 20

5 INHALTSVERZEICHNIS 5 Literatur 23

6 6 INHALTSVERZEICHNIS

7 Kapitel Elemete der Megelehre. Mege ud Fuktioe Eie Mege ist eie wohldefiierte Gesamtheit irgedwelcher Objekte. Die Objekte heiße Elemete der Mege. Um zu sage, dass a ei Elemet der Mege A ist, schreibt ma a A. Die Mege ohe irgedei Elemet heißt leere Mege, Symbol. Eie Mege ka edlich oder uedlich viele Elemete ethalte. Wohldefiiert meit stets, dass die Objekte, die zur Mege gehöre solle, zweifelsfrei erklärt sid. Die Reihefolge, i der sie evetuell aufgeschriebe sid, spielt dabei keie Rolle. Als Mathematiker spreche wir z.b. icht vo der Mege der gute Mesche, der Mege aller Fussballkeer oder der Mege aller Wahrsager, solage sie icht wohldefiiert sid. Zwei Mege sid gleich, we sie dieselbe Elemete ethalte. Beispiel der Beschreibug eier Mege { x } M = x x gaze Zahl, x > 7, 2 gaze Zahl Lies: Mege aller x mit: x ist gazzahlig, x ist größer als 7 ud x 2 = Mege der gerade Zahle 8, 0, 2,... ist gazzahlig Defiitio. (Vereiigug, Durchschitt, Differez, Teilmege). Sid A ud B Mege, so ka ma eue Mege bilde, idem ma defiiert: Vereiigug: A B = {c c A oder c B} ( oder heißt hier ie etweder oder ), Durchschitt: A B = {c c A ud c B}, Differez: A \ B = { c c A ud c B}. Ma sagt, A ist Teilmege vo B, we jedes Elemet aus A auch i B liegt; kurz A B (das erlaubt och Gleichheit!) oder auch B A. (I mache Bücher bezeichet auch ur echte Teilmege, d.h. A B; hier icht). Ma beachte: ud B sid stets Teilmege vo B. Beispiel.2. A = Mege aller Großmütter ud B = Mege aller Mütter, also A B. Defiitio.3 (Potezmege). Die spezielle Mege C aller Teilmege A eier gegebee Mege B heißt Potezmege vo B; kurz C = P(B) oder C = 2 B. Beispiel.4. B = {, 2, 3}; C = {, {}, {2}, {3}, {, 2}, {, 3}, {2, 3}, {, 2, 3}} besteht aus 8 = 2 3 Elemete, die selbst Mege sid, ämlich Teilmege vo B. Die Mege {} ud das Elemet der Mege B sid hier verschiedee Dige. 7

8 8 KAPITEL. ELEMENTE DER MENGENLEHRE Recheregel für Mege. Ma sieht leicht, dass für beliebige Mege A, B, C gilt: (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C). Zum Beweis immt ma a, dass ei Elemet i der like Mege liegt ud zeigt, dass es da auch i der rechte liege muss. Aschließed dasselbe mit rechts-liks. Aalog folgt A B = (A B) \ ((A \ B) (B \ A)). Aussage: Eie Teilmege A M ka ma mit eier Aussage A (über eier Gesamtheit M) gleichsetze : Die Aussage A (getroffe über ei Elemet m M) ist wahr, we m zu A gehört, sost falsch. Beispiel.5. Z = Mege der gaze Zahle, A = Mege der positive gaze Zahle; die Aussage A bedeutet, dass z Z positiv ist. Da etspricht, für zwei Teilmege A ud B vo M: A B dem logische oder, A B dem logische ud, A B der Implikatio aus A folgt B, ud M \ A der Negatio vo A. Relatioe. Oft ist es sivoll zu defiiere, wa zwei Elemete a, b eier Mege C i eier bestimmte Relatio stehe. Beispiel.6. C = Z = Mege der gaze Zahle; a b falls b a ichtegativ ist. Die Relatio besitzt (für beliebige a, b aus C) die Eigeschafte: () Es gilt stets a b oder b a. (Relatio ist vollstädig) (2) We a b ud b c, so folgt a c. (Relatio ist trasitiv) (3) We a b ud b a, so folgt a = b. (Relatio ist atisymmetrisch) Eie Relatio (defiiert für Paare eier beliebige Mege C ) mit diese 3 Eigeschafte et ma auch Ordugsrelatio (auf C). Oft schreibt ma a < b für a b ud a b. I dieser Form werde die Forderuge zu: - Für beliebige a, b C gilt stets geau eie der Relatioe a < b, b < a bzw. a = b. - We a < b ud b < c, so folgt a < c. Eie Ordugsrelatio auf Z muss icht otwedig wie obe defiiert sei (also dem etspreche, was wir us atürlicherweise, vorstelle), z.b. köte ma b a ichtegativ durch b a ichtpositiv ersetze, ohe dass (), (2), (3) falsch werde. Verzichtet ma auf Eigeschaft (), spricht ma vo Halborduge. Da ka es passiere, dass gewisse a ud b icht vergleichbar sid. Mituter spricht ma auch vo Ordugsrelatio, we ur () ud (2) richtig sid (wir icht). Gilt da sowohl a b als auch b a, et ma a ud b äquivalet (im Sie der Relatio). Hat eie Ordugsrelatio och die Eigeschaft, dass es i jeder ichtleere Teilmege A vo C ei kleistes Elemet x(a) A gibt, d.h., x(a) a a A, so heißt die Ordug eie Wohlordug. Die ormale Ordug der atüerliche Zahle ist offebar ei Wohlordug, die der gaze Zahle icht.

9 .2. MÄCHTIGKEIT 9 Eie adere Relatio wird i derselbe Mege C = Z defiiert, we ma schreibt a b, falls a ud b bei Divisio durch 3 deselbe Rest lasse. Nu folgt: () Es gilt stets a a. (Relatio ist reflexiv) (2) We a b ud b c, so folgt a c. (Relatio ist trasitiv) (3) We a b, so folgt b a. (Relatio ist symmetrisch) Eie Relatio mit diese Eigeschafte (defiiert für gewisse Elemetepaare eier beliebige Mege C) et ma auch Äquivalezrelatio. Die Mege aller b C mit b a heißt Äquivalezklasse zum Elemet a ud wird oft mit [a] bezeichet. Da hat a b wege (2) die Gleichheit [a] = [b] zur Folge. Die eifachste Äquivalezrelatio ist die Gleichheit. Allgemei ka ma äquivalet lese als gleich uter eiem bestimmte Gesichtspukt. Für eie Relatio, die ur () ud (2) (vollstädig ud trasitiv) erfüllt, wird durch a b falls a b ud b a, eie Äquivalezrelatio erklärt. Fuktioe/Abbilduge Defiitio.7. Sid A ud B Mege, so ist eie Fuktio (auch Abbildug geat) f vo A i B (kurz f : A B) eie Vorschrift, die jedem Elemet a A ei ud ur ei (ma sagt auch geau ei) Elemet f(a) B zuordet, das Bild vo a. Dabei heißt A Defiitiosbereich (Urbildmege) ud B Wertebereich (auch Bildmege) vo f. Die Mege f(a) = {b B b = f(a) für ei a A} heißt Bild vo A. Die (evetuell leere) Mege f (b) = {a A f(a) = b} heißt Urbildmege vo b B (atürlich jeweils für f). Beispiel.8. A = Mege der Mieter eies Hauses, B = Mege der atürliche Zahle, f(a) = Alter vo a. Bemerkug: Ma sieht am Beispiel, dass f (b) leer sei ud damit das Bild f(a) vo A eie echte Teilmege der Bildmege B sei ka; f(a) B, f(a) B (ma schreibt dafür auch f(a) B). Defiiert ma a a falls f(a ) = f(a ), so etsteht eie Äquivalezrelatio i A. Gilt B = f(a), so heißt f : A B surjektiv (oder Abbildug auf B). Das ist also gleichbedeuted mit f (b) für alle (kurz ) b B. Besteht f (b) ie aus mehrere Elemete, heißt f ijektiv. Also bedeutet ijektiv, dass f(a ) = f(a ) stets a = a zur Folge hat; jedes b B tritt höchstes eimal als Bild f(a) auf. Eie ijektive ud surjektive Fuktio/Abbildug f : A B heißt bijektiv. Mituter schreibt ma da auch f : A B. Nu ordet f zugleich jedem Elemet b B geau ei Urbild a mit f(a) = b zu; d.h., {a} = f (b). I diesem Fall schreibt ma eifacher a = f (b) ud et die so defiierte Fuktio f : B A iverse Fuktio zu f. Ma beachte, dass geau die bijektive Fuktioe eie iverse Fuktio besitze, obwohl die Urbildmege f (b) allgemei defiiert wurde. Beispiel.9. A = Mege der Teilehmer am Berli-Maratho, f(a) = Startummer vo a; B = Mege der vergebee Startummer (zumidest sollte f jetzt bijektiv sei)..2 Mächtigkeit Defiitio.0 (gleichmächtig). Zwei Mege A ud B heiße gleichmächtig, we es eie Bijektio f : A B gibt. Beispiel... A = {, 2}, B = {Max, Moritz}; f() = Moritz, f(2) = Max. 2. A = {, 2, 3, 4,...}, B = {0, 2, 4, 6,...}; f(a) = 2(a ).

10 0 KAPITEL. ELEMENTE DER MENGENLEHRE Beispiele.2. Test Sid die Mege A = {x, y, z}, C = {Max, Moritz} gleichmächtig? Ma zeige, dass A = {..., 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,...} ud B = {, 4, 9, 6, 25, 36,...} gleichmächtig sid. Sei C = P(B) die Potezmege eier Mege B. Ma defiiere für zwei Mege A, A aus C: - A A falls A ud A gleichmächtig sid. - A A falls A ud eie Teilmege A vo A gleichmächtig sid. Ma zeige: ist eie Äquivalezrelatio, ist trasitiv. Welche Mege sid jeweils gleichmächtig, welche icht? (Beweise s. Vorlesug). Die Mege N = {0,, 2, 3,...} der atürliche Zahle, die Mege Z = {..., 2,, 0,, 2,...} der gaze Zahle ud die Mege Q der ratioale Zahle sid gleichmächtig. Die etsprechede Mächtigkeit wird auch abzählbar bzw. abzählbar uedlich geat. Die Mege der Pukte des Itervalls (0, ) ud die eier Gerade sid gleichmächtig. Die Mege der Pukte des Itervalls [0, ] ud die eies Quadrates (mit Rad) sid gleichmächtig. Die Mege der relle Zahle im Itervall [0, ] ud N sid icht gleichmächtig. Cators Kotiuumshypothese: Es gibt keie Mege, die eie kleiere Mächtigkeit als die der Mege der relle Zahle ud (zugleich) eie größere als die der atürliche Zahle besitzt. Die Kotiuumshypothese lässt sich mit de klassische Mittel der Megelehre weder beweise och widerlege..3 Zahlbereiche.3. Natürliche Zahle ud vollstädige Iduktio Die Mege der atürliche Zahle N = {0,, 2, 3,...}. Die atürliche Zahle repräsetiere die Mächtigkeit edlicher Mege. Für Iteressete: Sie lasse sich aber auch abstrakt defiiere mittels der Peao-Axiome der atürliche Zahle. Die Mege N ist (bis auf Umbeeug ihrer Elemete) durch die folgede Eigeschafte bzw. Axiome defiiert: () 0 ist eie atürliche Zahl (oft begit ma mit ). (2) Jede atürliche Zahl hat geau eie Nachfolger N; er erfüllt. (3) Jede atürliche Zahl hat höchstes eie Vorgäger v, d.h. es gibt maximal ei v mit v =. (4) 0 ist icht Nachfolger eier atürliche Zahl (d.h., hat keie Vorgäger). (5) Axiom zur vollstädige Iduktio: Trifft eie Aussage für die atürliche Zahl 0 zu ud folgt, mit jedem N, aus ihrer Richtigkeit für auch die Richtigkeit für de Nachfolger, so gilt sie für alle N. Wie arbeitet ma mit diese Axiome? Durch de Begriff Nachfolger wird wege (2) eie Fuktio f : N N defiiert, sodass ( =) f(). Dabei gilt wege (), (3): 0 N \ f(n), ud wege (4) ist f ijektiv (de u = v hat u = v zur Folge). Mittels Axiom (5) sieht ma, dass die folgede Aussage richtig ist: We 0, so hat geau eie Vorgäger. Beweis. Die Aussage trifft auf = 0 zu, da sie für dieses ichts behauptet. Sie gilt auch für de (existierede) Nachfolger vo 0, weil 0 desse eiziger Vorgäger ist. Aalog gilt sie für jede Nachfolger k = de ist sei Vorgäger (der eizige). Mit Axiom (5) folgt die Behauptug also für alle N. Die Elemete vo N ka ma u acheiader aufschreibe: 0, f(0), f(f(0)), f(f(f(0))),... ud irgedwie umbeee, z.b. a = f(0), a 2 = f(a ), a 3 = f(a 2),... Dabei braucht ma stets eue Symbole, de die Elemete wiederhole sich icht.

11 .3. ZAHLBEREICHE Beweis. Würde 0 ochmals auftrete, hätte 0 eie Vorgäger. Asoste betrachte wir das erste Elemet, das irgedwa doppelt auftritt; z.b. etwa a k, ud es sei a m das erste Elemet mit m k ud a k = a m. Da hat jedoch = a k die zwei verschiedee Vorgäger a k ud a m, was (4) widerspricht. Es bleibt zu zeige, dass N icht och weitere Elemete ethalte ka, was wieder mit Axiom 5 geht (wie?). Bemerkug: Die ormale a b Relatio lässt sich u dadurch defiiere, dass a icht später als b aufgeschriebe wird. Axiom (5) ka ma da auch so lese: (6) I jeder ichtleere Teilmege M N gibt es geau ei miimales Elemet = (M). Aus (5) folgt (6) per vollstädiger Iduktio, we ma acheiader Mege M betrachtet, die 0, f(0), f(f(0)),... ethalte. Umgekehrt folgt aus (6) auch (5): We ma ämlich defiiert M = { Aussage A ist falsch für }, sichert die erste Aahme vo Axiom (5): 0 / M. Weiter ist (M) M falls M. Für de Vorgäger m vo (M) (der icht zu M gehört) ist da A richtig, ach der zweite Aahme des Axioms (5) ist aber damit A auch für desse Nachfolger (M) = m wahr, also (M) / M. Daher führt die Aahme M zu eiem Widerspruch.! Für viele Beweise (Beweise mittels vollstaediger Iduktio) ist das Axiom (5) besoders wichtig. Beispiele.3.. Beroullische Ugleichug Es gilt stets ( + x) + x ( falls x > ud N ). (.3.) Beweis: Für = 0 ud = trivial. Gilt die Ugleichug scho für irgedei, so folgt für (de Nachfolger) + wege + x > 0: ( + x) + = ( + x)( + x) ( + x)( + x) = + x + x + x 2 = + ( + )x + x 2 + ( + )x. Die Ugleichug ist da also auch für + richtig. Nach dem Iduktiosaxiom gilt sie so für alle. Die Ugleichug wird och viele ützliche Folgeruge zulasse. 2. Die Mege A = {, 2,..., } besitzt geau 2 Teilmege. Beweis: Für = 0 ist A =, ud ist die eizige Teilmege; 2 0 =. Die Aussage gelte für irgedei. Wir zeige, dass sie da auch für + gilt. Es gibt 2 Teilmege T k ohe das Elemet +, sie sid die Teilmege vo A. Weiter gibt es och die 2 Teilmege T k { + }. Das sid offebar alle, isgesamt also = 2 +. Ma ka auch mit = (als Iduktiosafag) begie ud die Aussage (per Iduktio) da für alle atürliche Zahle beweise. 3. Permutatioe Für die Mege A = {, 2,..., } ( > 0) gibt es geau! mögliche Reihefolge (Pemutatioe) ihrer Elemete (! ist das Produkt der Zahle, 2,..., ). Beweis: Für = ist das richtig, die Aussage gelte für irgedei. Es gibt also! mögliche Schlage, we die Leute, 2,..., a eiem Postschalter astehe. Zu irgedeier Schlage komme Herr + hizu. Er ka sich gaz vor eisortiere oder a beliebiger aderer Stelle. Das sid geau + Möglichkeite. Für die Gesamtzahl der Reihefolge erhalte wir damit wie verlagt ( + )! = ( + )!. Die Reihefolge heiße auch Permutatioe. Jede stellt eie Bijektio f der Mege A auf sich dar, we ma f(k) als de Platz vo k deutet.

12 2 KAPITEL. ELEMENTE DER MENGENLEHRE Ma defiiert 0! =, weil es für viele Aussage zweckmäßig ist, speziell für die ächste aus 49 Es gibt geau ( ) 49 6 = verschiedee Tipps für dieses Spiel Beweis: Es gibt = verschiedee Möglichkeite, k = 6 Zahle aus 49 auszuwähle, we ma die Reihefolge ihrer Auswahl berücksichtigt. Da aber uiteressat ist, i welcher Reihefolge die Zahle agekreuzt wurde, habe wir (wege 3.) durch die Azahl der Reihefolge k! zu dividiere. Für k aus (k ) erhält ma also ( ( k) Möglichkeite. Ma defiiert zweckmäßigerweise 0) =. Wir zeige u für, k : ( ) ( ) ( ) + = +. (.3.2) k k k Beweis. Die Azahl der Tipps ( ) + k für k aus + ka ma auch so bestimme: Wir zähle erst alle Tipps, die die Zahl + igoriere. Das sid offebar wieder ( k). Nu gibt es och alle Tipps mit der Zahl +. Da ka ma ur och k übrige Zahle aus,..., auswähle; die Azahl dieser Tipps ist somit ( k ). Damit folgt (.3.2) 5. Biomialkoeffiziete Die -te Potez (a + b) besteht (Ausmultipliziere ud Zusammefasse!) immer aus Summe vo Terme (Ausdrücke) der Form c k, a k b k, wobei c k, eie Kostate ist ud k die Zahle 0,,..., durchläuft. Die c k, heiße Biomialkoeffiziete (zur Potez ). Um eie Term mit de Poteze a k b k zu erhalte, muss ma aus de Produkte vo (a + b) geau k mal a zur Multiplikatio auswähle (ud k mal b), wobei die Reihefolge der Auswahl wieder gleichgültig ist. Wir spiele also k aus ud habe, wie wir wisse, gerade ( k) Möglichkeite. Also gilt: ( ) ( ) c k, = ud (a + b) = a k b k. k k Vertauscht ma a ud b, sieht ma u ( ) ( k = k). Wege Formel (.3.2) ergebe sich die Zahle ( k) zeileweise eifach aus dem Pascalsche Dreieck = 0 = = 2 2 = = k = 0,,..., 4 k=0 Jede Zahl außer de Eise ist die Summe der beide darüber. 6. Zeilesumme des Pascalsche Dreiecks Ma beweise, dass die Zeilesumme des Pascalsche Dreiecks allgemei stets 2 ist. 7. Summe der Quadratzahle Ma beweise: = (+)(2+) Gaze Zahle Die Mege der gaze Zahle wird defiiert, damit die Gleichug Z = {..., 3, 2,, 0,, 2, 3,...}. + x = m für, m N ( ud später, m Z ) stets lösbar ist. Um sie exakt zu defiiere, betrachte ma alle geordete Paare (m, ), m, N ud defiiere (m, ) (m, ) falls m + = + m. Dies ist eie Äquivalezrelatio. Wir zeige Trasitivität (Symmetrie ud Reflexivität sid offesichtlich). We och (m, ) (m, ) gilt, folgt auch m + = + m. Additio beider Gleichuge liefert m + + m + = + m + + m, was ur richtig ist, we auch m + = + m gilt. Dies bedeutet aber (m, ) (m, ) wie verlagt.

13 .3. ZAHLBEREICHE 3 Klar, es ist stets (, ) (0, 0). Wir defiiere u eie Additio der Paare durch: (m, ) + (m, ) = (m + m, + ), wobei rechts die Additio i N beutzt wird. Ersetzt ma (m, ) durch ei äquivaletes Paar (m, ), folgt ach dieser Defiitio (m, ) + (m, ) = (m + m, + ). Wege (m, ) (m, ) folgt m+m ++ = + +m+m. Damit sieht ma, dass beide Ergebisse äquivalet sid. Ebeso ka ma (m, ) durch ei äquivaletes Paar ersetze; die Ergebisse bleibe äquivalet. Ma ka deshalb die Additio auf die Äquivalezklasse [m, ] zu de etsprechede Paare ausweite, idem ma sagt: Damit folgt [m, ] + [m, ] sei die Äquivalezklasse vo (m + m, + ). [m, ] + [, m] = [m +, + m] = [0, 0]. De atürliche Zahle etspreche die Elemete [, 0] ud de egative gaze Zahle die Elemete [0, ], > Ratioale Zahle Die Mege der ratioale Zahle wird oft mit Q bezeichet. Die ratioale Zahle sid alle Ergebisse vo Brüche der Form p mit p, q Z ud q 0. q Motiv für die Defiitio: Jetzt ist die Gleichug ax = b stets lösbar, we a 0 ud a, b Z. Zu beachte ist, dass p = kp für alle k Z, k 0 gilt. Also ka dieselbe ratioale Zahl a = p i q kq q verschiedeer Weise aufgeschriebe werde. Um de (ituitive ud auf Recheregel basierede) Begriff Ergebis i der Defiitio ratioaler Zahle vermeide, ka ma sich exakter so helfe, dass ma 2 Brüche a = p p ud b = als äquivalet bezeichet, we p q = pq, was mit der übliche Divisio q ( ) ( q ) dasselbe wird wie p / p =. q q Wie scho bei gaze Zahle ist diese Relatio leicht als Äquivalezrelatio zu erkee. Die ratioale Zahle sid u die Äquivalezklasse aller Brüche obiger Form. Die Recheregel mit ratioale Zahle defiiert ma wie üblich: p + p q q Additio: = pq +p q qq (bis auf Kürze) bzw. i der Sprache der Äquivalezklasse [ ] [ ] [ p + p = pq +p q ]. q q qq Subtraktio: x y ist defiiert durch x+( y) wobei y das iverse Elemet zu y bzgl. Additio ist; also y +( y) = 0 löst. Es ist eideutig, de we auch y die Gleichug löst, folgt y + y = 0 = y + ( y). Addiert ma ( y) auf beide Seite, folgt so y = y. Multiplikatio: (bis auf Kürze) bzw. i der Sprache der Äquivalezklasse p p = pp q q qq x Divisio: [ ] [ ] [ p p = pp ]. q q qq ist defiiert als y xy, wobei y das iverse Elemet zu y bzgl. Multiplikatio ist; also yy = löst, ] ] falls y 0; d.h. y = falls y = ; Eideutigkeit wie bei Subtraktio. [ q p [ p q Schließlich vereibart [ ] [ ma ] für q, q >0 (was ma otfalls durch Multiplikatio vo Zähler ud Neer mit erreicht) p < p falls pq < p q (also mittels Multiplikatio mit qq ). q q Bemerkug: Ma beachte, dass damit das Reche mit ratioale Zahle vollstädig auf das mit gaze Zahle zurückgeführt wird..3.4 Reelle Zahle Die Mege der reelle Zahle wird zumeist mit R bezeichet. Motiv für die Defiitio: Jetzt gibt es (uter aderem) Wurzel für positive Zahle.

14 4 KAPITEL. ELEMENTE DER MENGENLEHRE Die Defiitio reeller Zahle ist (vielleicht) mittels Dedekidscher Schitte am eifachste. Defiitio.4 (Schitt). Zwei ichtleere Teilmege A ud B vo Q heiße Schitt (A, B), we gilt: () A B = Q, (2) a < b für alle a A ud b B (3) i B exisitiert kei miimales Elemet. Defiitio.5 (reelle Zahl). Eie reelle Zahl r ist ei Schitt (A, B). Eier ratioale Zahl r ka ma durch A r = {a Q a r}, B r = {b Q b > r} (.3.3) eideutig eie Schitt zuorde, sodass A r ei maximales Elemet besitzt, aemlich r. Umgekehrt ka ma alle solche Schitte als ratioale Zahl r auffasse (es gibt also eie Bijektio zwische de ratioale Zahle ud de Schitte mit maximalem Elemet i A). Die Schitte ohe ei maximales Elemet i A bilde u usere eue, irratioale Zahle. Solche gibt es! Beispiel: A = {a Q a 0 oder (a > 0 ud a 2 < 2)}, B = {b Q b > 0 ud b 2 > 2}. Da keie ratioale Zahl p q die Gleichug ( p q ) 2 = 2 erfüllt, ist hier A B = Q. I der Tat gilt Satz.6. Die Wurzel aus 2 ist icht ratioal. ( ) 2 Beweis idirekt. Ageomme p q = 2. Da fidet ma auch p ud q derart, dass der Bruch icht mehr gekürzt werde ka. Es folgt u p 2 = 2q 2, also ist p 2 gerade. Damit muss auch p gerade sei (de das Quadrat ugerader Zahle ist immer ugerade). Sei also p = 2k. Wir erhalte da p 2 = 4k 2 ud q 2 = 2 (4k2 ). Das zeigt aber, dass auch q 2 ud somit q gerade sei muss. Es ka also deoch immer gekürzt werde. Dieser Widerspruch beweist de Satz. Es bleibe also tatsaechlich Schitte übrig ohe ei maximales Elemet i A. Jetzt ist die Gleichug x 2 = c stets lösbar für c 0 (mit Schitte aalog zu 2, s. Beispiel). Wir leite u die wichtigste Eigeschafte reeller Zahle her. Seie r = (A, B), r = (A, B ) reelle Zahle. Wir defiiere r r falls A A bzw. r < r falls A A ud A A. Diese Ordug stimmt also mit der übliche Ordug ratioaler (ud aus der Schule bekater reeller) Zahle überei. Ma sieht zugleich, dass r = (A, B) i ei beliebig kleies Itervall [a, b] mit ratioale a < b ( a A ud b B) gepackt werde ka. Beweis: Itervallschachtelug durch Halbierug: Für de Beweis reicht eie spezielle Itervallschachtelug. Dazu startet ma mit beliebige a A ud b B ud bildet de Mittelpukt c = 2 (a + b ), der wieder ratioal ist. Ist c A, betrachtet ma weiter das rechte halbierte Itervall, d.h., ma setzt a = c ud b = b ; ist c B, setzt ma a = a ud b = c. Nu sid a A ud b B sowie b a = 2 (b a ). Ereut betrachtet ma de Mittelpukt c zu a, b, usw. Nach edlich viele Schritte erhält ma die gesuchte Elemete. Folgerug: Sid zwei reelle Zahle r < r verschiede, uterscheide sich A bzw. A. Damit gibt es ei ratioales x mit r < x < r. Also gibt es auch (kleie) ratioale Itervalle [a, b], [a, b ] (zu r, r wie obe) mit b < x < a. Itervallschachtelug lässt sich verallgemeier. Satz.7 (Satz über Itervallschachtelug). Seie, für k =, 2, 3,... jeweils r k ud s k reelle Zahle mit de Eigeschafte r k r k+ < s k+ s k ud s k+ r k+ = 2 (s k r k ). (Da sid I k = [r k, s k ] Itervalle mit I k+ I k ud jeweils halber Läge) Behauptug: Da gibt es geau eie reelle Zahl r, sodass r I k für alle k gilt.

15 .3. ZAHLBEREICHE 5 Beweis. Ma defiiere de Schitt B = {b Q b > s k für weigstes ei k } ud A = Q \ B. (.3.4) Zuächst defiiert (A, B) per Defiitio eie reele Zahl r = (A, B). Weiter folgt r r : Wäre r < r für ei, folgte auch b < r für ei b B wege Itervallschachtelug. Mit diesem b B folgt über (.3.4) die Existez eies k, sodass b > s k. Wege s k > r, ist da aber auch die umgekehrte Ugleichug b > r richtig, was offebar umöglich ist. Also muss r r richtig sei. Aalog zeigt ma r s. Also ist r I k für alle k richtig. Die Eizigkeit vo r ergibt sich aus der Tatsache, dass die Läge der Itervalle I k beliebig klei wird. Tatsächlich gelte beide Ausssage auch da, we die Itervalle beliebig klei werde. Sie zu halbiere, ist ur eie vo viele Möglichkeite. Weiter sieht ma leicht (mittels p Darstellug): Ist x q ratioal ud r irratioal, so ist x + r irratioal ud (we x 0) auch xr irratioal. Ma beweise damit (idem ma Vielfache xr vo r = 2 betrachtet) Lemma.8. Zwische zwei verschiedee ratioale Zahle liegt stets eie irratioale. Existez des Supremums ud Ifimums Eie Mege M R heißt ach obe beschräkt, we es eie Kostate K R gibt, sodass m K m M. Wir frage u ach eier scharfe Abschätzug, d.h., ach der kleiste all solcher Zahle K. Diese heißt Supremum vo M; r = sup M. Aalog heißt die größte utere Schrake Ifimum, if M. Satz.9. Jede ach obe beschräkte, ichtleere Mege M R besitzt ei Supremum sup M. Beweis. We M ei größtes Elemet besitzt, sid wir fertig; es ist das gesuchte Supremum. Wir betrachte de adere Fall ud beutze Itervallschachtelug als Beweismittel. Mit irgedeier obere Schrake K ud irgedeiem Elemet m M bilde wir r = m ud s = K. Da ist r < s. Weiter sei t der Mittelpukt des Itervalls [r, s ], t = (r + s). 2 Nu gibt es zwei Fälle. ) t ist ebefalls obere Schrake für M. Da ersetze wir s durch t, d.h. wir betrachte weiter die Zahle r 2 = r, s 2 = t. 2) t ist keie obere Schrake für M. Da gibt es ei m > t, m M. Da ersetze wir r durch t, d.h. wir betrachte weiter die Zahle r 2 = t, s 2 = s. I beide Fälle gibt es u ei m M mit m > r 2, ud s 2 > r 2 ist wieder obere Schrake für M. Mit dem Itervall [r 2, s 2] ud dem Mittelpukt t 2 = (r2 + s2) wiederhole wir u diese Schluss. 2 So erhalte wir eie Folge vo Itervalle I k = [r k, s k ], wobei gilt für k = 2, 3,...: r k r k < s k s k, r k ist keie obere Schrake für M, s k ist obere Schrake für M, s k r k = 2 (s k r k ). Die durch diese Itervallschachtelug defiierte reelle Zahl r I k erfüllt u r = sup M. Bemerkug: Ma ka auch eifacher defiiere: B = {b Q b > m m M}, A = Q \ B, r = (A, B). Damit beweist ma:. r ist obere Schrake: Sost gilt r < m für ei festes m M. Da gibt es ach Defiitio vo < wege B(r) \ B(m) (das sid die rechte Mege zum etsprechede Schitt) auch ei b B(r) \ B(m). Somit ist b B = B(r) ud b A(m), also gilt auch b > m b, was offebar umöglich ist. 2. Keie obere Schrake r ist kleier als r: Sost ist r < r. Wähle b B \ B. Nu ist r < b (ach Defiitio vo < ) ud b m für weigstes ei m M (weil b / B). Es folgt so r < b m ; also ka r keie obere Schrake für M sei.

16 6 KAPITEL. ELEMENTE DER MENGENLEHRE Recheregel Die übliche Recheregel mit ratioale Zahle sid u auf beliebige reelle Zahle zu erweiter uter Awedug der Defiitio eies Schittes. Das ist etwas mühselig, aber möglich. Additio: r = r + r : Ma bilde ud A = A + A := {a a = a + a mit a A, a A } B = B + B := {b b = b + b mit b B, b B }. Nu ka ma r = r + r als r = (A, B ) defiiere (Dazu muss ma A B = Q zeige). ud Multiplikatio positiver Zahle r = rr : Ma bilde A = AA := {a a = aa mit a A, a A beide positiv} {a a Q, a 0} B = BB := {b b = bb mit b B, b B }. Nu ka ma wieder r = rr als r = (A, B ) defiiere. (Dazu ist ebefalls A B = Q zu zeige). ud Multiplikatio mit -: r = r, r 0. Ma bilde A = B = {a a = b mit b B} B = A := {b b = a mit a A}. Im Falle eies ratioale r hat jetzt B ei miimales Elemet β, aber A besitzt kei maximales. Um der Forderug (3) eies Schittes zu geüge, schiebe wir da eifach β aus B zu A. Nu ka ma wieder r als r = (A, B ) defiiere. I üblicher Weise lasse sich die restliche Operatioe erkläre; die Multiplikatio zweier egativer Zahle mittels r = ( r)( r ), die Multiplikatio vo r < 0 mit r > 0 mittels r = ( )( rr ), die Multiplikatio mit 0 als Null. Natürlich rechet praktisch kei Mesch explizit i Form vo Schitte. Statt desse beutzt ma eie zweckmäßige Darstellug der Zahl, z.b. im Dezimalsystem. Ma beachte jedoch, dass da r =.... scho mit eier uedliche Reihe idetifiziert wird: r = k=0 0 k..3.5 Körpereigeschafte Die ratioale Zahle Q ud die reelle Zahle R bilde jeweils eie Mege (mit Elemete 0,, a, b, c,...) i welcher eie Additio ud Multiplikatio erklärt sid, die de folgede Forderuge geüge: a + b = b + a ud ab = ba (Kommutatitivität) (a + b) + c = a + (b + c) ud (ab)c = a(bc) (Assoziativität) a + 0 = a ud a = a (es gibt eutrale Elemete, geat 0 bzw. ) a(b + c) = ab + ac (Distributivgesetz) Desweitere gilt: a + x = b ist stets lösbar ud ax = b ist lösbar falls a 0. Die Lösbarkeitsforderuge köe auch durch die formal schwächere Bedigug a + x = 0 ist lösbar ud ax = ist lösbar falls a 0 ersetzt werde. ( Wieso ist da auch a + y = b lösbar? We a + x = 0, folgt ämlich a + x + b = b. Damit erfüllt y = x + b offebar a + y = b. Aalog für ax = b.) Eie Mege mit eier solche Additio ud Multiplikatio et ma (Zahle-) Körper. Oft verlagt ma och 0, um de triviale Fall M = {0} auszuschließe. Q ud R sid icht die eizige Zahlekörper, z.b. wird auch die Mege M = {0, } mit de Recheregel + 0 = 0 + =, = 0, + = 0 0 = 0 = 0, 0 0 = 0, =

17 .3. ZAHLBEREICHE 7 ei Zahlekörper (ma prüfe, ob die Axiome/Forderuge erfüllt sid). Die Mege der komplexe Zahle bildet eie weiterer Körper. Das Motiv für dere Defiitio besteht dari, dass ma auch Wurzel für egative Zahle erhält, was erstaulich viele Kosequeze für die Lösbarkeit vo Gleichuge besitzt..3.6 Komplexe Zahle Wir betrachte die Pukte (x, y) des R 2 jetzt als eie Mege vo Zahle, die dadurch etstehe, dass wir die Elemete der Form (x, 0) als reelle Zahl x iterpretiere, das Elemet (0, ) dagege als eie Zahl i eue Typs, die der Gleichug i 2 = geügt. Wir wolle die Grudrechearte auf alle Elemete (x, y) ausdehe, sodass ereut ei Zahlekörper etsteht. Für diese Paare schreibe wir auch x + iy ud ee x Realteil, y Imagiärteil der komplexe Zahl z = x + iy (x, y reell). Das Zeiche + hat hierbei zuächst ur de Charakter eies Symbols. Die Defiitio vo Additio ud Multiplikatio erfolgt allerdigs geauso, wie wir mit diesem + reche würde: Additio: (x + iy)+(x + iy ) := (x + x ) + i(y + y ) (reelle Additio vo Realteil ud Imagiärteil auf rechter Seite) Multiplikatio: Die Multiplikatio ist uter Berücksichtigug vo i 2 = ebeso defiiert wie die gewöhliche Multiplikatio der Biome (x + iy) ud (x + iy ), we + als Additio iterpretiert wird, aemlich (x + iy) (x + iy ) = xx + ixy + iyx + i 2 yy = (x x y y ) + i(x y + x y) (reelle Multiplikatio ud Additio + bzw. Subtraktio auf rechter Seite). Ma beachte, dass die Additio komplexer Zahle damit der Additio (vo Vektore) im R 2 etspricht. Die Multiplikatio ist eu ud hat auch ichts mit dem Skalarprodukt zu tu. Mit diese Operatioe erhalte wir tatsächlich eie Zahlekörper, wie ma mit eiiger Mühe ahad der Axiome achrechet. Die eutrale Elemete sid 0+0i, kurz eifach als 0 bezeichet, i Bezug auf die Additio, sowie +0i, kurz, für die Multiplikatio. Die zu x + iy iverse Elemete sid x + i( y), kurz (x + iy), bzgl. Additio ud bzgl. Multiplikatio. x + iy = x iy (x + iy) (x iy) = x iy x x + y y = x iy x 2 + y 2 Die Zahl z = x iy heißt kojugiert komplexe Zahl zu z = x + iy. Die ichtegative Zahl x 2 + y 2 (Läge der Strecke zwische 0 ud z) heißt Betrag vo z, kurz z. Damit ist z z = x 2 + y 2 = z 2 ud z = z z 2. Die Gleichug z 2 = hat u (geau) zwei Lösuge: i ud i. Die Mege der komplexe Zahle bezeiche wir mit dem Symbol C. Für kompliziertere Aussage ist es ützlich, auf die Eulersche Darstellug komplexer Zahle (s. Kap. 7.) zurückzugreife, die auf dem Zusammehag zwische e-fuktio ud si bzw. cos (hergestellt mittels ihrer Taylor-Reihe) basiert. I Q ud R hat ma och zusätzliche Eigeschafte der Ordugsrelatio: Es ist geau eie der Relatioe a > 0, a = 0, a < 0 richtig. Aus a > 0 ud b > 0 folgt a + b > 0 ud ab > 0. Zu jedem a existiert eie atürliche Zahl mit > a (Archimedisches Axiom). Zahlekörper mit diese Eigeschafte heiße auch Archimedisch. Für komplexe Zahle gibt es keie ählich schöe Ordug..3.7 Polarkoordiate ud Wurzel Die Gleichug z 2 = hat u (geau) zwei Lösuge: ±i. Jede komplexe Zahl z = x + iy lässt sich i der Form z = r(cos ϕ + i si ϕ) (.3.5)

18 8 KAPITEL. ELEMENTE DER MENGENLEHRE schreibe. Die komplexe Zahl i der Klammer hat wege si 2 (ϕ) + cos 2 (ϕ) = de Betrag, also gilt r = z. Für r > 0 ist ϕ im Itervall [0, 2π) eideutig durch die Gleichuge cos ϕ = x r ud si ϕ = y r festgelegt: ϕ = π 2 if x = 0, y > 0, ϕ = 3π 2 if x = 0, y < 0, ϕ = arcta ( y x ) if x 0 Achtug: Auf Periode π bei arcta achte ud immer überlege, i welchem Orthate (x, y) liegt! Oft legt ma die Werte vo arcta auch is Itervall ( π/2, π/2). Die Darstellug (.3.5) vo z heißt Darstellug i Polarkoordiate (r ud ϕ). Ihr Si ist bei der Multiplikatio erkebar: Hat ämlich eie zweite komplexe Zahl ζ die Form ζ = s(cos ω + i si ω), so erhält ma für das Produkt aus de Additiostheoreme für Sius ud Cosius: ζ z = rs(cos ϕ + i si ϕ)(cos ω + i si ω) = rs [(cos ϕ cos ω si ϕ si ω) + i(si ϕ cos ω + si ω cos ϕ)] = rs (cos(ϕ + ω) + i si(ϕ + ω)). Die Beträge werde multipliziert, die Wikel addiert. Durch vollstädige Iduktio ergibt sich hieraus (Satz vo Moivre) isbesodere für alle N: z = r (cos(ϕ) + i si(ϕ)) z = z = z z = r (cos(ϕ) i si(ϕ)) = r (cos( ϕ) + i si( ϕ)). 2 r 2 Wir bestimme u die Lösuge der Gleichug ζ = z Die Gleichug bedeutet = z, N \ {0}, d.h., die te Wurzel. z = ζ = s (cos(ω) + i si(ω)), d.h. r = s sowie cos ϕ + i si ϕ = cos(ω) + i si(ω). Die zweite Gleichug gilt geau da, we ω = ϕ + 2kπ mit eier gaze Zahl k richtig ist. Ma beachte, dass dies für geau verschiedee Werte w [0, 2π) gilt, ämlich ω = ϕ + 2kπ mit k = 0,,...,. Damit besitzt z = r(cos ϕ + i si ϕ) die verschiedee Wurzel z = r [ cos ( ϕ + 2kπ ) + i si ( ϕ + 2kπ )] ; k = 0,,...,. De Wert zu k = 0 et ma auch Hauptwert. Aalog bestimme ma die Lösuge z vo ζ = z m. Zusammefassed erhält ma so für ratioale Expoete q die Darstellug des Hauptwertes als z q = r q (cos(qϕ) + i si(qϕ)),

19 Kapitel 2 Folge im Reelle Wir betrachte i diesem Abschitt (uedliche) Folge {a } ( =, 2, 3,...) reeller Zahle. Eie solche Folge ka als Fuktio aufgefasst werde, die jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl a zuschreibt. Dabei wird es gleichgültig sei, mit welcher Zahl ma begit; weil sich alle folgede (wesetliche) Aussage ud Defiitioe ur auf große beziehe werde. Gilt eie Aussage für alle ab eiem bestimte 0 (also für alle bis auf edlich viele Ausahme) so sagt ma auch, sie gelte für fast alle. Defiitio 2.. Eie Folge {a } heißt koverget, falls es eie (reelle) Zahl a gibt, sodass mit jedem positive ε die Ugleichug ( ) a a < ε richtig ist, sofer ur hireiched groß (größer als ei gewisses (ε)) ist. Kurz: Wie klei ε > 0 auch gewaehlt wird, (*) gilt stets für fast alle. Die Zahl a heißt i diesem Falle Grezwert (oder Limes) der Folge. Für diese Sachverhalt werde folgede Bezeichuge beutzt: a a, lim a = a, {a} a. Oft schreibe wir auch ur lim a = a, we (wie hier) klar ist, dass strebe soll. Eie icht-kovergete Folge heißt diverget. Ferer vereibare wir: lim a =, falls mit jedem ε > 0 gilt: a > für fast alle. Diese Folge ist da diverget. ε Beispiele 2.2 (für kovergete Folge). Test a =, (ε) >, lim a = 0 ε a =, lim a = 0 a =, lim a = + Beispiele 2.3 (für divergete Folge). Test a = ( ) a = Defiitio 2.4 (beschräkt). Eie Folge {a } heißt beschräkt, we es eie obere Schrake für die Beträge aller ihrer Glieder a gibt: S : a < S N (S uabhägig vo ). Offebar ist jede kovergete Folge beschräkt, aber icht jede beschräkt Folge auch koverget (s.o.). 9

20 20 KAPITEL 2. FOLGEN IM REELLEN Defiitio 2.5 (mooto, streg mooto). Eie Folge {a } heißt mooto wachsed (auch ueigetlich mooto wachsed), we a a + N. Ist stets a < a +, et ma die Folge oft streg mooto (auch strikt) wachsed. Aalog defiiert ma mooto fallede Folge. Schließlich heißt eie Folge mooto, we sie mooto wächst oder mooto fällt. Defiitio 2.6 (Teilfolge). Eie (uedliche) Teilfolge der Folge {a } etsteht durch die Auswahl uedlich vieler ihrer Glieder ud Beibehalte ihrer Reihefolge. Das bedeutet, dass wir jeder atürliche Zahl k ei (k) mit (k) < (k + ) zuorde ud eie Folge {b k } durch b k = a (k) defiiere. Ma sieht leicht: Jede Folge ka ur eie Grezwert besitze, ud im Falle lim a = a hat auch jede Teilfolge der Folge {a } de Grezwert a. (Übugsaufgabe) Die achstehede Aussage sid für das Reche mit Folge grudleged. Satz 2.7. Jede beschräkte ud mootoe (reelle) Folge ist koverget. Beweis. Ageomme a a + für alle. Wir zeige, dass die kleiste obere Schrake S := sup{a } Grezwert der betrachtete Folge ist. Dazu sei ε > 0 beliebig fixiert. Weil S ε keie obere Schrake aller a ist, fidet sich ei spezielles, etwa (ε), mit welchem a (ε) > S ε gilt. Nutzt ma u die Mootoie aus, folgt erst recht a a (ε) > S ε > (ε). Da adererseits S a gilt, folgt scho a S < ε für alle > (ε). Im Falle a a + betrachtet ma aalog die größte utere Schrake S := if {a }. Lemma 2.8. (Eischachtel) Sid {a } ud {b } zwei kovergete Folge mit demselbe Grezwert a ud gilt für die Elemete c eier weitere Folge a c b für fast alle, so gilt auch lim c = a. Beweis. Zu jedem ε > 0 existiere ach Voraussetzug (ε) ud 2(ε), sodass a a < ε > (ε) ud b a < ε > 2(ε) richtig sid. Damit folgt aber auch c a < ε für fast alle. Lemma 2.9 (Reche mit Folge). Es seie zwei kovergete Folge {a } ud {b } gegebe mit de Grezwerte a bzw. b. Da kovergiert die Folge {c } mit c = a + b gege a + b die Folge {p } mit p = a b gege a b die Folge {q } mit q = a b gege a b, falls b 0 Beweis. Die letzte Folge ist ur für b 0 defiiert ist, was jedoch für große aus b 0 folgt. Für die edlich viele übrige deke ma sich irgedwelche Zahle q geschriebe. Wir betrachte ur die Folge {p }. Schreibt ma a = a + x, b = b + y, so kovergiere offebar x ud y gege Null. Wege p = a b + (a y + b x + x y ) sieht ma, dass die Klammer im Betrag kleier als jedes positive ε wird, we hireiched groß ist. Ma setze etwa δ = ε 3M mit M = a + b + ud wähle (ε) so groß, dass x ud y beide < δ sid, falls > (ε). Der folgede Satz liefert eie der am häufigste agewadte Aussage der Aalysis. Satz 2.0 (vo Bolzao ud Weierstraß). Jede beschräkte (reelle) Folge besitzt eie kovergete Teilfolge.

21 2.. SPEZIELLE WICHTIGE GRENZWERTE 2 Beweis. Ma defiiere die Suprema S = sup{a m m > }. Sie sid mooto, d.h. S + S, weil die Mege der fragliche m kleier wird. Sie sid beschräkt, weil alle a m beschräkt sid. Also existiert ach Satz 2.7 der Limes S = lim S. Sei () =. Begied mit k = wähle ma eie atürliche Zahl m > (k), sodass a m > S (k) k. Sie existiert, weil S (k) k keie obere Schrake ist. Adererseits ist auch S (k) a m. Aschliessed setze wir (k + ) = m, bilde k aus k + ud wiederhole die procedure. Wege S (k) k < a (k+) < S (k), (k =, 2,...) kovergiert die eigeschachtelte Teilfolge der a (k+) u ebefalls gege S. Die folgede Defiitio ist grudleged für die gesamte Aalysis. Defiitio 2. (Cauchy-Folge). Eie Folge {a } heißt Cauchy-Folge oder auch Fudametalfolge, we zu jedem ε > 0 ei solches (ε) existiert, dass gilt () a m a < ε, m > (ε). Ma sieht leicht, dass jede kovergete Folge eie Cauchy-Folge ist (wieso?). Umgekehrt gilt: Satz 2.2. Jede (reelle) Cauchy-Folge ist koverget. Beweis. Wählt ma ε =, so gibt es ach Voraussetzug ei () mit a m a ()+ < m > (). Die Folge ist somit beschräkt, besitzt also eie kovergete Teilfolge. Wir bezeiche dere Elemete mit a m(k) (k =, 2,...) ud de Grezwert mit g. Sei u ε > 0 beliebig. Da gibt es wege Kovergez der Teilfolge ei k(ε), sodass a m(k) g < ε k > k(ε). Mit dem laut () existierede (ε) folgt weiter für > (ε): a a m(k) < ε, we ur k hireiched groß ist, ämlich so groß, dass auch m(k) > (ε). Beides zusamme liefert a g a a m(k) + a m(k) g < 2ε > (ε). Da ε > 0 beliebig war, bedeutet das aber g = lim a. I de agegebee Sätze ist es wichtig, dass wir relle Folge betrachte. Mit Elemete aus Q ka ma eie wachsede, beschräkte Folge {a } (z.b. aus de erste Dezimalstelle vo 2) bilde, die icht gege ei a Q kovergiert. Mit gazzahlige a wird Kovergez trivial, weil sie a + = a für alle große bedeutet (Ma ehme ε < ). 2. Spezielle wichtige Grezwerte (A) Sei a =. Da ist lim a =. Hierzu lässt sich die Beroullische Ugleichug (s. Kap..3., S. ) ( + x) + x (x >, N) sehr effektiv beutze. Beweistrick: Ma setze + x = (= ). Da ist x =, ud es folgt ( + x) = + ( ), ud damit auch +. Divisio durch liefert: / = / / +. Also müsse - wege lim / = 0 = lim / - die positive Zahle gege Null strebe. Das liefert us ud schliesslich (mit de bekate Eigeschafte der Wurzelfuktio) auch. Der Trick war wichtig. Setzt ma eifacher + x =, so folgt aalog ur 2 / +. (A2) -te Wurzel aus : a = ( ) / =, also lim a =. (A3) a = x, lim a = (für beliebige reelle x > 0).

22 22 KAPITEL 2. FOLGEN IM REELLEN ) Falls x >, gilt fuer große : < x < ud rechte Seite kovergiert gege. 2) Falls x <, betrachte ma y = > : x = x = y ) y (A4) a =, lim a x = 0, für beliebiges x >. Es ist a + a = < <. Also ist + x x a+ < q a für große ud q = <, ud deshalb x a +m < q m a mit q m 0 für m. (A5) a = +, lim a = 0. Als Bruch auffasse ud mit der Summe erweiter: a = ( + ) ( + + ) + + = (A6) a = x /! Da ist lim a = 0. Es gibt ei 0 mit x < 0. Da ist der Quotiet q = x 0 sicher kleier als. Wir schreibe + a 0 +m = ( x. x ) ( x x x ) x. 0 + m Das erste Produkt ee wir C; es hägt icht vo m ab. Der Quotiet sid q <. Deshalb erhalte wir mit m (A7) a = 2+ wege (A8) a = 2 2, + 5 ; lim a = 2 a 0 +m C q m wobei q m = 2+ / 5 ud / 0, = / +5/ 0, 5/ 0. lim a =. Es gilt a + a = 2 2 ( + ) = = x 0 ud alle folgede + Für große (z.b. > 0), ist also a + a p := 3/2 >. Es folgt so mittels a + pa die Behauptug. Durch Betrachte vo a + a ka ma auch (A6) oder z.b. lim 2 = zeige. 8

23 Kapitel 3 Metrische Räume 3. Grudlegede Begriffe Der im Reelle behadelte Begriff der Kovergez lässt sich sehr allgemei für Folge defiiere, dere Glieder i Mege liege, für die ei Abstad ihrer Elemete erklärt ist. Dies erlaubt, auch vo der Kovergez aderer Objekte, die keie reelle Zahle sid, i eiem wohldefiierte Sie zu spreche. Defiitio 3. (Metrik, metrischer Raum). Ei Paar (X, d) heißt metrischer Raum, we X eie Mege ist ud d eie Fuktio, die je zwei Elemete x, y X eie reelle Zahl d(x, y) derart zuordet, dass gilt: () d(x, y) = d(y, x) 0 (2) d(x, y) = 0 geau da, we x = y (3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) sofer x, y, z X (Dreiecksugleichug). Eie solche Fuktio d heißt Metrik oder Abstad. Ist eie Metrik bereits erklärt, spricht ma häufig eifach vom metrische Raum X. Seie Elemete ee wir auch Pukte. Metrik ist eie Verallgemeierug des im Reelle durch de Betrag gegebee Abstades d(x, y) = x y, der obige Forderuge offesichtlich erfüllt. We wir vo R spreche, werde wir stets aehme, dass die Metrik i dieser Weise gegebe ist. Das bedeutet allerdigs icht, dass es hier ur diese eie Metrik gibt! Z.B. sid d(x, y) = 8 x y ud komplizierter d(x, y) = x y ebefalls Metrike i R. + x y Ma ka sogar defiiere: d(x, y) = 0 falls x = y; d(x, y) = falls x y (diskrete Metrik). Es ka also dieselbe Mege mit verschiedee Abstäde versehe werde, was zu uterschiedliche metrische Räume mit deselbe Elemete führt. Bezeichug: Es sei B(x, ε) = {y X d(x, y) < ε} die offee Kugel um x mit Radius ε > 0. Oft wird sie auch mit B 0 (x, ε) bezeichet, we ma B(x, ε) als die abgeschlossee Kugel B(x, ε) = {y X d(x, y) ε} defiiert. Ausserdem immt ma im Deutsche oft auch K statt B (ball). I der Folge ist also B = B 0. Bemerkug: Kugel im metrische Raum köe äußerst uregelmäßige Gebilde sei. We X = R, so ist B(x, ε) das Itervall (x ε, x + ε) (ohe die Radpukte). Die folgede Begriffe sid für die Aalysis, Geometrie ud Topologie vo fudametaler Bedeutug ud basiere (zumidest im metrische Raum) allei auf dem Abstadsbegriff ud der Kovergez vo Folge. Deshalb ist dieses Kapitel scho hier eigeordet. 3.. Kovergez Eie Folge {x } vo Elemete aus X kovergiert gege x X, sofer jede Kugel B(x, ε) fast alle x ethält, d.h. alle x mit > (ε). Da schreibe wir wieder x = lim x ud sage, x sei Grezelemet 23

24 24 KAPITEL 3. METRISCHE RÄUME oder auch Limes der Folge. Offebar ist dies im Falle X = R die scho bekate Kovergez. Defiitio 3.2 (ierer Pukt, offe, abgeschlosse). Sei M eie Teilmege vo X. Ei Pukt x M heißt ierer Pukt vo M, we B(x, ε) M für weigstes ei ε > 0. Die Mege aller iere Pukte vo M bezeichet ma mit itm (vo iterior = Ieres). M heißt offe, we M ur iere Pukte ethält (also itm = M ist). Die Komplemete offeer Mege, d.h. alle A = X \ M (M offe), heiße abgeschlosse. Damit gibt es weigstes zwei zugleich offee ud abgeschlossee Mege: De gaze Raum X ud die leere Mege. Außerdem sid alle Kugel B(x, ε) offe, de we x B(x, ε), so fidet sich wege d(x, x) < ε ei δ > 0 mit δ + d(x, x) < ε, ud jeder Pukt x B(x, δ) liegt deshalb wege d(x, x) d(x, x ) + d(x, x) < δ + d(x, x) < ε (Dreiecksugleichug!) ebefalls i B(x, ε). Alle eielemetige Teilmege vo X sid abgeschlosse. Darüberhiaus gilt Lemma 3.3. Es seie I eie beliebige Mege ud M i für jedes i I eie Teilmege vo X. Da ist die Vereiigug aller Mege M i offe, sofer alle M i offe sid der Durchschitt aller M i abgeschlosse, sofer alle M i abgeschlosse sid Ist I eie edliche Mege, so gilt außerdem: Der Durchschitt aller M i ist offe, sofer alle M i offe sid. Die Vereiigug aller M i ist abgeschlosse, sofer alle M i abgeschlosse sid. Beweis. Ist I leer, wird die Aussage trivial. Wir betrachte de iteressatere Fall. Seie alle M i offe, ud sei x M := M i. i I Fixiert ma ei i 0 I mit x M i0, so gibt es eie Kugel B(x, ε), die gaz i M i0 liegt, folglich auch i M. Sei u x aus dem Durchschitt aller M i. Zu jedem i I gibt es, da M i offe ist, ei ε(i), sodass B(x, ε(i)) M i. Für edliches I bleibt das kleiste der ε(i), ε = mi{ε(i)} positiv, ud es ist B(x, ε) i i I alle M i ethalte, was zu zeige war. Die Aussage zur Abgeschlosseheit folge durch Komplemetbildug (Übugsaufgabe). Lemma 3.3 sagt isbesodere, dass der Durchschitt D aller abgeschlossee Mege A, die eie festgewählte Teilmege M vo X ethalte, wieder abgeschlosse ist. Offebar gibt es keie kleiere abgeschlosseee Mege (im Sie der Megeiklusio), die M ebefalls ethält. D heißt Abschließug der Mege M, kurz D = clm (lies closure = Abschließug) Für die Differez clm \ itm ist die Bezeichug bdm (boudary = Rad, Greze) üblich Ei Häufugspukt x vo M ist dadurch charakterisiert, dass i jeder Kugel B(x, ε) weigstes zwei Pukte aus M liege (ud damit uedlich viele, wieso?). Ma überlege sich, dass da x immer zu clm gehöre muss. Die Pukte aus M, die keie Häufugspukte (vo M) sid, heiße isolierte Pukte vo M. Eie Teilmege A vo M heißt dicht i M, we es zu jedem x M ud ε > 0 ei a A mit x B(a, ε) gibt. (Die letzte Bedigug fordert mit adere Worte, dass M i cla ethalte ist (vgl. Lemma 3.4).) Ethält M eie abzählbare dichte Teilmege A, so heißt M separabel. Beispiel: I R sei M = {x R 0 < x } {π}. Da gilt: itm = (0, ) := {x R 0 < x < }, clm = M {0}, π ist eiziger isolierter Pukt vo M.

25 3.. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE 25 Weiter ist R separabel, weil die Mege Q aller ratioale Zahle abzählbar ud dicht i R ist. Oft ist es ützlich, die Abgeschlosseheit mit Hilfe kovergete Folge zu charakterisiere. Lemma 3.4. Eie Mege M X ist abgeschlosse geau da, we ( ) der Limes jeder i M ethaltee kovergete Folge {x } ebefalls zu M gehört. (äquivalet dazu: we jeder Häufugspukt vo M i M liegt) Beweis. Bezeiche W die Komplemetärmege W = X \ M.. Sei M abgeschlosse, also W offe. Für x W betrachte wir eie i W ethaltee Kugel B(x, ε). Sid alle x aus M (also isbesodere icht i B) ka offebar x icht Grezwert der Folge sei. Damit gilt ( ). 2. Sei M icht abgeschlosse, also W icht offe. Da gibt es ei x W \ itw. Die Kugel B(x, ) scheide daher stets die Mege M. Wählt ma jeweils x aus dem Durchschitt B(x, ) M, erhält ma eie Folge i M, die gege x kovergiert. Weil x icht i M liegt, ist da ( ) falsch. Defiitio 3.5 (Kompaktheit). Eie Teilmege M X heißt kompakt, we jede (uedliche) Folge {x } i M eie (uedliche) kovergete Teilfolge {x (k) } besitzt, dere Limes x ebefalls zu M gehört. Betrachtet ma isbesodere kovergete Folge {x } i M, sieht ma ach Lemma 3.4 mit ( ): Kompakte Mege sid abgeschlosse. (De uedliche Teilfolge kovergeter Folge habe deselbe Limes wie die Ausgagsfolge). I X = R ist die Mege X offe ud abgeschlosse, aber icht kompakt. Z.B. hat die Folge x = keie kovergete Teilfolge. Dagege sid hier alle abgeschlossee, beschräkte Itervalle [a, b] kompakt (ud uter alle Itervalle ur diese). Alle offee Itervalle (a, b) sid offe im Sie obiger Defiitio. Das halboffee Itervall [a, b) ist dagege (für a < b) weder offe och abgeschlosse. Also sid Mege icht automatisch offe, we sie icht abgeschlosse sid! Sid A, B zwei kompakte Teilmege eies metrische Raumes, so auch ihre Vereiigug ud ihr Durchschitt. Abgeschlossee Teilmege kompakter Mege sid ebefalls kompakt (Übugsaufgabe). Defiitio 3.6 (Stetigkeit). Es seie (X, d X), (Y, d Y ) metrische Räume, f : X Y ud x X. f heißt stetig i x, falls zu jedem ε > 0 ei δ > 0 derart existiert, dass ( ) f(x) B Y (f(x ), ε) x B X(x, δ). Obe soll B X darauf hiweise, dass die Kugel i X liegt ud mit der etsprechede Metrik d X defiiert ist. Ma beachte, dass Stetigkeit ud Kovergez immer vo de gewählte Abstäde abhäge. We X = Y = R, so arbeite wir mit dem ormale Abstad d(x, x) = x x. Da bedeutet die Bedigug ( ) offebar f(x) f(x ) < ε für alle x mit x x < δ. Iterpretatio: Der Fuktioswert f(x) uterscheidet sich beliebig weig vo f(x ), we sich ur x hireiched weig vo x uterscheidet; der Uterschied wird mit de Abstäde gemesse. Die Bedigug ( ) ka als Fehlerabschätzug iterpretiert werde: Wird x mit Geauigkeit δ bestimmt, d.h., ist d X(x, x ) < δ, so ist der Fehler bei der Fuktioswertberechug d Y (f(x), f(x )) kleier als ε. Ma überlege sich: f : X Y ist i x X geau da stetig, we aus der Kovergez x x im Raume X stets die Kovergez der Fuktioswerte f(x ) f(x ) im Bildraum Y folgt (i der Vorlesug bewiese). Defiitio 3.7. Ist M X ud f stetig i alle x M, so heißt f stetig auf M. Ma beachte, dass ei jeweils zu ε gehöredes δ auch vo x M abhäge ka: δ = δ(ε, x ). Defiitio 3.8 (Gleichmäßig stetig). Lässt sich δ = δ(ε) uabhägig vo x M festlege, so heißt f gleichmäßig (glm.) stetig auf M. Mit adere Worte: f heißt gleichmäßig stetig auf M, falls zu jedem ε > 0 ei δ > 0 existiert, so dass ( ) für alle x M gilt (mit demselbe δ). Die reelle Fuktio f(x) = 2x ist gleichmäßig stetig, weil ma stets δ = 2 ε setze ka. Dagege ist f(x) = x 2 icht gleichmäßig stetig auf M = R (große x verlage besoders kleie δ). Ohe Stetigkeit verstade zu habe besteht ma irgeds eie Aalysis Prüfug.