Theoretische Mechanik (T1p)

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1 Mitschrift der Vorlesung Theoretische Mechanik (T1p) für Bachelor plus, Lehramt Gymnasium und Nebenfach Theoretische Physik (3 SWS) Prof. G. Buchalla, LMU München, Sommersemester 016 verfasst von Markus Reinert

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe der Mechanik 3 Lagrangeformalismus und das Prinzip der kleinsten Wirkung 8.1 Einführung in die Variationsrechnung Das Prinzip der kleinsten Wirkung (Hamilton-Prinzip) Symmetrien und Erhaltungssätze Energie Impuls Drehimpuls Skalenverhalten der Bewegungsgleichungen Bewegung im Zentralfeld Zweikörperproblem Lösung der Bewegungsgleichung Kepler-Problem Streuung Kleine Schwingungen Eindimensionale Schwingungen Gedämpfte Schwingung Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden Bewegung des starren Körpers Kinematik Bewegung im beschleunigten Bezugssystem Kanonischer Formalismus und Hamilton-Gleichungen 68 8 Relativistische Mechanik Grundbegriffe Lagrangefunktion eines freien Teilchens Verwendete Literatur Landau, Lew D. und Lifschitz, Ewgeni M.: Lehrbuch der theoretischen Physik in zehn Bänden, Band 1: Mechanik. Fließbach, Torsten: Mechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik I. Kuypers, Friedhelm: Klassische Mechanik.

3 1 Grundbegriffe der Mechanik Um in der Mechanik physikalische Phänomene zu beschreiben, modellieren wir sie in der vierdimensionalen Raumzeit, das heißt wir betrachten drei Raumdimensionen und eine zeitliche Dimension. Dabei bezeichnen wir den Parameter der Zeit üblicherweise mit t R. 1 Für die Beschreibung des Raumes, in dem ein Vorgang stattfindet, wählen wir ein Bezugssystem, bezüglich dessen wir Koordinaten angeben. Verwenden wir beispielsweise kartesische Koordinaten, so bezeichnen wir diese mit x, y, z. Sie werden jeweils in Richtung der Standardbasisvektoren angegeben: e x = 1 0, 0 e y = 0 1, 0 e z = Diese drei Vektoren bilden eine Orthonormalbasis des R 3. Orthonormalität wird durch folgende Relation ausgedrückt: e i e j = δ ij := 1, für i = j, 0, sonst, i, j {x, y, z} ˆ= {1,, 3} Basis bedeutet, dass sich jeder Vektor v R durch eine Linearkombination dieser Vektoren darstellen lässt: v = 3 i=1 λ i ei mit λ i R. Ein wichtiges Objekt unserer Beschreibung ist der Massepunkt. Damit meinen wir einen Körper mit vernachlässigbarer Ausdehnung. Wir beschreiben seine Lage im Raum durch den Ortsvektor r = x ex + y e y + z e z = x r 1 y = r. z r 3 Die zeitliche Änderung seines Ortes wird als Geschwindigkeit bezeichnet: d v (t) := r (t) = r (t). dt Die zeitliche Änderung seiner Geschwindigkeit wird als Beschleunigung bezeichnet: d d v (t) = r (t) = r (t). dt dt 1 Wenn Sie sich fragen, warum in der Physik eine eindimensionale Zeitstruktur notwendig ist, empfehle ich Ihnen, eine Philosophievorlesung für Physiker zu hören. 3

4 Betrachten wir ein System von N N Massenpunkten, so beschreiben wir ihre jeweilige Lage im Raum durch die N Ortsvektoren x n r n1 r 1, r,..., r #» N, r n = y n = r n, n = 1,..., N. z n r n3 Sind die Abstände der Massenpunkte fest, das heißt r i r j = const. für alle i, j = 1,..., N, so sprechen wir von einem starren Körper. Newtonsche Axiome 1. Es gibt Bezugssysteme, in denen für einen kräftefreien Massepunkt gilt: d v (t) = r (t) = const. dt. Für die Beschreibung in solchen Systemen gilt: F = d d p = dt dt (m v ), mit der Kraft F, dem Impuls p = m v und der Masse m. Falls m konstant ist, gilt F = m r. 3. Jede Kraft erzeugt eine Gegenkraft, die mit gleicher Stärke in entgegengesetzte Richtung wirkt: F actio = F reactio. Bemerkungen: zu 1. Bezugssysteme, in denen für einen kräftefreien Körper v (t) = const. gilt, bezeichnen wir als Inertialsysteme (IS). zu. Man betrachte zwei Probekörper (Massepunkte), auf die gleiche Kräfte wirken: m 1r1 = m r. Durch messen der Beschleunigungen r1 und r, kann das Massenverhältnis m 1 m bestimmt werden. Damit wird die Masse m im Bezug auf einen Referenzkörper definiert. zu 3. Achtung, dieses Axiom ist nicht für alle Kräfte in der Physik gültig, beispielsweise nicht für die magnetische Kraft in der Elektrodynamik. Allerdings stimmt die 4

5 Aussage in der klassischen Mechanik. Das werden wir mithilfe des Lagrangeformalismuses in Kapitel 3. sehen. Die nun eingeführten Größen messen wir in den folgenden Einheiten: [m] = kg (Kilogramm) [t] = s (Sekunde) [ r ] = m (Meter) [ F ] = kg m =: N (Newton) s In der Mechanik möchten wir für ein gegebenes Kraftfeld F die Bewegung, das heißt die Bahn r (t), eines Körpers der Masse m bestimmen. Deshalb ist ein mechanisches Problem üblicherweise von folgender Form: ( ) F r (t), r (t), t = m r (t). Es handelt sich dabei um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für r (t). Folglich hat die allgemeine Lösung zwei Integrationskonstanten, beispielsweise r (0) und r (0). Beispiel: Freier Fall. Wir betrachten eine eindimensionale Bewegung entlang x-richtung in einem homogenen Schwerefeld F = m g mit (konstanter) Fallbeschleunigung g. Dann ist mẍ = F = m g ẍ = g. Die allgemeine Lösung finden wir durch zweifaches aufleiten: x(t) = 1 gt + c 1 t + c = 1 gt + ẋ(0)t + x(0). So einfach wie in diesem Beispiel wird es allerdings nicht immer sein, die Differentialgleichung zu lösen. Deshalb überlegen wir uns in Kapitel einen eleganteren Weg, um die Bahn zu bestimmen. Galilei-Transformation Für die Beschreibung von Phänomenen gibt es kein ausgezeichnetes Bezugssystem. Vielmehr kann es interessant und hilfreich sein, einen Vorgang in verschiedenen Koordinatensystemen zu betrachten. Um zwischen unterschiedlichen Inertialsystemen zu wechseln, verwendet man eine Galilei-Transformation mit zehn freien Parametern: r = D r V t a, t = t t 0 : D ist eine Drehung (Drehwinkel um x, y, z-achse sind drei freie Parameter), 5

6 V ist eine Relativbewegung, a ist eine Verschiebung im Raum, t 0 ist eine zeitliche Verschiebung. In Koordinaten schreiben wir 3 r i = D ij r j V i t a i = D ij r j V i t a i j=1 unter Berücksichtigung der Einstein schen Summenkonvention beim zweiten Gleichheitszeichen. Eine Drehung wird durch eine Drehmatrix dargestellt. Diese besitzt die Eigenschaft D T D = 1, wobei D T die zu D transponierte Matrix und 1 die Einheitsmatrix ist. Man beachte, dass auch Spiegelungen diese Eigenschaft haben. Die Menge aller Matrizen A, für die A T A = 1 gilt, wird als orthogonale Gruppe bezeichnet. Davon sind die Matrizen mit Determinante +1 genau die Drehungen. Sie bilden die spezielle orthogonale Gruppe. Ein Beispiel für eine Drehmatrix ist cos ϕ sin ϕ 0 D = sin ϕ cos ϕ Sie bewirkt bei Multiplikation mit einem Vektor r eine Drehung mit dem Winkel ϕ um die z-achse: setze r := D r, dann ist der Winkel zwischen r und dem gedrehten r : ( r, r ) = ϕ ; die z-koordinate ist unverändert: r z = r z. Kovarianz der newtonschen Mechanik Wir berechnen, wie sich Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft unter einer Galilei- Transformation verändern: ṙ i(t ) = dr i = dr i dt dt = D ij ṙ j V i, r i(t ) = D ij r j (t), m r j (t) = F j ( r, r, t), m r i(t ) = m D ij r j (t) = D ij F j ( r, r, t) = F i ( r, r, t ). In vektorieller Form ausgedrückt: m r = m D r = D F = F. Wir stellen fest, dass sich die Form der Grundgleichung F = m r unter einer Galilei- Transformation nicht ändert. Das ist die Kovarianz der newtonschen Mechanik. 6

7 Beispiel: Newtons Gravitationsgesetz Man betrachte zwei Körper mit den jeweiligen Massen m 1 und m an den Positionen r 1 und r im Raum. Nach dem newtonschen Gravitationsgesetz ziehen sich Massen an. Dabei ist die Kraft, welche vom zweiten auf den ersten Körper ausgeübt wird F 1 = G m 1 m r 1 r r 1 r 3 mit der Gravitationskonstante G = 6, m3. Durch vertauschen von 1 und in kg s der Formel erhält man F 1 = F 1 im Einklang mit dem dritten newtonschen Axiom. Nach dem zweiten newtonschen Axiom gilt außerdem F 1 = m 1 r 1 und F 1 = m r. Wir wollen zeigen, dass diese beiden Gleichungen invariant unter Galilei-Transformation sind. Das sieht man daran, dass die Kraft nur vom Verbindungsvektor r 1 r und nicht von den Ortsvektoren alleine abhängt. Denn es gilt für ein mit der Geschwindigkeit V relativ zum ursprünglichen System bewegtes und um a verschobenes Inertialsystem: r 1 = r 1 V t + a. Daraus folgt r 1 r = r 1 r und somit m 1 r1 = G m 1 m r 1 r r 1 r 3 m 1 r1 = G m1 m r 1 r r 1 r 3, das heißt r 1 (t) löst die Gleichung genau dann, wenn r 1 (t) eine Lösung der Gleichung ist. Dies gilt analog für relativ zueinander gedrehte Bezugssysteme: Man beachte, dass sich die Länge eines Vektors unter Drehung nicht ändert, das heißt für eine Drehmatrix D und einen Vektor r gilt: r = D r. Deshalb entspricht der Wechsel in ein gedrehtes Koordinatensystem der Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit einer Drehmatrix, wodurch die Lösungen unverändert bleiben. Somit sind Bezugssysteme äquivalent, wenn sie durch Galilei-Transformation ineinander überführt werden können, sprich gleichermaßen zur Beschreibung von Phänomenen in der Mechanik geeignet. 7

8 Lagrangeformalismus und das Prinzip der kleinsten Wirkung.1 Einführung in die Variationsrechnung Aus der Schule sind mathematische Funktionen bekannt. Bei einer Funktion y handelt es sich um eine Vorschrift, die jeder reellen Zahl x D f in ihrem Definitionsbereich einen Funktionswert y(x) zuordnet. Eine einfache Verallgemeinerung davon sind Funktionen mehrerer Variablen, in bestimmen Zusammenhängen als Felder bezeichnet, die jedem Vektor x R n einen Funktionswert f( x ) = f(x 1,..., x n ) zuordnen. Ein Beispiel wäre die Länge x R + 0 eines Vektors. Nun können allerdings auch Funktionen betrachtet werden, die jeder Funktion einen Wert zuordnen. Das heißt, auf einem reellen Intervall, z. B. [a, b] R, sei eine Funktion y : [a, b] R, x y(x), definiert. Dann betrachten wir den Funktionsparameter x [a, b] als kontinuierlichen Index eines unendlichdimensionalen Vektors y und verstehen F [y] = F [y(x)] als Verallgemeinerung von Funktionen mehrerer Variablen. Diese Funktionen von Funktionen werden als Funktionale bezeichnet. Ein Beispiel für ein Funktional ist das Integral F [y] = b a y(x) dx. Beispiel: das Problem der Brachistochrone Wir betrachten eine Masse m, die sich im Schwerefeld der Erde in der x-y-ebene vom Punkt (a, 0) zum Punkt (b, h) bewegt, mit a < b und 0 h (die y-achse zeigt in Richtung der Erdbeschleunigung, also nach unten). Gesucht ist die Bahn y(x), welche die Zeit für das Zurücklegen dieser Strecke minimiert, unter Vernachlässigung von Reibungseffekten. Für die Lösung dieses Problems betrachten wir die benötigte Zeit als Funktional in Abhängigkeit von der Bahn: T = F [y] = 1 dx ds. Dabei ist ds = v + dy = dx 1 + y mit y = dy der infinitesimale (euklidische) Abstand zwischen zwei Punkten in der Ebene. Aufgrund der Energieerhaltung gilt E kin = m v = m g y = E pot. Daraus erhalten dx wir für die Geschwindigkeit den Ausdruck v(x) = g y(x). Somit ist die Lösung der Brachistochrone das Minimum von F als Funktional von y(x) mit F [y] = 1 b 1 + y (x) dx. g a y(x) Als Lösung ergibt sich eine Zykloide: y = r(1 cos ϕ), x = r(1 sin ϕ). gr. brachystos kürzeste, chronos Zeit; nach Johann Bernoulli (1696) 8

9 Die Euler-Lagrange-Gleichung Mit Fragen dieser Art beschäftigt sich die Funktionalanalysis. Wir werden uns im Folgenden damit beschäftigen, die Extremstellen von Funktionalen F der Art F [y] = b a f(y(x), y (x), x) dx = b a f(y, y, x) dx zu ermitteln, wobei die Randwerte y(a) und y(b) fest sind. Wäre F eine normale Funktion, so könnten wir sie ableiten und würden als Kandidaten für die Extremstellen die Nullstellen der Ableitung df erhalten. Analog gehen wir auch bei Funktionalen vor und fordern, dass die erste Variation δf verschwindet. Wir berechnen für sehr kleine Abweichungen δy(x) von einer Extremstelle y(x): Erklärung: 0 =! δf = F [y(x) + δy(x)] F [y(x)] = b ( ) = f(y + δy, y + δy, x) f(y, y, x) dx = a ( ) (1) b f f = δy + a y y δy dx = ( ) () b f f d = δy + a y y dx δy dx = ( (3) b f = a y d ) f δy(x) dx. dx y (1) Taylorentwicklung erster Ordnung. () Die Ableitung von δy nach x ist δy = d dx δy. (3) Partielle Integration des zweiten Summanden mit δy(a) = δy(b) = 0. Diese Bedingung entspricht festen Randwerten der Funktion y(x). Damit das Integral in der unteren Zeile wie gefordert für alle Variationen δy verschwindet, muss die Differenz in der Klammer gleich Null sein. Das ist die Aussage der Euler-Lagrange-Gleichung: d f dx y f y = 0 Es handelt sich dabei um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in y(x), die linear in y ist. Sie stellt eine notwendige Bedingung für ein Extremum von F [y] dar. Für mehrere Funktionen lässt sich die Gleichung leicht verallgemeinern. Sei F ein Funktional, welches von Funktionen y 1 (x),..., y n (x) abhängt, der Form: F [y 1 (x),..., y n (x)] = b a f(y 1,..., y n, y 1,..., y n, x) dx. 9

10 Dann geben die Euler-Lagrange-Gleichungen d f dx y i f y i = 0, (i = 1,..., n) notwendige Bedingungen an die Extremstellen von F. Variation mit Nebenbedingungen Gesucht ist das Minimum einer Funktion f(x, y) unter der Bedingung, dass g(x, y) = 0 ist. Für die Lösung dieses Problems gibt es die Methode der Lagrange-Multiplikatoren: man minimiere die Funktion Φ(x, y, λ) := f(x, y) λg(x, y), das heißt man sucht die gemeinsamen Nullstellen der partiellen Ableitungen nach x, y, λ: Φ x = f x λ g x = 0 ( ) ( ) f/ x g/ x Φ y = f = λ f = λ g y λ g y = 0 f/ y g/ y Φ = g(x, y) = 0 (entspricht der Nebenbedingung) λ Folglich müssen die Gradienten von f und g parallel, somit müssen die Höhenlinien von f tangential an den Linien g(x, y) = 0 liegen. In der Variationsrechnung unterscheidet man nun zwei Arten von Nebenbedingungen: 1. isoperimetrische Nebenbedingung: F [y] = G[y] = b a b a f(y, y, x) dx g(y, y, x) dx = c. holonome Nebenbedingung: F [y i ] = b a f(y i, y i, x) dx g(y i (x), x) = 0 für alle x (eine Bedingung). (unendliche viele Bedingungen). Beide Fälle können wir mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen behandeln: zu 1. Suche das Extremum von F [y] λ(g[y] c). zu. Suche das Extremum von b ( ) F [y i, λ] = f(y i, y i, x) λ(x)g(y i, x) dx. a 10

11 . Das Prinzip der kleinsten Wirkung (Hamilton-Prinzip) Wir betrachten eine eindimensionale Bewegung x(t) in einem Potential U(x). Die kinetische Energie eines Körpers der Masse m ist T = m ẋ. Definition 1: Lagrangefunktion und Wirkung Langragefunktion: Wirkung: L := L(x, ẋ, t) := T U S := S[x(t)] := t t 1 L(x, ẋ, t) dt Nun besagt das Prinzip der kleinsten Wirkung, dass die tatsächliche Bewegung x(t) zwischen dem Startpunkt x(t 1 ) und dem Endpunkt x(t ) so verläuft, dass die Wirkung S minimal wird, das heißt die erste Variation von S verschwindet. Eine Lösung für die Gleichung δs = 0 finden wir mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichung: d L dt ẋ = L x Setzen wir die obige Lagrangefunktion ein, erhalten wir mẍ = U x = F und stellen fest: Das Variationsprinzip δs = 0 ist äquivalent zu Newtons. Axiom F = mẍ. Für die Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung ist die Angabe zweier Randbedingungen notwendig. Eine Möglichkeit ist, den Start- und Endpunkt der Kurve x(t 1 ), x(t ) anzugeben. Damit nimmt man eine globale Beschreibung der gesamten Kurve vor. Mathematisch äquivalent dazu ist die punktweise, lokale Beschreibung, indem man zu einem Zeitpunkt t 0 Ort x(t 0 ) und Geschwindigkeit ẋ(t 0 ) des Körpers angibt. Die allgemeine Lagrangefunktion für ein System von N Massepunkten im Potential U beschrieben in kartesischen Koordinaten ist N m i L = r i=1 i U( r1,..., r #» N, t). Die N Euler-Lagrange-Gleichungen für i = 1,..., N d L dt r = L i r i ergeben wiederum in Übereinstimmung mit dem zweiten newtonschen Axiom: m iri = U r. i 11

12 Allerdings müssen wir nicht kartesische Koordinaten für die Beschreibung eines Systems verwenden. Wir können beliebige unabhängige Größen wählen, welche die Lage des Systems vollständig beschreiben. Diese bezeichnen wir dann als generalisierte Koordinaten q 1, q,..., q s. Sie stehen in einer bestimmten Beziehung zu den kartesischen Koordinaten: r ij = r ij (q 1,..., q s, t), mit i = 1,..., N, j = 1,, 3. In diesen Koordinaten sind die Lagrangefunktion und die Wirkung genauso definiert wie in kartesischen Koordinaten. Wiederum fordern wir δs = 0. Die Koordinatenfunktionen q i (t), welche diese Forderung erfüllen, finden wir als die Lösungen der Euler-Lagrange-Gleichungen: d L = L dt q i q i Es handelt sich dabei um Bewegungsgleichungen in beliebigen Koordinaten. Vorteile einer Formulierung der Mechanik durch ein Variationsprinzip sind: Das System ist vollständig durch eine skalare Größe L = T U beschrieben. Dabei ist die Beschreibung unabhängig von der Wahl der (generalisierten) Koordinaten. Eine transparente Diskussion von Symmetrien und Erhaltungssätze ist möglich, siehe Kapitel 3. Dieses Vorgehen kann auf andere Systeme verallgemeinert werden, zum Beispiel in der Feldtheorie. Beispiel: ein Pendel mit beweglicher Aufhängung Wir betrachten eine Masse m 1, die sich frei entlang der x-achse bewegen kann. Ihre Koordinaten sind somit x 1 = x, y 1 = 0. Die Geschwindigkeit des Massepunkts ist ẋ 1 = ẋ. An diesem Körper ist ein Seil fester Länge l befestigt, an dessen Ende eine zweite Masse m im Schwerefeld hängt. Mit ϕ bezeichnen wir den Winkel zwischen dem Seil und der y- Achse, entlang derer die Schwerkraft mit konstanter Beschleunigung g wirkt. Dann sind die Koordinaten des zweiten Körpers gegeben durch x = x + l sin ϕ und y = l cos ϕ. Die Geschwindigkeit ist ẋ = ẋ + l cos ϕ ϕ und ẏ = l sin ϕ ϕ. Wir treffen also die naheliegende Wahl von (q 1, q ) = (x, ϕ) als verallgemeinerte Koordinaten. In diesen müssen wir nun die Lagrangefunktion L = T U mit T = m 1 (ẋ 1 + ẏ1) + m (ẋ + ẏ) und U = m g y ausdrücken: L = m 1 + m ẋ + m (l ϕ + lẋ ϕ cos ϕ) + m gl cos ϕ. Nun liefern uns die Euler-Lagrange-Gleichungen in x und ϕ die Bewegung des Systems. 1

13 Allgemeine Eigenschaften der Lagrangefunktion Eichinvarianz, das heißt L(q, q, t) ist äquivalent zu L (q, q, t) = L(q, q, t)+ d f(q, t). dt Additivität: betrachten wir zwei Teilsysteme ohne Wechselwirkung, so ist ihre gemeinsame Lagrangefunktion die Summe der einzelnen Lagrangefunktionen. Ein freies Teilchen hat in einem Inertialsystem die Lagrangefunktion L = m r, wobei m > 0 gelten muss, sonst entsteht ein Widerspruch zum Prinzip der kleinsten Wirkung. Die Eichinvarianz hat zur Folge, dass die Beschreibung wie zuvor invariant unter Galilei-Transformation ist. Ein System von N freien Teilchen besitzt somit aufgrund der Additivität die Lagrangefunktion L = N m i i=1 r. Die Multiplikation mit einem beliebigen Faktor lässt die Euler-Lagrange-Gleichung invariant, deshalb sind nur Massenverhältnisse relevant (vergleiche Kapitel 1). Besteht eine Wechselwirkung zwischen den N Teilchen, so beschreiben wir diese durch ein Potential U( r 1,..., r #» N, t), das heißt die Lagrangefunktion ist L = T U = N i=1 m i r U( r1,..., r #» N, t). Dabei legt die Form von U die Klasse der betrachteten Systeme fest. Wir bezeichnen ein System als abgeschlossen, wenn U keine explizite Zeitabhängigkeit hat, das heißt U = 0. Das ist physikalisch äquivalent zu einer unendlich hohen Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wechselwirkung. Gleichbedeutend ist außerdem, dass t das System invariant unter Zeitumkehr t t ist. Das heißt, jede Bewegung läuft reversibel ab. Wenn also r i (t) eine mögliche Bewegung ist, so auch r i ( t). Diese Bemerkung führt uns direkt zum nächsten Kapitel über Symmetrien in der Physik. 13

14 3 Symmetrien und Erhaltungssätze Definition : Symmetrie Symmetrie bezeichnet die Invarianz unter bestimmten Transformationen. Beispiele: Diskrete Symmetrie: Die Normalparabel y = x ist invariant unter Spiegelung an der y-achse: x x = x y y = ( x) = x = y Kontinuierliche Symmetrie: Ein Kreis um den Ursprung mit Radius R (x + y = R ) ist invariant unter Drehungen um einen beliebigen Winkel ϕ, da die gedrehten Koordinaten x x = x cos ϕ y sin ϕ y y = x sin ϕ + y cos ϕ die Kreisgleichung x + y = R erfüllen. Symmetrien spielen eine zentrale Rolle in der Physik: Satz 1: Noether-Theorem Eine (kontinuierliche) Symmetrie impliziert eine Erhaltungsgröße. Bevor wir Symmetrien genauer studieren, betrachten wir allgemein ein abgeschlossenes System (d. h. L und U sind nicht zeitabhängig) der folgenden Form: L = L( r a, r a ) := T U = N m a r a=1 a U(ra ). Nun wechseln wir zu generalisierten Koordinaten q 1,..., q s. Jede der drei Koordinaten j des ursprünglichen Vektors r a stellen wir als Funktion der neuen Koordinaten q i dar: r aj = r aj (q 1,..., q s ), (a = 1,..., N, j = 1,, 3). 14

15 Ableiten nach der Kettenregel ergibt die Geschwindigkeit: ṙ aj = s k=1 r aj q k q k f 1 (q i ) q f s (q i ) q s. Somit nimmt die Lagrange-Funktion diese Form an: L = 1 s a ik (q) q i q k U(q). (1) i,k=1 }{{} =T Ohne Einschränkung können wir a ik = a ki voraussetzen, da alle Terme in der Summe von der Form (a 1 + a 1 ) q 1 q sind. Wir wollen die Summe für die kinetische Energie anders schreiben. Dafür benötigen wir Eulers Theorem über homogene Funktionen (unten) und folgende Definition: Definition 3: Homogene Funktion f(x k ) heißt homogene Funktion vom Grad n genau dann, wenn Beispiele: f(αx k ) = α n f(x k ). () homogen vom Grad : f = x 1 + x + x 3, f = x 1 + x 1 x + x nicht homogen: f = x 1 + x Wir leiten beide Seiten der Gleichung () nach α ab df(αx k ) dα = i x i f(αx k ) αx i () = nα n 1 f(x k ), multiplizieren mit α i αx i f(αx k ) αx i = nα n f(x k ) () = nf(αx k ) und ersetzen αx j durch x j : Satz : Eulers Theorem über homogene Funktionen Für eine homogene Funktion f(x k ) vom Grad n gilt: i x i f(x k ) x i = nf(x k ). (3) 15

16 Beispiel aus der Mechanik: In Gleichung (1) haben wir für die kinetische Energie T den Ausdruck 1 sj,k=1 a jk (q) q j q k erhalten. Dabei handelt es sich um eine homogene Funktion zweiten Grades in q i, weshalb mit dem Theorem von Euler folgt: s i=1 q i T q i = T. (4) 3.1 Energie Symmetrie: Homogenität der Zeit, Invarianz der Bewegungsgesetze unter t t + t 0. Wir betrachten ein abgeschlossenes System L = L(q i (t), q i (t)) = T (q i, q i ) U(q i ), d. h. es liegt keine explizite Zeitabhängigkeit vor ( t L = 0). dl dt = i ( d dt i L q i + L 3 ELG q i = q i q i i ) q i L q i L = 0. ( ) d L dt q i q i + L q i q i = i ( ) d L q i dt q i Definition 4: Energie Die Erhaltungsgröße ist die Energie: E := i L q i L = q i i q i T q i } {{ } T (T U) = T }{{} kin. Energie + }{{} U. (5) pot. Energie 3 Euler-Lagrange-Gleichung 16

17 3. Impuls Symmetrie: Homogenität des Raumes, Invarianz unter Verschiebung r a r a + b. Wir betrachten erneut ein abgeschlossenes System in kartesischen Koordinaten r a : L( r a, r a ) = T ( r a ) U( r a ) T ( r a ) U( r #» a1 r #» a ) L( r a + b, r a ) L( r a, r a ) = 4 b L a r wg. Invarianz = 0 a L a r = 0 ELG d L a dt a r = 0. a Definition 5: Impuls Die Erhaltungsgröße ist der Gesamtimpuls: P := a L r = a a m a r a = a mit dem einzelnen Impuls p a := m a r a. p a (6) Bemerkungen: 1. Aus der Defintion ist ersichtlich, dass ich die einzelnen Impulse additiv verhalten (auch bei Wechselwirkung).. 0 = a L r a = a U r a = a F a, d. h. die Summe aller Kräfte ist Null. Für zwei Teilchen ergibt sich das 3. Newton sche Axiom F 1 + F = 0 (actio = reactio). 3. In generalisierten Koordinaten L(q i, q i, t) (auch mit äußerem Feld) definiere: Generalisierter Impuls: p i = L q i. Generalisierte Kraft: F i = L q i. Falls L unabhängig von q k ist, d. h. L q k = 0, so ist L invariant unter q k q k + b. 4 Das Symbol = bedeutet in erster Näherung. 17

18 Man sagt, q k ist zyklisch. Aus der Euler-Lagrange-Gleichung folgt d L dt q k = 0. Der Impuls p k ist genau dann erhalten, wenn eine Symmetrie im System vorliegt. Beispiel: Ein Pendel mit beweglichem Aufhängepunkt ist invariant unter Verschiebung in x-richtung, deshalb ist der Impuls erhalten. 4. Wir wollen den Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems mit U = U( r 1 r ) in kartesischen Koordinaten definieren: Bewegt sich ein Inertialsystem IS mit konstanter Relativgeschwindigkeit V gegenüber IS, so gilt: v a = v a + V P = a m a va = a m a ( v a + V ) = P + V a Durch die Wahl von IS, sodass V a m a va = = d R, mit a m a ra R =, gilt a m a dt a m a P = 0. Wir bezeichnen IS als das Schwerpunktsystem. Im ursprünglichen System heißen V Geschwindigkeit des Schwerpunkts und R Koordinaten des Schwerpunkts. Der Impuls P = ( a m a ) V = M V, mit der Gesamtmasse M := a m a, ist analog zu p a = m a va. Es ergibt sich die Gesamtenergie: E = 1 a = 1 a = 1 a m a va + U = m a ( v a + V ) + U = m a ( v a + v a V + V ) + U = = E + P V + M V. m a. Wir definieren die innere Energie im Schwerpunktsystem als E in := E. Somit gilt E = E in + M V. 18

19 3.3 Drehimpuls Symmetrie: Isotropie des Raumes, d. h. Invarianz unter räumlichen Drehungen r a D r a = r a + δ r a. Definiere den Vektor δ ϕ parallel zur Drehachse (Rechtsschraube) mit δ ϕ = δϕ. Aus der Forderung ( r + δ r ) = r + r δ r! = r folgt r δ r = 0, d. h. δ r r, δ ϕ. Aus geometrischen Überlegungen (siehe nebenstehende Skizze) ergibt sich δ r = r sin ϑ δϕ und somit δ r = δ ϕ r bzw. δr i = ɛ ijk δϕ j r k. Da δϕ konstant ist, folgt direkt δv i = ɛ ijk δϕ j v k. Wir betrachten ein abgeschlossenes System, L invariant: δl = L(ri a + δri a, vi a + δvi a ) L(ri a, vi a ) = L δr a ri a i + L δv a vi a i = 0 ( ) d 0 = dt pa i ɛ ijk δϕ j rk a + p a i ɛ ijk δϕ j vk a d = δϕ j ɛ jki dt (ra k p a i ). Definition 6: Drehimpuls Die Erhaltungsgröße ist der (Gesamt-)Drehimpuls: L i := ɛ ijk rj a p a k bzw. (7) a L := r a p a = l a (8) a a mit dem einzelnen Drehimpuls l a := r a p a (additiv, auch bei Wechselwirkung). Bemerkungen: 1. Verschiebung des Koordinatenursprungs: r a = r a + b, L = a r a + b p }{{} a = L + b P. r a p a = p a Im Schwerpunktsystem gilt P = 0 L = L, unabhängig vom Koordinatenursprung. 19

20 . Wechsel des Inertialsystems IS IS : r a = r a + V t, L = a = a m a ra v a = m a ra v a + a = L + M R V + V P t. m a ra V + }{{} r a a V v a = v a + V m a V va t = Vom Impuls P = P + M V wissen wir: falls IS das Schwerpunktsystem ist, verschwindet der Gesamtimpuls, d. h. P = 0, also P = M V. Für den Drehimpuls gilt L = L + R P, siehe Abbildung: }{{} Energiedrehimpuls Rotierendes IS in IS betrachtet. 3. Zylindersymmetrie: Invarianz bezüglich Drehung um die z-achse: ϕ ϕ + δϕ d L dt ϕ ELG = L ϕ ϕ zyklisch = 0 = L ϕ ist erhalten. L = 1 m(ṙ + r ϕ + ż ) U L ϕ = mr ϕ = L z. 4. Noether-Theorem (allgemein): Für eine System, das durch die Lagrange-Funktion L beschrieben wird, gelte unter einer gewissen Transformation von q i und t: L(q i, q i, t) Trafo von q i, t L = L + d dt f(q i, t). Bei d dt f(q i, t) handelt es sich um einen Eichterm. Eine Lagrange-Funktion ist stets nur bis auf einen solchen Summanden eindeutig bestimmt. Deshalb sind L und L äquivalent, das heißt das System ist invariant unter der verwendeten Koordinatentransformation. Nun besagt das Noether-Theorem, dass es in einem solchen System eine Erhaltungssgröße Q gibt, für die gilt: d dt Q = 0 5. Unabhängige Bewegungskonstanten (= Erhaltungsgrößen): Für die Lagrange-Funktion L(q i, q i ) mit i = 1,..., s liefert die ELG d dt L q i L q i = 0 0

21 s Differentialgleichungen. Ordnung in t, d. h. es gibt s Integrationskonstanten: q i (t) = q i (t t 0, c 1,..., c s 1 ). In einem abgeschlossenen System ist der Zeitnullpunkt t o beliebig. Dies entspricht einer Konstanten, somit bleiben noch s 1 unabhängige Konstanten. Beispiel: Kräftefreie Bewegung entlang der x-achse. L = m ẋ ELG ẍ = 0 ẋ(t) = c 1 x(t) = c 1 t + c (mit c = c 1 t 0 ) x(t) = c 1 (t t 0 ). Da s = 1, gibt es (s 1 = 1) eine Konstante: c 1 = ẋ = v. Aus der Transformations- Invarianz unter t folgt E = m v, die Invarianz unter x impliziert p = mv. Das heißt, beide sind erhalten, aber nicht unabhängig voneinander. 3.4 Skalenverhalten der Bewegungsgleichungen Definition 7: Skalentransformation Eine Skalentransformation ist eine Koordinatentransformation der Form: r a r a = α r a und t t = βt. (9) Beispiel: Freier Fall. x = g t x = g ( t αx = β g ) t. Für α = β erhalten wir eine reskalierte Lösung der Bewegungsgleichung. Aus (9) folgt: v a = d r a v a = α v a dt β kinetische Energie T T = α β T. Unter der Annahme, U ist homogen vom Grad k, d. h. U( r a ) U(α r a ) = α k U( r a ) gilt: L = T U L = T U = α β T αk U = α k L, falls α β = αk bzw. β = α 1 k/. Es folgt, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen unverändert bleiben, somit sind die Bahnen geometrisch ähnlich, siehe Abbildung 1. 1

22 Abbildung 1: Ähnliche Bahnkurven sind bis auf die Skalierung identisch. Transformation verschiedener Größen: Beispiele: l l = α t v v = α ( l β = l L ( l L = l ) k E ) k k = 1 (freier Fall) t t = ( l l ) 1. ( t = β = k l αβ = l ( ) l k E =. k = (harmonischer Oszillator) t t = k = 3 (Gravitation, 3. Keplersches Gesetz) t t = l ( l l ) 3. ) 1 k Nun wollen wir für diese mechanischen Systeme Aussagen über das Verhältnis von kinetischer zu potentieller Energie treffen. Da die betrachteten Systeme abgeschlossen sind, ist die Summe dieser beiden Größen konstant. Deshalb ist es sinnvoll, den mittleren statt des momentanen Werts zu untersuchen. Wir definieren: Definition 8: Arithmetisches Mittel einer Funktion Der zeitliche Mittelwert einer Größe f ist 1 τ f := τ lim f(t)dt. (10) τ 0 Daraus lässt sich direkt schließen, dass falls f(t) = d dt F (t) und tf (t) beschränkt ist: f = lim τ F (τ) F (0) τ = 0. (11)

23 Wir wissen bereits, dass die kinetische Energie homogen vom Grad ist, also T (4) = a r T a r a (6) = a r a pa part. Integr. = ( ) d r a pa dt a a Wenn a r a pa beschränkt ist, gilt analog zu Gleichung (11): Daraus folgt der Virialsatz. Satz 3: Virialsatz (lat. vis : Kraft) r a p a. d dt ( a r a pa ) = 0. In einem abgeschlossenen mechanischen System gilt folgende Beziehung zwischen dem zeitlichen Mittelwert der kinetischen (T ) und potentiellen Energie (U): T = a r ELG a pa = a r U a r (1) a Für ein Potential U, welches homogen vom Grad k ist (U(α r a ) = α k U( r a )) folgt aus dem Euler-Theorem U a r a r a = ku, also T = ku. Da die Gesamtenergie eine Erhaltungsgröße ist, gilt E = T + U = E. Damit erhält man die vereinfachte Form des Theorems: Satz 4: Virialsatz für ein homogenes Potential In einem abgeschlossenen mechanischen System mit Potential U homogen vom Grad k gelten Beispiele: T = ku, U = k + E und T = 1. Harmonischer Oszillator: k = : k k + E. (13) T = U = 1 E. (14). Gravitation: k = 1: T = U, E = T + U = T < 0 gebundenes System. 3

24 4 Bewegung im Zentralfeld 4.1 Zweikörperproblem Abbildung : Zwei Körper üben gegenseitig eine (anziehende) Kraft aufeinander aus. Für ein Zweikörperproblem wie in Abbildung ist die Lagrange-Funktion L = T U = m 1 r m 1 + r U( r1 r ). Wir definieren die Schwerpunktskoordinaten R := m 1 r 1 + m r m 1 + m und die Relativkoordinaten r := r 1 r, r := r. Somit gilt: r 1 = R m + r und r = R m 1 r. m 1 + m m 1 + m Dadurch lässt sich die Lagrange-Funktion folgendermaßen ausdrücken: L = m 1 + m R + 1 m 1 m r U(r). m 1 + m Es folgt, dass R zyklisch sowie R(t) gleichförmig ist. Wir können die Euler-Lagrange- Gleichungen für R und r entkoppeln und getrennt voneinander lösen. Daraus folgt unmittelbar R = 0, d. h. der Gesamtimpuls ist erhalten. Nun betrachten wir nur noch die Euler-Lagrange-Gleichung für r. Zur weiteren Vereinfachung definieren wir: Definition 9: Reduzierte Masse Als reduzierte Masse zweier Massen m 1 und m bezeichnet man m := m 1 m m 1 + m 1 m = 1 m m. (15) m Sie ist symmetrisch (in m 1 und m ) und m = m 1 < m 1 (deshalb reduziert ). m 1 + m }{{ } <1 Es ergibt sich die Lagrange-Funktion in den Relativkoordinaten r : L = m r U(r). Dadurch haben wir das Zweikörperproblem zurückgeführt auf die Bewegung eines Teilchens r mit reduzierter Masse m im äußeren Potential U(r). 4

25 4. Lösung der Bewegungsgleichung Definition 10: Zentralkraftfeld U(r) heißt Zentralfeld oder Zentralpotential, wenn es nur vom Abstand r abhängt. Der (euklidische) Abstand ist r = x + y + z. Ableiten nach der x-koordinate liefert r = x. Dies x r gilt analog auch für y und z. Es folgt r = r. r r Damit ist in einem Zentralfeld die Kraft als negativer Gradient des Potentials F = U(r) = du r zum r dr r Abstand r invers proportional. Die Isotropie des Raumes impliziert die Drehimpulserhaltung, was wir durch die Lagrangefunktion überprüfen können (siehe unten). Aus l = r p = const. und r l folgt, dass die Bahn r (t), auf der sich das Teilchen bewegt, in einer Ebene verläuft. (Den Spezialfall, dass l = 0, somit r p, d. h. die Bewegung geradlinig durchs Zentrum verläuft, betrachten wir hier nicht.) Durch die Verwendung von Polarkoordinaten (x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = 0) erhält die Lagrange-Funktion diese Form: L = m r U( m r ) = (ṙ + r ϕ ) U(r). Diese Funktion ist nicht explizit von ϕ abhängig, d. h. ϕ ist zyklisch. Also folgt aus der Euler-Lagrange-Gleichung direkt L ϕ = mr ϕ = l z =: l = const. Wir haben erneut gezeigt, dass der Drehimpuls erhalten ist. 5

26 Bemerkungen: Fläche unter dem Fahrstrahl (siehe Abbildung 3): da = 1 da (r r)dϕ = Ȧ = dt = 1 r ϕ = l m = const. Dieses Ergebnis, dass r (t) in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht, wird als Flächensatz bezeichnet und ist die Aussage des. Keplerschen Gesetzes. Abbildung 3: Die vom Fahrstrahl eingeschlossene Fläche da zwischen den Zeitpunkten t und t + dt. Die (ersten) Bewegungsintegrale l, l, und E ( L t = 0) sind erhalten, d. h. ihre Werte bleiben konstant und hängen nur von den Anfangsbedingungen ab. Wir fassen diese Erhaltungsgrößen zusammen: E = m (ṙ + r ϕ ) + U(r) l = mr ϕ E = m ṙ + l + U(r) (16) mr Definition 11: Effektives Potential E = m ṙ + U eff (r). (17) Das effektive Potential ist die Summe von Zentral- und Zentrifugalpotential: U eff (r) := U(r) + Damit erhalten wir eine eindimensionale Bewegung. l mr. (18) 6

27 Abbildung 4: Schematische Darstellung des effektiven Potentials eines 1 r -Potentials Wir betrachten nun ein attraktives 1 -Potential, z. B. ein Gravitationspotential. Dann hat r das effektive Potential die in Abbildung 4 dargestellte Form. An den Schnittpunkten der Äquipotentiallinien E 1//3/4 mit dem Potential U eff, den Umkehrpunkten, gilt E = U eff (r) ṙ = 0 (aber i. A. ϕ 0). Gibt es genau einen Schnittpunkt wie in E 1, so ist die Bewegung infinit und die Bahn ungebunden. Das bedeutet, ein Körper fliegt am anderen Körper vorbei und entfernt sich anschließend von diesem (Abb. 5). Der Fall E = 0 beschreibt einen Sonderfall davon. Gibt es hingegen zwei Umkehrpunkte wie in E 3, so umkreisen sich die Körper gegenseitig (Abb. 6). Man spricht von einer finiten Bewegung, wenn alle Bahnen für beliebige E und l geschlossen sind. Dies ist nur im Fall U r 1 oder U r möglich. Außerdem muss ϕ (siehe Gleichung unten) ein rationales Vielfaches von π sein. Der Fall E 4 mit r = const. entspricht dem Spezialfall einer Kreisbahn. Abbildung 5: Die infinite Bewegung zum Niveau E 1. Abbildung 6: Die finite, rosettenförmige Bewegung zum Niveau E 3. 7

28 Um die Lösung der Bewegungsgleichung eines Teilchens im Zentralfeld zu erhalten, formen wir die beiden Gleichungen aus (16) um: dt = ± dϕ = dr (E U(r)) l m l mr dt., (19) m r Daraus ergibt sich r(t) und ϕ(t) (monoton steigend). Durch Auflösen nach dt und Gleichsetzen erhält man die Bahn r = r(ϕ) aus (0) ϕ = ± l dr r + const. (1) m(e U(r)) l r Dies ist die allgemeine Lösung. Damit haben wir das Problem auf Quadraturen reduziert, also praktisch gelöst. Der Vorzeichenwechsel findet in den Umkehrpunkten statt, siehe Abbildung 7. Aus Gleichung 1 berechnen wir die Winkeländerung bei einer finiten Bewegung von r max nach r min und zurück. Dafür verwenden wir, dass die Bahnabschnitte symmetrisch sind unter ϕ ϕ, d. h. wir können von einem Bahnabschnitt zwischen r min und r max bereits auf die komplette Bahn schließen: rmax ϕ = f(r) dr, mit f(r) = r min l/r () m(e U(r)) l r Abbildung 7: Der Vorzeichenwechsel in ϕ beim Durchlaufen der Bahn. 8

29 4.3 Kepler-Problem Das Potential hat, wie in Abbildung 4, die Form U(r) = α r, α > 0, (3) U eff (r) = α r + l mr. (4) Das Integral in Gleichung 1 bezeichnen wir mit I. Um es zu berechnen, verwenden wir die Substitution u = 1 dr du = : r r l du I = m(e U(1/u)) l u = du me + mα u = l l = du c1 + c u + c 3 u, mit c 1 = me l, c = mα l, c 3 = 1. Aus der Mathematik ist bekannt: d arccos x 1 =. Daraus folgt die Lösung: dx 1 x I = 1 arccos c mα + c 3 u = arccos l r c3 c 4c 1 c 4m α me l 4 l l = arccos 1 ( p mαr = arccos 1 ) r. 1 + El e mα Im letzten Schritt verwenden wir die Exzentrizität der Bahn e := 1 + El mα und den Parameter der Bahn p := l mα. Dadurch ergibt sich die Bahngleichung: p r = 1 + e cos ϕ Das bedeutet, die möglichen Bahnen entsprechen Kegelschnitten mit dem Brennpunkt im Ursprung: (5) (6) (7) E > 0 = 0 < 0 = (U eff ) min e > 1 = 1 < 1 = 0 Hyperbel Parabel Ellipse Kreis Der Punkt des kürzesten Abstands r min zum Ursprung ist das Perihel. Aufgrund der Wahl der Integrationskonstante wird r = r min genau bei ϕ = 0 erreicht. 9

30 Nun wollen wir die vier möglichen Bahnen einzeln studieren. Fall e = 0: Das effektive Potential U eff = α r + mr l l ist minimal, d. h. du eff dr = α r l mr 3! = 0. Auflösen nach r liefert r = = p = const. (siehe die Definition von p in (6)), d. h. mα der Radius ist konstant: es handelt sich um eine Kreisbahn. Wegen ṙ = 0 impliziert Gleichung 17: U eff (p) = mα = E. Einsetzen in die Definition der Exzentrizität (5) l ergibt e = 0. Fall e < 1: Wir wollen nachweisen, dass die Bahn eine Ellipse beschreibt, wie es das 1. Keplersche Gesetz vorhersagt. Die Bahn hat nach Gleichung 7 in Polarkoordinaten die Form r(ϕ) = p 1 + e cos ϕ. Den Punkt der kürzesten Entfernung vom Zentralgestirn r(0) = p 1 + e = a(1 e) = r min bezeichnen wir als Perihel, den Punkt der größten Entfernung r(π) = p 1 e = a(1 + e) = r max als Aphel. Mit der Beobachtung r( π ) = p können wir die große und kleine Halbachse berechnen: a = b = p 1 e = α E, p 1 e = (8) l m E. (9) Man beachte, dass der Wert der großen Halbachse a unabhängig vom Drehimpuls l ist. Wir erhalten die Darstellung einer Ellipse in kartesischen Koordinaten (Abb. 8). 30

31 Abbildung 8: Eine ellipsenförmige Bahn in kartesischen Koordinaten. Für e 1 gilt a = b = p (bis auf Terme der Ordnung e ), aber der Abstand vom Kraftzentrum zum Kreismittelpunkt ist gegeben durch ae, hängt also von e nur in erster Ordnung ab. Damit ergibt sich eine Perihelverschiebung wie in Abbildung 9. Wir berechnen mit Gleichung den Winkel eines kompletten Bahndurchlaufs rmax ϕ = f(r)dr = r [ min ( p r = arccos 1 [ = arccos = π. ( e e )] rmax e ) ( e arccos = e)] r min = Demnach ist die Bahn trotzdem geschlossen. Abbildung 9: Der Mittelpunkt ist verschoben, aber die Bahn ist kreisförmig. Sei nun die Umlaufzeit T. Die Flächengeschwindigkeit ist Ȧ = l = const. Integration m liefert A = l T. Aus der Geometrie ist für den Flächeninhalt einer Ellipse die Formel m A = πab bekannt. Daraus folgt: T = mπab = mπ α l m m l l E m E = πα E = π 3 α a3/ T a 3. Dies entspricht dem 3. Keplerschen Gesetz. Außerdem ist die Umlaufzeit T (E) unabhängig vom Drehimpuls l. Betrachten wir das System nochmal als -Körper-Bewegung im Schwerpunktsystem ( R = 0), dann beschreiben die Bahnen r 1 = m m 1 +m r und r = m 1 m 1 +m r ebenfalls Ellipsen. Falls m deutlich größer als m 1 ist, folgt näherungsweise r 1 = r und r = 0. Diese Näherung ist für das Sonnensystem zweckmäßig, aber nicht für z. B. Doppelsternsysteme, bei denen die beiden Massen von der gleichen Größenordnung sind. 31

32 Fall e = 1: Wir wollen nachweisen, dass es sich um eine Parabel handelt. Die Bahn ist r = p 1 + cos ϕ. Dann ist der minimale Abstand r min = p/, allerdings ist der Abstand nach oben unbeschränkt. Wir transformieren die Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten durch x = r sin ϕ und y = p r cos ϕ. Dadurch ergibt sich eine Parabelform: py = p p cos ϕ 1 + cos ϕ = = p 1 cos ϕ 1 + cos ϕ = = p sin ϕ (1 + cos ϕ) = = x y = x p Abbildung 10: Der Spezialfall einer ungebundenen Bahn: die Parabel. Fall e > 1: Die Bahn ist eine Hyperbel mit dem minimalen Brennpunktabstand r min = wobei gilt a = p 1 + e p e 1 = α E. a(e 1), Abbildung 11: Die allgemeine ungebundene Bahn: die Hyperbel. 3

33 Spezialfälle: Im Fall der Ellipsenbahn (E < 0), wollen wir die Zeitabhängigkeit betrachten: r = a(1 e cos ξ), t = cos ϕ (7) = 1 ( e Wir zeigen, dass das stimmt: dr dξ dt dξ = = ae sin ξ dt = ma 3 r α a ma 3 (ξ e sin ξ) für 0 < ξ < π bzw. 0 < t < T α ) p a(1 e cos ξ) 1 ma α rdr a e (r a), analog zu (19) mit der Exzentrizität e (5) und der großen Halbachse a (8). Im Fall eines abstoßenden Potential U = α r p r p = = 1 + e cos ϕ l m α, mit α < 0 gilt: das heißt, es ist nur E > 0 bzw. e > 1, erlaubt. Wie erwartet, sind nur ungebundene Bahnen, d. h. Hyperbeln, möglich. Dies erkennt man auch daran, dass das effektive Potential U eff kein Minimum annimmt, siehe nebenstehende Grafik. Im Fall des 1/r-Potentials definieren wir den Lenz-Runge-Vektor: Q := p r l mα r, ( l = r p ). d Dies ist eine Erhaltungsgröße, d. h. Q = 0. Der Vektor beschreibt die Periheldt Richtung. Das bedeutet, (nur) beim 1/r-Potential ist das Perihel konstant. Außerdem erfüllt der Vektor die Bedingungen l Q = 0 und Q = m α + mel = m α e. (30) Wir wissen, es gibt s 1 unabhängige Erhaltungsgrößen. Mit den drei Freiheitsgraden r x, r y, r z gilt s = 3, also s 1 = 5. Allerdings entsprechen E, l, Q schon 7 Erhaltungsgrößen. Abzüglich der beiden Bedingungen in (30) ergeben sich die vorhergesagten 5 unabhängigen Größen. 33

34 4.4 Streuung In diesem Kapitel studieren wir die Streuung von zwei Teilchen unter der Annahme, dass der Stoß elastisch verläuft. Definition 1: Elastischer Stoß Ein Stoß heißt elastisch, wenn sich die inneren Energien der Stoßpartner nicht ändern. Wir betrachten die Situationen zunächst im Schwerpunktsystem, d. h. R = 0, mit r = r1 r, r 1 = m m 1 + m r, r = m 1 m 1 + m r und den Geschwindigkeiten v = v #» 10 v #» 0 = r, #» v 10 = m m 1 + m v, #» v 0 = m 1 m 1 + m v. Dabei zeigt der Index 0 an, dass wir uns im Schwerpunktsystem befinden. Es gilt die Impulserhaltung, d. h. wenn vorher p #» 10 + p #» 0 = 0 gilt, so impliziert dies p #» 10 + p #» 0 = 0 nachher. Größen nach dem Stoß bezeichnen wir mit einem Strich. Wir nehmen an, dass für t = ± keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen vorliegt. Das bedeutet, in großer zeitlicher Entfernung vor und nach dem Stoß verfügen die Stoßpartner nur über kinetische Energie und nicht über potentielle Energie. Deshalb folgt aus der Energieerhaltung: p #» 10 = p #» 0 = p #» 10 = p #» 0. Bei einem elastischen Stoß ändern sich die Massen nicht, also gilt auch: v 10 = v 10, v 0 = v 0. Wir führen einen Einheitsvektor n 0 ( n 0 = 1) ein, sodass gelten: #» v 10 = m m 1 + m v n 0, #» v 0 = m 1 m 1 + m v n 0. Wir wollen nun ein Laborsystem wählen, welches die weiteren Rechnungen vereinfacht. Dafür erinnern wir uns zunächst, dass allgemein die Schwerpunktgeschwindigkeit gegeben ist durch V = m 1 v 1 + m v. Dann gilt nach dem Stoß v m 1 = v n 0 + V und m 1 + m m 1 + m v = m 1 v n 0 + V. m 1 + m 34

35 Multiplizieren wir die Geschwindigkeiten mit den Massen m 1 bzw. m, so erhalten wir die Impulse: p 1 = +mv n }{{ 0 + m 1 ( p } 1 + p ), m #» 1 + m 0C }{{} #» A0 p = mv n }{{ 0 + m ( p } 1 + p ) m #» 1 + m C0 }{{} #» 0B Skizze mit der reduzierten Masse m = m 1m. m 1 + m Außerdem ist AB #» = p 1 + p = p 1 + p. Das Laborsystem wählen wir so, dass p = 0, d. h. die Masse ruht vor dem Stoß. Dann gilt v 1 = v und damit 0B #» = 0B #» = 0C #» und A0 #» 0B #» = m 1. m m m 1 + m m 1 v1 = m v sowie #» 0C = mv n 0, also Für m 1 > m ergibt sich nach dem Stoß die links dargestellte Situation im Laborsystem des leichteren Teilchens. Die Ablenkwinkel in der Grafik beschreiben: χ: Teilchen 1 im Schwerpunktsystem ϑ 1 : Teilchen 1 im Laborsystem ϑ : Teilchen im Laborsystem Aufgrund der Wahl des Laborsystems, befindet sich das System nach dem Stoß in der links abgebildeten Situation. 35

36 Die Geometrie des elastischen Stoßes. Wir betrachten die nebenstehend dargestellten geometrischen Überlegungen. Es handelt sich bei 0BC um ein gleichseitiges Dreieck ( 0B #» = 0C ) #» mit 0BC = BC0 = ϑ. Daraus folgt einerseits tan ϑ 1 = = CP #» #» A0 #» + 0P #» = 0C sin χ A0 #» + 0C #» cos χ = 0B #» #» sin χ A B #» A0 #» cos χ = und außerdem ϑ = π χ. m sin χ m 1 + m cos χ (31) Wir unterscheiden drei Fälle: m 1 > m : ϑ 1 + ϑ < π ; ϑ 1 ϑ max ; sin ϑ max = m m 1. m 1 < m : ϑ 1 + ϑ > π ; ϑ 1 beliebig. m 1 = m : ϑ 1 + ϑ = π, also ein rechtwinkliger Stoß. Aus ϑ = π χ folgt ϑ 1 = χ. Mit Hilfe der Abbildung 1 erkennt man: v 1 = v cos χ und v = v sin χ #». Es gilt A0 = 0B, #» d. h. alle drei Punkte A, B, C liegen auf einem Kreis um den Ursprung 0. Abbildung 1: Elastischer Stoß mit gleichen Massen. Wir betrachten zwei Grenzfälle für χ mit beliebigen Massen: χ = 0 : p 1 = p 1, p = p = 0, d. h. es findet kein Stoß statt. χ = π: zentraler Stoß, Rückwärtsstreuung im Schwerpunktsystem. m 1 v1 = p 1 = m m 1 v + m m 1 m 1 v = m 1 v m 1 + m m 1 + m v 1 = m 1 m m 1 + m v v = m 1 m 1 + m v. Im Fall m 1 = m folgt v 1 = 0 und v = v, d. h. das erste Teilchen hat seinen Impuls komplett auf den Stoßpartner übertragen. 36

37 Berechnung des Ablenkwinkels χ Zur Berechnung des Winkels χ im Schwerpunktsystem (vgl. Abb. 13) beobachten wir zunächst, dass er dem Ablenkwinkel χ im reduzierten Einkörperproblem (vgl. Abb. 14) entspricht. Der Verbindungsvektor r zwischen den beiden Stoßpartnern rotiert um χ = π χ. Diesen Winkel χ bezeichnen wir als Streuung um χ. Zunächst betrachten wir den Stoß als reduziertes Einkörperproblem. In den Abbildungen wirkt das Potential abstoßend, deshalb gilt χ = π ϕ 0. Bei einem anziehenden Potential würde χ = ϕ 0 π gelten. Den Abstand b nennen wir Stoßparameter. Nun berechnen wir mit Gleichung den Winkel Abbildung 13: Ablenkwinkel χ im Schwerpunktsystem. ϕ 0 = r min l dr r. m(e U(r)) l r Aufgrund des Zusammenhangs E = m v und l = mv b können wir die Energie E sowie den Drehimpuls l durch die Geschwindigkeit im Unendlichen v und den Stoßparameter b ersetzen. Damit ergibt sich: ϕ 0 = r min b dr r 1 b U(r) r E. Abbildung 14: Einkörperproblem zur Beschreibung der Ablenkung. Das bedeutet, χ = π ϕ 0 = χ(b) hängt nur vom Stoßparameter b ab. Wir nehmen an, dass es auch einen umgekehrten Zusammenhang b = b(χ) gibt. Der Wirkungsquerschnitt σ Um den Stoß nun auch im Dreidimensionalen betrachten zu können, führen wir zunächst Polarkoordinaten ein (Abb. 15). Das Problem ist rotationssymmetrisch entlang der horizontalen Achse (Abb. 16). In diesen Koordinaten entspricht der Raumwinkel dem Flächenelement auf der Einheitskugel: d Ω = sin ϑ dϑ dϕ. Aufgrund der Isotropie können wir ϕ einfach über den kompletten Kreisumfang von 0 bis π integrieren und erhalten dω = π sin ϑ dϑ. (3) 37

38 Abbildung 15: Stoß in der Ebene. Abbildung 16: Stoß in drei Dimensionen. Eine weitere Integration nach ϑ liefert den vollen Raumwinkel: Ω = π 0 π sin ϑ dϑ = π cos ϑ π 0 = 4π. (33) Wir definieren den (differentiellen) Wirkungsquerschnitt dσ := dn j. Dabei bezeichnet j die Intensität, d. h. die Anzahl der einlaufenden Teilchen pro Zeit und Fläche (senkrecht zur Bewegungsrichtung). dn ist die Zahl in dω gestreuter Teilchen pro Zeit. Abbildung 17: Fliegt ein Teilchen durch den linken Ring, wird es unter dem angedeuteten Winkel rechts gestreut. Nehmen wir nun an, dass b(χ) monoton ist. Das bedeutet, nur Teilchen mit einem Stoßparameter im Intervall [b, b + db] werden unter einem Winkel im Intervall [χ, χ + dχ] gestreut. Daraus folgt dn = π b db j (Anzahl der Teilchen, die durch eine Kreisscheibe der Dicke db fliegen) und somit dσ = dn j = π b db = π b(χ) db(χ) dχ dχ (3) = b(χ) sin χ 38 db(χ) dχ dω, (34)

39 wobei wir im letzten Schritt Gleichung 3 verwenden, mit χ statt ϑ und nach dϑ bzw. dχ umgestellt. Das geht, da im Schwerpunktsystem ϑ = χ gilt. Abbildung 18: Teilchen mit kleinerem Stoßparameter werden stärker abgelenkt. Abbildung 19: Es gilt ϑ [0, π]. 39

40 Beispiel: Streuung an einer harten Kugel mit Radius a. Das Zentralpotential ist in diesem Fall sehr einfach: U(r) = Der Stoßparameter lässt sich geometrisch berechnen (siehe Abbildung rechts): b = a sin ϕ 0 = a sin π χ = a cos χ, db dχ = a sin χ. Dies setzen wir in (34) ein: dσ = b(χ) sin χ = a cos χ sin χ db(χ) dχ dω = a sin χ a dω = 4 dω. Damit ist der differentielle Wirkungsquerschnitt dσ dω = a 4, {, r < a, 0, r > a. d. h. die Streuung im Schwerpunktsystem ist isotrop. Durch Integration erhalten wir den totalen Wirkungsquerschnitt σ = dσ dω dω. Er entspricht der Größe der effektiven Fläche, auf die ein Teilchen treffen muss, damit eine Ablenkung stattfindet. Für dieses Beispiel berechnen wir: σ = dσ (33,35) dω = a dω 4 4π = πa, also die Fläche des Kugelquerschnitts. Um den Wirkungsquerschnitt im Laborsystem herauszufinden, rechnen wir mit der Formel aus Gleichung 31 den Winkel χ in ϑ 1 um. Dann folgt das Ergebnis aus dσ = dσ dω dω 1 dω dω 1 mit dω = π sin χ dχ und dω 1 = π sin ϑ 1 dϑ 1. (35) (36) 40

41 Rutherford-Streuung Eine wichtige Anwendung der in diesem Kapitel erarbeiteten Theorie ist das Experiment von Rutherford. Dabei werden (zweifach positiv geladene) Helium-4-Kerne auf eine Goldfolie geschossen. Die Wechselwirkung findet zwischen den Helium-Kernen und (ebenfalls positiv geladenen) Atomkernen der Goldfolie statt. Aufgrund des Coulomb-Felds besteht ein Potential U = α r mit α < 0. Anstelle der Betrachtung im Schwerpunktsystem, fassen wir diesen Stoßprozess (äquivalent) als reduziertes Ein-Körper-Problem wie in Abbildung 14 auf. Dafür kennen wir bereits die Bahngleichung 7: p = 1 + e cos ϕ r mit Exzentrizität e = 1 + El > 1 (5). Die Stoßpartner haben den kürzesten Abstand mα r = r min für ϕ = 0. Um den Stoßparameter b herauszufinden, berechnen wir den Winkel ϕ 0, der sich ergeben würde, wenn die Entfernung der Teilchen unendlich groß wäre (Limes r ). Im Grenzfall verschwindet der Quotient p 0 und aus der Bahngleichung r wird 1 = e cos ϕ 0. Wir berechnen cos ϕ 0 = 1 e = 1 = 1 + El mα α mv b 1 + ( α mv b ). Im letzten Schritt verwenden wir E = m v und l = mv b. Mit den mathematischen Identitäten tan = sin cos und sin + cos = 1 folgt tan ϕ 0 = sin ϕ 0 cos ϕ 0 = 1 cos ϕ 0 cos ϕ 0 = m v 4 α b. finden wir den zentralen Zusam- Unter Verwendung von ϕ 0 = π χ und tan π χ = cot χ menhang zwischen Stoßparameter und Ablenkwinkel: b = α mv cot χ Wir beobachten: χ 0 = b, χ π = b 0. Um ins Schwerpunktsystem zu wechseln, verwenden wir Gleichung 34: dσ dω = b(χ) sin χ db(χ) dχ. 41

42 Mit der Ableitungsregel d cot χ dχ = 1 1 sin χ sowie der Umformung cot χ sin χ = cos χ sin χ sin χ cos χ = 1 1 sin χ, (hier wurde cot = cos sin dσ dω = α 4 m v 4 und die trigonometrische Identität (43, unten) verwendet) folgt 1 sin 4 χ. Bei dem Rutherford-Experiment ist das Target (Goldatome, m ) deutlich schwerer als das Projektil (Heliumkerne, m 1 ). Deshalb entspricht die reduzierte Masse m näherungsweise der Projektilmasse (m = m 1 ), die Stoßwirkung auf das Target kann vernachlässigt werden. Damit entspricht der Ablenkwinkel des leichteren Teilchens dem Ablenkwinkel im Schwerpunktsystem: χ = ϑ 1. Aus dieser Beobachtung folgt mit der kinetische Energie des Projektils E 1 = m 1 v die Rutherford-Formel: dσ dω 1 = α 16 E 1 1 sin 4 ϑ (37) 1 Diese Formel gilt sowohl für ein anziehendes (α > 0), als auch ein abstoßendes Coulomb- Feld (α < 0). Wenn wir den totalen Wirkungsquerschnitt nach Gleichung 36 berechnen: σ = dσ dω 1 dω 1, so stellen wir fest, dass das Integral aufgrund des Terms sin 4 ϑ 1 im Nenner divergiert. Das lässt sich mit der unendlichen Ausbreitung des Coulomb-Felds U(r) 1 r erklären. Für die Praxis stellt die Unbestimmtheit des Integrals allerdings kein Problem dar, da es sich um eine Idealisierung handelt, die lediglich nah am Atomkern gültig ist. Durch die Elektronen in der Hülle wird das elektrische Feld der Goldkerne abgeschirmt, also besteht außerhalb der Goldfolie kein Potential. In der Nähe des Kerns ist die Wirkung der Elektronen bei diesem Experiment vernachlässigbar. Ein zentrales Ergebnis aus dem Rutherford-Versuch ist die Beobachtung, dass Rückwärtsstreuung auftritt. Bei einer homogenen Massenverteilung im Atom wäre das nicht (oder weniger stark) der Fall. Deshalb muss der positiv-geladene Atomkern sehr schwer sein. Durch die Variation von ϑ 1 lässt sich die Rückstreuung unter verschiedenen Winkeln konkret messen. So ergibt sich bspw. für ϑ 1 = π der endliche Wirkungsquerschnitt dσ dω = α. 16 E1 Aus diesen Berechnungen kann, zusammen mit den Informationen über die einlaufenden und auslaufenden Teilchen, das Potential im Atom untersucht werden. Deshalb handelt es sich um ein Schlüsselexperiment bei der Erforschung des Aufbaus von Atomen. 4

43 5 Kleine Schwingungen 5.1 Eindimensionale Schwingungen Zunächst betrachten wir ein abgeschlossenes System mit einer generalisierten Koordinate q. Die Lagrangefunktion für dieses System ist L = 1 a(q) q U(q). Wir nehmen an, es gibt eine Gleichgewichtslage bei q 0, d. h. (q q 0) = 0. Also ist ei- U ne mögliche Lösung der Bewegungsgleichung q(t) = q 0 = const. Die konstante Lösung ist allerdings nicht sonderlich interessant, deshalb betrachten wir im Folgenden kleine Auslenkungen um dieses Minimum. Diese Auslenkung beschreiben wir durch die neue Koordinate x := q q 0. Die Geschwindigkeit ist ẋ = q. Schematische Darstellung eines Potentials Nun entwickeln wir das Potential um die Gleichgewichtslage: U(q) = U(q 0 ) }{{} irrelevant + U q (q 0)x }{{} =0 + 1 U q (q 0)x }{{} =: k x +O(x 3 ), wobei x so klein sein soll, dass wir die Terme der Ordnung x 3 vernachlässigen können. Wir betrachten den verbleibenden kinetischen Term: 1 a(q) q = 1 a(q)ẋ = 1 a(q 0)ẋ + O(xẋ ). }{{}}{{} =: m x vernachlässigbar Daraus ergibt sich die allgemeine Lagrangefunktion des harmonischen Oszillators für kleine Auslenkungen in einer Koordinate: L = m ẋ k x (38) Bemerkungen: Falls x kartesisch ist, so handelt es sich bei m um die Masse, andernfalls um einen analogen Parameter. Durch Ableiten des Potentials U(x) = k x erhalten wir die Kraft F = U x = kx. Dieser lineare Zusammenhang zwischen Kraft F und Auslenkung x wird als Hooke sches Gesetz bezeichnet. Das negative Vorzeichen kommt daher, dass die Gleichgewichtslage stabil ist, somit wirkt die Kraft zurückstellend. 43

44 Die Konstante k bezeichnet man als Federkonstante. Sie ist notwendigerweise positiv, da sie definiert ist als k = U und dieser Ausdruck ist bei einem stabilem Gleichgewicht größer als null. Ansonsten wäre es ein q Widerspruch zur Annahme, dass x eine kleine Auslenkung ist. Aus der Euler-Lagrange-Gleichung erhalten wir die Bewegungsgleichung: mẍ + kx = 0 ẍ + ω x = 0 Kreisfrequenz ω := k m. Es handelt sich um eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung in x mit konstanten Koeffizienten. Zur Lösung verwenden wir den Exponentialansatz x e λt. Es folgt: e λt (λ + ω ) = 0 λ = ω λ = ±iω. Daraus ergibt sich die allgemeine Lösung: x(t) = c 1 e iωt + c e iωt (39) Wir erhalten andere, reelle Basisfunktionen durch die eulerschen Formeln 1 ( e iωt + e iωt) = cos ωt und 1 ( e iωt e iωt) = sin ωt. i In dieser Basis ist die allgemeine Lösung: x(t) = a 1 cos ωt + a sin ωt (40) x(t) = a cos(ωt + α) = a} cos {{ α} cos ωt a sin α sin ωt, (41) }{{} a 1 a mit der Amplitude a = a 1 + a und der Phase α, tan α = a a 1. Oft ist es sinnvoll, dies durch die komplexe Exponentialfunktion auszudrücken: x(t) = Re(A e iωt ) = a cos(ωt + α). 44

45 Dabei wird A = a e iα C als komplexe Amplitude bezeichnet, da A = a gilt. In jeder Lösung für x(t) kommen zwei unabhängige Konstanten vor, welche durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden. Beispiel: Sei x(t) wie in (39) mit den Anfangsbedingungen x(0) = x 0, ẋ(0) = 0 x(t) = x 0 cos ωt { } x0 = c 1 + c = c 1 = c = x 0 0 = iω(c 1 c ) Wir stellen fest: obwohl wir einen komplexen Ansatz wählten, ist die Lösung reell. Im Folgenden können diese mathematischen Identitäten nützlich sein: Trigonometrische Relationen: cos(α + β) = Re(e i(α+β) ) = Re [(cos α + i sin α)(cos β + i sin β)] = = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = Im(e i(α+β) ) = = sin α cos β + cos α sin β (4) (43) Der zu Beginn definierte Parameter ω wird als (Kreis-)Frequenz bezeichnet und in der Einheit [ω] = rad angegeben. Die Periode ist definiert als T := π ω = π. Beide s ω T Größen sind unabhängig von den Anfangsbedingungen und allein durch die mechanischen Eigenschaften des Systems bestimmt. Da wir uns in unserer Betrachtung zunächst auf abgeschlossene Systeme beschränken, gilt t L = 0 und damit die Energieerhaltung. Wir berechnen: E = T + U = m ẋ + k x = m (ẋ + ω x ). Wir setzen a := x max und verwenden die reelle Lösung aus (41): x = a cos(ωt + α), ẋ = aω sin(ωt + α). Damit ergibt sich: E = m ω a = U(x = a) = T (x = 0) = const. (44) Mit diesem Ergebnis wollen wir den Virialsatz überprüfen: Aus x = a cos ωt folgt x = a cos ωt = a 1 (1 + cos ωt). Der Mittelwert davon ist x = 1 T T 0 x (t)dt = 1 T a T 0 (1 + } cos{{ ωt })dt = a. 0 45

46 Das setzen wir in das Potential U = m w x ein: U = m 4 ω a (44) = E und erhalten für die kinetische Energie T = E U = E = U, wie vom Virialsatz (Satz 4) mit k = vorhergesagt (vgl. Gleichung 14). Beispiel: Ein (mathematisches) Pendel schwingt im Schwerefeld der Erde, d. h. im Potential U = mgl cos ϕ. Dafür ist die Lagrangefunktion L = m l ϕ + mgl cos ϕ. Es handelt sich nicht um einen harmonischen Oszillator wie in (38). Allerdings können wir für kleine ϕ die Taylor-Entwicklung cos ϕ = 1 ϕ + O(ϕ4 ) bis zur. Ordnung verwenden und erhalten mit dieser Näherung die Lagrangefunktion eines harmonischen Oszialltors in ϕ L = m l ϕ mgl ϕ = m l ( ϕ g l ϕ ), mit ω = g l ω = g l Erzwungene Schwingungen Nun betrachten wir ein allgemeines Potential in einem nicht abgeschlossenen System: U(x, t) = U(x) + U e (x, t). }{{} äußeres Feld Das bedeutet, es wird dem System von außen Energie zugeführt, wie bei einer Schaukel, die man (periodisch) anschubst. Weiterhin sei U(x) = k x. Das externe Potential nähern wir für kleine Änderungen bis zur. Ordnung in x durch eine Taylor-Entwicklung: U e (x, t) = U e (0, t) + x U e }{{} x irrelevant }{{ x=0 } xf (t). Wir beschreiben das äußere Feld durch eine Kraft. Aus F = O(x) folgt xf = O(x ). Da x als klein angenommen wurde, ist diese Abhängigkeit zu vernachlässigen. Somit 46

47 genügt es, sich auf die Zeitabhängigkeit von F (t) zu beschränken. Mit dieser Näherung ist die Lagrangefunktion L = m ẋ k x + xf (t). Die Euler-Lagrange-Gleichung liefert die Bewegungsgleichung: mẍ = kx + F (t) ẍ + ω x = 1 F (t) (45) m Dabei handelt es sich um eine inhomogene Differentialgleichung. Aus der Mathematik ist bekannt, dass sich diese Gleichungen folgendermaßen lösen lassen: Allgemeine Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung = allgemeine Lösung der homogenen DGL + eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL Spezialfälle: periodische Kraft: F (t) = f cos(ω 1 t + β). Wir wollen eine spezielle Lösung des getriebenen harmonischen Oszillators finden. Ansatz: x 1 (t) = b cos(ω 1 t + β), ẍ 1 = ω 1 x 1 Es folgt aus (45) für ω ω 1 : (ω ω 1) b cos(ω 1 t + β) = f m cos(ω 1t + β) b = f m(ω ω 1). Zusammen mit der allgemeinen reellen Lösung (41) der homogenen Differentialgleichung ergibt sich x(t) = a cos(ωt + α) + f m(ω ω 1) cos(ω 1t + β). Dies ist die Überlagerungen zweier Schwingungen mit den Kreisfrequenzen ω und ω 1. Eine äquivalente Schreibweise der allgemeinen Lösung erhält man durch Addition von c cos(ωt + γ). Deshalb können wir, um die weitere Betrachtung zu vereinfachen, die folgende Lösung verwenden: x(t) = a cos(ωt + α) + f m(ω ω 1) [cos(ω 1t + β) cos(ωt + β)] 47

48 Nun betrachten wir den Limes ω 1 ω. Dafür nutzen wir den Satz von L Hospital. Durch Ableiten von Zähler und Nenner folgt x(t) = a cos(ωt + α) + f t sin(ωt + β). mω Man sieht, dass die Amplitude mit der Zeit linear anwächst. Dies bezeichnet man als Resonanz. Da wir allerdings Näherungen verwendet haben, gilt dies nur, solange x(t) genügend klein bleibt. beliebige Kraft: F (t). Trick: wir führen den komplexen Parameter ξ := ẋ + iωx ein: ẍ + ω x d dt (ẋ + iωx) iω(ẋ + iωx) = d dt ξ iωξ. Es folgt aus (45): d dt ξ iωξ = 1 m F (t). Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist bekannt: ξ = Ae iωt, wobei A = a e iα eine komplexe Konstante der Schwingung ist. Für die spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung verwenden wir die Methode der Variation der Konstanten. Mit dem Ansatz ξ = A(t)e iωt und der Ableitung ξ = A(t)e iωt + iωae iωt folgt: d dt ξ iωξ = Ae iωt = 1 m F (t). Integration liefert: A(t) = Damit ist t t 0 1 m F (t )e iωt dt + ξ 0. ξ(t) = e iωt [ t t 0 1 m F (t )e iωt dt + ξ 0 ]. Die spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung folgt daraus direkt, aufgrund des Zusammenhangs x(t) = 1 Im ξ(t). ω Man beachte, dass x, ẋ und F reell sein. Wir berechnen den Energiezuwachs für den Oszillator durch F (t) : E = m (ẋ + ω x ) = m ξ. 48

49 Für frühe Zeiten (idealisiert t 0 = ) sei E(t 0 ) = 0, und damit ξ 0 = ξ(t 0 ) = 0. Der Energiezuwachs ist E = E(+ ) = m ξ(+ ) = 1 m + F (t )e iωt dt }{{} =: F (ω) Es handelt sich bei F (ω) um die Fourier-Transformierte von F (t). Nun betrachten wir eine kurze Einwirkung der Kraft. Dabei bedeutet kurz, dass der Oszillator noch keine Zeit hat, mit dem Schwingen anzufangen, also t π ω = T. Da t fast Null ist, ist e iωt 1. Damit berechnen wir aus Gleichung 46: E = 1 + F (t)dt m }{{} =:p = p m. Bei p handelt es sich um einen Impuls, den wir als Kraftstoß bezeichnen. Allgemein wissen wir ṗ = F, also gilt p = t t 1 F (t)dt. (46) 49

50 Beispiel: Der Oszillator sei gegeben durch ẍ + ω x = 1 m F (t), F (t) = F = const. t > 0 0 t < 0 mit den Anfangsbedingungen x(0) = ẋ(0) = 0 zum Startzeitpunkt t 0 = 0, demnach auch ξ 0 = 0. Es folgt für t 0 : ξ(t) = e iωt t Daraus ergibt sich 0 1 m F e iωt dt = F m eiωt e iωt iω t = i F mω (1 eiωt ). 0 x(t) = 1 Im ξ(t) = F ω (1 cos ωt) = mω ẋ(t) = F sin ωt = Re ξ mω Abbildung 0: Der getriebene Oszillator im x-t-diagramm. Dabei handelt es sich um eine Schwingung um x = F F mit der Amplitude = F, mω mω k k := mω. Somit gilt für t > 0 : U(x) = = k k x }{{} ungestörter Oszi. ( x F k xf = ) F k. Das bedeutet, durch das Anschalten der Kraft wird das Potential verschoben, siehe Abbildung rechts. 50

51 5. Gedämpfte Schwingung Die Anwesenheit von Reibung führt zu einer gedämpften Schwingung. Reibung kommt immer dann zustande, wenn es eine Bewegung in einem Medium gibt, z. B. ein Pendel, das in der Luft schwingt. Dabei wird mechanische (kinetische) Energie in Wärme umgewandelt. Diese Umwandlung bezeichnet man als Dissipation. Wärme kann als Bewegung der Moleküle eines Stoffs verstanden werden. Damit wird die Energie auf eine sehr große Zahl von Freiheitsgraden verteilt. Um die Bewegung vieler Teilchen beschreiben zu können, benötigt man statistische Physik (Thermodynamik/Wärmelehre). Damit ist Reibung kein Problem aus dem Bereich der klassischen Mechanik. Deshalb wollen wir eine näherungsweise Beschreibung verwenden, indem wir die Reibung durch eine Reibungskraft ausdrücken: f R = αẋ Wir wählen α > 0 sodass die Reibung der Bewegung entgegen wirkt. Außerdem ist die Reibung proportional zur Geschwindigkeit. Da wir ein homogenes Medium betrachten, ist die Reibungskraft unabhängig vom Ort: x f r = 0. Man kann die Reibung auch durch eine Taylor-Entwicklung für kleine Geschwindigkeiten nähern: f R = f R (ẋ) = f R (0) + f }{{} R(0)ẋ + 1 }{{} f R(0)ẋ +... }{{} =0 = αẋ vernachlässigbar Mit dieser physikalischen Herleitung findet man ebenfalls eine Beschreibung der Reibung wie in Gleichung 47. Mit der Definition der Dissipationsfunktion (47) W := 1 αẋ gilt f R = W ẋ = αẋ. Für das System mit Reibung müssen wir bei der Euler-Lagrange-Gleichung d L dt ẋ = L x zusätzlich zur Kraft die Reibungskraft berücksichtigen und erhalten die Vorschrift : d L dt ẋ = L x }{{} Kraft W ẋ }{{} Reibungskraft. Wir betrachten die Lagrangefunktion L = L(x, ẋ) eines abgeschlossenen Systems und berechnen die zeitliche Änderung der Energie aufgrund der Reibung: de dt = d ( ẋ L ) dt ẋ L = ẍ L ẋ + ẋ d L dt ẋ ẋ L x ẍ L ( d ẋ = ẋ L dt ẋ L ) = x = ẋ W ẋ = αẋ = W. 51

52 Wir stellen fest, dass die Rate des Energieverlusts allein durch die Dissipationsfunktion W angegeben wird. Da durch die Reibung dem System Energie entzogen wird, muss de < 0 gelten, entsprechend W > 0. Das ist genau dann der Fall, wenn α > 0 ist, wie dt wir es zu Beginn festgelegt haben. Nun können wir die Bewegungsgleichung für den Oszillator mit Reibung aufstellen: mẍ = kx αẋ Die Frequenz des ungestörten Oszillators bezeichnen wir mit ω 0 = k/m. Zusätzlich führen wir die Frequenz γ = α/m ein. Somit lautet die Bewegungsgleichung: ẍ + γẋ + ω 0x = 0 Es handelt sich um eine lineare, homogene Differentialgleichung. Zur Lösung verwenden wir den Ansatz x(t) e λt : λ + γλ + ω 0 = 0 Die Lösung dieser algebraischen Gleichung erhalten wir z. B. mit der Mitternachtsformel: λ 1, = γ ± γ 4ω o Daraus folgt die allgemeine Lösung: x(t) = c 1 e λ 1t + c e λ t, = γ ± (γ ) ω o. wobei die Konstanten c 1, c durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden müssen. Wir betrachten verschieden Fälle für die möglichen Werte der Frequenzen ω und γ: a) γ < ω 0 : λ 1, = γ ( ) γ ω ± i 0 }{{} reell = x(t) = a e γ t }{{} Amplitude ( ) γ cos ω 0 t + β }{{} ω Die Schwingungsamplitude wird exponentiell abgeschwächt, d. h. die Lösung ist eine gedämpfte Schwingung. b) γ > ω 0 : ( ( x(t) = c 1 e γ/ (γ/) ω0 )t ) + c e γ/+ (γ/) ω0 t Es handelt sich um eine aperiodische Bewegung, bei der keine Schwingung stattfindet. Die Auslenkung x(t) fällt monoton gegen 0. 5

53 c) γ = ω 0 : aperiodischer Grenzfall mit λ 1 = λ = γ. In diesem Fall lässt sich die Lösung zusammenfassen zu x(t) = c 1 e γ t, allerdings fehlt dabei eine Integrationskonstante. Deshalb müssen wir den Grenzübergang e λ1t e γ t ausführen. Wir betrachten den Limes λ 1 λ unter Verwendung der Regel von l Hospital: e λ 1t e λ t λ 1 λ λ 1 λ d e λ1t = te λ1t = te dλ 1 Das ist unsere zweite Basisfunktion. Nach dem Superpositionsprinzip erhalten wir die allgemeine Lösung als Summe der beiden Lösungen: x(t) = (c 1 + c t)e γ t. Erzwungene Schwingung mit Reibung Wir beschränken uns auf den Spezialfall einer periodisch antreibenden Kraft. Dafür ist die Bewegungsgleichung (γ, ω 0, Ω, b R): ẍ + γẋ + ω 0x = b cos Ωt. Das können wir auch folgendermaßen schreiben, wodurch die Rechnung vereinfacht wird: ẍ + γẋ + ω 0x = b e iωt. Am Ende werden wir den Realteil der Lösung x(t) zur Beschreibung des Systems wählen. Wir suchen eine spezielle Lösung mit dem Ansatz: x(t) = Ce iωt, C C. γ t. Diese Funktion, eingesetzt in die Bewegungsgleichung, liefert: ( Ω + iγω + ω 0)C e iωt = bẍ + γẋ + ω 0x = b e iωt C = b ω 0 Ω + iγω ( ) ω0 Ω iγω ( ) = b = c e iδ, (ω0 Ω ) + γ Ω b γω wobei c = C = (Absolutbetrag) und tan δ = (Argument). (ω0 Ω ) + γ Ω Ω ω0 Bei (*) erweitern wir mit dem komplex Konjugierten des Nenners, wodurch wir bei (**) die Polardarstellung von C erhalten. Damit ist die allgemeine Lösung im Fall ω 0 > γ : x(t) = a e γ t cos(ωt + β) + c cos(ωt + δ). Nach dem Einschwingen des Oszillators, d. h. für t 1 ist der erste Summand vernachlässigbar und die allgemeine Lösung ist die erzwungene γ Schwingung: x(t) = c cos(ωt + δ). Das bedeutet, der Oszillator schwingt mit der anregenden Frequenz Ω, allerdings verschoben um die Phase δ. Wir wollen bestimmte Eigenschaften dieses Oszillators näher betrachten. 53

54 Amplitude c: Falls die Frequenz der Anregung gleich der Eigenfrequenz des harmonischen Oszillators ist, d. h. Ω = ω 0, so gilt c = b γω 0 <. Demnach ist die Schwingungsamplitude im Gegensatz zum ungedämpften Oszillator beschränkt. Schalten wir allerdings die Dämpfung ab, d. h. γ 0, so wird die Amplitude beliebig groß, wie wir es vom getriebenen Oszillator ohne Reibung bereits kennen. Die Amplitude c erreicht ihr Maximum bei einer Anregung durch die Resonanzfrequenz Ω = Ω res = ω0 1 γ. Phasenverschiebung δ: Anhand von Spezialfällen können wir das Verhalten von δ diskutieren: Ω = 0 = ω 0 ω 0 C b ω 0 i b γω 0 b Ω δ 0 π π (siehe Abbildung 1) Zusammenhang zwischen der anregenden Frequenz Ω und der Amplitude c: der Phasenverschiebung δ: Abbildung 1: Resonanz und Phasenverschiebung Energiezufuhr: +W = αẋ = αc Ω sin (Ωt + δ). Wir betrachten die Intensität: I = W = 1 αc Ω = 1 γm b Ω (Ω ω 0) + γ Ω, wobei wir verwendet haben, dass der Mittelwert von sin x gleich 1 ist. Im Fall γ ω 0 definieren wir := Ω ω 0 und betrachten ω 0. Die Formel für die Intensität vereinfacht sich zu I = mb 4 γ/ + (γ/). 54

55 Dabei haben wir folgende Näherung verwendet: Ω ω 0 = (Ω + ω 0 )(Ω ω 0 ) = ω 0 + O( ). Abbildung : Typische Resonanzkurve mit Breite γ: die Energieaufnahme ist beim Auftreten von Resonanz maximal. 5.3 Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden In diesem Kapitel beschränken wir uns wieder auf Systeme ohne Reibung. Wir betrachten eine Lagrangefunktion L( q, q ) = T ( q ) U( q ) in generalisierten Koordinaten q = (q i ) i=1,...,n in der Umgebung einer Potential-Gleichgewichtslage bei q 0. Wir berechnen die (mehrdimensionale) Taylorentwicklung des Potentials um die Stelle q 0, wobei Terme höherer Ordnung vernachlässigt werden können, wenn die Auslenkung genügend klein ist. Zur Vereinfachung der Notation verwenden wir hier die Einsteinsche Summenkonvention 5 : U(q k ) = U(qk) 0 U + (q }{{} q i i qi 0 ) + 1 U (q q 0 q i q j i qi 0 )(q j qj 0 ) +... irrelevant i q 0 i }{{} =0, da Gleichgewicht } {{ } =:K ij Wie im Eindimensionalen führen wir die Auslenkung x := q q 0 ein. Damit lässt sich das Potential in quadratische Näherung folgendermaßen schreiben: U( x ) = 1 K ijx i x j (implizite Doppelsumme). In der quadratischen Näherung wird auch der kinetische Term sehr übersichtlich: T ( x 1 ) = a ij(q k ) q i q j = 1 M ijẋ i ẋ j. 5 Die Einsteinsche Summenkonvention besagt, dass K ij x i x j eine Kurzschreibweise für n n i=1 j=1 K ijx i x j ist. 55

56 Es handelt sich bei den x i und K ij um reelle Zahlen, deshalb vertauschen die Faktoren: K ij x i x j = x i K ij x j. Mit der impliziten Doppelsumme hat dieser Ausdruck die Form einer Matrixmultiplikation: x T K x. Hier fassen wir die Parameter K ij der Schwingung zu einer n n-matrix zusammen und multiplizieren diese von beiden Seiten mit dem Auslenkungsvektor x. Zum Beispiel für n = heißt das ausgeschrieben: K ij x i x j = K 11 x 1 x 1 + K 1 x 1 x + K 1 x x 1 + K x x = = ( ( ) ( ) ) K11 K x 1 x 1 x1 K 1 K x Die Lagrangefunktion einer harmonischen Schwingung mit mehreren Freiheitsgeraden lautet: L( x, x 1 ) = M ijẋ i ẋ j 1 K ijx i x j = 1 x T M x 1 x T K x Ohne Einschränkung kann angenommen werden, dass M und K symmetrisch sind, d. h. M ij = M ji, K ij = K ji, da z. B. K 1 x 1 x + K 1 x x 1 = 1 ( K 1 + K 1 ) x 1 x }{{ }}{{} =:K 1 =K 1 M ist positiv definit, d. h. für alle v := x gilt: v T M v 0 und v T M v = 0 v = 0. x 1 x +x x 1. K ist positiv semidefinit, d. h. für alle x gilt: x T K x 0, da es sich um ein stabiles Gleichgewicht handelt. Nun möchten wir die Bewegungsgleichungen aufstellen. Dafür beachten wir, dass für alle i, k = 1,..., n gilt: x i x k = δ ik. Für die Euler-Lagrange-Gleichung d L L = 0 dt ẋ k x k berechnen wir mit der Produktregel (K ij x i x j ) = K ij (δ ik x j + x i δ jk ) = K kj x j + K ik x x k }{{} i = K kj x j, =K ki 56

57 wie im eindimensionalen Fall. Zu einem analogen Ergebnis gelangen wir durch Differenzieren des kinetischen Terms nach ẋ k. Damit lauten die Bewegungsgleichung für k = 1,..., n: M kj ẍ j + K kj x j = 0 Diese n Differentialgleichungen sind linear und homogen mit konstanten Koeffizienten. Deshalb wählen wir wieder den Exponentialansatz x j = a j e iωt, leiten zweimal ab: ẍ j = ω a j e iωt, und setzen ein: ( Kkj ω M kj ) aj = 0 ( K ω M ) a = 0 [ ( M 1 K ) a = ω a ]. Bei dieser Gleichung handelt es sich um ein Eigenwertproblem aus der Linearen Algebra. Gesucht sind die Eigenwerte ω (Eigenfrequenz) und die zugehörigen Eigenvektoren a 0. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, d. h. det ( K ω M )! = 0 Da ω positiv sein soll, erhalten wir n Lösungen ω l, l = 1,..., n. Damit können wir die zugehörigen Eigenvektoren a (l) ausrechnen. Diese fassen wir zu einer Matrix zusammen: A jl = a (l) j = a (1) 1 a () 1... a () a ()..... Damit ist das Problem gelöst. Die allgemeine Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung erhalten wir aufgrund des Superpositionsprinzips durch Linearkombination der Lösungen: x j (t) = n l=1 c l a (l) j cos (ω l t + α l ). Folglich verfügt das System über n freie Parameter c l, α l. Normalkoordinaten Die Matrizen K und M sind nicht in Diagonalgestalt, das bedeutet, die Koordinaten sind gekoppelt. Durch eine Koordinatentransformation können die Matrizen diagonalisiert werden. Dafür schreiben wir zunächst das Eigenwertproblem in Indexschreibweise: K kj a (l) j = ω (l)m kj a (l) j. Nun Vertauschen wir k und j und benennen l in i um. Aufgrund der Symmetrie der Matrizen erhalten wir: K kj a (i) k = ω (i)m kj a (i) k. 57

58 Wir erweitern die Gleichungen mit a (i) k bzw. a (l) j und ziehen die beiden Gleichungen voneinander ab. Unter Beachtung der Summenkonvention folgt: ( ) ω (l) ω(i) (i) a k M kja (l) j = 0. Falls die ω (l) nicht entartet sind, gilt weiter: a (i) k M kja (l) j = A ki M kj A jl = A T ikm kj A jl = δ il, (48) bei Verwendung einer geeigneten Normierung der Eigenvektoren. Falls zwei Eigenwerte entartet sind, z. B. wenn ω (1) = ω (), dann sind sowohl a (1) und a () Eigenvektoren zu ω (1), also auch eine Linearkombination α a (1) +β a (). Wir können α und β so wählen, dass Gleichung 48 erfüllt ist. Nun betrachten wir die verallgemeinerte Orthogonalitätsrelation A T MA = 1 A T M = A 1. Das bedeutet, A diagonalisiert M. Dann diagonalisiert A aber auch K: ω1 ( ) A T ikk kj A jl = A T ik ω (l) M kj A jl = ω (l) δ il = ω... ωn Hier wird nicht über l summiert, da es auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt. Wir definieren die Normalkoordinaten Q j durch x i A ij Q j Q l = A T lkm ki x i. Nun stellen wir die Lagragefunktion in diesen Koordinaten auf: L = M ij ẋ i ẋ j K ij x i x j = M ij A ik Q k A jl Q l K ij A ik Q k A jl Q l = n ( = δ kl Q k Q l ω(k)δ kl Q k Q l = Q k ω(k)qk) k=1 und erhalten die Lagrangefunktion für n entkoppelte Oszillatoren. Damit haben wir das Problem auf eindimensionale Schwingungen reduziert. Dafür kennen wir die Lösung (falls die Eigenfrequenz ω l > 0 ist): Q l = c l cos (ω l t + α l ) = x l = A jl Q l = n l=1 a (l) j c l cos (ω l t + α l ). Es handelt sich um eine Überlagerung harmonischer Schwingungen. Falls ω l = 0 ist, so gilt Q l = 0 und damit Q l = v l t + c l. 58

59 Beispiel: -atomiges Molekül (1-dimensional) Abbildung 3: Ein einfaches Modell eines Moleküls mit zwei Atomen der Masse m. Wir stellen die Lagrangefunktion zum Modell in Abbildung 3 auf: L = T U = m (ẋ 1 + ẋ) k (x 1 x ) = = 1 ) (ẋ1 ( ) ) m 0 (ẋ1 ẋ 1 ( ) ( ) k k x1 x 0 m ẋ k k }{{}}{{} M K Damit haben wir die Situation auf das Eigenwertproblem: ( K ω M ) a = 0 ( ) x1 x. zurückgeführt. Das lösen wir: det ( K ω M ) ( ) k mω k = det k k mω = ( k mω ) k = ( = mkω + m ω 4 = m ω ω k )! = 0 m Die Lösungen (Schwingungsmoden) lassen sich direkt ablesen: 1. ω 1 = 0 entspricht einer Translation, also einer Verschiebung beider Massen mit konstantem Abstand.. ω = k entspricht einer Schwingung mit Federkonstante k, also einer gegenläufigen Bewegung der Atome mit effektiver (d. h. reduzierter) Masse m. m Nun bestimmen wir die Eigenvektoren: 1. zu ω1 = 0: ( ) k k a (1) = 0 = a (1) k k ( )

60 . zu ω = k m : ( ) k k a () = 0 = a () k k Daraus ergibt sich die Matrix A := 1 ( ) 1 1 = A T m 1 1 ( ) 1 1 Wir überprüfen, dass diese tatsächlich M diagonalisiert: A T MA = ma T A = m m ( ) 1 1 = 1 1 ( ) Abschließend berechnen wir noch die Normalkoordinaten des Systems: Q = A T M x = und stellen fest: m ( ) 1 1 m 1 1 ( ) x1 x m = 1. Q 1 entspricht den Schwerpunktskoordinate.. Q entspricht der Relativkoordinate. ( ) x1 + x x 1 x 60

61 6 Bewegung des starren Körpers 6.1 Kinematik Definition 13: Starrer Körper Ein starrer Körper ist ein System von N Massenpunkten mit festen Abständen. Freiheitsgrade eines starren Körpers: a) Die Lage des starren Körpers ist eindeutig bestimmt durch die Lage von drei nicht kollinearen Punkten des Körpers im Raum Nebenbedingung: die drei Relativabstände der Punkte sind konstant Freiheitsgrade = = 6 b) Lage des Schwerpunkts: drei Freiheitsgrade + Drehung um drei unabhängige Achsen durch den Schwerpunkt Freiheitsgrade = = 6 Bezugssysteme: 1. X, Y, Z raumfest, in Ruhe; Inertialsystem IS. x 1, x, x 3 körperfest, bewegt KS (i. A. kein Inertialsystem) Ursprung von KS in festem Punkt des Körpers (z. B. Schwerpunkt) Abbildung 4: verschiedene Bezugssysteme zur Beschreibung eines Körpers. 61

62 Eine sehr kleine Drehung d ϕ um den Ursprung von KS (bezüglich IS) lässt sich folgendermaßen beschreiben: d r = d ϕ r sin ϑ d r = d ϕ r dr i = ɛ ijk dϕ j r k Eine Verschiebung des Ursprungs von KS (bezüglich IS) um d R bewirkt eine Gesamtverschiebung eines Punktes im Körper (bezüglich IS) um d s : ds i = dr i + ɛ ijk dϕ j r k Mit v i := ds i, V dt i := dr i, ω dt i := dϕ i dt (Winkelgeschwindigkeit) folgt v i = V }{{} i + ɛ ijk ω j r k }{{} Translation Rotation bzw. v = V + ω r (49) Nun betrachten wir ein zweites körperfestes System KS wie in nebenstehender Abbildung. Der Abstand der beiden Systeme wird durch den Vektor r = a + r beschrieben. Analog zu Gl. 49 gilt für alle r : v = V + ω r = V + ω a + ω r. Das gilt insbesondere für r = 0, damit folgt V = V + ω a und somit ω = ω. Wir stellen fest, dass ω unabhängig von der Wahl des körperfesten Systems ist. Das nennt man den absoluten Charakter von ω. Abbildung 5: Für die Übersichtlichkeit, hier nur zwei statt drei Achsen dargestellt 6

63 Falls zu einem Zeitpunkt V = 0 gilt, so ist v = ω r, d. h. die Bewegung ist eine reine Rotation um eine Achse durch den Ursprung von KS parallel zu ω. Diese Achse bezeichnen wir als momentane Drehachse. Kinetische Energie des starren Körpers In diesem Abschnitt betrachten wir den Körper aus einem Inertialsystem IS. Sein Schwerpunkt soll mit dem Ursprung des Körpersystems KS zusammenfallen. Der Körper besteht aus N (diskreten) Teilchen. Zur Berechnung der kinetischen Energie führen wir folgende Kurzschreibweise ein: T = N a=1 m a v a m v = m v i, wobei vi = v i v i = v1 + v + v3 das Quadrat des Geschwindigkeitsbetrags eines Teilchens in kartesischen Koordinaten ist. Mit Gleichung 49 folgt T = m (V i + ɛ ijk ω j r k ) = ( m V i mv i ɛ ijk ω j r k + m ) ɛ ijkω j r k ɛ ilm ω l r m. Für alle Punkte sind V i und ω j gleich, deshalb ist der mittlere Term proportional zu mrk. Das ist die Definition des Schwerpunkts und verschwindet im Schwerpunktsystem KS. Mit der Identität ɛ ijk ɛ ilm = δ jl δ km δ jm δ kl und der Definition der Gesamtmasse M := m folgt T = M V i + 1 [ ( )] m r k δ jl r j r l ω j ω l. }{{} =:I jl Trägheitstensor Damit ist die kinetische Energie eines starren Körpers von folgender Form: T = M V i 1 + }{{} I ijω i ω j }{{} Translation quadratische Form in ω i Bemerkungen: Diese Formel ist gültig, wenn sich der Schwerpunkt des Körpers im Ursprung von KS befindet. Außerdem kann sie auch verwendet werden, wenn der Ursprung von KS in Ruhe bezüglich IS ist. In diesem Fall gilt V i = 0 und deshalb T = 1 I ijω i ω j. In Matrixschreibweise hat der Trägheitstensor folgende Einträge: I = (I ij ) 1 i,j 3 = [ ( )] r + r 3 r 1 r r 1 r 3 m r k δ ij r i r j = m r r 1 r1 + r3 r r 3 r 3 r 1 r 3 r r1 + r = m ( r 1 r r T ) Wir sehen, dass der Trägheitstensor symmetrisch ist, d. h. I ij = I ji. Die Koordianten r i sind bezogen auf KS zu verstehen. 63

64 Sind die einzelnen Teilchen des Körpers nicht mehr getrennt auflösbar, so erhält man durch den Übergang m ϱ( r )d 3 r einen kontinuierlichen Körper. Dann hat der Trägheitstensor die Einträge I ij = ϱ( r ) (r kδ ij r i r j ) d 3 r. Da wir uns einen Körper aus kleineren Körpern zusammengesetzt vorstellen können, ist I additiv. Die Achsen des Bezugssystems KS lassen sich so wählen, dass I diagonal wird. Diese Achsen bezeichnen wir als Hauptachsen. Um sie zu finden, suchen wir eine orthogonale Matrix A, sodass I D := AIA T = diag(i 1, I, I 3 ) ist. Die Hauptachsen erhalten wir nun durch Drehung der Koordinatenachsen mit der Matrix A: r r := A r. Damit vereinfacht sich der Rotationsanteil der kinetischen Energie zu T rot = 1 I ijω i ω j = 1 (I 1ω 1 + I ω + I 3 ω 3). I 1, I, I 3 sind die Hauptträgheitsmomente des starren Körpers. Bei einer Translation ist die Masse ein Maß für die Trägheit eines Körpers. Bei einer Drehung ist das Analogon der Trägheitstensor. In der Mathematik bezeichnet man als n-tes Moment der Verteilungsfunktion f das Integral über f(x) gewichtet mit x n : f(x)x n dx. Bei Trägheitsmomenten handelt es sich demnach um quadratische Momente der Massenverteilung. Das bedeutet, wir gewichten die Dichte des Körpers mit der Entfernung von der Rotationsachse. Je weiter entfernt ein Massenpunkt liegt, desto größer ist sein Einfluss auf die Drehung. Für jeden Körper gilt folgende Ungleichung: I 1 + I = m(r 1 + r + r 3) m(r 1 + r ) = I 3 Da die Reihenfolge der Nummerierung von I 1, I, I 3 beliebig ist, gilt allgemein: die Summe zweier Hauptträgheitsmomenten ist größer oder gleich dem dritten Hauptträgheitsmoment. Wir unterscheiden folgende Fälle: I 1, I, I 3 verschieden: I 1 = I I 3 : I 1 = I = I 3 : unsymmetrischer Kreisel symmetrischer Kreisel Kugelkreisel Spezialfall: Bei einem starren Rotator ist die komplette Masse entlang der x 1 - Achse verteilt. Demnach gilt für jeden Punkt des Körpers bezüglich KS r = r 3 = 0. Der Trägheitstensor ist: I = m 0 r1 0 = I = I 3 = mr1, I 1 = r1 Dieser Körper verfügt nur über Freiheitsgrade der Drehung (um x, x 3 ). 64

65 Satz von Steiner: Sei I ij der Trägheitstensor im Schwerpunktsystem, d. h. definiert mit dem Ursprung von KS im Schwerpunkt, demnach mr i = 0. Dann betrachten wir eine konstante Verschiebung des Ursprungs r i = r i a i. In diesen gestrichenen Koordinaten ist der Trägheitstensor (per Definition) I ij = m(r k δ ij r ir j). Laut dem Satz von Steiner lässt sich dieser auf folgende Art und Weise einfach berechnen: I ij = I ij + M(a kδ ij a i a j ) Beweis: mr i r j = m(r i a i )(r j a j ) = = mr i r j ( mr i ) a j ( mr j ) a i + ma i a j = }{{}}{{} =0 =0 = mr i r j + Ma i a j mr k = mr k + Ma k. Als Beispiel betrachten wir nun die Trägheitsmomente eines ruhenden Körpers bezüglich zwei Achsen K, K. Dabei fällt K mit der x 3 -Achse zusammen und geht durch den Schwerpunkt. K verläuft parallel dazu im Abstand a. Den Abstandsvektor von einem Punkt des Körpers zur x 3 -Achse bezeichnen wir mit d. Die Rotation des Körpers sei gegeben durch ω 0 = 0. Somit ist der einzige ω nicht-verschwindende Summand in der kinetischen Energie I ij ω i ω j = I 33 ω. Dabei ist I 33 das Trägheitsmoment durch die Achse K und es gilt I 33 = m(r 1 + r ) = md = I K. Mit dem steiner schen Satz können wir nun das Trägheitsmoment bezüglich einer Drehung um K parallel zu K berechnen: I K = I 33 = I 33 + M(a 1 + a ) = I K + Ma. 65

66 6. Bewegung im beschleunigten Bezugssystem Bisher betrachteten wir Bewegungen bezogen auf ein Inertialsystem IS. Jetzt betrachten wir einen Massenpunkt in einem beschleunigten Bezugssystem. a) Translation KS bewege sich gegenüber IS mit der Geschwindigkeit V (t) = (V i (t)) i=1,...,3. Es handelt sich dabei um eine vorgegebene, nicht-konstante Funktion. Mit dem Zusammenhang v 0i }{{} in IS = v }{{} i +V i (t) in KS können wir die Lagrangefunktion im Körpersystem aufstellen: (50) L = m v 0i U (50) = m v i + m v i V }{{} i d L = m v i d mr i dt V i+ m W i (t) r i U, }{{} effektives Kraftfeld dt (mr iv i ) }{{} irrelevant mit der Beschleunigung W i = d dt V i von KS bezüglich IS. + m V i U }{{} irrelevant b) Rotation In diesem Fall sind die Inertial- und Körperkoordinaten folgendermaßen verknüpft: v 0i = v i + ε ijk ω j (t)r k, wobei ω i (t) wieder eine vorgegebene Funktion ist. Damit lautet die Lagrangefunktion: L = m v 0i U = m v i + mv i ε ijk ω j r k m (ε ijkω j r k ) U. Wir erinnern uns an v i v l = δ il und stellen damit die Bewegungsgleichungen auf: L v l = mv l + ε ljk ω j r k, Die Euler-Lagrange-Gleichung d dt L v l L = mv i ε ijl ω j + m(ε ijk ω j r k )ε inl ω n U. r l r l = L r l liefert m v l = mε ljk ω j r k mε ljk ω j v k + mv k ε kjl ω j + mε lin (ε ijk ω j r k )ω n U r l = = mε lkj r k ω j + mε lkj v k ω j + mε lin (ε ijk ω j r k )ω n U r l. 66

67 In vektorieller Form aufgeschrieben: m v = m r ω + m v ω + m( ω r ) ω U }{{}}{{} r. Corioliskraft Zentrifugalkraft Bei einer gleichförmigen Rotation ω = 0 verschwindet der erste Term. Die beiden anderen Kräfte werden oft als Scheinkräfte bezeichnet, da man sie durch entsprechende Koordinatenwahl wegtransformieren kann. Die Corioliskraft wirkt senkrecht zur Drehachse ω sowie senkrecht zur Geschwindigkeit, deshalb führt sie zu einer Ablenkung von der geradlinigen Bewegung. Um den Betrag der Zentrifugalkraft F #» Z = m( ω r ) ω zu berechnen, verwenden wir ω r = ωr sin ϑ, wobei ϑ den Winkel zwischen ω und r beschreibt (siehe Abbildung). Mit r := r sin ϑ, dem senkrechten Anteil von r bezüglich ω, ergibt sich #» F Z = mω r sin ϑ = mω r. Zum Abschluss des Kapitels berechnen wir den Impuls und die Energie des starren Körpers in den rotierenden Koordinaten: p l = L v l = m(v l + ε ljk ω j r k ) = mv 0l = p 0l, L E = v i L = m v i v i m (ε ijkω j r k ) +U. }{{} Zentrifugalenergie 67

68 7 Kanonischer Formalismus und Hamilton-Gleichungen Bisher haben wir für die Beschreibung eines Systems in den N Koordinaten q 1,..., q N die Lagrangefunktion L = L(q i, q i, t) und die Euler-Lagrange-Gleichungen d L = L, dt q i q i mit dem verallgemeinerten Impuls p i = L q i, verwendet. Aus den ELG folgt direkt ṗ i = L q i. Nun definieren wir die Hamilton-Funktion H = H(p i, q i, t) := p i q i L. (51) Diese beschreibt die Energie des Systems, analog zur Definition der Energie (Gleichung 5). Beim Übergang von der Lagrange- zur Hamiltonfunktion werden die unabhängigen Variablen q i, q i durch q i, p i ersetzt. Das bezeichnet man als Legendre- Transformation. Wir bilden das totale Differential der Hamiltonfunktion mit der Produktregel: L d q q i i }{{} =p i d q i Für eine differenzierbare Hamilton-Funktion, ist das totale Differential gleich den partiellen Ableitungen: dh = dp i q i + p i d q i L q i dq i L t dt = q i dp i ṗ i dq i L t dt. dh(p i, q i, t) = H p i dp i + H q i dq i + H t dt. Setzt man beide Ausdrücke gleich, so erhält man die kanonischen Gleichungen: q i = H p i, ṗ i = H q i Diese sind symmetrisch in p und q. Es handelt sich um N Differentialgleichungen erster Ordnung. Die kanonischen Gleichungen sind äquivalent zu den Euler-Lagrange- Gleichungen (N Differentialgleichungen zweiter Ordnung). Es gilt: H(p, q, t) L(q, q, t) =. t t Wir wollen in diesem Formalismus die Energieerhaltung beschreiben: dh dt = H ṗ i + H q i + H p }{{} i q }{{} i t = H t. q i ṗ i Falls H t = 0 ist, so gilt H(p i, q i ) = E = const., d. h. die Energie ist erhalten. 68

69 Beispiel: Ein System wird beschrieben durch die Lagrangefunktion L = m q U(q). Dann liefern die Euler-Lagrange-Gleichungen: m q = U q, p = L q = m q q = p m. Wir stellen die Hamiltonfunktion dieses Systems auf: H(p, q) = p q L = p m m Damit ergeben die kanonischen Gleichungen: q = H p = p m, ṗ = H q = U q, ( p m) + U(q) = p äquivalent zu den Euler-Lagrange-Gleichungen. m }{{} kin. Energie + U(q) }{{}. pot. Energie Mit dem Hamilton-Formalismus ist der Übergang von klassischen zu quantenmechanischen Systemen möglich ( Quantisierung ). Deshalb spielt die Hamilton-Funktion eine zentrale Rolle in der Quantenmechanik. 69

70 8 Relativistische Mechanik 8.1 Grundbegriffe Relativitätsprinzip: Die Naturgesetze sind forminvariant unter Transformationen zwischen Inertialsystemen S und S. Hier betrachten wir zwei Inertialsysteme, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit v relativ zueinander in x-richtung bewegen. Ihre Koordinatenachsen verlaufen parallel. Für solche Systeme haben wir bislang die Galileitransformationen verwendet: t = t (5) x = x vt, y = y, z = z (53) Dabei verhalten sich die Geschwindigkeiten in den beiden Systemen sehr einfach: dx dt = dx dt = dx dt v = Geschwindigkeitaddition: ẋ = ẋ + v (54) Das ist die klassische Vorstellung des Relativitätsprinzip in der Mechanik. Allerdings hat man experimentell festgestellt, dass diese Beschreibung für die Elektrodynamik nicht mehr korrekt ist, da die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen einen universellen Wert hat: Lichtgeschwindigkeit: c = m s < (55) unabhängig vom Inertialsystem (empirisch begründet). Allgemeiner hat auch die Wirkungsausbreitung eine endliche Geschwindigkeit, d. h. es gibt keine Fernwirkung. Eine Konsequenz davon wird in folgendem Beispiel dargestellt: Wir betrachten einen sehr langen Stab als starren Körper. Verschieben wir das eine Ende des Stabs, so würde sich sofort auch das andere, weit entfernte Ende des Stabs gleichermaßen bewegen, da der Körper absolut starr ist. Das ist unvereinbar mit der endlich schnellen Wirkungsausbreitung. Stattdessen breitet sich die Störung wellenförmig durch den Stab aus, welcher aus Molekülen aufgebaut ist, zwischen denen elektrische Kräfte wirken. Deshalb spielt 70

71 diese Erkenntnis aus der Elektrodynamik auch für die klassische Mechanik eine Rolle. Üblicherweise verwenden wir für diese Probleme allerdings eine Idealisierung, da die Lichtgeschwindigkeit sehr groß im Vergleich zu den bisher besprochenen Phänomenen ist. Ohne diese Näherung gelangt man allerdings zu einem Widerspruch zwischen der Universalität der Lichtgeschwindigkeit (55) und der galileischen Geschwindigkeitsaddition (54). Wir können diesen Widerspruch beheben, indem wir die Universalität der Zeit (5) aufgeben und die Transformation des Orts (53) modifizieren. Damit erhalten wir als neue Formulierung die spezielle Relativitätstheorie. Diese basiert auf den beiden Annahmen Relativitätsprinzip, Universalität sowie Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit c. Wir suchen nun eine neue Transformation, welche die Ausbreitung von Licht invariant lässt. Dafür betrachten wir ein Lichtsignal in S, das sich radial vom Ursprung ausbreitet. Diese Signalausbreitung können wir folgendermaßen beschreiben r = x + y + z = c t c t x y = 0. Das enstpricht der Gleichung eines Kegels im 4-dimensionalen Raum(ct, x, y, z), dem Lichtkegel. Analog können wir das Signal im relativ dazu bewegten System S beschreiben: c t x = c t x, y = y, z = z. Wir wählen unsere Einheiten so, dass c = 1 gilt. Beispielsweise messen wir t, x, y, z in Sekunden. Eine Längeneinheit entspricht der Strecke, welche Licht in einer Sekunde zurücklegt (eine Lichtsekunde). Durch diese Konvention nimmt die Gleichung die einfache Form an: t x = t x. 71

72 Für die neue Transformation wählen wir den linearen Ansatz t = At+Bx, x = Ct+Dx: t x = t x = A t + ABtx + B x C t CDtx D x Ein Koeffizientenvergleich beider Seiten liefert A C = 1, D B = 1, AB CD = 0 und damit drei Gleichungen für vier Unbekannte. Demnach können wir einen Parameter frei wählen, welcher der (konstanten) Relativgeschwindigkeit der Inertialsysteme entspricht. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit setzen wir C = sinh η. Es folgt A = 1 + sinh η = cosh η, d. h. A = cosh η. Würden wir für A das negative Vorzeichen wählen, so bedeutet das eine Spiegelung der Koordinaten. Weiter folgt B = C D = sinh η D und damit A cosh η D B = D (1 sinh η ) = cosh η D = cosh η, B = sinh η. Es ergibt sich die Lorentz-Transformation: ( ) ( ) ( ) t cosh η sinh η t x = sinh η cosh η x D cosh η! = 1. Das bedeutet Konkret handelt es sich hier um den Spezialfall, dass nur eine Relativbewegung mit konstanter Geschwindigkeit in x-richtung vorliegt. Man spricht von einem Boost in x-richtung. Um eine Interpretation des Parameters η zu bekommen, betrachten den Ursprung von S, welcher sich mit Geschwindigkeit v relativ zu S bewegt. Für diesen Punkt gilt x = 0 = (sinh η) t + (cosh η) x = dx sinh η dt cosh η = tanh η v. Oft betrachtet man statt der Geschwindigkeit v die dimensionslose Geschwindigkeit β :=. Aufgrund unserer Wahl c = 1 gilt β = v. Es folgt: v c Rapidität: η = artanh v Des Weiteren gilt: cosh η = 1 1 β =: γ, sinh η = β 1 β = γβ. Durch die Einführung dieser Parameter, lässt sich die Lorentz-Transformation kompakter schreiben: ( ) ( ) ( ) t 1 β t = γ, y = y, z = z. β 1 x x Wir vergleichen folgende Koordinatentransformationen: ( ) cosh η sinh η Boost: Λ(η) = sinh η cosh η ( ) cos ϕ sin ϕ Drehung: A(ϕ) = sin ϕ cos ϕ 7

73 Die invariante Größe bei einer Drehung ist der euklidische Abstand x + y. Analog dazu bezeichnen wir t x als Minkowski-Abstand, da diese Größe invariant unter einem x-boost ist. Wir betrachten zwei Boosts. Aufgrund der Additionstheoreme hyperbolischer Funktionen gilt (Übung) Λ(η 1 )Λ(η ) = Λ(η 1 + η ), d. h. die Rapidität ist additiv. Damit können wir die relativistisch korrekte Formel für die Addition paralleler Geschwindigkeiten aufstellen: v tanh(η 1 + η ) = tanh η 1 + tanh η 1 + tanh η 1 tanh η = v = v 1 + v 1 + v 1 v Für typische Geschwindigkeiten mechanischer Systeme kann der Nenner durch 1 genähert werden. Somit ergibt sich die galileische Geschwindigkeitsaddition als Spezialfall der relativistisch korrekten. Aus dieser Transformation folgt, dass für v 1, v < 1 stets v < 1 gilt. Im Fall v = 1 gilt für beliebiges v 1 nach der Formel für die Geschwindigkeitsaddition: v = v v 1 = 1. Demnach bewegt sich nichts mit einer Geschwindigkeit v > 1. Deshalb ist die Lichtgeschwindigkeit v = c = 1 wie gefordert die obere Schranke für Geschwindigkeiten. Das bezeichnet man als die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen. Beispiel: Addition der Geschwindigkeiten 0.5 und 0.5 ergibt nicht 1, sondern = Im nicht-relativistischen Grenzfall v c, formal: c, erhalten wir t 1 = (t v ) 1 v c x c t = t c Galilei-Transformation. x 1 c = (x vt) x = x vt 1 v c Zeitdilatation = Wir betrachten eine im System S ruhende Uhr, die sich bezüglich eines Systems S mit der Geschwindigkeit v bewegt. Zum Zeitpunkt t = t = 0 setzen wir x = x = 0, d. h. die Uhren in S und S sind synchron, wenn die Uhr den Ursprung von S durchfliegt. Zu einem späteren Zeitpunkt t > 0 hat sich die bewegte Uhr um x = vt bezüglich S bewegt. Bezüglich dem Uhr-System S hat sich die Uhr hingegen nicht bewegt, deshalb 73

74 gilt weiterhin x = 0. Die vergangene Zeit in diesem System ist gegeben durch t = γ(t vx) = γ(1 v )t, wobei γ = 1 1 v. Demnach ist in S die Zeit vergangen. Bildlich gesprochen: Bewegte Uhren gehen langsamer. Minkowski-Raum Wir betrachten zwei Ereignisse E 1 = (0, 0) und E = (t, x). Der Abstand der beiden Ereignisse ist s (t t 1 ) (x x 1 ) = t x. Dieser Minkowski-Abstand ist Lorentz-invariant. Wir unterscheiden drei Fälle: a) s < 0: raumartiger Abstand. t = 1 v t < t b) s = 0: lichtartiger Abstand, das Ereignis liegt auf dem Lichtkegel. c) s > 0: zeitartiger Abstand. Im Fall eines raumartigen Abstands kann folgende Situation auftreten: Im System S sind die Ereignisse E 1 = (0, 0) und E : t > 0, x > t. E ist nach E 1. Im bewegten System S ist ebenfalls E 1 = (0, 0), allerdings E : t = γ(t βx) < 0 für t/x < β < 1. (Diese Bedingung ist erfüllbar.) E ist vor E 1. Deshalb ist eine Beeinflussung von E durch E 1 (oder andersrum) unmöglich. Ansonsten wäre das ein Widerspruch zur Kausalität in einem der Inertialsysteme. Ein Signal von E 1 nach E müsste eine Geschwindigkeit von v = x/t > 1 = c haben. Da dies nicht möglich ist, spricht man von der Unmöglichkeit von Überlichtgeschwindigkeit. Im Fall eines zeitartigen Abstands ist eine Beeinflussung von E 1 durch E hingegen durchaus möglich, da sich dafür ein Signal nur mit einer Geschwindigkeit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit ausbreiten muss. Eigenzeit 74

75 Für den Fall konstanter Geschwindigkeit v wissen wir bereits, es gilt t = 1 v t. Nun betrachten wir ein System K, dessen Geschwindigkeit v(t) relativ zu S zeitabhängig ist. Demnach handelt es sich beim Körpersystem K im Allgemeinen nicht um ein Inertialsystem. Wir können die Ortsänderung in einem beliebig kleinen Zeitintervall durch die Tangente an der Geschwindigkeitskurve ausdrücken. Ein System S, das sich entlang dieser Tangente bewegt, ist ein Inertialsystem. Deshalb gilt dt = 1 v (t) dt. Integration dieses Ausdrucks liefert die Zeit auf der bewegten Uhr, ausgedrückt durch die Zeit im ruhenden System: τ τ 1 = t t 1 1 v (t) dt t t 1. Man bezeichnet dτ = 1 v dt als die Eigenzeit (oder das Eigenzeitintervall). Diese ist Lorentz-invariant. Das sieht man zum einen direkt aus der Definition. Explizit folgt es folgendermaßen: Der Minkowski-Abstand s = (t t 1 ) (x x 1 ) (y y 1 ) (z z 1 ) ist Lorentz-invariant. Das gilt auch für einen beliebig kleinen Abstand (ds) = (dt) (dx) (dy) (dz). Da er invariant ist, können wir den Abstand auch in S ausdrücken: (ds) = (dt ) (dx ) (dy ) (dz ). Zu einem Zeitpunkt fallen S und K zusammen, dort gilt demnach dt = dτ und dx = dy = dz = 0, da sich die Uhr mit K mitbewegt. Deshalb gilt (ds) = (dτ). Es folgt: ( ) dx dτ = ds = dt 1 dt = dt 1 v = dt ( ) dy dt 1 v (t). ( ) dz = dt Nun betrachten wir zwei verschiedene Bewegungen zwischen den Ereignissen E 1 = (t 1, 0) und E = (t, x). Zum einen bewegt sich das Inertialsystem (S, t ) mit konstanter Geschwindigkeit, zum anderen bewegt sich ein beschleunigtes System (K, τ) von E 1 nach E. Somit ist die Bewegung zwischen E 1 und E in K, relativ zu S : τ τ 1 = t t 1 1 v (t ) dt t t 1. Folglich ist die Eigenzeit τ τ 1 maximal für v 0. Das bedeutet, die geradlinig, gleichförmige Bewegung maximiert die Eigenzeit. 75

76 8. Lagrangefunktion eines freien Teilchens In diesem Kapitel befassen wir uns mit der relativistisch korrekten Beschreibung der gradlinig, gleichförmigen Bewegung eines Massenpunkts. Dieses freie Teilchen bewegt sich zwischen den Zeitpunkten t 1, t entlang eines Weges vom Raum-Zeit-Punkt a nach b. Wir möchten eine Darstellung der Wirkung S erhalten, die invariant unter Lorentz- Transformation ist. Die Wirkung ist definiert als S := t t 1 L( v ) dt. Wir stellen fest, dass die Wirkung linear in der Zeit dt ist. Aus dem vorherigen Kapitel ist bekannt, dass die Eigenzeit τ Lorentz-invariant ist. Also setzen wir an: b t S := α dτ = α 1 v dt. a t 1 Des Weiteren wissen wir, dass die gradlinig, gleichförmige Bewegung die Eigenzeit b a dτ maximiert. Aufgrund der Forderung, dass die Wirkung S minimiert werden soll, definieren wir α > 0 als Lorentz-invarianten Parameter. Somit ist die (relativistische) Lagrangefunktion eines freien Teilchens L = α 1 v. Um α zu bestimmen, betrachten wir den Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten v 1 (relativ zur Lichtgeschwindigkeit). Wir führen eine Taylor-Entwicklung für die Lagrangefunktion durch: ( L = α 1 1 ) v +... = α + α v +... In diesem Grenzfall soll die newtonsche Mechanik gelten, deshalb fordern wir α v. Daraus folgt α = m, die Ruhemasse ist Lorentz-invariant. m v! = L = m 1 v Wir berechnen den relativistischen Impuls: L p = v = m v 1 v = m v 1. v 76

77 Da die Lagrangefunktion nur von der Geschwindigkeit v abhängt, ist x zyklisch. Deshalb folgt aus der Euler-Lagrange-Gleichung d dt p = 0 v = const. Nun können wir die relativistische Energie-Impuls-Beziehung aufstellen: E = p v L = m v 1 v + m(1 v ) 1 v = m 1 v = m + p. In konventionellen Einheiten ausgedrückt: E = mc 1. v c Erneut führen wir eine Taylor-Entwicklung für den Fall kleiner Geschwindigkeiten v 1 durch: ( E = m ) v +... = m + m v +... Für den Fall v = 0 hat das Teilchen die Ruheenergie E = m (bzw. E = mc ). Das ist die berühmte Äquivalenz von Masse und Energie. Bildquelle: 77