Grundlegende Eigenschaften und Anwendungen

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1 Eponentialfunktionen Inhalt Grundlagen zu Eponentialfunktionen Eingangseispiele zum eponentiellen Wachstum Skript zu den Grundlagen der Eponentialfunktionen mit Beispielen und Aufgaen Definition Eponentialfunktion (Wachstum, Zerfall) Herleitung der Funktionsgleichung von Eponentialfunktionen 6 Herleitung der natürlichen Eponentialfunktion 9 5 Umkehrfunktion einer Eponentialfunktion 0 Eponentialfunktionen Grundlegende Eigenschaften und Anwendungen 6 Modell des egrenzten Wachstums Eigenschaften von Eponentialfunktionen 6 Symmetrieeigenschaften von Eponentialfunktionen 6 Grenzwertverhalten und Monotonieeigenschaften von Eponentialfunktionen 7 Markante Punkte von Eponentialfunktionen 8 Schnittpunkt mit der y-achse 8 Schnittpunkte mit der -Achse 9 Eponentialfunktionen und Differentialrechnung Aleitung von Eponentialfunktionen der Art f ( ) und f ( ) e Weitere Aleitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen Kettenregel Produktregel Anwendungen der Differentialrechnung ei Eponentialfunktionen 6 Eponentialfunktionen und Integralrechnung

2 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen Grundlagen zu Eponentialfunktionen Eingangseispiele zum eponentiellen Wachstum Beispiel (Wachstumsvergleich) Ein See ist 800 m groß Mit Hilfe von Baggern und anderem schweren Gerät soll er vergrößert werden Jede Woche schaffen die Bagger 550 m neue Fläche dazu Vor Beginn der Areiten, waren 80 m des Sees mit Seerosen edeckt, deren weitere Verreitung verhindert wurde Während der laufenden Areiten ist dies jedoch nicht mehr möglich, so dass sich die mit Seerosen edeckte Fläche jede Woche verdoppelt a) Berechnen Sie jeweils wie groß die Seefläche zw die Fläche der Seerosen nach ; ; ; ; 5; 6; 7 Wochen ist ) Geen Sie jeweils eine Funktionsgleichung an, die die Größe der Seefläche nach Wochen als f ( ) zw die Größe der Fläche mit Seerosen als ( ) g angit c) Nach wie vielen Wochen ist der See vollständig von Seerosen edeckt? Beispiel (Zellwachstum) Bei natürlichen Organismen eruhen die Wachstumsvorgänge darauf, dass die Zellen, aus denen sie estehen, sich ständig teilen Solange die Umweltedingungen günstig sind, geschieht dies in regelmäßigen Zeitaständen Angenommen eine Zelle teilt sich unter den gegeenen Bedingungen durchschnittlich nach einer Stunde, dann verdoppelt sich die Anzahl der Zellen nach jeder Stunde In der folgenden Taelle kann für t 0,,, 7 agelesen werden, wie viele Zellen nach t Stunden aus der ursprünglichen Zelle entstanden sind: Ta: Zellwachstum t f (t) Zeit (Wochen) Rechnung Seefläche (in m ) Ta: Wachstum der Seefläche Zeit (Wochen) Rechnung Rosenfläche (in m ) Ta: Wachstum der Rosenfläche Die durch diese Taelle gegeene Funktion wird erfasst durch den Term: f ( t) Setzen wir in diesen Funktionsterm einen elieigen Wert für t ein, so können wir erechnen, wie viele Zellen nach t Stunden vorhanden sind Wachstumsprozesse, wie wir sie gerade etrachtet haen, werden als eponentielles Wachstum ezeichnet Daei muss es sich nicht immer um eine Verdoppelung handeln Es können auch Verdreifachungen, Vervierfachungen, oder eine Vervielfachung um einen elieigen Wert IR vorliegen Stets ist daei jedoch so, dass in einem vorgegeenen Zeitraum, dh in gleich großen Intervállen (Zeitaständen) die Funktionswerte sich um den selen Faktor ändern t

3 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen Definition Eponentialfunktion (Wachstum, Zerfall) Definition (Eponentialfunktion) Funktionen f mit und auch g mit f ( ) g( ) c werden als Eponentialfunktionen ezeichnet Daei ist IR mit > 0, IR c \{ } 0 und IR Taelle : Beispiele für verschiedene Wachstumsprozesse Beispiel Wachstum Funktion Maria ekommt monatlich 0 Taschengeld Jedes Jahr soll es um 5 erhöht werden Karina verdient als Tischlerin 0 in der Stunde Jedes Jahr soll der Stundenlohn um 6% steigen Pro Jahr: + 5 Nach Jahren: 5 Lineares Wachstum Pro Jahr:, 06 Nach Jahren:, 06 Eponentielles Wachstum f ( ) f( ) 0, 06 Bemerkungen: Entsprechend der oigen Definition ist die Definitionsmenge von Eponentialfunktionen die Menge aller rellen Zahlen, also ID IR Eine 0 cm hohe Kerze wird angezündet Jede Minute rennt sie um mm herunter Pro Minute: Nach Minuten: ( ) Lineare Anahme f ( ) + 0 Für > werden die Funktionswerte immer größer Man spricht dann von eponentiellem Wachstum Für 0 < < werden die Funktionswerte immer kleiner Man spricht dann von eponentiellem Zerfall Ein Computer kostet 000 Jedes Jahr verliert er die Hälfte seines Wertes Pro Jahr: 0, 5 Nach Jahren: 0, 5 Eponentieller Zerfall f( ) 000 0, 5 In der Funktionsgleichung g( ) c wird der Faktor c auch als Anfangswert ezeichnet Er entspricht dem Funktionswert an der Stelle 0: 0 g ( 0) c c c Eine Hefekultur mit 5 g Hefe verdreifacht stündlich ihre Masse Pro Stunde: Nach Jahren: Eponentielles Wachstum f( ) 5 Der Faktor in der Funktionsgleichung Wachstumsfaktor zw Zerfallsfaktor ezeichnet g( ) c wird auch als Ein Öltank enthält 800 l Öl Aus dem Tank werden je Minute 00 l Öl gepumpt Pro Minute: 00 Nach Minuten: ( 00) Lineare Anahme f ( ) An der Art des Wachstums kann man erkennen, o es sich um lineare oder eponentielle Vorgänge handelt, woei zwischen Wachstumsprozessen und Zerfallsprozessen zw linearer Zunahme und Anahme unterscheidet 5

4 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen Beispiele für den Verlauf von Funktionsgraphen von Eponentialfunktionen Lösung: f ( ) 8 f ( ) f ( ) ( ) y 5 ( ) f( ) 8 zu a) Zu Beginn: Tiere f ( 0) 8000 Nach einem Tag 5 % mehr f ( ) 8000, 05 f ( ) Nach zwei Tagen noch 5 % mehr f ( ) 8000,05, ,05 f ( ) ( ) Nach fünf Tagen f (5) 8000, Antwort: Nach 5 Tagen sind ca 0 0 Tiere vorhanden Zu ) Aus den Üerlegungen zu a) folgt unmittelar 5 f ( ) 8000, 05 f ( ) f( ) f( ) 8 A: Graphen von Eponentialfunktionen f( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) (Wachstumsprozesse) A: Graphen von Eponentialfunktionen 6 8 (Zerfallsprozesse) Herleitung der Funktionsgleichung von Eponentialfunktionen Untersucht man den Wachstumsvorgang, der dem funktionalen Zusammenhang zugrunde liegt, so kann man den Wachstumsfaktor ermiteln Ausgehend von dem ursprünglichen Ausgangswert kann man dann die Funktionsgleichung aufstellen Daher ezeichnet man ei Eponentialfunktionen mit Gleichungen der Art g( ) c den Faktor c auch als Anfangswert und die Basis als Wachstumsfaktor zw Anahmefaktor (so) Beispiel (Heuschreckenschwarm) In einer estimmten Region Afrikas vermehrt sich ein Heuschreckenschwarm täglich um 5 % Zu Beginn der Beoachtung sind ereits Tiere vorhanden a) Wie viele Tiere sind nach 5 Tagen vorhanden? ) Wie lautet die Funktionsgleichung der Vermehrungsfunktion (d h der Wachstumsfunktion)? Wir haen ereits darauf hingewiesen, dass Eponentialfunktionen die Eigenschaft esitzen, dass sich ihre Funktionswerte in gleich großen Intervallen jeweils um denselen Faktor ändern So gilt + g( + ) c g( ) c c c und somit g( + ) g( ) Erhöht man also den -Wert um, so wird der Funktionswert mit der Basis multipliziert Dies kann analog auch für die Funktion f aus der Definition nachgewiesen werden Diese Eigenschaft enutzt man, um anhand von zwei gegeenen Punkten einer Eponentialfunktion den Anfangswert und den Wert der Basis zu erechnen Beispiel Auf einer Südseeinsel lassen Piraten mehrere Schweine zurück Nach zwei Jahren kehren die Piraten zurück und zählen Schweine Als Sie nach 5 Jahren aermals zurückkehren finden sie 96 Schweine vor a) Wie viele Schweine wurden ursprünglich zurückgelassen und mit welcher Wachstumsrate vermehren sie sich? ) Wie viele Schweine werden Sie nach 0 Jahren vorfinden, wenn das angenommene Wachstumsmodell in etwa zutrifft? 7

5 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen LÖSUNG: a) Wir gehen von einem eponentiellen Wachstum aus mit einer Funktionsgleichung der Form g( ) c Es gilt: g ( ) c und g ( 5) c 5 96 : Herleitung der natürlichen Eponentialfunktion Beispiel (Verzinsung / Zinseszins) Eine Bank ietet eine außergewöhnliche Kapitalanlage an, ei der sich das angelegte Kapital K 0 ei einer jährlichen Verzinsung verdoppelt (d h Prozentzinssatz 00%) Nach einem Jahr erhält man dann das Kapital K, für das dann gilt 5 g( 5) c g( ) c 8 96 Kürzen g( ) c c : c ( + 00) K K0 K 00 0 Es esteht aer auch die Möglichkeit, das Kapital haljährlich mit einem Prozentzinssatz von 50% zu verzinsen Dann gilt 50 ( ) ( + K + ), 5 K K K Das edeutet, dass ursprünglich Schweine ausgesetzt wurden, die sich mit dem Wachstumsfaktor vermehren ) Aus den oigen Üerlegungen ergit sich die Funktionsgleichung g( ) Somit kann man den Bestand nach 0 Jahren ermitteln als: g ( 0 ) 0 07 Sie könnten also erwarten 07 Schweine vorzufinden Wird das Kapital sogar täglich mit % verzinst, gilt 60 ( 60 + ), 75 K0 K 60 0 K Aus dem Beispiel zur Verzinsung können wir aleiten, dass ei einer Einteilung des Jahres in n gleichlange Zeitintervalle und einem Prozentzinssatz von p % das Kapital nach einem Jahr mit folgender Formel zu erechnen ist: ( ) n K K 0 + n 00 n Die folgende Taelle zeigt den Kontostand K für ein Anfangskapital K 0 nach einem Jahr Ta5: Kapital K ei verschiedenen Verzinsungen (gerundet) Verzinsung jährlich haljährlich monatlich täglich stündlich n K,0,5,60,75,788 Die Taelle lässt vermuten, dass der Wert von K ei einer Erhöhung von n immer weiter ansteigt, jedoch scheint es auch einen gewissen Endwert zu geen 8 9

6 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen Der Grenzwert von ( ) n lim + n n wurde vom Schweitzer Mathematiker Leonard Euler (707 78) entdeckt Definition (Eulersche Zahl / natürliche Eponentialfunktion) Der Grenzwert lim ( + ) n n n heißt Eulersche Zahl und wird mit e ezeichnet Es gilt lim ( n + ) e, 788 n n Die Funktion f mit f ( ) e wird als natürliche Eponentialfunktion ezeichnet Die natürliche Eponentialfunktion hat dieselen Eigenschaften, wie jede andere Eponentialfunktion Sie hat aer darüer hinaus aer noch weitere wichtige Besonderheiten innerhal der Eponentialfunktionen, auf die im Rahmen der Differentialrechnung noch eingegangen wird Dazu gehört insesondere auch eine Eigenschaft, die unter allen Funktionen einzigartig ist 5 Umkehrfunktion einer Eponentialfunktion Lässt sich die Zahl der Bakterien in einer estimmten Bakterienkultur eispielsweise mit der Funktionsgleichung ( ) f eschreien, so kann damit für jede Zeitspanne (für jeden Wert ) ermitelt werden,wie viele Bakterien vorhanden sind Man könnte jedoch auch umgekehrt danach fragen, wie viel Zeit erforderlich ist, um eine estimmte Bakterienmenge zu erreichen Bei dieser Fragestellung ist der Funktionswert (y-wert) ekannt und der zugehörige -Wert wird gesucht Soll nun nicht für jede einzelene Fragestellung eine seperate Gleichung gelöst werden, so muss man eine allgemeine Formel aufstellen, die jedem y-wert den zugehörigen -Wert zuordnet Dies erfolgt mit Hilfe der sogenannten Umkehrfunktion Satz und Definition (Umkehrfunktion) Die Umkehrfunktion einer Funktion f ordnet jedem y-wert einer Funktion den zugehörigen -Wert zu Eine Funktion f heißt Umkehrfunktion der Funktion f, falls gilt: ( f( ) ) zw f ( y ) f, für f ( ) y Auf Grund ihrer Monotonieeigenschaften eistiert zu jeder Eponentialfunktion mit eine Umkehrfunktion Die Umkehrfunktionen von Eponentialfunktionen der Art ( ) f werden Logarithmusfunktionen genannt und als Logarithmus zur Basis ezeichnet Eenso wie die natürliche Eponentielfunktion nimmt auch die entsprechende Umkehrfunktion der natürliche Logarithmus eine Sonderrolle ein Auch der Logarithmus zur Basis 0 wird häufig enutzt und heute ist eenso wie der natürliche Logarithmus auf den meisten Taschenrechnern zu finden Definition (Logarithmusfunktion) Die Logarithmusfunktion zur Basis mit IR,, ist diejenige Funktion log für die gilt Daei steht y + y log ( ) (für IR und y IR ) + IR für die Menge der positiven reellen Zahlen Definition (natürliche Logarithmusfunktion) Die Logarithmusfunktion zur Basis e wird natürliche Logarithmusfunktion genannt und mit ln ezeichnet Dafür gilt y + y ln( ) e (für IR und y IR ) Definition (dakadische Logarithmusfunktion) Die Logarithmusfunktion zur Basis 0 wird dekadischer Logarothmus oder Zehnerlogarithmus genannt und mit lg ezeichnet Dafür gilt y + y lg( ) 0 (für IR und y IR ) 0

7 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen Eigenschaften der Logarithmusfunktionen Da die Eponentialfunktionen und die Logarithmusfunktionen jeweils Umkehrfunktionen von einander sind gilt stets: log ( ) log ( ) und Für die natürliche Eponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus gilt entsprechend: ( e ) ln ln( ) und e Für alle Logarithmusfunktionen sowie u > 0 und v > 0 gelten die folgenden Logarithmengesetze: Der Logarithmus eines Produktes kann als Summe der einzelnen Logarithmen erechnet werden ( u v ) log (u) log ( v ) log + Beispiel: lg ( 7 56) lg( 7) + lg( 56), 09 +, 79 5, estimmen, indem man lg ( 7 56) 5, 8 durch zugehörige die Eponentialfunktion umkehrt, dh lg( ) 5, , 5 Beispiel für die Anwendung des Logarithmus eim Lösen von Gleichungen sind in Kapitel zu finden Konkret sind dort Beispiele für die Bestimmung von Nullstellen ei Eponentialfunktionen zw die zu Beginn dieses Kapitels angesprochene Frage nach dem Erreichen eines estimmten Funktionswertes zu finden 5 Die Graphen einer Eponentialfunktion und der zugehörigen Logarithmusfunktion ergeen sich durch die Spiegelung an der an der Winkelhalierenden des Quadranten (diese hat die Funktionsgleichung h ( ) ) Der Logarithmus eines Quotienten (Bruchs) kann als Differenz der einzelnen Logarithmen erechnet werden u log v log(u ) log ( v ) 7 56, Beispiel: lg ( ) lg( 7) lg( 56), 09, Der Logarithmus einer Potenz kann duch die Multiplikation mit dem Eponeneten des Logarithmus erechnet werden log n ( u ) n log ( u) Beispiel: lg( 56 7 ) lg( 7) lg( 56), 09, 79 8, 8 Ta6: Logarithmengesetze Diese Logarithmengesetze werden auch heute noch enutzt, um zum Beispiel Gleichungen mit Eponentialfunktionen zu lösen (siehe ) Ursprünglich vor dem Zeitalter der Taschenrechner und Computer - waren die Logarithmengesetze ein wichtiges Hilfmittel, um ganz allgemein Rechnungen mit größeren zw längeren Zahlen, mit Hilfe von sogenannten Logarithmentafeln (in denen die Ergenisse für viele Logarithmen nachgeschlagen werden können), auf einfachere Rechenvorgänge zurückzuführen So kann man auf Grund dieser Regeln (vgl das erste Beispiel in oiger Taelle) das Ergenis für die Multiplikation A: Die Graphen der Funktionen f ( ) 0 und g ( ) log( ) A: Die Graphen der Funktionen f ( ) e und g () ln()

8 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen 6 Modell des egrenzten Wachstums Bei der mathematischen Vorstellung vom eponentiellem Wachstum (oder Zerfall) ist der Wachstumsfaktor (oder Zerfallsfaktor) konstant Dies führt zu einem unegrenzten Wachstum zw Zerfall Das ist aer in der Realität jedoch in der Regel nicht möglich Dies kann viele verschiedene Ursachen haen Beim Wachstum von Populationen können Gründe wie Platznot, Nahrungsmangel oder Stress dazu führen dazu, dass eine Population nicht unegrenzt wächst Mathematische Modelle sollten daher auch erücksichtigen, dass eine estimmte natürliche (vorgegeene) Grenze oft nicht üerschritten oder unterschritten werden kann In diesem Fall eistiert ein Grenzestand G der maimal zw minimal erreicht werden kann Daei ändert sich dann die Zuwachsrate, sie wird kleiner, je näher sich die Funktion dem Grenzestand annähert Die Eponentialfunktion, die solche Prozesse eschreit, kann dann in der Form k f( ) G a dargestellt werden Daei entspricht der Koeffizient a nicht dem Anfangswert c, sondern muss mit Hilfe der Angaen im Tet estimmt werden Es gilt daei: a G f ( 0) Ist a positiv, so handelt es sich um egrenztes Wachstum, ist a negativ, so handelt es sich um einen Zerfallsprozess BEISPIEL: Ein Mathematiker hat sich einen frischen Kaffee zuereitet Er festgestellt, dass ihm der Kaffee ei einer Temperatur von unter 5 C nicht mehr schmeckt Nun möchte er ausrechnen, wie lange es dauert, is sein Kaffee diese Temperatur erreicht hat Nachdem er auf dem Zimmerthermometer agelesen hat, dass die Raumtemperatur 0 C eträgt misst er mit seinem neuen Küchenthermometer die Temperatur seines Kaffees Diese eträgt 7 C Nach Minuten misst er erneut die Temperatur seines Kaffees und misst nun 56 C k Da er weiß, dass solche Prozesse durch Eponentialfunktion mit f( ) G a dargestellt werden können, kann er nun erechnen wann diese Temperatur erreicht wird Da der Kaffee die Raumtemperatur ohne weiteres - nicht unterschreiten kann gilt: G 0 0 k 0 f ( ) G a e 7 G a 7 0 a 7 a 5 k k f ( ) G a e 56 G a 56 Setzt man die Ergenisse für G und a ein, kann man k estimmen: 0 ( 5) k k 5 k e 6 5 k ln( 6 ) 5 k 0, 7 k 0, k 6 Setzt man diese Ergenisse in 0, f( ) f ( ) 0 : 5 ln( ) :( ) k G a ein, so erhält man: Nun kann erechnet werden, wann der Kaffee eine Temperatur von 5 C erreicht Bed: f ( ) 5 0, , 5 5 0, 5 e 5 0, ln( 5 ) 5 0,, 9, 0 0 : 5 ln( ) :( 0, ) Somit wird nach ca 9 Minuten die Temperatur von 5 C erreicht (Dies gilt natürlich nur, falls er nicht zusätzlich kalte Milch in den Kaffee git oder die Modellannahme auf andere Art verändert, zum Beispiel indem er in einen wärmeren oder kälteren Raum hinüergeht ) 5

9 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen Eigenschaften von Eponentialfunktionen Symmetrieeigenschaften von Eponentialfunktionen Aus A5 ist offensichtlich, dass die Graphen der Eponentialfunktionen weder achsensymmetrisch zur y-achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung sind Auch der rechnerische Nachweis, dass die eiden Symmetrieedingungen - f ( ) f ( ) für Achsensymmetrie zur y-achse und f ( ) f ( ) für Punktsymmetrie zum Ursprung - nicht gelten, lässt sich für jede Eponentialfunktion leicht mit einem Gegeneispiel führen ( ) ( ) Grenzwertverhalten und Monotonieeigenschaften von Eponentialfunktionen In Bezug auf das Grenzwertverhalten und die Monotonieeigenschaften von Eponentialfunktionen muss entsprechend den in eschrieenen Symmetrieeigenschaften zwischen zwei Typen von Eponentialfunktionen unterschieden werden: Funktionen mit Funktionsgleichungen der Art ( ) und g( ) ( ) f Das heißt, hier wird zwischen Eponentialfunktionen, ei denen gilt > und solchen, ei denen gilt < unterschieden Bei Eponentialfunktionen mit f ( ) Bei Eponentialfunktionen mit f ( ) ( ) und > gilt: Alle Funktionswerte sind größer als Null, und < gilt: Alle Funktionswerte sind größer als Null, d h > 0 dh > 0 Die Funktion ist streng monoton steigend Die Funktion ist streng monoton fallend A5: Graphen von Eponentialfunktionen der Art und ( ) Es gilt: lim 0 und lim + + Es gilt: lim + und lim 0 + A5 zeigt aer, dass die Funktionsgraphen von Eponentialfunktionen mit Funktionsgleichungen der Art ( ) und g( ) ( ) f zueinander achsensymmetrisch ezüglich der y-achse sind Der Beweis ist unter Ausnutzung der Potenzregeln recht einfach und soll hier nicht weiter ausgeführt werden Anmerkungen Taelle 6: Monotonieeigenschaften und Grenzwertverhalten von Eponentialfunktionen () Alle Eponentialfunktionen mit stärker (schneller) gegen ( ) und > wachsen für + f + als jede elieige ganzrationale Funktion () Für die Eponentialfunktionen mit f ( ) und > gilt außerdem dass sie für stärker (schneller) gegen 0 streen als jede elieige ganzrationale Funktion 6 7

10 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen () Aus den Anmerkungen () und () ergit sich zum Beispiel für Eponentialfunktion mit f ( ) und > und eine eligige ganzrationale n n Funktion g mit g( ) an + an + + a + a + a0 : Schnittpunkte mit der -Achse Wie ereits festgehalten, gilt > 0 für alle IR, da > 0, wie in der Definition der Eponentialfunktion festgelegt wurde Somit hat keine der hier ehandelten Eponentialfunktionen einen Schnittpunkt mit der -Achse lim + ( g( ) ) + aer lim ( g( ) ) + g( ) Außerdem gilt zum Beispiel: lim 0 aer lim g( ) Alle Funktionen f mit ( ) und alle Funktionen g mit f g( ) c, ei denen c > 0 gilt, verlaufen somit vollständig oerhal der -Achse Diejenigen Funktionen g mit vollständig unterhal der -Achse g ( ) c, ei denen c < 0, verlaufen jedoch () Die Eponentialfunktion mit ist eine konstante Funktion mit dem Funktionswert, denn es gilt: f ( ) für alle IR Markante Punkte von Eponentialfunktionen Die Aussagen üer die markanten Punkte der isher ehandelten Eponentialfunktionen (hier sollen nur die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen etrachtet werden) sind auf Grund der in den isherigen Aildungen dargestellten Graphen ganz offensichtlich Anmerkung Eponentialfunktionen, deren Funktionsgleichung sich aus mehreren Funktionstermen zusammensetzen, können durchaus Nullstellen esitzen So hat zum Beispiel die Funktion f mit f ( ) e trivialerweise die Nullstelle 0 und somit den Nullpunkt N (0 / 0 ) Bei anderen Funktionen ist die Bestimmung der Schnittpunkte mit der -Achse keineswegs einfach In der Regel wird dann die Anwendung des Logarithmus zur Bestimmung der Lösung (Nullstellen) enutzt Schnittpunkt mit der y-achse Auch ei Eponentialfunktionen gilt für den Schnittpunkt mit der y-achse die Bedingung 0 Für Funktionen f mit ( ) gilt entsprechend den Potenzgesetzen f unahängig vom Wert für stets f (0) 0 Somit hat der Schnittpunkt mit der y-achse die Koordinaten S (0 /) Alle Funktionen mit einem Funktionsterm der Art diesen Punkt y ( ) verlaufen also durch f Beispiel : Für die Funktion f mit f ( ) 8 gilt: f( ) log log Anmerkung 0 : ( ) log ( 8) ( 8) log (dh auf eide Seiten den Logarithmus zur Somit erhält man: N ( / 0 ) Basis anwenden) Der Logarithmus ist ekanntlich die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion (so), so dass sich das Bilden des Logarithmus zur Basis und das Bilden der 8 9

11 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen Beispiel : Eponentialfunktion zur Basis gegenseitig aufheen Somit gilt zum Beispiel: ( ) log, was in der oigen Lösung enutzt wurde Für die Funktion f mit g( ) 0 e e 0 e e ln ln ln g( ) ( e ) ln( e ) ( ) + ln( e ) ln( e ) ( ) + ln ln ( ) + ln e e gilt: + e ln( ) + ( ) + 0, 69 +, 69 Somit erhält man: N (, 69 / 0 ) (dh auf eideseiten den natürlichen Logarithmus anwenden) Eponentialfunktionen und Differentialrechnung Aleitung von Eponentialfunktionen der Art f ( ) und f ( ) e Die Eponentialfunktionen gehören wie die ganzrationalen Funktionen zu den im gesamten Definitionsereich stetigen und damit sowohl differenzieraren, als auch integrieraren Funktionen Satz (Aleitung von Eponentialfunktionen) Für Eponentialfunktionen f mit f ( ) gilt Beweis: Entsprechend der Definition der Aleitung gilt hier Ersetzt man durch a + h, so folgt: f ( a) lim h 0 a + h ( a + h) a a lim h 0 f ( a) lim a a a a f ( ) f (0) h h ( ) a a lim f (0) h h 0 h Hinweise: Durch die Anwendung des Logarithmierens und (in Beispiel ) der Logarithmengesetze sind für eide Funktionen Nullstellen estimmt worden Mit Hilfe der Formel ln e können wir Gleichung mit elieigen Eponentialfunktionen durch natürliche Eponentialfunktionen darstellen und durch die Anwendung des natürlichen Logarithmus lösen Hinweis Die Berechnung der jeweiligen Aleitungskonstanten f (0) für Eponentialfunktionen ist nicht ohne weiteres durchführar Sie kann jedoch mit Hilfe der natürlichen Eponentialfunktion und des natürlichen Logarithmus durchgeführt werden (siehe Anmerkungen unten) e e ln ln Es gilt ( ) Das hier vorgestellte Verfahren wird auch enutzt, um zu estimmen, wann eine Eponentialfunktion einen estimmten (gesuchten) Funktionswert erreicht Satz (Aleitung der natürlichen Eponentialfunktion) Für die natürliche Eponentialfunktion mit f ( ) e gilt: f ( ) e 0

12 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen Anmerkung : Kettenregel Die natürliche Eponentialfunktion mit f ( ) e ist praktisch die einzige Funktion (*) für die gilt, dass Funktion und Aleitungsfunktion üereinstimmen Dh für diese Funktion gilt: f( ) e f ( ) (*) Auf Grund der Aleitungsregeln (Faktorregel) gilt dies für alle Funktionen mit Funktionstermen der Art Anmerkung : f( ) a mit a IR ln Mit Hilfe der Formel e können wir jede Eponentialfunktion durch die natürliche Eponentialfunktion Anmerkung : e darstellen e e ln ln Es gilt ( ) Mit Hilfe dieser Formel ergit sich schließlich für die Aleitung von elieigen Eponentialfunktionen mit f ( ) folgende Formel für die Aleitung: f ( ) ln (mit IR \ { } ) ln zw letztlich f ( ) ln (mit IR \ { }) Weitere Aleitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen Die isher ekannten Aleitungsregeln, wie zum Beispiel die Summen- zw Differenzenregel oder die Faktorregel, gelten auch für Eponentialfunktionen Um zusammengesetzte Eponentialfunktionen (wie eispielsweise oder ) aleiten zu können, enötigen wir allerdings weitere Aleitungsregeln f( ) f ( ) 0, 5 e Die sogenannte Kettenregel gilt für Funktionen, deren Funktionsgleichungen sich durch die nacheinander erfolgende ( verkettete ) Durchführung von verschiedenen Funktionsvorschriften zusammensetzen So erhält man den Funktionswert der Funk- tion f mit ( ) ( e ) f, indem man für einen elieigen -Wert zunächst das Ergenis von e erechnet und dieses anschließend quadriert Die Kettenregel kann auch enutzt werden, um den Rechenaufwand ei letztlich ganzrationalen Funktionen - die aer in verketteter Form angegeen werden zu verringern So kann ei der Funktion f mit ( ) ( + ) f der Funktionswert estimmt werden, indem man zunächst den Funktionsterm ausmultipliziert und ihn so in ein Polynom (hier vom Grad n 6 ) üerführt Die Aleitung dieser Funktion kann dann entsprechend den ekannten Aleitungsregeln für ganzrationale Funktionen estimmt werden Man kann den Funktionswert von der Funktion f mit ( ) f ( ) + allerdings auch estimmen, indem man zunächst den Wert für + estimmt und dieses Ergenis anschließen mit potenziert Die Funktion wird dann nicht mehr wie eine ganzrationale Funktion ehandelt, sondern wie die Verkettung zweier verschiedener Funktionen Die nun folgende Kettenregel zur Bestimmung der Aleitung von verketteten Funktionen gilt in der Mathematik als sehr wichtige und vielfältig einsetzare Regel Auf die eakte mathematische Herleitung der Regel und ihren formalen Beweis soll an dieser Stelle jedoch verzichtet werden Satz (Kettenregel) Sind die Funktionen g und h differenzierar, so ist auch die Funktion f mit ( h( ) ) f () g differenzierar und es gilt: ( h() ) f () h () g

13 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen Anmerkung : Da ei der Verkettung der eiden Funktionen g und h die Funktionswerte (y-werte) der Funktion h als -Werte in die Funktionsgleichung der Funktion g eingesetzt werden, muss genauer gesagt in diesem Fall die Funktion g differenzierar sein muss für alle Funktionswerte von h Anmerkung : Bei der Verkettung der eiden Funktionen g und h nennt man die Funktion h die innere Funktion (das ist diejenige Funktion, die zuerst ausgeführt wird) und die Funktion g die äußere Funktion (die anschließend an die innere Funktion ausgeführt wird) Die Kettenregel kann man dann zu folgender Merkregel umformulieren: Aleitung der Gesamtfunktion innere Aleitung mal äußere Aleitung Taelle 7: Beispiele für die Anwendung der Kettenregel f ( ) f ( ) 0, 5 e e Hier gilt: h ( ) 0, 5 und g ( ) e 05 Somit ist f ( ) 0, 5 Hier gilt: h( ) und g ( ) e Somit ist ( ) f ( ) Hier ist eine weitere spezielle Aleitungsregel erforderlich, sie sogenannte Produktregel Auch ei dieser Regel wird hier auf die eakte mathematische Herleitung der Regel und ihren formalen Beweis verzichtet Es sei jedoch auf die Möglichkeit sich im Internet oder in verschiedenen Mathematiküchern zu informieren hingewiesen Der Beweis dieser Regel ist durch die Einführung eines mathematischen Tricks - nämlich das Addieren und sofort anschließende Sutrahieren eines enötigten Terms (somit wird letztlich Null addiert) - gut nachzuvollziehen Satz (Produktregel) Sind die Funktionen g und h differenzierar, so ist auch die Funktion f mit f( ) g( ) h( ) differenzierar und es gilt: Anmerkung: f ( ) g ( ) h( ) + g( ) h ( ) Lässt man die Funktionsargumente weg, so kann die Produktregel auch kurz geschrieen werden als: f g h + g h Taelle 8: Beispiele für die Anwendung der Produktregel f ( ) ( + ) Produktregel Hier gilt: h ( ) + und g ( ) Somit ist ( ) f ( ) + Wird eine neue Funktionsgleichung nicht durch die Hintereinanderausführung zweier Funktionen, sondern durch die Multiplikation zweier Funktionen geildet, so entstehen Funktionsterme der Art f ( ) oder ( ( ) + ) ( e ) f Ein solches Produkt von Funktionen darf nicht einfach aschnittsweise differenziert werden f( ) f ( ) ( + ) ( e ) Hier gilt: g ( ) und h ( ) e Somit ist f ( ) Klammert man nun + e aus, so kann der Funktionsterm umgeschrieen werden zu ( ) f ( ) + Hier gilt: ( g ( ) + ) und ( ) ( e ) h Somit ist f ( ) ( ) ( e ) + ( + ) ( e ) 5

14 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen f ( ) ( + ) g und h( ) e Hier gilt: ( ) ( + ) Somit ist f ( ) ( ) + ( + ) f ( ) (( ) + ( + ) ) (( ) + ( + )) ( + ) e Schnittpunkt y-achse: Bed: 0 0 f ( 0) ( 0 ) ( ) also: ( 0 / ) Schnittpunkt -Achse: Bed: f ( ) 0 ( ) ( ) ( ) e 0 unlösar S y also: N ( / 0 ) Anwendungen der Differentialrechnung ei Eponentialfunktionen Etrempunkte: I notw Bed: f ( ) 0 f ( ) ( ) + ( ) (( ) + ( ) ) ( ) Anwendungseispiel f ( ) Gegeen ist die Funktion f mit ( ) ( ) ( ) e unlösar e 0 Erläutern Sie zunächst das Grenzwertverhalten der Funktion Bestimmen Sie dann die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen sowie die Etrempunkte und die Wendepunkte des Graphen Skizzieren Sie anschließend den Graphen von f und geen Sie die Wertemenge von f an Grenzwertverhalten: Da die e-funktion für + schneller wächst als jede ganzrationale Funktion und zudem gilt, dass lim ( ) +, ergit sich hier insgesamt: lim f ( ) II hinreichende Bed: 0 ( 0 ) ( f ( 0) ) ( ) ( ) 7, 89 7, 89 f ( ) Hier liegt ein (-/+)VZW vor, somit ist ei ein TP Für stret die e-funktion schneller gegen Null als jede ganzrationale Funktion, so dass hier gilt: lim f ( ) 0 (Weil gilt lim ( ) kommend gegen Null) stret der Graph von f für aus dem negativen ALTERNATIVE f ( ) ( ) + ( ) (( ) + ( ) ) f ( ) e e, 7 f ( ) > 0, somit ist ei ein TP 6 7

15 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen III y-koordinaten III y-koordinaten f( ) ( ) ( ) ( ), 7, 7 0 f ( 0) ( 0 ) ( ) also: WP ( 0 / ) Somit ergit sich der Tiefpunkt ( /, 7 ) TP Y (X-)*EXP(X) y 5 Wendepunkte I notw Bed: f ( ) 0 f ( ) ( ) + ( ) (( ) + ( ) ) e 0 unlösar II hinreichende Bed: 0 ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) 0, 68 e, 7 e, 7 Hier liegt ein (-/+)VZW vor, somit ist ei 0 ein WP Anhand des Graphen kann man erkennen, dass der Tiefpunkt ein asoluter Tiefpunkt ist Somit gilt: W { y IR y,7 } Anwendungseispiel ALTERNATIVE f ( ) e + 0 f ( 0) ( 0 + ) ( ) ( + ) ( + ) f ( ) 0, somit ist ei ein WP Die Konzentration eines estimmten Medikamentes im Blut (in mg/l) lässt sich nach Stunden durch die Funktion f mit f ( ) 8 näherungsweise eschreien a) Nach wie viel Stunden wird die höchste Konzentration erreicht und wie groß ist diese? ) Zum dem Zeitpunkt an dem das Medikament am stärksten ageaut wird sollte dem Patienten eine neue Dosis verareicht werden Wann ist dies der Fall? c) Die Konzentration eines anderen Medikamentes kann durch die Funktion g mit g( ) ( + 9) eschrieen werden Zu welchem Zeitpunkt erreichen eide Medikamente die gleiche Konzentration im Blut? 8 9

16 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen Lösung zu a): Die höchste Konzentration wird am Hochpunkt erreicht I notwendige Bed: f ( ) 0 ( 8 + 8) ( 8 + 8) 8 II hinreichende Bed: f ( ) III y-koordinaten 8 f ( ) : ( 8 ( 8 8) ( 8 + 8) 0 8) 8 ( )e e 0 unlösar 0 ( 8 ( 0) + 8) ( 8) 8 f ( 0) f ( ALTERNATIVE 8 ( 8 ( ) + 8), 08 ) e ( 8 ) + ( 8 + 8) ( ) e f ( ) ( 8 ( ) 6) 8 ( 8) + ( 8 8), e (( 8) + ( 8 8) ) ( 8 6) ( ) < 0 f( ) 8 ( ) e 8 e, 9 Somit ergit sich der Hochpunkt ( /, 9 ) Hier liegt ein (+/-)VZW vor, somit ist ei ein HP 08 f, somit ist ei ein HP HP 0 Antwort: Die höchste Konzentration wird nach einem Tag erreicht Sie eträgt dann ca,9 mg Lösung zu ): Der stärkste Aau erfolgt an einem Wendepunkt Dies muss ein Üergang von einer Rechts- in eine Linkskurve sein, da dort ein Tiefpunkt der Aleitung (Zunahme zw Aau) liegt I notw Bed: ( ) 0 f und f ( ) ( 8 6) ( 8 6) ( 8 6) 8 6 II hinreichende Bed: Antwort: f ( ) e : ( 8) e 0 unlösar 0 ( 8 ( 0) 6) ( 6) 6 f ( 0) f ( ) ALTERNATIVE ( 8 ( ) 6) 8 8 0, 05 0, Hier liegt ein (-/+)VZW vor, somit ist ei ein WP (Ein Wechsel von einer Rechts- in eine Linkskurve) 8 ( 8 ) + ( 8 6) ( ) f ( ) ( 8 ( ) + ), 08 e ( 8) + ( 8 + 6) (( 8) + ( 8 + 6) ) f ( ) > 0, somit ist ei ein WP und zwar von einer Rechts- in eine Linkskurve ( 8 + ) Nach zwei Stunden sinkt die Konzentration des Medikamentes im Blut wieder am stärksten a, so dass dann ereits eine neue Dosis verareicht werden sollte

17 Eponentialfunktionen Eponentialfunktionen Lösung zu c): Die gleiche Konzentration wird erreicht, wenn gilt f ( ) g( ) 8 ( + 9) g( ) 8 ( + 9) 0 ausklammern ( 8 ( + 9) ) ( 8 ( + 9) ) 0 0 e unlösar : 6 5, Eponentialfunktionen und Integralrechnung Die Methoden und Themen der Integralrechnung können eenfalls auf die Eponentialfunktionen üertragen werden Wie ei der Differentialrechnung sind aer auch hier einige neue und weitergehende Integrationsverfahren zw Regeln erforderlich Antwort: Nach,5 Stunden haen eide Medikamente die gleiche Konzentration im Blut