Stationäre, laminare, inkompressible Nachlauf-Fernfeld-Strömungen

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1 Stationäre, laminare, inkompressible Nachlauf-Fernfeld-Strömungen Diplomarbeit Universität Hamburg Fachbereich Angewandte Mathematik Florian Bünger. Dezember 7

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3 Stationäre, laminare, inkompressible Nachlauf- Fernfeld-Strömungen Florian Bünger

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5 Nichts ist getan, wenn noch etwas zu tun übrig ist. Carl Friedrich Gauß

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7 Einleitung Die vorliegende Arbeit behandelt klassische Fragestellungen der Strömungsmechanik zur Beschreibung einer stationären, laminaren, inkompressiblen Strömung hinter einem mit konstanter Geschwindigkeit angeströmten achsensymmetrischen Körper, wobei die strömende Substanz ein Newton sches Fluid (wie z.b. Wasser oder Luft) sei. Die Strömung hinter dem Körper wird Nachlauf-Strömung (engl.: wake) genannt. Direkt hinter dem Körper kann es in Abhängigkeit von der Körpergeometrie und den auftretenden Reynoldszahlen zu komplizierten Strömungen mit Wirbelbildungen kommen. Dieser Bereich heißt Nachlauf-Nahfeld (engl.: near wake). In weiter Entfernung stromabwärts hinter dem Körper ist jedoch zu erwarten, dass die Strömungssituation wieder einfach wird, d.h. die Strömung sollte wieder laminar werden und nur noch gering von der konstanten Anströmgeschwindigkeit abweichen. Dieser Bereich wird Nachlauf-Fernfeld genannt (engl.: far wake) und ist Gegenstand der Arbeit. Das Ziel war ursprünglich eine Ausarbeitung und Formalisierung des Abschnittes Wakes in dem Strömungsmechanik-Standard-Referenzwerk An Introduction to Fluid-Dynamics von G.K. Batchelor [] S Interesse am Thema in Verbindung mit einer ausführlichen Literaturrecherche hat dann aber zur Aufnahme weiterer Inhalte geführt. Als wesentliche Quellen seien dabei besonders die Arbeiten von Goldstein [] (93), [] (933), Tollmien [56] (93), Ting [55] (968), Libby und Fox [38] (963) und das Buch Laminar Wakes von Berger [3] (97) hervorgehoben. Experimentelle Ergebnisse wurden zu Vergleichszwecken von Nishioka & Sato [43] (97), [44] (974) und Nishioka & Miyagi [45] (978) übernommen. Die zugrunde liegende mathematische Modellierung von Nachlauf-Fernfeld-Strömungen fällt in den Bereich der sogenannten Grenzschicht-Theorie (engl.: boundary layer theory). Dies mag den mit der Materie weniger vertrauten Leser insofern überraschen, da man jene meist nur mit Strömungen in der unmittelbaren Umgebung einer festen Oberfläche (der Grenzschicht) verbindet, während das Nachlauf-Fernfeld aber gerade sehr weit von dem Hindernis entfernt ist. Die Annahmen der Grenzschicht-Theorie sind allerdings unabhängig vom Vorhandensein einer konkreten Oberfläche im Fernfeld trotzdem erfüllt, weswegen man häufig von freien Grenzschicht-Strömungen spricht. Der Inhalt gliedert sich in vier Kapitel und lautet grob folgendermaßen: Kapitel enthält die Notation und Grundlagen wie Navier-Stokes-Gleichungen, Entdimensionierung, Prandtl sche Grenzschichtgleichungen und eine ausführlichere Darstellung von laminaren Plattengrenzschichtströmungen. Kapitel behandelt Wärmeleitungsgleichungen, weil Nachlauf-Fernfeld-Strömungen über (Systeme von) I

8 II Wärmeleitungsgleichungen beschrieben werden können. Die Methode der Separation der Variablen führt bei Wärmeleitungsgleichungen auf natürliche Weise auf Hermite - Differentialgleichungen, welche ausführlich analysiert werden. Kapitel 3 enthält Modellierungen und zugehörige asymptotische Lösungen von Nachlauf-Fernfeld- Strömungen sowie deren Vergleich mit den experimentellen Messungen von Nishioka, Sato, Miyagi und numerischen Berechnungen, welche mit dem CFD Programm ANSYS CFX (Version.) durchgeführt wurden. Dem Kapitel ist eine ausführliche Einleitung vorangestellt, in der auch historische Eckpunkte der Entwicklung der Theorie angegeben sind. Der an Theorie weniger interessierte Anwender sei besonders auf die kompakte formelmäßige Darstellung (3.6.74) bis (3.6.77), S. 9, der asymptotischen Entwicklung dritter Näherung einer zweidimensionalen Nachlauf-Fernfeld-Strömung hingewiesen. Jene lässt sich allein aus der Kenntnis des Strömungswiderstandes des Körpers, der beispielsweise durch einen bekannten c W -Wert gegeben ist, bestimmen, und hängt nicht von der speziellen Geometrie des Körpers ab. Kapitel 4 beschreibt Nachlauf-Fernfeld-Strömungen innerhalb einer bodennahen Grenzschicht, d.h. das umströmte Hindernis befindet sich innerhalb der Grenzschicht einer (halb-)unendlich ausgedehnten flachen Platte. Auch dieses Kapitel besitzt eine ausführliche Einleitung, in der insbesondere detailliert auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede zu den freien Nachlauf-Strömungen aus Kapitel 3 eingegangen wird. Schwerpunkte und Ausführlichkeit der Darstellung sind nach eigenem Interesse und Kenntnisstand gewählt worden nach dem Prinzip, dass alles, was mir nicht bekannt war, möglichst genau hergeleitet und bewiesen wurde, während mir bekannte Zusammenhänge nur kurz oder mit Referenzen angegeben sind. Dem Leser können deswegen einige gängige Sachverhalte zu ausführlich dargestellt erscheinen, wie zum Beispiel die Ausführungen zu laminaren Plattengrenzschichtströmungen in Kapitel oder die Erläuterungen zu Hermite-Polynomen und Hermite-Differentialgleichungen in Kapitel. Ich hoffe jedoch auch dort, dem fortgeschrittenen Leser ein paar interessante Aspekte bieten zu können, wie etwa den Beweis der Existenz- und Eindeutigkeit der Blasius-Lösung der laminaren Plattengrenzschichtströmungen nach Weyl (s. Satz.5., S.5) und deren asymptotisches Verhalten nach Coppel (s. Lemma.5., S.8), oder eine elementare Abschätzung des asymptotischen Verhaltens der exponentiell wachsenden Lösungen von Hermite-Differentialgleichungen (s. Satz..5, S.33). Abschließend möchte ich mich bei Herrn Prof. Dr. J. Struckmeier bedanken, der mich für dieses Thema interessiert und die Arbeit betreut hat. Weiterhin danke ich herzlich Herrn Dr. S. Heitmann für hilfreiche Literaturhinweise auf experimentelle Messergebnisse von Nachlauf-Fernfeld-Strömungen sowie für eine kritische Durchsicht der Arbeit und Fehlerkorrekturen.

9 Inhaltsverzeichnis Navier-Stokes-Gleichungen. Stationäre, inkompressible, dimensionsbehaftete Navier-Stokes-Gleichungen Referenzgrößen und Entdimensionierung Zylinderkoordinaten Stromfunktion, von Mises-Variablen Blasius-Lösung der laminaren Grenzschichtströmung entlang einer halbunendlichen Platte Asymptotische Entwicklungen der Ganzraumlösungen von Wärmeleitungsgleichungen. Grundlagen Hermite-Polynome und -Differentialgleichung Fehlerfunktion Homogene Wärmeleitungsgleichung auf dem Ganzraum Laminare, inkompressible Nachlauf-Fernfeld-Strömungen Einleitung Nachlauf-Fernfeld-Gleichungen Analytische Lösungen der Nachlauf-Fernfeld- Gleichungen Asymptotische Lösungen der Nachlauf-Fernfeld- Gleichungen für rotationssymmetrische Strömungen Widerstandskraft im Nachlauf-Fernfeld-Modell Nachlauf-Fernfeld-Gleichungen höherer Ordnung für zweidimensionale achsensymmetrische Strömungen Rekursionsformel Berechnung von ũ () Berechnung von ũ () Berechnung von ũ (3) Prinzipielle Gestalt von ũ (i), i > Zusammenfassung der Ergebnisse III

10 IV Umrechnung in kartesische Koordinaten Ursprung- und Startpunktbestimmung der asymptotischen Nachlauf-Fernfeld-Lösungen Periodisierung Nachlauf-Fernfeld-Strömungen in Bodennähe 4. Einleitung gestörte Plattengrenzschichtströmungen Zusammenhang mit einer irregulären Sturm-Liouville Differentialgleichung Berechnung von f () Berechnung von f (i), i Nicht-Auftreten logarithmischer Terme Ursprungsbestimmung, optimale -Term-Asymptotik

11 Kapitel Navier-Stokes-Gleichungen. Stationäre, inkompressible, dimensionsbehaftete Navier-Stokes-Gleichungen Die n-dimensionalen, stationären, inkompressiblen, dimensionsbehafteten Navier-Stokes- Gleichungen (n N) für Newton sche Fluide lauten in kartesischen Koordinaten div v v in Ω (..) ν v + (v )v + ρ p f in Ω (..) physikalische Größe Symbol Einheit Beobachtungsgebiet Ω m Position x (x,..., x n ) Ω m Geschwindigkeitsfeld v v(x ) (v (x ),..., v n(x )) m/s Druck p p (x ) Pa kg/(ms ) äußeres Kraftfeld (pro Masse) f f (x ) (f (x ),..., f n(x )) N/kg m/s Dichte ρ kg/m 3 kinematische Viskosität ν m /s Die Einheit einer Menge/eines Tupels sei hier die seiner Elemente/Komponenten. : ( x,..., x ) n : x + + x n. Der Index kennzeichnet dimensionsbehaftete Größen. Er soll zur deutlichen Unterscheidung von den im nächsten Abschnitt eingeführten dimensionslosen Größen dienen. Eine Herleitung der Gleichungen (..) und (..) findet man in jedem Buch über Grundlagen der Strömungsmechanik und kann beispielsweise in den Werken [5] Kapitel., [4] Kapitel oder [3] Kapitel 4.7 nachgeschlagen werden.

12 Gleichung (..) beschreibt die Inkompressibilität und wird deswegen häufig Inkompressibilitätsbedingung oder Kontinuitätsgleichung genannt. Für stationäre Strömungen mit konstanter Dichte ist sie äquivalent zur Massenerhaltung. Das Gleichungssystem (..) besteht aus n Gleichungen, die Impulsbilanzen in jeder Koordinatenrichtung darstellen. Für den in dieser Arbeit ausschließlich betrachteten zwei- und dreidimensionalen Fall (n {, 3}) benutzen wir folgende üblichen, alternativen Notationen, um Dimensionsindices zu vermeiden bzw. um die Erdanziehungskraft mit dem Druck zusammenzufassen: physikalische Größe Symbol Position x (x, y, z ) Geschwindigkeitsfeld v (u, v, w ) statischer Druck p stat (x, y, z ) p ρ g y, p const. modifizierter Druck p mod p p stat p (x, y, z ) p + ρ g y Erdbeschleunigung g 9, 8 m/s Die dreidimensionalen, stationären, inkompressiblen, dimensionsbehafteten Navier-Stokes- Gleichungen mit der Erdanziehungskraft als einziger äußerer Kraft f (x, y, z ) (, ρ g y, ) (..3) lauten dann u x + v y + w z in Ω (..4) ν ( u x + u y + u u u ) + u u + v + w z x y z + p mod ρ x in Ω (..5) ν ( v x + v y + v v v v ) + u + v + w z x y z + p mod ρ y in Ω (..6) ν ( w x + w y + w w w w ) + u + v + w z x y z + p mod ρ z in Ω.(..7) Implizit wurde dabei die übliche Annahme getroffen, dass die Erdanziehung in negative y-richtung wirkt.. Referenzgrößen und Entdimensionierung Um zu dimensionslosen Gleichungen zu kommen, müssen die betrachteten physikalischen Größen Position x, Geschwindigkeit v, Dichte ρ, modifizierter Druck p mod, Viskosität ν auf Referenzgrößen bezogen werden. Sind L B (Einheit m), U B (Einheit m/s) und ρ B (Einheit kg/m3 ) eine typische Länge, Geschwindigkeit und Dichte des betrachteten Problems, so wird üblicherweise folgende Entdimensionierung vorgenommen:

13 3 physikalische Größe Symbol Bezugsgröße dimensionslose Variable Position x (x, y, z ) L B x (x, y, z) : ( x L, y B L, z B L ) B Beobachtungsgebiet Ω - Ω : {x x Ω } R 3 Geschwindigkeit v (u, v, w ) UB v (u, v, w) : ( u U, B U, B U ) B Dichte ρ ρ B ρ : ρ modifizierter Druck p mod p B : ρ B U B ρ B p : p mod p B kinematische Viskosität ν ν B : U B L B ν : ν ν B p mod ρ B U B ν UB L B Die Gleichungen (..4),...,(..7) nehmen dann folgende dimensionslose Gestalt an: : Re div v in Ω (..) ν v + (v )v + p in Ω (..) ρ : : ( x, y, z ) oder ausführlich (mit Indexnotation der partiellen Ableitungen): x + y + z u x + v y + w z in Ω (..3) ν(u xx + u yy + u zz ) + uu x + vu y + wu z + ρ p x in Ω (..4) ν(v xx + v yy + v zz ) + uv x + vv y + wv z + ρ p y in Ω (..5) ν(w xx + w yy + w zz ) + uw x + vw y + ww z + ρ p z in Ω. (..6) Falls die Strömung nicht nur inkompressibel ist (d.h. ρ t +(v )ρ in Ω), sondern eine konstante Dichte besitzt, kann ρ B ρ const. gewählt werden, woraus ρ folgt. In diesem Fall fällt der Faktor ρ vor dem Druckgradienten in den Gleichungen (..), (..4), (..5), (..6) weg..3 Zylinderkoordinaten Häufig ist es sinnvoll, ein der konkreten Strömungssituation angepasstes Koordinatensystem zu wählen. Ein Beispiel hierfür ist die dreidimensionale, horizontale Anströmung eines x- achsensymmetrischen Körpers. Man kann dann insgesamt von einer x-achsensymmetrischen Strömung ausgehen, so dass eine Beschreibung in Zylinderkoordinaten nahe liegt. Die Navier- Stokes-Gleichungen müssen entsprechend transformiert werden. Diese Transformation ist Standard. Sie wird hier trotzdem ausführlich hergeleitet, weil sie einerseits in späteren Kapiteln benutzt wird und andererseits in der Literatur meist nur ohne Beweis angegeben ist. Die folgenden Rechnungen sind aber für das tiefere Verständnis dieserer Arbeit nicht wichtig und man kann ggf. lediglich das Ergebnis (.3.7), (.3.8), (.3.9) auf Seite 8 zur Kenntnis nehmen. Es sei φ : R R R R 3, (ξ, r, α) (ξ, r cos(α), r sin(α))

14 4 die Koordinatentransformation von Zylinderkoordinaten (ξ, r, α) in kartesische Koordinaten (x, y, z) (ξ, r cos(α), r sin(α)). Die x-achse in kartesischen Koordinaten entspricht also der Symmetrieachse in Zylinderkoordinaten, der Radius r gibt den Abstand y + z des Punktes (x, y, z) von der x-achse an und α stellt den Winkel mit der x, y-ebene dar. Für jeden Punkt (ξ, r, α) in Polarkoordinaten bilden die Vektoren e ξ (ξ, r, α) : (,, ) e r (ξ, r, α) e α (ξ, r, α) : (, cos(α), sin(α)) : (, sin(α), cos(α)) eine euklidische Orthonormalbasis des R 3, die durch Drehung der euklidischen Standardbasis um die x-achse um den Winkel α entgegen dem Uhrzeigersinn entsteht. Der Vektor e ξ liegt auf der Symmetrieachse der Polarkoordinaten, der Vektor e r (ξ, r, α) zeigt von der x-achse aus in Richtung des Punktes (x, y, z) (ξ, r cos(α), r sin(α)) xe ξ (ξ, r, α) + re r (ξ, r, α) und der Vektor e α ist um 9 gegenüber e r in der y, z-ebene gedreht. Dementsprechend werden e ξ Axialkomponente, e r Radialkomponente und e α Tangentialkomponente des Basisvektorfeldes e : (e ξ, e r, e α ) genannt. Definiere abkürzend die Matrixfunktion M M(ξ, r, α) durch: Wegen M : e ξ e r e α cos(α) sin(α) sin(α) cos(α), M cos(α) sin(α) sin(α) cos(α) e r (ξ, r, α) α α (, cos(α), sin(α)) (, sin(α), cos(α)) eα (ξ, r, α) e α (ξ, r, α) α α (, sin(α), cos(α)) (, cos(α), sin(α)) er (ξ, r, α) für alle (ξ, r, α) gilt e r α eα e α α e r e η ζ (,, ) (η, ζ) {ξ, r, α} \{(r, α), (α, α)}. Aus der Basiseigenschaft von e folgt, dass es zu jedem Vektorfeld f : R 3 R 3 in kartesischen Koordinaten eindeutig bestimmte Funktionen f ξ, f r, f α : R R R R gibt, so dass f φ f ξ e ξ + f r e r + f α e α (f ξ, f r, f α )M (f ξ, f r, f α ) (f φ)m.. Man nennt f zyl : (f ξ, f r, f α ) die Darstellung von f in Zylinderkoordinaten.

15 5 Die Umrechnung von f (f x, f y, f z ) in kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten f zyl (f ξ, f r, f α ) lautet somit ausführlich: f x φ f ξ (.3.) f y φ f r cos(α) f α sin(α) (.3.) f z φ f r sin(α) + f α cos(α) (.3.3) f ξ f ξ φ (.3.4) f r (f y φ)cos(α) (f z φ)sin(α) (.3.5) f φ ( f y φ)sin(α) + (f z φ)cos(α). (.3.6) Es werden nun die in den Navier-Stokes-Gleichungen auftretenden Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten transformiert. Die Jacobi-Matrix von φ lautet: Dφ (Dφ) φ ξ φ ξ φ 3 ξ φ r φ r φ 3 r φ α φ α φ 3 α cos(α) sin(α) sin(α)/r cos(α)/r cos(α) r sin(α) sin(α) r cos(α) e ξ e r r eα. Es seien g : R 3 R eine differenzierbare Funktion und : ( ξ, r, α ) der Gradientoperator in Zylinderkoordinaten. Mit der Kettenregel berechnet man: g gdφ (g x, g y, g z ) g g (Dφ) (g ξ, g r, g α ) e ξ e r r eα e ξ g ξ + e r g r + r eα g α. Folglich hat der euklidische Gradientoperator ( x, y, z ) in Zylinderkoordinaten die Gestalt e ξ ξ + er r + r eα α. (.3.7)

16 6 Die euklidische Divergenz eines Vektorfeldes f berechnet man demnach folgendermaßen div f f (e ξ ξ + er r + r eα α ) (fξ e ξ + f r e r + f α e α ) e ξ ( fξ e ξ ξ + fr e r ξ r eα ( fξ e ξ α + fr e r α + fα e α α ) + fα e α ) + e r ( fξ e ξ + fr e r ξ r r + fα e α ) + r e ξ ( fξ ξ eξ + fr ξ er + fα ξ eα ) + e r ( fξ r eξ + fr r er + fα r eα ) + r eα ( fξ α eξ + fr α er + f r e α + fα α eα f α e r ) fξ ξ + fr r + r fr + r f α α. (.3.8) Ähnlich erhält man den euklidischen Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten: (e ξ ξ + er r + r eα α ) (eξ ξ + er r + r eα α ) e ξ ( ξ (eξ ξ ) + ξ (er r ) + r ξ (eα α )) + e r ( r (eξ ξ ) + r (er r ) + r r (eα α ) r eα α ) + r eα ( α (eξ ξ ) + α (er r ) + r α (eα α )) e ξ (e ξ ξ + er r ξ + r eα α ξ ) + er (e ξ + er ξ r r + r eα r eα (e ξ ξ α + eα r + er r α + r ( er + e α α )) α r r eα α ) + ξ + r + r r + r α. (.3.9) Für reellwertige Funktionen g bzw. dreidimensionale Vektorfelder f bedeutet dies: g g ξ + g r + g r r + g r α (.3.) f ( ξ + r + r r + r α )(fξ e ξ + f r e r + f α e α ) ( f ξ ξ + f ξ r + f ξ r r + f ξ r α )eξ + ( f r ξ + f r r + f r r r )er + f r e r r α + ( f α ξ + f α r + f α r r )eα + f α e α r α ( f ξ ξ + f ξ r + f ξ r r + f ξ r α )eξ + ( f r ξ + f r r + f r r r )er + r α ( fr α er + f r e α ) + ( f α ξ + f α r + f α r r )eα + r α ( fα α eα f α e r )

17 ( f ξ ξ + f ξ r + f ξ r r + f ξ r α )eξ + ( f r ξ + f r r + f r r r )er + f r r ( α er + fr α eα f r e r ) + ( f α ξ + f α r + f α r r )eα + f α r ( α eα fα α er f α e α ) ( f ξ ξ + f ξ r + r f ξ r + r f ξ α )eξ + ( f r ξ + f r r + f r r r + f r r α r fr f α r α )er + ( f α ξ + f α r + f α r r + f α r α r fα + f r r α )eα. (.3.) 7 Letztendlich ergibt sich die konvektive Ableitung (f )f eines Vektorfeldes folgendermaßen: (f )f ((f ξ e ξ + f r e r + f α e α ) (e ξ ξ + er r + r eα α ))(fξ e ξ + f r e r + f α e α ) (f ξ ξ + fr r + r fα α )(fξ e ξ + f r e r + f α e α ) (f ξ fξ ξ (f ξ fα ξ (f ξ fξ ξ (f ξ fα ξ fξ + fr r + r fα fξ α )eξ + (f ξ fr fr + fr ξ r + r fα fr α )er + r fα f r e α + + fr fα r + r fα fα α )eα r fα e r fξ + fr r + r fα fξ α )eξ + (f ξ fr fr + fr ξ r + r fα fr α r fα )e r + + fr fα r + r fα fα α + r fα f r )e α. (.3.) Für f v und g p erhält man durch Einsetzen von (.3.7), (.3.8), (.3.), (.3.) in die Navier-Stokes-Gleichungen (..), (..): div v vξ ξ + vr r + r vr + r ν v + (v )v + p ν v α α [( v ξ ξ + v ξ r + v ξ r r + v ξ r α )eξ + ( v r ξ + v r r + v r r r + v r r α r vr v α r α )er + ( v α ξ + v α r + v α r r + v α r α r vα + v r ] r α )eα (v ξ vξ ξ (v ξ vα ξ vξ + vr r + vξ vα r α )eξ + (v ξ vr vr + vr ξ r + vr vα r α r vα )e r + vα + vr r + vα vα r α + r vα v r )e α + e ξ p p + er ξ r + p eα r α +

18 8 [ ν( v ξ ξ + v ξ r + r [ ν( v r ξ + v r r + v r r r + v r r v ξ vr vr + vr ξ r + r [ ν( v α ξ + v α r + v α r r + v α r v ξ vα ξ v ξ r + v ξ vξ vξ r ) + vξ + vr α ξ r + vξ vα r α + p ] e ξ + ξ vr vα α r vα + p r vα + vr r + vα vα r α + r vα v r + r α r vr v α r α )+ ] e r + α r vα + v r r α )+ ] e α. Weil (e ξ, e r, e α ) ein Basisvektorfeld ist, müssen die Faktoren in eckigen Klammern verschwinden. p α Man erhält die dreidimensionalen, stationären, inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten (mit Indexnotation der partiellen Ableitungen): v ξ ξ + v r r + r vr + r vα α (.3.3) ν(v ξ ξξ + v ξ rr + r vξ r + r vξ αα) + v ξ v ξ ξ + v r v ξ r + r vα v ξ α + p ξ (.3.4) ν(v r ξξ + v r rr + r vr r + r vr αα r vr r vα α) + v ξ v r ξ + v r v r r + r vα v r α r vα + p r (.3.5) ν(v α ξξ + v α rr + r vα r + r vα αα r vα + r vr α) + v ξ v α ξ + v r v α r + r vα v α α + r vα v r + r p α. (.3.6) Falls das Strömungsfeld rotationsinvariant (unabhängig von α) ist und keine Rotation vorliegt, fallen die partiellen Ableitungen α nach der Winkelkoordinate weg und es gilt vα. Man erhält: v ξ ξ + v r r + r vr (.3.7) ν(v ξ ξξ + v ξ rr + r vξ r) + v ξ v ξ ξ + v r v ξ r + p ξ (.3.8) ν(v r ξξ + v r rr + r vr r r vr ) + v ξ v r ξ + v r v r r + p r. (.3.9).4 Stromfunktion, von Mises-Variablen Im zweidimensionalen Fall, lassen sich Stromlinien - Linien, die in jedem Punkt tangential zur Strömungsgeschwindigkeit verlaufen - von Strömungen (in einem topologisch hinreichend regulären Strömungsgebiet) besonders einfach durch eine (bis auf eine additive Konstante) eindeutige sogenannte Stromfunktion beschreiben, welche genau auf den Stromlinien konstant ist. Auch im dreidimensionalen Fall kann man analog vektorwertige Stromfunktionen einführen, jedoch wird die Notation aufwendiger, s. [3] S.76. Die Prandtl schen Grenzschichtgleichungen lassen sich dann bezüglich Stromfunktionvariablen - sogenannten von Mises-Variablen - in einer einfachen Form darstellen, die erstmals von v. Mises veröffentlicht wurde (s. [48], Abschnitt 7.3., S.85f.).

19 9 L. Ting benutzt in seinem Artikel [55] von Mises-Variablen zur Bestimmung der zweidimensionalen Nachlauf-Fernfeld-Gleichungen höherer Ordnung. Seine Ergebnisse werden ausführlich in Kapitel 3 Abschnitt dargestellt. Im Folgenden seien v (u, v) eine stationäre, zweidimensionale Strömung in dem zusammenhängenden, stückweise glatt berandeten, offenen Strömungsgebiet D R sowie ( ) i : die Drehmatrix zum Winkel π. Definition.4. (Stromfunktion) Eine stetig differenzierbare Abbildung ψ : D R heißt Stromfunktion von v, falls d.h. ψ ist ein Potential von iv. ψ v (.4.) x ψ u (.4.) y ( ) v ψ iv, (.4.3) u Die Existenz einer Stromfunktion von v (eines Potentials von iv) folgt aus dem Lemma von Poincaré, das in seiner einfachsten Form folgendermaßen lautet (s. [], Satz.4, Kapitel, S.4) : Lemma.4. (Poincaré) Sei Ω R n offen, f C (Ω; R n ) mit fi x j fj x i für i, j,...,n. Falls jede geschlossene Kurve in Ω zusammenziehbar (nullhomotop) ist, d.h. homotop zu einem Punkt x Ω, so existiert ein φ C (Ω) mit φ f. Ist Ω zusätzlich wegzusammenhängend (also insgesamt einfach zusammenhängend) und x Ω, so haben alle Lösungen die Darstellung φ(x) φ(x ) + mit γ C ([, ], Ω) sowie γ() x und γ() x. Beweis: s. [], S f(γ(s)) γ (s) ds In Lemma.4. wird vom Gebiet Ω die topologische Eigenschaft der Zusammenziehbarkeit aller geschlossenen Kurven (Nullhomotopie) verlangt. Dies setzen wir wie bereits in der Einleitung angedeutet für das betrachtete Strömungsgebiet D voraus. Beispielsweise besitzen konvexe oder allgemeiner sternförmige Gebiete diese Eigenschaft. Weil v divergenzfrei ist, ist iv rotationsfrei, denn rot(iv) rot( v, u) u x + v y div v. Damit sind alle Voraussetzungen von Lemma.4. für Ω D und f iv erfüllt, so dass ψ φ die (bis auf eine additive Konstante eindeutige) Stromfunktion von v ist. Wird umgekehrt die Strömung v (u, v) über eine vorgegebene Stromfunktion ψ C (D) durch u : ψ y und v : ψ x definiert, so ist v automatisch divergenzfrei, denn u x + v y ψ yx ψ xy.

20 Definition.4.3 (Stromlinie) Es seien I ein offenes Intervall in R und s : I D, τ (s (τ), s (τ)) eine stetig differenzierbare Abbildung. Die Trajektorie {s(τ); τ I} von s heißt Stromlinienabschnitt von v, wenn s : (s, s ) (v s) (u s, v s) in I. (.4.4) Die Trajektorie hat also in jedem Punkt die Geschwindigkeit v und verläuft damit insbesondere tangential zur Strömung. Die Funktion s wird Parametrisierung des Stromlinienabschnittes genannt. Eine Stromlinie ist ein bezüglich Inklusion maximaler Stromlinienabschnitt. Für stationäre Strömungen fallen die Stromlinien mit den Bahnlinien, das sind die Trajektorien der Fluidteilchenbewegungen, zusammen, so dass es für diesen Fall anschaulich leicht verständlich ist, dass jeder Punkt (x, y) auf genau einer Stromlinie liegt und zwei verschiedene Stromlinien sich in keinem Punkt schneiden. Für instationäre Strömungen ist letztere Aussage zu jedem festen Zeitpunkt ebenfalls erfüllt, jedoch stimmen Stromlinien und Bahnlinien im allgemeinen nicht mehr überein! Bemerkung.4.4 (Stromfunktion) Die Stromfunktion ψ von v ist auf jeder Stromlinie von v konstant. Beweis: Es sei s ein Stromlinienabschnitt von v. Man berechnet dann sofort: (ψ s) (ψ x s)s + (ψ y s)s ( v s)(u s) + (u s)(v s). Die dimensionslosen, zweidimensionalen, stationären Prandtl schen Grenzschichtgleichungen lauten ohne Streckung bzw. Stauchung von y, v mit der Zahl Re und ohne Normierung von ρ auf durch die Wahl ρ B ρ : u x + v y (.4.5) uu x + vu y + ρ p x νu yy (.4.6) p y. (.4.7) (s. Schlichting, Gersten [48], Gleichungen (6.7), (6.8), (6.9), S.48. Dort werden jedoch genau umgekehrt zur hier und in [3] verwendeten Notation dimensionslose Größen mit und dimensionsbehaftete Größen ohne Index * angegeben.) Dabei wird die horizontale Außenströmung U(x) u(x, y), y außerhalb der Grenzschicht, als allein von der horizontalen Koordinate x abhängig angesehen, weswegen in diesem Bereich die partiellen Ableitungen nach y wegfallen und (.4.6) die Form p x ρuu x (.4.8) bekommt. Diese Darstellung von p x kann man wiederum in (.4.6) einsetzen: uu x + vu y UU x νu yy. (.4.9)

21 Für eine konstante Außenströmung U const. folgt uu x + vu y νu yy. (.4.) Die von Mises-Transformation ist eine Koordinatentransformation der Impulsgleichung (.4.6), bei der die kartesischen Koordinaten (x, y) in die von Mises-Koordinaten (ξ, η) : (x, ψ) transformiert werden (s. [48] Abschnitt 7.3. S.85). Zunächst transformiert man die in (.4.6) auftretenden Differentialoperatoren x und y. Hierfür sei f C (D). f x f x f ξ ξ x + f η η x f ξ + ψ f x ψ f ξ vf ψ x ξ v ψ f y f y f ξ u y ψ. ξ y + f η Angewandt auf die Terme in (.4.6) bedeutet dies: η y + ψ f y ψ u f ψ uf ψ u(u ξ vu ψ ) + vuu ψ + ρ (p ξ v p ψ ) νu(uu ψ ) ψ }{{} p ψ u p y (.4.7) (.4.) p ξ p x + vp ψ p x (.4.) uu ξ + ρ p ξ νu(uu ψ ) ψ. (.4.3) Bei verschwindendem Druckgradienten p ξ p x, wie es nach (.4.8) beispielsweise bei konstanter Außenströmung der Fall ist, vereinfacht sich (.4.3) nach einer Division durch u zu u ξ ν(uu ψ ) ψ. (.4.4) Hat man u(ξ, ψ) in von Mises-Koordinaten bestimmt, so kann man das Ergebnis in kartesischen Koordinaten darstellen, indem man die zu (ξ, ψ) gehörige y-koordinate berechnet. Diese erhält man aus dem Umkehrsatz y (ξ, ψ) ψ y y(ξ, ψ) ( ) ψ (x, y) u(ξ, ψ) y ψ η u(ξ, η) dη. (.4.5).5 Blasius-Lösung der laminaren Grenzschichtströmung entlang einer halbunendlichen Platte Als führender Term in der asymptotischen Entwicklung von laminaren inkompressiblen D- Nachlauf-Fernfeldern hinter bodennahen Hindernissen wird später die sogenannte Blasius-Lösung der Plattengrenzschichtströmung entlang einer halbunendlichen Platte benutzt, weswegen diese

22 hier kurz eingeführt werden soll, ohne auf Details einzugehen. Solche findet man in [48] Abschnitt 6.5. S Bei einer laminar, inkompressibel, mit einer (dimensionslosen) konstanten Anströmgeschwindigkeit U tangential angeströmten, halbunendlichen Platte macht man folgenden Ähnlichkeitsansatz in separierten Variablen für die Stromfunktion ψ(x, y) (s. [48] S. 57 Gleichungen (6.45), (6.46)): ψ(x, y) : ( ) U νxuf y νxuf(η) (.5.) νx U η : y Ähnlichkeitsvariable. (.5.) νx Dabei liegt der Koordinatenursprung des kartesischen Koordinatensystems auf der Vorderkante der halbunendlichen Platte und die positive x-achse fällt mit dieser zusammen. Aus der Stromfunktion leitet sich dann folgendes Geschwindigkeitsfeld v (u, v) ab (s. [48] S. 57, Gleichungen (6.47), (6.48)): ψ u (.4.) y ψ η v (.4.) ψ x η y Uf (η) (.5.3) νu x (ηf f). (.5.4) Für die in der Grenzschicht-Impulsgleichung (.4.6) auftretenden partiellen Ableitungen von u und v bedeutet dies: u x Uf (η)η x x Uηf (η) (.5.5) U u y Uf (η)η y U νx f (η) (.5.6) U U νx f (η)η y U νx f (η). (.5.7) u yy Einsetzen in (.4.6) ergibt bei verschwindendem Druckgradienten p x (z.b. bei konstanter Außenströmung gemäß (.4.8)): uu x + vu y νu yy U x ηf (η)f (η) + U x (ηf f)f (η) U x f (η) U x (f + ff )(η). Mit der Haftbedingung u(x, ) v(x, ) an der Platte, der Nullstromlinie ψ(x, ) entlang der Platte und der Außenstrombedingung lim y u(x, y) U für alle x > erhält man folgendes Randwertproblem: f + ff Blasius-Gleichung (.5.8) f() (.5.9) f () (.5.) lim f (η). (.5.) η

23 3 Ein mathematisch korrekter Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis einer Lösung wurde erstmals 94 von H. Weyl in [58] angegeben. Diese eindeutig bestimmte Lösung f wird nach ihrem Urheber H. Blasius, einem Schüler Prandtls, der sie 98 in seiner Dissertation [5] gefunden hat, Blasius-Lösung genannt. Der Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis von Weyl ist mit einigen weiteren, später benötigten Aussagen zur Asymptotik der Blasius-Lösung im Beweis von Satz.5. unten wiedergegeben. Die Blasius-Differentialgleichung ist zwar nicht linear aber ansonsten gutartig (die rechte Seite des zugehörigen Differentialgleichungssystems ist auf jedem kompakten Intervall von R Lipschitzstetig) und lässt sich numerisch problemlos integrieren. Umfangreiche analytische Untersuchungen wurden 96 von Coppel [] durchgeführt. Eine auf ganz R konvergente analytische Darstellung der Blasius-Lösung wurde jedoch erst 998 von S.-J. Liao [37] (S. Formel (.4)) mittels einer interessanten, für die Strömungsmechanik neuartigen Anwendung von topologischer Homotopie- Theorie angegeben. Seine Reihendarstellung enthält allerdings mehrere rekursiv definierte Parameter, deren Definition für sich bereits mehrere Seiten in Anspruch nehmen, so dass jene umständlich zu handhaben ist. Trotzdem ist es eine erstaunliche Leistung, da mit Liao s Formel beispielsweise auch die Wandschubspannung über den Funktionswert f () analytisch exakt berechnet werden kann. Die Graphen der Funktionen f, f u/u, f, v sind in Abbildung. auf Seite 4 dargestellt. Dabei wurde die Blasius-Gleichung in Matlab mit dem Standard-DGL-Löser ODE45 numerisch gelöst, wobei f (), 4696 durch ein Schießverfahren geschätzt werden kann. Die Graphen von u und v entsprechen den Abbildungen aus [48] Bild 6.6 (a), (b) S.59.

24 f f u/u f (η f f)/ / v/u (Ux/ν) / η Abbildung.: Blasius-Lösung der laminaren Grenzschichtströmung entlang einer tangential angeströmten halbunendlichen Platte

25 5 Satz.5. (H. Weyl) a) Das Anfangswertproblem y + yy y() y () y () besitzt auf R eine eindeutige Lösung h C 3 (R ). b) Die Funktion Φ : C(R ) C(R ), Φ(g)(z) : exp ( z ) (z ζ) g(ζ)dζ ist monoton fallend, d.h. für g, g C(R ) mit g g gilt Φ(g ) Φ(g ). c) Für n N sei g n : Φ n (). Die Teilfolge (g n ) n N ist monoton wachsend und (g n+ ) n N ist monoton fallend, wobei g g n g n+ g. Für z R und n N gilt g n+ (z) g n (z) (z3 ) n (3n)!. (.5.) d) Die Folge (g n ) n N konvergiert punktweise gegen g : h, wobei g n g g n+ g(z) g n (z) (z3 ) n für alle z R. (3n)! Insbesondere ist die Konvergenz auf jedem kompakten Intervall [a, b] R gleichmäßig mit g g n (b3 ) n (3n)!. e) h ist monoton wachsend und beschränkt, so dass f) f(η) : (.5.). a h( a lim z h (z) z g(z) dz : a R >. η) ist die gesuchte eindeutig bestimmte Blasius-Lösung von (.5.8),..., Beweis: a) Das zugehörige System erster Ordnung lautet Y F(Y ) (Y, Y 3, Y Y 3 ) mit Y (Y, Y, Y 3 ) (y, y, y ). Die rechte Seite F ist stetig differenzierbar und damit insbesondere lokal Lipschitz-stetig. Die Behauptung folgt daher aus einer einfachen Erweiterung des Existenzund Eindeutigkeitssatzes von Picard-Lindelöf, wie man sie beispielsweise in [6] Abschnitt VII auf Seite 6 unten nachschlagen kann. Weyl betrachtet in [58] die Differentialgleichung y + yy anstatt y + yy. In Teil f) verschwindet der Faktor bei einer ohnehin notwendigen Transformation.

26 6 b) Die Monotonie von Φ folgt sofort aus der Monotonie der Exponentialfunktion und der des Integrals sowie der Positivität des Faktors (z ζ). c) Es ist g Φ () Φ() g. Weil Φ gemäß b) monoton fällt, ist Φ monoton wachsend, so dass g n Φ n () Φ n () Φ n (Φ()) Φ n+ () g n+. Wegen exp( x) für alle x R erhält man aus der Definition von Φ mit einer trivialen Induktion über n N sofort Φ n () g n. Dies bedeutet aber insbesondere g g und g 3 g, so dass wiederum aus der Monotonie von Φ folgt: g n Φ n () Φ n (g ) g (n+) g n+3 Φ n+3 () Φ n (g 3 ) Φ n (g ) g n+. Folglich ist (g n ) n N monoton wachsend und (g n+ ) n N monoton fallend. Es sei nun z R. Die Ungleichung g n+ (z) g n (z) (z3 ) n (3n)! soll per Induktion über n gezeigt werden. Induktionsanfang: n. g (z) g (z) (z3 ) (3 )!. Induktionsschritt: n n +. Nach c) gilt g n g n+ oder g n+ g n. Um diesbezüglich eine Fallunterscheidung zu vermeiden setze u : min(g n+, g n ) und v : max(g n+, g n ) und U(z) : z (z ζ) u(ζ)dζ Nach Induktionsvoraussetzung berechnet man mit partieller Integration: V (z) U(z) z ] z [(z ζ) n ζ 3n+ + (3n + )! } {{ } (z)3(n+) (3(n + ))! Für x R gilt. (z ζ) (v(ζ) u(ζ))dζ z z z (z ζ) n+ ζ 3n+ (3n + )! dζ (z ζ) v(ζ)dζ : V (z). (.5.3) (z ζ) (ζ3 ) n (3n)! dζ [(z ζ) n+ ζ 3n+ ] z } (3n + )! {{ } z n+ ζ 3n+ + (3n + )! dζ (.5.4) a(x) : e x x : b(x), (.5.5) da a() b() und a (x) e x b (x). Mit diesen Vorbereitungen leitet man nun die gewünschte Abschätzung her: g n+ (z) g n+ (z) Φ(g n+ )(z) Φ(g n )(z) Φ(u)(z) Φ(v)(z) exp( U(z)) exp( V (z)) exp( U(z)) ( exp( (V (z) U(z)))) } {{ } } {{ }, da V (z) U(z) (.5.5) V (z) U(z) (.5.4) (z) 3(n+) (3(n + ))!.

27 7 d) Nach c) konvergiert die Folge (g n ) n N punktweise. Es ist daher nur g n g g n+ zu zeigen. Zunächst sieht man, dass g h nach Konstruktion von Φ ein Fixpunkt von Φ ist: Φ(g)(z) exp( z (z ζ) h (z) dζ) exp( [ (z ζ) h (ζ) ] z } {{ } exp([ (z ζ)h(ζ)] z } {{ }, da h() Φ(g) (z) h(z)φ(g)(z) Φ(g)() exp(). z, da h () z h(ζ) dζ) exp( z h(ζ) dζ) (z ζ)h (ζ) dζ) Folglich löst die Funktion Φ(g) das Anfangswertproblem y hy, y(). Andererseits ist aber gemäß a) g h die eindeutige Lösung dieses Problems, so dass Φ(g) g gelten muss, d.h.: g ist ein Fixpunkt von Φ. Dies bedeutet aber Φ(g) g. Weil Φ monoton fällt, hat man auch g Φ(g) Φ(). Die Monotonie von Φ liefert nun die gewünschte Einschließung g n Φ n () Φ n (g) g Φ n+ (g) Φ n () Φ n+ () g n+. e) Weil g h nach d) positiv ist, muss h monoton wachsen. Man berechnet g (z) Φ()(z) exp( g 3 (z) Φ(g )(z) exp( Gemäß d) gilt h g g 3, weswegen z z (z ζ) dζ) e z3 3 (z ζ) e ζ3 3 dζ) z z z exp( z e ζ3 3 dζ + z ζe ζ3 3 dζ ζ e ζ3 3 dζ) z z exp( z e ζ3 3 dζ + z ζe ζ3 3 dζ ( e z3 3 )). (.5.6) h (z) h (z) h () z h (ζ) dζ z g 3 (ζ) dζ. Es genügt daher zu zeigen, dass g 3 integrierbar ist, d.h. g 3 (ζ) dζ < +. Die Funktionen e ζ3 3 und ζe ζ3 3 sind auf R integrierbar. Setze α : β : z e ζ3 3 dζ R> ζe ζ3 3 dζ R> und wähle γ ], α[. Es gibt dann ein z R, so dass für alle z z γ < z e ζ3 3 dζ und z γz < z e ζ3 3 dζ zβ z γz > z e ζ3 3 dζ + zβ z z z e ζ3 3 dζ + z ζe ζ3 3 dζ.

28 8 Für z z lässt sich dann Gleichung (.5.6) folgendermaßen nach oben abschätzen: g 3 (z) z z exp( z e ζ3 3 dζ + z ζe ζ3 3 dζ ( e z3 3 )) e γz e z 3 ( e 3 ) } {{ } e γz. } {{ } < γz Weil die Funktion e γz integrierbar ist, trifft dies auch auf g 3 zu, denn χ [,z]g 3 + χ ]z,+ ]e γz ist eine integrierbare Majorante von g 3. f) Die Funktion f(η) : a h( a η) erfüllt (.5.8),..., (.5.), denn f (η) + ff (η) a h ( a η) + a h( a η)h ( a η) [ ] a h ( η) + h( a a η)h ( a η) f() a h() f () a h () f (η) a a h ( η). η Die Eindeutigkeit der Blasius-Lösung folgt aus der von h. Das asymptotische Verhalten für η der Blasius-Lösung f(η) und ihrer ersten beiden Ableitungen wird von Coppel [] in Abschnitt 4 ab Seite 8 geklärt. Für spätere Anwendungen genügen hier seine elementaren Abschätzungen auf Seite 8: Lemma.5. (Coppel) Für jede Konstante θ ], [ gibt es ein η R, so dass f, f, f für alle η η + folgende Schranken besitzen: η δ f(η) η δ + f (η )e θ(η η) (.5.7) < f (η) f (η )e θ(η η) (.5.8) < f (η) f (η )e θ(η η), (.5.9) wobei δ : f (η)dη die sogenannte Verdrängungsdicke ist (s. [48] S.54). Beweis: Die linken Seiten der Ungleichungen (.5.8) und (.5.9) erhält man aus Satz.5. d) und e), nach denen sogar f (η) > < f (η) für alle η R gilt. Sei θ ], [ fest gewählt. Wegen lim η f (η) gibt es ein η R, so dass f (η) θ für alle η η. Für η η leitet

29 9 man deshalb folgende Ungleichungen nacheinander her: η η f(η) f(η ) f (η) dη η θ dη θ(η η ) η f(η) θ(η η ) + f(η ) θ(η η ) } {{ } f (η) (ff )(η) θ(η η )f (η) f (η) f θ(η η ) (f >) ln(f (η)) ln(f (η )) η f (η) dη η f f (η) f (η )e (η η). η η θ(η η ) dη (η η ) Die letzte Zeile ist die rechte Seite der Ungleichung (.5.9). Integration liefert nun für η η + : f (η) (.5.9) η f (η ) f (η) dη η e (η η) dη f (η ) f (η )[ e (η η) ] η f (η )e (η η). η (η η ) e (η η) dη (.5.) } {{ } Das ist die rechte Seite der Ungleichung (.5.8). Eine weitere Integration ergibt die letzte Ungleichung (.5.7): (f ) η f (η) dη η f (η) dη (.5.8) f (η) dη η δ f(η) η δ + f (η )e (η η). η f() f (η )e (η η) dη δ (η f(η)) f (η )e (η η) (.5.) Abschließend soll kurz der Widerstand einer tangential mit konstanter Geschwindigkeit U laminar und inkompressibel angeströmten Platte der Länge l und Breite B aus der Blasius-Lösung hergeleitet werden, da jener später in Beispielen verwendet wird (vgl. [48] S.59-6). Die Schubspannung an der Position x der Platte gemessen von deren Vorderkante ist per Definition der dynamischen Viskosität µ ν ρ des betrachteten Newton schen Fluids gegeben durch τ (x ) µ u (x, ) y ν ρ u y (x, ). (.5.) Wählt man als Bezugsschubspannung τb : ρ B UB und entdimensioniert τ : τ /τb, so lautet (.5.) in dimensionsloser Form (vgl. (.)): τ(x) νρ u (x, ) y, 33ρU (.5.6) νρu U U νx f (), 4696νρU νx Uν x. (.5.)

30 Der mit der Bezugskraft F B : ρ B (U B L B ) entdimensionierte Widerstand W W /F B einer Plattenseite ergibt sich durch Integration der Schubspannung über die Plattenfläche: l W B τ(x) dx, 33BρU l Uν x dx, 664BρU Uνl. (.5.3) Der Widerstandsbeiwert einer Plattenseite lautet demnach: c W W ρ U Bl, 664BρU Uνl ρ U Bl, 38. (.5.4) Ul ν Für U B U, L B l ist U l, so dass c W, 38 ν, 38/ Re. Diese Formel wird Blasius sches Plattenwiderstandsgesetz genannt.

31 Kapitel Asymptotische Entwicklungen der Ganzraumlösungen von Wärmeleitungsgleichungen. Grundlagen In diesem Abschnitt werden elementare Bezeichnungen der asymptotischen Analysis eingeführt und einige spezielle Aussagen für spätere Abschnitte bereitgestellt. Quellen sind [9] Kapitel, [3] Abschnitt 4, [34], [4], [57]. Definition.. (O- und o-notation) Es seien X R m, Y R n, m, n N, und f, g : X Y R Funktionen. Man schreibt f(x; y) O(g(x; y)) in Y, (..) wenn es für jedes x X eine Konstante k(x) R > gibt, so dass f(x; y) k(x) g(x; y) für alle y Y. (..) Weiterhin seien nun ϕ : R n R k, k N, eine stetige Funktion - meist wird ϕ id R n oder ϕ gelten - und z R k ein Häufungspunkt von ϕ(y ), der nicht notwendig in ϕ(y ) enthalten sein muss. Man schreibt f(x; y) O(g(x; y)), ϕ(y) z, (..3) wenn es zu jedem x X eine Umgebung U(x) von z und eine Konstante k(x) R > gibt, so dass f(x; y) k(x) g(x; y) für alle y ϕ (U(x)) Y. (..4) Man schreibt f(x; y) o(g(x; y)), ϕ(y) z, (..5)

32 wenn es zu jedem x X und jedem δ > eine Umgebung U(x, δ) von z gibt, so dass f(x; y) δ g(x; y) für alle y ϕ (U(x, δ)) Y. (..6) Sind in den definierenden Gleichungen (..), (..4), (..6) die Größen k(x), U(x), U(x, δ) unabhängig von x X, so wird den Notationen (..), (..3), (..5) jeweils das Attribut gleichmäßig (in X) zugefügt. Falls f f(y) und g g(y) nur von y und nicht von x abhängen, wird die Variable x in allen Bezeichnungen dem Kontext entsprechend fortgelassen. Auf kanonische Weise kann man nun Ordnungsrelationen auf den Klassen O(f(x; y)) definieren. Ohne sich in Formalismen zu verlieren, seien folgende selbsterklärende Kurznotationen eingeführt: O(f(x; y)) O(g(x; y)) : f(x; y) O(g(x; y)) g(x; y) O(f(x; y)) O(f(x; y)) < O(g(x; y)) : f(x; y) O(g(x; y)) g(x; y) O(f(x; y)) O(f(x; y)) O(g(x; y)) : O(f(x; y)) < O(g(x; y)) O(g(x; y)) O(f(x; y)). All diese Abkürzungen können die Zusätze ϕ(y) z bzw. gleichmäßig enthalten. Definition.. (asymptotische Folge) Es sei (φ (i) (ε)) i Z eine Folge reellwertiger Funktionen φ (i) in einer reellen Variablen ε, deren Definitionsbereiche den Häufungspunkt ε R besitzen (meist wird ε {, ± } gelten). Falls φ (i+) (ε) o(φ (i) (ε)), ε ε für alle i Z, so heißt die Funktionenfolge (φ (i) (ε)) i Z eine asymptotische Folge für ε gegen ε. Beispiel..3 (asymptotische Potenzfolgen) Ist (α i ) i Z eine streng monoton wachsende Folge in R, so wird durch φ (i) : R > R, ε ε αi eine asymptotische Folge für ε gegen definiert, welche Potenzfolge mit Exponenten α i heißt. Der Spezialfall α i i wird als natürliche oder auch kanonische Potenzfolge bezeichnet. Definition..4 (mehrskalige, asymptotische Entwicklung) Es seien I R, ε R ein Häufungspunkt von I, D eine Teilmenge eines R n, n N, f : D I R m, m N, eine Funktion, (φ (i) (ε)) i N, (ψ (i) (ε)) i Z asymptotische Folgen mit Definitionsbereich I und φ () ψ (). Weiterhin sei (f (i) (ε)) i N eine Folge von Funktionen f (i) : D Z R m, die höchstens bezüglich endlich vieler Variablen nicht konstant seien. Es bezeichne ψ(ε)x : (..., ψ ( ) (ε)x, ψ () (ε)x, ψ () (ε)x,...) D Z. Für N N {+ }, heißt die Reihe N φ (i) (ε)f (i) (ψ(ε)x) i

33 3 eine asymptotische Entwicklung der Stufe N von f mit Amplituden φ (i), i...,n, und Skalen ψ, wenn M f(x; ε) φ (i) (ε)f (i) (ψ(ε)x) o(φ (M) (ε)), ε ε (..7) i für alle M (N ) N. Man beachte, dass (..7) m Gleichungen enthält, d.h. die asymptotische Entwicklung aller m Komponenten-Funktionen von f erfolgt einheitlich bezüglich der Amplituden φ und Skalen ψ. Eine asymptotische Entwicklung der Stufe + wird einfach asymptotische Entwicklung genannt und man schreibt in diesem Fall formal: f(x; ε) φ (i) (ε)f (i) (ψ(ε)x), ε ε. i Falls (..7) gleichmäßig für alle x D erfüllt ist (s. Definition..), so spricht man von gleichmäßigen asymptotischen Entwicklungen. Als nächstes sei der Begriff einer schnell fallenden Funktion in Erinnerung gerufen (s.[35], Kapitel VIII, 4, S. 36). Definition..5 (schnell fallende Funktion) Eine Funktion f : R n R, n N, heißt schnell fallend, falls zu jedem m N Konstanten c (m), c (m) R > existieren, so dass ( + x ) m f(x) < c (m) für alle x R n mit x > c (m), (..8) d.h. die Funktionen ( + x ) m f(x) sind für große x stets (nicht notwendig gleichmäßig für alle m N) beschränkt. Eine äquivalente Beschreibung ist f(x) O(x m ), x für alle m N. (..9) Die Klasse der schnell fallenden Funktionen enthält bekanntlich die der exponentiell fallenden Funktionen. Definition..6 (exponentiell fallende Funktion) Eine Funktion f : R n R, n N, heißt exponentiell fallend, falls f(x) O(e α x β ), x (..) für geeignete α, β R >. Die zentrale im Folgenden hauptsächlich verwendete Eigenschaft schnell fallender Funktionen wird im nächsten Lemma festgehalten. Lemma..7 Ist f L (R n ), n N, eine schnell fallende Funktion, so ist für jedes k N n die Funktion x k f(x) (Lebesgue-) integrierbar, wobei x k : x k xkn n.

34 4 Beweis: Setze k : k + + k n. Weil f schnell fallend ist, gibt es zu m : n + k Konstanten c c (m), c c (m) R >, so dass (..8) erfüllt ist. Weiterhin gibt es wegen f L (R n ) eine Konstante c 3 R >, so dass f c 3 fast überall. Aus f L (R n ) folgt insbesondere auch, dass f messbar ist, weshalb dies auch auf (x z) k f(x) zutrifft. Zum Nachweis der Integrierbarkeit muss deswegen nur noch x k f(x) dx < + gezeigt werden. Für diese Integralabschätzung seien zunächst folgende elementare Sachverhalte bereitgestellt: ( + x ) ( + x n) ( + x ) n ( + x ) n (..) dz lim + z arctan(z) lim arctan(z) π. (..) z z z R Man schätzt nun ab: x k f(x) dx (..) (..) x k f(x) dx + x k f(x) dx x c x >c c k c 3 +c x c dx } {{ } :C C + c ( + x ) C + c C + c π n < +. n dx x >c x k dx ( + x ) n+k ( + x ) ( + x n ) dx dx n Korollar..8 Es sei g L (R) eine schnell fallende Funktionen und k N. a) Es gibt ein nur von g abhängiges, reelles Polynom p vom Grad k derart, dass y z k g(y) dy p( z ) (..3) für alle z R. Insbesondere ist für jedes z R die Abbildung y (y z) k g(y) (Lebesgue-) integrierbar. b) Ist f L (R) eine weitere schnell fallende Funktion, so gilt lim f(z) y z k g(y) dy (..4) z f(z) y z k g(y) dy dz <. (..5) Beweis: a) y z k g(y) dy ( y + z ) k g(y) dy j k z j y k j g(y) dy j k z j y k j g(y) dy p( z ) } {{ } :p j R nach..7

35 5 b) lim f(z) z f(z) y z k g(y) dy a) y z k g(y) dy dz a) lim z f(z) p( z ) (..6) f(z) p( z ) dz. (..7)..7 Der folgende Satz macht eine Aussage über das asymptotische Verhalten von Quotienten von geraden Potenzreihen für x. Er korrespondiert mit der trivialen Beziehung p(x) lim x q(x) p n R R {, + } q n für reelle Polynome p r k p kx k, q s k q kx k, p r q s, n : max(r, s). Es ist ein Zusammenhang der elementaren Analysis, den ich in der angegeben Formulierung nicht in der einschlägigen Lehrbuchliteratur gefunden habe, weswegen vollständigkeitshalber ein Beweis angegeben ist. Es werden die üblichen erweiterten Rechenregeln für R + + a : + für a ], + ] + a : für a [, + [ ±, falls a ], + ] a (± ) :, falls a, falls a [, [ a : für a R ± a : +, falls a ], + ], falls a, falls a [, [ in einem Fall abgeändert: (± ) : ±. (..8) Satz..9 Es seien z Z und f(x) a k x k und g(x) b k x k kz zwei reelle, für alle x R konvergente, gerade Potenzreihen. Die zweite Potenzreihe besitze die Eigenschaften Dann gilt α : b k für alle k N, (..9) b k > für unendlich viele k N. (..) a k f(x) liminf liminf k b k x g(x) limsup f(x) x g(x) limsup a k : β. (..) k b k (a k,b k ) (,) (a k,b k ) (,) kz

36 6 Im Fall α β bedeutet dies insbesondere a k f(x) lim lim k b k x g(x). (..) (a k,b k ) (,) Beweis: Aus den beiden Voraussetzungen (..9) und (..) folgt einerseits, dass die Menge {(a k, b k ) (a k, b k ) (, ), k N } unendlich viele Elemente enthält, weswegen α β gilt, und andererseits g(x) > für alle x R\{}, so dass f(x)/g(x) für x R\{} stets wohldefiniert ist. Wähle C R > und setze α : Zu ε R > findet man ein N N >z, so dass { α, falls α < + C, falls α +. (..3) α ε a k b k β + ε für alle k N N mit (a k, b k ) (, ). (..4) Wegen b k (s. (..9)) folgt daraus mit der neuen Konvention (..8): (α ε)b k a k (β + ε)b k für alle k N N. (..5) Weiterhin findet man gemäß (..) ein K N >N mit Für x folgert man nun f(x) g(x) f(x) g(x) (..5) x (..5) x b K >. (..6) ( N kz a kx k x N kz b kx kz a kx (k N) + ) k a k+nx k ( k N x N kz b kx (k N) + ) k b k+nx k N kz a kx (k N) + (α ε) k b k+nx k N ( N kz b kx (k N) + k b k+nx k kz a kx (k N) / ) k b k+nx k + α ε ( N kz b kx (k N) / ) k b k+nx k + + α ε + kz a kx k kz b kx k x N N α ε (..7) ( N kz a kx (k N) + k a k+nx k ) x N ( N kz b kx (k N) + k b k+nx k ) kz a kx (k N) + (β + ε) k b k+nx k N ( N kz b kx (k N) + k b k+nx k kz a kx (k N) / ) k b k+nx k + β + ε ( N kz b kx (k N) / ) k b k+nx k + + β + ε + β + ε. (..8) Bei den Grenzübergängen in den Zeilen (..7) und (..8) wird ausgenutzt, dass gemäß (..9) und (..6) b k+n x k b K > für alle x R mit x. k

37 7 Man erhält also α f(x) ε liminf x g(x) limsup f(x) x g(x) β + ε. Für ε und C + im Fall α + (s. (..3)) ergibt dies die gewünschte Ungleichung (..). Korollar.. Es seien die Voraussetzungen von Satz..9 mit α β erfüllt. a) Für α R\{} gilt O(f(x)) O(g(x)), x. b) Für α gilt f(x) o(g(x)), x. c) Für α {± } gilt g(x) o(f(x)), x. Beweis: Gleichung (..) aus Satz..9 lautet f(x) α lim x g(x). (..9) a) Für hinreichend große x ist f(x) ( α + ) g(x) und g(x) ( α + ) f(x). b) Aus (..9) mit α folgt direkt f(x) o(g(x)), x (s...6). c) Sei δ R >. Wegen (..9) gibt es ein c R >, so dass für x x f(x) g(x) > δ g(x) δ f(x). Im nächsten Abschnitt wird das asymptotische Verhalten spezieller Potenzreihen untersucht, deren Reihenkoeffizienten rekursiv definiert sind. Das folgende Lemma dient dabei als Hilfsmittel. Lemma.. Es seien (a n ) n N, (A n ) n N, (b n ) n N, (B n ) n N reelle Folgen, wobei b n B n für alle n N gelte. Die Folgen mögen den Rekursionsvorschriften a n+ A n a n und b n+ B n b n genügen. a) Falls es ein N N gibt mit A n B n n n n für alle n N N, so gilt b) Falls es ein N N gibt mit a N und a n lim. n b n A n B n für alle n N N, so gilt lim inf n a n b n >.

38 8 Beweis: Für n N N löst man die Rekursion rückwärts bis N auf und erhält: a) b) a n b n a n b n n mn n mn n A m a N B m b N A m B m } {{ } mn m a N m b N N n a N b N a N b N a N b N >, da a N b N. n. Hermite-Polynome und -Differentialgleichung Definition.. (Hermite-Polynome) Für n N heißt die Funktion H n (x) : ( ) n n x e x n e x (..) das n-te Hermite-Polynom. Man sieht leicht, dass H n (x) ein Polynom vom Grad n mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Der Vorfaktor ( ) n bewirkt dabei, dass der führende Koeffizient vor der höchsten x-potenz positiv ist. Die ersten drei Hermite-Polynome lauten H (x) (..) H (x) x xh (..3) H (x) 4x xh H. (..4) Graphen der ersten sechs Hermite-Polynome sind in den Abbildungen. und. dargestellt. Der folgende Satz enthält Eigenschaften der Hermite-Polynome, die später benötigt werden. Alle diese (und viele weitere interessante) findet man formelmäßig aufgelistet ohne Beweis in [46] Abschnitt 5.6. S.49 ff. Vollständigkeitshalber geben wir hier kurze elementare Beweise an.

39 9 8 5 H H H H 3 6 H 4 H y y x x Abbildung.: gerade Hermite-Polynome Abbildung.: ungerade Hermite-Polynome Satz.. Beweis: a) a) H n+ xh n H n (..5) b) H n (x) n! n m ( ) m (x) n m m!(n m)! (..6) c) H n nh n (..7) { ( ) n/ n! (n/)!, falls n gearde d) H n () (..8), falls n ungearde e) H n+ xh n + nh n (..9) f) H n xh n + nh n (..) {, falls m n g) H n (x)h m (x) e x dx (..) π n n!, falls m n h) H n ( x) ( ) n H n (x) (..) i) n ( ) n H n (x + y) H m (x)(y) n m m (..3) m H n(x) x [( )n e x n x n e x xh n (x) H n+ (x) ] ( ) n n x xe x n e x + ( ) n e n+ x e x xn+ b) Das Polynom auf der rechten Seite der Gleichung b) sei mit P n bezeichnet, so dass H n P n für alle n N gezeigt werden muss. Zunächst wird bewiesen, dass P n die Gleichung a) anstelle

40 3 von H n erfüllt: n! n! xp n (x) P n(x) n m n m ( ) m (x) n+ m m!(n m)! ( ) m (x) n+ m m!(n m)! + n! n m n + n! k ( ) m+ (x) n m m!(n m )! ( ) k (x) n+ k (k )!(n + k)!, [k : m + ] n! (x)n+ n ( ) + ( ) m (x) n+ m n! m!(n m)! + (m )!(n + m)! m n! (n + )(x)n+ n ( (n + m) + ( ) m (x) n+ m (n + )! m!(n + m)! + m ) m m!(n + m)! (n + )! n+ m ( ) m (x) n+ m m!(n + m)! P n+ (x). Wegen H P kann man induktiv P n H n annehmen und muss H n+ P n+ zeigen. Dies folgt aber sofort aus dem bereits Bewiesenen, da H n+ xh n H n xp n P n P n+. c) H H n (x) x n! n m ( ) m (x) n m n! m!(n m)! n m ( ) m (n m)(x) (n ) m m!(n m)! n(n )! n m ( ) m (x) (n ) m m!((n ) m)! nh n für n > d) H n () n! n m ( ) m ( ) n m m!(n m)! { ( ) n/ n! (n/)! falls n gearde falls n ungearde e) Für n steht das Gewünschte bereits in (..3) und (..4). Für n berechnet man (H n+ xh n + nh n ) c) (n + )H n H n (n)(x)h n + (n)((n ))H n n(h n xh n + (n )H n ) ((n) ( ))(H xh + H ) (..4) (H n+ xh n + nh n )() H n+ () + nh n () d) H n+ xh n + nh n.

41 3 f) H xh + H [H ] H xh + H 4x + 4x [H (x) x] H n xh n + nh n c) 4n(n )H n 4xnH n + nh n n(h n xh n + (n )H n ) e) für n g) Es sei zunächst der Fall m und n > betrachtet. Man berechnet dann H (x) e x dx e x dx π ] H n (x) e x dx [( ) n n e x (..) ( ) n n e x x n dx x n [H n (x)e x]. Zum Beweis der restlichen Fälle kann man n m > annehmen. Diese führt man durch iterierte partielle Integration auf die anfangs behandelten zurück: H n (x)h m (x) e x dx c) [ ( ) n n e x x n } {{ } :u H m (x) } {{ } :v ( ) n n e x H m (x) x n dx ] ( ) n n e x mh m (x) dx x n [H n (x)h m (x)e x] +m H n (x)h m (x) e x dx... } {{ } (m)((m )) H n m (x)h (x) dx {, falls m n π n n!, falls m n. h) Folgt sofort aus b). i) H n (x + y) b) n! n! n! b) n k n m n m n ( ) m (x + y) n m m!(n m)! n m k k m ( n k k n! n m ( ) m (x) k (y) n k m m!(n k m)!k! ( ) m (x) k m (y) n k m!(n k)!(k m)! ) H k (x)(y) n k ( ) m m!(n m)! n! n k n n m km ( n k ) k! k m n m k ( n m k ( ) m (x) k m (y) n k m!(n k)!(k m)! ) (x) k (y) n m k ( ) m (x) k m (y) n k m!(k m)!

42 3 Die Aussage h) bedeutet, dass die Hermite-Polynome H n übereinstimmend mit n entweder gerade oder ungerade Funktionen sind. Weiterhin sind sie gemäß g) die bis auf multiplikative Vielfache eindeutig festgelegten Orthogonalpolynome bezüglich des Skalarproduktes f, g ν : fg dν : f(x)g(x) e x dx und stellen deshalb den Ausgangspunkt der Gauß-Integration bezüglich der Dichte e x dar (s. [5] Abschnitt 3.5 S.35). Dabei bezeichne ν : e x λ das Maß mit Dichte e x bezüglich des (eindimensionalen) Lebesgue-Maßes λ. Der von den Hermite-Polynomen erzeugte Untervektorraum von L (ν) liegt sogar dicht in L (ν), d.h. {H n ; n N } ist eine orthogonale Schauder-Basis von L (ν) bzw. bilden die normierten Polynome h n : H n / H n L (ν) eine Hilbertraumbasis von L (ν). Dies wird im folgenden Satz von Wiener mittels Fourier-Transformation bewiesen. Satz..3 (Wiener) Die Hermite-Polynome H n, n N, bilden eine orthogonale Schauder- Basis von L (ν), d.h. zu jedem f L (ν) gibt es eine eindeutig bestimmte Folge (a n ) n N in l (R), so dass f H n n a n H n. L (ν) Beweis: Es genügt zu zeigen, dass für f L (ν) aus f, H n ν f(x)h n (x)e x dx für alle n N (..4) bereits f fast überall folgt. Sei daher f L (ν) fest gewählt und es gelte (..4). Weil H n den Grad n besitzt, bilden die H n, n N, eine Basis des reellen Vektorraumes der reellen Polynome. Insbesondere lässt sich jedes Monom x n, n N, als Linearkombinationen der H k, k (N ) n, darstellen, so dass wegen (..4) auch f, x n ν f(x)x n e x dx für alle n N (..5) gilt. Weil f messbar ist und + > f, f ν f e x dν (fe x ) dν gilt, gehört die Funktion g : fe x zu L (λ), wobei λ das eindimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet. Wegen e x gehört auch h : ge x fe x zu L (λ), so dass man die Fourier- Transformation auf h anwenden kann. Man erhält dann für festes ξ R: π ĥ(ξ) h(x)e ixξ dx f(x) f(x) ( iξ)k x k e x dx. k! Für n N setze s n (x) : f(x) n ( iξ) k k k! x k e x. Die Funktionenfolge (s n ) n N konvergiert per Definition punktweise (überall) gegen die Funktion he ixξ. Ferner schätzt man ab: s n (x) f(x) k k ξ k k! x k e x g e ξ x x : u(x). Weil die Funktionen g und v(x) : e ξ x x zu L (λ) gehören, liegt u gv nach der Cauchy- Schwartz-Ungleichung u L (λ) g L (λ) v L (λ) < + in L (λ). Nach dem Satz von Lebesgue

43 33 über majorisierte Konvergenz konvergiert die Folge (s n ) n N in L (λ) gegen he ixξ. Insbesondere gilt für die Integrale: π ĥ(ξ) h(x)e ixξ dx lim s n dx n n ( iξ) k lim f(x)x k e x dx. n k! k } {{ }, s. (..5) Dies bedeutet aber ĥ und die Injektivität der Fourier-Transformation liefert h fe x und damit auch f. Anmerkung: Satz (..3) ist gleichbedeutend damit, dass die Funktionen Ψ n (x) : H n (x)e x eine orthogonale Schauder-Basis von L (λ) bilden. Sie heißen Hermite-Funktionen und lösen die Differentialgleichungen Ψ n + (n + x )Ψ n. Die Hermite-Funktionen stellen deshalb die Eigenschwingungen des über die Schrödinger-Differentialgleichung beschriebenen sogenannten harmonischen Oszillators dar. Ist die Anregung - also die rechte Seite der Schrödinger- Differentialgleichung - eine L (λ)-funktion, so gehört die Lösung ebenfalls zu L (λ) und aus der Basis-Eigenschaft der Ψ n folgt, dass jene sich als Reihe in den Eigenschwingungen entwickeln lässt. Näheres findet man in jeder Einführung in die Quantentheorie, bei der Behandlung des harmonischen Oszillators, siehe aber z.b. auch [5] 4 S Definition..4 (Hermite-Differentialgleichung) Für ϑ R heißt die gewöhnliche, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung (mit nicht konstanten Koeffizienten) Hermite-Differentialgleichung zum Parameter ϑ. y xy + ϑy (..6) Die Hermite-Differentialgleichung zum Parameter ϑ kann auch als Beschreibung einer freien Schwingung einer Einheitsmasse mit linear wachsender Verstärkung (negativer Dämpfung) x und einer - möglicherweise ebenfalls negativen - Federkonstanten ϑ angesehen werden. Nach Satz.. e) ist das Hermite-Polynom H n eine Lösung der Hermite-Differentialgleichung zum Parameter ϑ n N. Der folgende Satz sagt aus, dass es unter einer bestimmten Wachstumsbedingung bis auf multiplikative Vielfache keine weiteren Lösungen geben kann. Satz..5 Es sei ϑ R. a) Die Funktionen y,ϑ (x) y,ϑ (x) m m m m (j ϑ) x m (..7) (m)! j m m (j + ϑ) x m+, (..8) (m + )! bilden ein Fundamentalsystem von Lösungen der Hermite-Differentialgleichung zum Parameter ϑ, d.h. jede Lösung y lässt sich als Linearkombination y c y,ϑ + c y,ϑ für geeignete c, c R darstellen. j

44 34 b) Falls ϑ n N eine gerade natürliche Zahl ist, gilt y,n (x) ( )n n! H n (x). (n)! Falls ϑ n + N + eine ungerade natürliche Zahl ist, gilt y,n+ (x) ( ) n n! (n + )! H n+(x). c) Für ϑ N und r, s Z mit r > (ϑ + )/, s < (ϑ )/ gilt O(x r e x ) O(y,ϑ (x)) < O(x s e x ), x. Für ϑ N + und r, s Z mit r > ϑ/ +, s < ϑ/ gilt O(x r+ e x ) O(y,ϑ (x)) < O(x s+ e x ), x. Beweis: [vgl. [5] 39 S.37 ff. und [7] Abschnitt 6.3 S.6] a) Die Hermite-Differentialgleichung ist formal vom Typ y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x), wobei a(x) x und b(x) ϑ. Insbesondere sind die Koeffizientenfunktionen a(x) und b(x) Polynome und damit trivialerweise in Potenzreihe entwickelbar. Nach einem grundlegenden Sachverhalt gewöhnlicher Differentialgleichungen dieses Typs sind dann auch die Lösungen in Potenzreihe entwickelbar (s. [7] Satz 6. S.6). Man macht daher den Lösungsansatz y(x) c k x k. (..9) k Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt y (x) xy (x) + ϑy(x) k(k )c k x k x kc k x k + ϑ c k x k k k k k (k + )(k + )c k+ x k kc k x k + ϑ c k x k (c + ϑc ) + k k ((k + )(k + )c k+ kc k + ϑc k )x k k k ϑ c k+ (k + )(k + ) c k für alle k N. (..) In dieser Rekursionsformel vermindert sich der Index in Zweier-Schritten, so dass man zwei Stränge erhält, wobei der eine für gerade Indizes auf c und der andere für ungerade Indizes auf c führt.

45 35 Diese beiden Startindices sind unabhängig voneinander und daher frei wählbar. Die Auflösung der Rekursion in eine explizite Darstellung lautet für k : c k (..) c m c m+ (k ) ϑ k(k ) c k k k! m (m)! k k ( (k j) ϑ (k j + )(k j + ) j ) c k k (k j ϑ) c k k (..) j m ((m j) ϑ) c m m (j ϑ) c (..) (m)! j m (m + )! m ((m j) + ϑ)c j j m m (m + )! j (j + ϑ)c (..3) für alle m N (man beachte, dass (..) und (..3) auch für m gelten). Die Lösung y(x) besitzt demnach folgende Darstellung: y(x) c m x m + m c m c m+ x m+ m m m (m)! j (j ϑ) x m + c m m m (j + ϑ) x m+. (m + )! Zwei spezielle Lösungen für (c, c ) (, ) und (c, c ) (, ) lauten dann j y,ϑ (x) : y,ϑ (x) : m m m m (j ϑ) x m (..4) (m)! j m m (j + ϑ) x m+, (..5) (m + )! j so dass y c y,ϑ + c y,ϑ. Die Funktionen y,ϑ, y,ϑ bilden also ein Fundamentalsystem für die Hermite-Differentialgleichung zum Parameter ϑ. Dabei ist y,ϑ eine gerade und y,ϑ eine ungerade Funktion. b) Aus den Produkttermen auf den rechten Seiten von (..4) und (..5) liest man sofort ab, dass y genau dann ein Polynom ist, d.h. eine endliche Reihendarstellung besitzt, wenn einer der beiden folgenden Fälle vorliegt: A) ϑ n für ein n N und c. B) ϑ n + für ein n N und c. Im Fall A) ist dann y c y,n und y,n muss ein Vielfaches des geraden Hermite-Polynoms H n sein, während im Fall B) y c y,n gilt, wobei y,n ein Vielfaches des ungeraden Hermite- Polynoms H n+ ist. Dies kann man aber auch direkt durch Umformen der Ausdrücke (..4) und

46 36 (..5) für ϑ n bzw. ϑ n + feststellen: y,n (x) (..) m n m m n m n m m (m)! m ((m j) n) x m j n m m (m)! n m n m ((n m j) n) x (n m) ((n m))! j ( ) n m n m (m + j) (x) (n m) ((n m))! ( ) n n! (n)! (n)! n m j ( ) m (x) n m m!(n m)! (..6) n m m ((m j) n) x m j ( ) n m n! ((n m))!m! (x)(n m) ( ) n n! H n (x) (n)! y,n+ (x) (..3) m n m m n m n m m (m + )! m (m + )! m ((m j) + (n + )) x m+ j m ((m j) + (n + )) x m+ j n m n m ((n m j) + (n + )) x (n m)+ ((n m) + )! j ( ) n n! n (n + )! (n + )! m ( ) m (x) n+ m m!(n + m)! (..6) ( ) n n! (n + )! H n+(x). c) Die beiden Fälle ϑ N und ϑ N + werden gemeinsam behandelt, um den Schreibaufwand in Grenzen zu halten. Hierfür sei ein Unterscheidungsindex i {, } fest gewählt und es gelte ϑ N + i. Wähle r, s Z mit r > (ϑ + + i)/ und s < (ϑ + i)/ und betrachte die Potenzreihen f(x) : f n : c n+i g(x) : x i y i,ϑ x i f n x n+i f n x n n x r e x x r n n! xn g n : (n + r)! > für n Z r h(x) : x s e x h n x n h n : n s n n (n + s)! > für n Z s. n! x(n r) n r (n + r)! xn n r g n x n

47 37 Die Reihenkoeffizienten erfüllen die Rekursion F n : (n + i ϑ) (n + i + )(n + i + ), da ϑ N + i (n + i ϑ) f n+ c (n+)+j (..) (n + i + )(n + i + ) c n+i F n f n, da F n und f G n : g n+ H n : h n+ n + + r > (n + + r)! für n Z r n + + r (n + r)! n + + r g n G n g n n + + s > für n Z s (n + + s)! n + + s (n + s)! n + + s h n H n h n. (n + i ϑ) (n + i + )(n + i + ) f n Als nächstes soll F n /G n und F n /H n n für hinreichend große n gezeigt werden. Hierfür werden zwei Äquivalenzumformungen vorgenommen, an deren Anfang jeweils die gesuchte Aussage und an deren Ende eine wahre Aussage für hinreichend große n stehen wird. Es sei dazu zunächst n N mit n > max( ϑ /, r, s ) gewählt, so dass F n, G n, H n > : r + n + F n G n! r n (n + i ϑ) (n + i + )(n + i + ) : (n + i ϑ)(r + n + )! r + n + (n + i + )(n + i + ) (n + i + )(n + i + ) (n + i ϑ) (n + i + )(n + i + ) (ϑ + + i)n + (i + )(i + ) + (i ϑ) (n + ) (n + i ϑ) 4n + (i ϑ) ϑ + + i s + n + F n H n! s n (n + i ϑ) (n + i + )(n + i + ) : s + n + (n )(n + i + )(n + i + ) n(n + i ϑ) (n )(n + i + )(n + i + ) (n + ) n(n + i ϑ) (n + i ϑ)(s + n + ) (n + i + )(n + i + ) (ϑ + i)n + (i 3i 4 + ϑ)n (i + )(i + ) 4n + (i ϑ)n ϑ + i.! n n Aus Lemma.. folgt nun lim inf n lim n a n g n.. b) a n h n.. a) ], + ].

48 38 Gemäß Korollar.. bedeutet dies einerseits und andererseits x r e x g(x).. a),c) O(f(x)) O(x i y i,ϑ (x)), x x r+i e x O(y i,ϑ (x)), x x i y i,ϑ (x) f(x) o(h(x)).. a) o(x s e x ), x y i,ϑ (x) o(x s+i e x ), x. Es sei angemerkt, dass die Beweisskizze in dem Buch von Sneddon [5] 39 S.37 ff. fehlerhaft ist hinsichtlich der oben in Teil c) durchgeführten Ordnungsabschätzungen für die Fundamentallösungen y i,ϑ, i {, }, ϑ N + i, die dort mit y, y bezeichnet werden. Auf Seite 38 heißt es:...mit anderen Worten, die höheren Glieder der Reihen y (x) und y (x) unterscheiden sich von jenen für exp(x ) nur durch multiplikative Konstanten γ, γ. Daher gilt für große Werte von x y (x) γ e x, y (x) γ e x, da für solche Werte die niederen Terme unwesentlich sind.... Korollar..6 Es sei y(x) eine Lösung der Hermite-Differentialgleichung zum Parameter ϑ R. Falls y(x)e x schnell fallend ist oder gleichbedeutend falls y(x) O(x n e x ), x für alle n N, (..6) so gilt ϑ N und y ch ϑ für ein c R. Beweis: Der Beweis erfolgt über Kontraposition. Schreibe y(x) c y,ϑ (x)+c y,ϑ (x) für geeignete c, c R mit (c, c ) (, ). Falls y(x) kein Hermite-Polynom ist, muss es nach Satz..5 b) mindestens ein i {, } geben, so dass c i und ϑ N + i. Für ein solches i gilt gemäß Satz..5 c) O(x z e x ) O(y i,ϑ (x)), x O(x ( z +) e x ) < O(y i,ϑ (x)), x (..7) für ein geeignetes z Z. Die andere Fundamentallösungen y j,ϑ, j {, }\{i}, besitzt in jedem Fall die Eigenschaft lim y j,ϑ(x) +, (..8) x da es sich entweder um ein Polynom oder gemäß Satz..5 c) ebenfalls um eine exponentiell wachsende Funktionen handelt. Weil y,ϑ eine gerade und y,ϑ (x) eine ungerade Funktion ist trifft dies jeweils auch auf c y,ϑ (x) und c y,ϑ (x) zu, so dass diese beiden Funktionen (auch im Fall

49 39 c j ) entweder für x + oder x das gleiche Vorzeichen haben, weshalb nach (..7) und (..8) mindestens eine der beiden folgenden Bedingungen für n : ( z + ) N erfüllt ist: O(x n e x ) < O(y(x)), x + oder O(x n e x ) < O(y(x)), x. In jedem Fall ist die Bedingung (..6) verletzt. Betrachtet man den linearen Differentialoperator L[f](x) : f (x) + xf (x), so besitzen gerade die Lösungen y der Hermite-Differentialgleichung zum Parameter ϑ R die Eigenschaft L(y) ϑy, d.h. sie sind Eigenfunktionen von L zum Eigenwert ϑ. Da es zu jedem ϑ R Lösungen der Hermite-Differentialgleichung gibt, besitzt L in diesem Sinne ein kontinuierliches Spektrum nämlich ganz R. Korollar..6 besagt, dass L unter der Wachstumsbedingung (..6) ein diskretes Spektrum besitzt - nämlich N - und die Hermite-Polynome H n, n N, Eigenfunktionen von L sind, welche die eindimensionalen Eigenräume von L zum Eigenwert n aufspannen. Die Abzählbarkeit des Spektrums von L lässt sich auch funktionalanalytisch mittels geeigneter Spektralsätze einsehen. L ist unbeschränkt und auf einem dichten Unterraum des Hilbertraumes L (e x dx) definiert und dort symmetrisch. Man kann dann das Standardverfahren der Cayley- Transformation anwenden. Eine letztendlich auf das gleiche hinauslaufende, etwas direktere Vorgehensweise ist die Transformation auf ein Sturm-Liouville-Problem, wie sie letztendlich implizit im folgenden Abschnitt stattfindet: Multipliziert man eine Lösung y der Hermite-Differentialgleichung zum Parameter ϑ mit e x, so erfüllt die neu gewonnene Funktion z : ye x, die Differentialgleichung z ( + x )z + ϑz. (..9) Die Funktionen p : >, q : ( + x ) <, r : > erfüllen also (pz ) + qz + ϑrz, so dass es sich um ein klassisches Sturm-Liouville-Eigenwertproblem handelt, bei dem man auf kanonische Weise auf einen zugehörigen kompakten Integral-Operator (Fredholm-Operator) wechseln kann. Die Aussagen der oben erwähnten Spektralsätze lassen sich für diesen dann elementar herleiten. Der benötigte Begriffsapparat ist für jede dieser beiden übergeordneten Sichtweisen etwas aufwendig und man bekommt letztendlich keine neuen Informationen, so dass auf eine genaue Ausführung verzichtet wird..3 Fehlerfunktion Häufig werden Lösungen der Wärmeleitungsgleichung, die im nächsten Abschnitt behandelt werden, mittels der sogenannten Fehlerfunktion und deren Ableitungen beschrieben, welche in einem einfachen multiplikativen Zusammenhang mit den Hermite-Polynomen des vorherigen Abschnittes stehen.

50 4 Definition.3. (Fehlerfunktion, komplementäre Fehlerfunktion) Die Funktionen erf : R [, ], x x e y dy π erfc : R [, ], erfc(x) erf(x) heißen Fehlerfunktion (engl.: error function) bzw. komplementäre Fehlerfunktion (engl.: complementary error function). Die n-te Ableitung der Fehlerfunktion sei mit bezeichnet. Φ n : n erf x n (.3.) Eine Motivation der Fehlerfunktion im Zusammenhang mit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung einer einseitig sprunghaft erwärmten, halbunendlichen Wand findet man in [7]., S.5 f. oder in [4] Abschnitt 5.5 S Die Graphen der Funktionen Φ n, n,...,6, sind in den Abbildungen.3 und.4 dargestellt. Lemma.3. Für n N gilt Φ n (x) ( ) n π e x H n (x) (.3.) ( ) n Φ (x)h n (x), (.3.3) wobei H n das n-te Hermite-Polynom bezeichne. Insbesondere ist dann Φ (x) erf (x) π e x (.3.4) und für jedes n N ist Φ n exponentiell fallend. Beweis: Für n folgt direkt aus (.3.) Φ (x) erf (x) π e x (..) Φ (x)h (x). Für n > erhält man daraus mit Hilfe der Definition (..) der Hermite-Polynome sofort H n (x) ( ) n e n x e x n x ( ) n π n ex x n Φ (x) ( ) n π ex Φ n (x). Die in Satz.. angegeben Eigenschaften der Hermite-Polynome übertragen sich nun auf die Funktionen Φ n. Einige werden in dem folgenden Korollar explizit aufgeführt. Korollar.3.3 a) Es gilt erf( x) erf(x) (.3.5) Φ n ( x) ( ) n Φ n (x) für alle n N, (.3.6) d.h. erf ist eine ungerade Funktion, für ungerades n ist Φ n eine gerade Funktion und für gerades n eine ungerade.

51 4 5 4 φ φ 3 φ 5 3 φ φ 4 φ 6 5 y y x x Abbildung.3: gerade Φ n Abbildung.4: ungerade Φ n b) Es sei µ : e x λ das Maß mit der Dichte e x bezüglich des (eindimensionalen) Lebesgue- Maßes λ und, µ : L (µ) L (µ) R, g, h µ : gh dµ g(x)h(x) e x dx das kanonische Skalarprodukt auf L (µ). Die Funktionen Φ k, k N, bilden eine orthogonale Schauder-Basis von L (µ). Für k, j N gilt Φ k, Φ j µ {, falls k j π k+ (k )!, falls k j. (.3.7) Beweis: a) Folgt sofort aus (.3.), (.3.) und (..) und b) aus (.3.), (..) und Satz..3. Für weitere, hier nicht benötigte Formeln zur Fehlerfunktion sei wiederum auf [46] Abschnitt 9..3 S.349 verwiesen. Die Funktionen Φ n erfüllen eine der Hermite-Differentialgleichung entsprechende Differentialgleichung, so dass sich die Ergebnisse über jene aus dem vorherigen Abschnitt direkt übertragen lassen. Wir benötigen allerdings nur: Korollar.3.4 Es seien ϑ R und h eine schnell fallende Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung h + xh + ϑh. (.3.8) Dann gilt ϑ N und f cφ ϑ für ein c R. Beweis: Weil h schnell fallend ist, erfüllt die Funktion y(x) : he x die Wachstumsbedingung (..6) aus Korollar..6. Außerdem löst sie die Hermite-Differentialgleichung zum Parameter

52 4 ϑ, denn y xy + (ϑ )y (h + h + 4xh + 4x )e x x(h + xh)e x + ϑhe x (h + xh + ϑh)e x. Gemäß Korollar..6 gilt dann ϑ N und y ch ϑ also ϑ N und π h ch ϑ e x c( ) ϑ (.3.) Φ ϑ. Die Differentialgleichung (.3.8) soll aufgrund von Korollar (.3.4) Fehlerfunktion- Differentialgleichung zum Parameter ϑ genannt werden. Man kann sie wie die Hermite- Differentialgleichungen als Beschreibung einer freien Schwingung einer Einheitsmasse mit linear wachsender Dämpfung x und einer Federkonstanten ϑ auffassen. Man beachte, dass die Fehlerfunktion erf selbst die Differentialgleichung y xy Fehlerfunktion-Differentialgleichung zum Parameter ϑ löst. Für k, l N gehören Φ k Φ l und j Φ k Φ l x j j i ( ) j i Φ k j i Φ l i x i x j i j i ( ) j Φ k+i Φ l+j i i erfüllt und damit die zu L (µ). Das folgende Lemma macht eine Aussage über die Basiskoeffizienten Φ k Φ l, Φ n µ und j Φ k Φ l x j, Φ n µ. Lemma.3.5 a) Für h L (µ) mit h(x) ( ) j h( x), j {, }, und n N gilt d.h. h, Φ n µ für gerades n + j. h, Φ n µ ( ) n+j+ h, Φ n µ, b) Für k N, l, n N, Φ : erf gilt Φ k Φ l, Φ n µ ( ) n+j+ Φ k Φ l, Φ n µ, d.h. Φ k Φ l, Φ n µ für gerades n + k + l. c) Ist h L (µ) eine j-mal stetig differenzierbare Funktion, j N, deren Ableitungen bis zur Ordnung j ebenfalls zu L (µ) gehören, so gilt wobei Φ n j : für n j. d) Für j, k, l, n N gilt j Φ k Φ l x j, Φ n µ j h x j, Φ n µ Φ n µ h, Φ n j µ Φ n j, (.3.9) µ { falls n j j (n )! (n j )! Φ kφ l, Φ n j falls n j. Insbesondere ist j Φ k Φ l x j, Φ n µ für gerades n + k + l j.

53 43 Beweis: a) Nach Korollar.3.3 b) gilt h(x) h, Φ n µ / Φ n µφ n (x) n ( ) j h( x) ( ) j h, Φ n µ / Φ n µ Φ n( x) (.3.6) n h, Φ n µ / Φ n µ( ) n+j+ Φ n (x). n Ein Koeffizientenvergleich ergibt h, Φ n µ ( ) n+j+ h, Φ n µ. b) Folgt sofort aus a) mit h Φ k Φ l, j : (k + l) mod und Korollar.3.3 a). c) Man stellt h und j h x j als Reihe bezüglich der Schauder-Basis {Φ n ; N} des L (µ) dar: j h x j j x j h, Φ n µ / Φ n µ Φ n h, Φ n µ / Φ n j µ x j Φ n n n h, Φ n µ / Φ n µφ n+j j h x j, Φ n µ / Φ n µφ n. n Ein Koeffizientenvergleich der beiden Reihen aus der letzten Zeile ergibt die gewünschte Gleichung (.3.9). d) Setzt man h : Φ k Φ l, so folgt aus c): j Φ k Φ l x j, Φ n µ n Φ n Φ n j Φ kφ l, Φ n j (.3.7) j (n )! (n j )! Φ kφ l, Φ n j. π n+ (n )! π n j+ (n j )! Φ kφ l, Φ n j Der letzte Teil der Behauptung folgt sofort aus b)..4 Homogene Wärmeleitungsgleichung auf dem Ganzraum Satz.4. Für n N ergibt sich die eindeutig bestimmte Lösung u(x, t) C (Rn R > ) der homogenen Wärmeleitungsgleichung u t u für x R n, t R > (.4.) u g für x R n, t. (.4.) u(x, t) Ae a x für geeignete Konstanten a, A R > (.4.3) als Faltung der Fundamentallösung e x Φ(x, t) : (4πt) n/ 4t x R n, t R > x R n, t (.4.4)

54 44 mit der Anfangsbedingung g aus (.4.), wobei g als hinreichend regulär vorausgesetzt sei g C(R n ) L (R n ) (.4.5) u(x, t) (Φ g)(x, t) : Φ(x y, t)g(y) dy y R n g(y)e x y (4πt) n/ 4t dy. (.4.6) y R n Beweis: s. [4] Kapitel.3. Theorem S.47,Theorem 7 S.58. Bemerkung.4. Häufig wird in der Wärmeleitungsgleichung (.4.) zusätzlich eine Temperaturleitfähigkeit a R > angegeben, d.h. u t a u. Diese lässt sich aber durch die Umskalierung der Raumvariablen x R n auf normieren. Setzt man nämlich x : a x, ū( x, t) : u(x, t), so gilt x ū a x u und damit ū t x ū. Die Anfangsbedingung (.4.) transformiert sich dabei zu ū( x, ) u(x, ) g(x) g( a x) : ḡ( x). Die Ganzraumlösung u(x, t) besitzt für integrierbare Anfangsbedingung g eine Erhaltungseigenschaft bezüglich der L -Norm. Ferner ist sie beschränkt und nimmt ihr Maximum bei t an. Lemma.4.3 Es seien g C(R n ) L (R n ) und u(x, t) die Lösung des Anfangswertproblemes (.4.), (.4.),(.4.3). a) Falls g L (R n ), so gilt u(x, t) dx x R n g(x) dx x R n (.4.7) u(, t) L (R n ) g L (R n ) (.4.8) für alle t R >. b) u(, t) g für alle t R >. Beweis: a) Es sei t R >. Die Fundamentallösung ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der n- dimensionalen Normalverteilung N(, ti n ) mit Erwartungswert und Kovarianzmatrix ti n, wobei I n die n-dimensionale Einheitsmatrix bezeichne. Demzufolge ist das Integral der Fundamentallösung (s. [4] Abschnitt.3. S.46): x R n Φ(x, t) dx Hieraus ergibt sich sofort Gleichung (.4.7): u(x, t) dx x R n e x (4πt) n/ 4t dx e z dz x R π n/ n z R π n/ n x R n y R n Φ(x y, t)g(y) dy dx y R n Φ(x y, t) dx g(y) dy x R } n {{ } y R n g(y) dy. n e z i i } {{ } π dzi.

55 45 Gleichung (.4.8) folgt aus (.4.7) mit g anstelle von g. b) Für x R n, t R > berechnet man u(x, t) Φ(x y, t)g(y) dy g Φ(x y, t) dy g, y R n y R } n {{ } so dass u(, t) g. Definition.4.4 (Ähnlichkeitsvariable, Ähnlichkeitstransformation) Für (x, t) R R > heiße x : x(x, t) : x 4t (.4.9) die zu (x, t) gehörige Ähnlichkeitsvariable. Ist u : R R > R, (x, t) u(x, t) eine Funktion, so heißt die Ähnlichkeitstransformation von u. ũ : R R > R, ( x, t) u( 4t x, t) (.4.) u(x, t) ũ( x(x, t), t) ũ( x, t). (.4.) Merkhilfe: Das Symbol wurde zur Indizierung der Ähnlichkeitstransformation gewählt, weil der L A TEX- Befehl für jenes Zeichen \sim similar lautet, in der Hoffnung, dass man sich so die Bedeutung für den weiteren Verlauf des Textes gut merken kann. Bemerkung.4.5 Für eine hinreichend oft partiell differenzierbare Funktion u : R R R, (x, t) u(x, t) bestehen folgende Zusammenhänge zwischen den partiellen Ableitungen von u(x, t) und denen der Ähnlichkeitstransformierten ũ( x, t), x x 4t : n u x n (x, t) (4t) n n ũ ( x, t) (.4.) x n u t (x, t) t xũ x( x, t) + ũ t ( x, t). (.4.3) Insbesondere lautet die eindimensionale, inhomogene Wärmeleitungsgleichung in Ähnlichkeitsvariablen mit Inhomogenität F(x, t) und Anfangsbedingung f(x) zu einem Zeitpunkt t > : F(x, t) (u t u xx )(x, t) t xũ x( x, t) + ũ t ( x, t) 4t xũ x x( x, t) (.4.4) f(x) u(x, t ) (.4.5) 4t F( x, t) 4tF( 4t x, t) 4tũ t ( x, t) xũ x ( x, t) ũ x x ( x, t). (.4.6) f( x) : f( 4t x) ũ( x, t ). (.4.7) Beweis: n u (x, t) xn (.4.) u t (x, t) (.4.) n x n ũ( x ( ), t) ũ x ( x, t) (4t) n ũ x ( x, t) 4t 4t 4t x tũ(, t) 4t x t 4tũ x( x, t) + ũ t ( x, t) t xũ x( x, t) + ũ t ( x, t).

56 46 Für schnell fallende Anfangsbedingungen g kann man auf kanonische Weise eine asymptotische Entwicklung der Lösung der eindimensionalen, homogenen Wärmeleitungsgleichung angeben. Diese wird im nächsten Kapitel zur Berechnung von Fernfeldern von zweidimensionalen Nachlauf- Strömungen benutzt, weswegen hier eine detaillierte Herleitung erfolgt - siehe hierzu [54], S.39 Gleichung (.5), S.33 Gleichung (3.). [Anmerkung: In [54], S.39 Gleichung (.5) sind zwei Druckfehler. In der ersten Zeile der Gleichung muss unter dem Integral ȳ n statt y n stehen. In der dritten und letzten Zeile der Formel muss es... statt... heißen. Beide Fehler haben aber keine negativen Auswirkungen auf nachfolgende Schlüsse. ] Für den Beweis des nachfolgenden Satzes sei zunächst an die Rechenregel zur Ableitung von parameterabhängigen Integralen mit variablen Grenzen erinnert. Rechenregel.4.6 Es seien A, B, c, d R, A < B, c < d. Die Funktion f : [A, B] [c, d] R, (x, t) f(x, t) sei stetig und stetig differenzierbar bezüglich der zweiten Variablen t. Sind a, b : [c, d] [A, B] differenzierbare Funktionen, so ist auch I : [c, d] R, t b(t) a(t) f(x, t) dx differenzierbar und die Ableitung lautet I b(t) t (t) f a(t) t (x, t) dx + f(b(t), t)b (t) f(a(t), t)a (t). (.4.8) Beweis: s. [53] Satz A.4 S. 4. Satz.4.7 a) Die Gleichung (.4.6) lässt sich in ( ) y x u(x, t) g(y)φ dy (.4.9) 4t 4t g( 4tξ + x)φ (ξ) dξ (.4.) umformen. b) Es sei g L (R) schnell fallend und erfülle (.4.5). Für jedes N N besitzt die Lösung (.4.6) der eindimensionalen, homogenen Wärmeleitungsgleichung die folgende Darstellung: u(x, t) N ( ) x (4t) k/ (k )! Φ k y k g(y) dy k 4t ( ( ) z x + Φ (4t) (N+)/ N+ (y z) N g(y) dy dz (N )! 4t z ( ) z x z ) Φ N+ (y z) N g(y) dy dz. (.4.) 4t

57 47 c) Durch (.4.) wird eine bezüglich der Ähnlichkeitsvariablen x : x 4t gleichmäßige asymptotische Entwicklung von ũ( x, t) : u( 4t x, t) zur asymptotischen Folge (t k/ ) k N für große Zeiten t definiert, d.h. ũ( x, t) k ( ) k (4t) k/ (k )! Φ k( x) y k g(y) dy, t (.4.) gleichmäßig für alle x R. Der erste Term der Entwicklung lautet ũ( x, t) bzw. u(x, t) e x 4πt e x 4t 4πt g(y) dy + O(t 3/ ) (.4.3) g(y) dy + O(t 3/ ). (.4.4) Beweis: a) Für festes (x, t) R R > betrachte man die Variablentransformation ξ(y) ξ x,t (y) : y x 4t. (.4.5) Dann ist ξ (y) 4t und man berechnet u(x, t) (.3.4) 4πt g(y)e (x y) 4t dy 4t ( ) y x g(y)φ dy 4t 4t g( 4tξ + x)φ (ξ) dξ. g(y) e (x y) 4t π dy g( 4tξ(y) + x)φ (ξ(y))ξ (y) dy b) Vorweg sei angemerkt, dass - weil die Funktionen g, Φ N+ L (R) schnell fallend sind - alle auf der rechten Seite von Gleichung (.4.9) auftretenden Integrale gemäß Korollar..8 wohldefiniert und endlich sind.

58 48 Induktionsanfang: N. Man führt eine partielle Integration von Gleichung (.4.9) durch: 4t u(x, t) [ z ( ) z x g(z) Φ 4t dz g(y) dy Φ ( z x 4t )] z z ( ) z x g(z) }{{} 4t } {{ } :a Φ [ z ( )] z z x + g(y) dy Φ 4t ( ) z x lim [ g(y) dy Φ ] + z z 4t } {{ } } {{ } + ( ) z x g(y) dy Φ 4t 4t z lim [ z z :b z z z dz + ( ) z x g(z) dz }{{} 4t } {{ } a Φ b g(y) dy ( ) z x Φ 4t 4t g(y) dy ( ) z x Φ 4t 4t ( ) x g(y) dy Φ 4t dz + ( ) z x g(y) dy Φ ] 4t 4t } {{ }} {{ } g(y) dy Φ ( x ) + ( 4t 4t z ( ) z x g(y) dy Φ 4t dz z ). z ( ) x g(y) dy Φ 4t ( ) z x g(y) dy Φ 4t ( ) z x g(y) dy Φ 4t dz dz dz Teilt man jetzt noch beide Seiten durch 4t, so erhält man u(x, t) 4t + (4t) ( ( ) x g(y) dy Φ 4t z ( ) z x z ( ) z x g(y) dy Φ g(y) dy Φ 4t 4t ) dz. Das ist Gleichung (.4.) für N. Induktionsschritt: N N +. Die Gleichung (.4.) gelte für N. Mit der Rechenregel (.4.8) auf Seite 46 für Integralfunktionen mit variablen Integrationsgrenzen berechnet man z z z z (y z) N g(y) dy N (y z) N g(y) dy N z z z z (y z) N g(y) dy (z z)n g(z) N (y z) N g(y) dy (.4.6) (y z) N g(y) dy + (z z)n g(z) N (y z) N g(y) dy. (.4.7)

59 49 Die Integrale des Restgliedes R N (x, t) der rechten Seite von (.4.) werden ähnlich wie im Induktionsanfang partiell integriert: R N, (x, t) : (.4.6) ( ) z x Φ N+ (y z) N g(y) dy 4t z } {{ }} {{ } :a :b [ ( ) z x (y z) N Φ N+ g(y) dy 4t lim z N ( ) z x Φ N+ 4t 4t z [Φ N+ ( z x 4t ) z ] z z (y z) N g(y) dy dz N (y z) N g(y) dy] z N } {{ } (..4) + ( ) x N Φ N+ y N g(y) dy 4t + ( ) z x Φ N+ (y z) N g(y) dy dz 4tN 4t z ( ) x N Φ N+ y N g(y) dy 4t + ( ) z x Φ N+ (y z) N g(y) dy dz 4tN 4t z dz (.4.8) R N, (x, t) : (.4.6) ( ) z x z Φ N+ (y z) N g(y) dy 4t } {{ }} {{ } :a :b [ ( ) z x z (y z) N Φ N+ g(y) dy 4t N Φ N+ + lim N ( ) z x z Φ N+ 4t 4t z [Φ N+ + 4tN N Φ N+ ( x 4t ) y N g(y) dy ] z z (y z) N g(y) dy dz N ( ) z x (y z) N g(y) dy] 4t z N } {{ } (..4) + 4tN Φ N+ ( z x 4t ) z ( x 4t ) y N g(y) dy Φ N+ ( z x 4t ) z (y z) N g(y) dy dz (y z) N g(y) dy dz dz (.4.9)

60 5 (R N, R N, )(x, t) N Φ N+ Das Restglied lautet demnach R N (x, t) : ( x 4t ) y N g(y) dy + ( ( ) z x Φ N+ (y z) N g(y) dy dz 4tN 4t ( ) z x z Φ N+ 4t N Φ N+ ( x 4t ) z ) (y z) N g(y) dy dz y N g(y) dy + 4tN (R N+, R N+, ). (4t) (N+)/ (N )! (R N, R N, )(x, t) (.4.3) ( ) x (4t) (N+)/ N! Φ N+ y N g(y) dy 4t + (4t) (N+)/ N! (R N+, R N+, )(x, t) ( ) x (4t) (N+)/ N! Φ N+ y N g(y) dy + R N+ (x, t). 4t Eingesetzt in (.4.) ergibt dies die Gleichung für N +. c) Wegen (.4.3) ist nur zu zeigen, dass es zu jedem N N eine Konstante C N gibt mit (R N, R N, )(x, t) C N für alle (x, t) R R >. (.4.3) Es sei daher N N fest gewählt. Man schätzt ab: r N, (x, t) : ( ) z x Φ N+ (y z) N g(y) dy dz 4t 4t (.4.3) z ( ) z x Φ N+ y z N g (y) dy dz 4t 4t z ( ) z x Φ N+ ( y + z ) N g (y) dy dz 4t 4t z ( ) z x Φ N+ N y N g(y) dy dz, y z y z 4t 4t z } {{ } (.4.5) N y N g(y) L (R) N y N ( ) z x g(y) L (R) Φ N+ 4t 4t N y N g(y) L (R) Φ N+ (ξ)dz x } 4t {{ } Φ N+ L (R) N y N g(y) L (R) Φ N+ (ξ) L (R) : c N <. (.4.33) Die positive Konstante c N hängt nur von g und N (und Φ N+ ) aber nicht von x oder t ab. Völlig analog schätzt man auch r N, (x, t) : 4t Φ N+ ( z x 4t ) z dz (y z) N g(y) dy dz c N (.4.34)

61 5 ab. Mit (.4.8), (.4.9) folgt nun sofort: R N, R N, (x, t) ( ) x N Φ N+ y N g(y) dy + ( ) z x Φ N+ (y z) N g(y) dy dz 4t 4tN 4t z ( ) x 4t N Φ N+ y N g(y) dy + 4tN N ( Φ N+ y N g(y) L (R) + c N ) : C N. Φ N+ ( z x 4t ) z (y z) N g(y) dy dz Es sei angemerkt, dass aus stochastischer Sicht die asymptotische Entwicklung von u(x, t) bis zur Stufe N durch die ersten N Momente von g, d.h. durch y i g(y) dy, i,..., N, festgelegt ist. Insbesondere benötigt man für die Bestimmung des führenden Terms (.4.3) nur das erste Moment also den Erwartungswert der Startverteilung g. Weiterhin ist jeder Summand der asymptotischen Entwicklung (.4.) schnell fallend von der Ordnung O(e x ) und hat die Form a k ( x, t) c k t k/ Φ k ( x) für eine Konstante c k R. Es liegen also separierte Variablen vor. Das folgende Lemma zeigt, dass jeder Summand a k selbst die Wärmeleitungsgleichung löst, d.h. (a k ) t (a k ) xx, was nicht sonderlich überrascht. Bis auf skalare Vielfache handelt es sich dabei bereits um alle schnell fallenden Lösungen in Produktform ũ( x, t) v(t)w( x). Lemma.4.8 Es seien v C (R > ), w C (R) und ( ) x u(x, t) : v(t)w 4t eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung u t u xx in separierten Variablen. Dann gibt es α, ϑ R, so dass v(t) αt ϑ/ und w ist eine Lösung der Fehlerfunktion-Differentialgleichung w + xw + ϑw zum Parameter ϑ. Falls w schnell fallend ist, gilt insbesondere ϑ N und w βφ ϑ für ein β R\{} und damit ( ) x u(x, t) αβt ϑ/ Φ ϑ 4t. Beweis: Die Behauptung ist trivial für u, so dass man u und damit auch v w annehmen kann. Nach (.4.6) erfüllt die Ähnlichkeitstransformierte ũ( x, t) : u( 4t x, t) v(t)w( x) die Differentialgleichung 4tũ t ( x, t) xũ x ( x, t) ũ x x ( x, t) 4tv (t)w( x) v(t)( xw ( x) + w ( x)). (.4.35) Wegen w gibt es ein ξ R mit w(ξ). Setze ϑ : ξw (ξ) + w (ξ) w(ξ) R. Für x ξ lässt sich dann (.4.35) umformen zu v (t) + ϑ t v(t),

62 5 so dass v(t) αt ϑ/ für ein geeignetes α R. Wegen v muss α sein, woraus dann wiederum v(t) für alle t R > folgt. Gleichung (.4.35) lautet nun 4tv (t)w( x) v(t)( xw ( x) + w ( x)) αt ϑ/ ( ϑw( x) xw ( x) w ( x)) α w ( x) + xw ( x) + ϑw( x). Für schnell fallendes w ergibt sich der restliche Teil der Behauptung aus Korollar.3.4. Wir betrachten nun die Funktionale, Φ n µ, n N. Lemma.4.9 Es sei u(x, t) eine für jedes t R > in x R schnell fallende Lösung der homogenen Ganzraum-Wärmeleitungsgleichung u t u xx und ũ( x, t) : u( 4t x, t). a) Für jedes n N gilt t n/ ũ(, t), Φ n µ Φ n, Φ n µ ũ( x, t n/ t)φn ( x)e x d x Φn ( x)φ n ( x)e x d x : a n const. R. (.4.36) b) Die Konstante a n aus a) lässt sich anhand der Anfangsbedingung g(x) u(x, ) folgendermaßen direkt berechnen: a n ( ) n n+ (n )! y n g(y) dy. (.4.37) c) Ist eine Anfangsbedingung f nicht für t sondern erst zu einem späteren Zeitpunkt t > gegeben, d.h. u(x, t ) f(x), so kann man a n mittels dieser folgendermaßen bestimmen: a n t n/ f, Φ n µ t (n )/ ( ) n ( ) x Φ n, Φ n µ n+ f(x)h n dx (.4.38) (n )! 4t f( x) : f( 4t x). Beweis: a) Nach (.4.6) erfüllt die Ähnlichkeitstransformierte ũ( x, t) : u( 4t x, t) die Differentialgleichung 4tũ t ũ x x xũ x. (.4.39) Für t R > definiere v(t) : ũ( x, t)φ ( x)e x n d x c n ũ( x, t)h n ( x) d x, (.4.4) wobei c n : ( ) n π. Die Ableitung von v kann man nun durch partielle Integration berechnen, bei der Randterme verschwinden weil u schnell fallend in x ist: v (t) c n ũ( x, t)h n ( x) d x c n ũ t ( x, t)h n ( x) d x t c n (ũ x x + xũ x )( x, t)h n ( x) d x (.4.39) 4t c n ũ( x, t)(h n 4t ( x) H n ( x) xh n ( x)) d x c n ũ( x, t)(h n 4t ( x) xh n ( x) + (n )H n ( x) +nh n ( x)) d x } {{ }, s. (..) (.4.4) n t v(t),

63 53 d.h. v löst die Differentialgleichung v (t) n t v(t) und muss deshalb ein reelles Vielfaches der Fundamentallösung t n/ sein. b) v(t) (.4.4) (.4.6) (..3) a n (.4.36) c n c n 4πt c n 4πt c n 4πt c n 4πt c n 4πt ũ( x, t)h n ( x) d x c n u( 4t x, t)h n ( x) d x g(y)e ( x y/ 4t) dy H n ( x) d x g(y) e ( x y/ 4t) H n ( x) d x dy g(y) H n (ξ + y/ 4t)e ξ dξ dy n g(y) g(y) c n t n/ 4π m n m ( ) n t n/ π t n/ ( n m ( n )(y/ 4t) n m m ) H m (ξ)(y/ 4t) n m e ξ dξ dy g(y)y n H (ξ) e ξ dξ dy } {{ } π, s. (..) y n g(y) dy ( v(t) ( ) n Φn ( x)φ n ( x)e x d x (.3.7) π ( ) n n+ (n )! y n g(y) dy H (ξ)h m (ξ)e ξ dξ } {{ }, für m >, s. (..) dy ) ( ) y n g(y) dy : π n+ (n )! c) t n/ ũ(, t ), Φ n µ a n f, Φ n µ ( ) n a) Φ n, Φ n µ Φ n, Φ n µ (.3.) n (n )! ( ) n n+ (n )! t (.3.7) f(x)h n ( x 4t ) dx f( x 4t )H n ( x)d x Vergleicht man die asymptotische Entwicklung (.4.) mit (.4.37), so sieht man, dass es sich bei jener schlicht um die Darstellung von ũ(, t) bezüglich der orthogonalen Schauder-Basis {Φ n ; n N} handelt, d.h. ũ(, t).4.9 b) n n ũ(, t), Φ n µ Φ n, Φ n µ Φ n ( ) n n+ (n )! t n/ a n Φ n (.4.4) n y n g(y) dy t n/ Φ n. (.4.4)

64 54 Falls wie in Lemma.4.9 c) eine Anfangsbedingung f für einen Zeitpunkt t > gegeben ist, gilt gleichwertig zu (.4.4): ũ(, t) (.4.4).4.9 c) ( t n t ) n/ t n/ a n Φ n ( ) n/ t ( ) n n t n+ (n )! x f(x)h n ( x 4t ) dx Φ n. (.4.43)

65 Kapitel 3 Laminare, inkompressible Nachlauf-Fernfeld-Strömungen 3. Einleitung Laminare, inkompressible Nachlauf-Strömungen wurden erstmals 93 von Goldstein [] auf Anregung von Prandtl mittels der Prandtl schen Grenzschichtgleichungen untersucht. Goldstein berechnet in seiner Arbeit näherungsweise über eine asymptotische Reihenentwicklung den Nachlauf direkt hinter einer tangential angeströmten flachen Platte (Nachlauf-Nahfeld, engl.: near wake). Auf Goldsteins Ansatz aufbauend bestimmt Tollmien 93 im Handbuch der Experimentalphysik [56], S die zugehörige asymptotische Nachlauf-Strömung erster Stufe in weiter Entfernung von der Plattenhinterkante (Nachlauf-Fernfeld, engl.: far wake). Sein Resultat macht keinen Gebrauch von der speziellen Geometrie der flachen Platte und trifft daher auf beliebige achsensymmetrisch angeströmte achsensymmetrische Profile zu. Tollmiens Ergebnis vertieft dann 933 wiederum Goldstein [], indem er die Asymptotik zweiter Stufe des Nachlauf-Fernfeldes berechnet und diese graphisch mit seiner Nahfeld-Lösung verbindet. In dem zweiten Teil seiner Arbeit [] setzt er die Ergebnisse des ersten in Beziehung zu denen von Filon [6], der das Nachlauf-Fernfeld eines quer angeströmten Kreiszylinders auf Basis der vollen Navier-Sokes-Gleichungen anhand der sogenannten Oseen-Approximation ebenfalls bis zur zweiten Stufe entwickelt hatte. Die Basisarbeiten von Goldstein, Tollmien und Filon sind anschließend vielfach aufgegriffen worden. Im Folgenden seien einige genannt: Der japanische Physiker und Mathematiker Isao Imai [8] erweitert 95 Filons Arbeit um die Approximation dritter Stufe und kann so paradoxe Aussagen, die Filon allein aus der Kenntnis der zweiten Approximation über den auf den Zylinder wirkenden Impuls gezogen hatte, revidieren. Stewartson [5] erweitert 957 Goldsteins Asymptotik zweiter Stufe ebenfalls um eine weitere. In dieser dritten Stufe tritt erstmals ein logarithmischer Term in der Entfernungsvariablen auf, bezüglich welcher die asymptotische Entwicklung durchgeführt wird. Ohne Einführung eines solchen Terms war Goldstein an der Herleitung der dritten Stufe gescheitert, da er unphysikalische Lösungen erhielt, die sich quer zur Strömung nicht exponentiell der Anströmgeschwindigkeit 55

66 56 näherten. Crane [3] gibt 959 eine Ergebniskorrektur von Stewartsons Berechnungen an. I-Dee Chang behandelt 96 zweidimensionale Problemstellungen wie Filon und Imai mit einem anderen Ansatz in seiner umfangreichen Arbeit [8]. Hieran schließt sich die Dissertation von Childress 96 [] an, in welcher analog das dreidimensionale, laminare, inkompressible Nachlauf-Fernfeld betrachtet wird und asymptotische Entwicklungen höherer Ordnung sowohl für rotationssymmetrische als auch für allgemeine Strömungen angegeben werden. Beide Arbeiten entstanden am California Institute of Technology auf Initiative von P.A. Lagerstrom und unter Mitwirkung von S. Kaplun. Berger und Viviand [59] erweitern 965 die Prinzipien auf dreidimensionale, rotationssymmetrische Nachlauf-Nahfeld-Strömungen hinter schlanken Körpern (engl.: slender bodies) und Berger [4] untersucht 968 erneut das Nachlauf-Fernfeld bis zur vierten Stufe auf Basis der Prandtl schen Grenzschichtgleichungen für beliebige achsensymmetrische, dreidimensionale, inkompressible, laminare Strömungen. Ting [55] beschreibt 968 in Fortführung der Arbeiten von Goldstein, Stewartson und Crane, das zweidimensionale Nachlauf-Fernfeld mittels von Mises-Variablen und kommt so zu einer strukturell übersichtlicheren asymptotischen Entwicklung als mit kartesischen Koordinaten. Seine Methode lässt die prinzipielle Gestalt asymptotischer Entwicklungen beliebig hoher Stufen erkennen und klärt das Auftreten logarithmischer Terme in ihnen: Sie korrespondieren mit Resonanzen bei nichtlinearen Vibrationsproblemen. Ting s Ergebnisse werden in Abschnitt 3.6 dargestellt. Berger veröffentlicht schließlich 97 das Buch Laminar Wakes [3] (3 Seiten), welches ein umfangreiches Literaturverzeichnis besitzt. Auf dieses Buch sei hier ausdrücklich hingewiesen. Auch das Standardreferenzwerk [48] zur Grenzschichttheorie von Schlichting und Gersten verweist bis zu seiner neusten. Auflage aus dem Jahr 6 für laminare Nachlauf-Strömungen auf das Buch von Berger (s. z.b. S.9, S.338). Zum Aufbau des Kapitels: Der erste Abschnitt 3. enthält eine elementare Herleitung der Nachlauf-Fernfeld-Gleichungen (erster Stufe) für zweidimensionale achsensymmetrische und dreidimensionale rotationssymmetrische Strömungen. Die Abschnitte 3.3 und 3.4 leiten dann Lösungen dieser Gleichungen her. Abschnitt 3.5 setzt den Widerstand des umströmten Körpers in Beziehung zu dessen Nachlauf-Strömung. Der umfangreiche und etwas kompliziertere Abschnitt 3.6 behandelt zweidimensionale Nachlauf-Fernfeld-Strömungen höherer Ordnung: Zunächst wird Ting folgend eine Asymptotik dritter Stufe in von Mises-Variablen hergeleitet und das Auftreten logarithmischer Terme in asymptotischen Entwicklungen beliebig hoher Stufen geklärt. Anschließend findet eine (möglicherweise neuartige) Umrechnung in kartesische Koordinaten statt, was auf die oben angesprochenen Ergebnisse von Goldstein, Stewartson und Crane führt. Abschnitt 3.7 geht auf das Problem der Bestimmung der Anfangsposition des Nachlauf-Fernfeldes hinter dem umströmten Hindernis ein. Das entsprechende Ergebnis von Goldstein für den Fall einer tangential angeströmten flachen Platte wird dargestellt und der von Nishioka und Miyagi [45] durchgeführte experimentelle Vergleich angegeben. Als zweite Geometrie wird ein quer angeströmter Kreiszylinder betrachtet. Für Durchmesser-Reynoldszahlen zwischen und 6 wird die asymptotische Nachlauf-Fernfeld-Lösung dritter Stufe von Goldstein, Stewartson, Crane mit

67 57 den experimentellen Geschwindigkeitsmessungen von Nishioka und Sato [44] und mit numerischen Ergebnissen, die mit der CFD-Software ANSYS CFX. berechnet wurden, verglichen. Der letzte Abschnitt 3.8 geht kurz auf die mögliche Beschreibung des Nachlauf-Fernfeldes mehrerer hintereinanderliegender Hindernisse anhand der zuvor erzielten Resultate ein. 3. Nachlauf-Fernfeld-Gleichungen Man betrachte folgenden Ansatz einer asymptotischen Entwicklung des Strömungsfeldes v (u, v, w) und des Druckes p im Nachlauf-Bereich hinter einem horizontal angeströmten Hindernis mit dem Parameter ε : ν Re : u(x, y, z) U + ε α u (ε αx x, ε αyz y, ε αyz z) (3..) v(x, y, z) ε α v (ε αx x, ε αyz y, ε αyz z) (3..) w(x, y, z) ε α w (ε αx x, ε αyz y, ε αyz z) (3..3) p(x, y, z) P + ε α p (ε αx x, ε αyz y, ε αyz z). (3..4) mit ε ], [, α, α, α x, α yz R > und α < α (3..5) α x, α yz (3..6) Dieser Ansatz enthält bereits folgende Annahmen:. Die Strömung um das Hindernis sollte nahezu rotationssymmetrisch zur Anströmrichtung also zur x-achse sein, so dass v und w dieselbe Amplitude ε α besitzen (s. (3..), (3..3)) und sowohl in y- als auch in z-richtung dieselbe Skala ε αyz auftritt.. Die Amplitude von v und w ist viel kleiner als die der Schwankung u U (s. 3..5). 3. Die Feinheiten ε αx, ε αyz der Skalen sind durch ε nach unten beschränkt (s. 3..6). Dies ist sinnvoll, da maximal Grenzschichten der Stärke ε aufgelöst werden müssen. Es sei darauf hingewiesen, dass obiger Ansatz eine vereinfachte Schreibweise einer formalen Notation für eine asymptotische Entwicklung der Stufe im Sinne von Definition..4 ist: f : (u, v, w, p) m : 4 x : (x, y, z) n : 3 φ : (φ (), φ (), φ () ) (, ε α, ε α ) { (ψ (), ψ (), ψ () ) (, min(ε αx, ε αxy ), max(ε αx, ε αxy )) falls α x α xy ψ : f () : (U,,, P) f () : (u,,, p ) f () : (, v, w, ). (ψ (), ψ () ) (, ε αx ) falls α x α xy

68 58 Substituiere ξ : ε αx x (3..7) η : ε αyz y (3..8) ζ : ε αyz z. (3..9) Einsetzen in die Kontinuitätsgleichung ergibt (u x + v y + w z )(x, y, z) (ε α αx u ξ + ε α αyz v η + ε α αyz w ζ)(ξ, η, ζ). Die Annahme einer ausgewogenen Bilanz der Terme u ξ, v η, w ζ führt auf α α x : α α α yz : β α < β (3..) und damit zu u ξ + v η + w ζ. (3..) Die Impulsgleichungen lauten: [uu x + vu y + wu z ε(u xx + u yy + u zz ) + p x ](x, y, z) [(U + ε α u )(ε α α u ξ ) + (εβ v )(ε α β u η ) + (εβ w )(ε α β u ζ ) ε(ε α α u ξξ + εα β u ηη + εα β u ζζ ) + p ξ ](ξ, η, ζ) [Uu ξ + ǫ α (u u ξ + v u η + w u ζ) ε α u ξξ ε +α β u ηη ε +α β u ζζ (3..) +p ξ ](ξ, η, ζ) [uv x + vv y + wv z ε(v xx + v yy + v zz ) + p y ](x, y, z) [(U + ε α u )(ε β α v ξ ) + (εβ v )(ε β β v η ) + (εβ w )(ε β β v ζ ) ε(ε β α v ξξ + ε β β v ηη + ε β β v ζζ) + ε α β p η](ξ, η, ζ) [ε β α Uv ξ + ǫ β (u v ξ + v v η + w v ζ) ε +β α v ξξ ε β v ηη ε β v ζζ (3..3) +ε α β p η ](ξ, η, ζ) [uw x + vw y + ww z ε(w xx + w yy + w zz ) + p z ](x, y, z) [(U + ε α u )(ε β α w ξ ) + (εβ v )(ε β β w η ) + (εβ w )(ε β β w ζ ) ε(ε β α w ξξ + ε β β w ηη + ε β β w ζζ) + ε α β p ζ](ξ, η, ζ) [ε β α Uw ξ + ǫβ (u w ξ + v w η + w w ζ ) ε +β α w ξξ ε β w ηη ε β w ζζ + εα β p ζ ](ξ, η, ζ). (3..4)

69 59 Auflösen nach den Drucktermen ergibt p ξ Uu ξ + ǫα (u u ξ + v u η + w u ζ ) ε α u ξξ ε+α β u ηη ε+α β u ζζ Uu ξ + ǫ α (u u ξ + v u η + w u ζ) ε +α β (ε (β α) u ξξ + u ηη + u ζζ) (3..5) p η ε (β α) Uv ξ + ǫβ α (u v ξ + v v η + w v ζ ) ε+β 3α v ξξ ε α v ηη ε α v ζζ ε (β α) Uv ξ + ǫ β α (u v ξ + v v η + w v ζ) ε α (ε (β α) v ξξ + v ηη + v ζζ) (3..6) p ζ ε (β α) Uw ξ + ǫβ α (u w ξ + v w η + w w ζ ) ε+β 3α w ξξ ε α w ηη ε α w ζζ ε (β α) Uw ξ + ǫβ α (u w ξ + v w η + w w ζ ) ε α (ε (β α) w ξξ + w ηη + w ζζ ) (3..7) Auf den rechten Seiten von (3..6), (3..7) tritt ε gemäß (3..) nur mit positiven Exponenten auf, so dass für ε p η p ζ folgt. Wegen der Randbedingung p (ξ, η, ζ) const für (η, ζ) muss dann aber für jedes feste ξ bereits p (ξ, η, ζ) const für alle η, ζ gelten. Damit ist p jedoch insgesamt konstant, so dass auch p ξ. Gleichung (3..5) lautet nun Uu ξ + ǫα (u u ξ + v u η + w u ζ ) ε+α β (ε (β α) u ξξ + u ηη + u ζζ ). (3..8) Vergleicht man in (3..8) die ε-potenzen, so muss für einen ausgewogenen Einfluß von Konvektion und Diffusion + α β β α + gelten. Vernachlässigt man in (3..8) Terme mit positiven ε-potenzen, so ergibt sich (3..9) Uu ξ u ηη + u ζζ. (3..) Wegen u ξ(ξ, η, ζ) u x (x, y, z) u ηη (ξ, η, ζ) εβ α u yy (x, y, z) εu yy (x, y, z) u ζζ(ξ, η, ζ) ε β α u zz (x, y, z) εu zz (x, y, z) ε ν lässt sich (3..) in Uu x ν(u yy + u zz ) (3..) zurücktransformieren. Dies ist Gleichung (5..8) auf Seite 349 im Buch von Batchelor []. Weil die y- und z- Impulsgleichungen (3..6), (3..7) nur Terme mit positiven ε-potenzen aufweisen, erhält man letztendlich - zusammen mit der Kontinuitätsgleichung (3..) - nur zwei Gleichungen. Dies ist ausreichend, um das gesamte Strömungsfeld für zweidimensionale und rotationssymmetrische dreidimensionale Strömungen zu bestimmen. Für allgemeine dreidimensionale Nachlauf-Strömungen lässt sich lediglich die Strömung u in x-richtung modellieren. Ein wesentliches Problem für konkrete numerische Simulationen besteht einerseits darin, den x-ursprung zu

70 6 bestimmen, d.h die Entfernung vom Hindernis, ab der die bisher gemachten Annahmen gelten, und andererseits in der Berechnung eines Anfangsströmungsprofils in der (x )-Ebene, so dass man insgesamt eine wohlgestellte Anfangswertaufgabe mit Randbedingungen angeben kann. Für theoretische Überlegungen nehmen wir allerdings einfach an, dass der Ursprung bekannt und ein Anfangsprofil g(y, z) u(, y, z) gegeben ist. Mit u erfüllt auch ū : U u ε α u die Gleichung (3..38). Es ist üblich, die Nachlauf-Fernfeld-Gleichungen (engl. far wake equations) bezüglich ū und ḡ : U g zu formulieren: D-Nachlauf-Fernfeld-Gleichungen Randbedingungen: ū x v y (3..) Uū x νū yy (3..3) ū(, y) ḡ(y) (3..4) v(x, ) (3..5) lim y) y ū(x, (3..6) v(x, y) (3..7) lim y 3D-Nachlauf-Fernfeld-Gleichung für ū Randbedingungen: Uū x ν(ū yy + ū zz ) (3..8) ū(, y, z) ḡ(y, z) (3..9) lim ū(x, y, z) (3..3) y +z 3D-Nachlauf-Fernfeld-Gleichungen, rotationssymmetrisch (in Zylinderkoordinaten (a, b) : (U v ξ,v r ), x ξ gemäß den Bezeichnungen aus Abschnitt.3) a x b r + r b ( ra x (rb) r ) (3..3) Randbedingungen: Ua x ν( a r + a r r ) (3..3) a(, r) ḡ(r) (3..33) a r (x, ) (3..34) b(x, ) (3..35) lim a(x, r) r (3..36) b(x, r) (3..37) lim r

71 6 Die Randbedingung (3..34) bringt die plausible Annahme zum Ausdruck, dass bei rotationssymmetrischen Strömungen die axiale Strömung in einem festen (radialen) Querschnitt ihr Minimum stets auf der Symmetrieachse (x-achse) annimmt. Die Randbedingung (3..35) besagt, dass bei rotationssymmetrischer Strömung auf der Symmetrieachse (x-achse) keine Radialbewegung stattfinden kann. Analog ist für zweidimensionale, x-achsensymmetrische Strömungen die Randbedingung (3..5) stets erfüllt, während sie für allgemeine zweidimensionale Strömungen jedoch nicht zu gelten braucht. Es sollen hier einfachheitshalber aber nur zweidimensionale Nachlauf-Strömungen mit dieser Eigenschaft betrachtet werden. Sie liegt beispielsweise auch dann vor, wenn auf der x-achse eine Haftbedingung gilt. Abschließend sei kurz auf Grenzfälle des ε-exponenten α ], β[ hingewiesen. Für α folgt β (α + )/ /. Gleichung (3..8) wird dann zu Uu ξ + u u ξ + v u η + w u ζ εu ξξ u ηη u ζζ. (3..38) Für ε erhält man im -dimensionalen Fall damit die Prandtl schen Grenzschichtgleichungen uu ξ + v u η u ηη u ξ + v η. Der zweite Grenzwert α β (α + )/ ergibt α, β. Die Gleichungen (3..5),(3..6), (3..7) werden dann zu p ξ Uu ξ + ǫ(u u ξ + v u η + w u ζ ) (u ξξ + u ηη + u ζζ ) p η Uv ξ + ǫ(u v ξ + v v η + w v ζ) (v ξξ + v ηη + v ζζ) p ζ Uw ξ + ǫ(u w ξ + v w η + w w ζ ) (w ξξ + w ηη + w ζζ ) Uw ξ + ǫ(u w ξ + v w η + w w ζ) (w ξξ + w ηη + w ζζ). Für ε ergeben sich damit die Oseen-Gleichungen p ξ Uu ξ (u ξξ + u ηη + u ζζ ) p x Uu x ν(u xx + u yy + u zz ) p η Uv ξ (v ξξ + v ηη + v ζζ) p y Uv x ν(v xx + v yy + v zz ) p ζ Uw ξ (w ξξ + w ηη + w ζζ ) p z Uw x ν(w xx + w yy + w zz ). 3.3 Analytische Lösungen der Nachlauf-Fernfeld- Gleichungen Die Nachlauf-Fernfeld-Gleichungen (3..3), (3..8) sind ein- bzw. zweidimensionale Wärmeleitungsgleichungen, bei der die x-koordinate die Rolle der Zeit-Variablen einnimmt und y bzw. y, z die räumlichen Variablen darstellen. Nimmt man an, dass die Anfangsbedingung ḡ hinreichend regulär ist, so erhält man nach (.4.6) folgende analytische Lösungen:

72 6 D-Nachlauf-Fernfeld ū(x, y) v(x, y) ( ) / U 4πνx ( U y 4πνx ) / e Uy 4νx ḡ(y )e U(y y ) y R y R 4νx dy (3.3.) ḡ(y )e U(yy y ) 4νx dy (3.3.) ū x (x, y )dy (3.3.3) ( ) / U 4πνx 3 ( ) / U 4πνx 3 ( ) / U 6πνx 3 ḡ(y ) y R ḡ(y ) y R y ḡ(y ) y R e U(y y ) 4νx [ (y y )e U(y y ) 4νx ( U(y y ) ) dy dy 4νx ] y y y dy ( (y y )e U(y y ) 4νx + y e Uy 4νx ) dy (3.3.4) 3D-Nachlauf-Fernfeld (nur ū) ū(x, y, z) U 4πνx ḡ(y, z )e (y,z ) R U U(y +z ) 4πνx e 4νx U((y y ) +(z z ) ) 4νx dy dz (y,z ) R ḡ(y, z )e U((y y +z z ) (y +z )) 4νx dy dz (3.3.5) Man beachte, dass in die Gleichung (3.3.3) die Randbedingung (3..5) eingeht. 3.4 Asymptotische Lösungen der Nachlauf-Fernfeld- Gleichungen für rotationssymmetrische Strömungen Für rotationssymmetrische Nachlauf-Strömungen macht man klassisch folgenden Ähnlichkeitsansatz für eine asymptotische Darstellung von ū in dem kleinen Parameter x in großer Entfernung x vom Hindernis (s. [48] Abschnitt., S.36, [36] S.63 Aufgabe 9): ū(x, η) c x m f(η) η : c y + z x m c, c, m, m R >.

73 63 Die partiellen Ableitungen von ū lauten dann: ū x c (m x (m+) f + m c x (m+m+) y + z f ) c x (m+) (m f + m ηf ) ū y c c x (m+m) y y + z f (( ) ū yy c c x (m+m) y + z y (y + z ) 3/ (( ) ū zz c c x (m+m) y + z z (y + z ) 3/ ) f y + c x m y + z f f + c x m z y + z f ). Einsetzen in die Nachlauf-Fernfeld-Gleichung (3..) ergibt Uū x + ν(ū yy + ū zz ) ( ) Uc x (m+) (m f + m ηf ) + νc c x (m+m) y + z f + c x m f. Multipliziert man diese Gleichung mit c y + z x m+m (Uc ), so erhält man c x m y + z (m f + m ηf ) + ν U c (f + ηf ). (3.4.) Um eine gewöhnliche Differentialgleichung für f zu erhalten, muss m gelten, denn dann ist der erste Faktor c x m y + z in (3.4.) gleich η. Setzt man außerdem so ergibt sich α : ν U c, m ηf + η f + αf + αηf. (3.4.) Nach (.4.7) ist Q : ū(y, z) dydz c x m f(c x / y + z ) dydz (y,z) R (y,z) R ( ) ( ) y z c x (y,z) R m f c x + x dydz c x m (y,z ) R f(c y + z ) dy dz wohldefiniert und unabhängig von x R >, so dass gelten muss. Gleichung (3.4.) lautet daher m ηf + η f + αf + αηf ( η f + αηf ) (3.4.3) const. α η f + ηf (3.4.4)

74 64 mit den Randbedingungen f () (3.4.5) lim f(η). (3.4.6) η Lemma 3.4. Die Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung (3.4.3) in R sind genau die Funktionen f c (η) ce η /(4α) Insbesondere hat jede Lösung f folgende Eigenschaften: a) f () b) lim η f(η) Beweis:. Für c R gilt c R. α η f c + ηf c c α η e η /(4α) c α η ce η /(4α). Nach (3.4.4) mit const. ist f c eine Lösung von (3.4.3).. Es sei f eine Lösung von (3.4.3) auf R. Insbesondere ist f stetig in. Nach (3.4.4) gibt es ein β R, so dass ηf + α η f β. Im Fall β erfüllt f die homogene Anfangswertaufgabe y + α ηy in R > y() f() : c. Weil die Funktion α η auf R stetig ist, lautet nach [6] S.4 die eindeutige Lösung y(η) y()e η /(4α) f c (η). Annahme: β. Dann erfüllt f die inhomogene Anfangswertaufgabe y + α ηy β in R > η y() f() : c. Die Inhomogenität β η besitzt im Punkt η eine Singularität. Sie ist aber auf jedem Intervall [ε, [, ε R >, stetig, so dass dort die eindeutige Lösung gegeben ist durch ( s. [6] S.5): ( η ) f ε (η) e 4α (η ε ) f(ε) + β ε τ e 4α (τ ε ) dτ. Wegen η ε τ e 4α (τ ε ) dτ η ε τ dτ ln(η) ln(ǫ) ε

75 65 ergibt sich ein Widerspruch zu f ε (η) ε f(η) R, so dass doch β gelten muss. Das Randwertproblem (3.4.3), (3.4.5), (3.4.6) hat also nach Lemma 3.4. bis auf eine multiplikative Konstante, welche bereits durch c in ū berücksichtigt ist, die eindeutige Lösung f(η) e η 4a (3.4.7) und nimmt daher für die einfache Form α 4 c : f(η) e η U 4ν an. Das bedeutet ū(x, y, z) c y x e U 4νx. Die Konstante c ergibt sich durch Integration: Q ū(y, z) dydz c (y,z) R x c QU 4πν. Das Endergebnis lautet somit e U y (y,z) R 4c πν 4νx dydz U ū(x, y, z) QU y +z 4πνx e U 4νx (3.4.8) a(x, r) QU 4πνx e U r 4νx (Zylinderkoordinaten). (3.4.9) Das ist Gleichung (5..9) in dem Buch von Batchelor []. Die Konstante Q wird im folgenden Abschnitt untersucht und mit der Widerstandskraft des umströmten Körpers in Beziehung gesetzt. Die radiale Strömungskomponente erhält man aus der Kontinuitätsgleichung (3..3) zusammen mit der Randbedingung (3..35): ( QU Ur QU (rb) r ra x r e 4νx 4πνx 4πνx e U r Ur ) 4νx 4νx r QU ( 4πνx Ur 4νx r rb(x, r) s QU ) ( 4πνx Us e Us Q r su 4νx ds ( Us 4νx πx 4νx 4νx Q πx b(x, r) QUr 8πνx Ur 4νx Ur e ( t)e t dt Q πx Ur 4νx (te t ) dt QUr 8πνx Ur e 4νx ) e Us 4νx ds ) e Ur 4νx 4νx. (3.4.) Man sieht leicht, dass die asymptotische Lösung (a, b) die Randbedingungen (3..34)... (3..37) erfüllt. Das Ergebnis noch einmal zusammengefasst: 3D-Nachlauf-Fernfeld, rotationssymmetrisch, asymptotisch a(x, r) QU r e U 4νx 4πνx (3.4.) b(x, r) QUr Ur e 4νx 8πνx. (3.4.)

76 66 Für den zweidimensionalen, achsensymmetrischen Fall berechnet man analog: D-Nachlauf-Fernfeld, achsensymmetrisch, asymptotisch ( U Q ) / e Uy 4νx (3.4.3) ū(x, y) 4πνx y ( ) / U y ( Uy v(x, y) ū x (x, y ) dy Q 4πνx 3 4νx ( ) / [ U Q 4πνx 3 ] y y y e Uy 4νx y ( U Q 6πνx 3 ) e Uy 4νx dy ) / ye Uy 4νx. (3.4.4) Das gleiche Ergebnis erhält man direkt, wenn man den ersten Term der asymptotischen Entwicklung (.4.4) betrachtet, wobei dort (x, t) durch (y, νx U ) zu ersetzen ist. Wiederum erfüllt die asymptotische Lösung (ū, v) die Randbedingungen (3..5), (3..6), (3..7). Der asymptotische Durchmesser d δ (x) einer rotationssymmetrischen Nachlauf-Strömung an der Stelle x begrenzt den Bereich, in dem die axiale Strömung u(x, ) von der Außenströmung U um einen größeren Wert als eine vorgegebene Schranke δ R > abweicht, d.h in dem ū(x, ) δ. Aus den Gleichungen (3.4.), (3.4.3) erhält man (durch Auflösen nach r bzw. y) sofort ( ) 4νx U ln QU 4πνxδ dreidimensional, rotationssymmetrisch d δ (x) ( ) 4νx U ln Q U δ 4πνx zweidimensional, achsensymmetrisch. (3.4.5) Man erkennt hieran die erwartete parabolische Form des Nachlaufs. Eine graphische Darstellung findet man am Ende des nächsten Abschnittes in Abbildung 3.4, S. 7.

77 Widerstandskraft im Nachlauf-Fernfeld-Modell In diesem Abschnitt wird der näherungsweise Zusammenhang W ρu Q zwischen der Widerstandskraft W des umströmten Körpers und dem Querschnittsintegral Q : ū da der Verlustströmung ū U u im Nachlauf-Bereich hergeleitet (s. [] Abschnitt 5., Gleichung (5..5), S.35). Dieser Zusammenhang ist eine vereinfachte Darstellung des Widerstandes als Impulsverlust. Weitere Details zu diesem Thema findet man beispielsweise in [3] Kapitel S. 9 ff. Die folgende Abbildung entspricht der Abbildung 5..3 aus dem Buch von Batchelor [] S.35. V n M v p p A v W Impulsverlust A v y z x Legende V : zylindrisches Kontrollvolumen mit Rand V A A M (gestrichelte Linie) A, A : Stirnflächen des Zylinders M: Mantelfläche des Zylinders n(x): (n x, n y, n z )(x) äußerer Normaleneinheitsvektor im Punkt x (x, y, z) V W: Widerstandskraft, Kraft des Fluids auf den Körper in Anströmrichtung v: (u, v, w) Strömungsgeschwindigkeitsfeld v (u, v, w ) Strömungsprofil an der Eintrittsfläche A v (u, v, w ) Strömungsprofil an der Austrittsfläche A p Druckverteilung an der Eintrittsfläche A p Druckverteilung an der Austrittsfläche A Abbildung 3.: Zusammenhang zwischen Strömungswiderstand und Impulsverlust

78 68 Es sei darauf hingewisen, dass in Abbildung 3. alle Größen in dimensionsloser Form angegeben sind. Die dimensionsbehaftete Widerstandskraft W wird dabei mit der Bezugskraft FB : ρ B (U B L B ) entdimensioniert, d.h. W : W /FB. Eine Impulsbilanz in x-richtung am zylindrischen Kontrollvolumen V ergibt: ρuv n ds + pn x ds + W + F R V V ρu ds + ρu ds + ρuv n ds p ds + p ds + W + F R A A M A A W + F R p + ρu p ρu ds ρuv n ds (3.5.) Notation: A F R : (dimensionslose) viskose Reibungskräfte am Rand des Kontrollvolumens ds : Oberflächenintegration A : A A : Eintritts-/Austrittsfläche. Die Massenbilanz am Kontrollvolumen liefert ρv n ds V A M ρ(u u ) ds + ρv n ds. (3.5.) M In großer Entfernung also z.b. auf der Mantelfläche M gilt u U, weswegen ρuv n ds ρ(u U)v n + ρuv n ds U ρv n ds U ρ(u u ) ds M M M (3.5.) A ρu(u u ) ds. (3.5.3) A Setzt man die rechte Seite von (3.5.3) in (3.5.) ein und vernachlässigt die viskosen Reibungskräfte F R am Kontrollvolumenrand, so erhält man W p + ρu p ρu ds ρu(u u ) ds A A p + ρ(u U)u p ρ(u U)u ds. (3.5.4) A Im Eintrittsbereich gilt u U. Ferner ist der Druckunterschied zwischen Ein- und Austritt gering, so dass p p. Damit vereinfacht sich (3.5.4) zu W ρ(u u )u ds ρ(u u )(u U) + ρ(u u )U ds A A ρu (U u ) ds ρuq. (3.5.5) A Das ist die Gleichung (5..5) auf Seite 35 in dem Buch von Batchelor []. Im zweidimensionalen Fall gilt analog W ρu QB. (3.5.6) Für eine dimensionslose Bezugsbreite B B L. B Ist der Widerstandsbeiwert c W W ρ U S K W ρ U S K (3.5.7)

79 69 bezüglich einer körperspezifischen Fläche S K (dimensionsbehaftet) bzw. S K : S K /L B (dimensionslos) bekannt, wobei im zweidimensionalen Fall S K L K B für eine körperspezifische Länge L K und damit S K L K B gilt, so kann man Q berechnen: (3D) Q W ρu c W ρ U S K ρu c WUS K (3.5.8) W (D) Q ρub c ρ W U L K B ρub c WUL K. (3.5.9) Mit diesen Ergebnisssen lauten die Gleichungen (3.4.),..., (3.4.4) dann 3D-Nachlauf-Fernfeld, rotationssymmetrisch, asymptotisch D-Nachlauf-Fernfeld, achsensymmetrisch, asymptotisch a(x, r) c WS K U 8πνx e U r 4νx (3.5.) b(x, r) c WS K U r 6πνx e Ur 4νx (3.5.) ū(x, y) c W L K ( U 3 6πνx v(x, y) c W L K ( U 3 64πνx 3 ) / e Uy 4νx (3.5.) ) / y e Uy 4νx. (3.5.3) Gleichung (3.5.) ist äquivalent zu Gleichung (7.95) auf Seite 9 im Buch von Schlichting und Gersten [48]. Falls es sich bei dem umströmten Körper beispielsweise um einen Zylinder mit dimensionslosem Radius d : d L handelt, so kann man die kreisförmige Stirnfläche als Bezugsfläche B wählen und erhält S K π d 4. Setzt man Re U,d : Ud ν U d ν in (3.5.) ein, dann ergibt sich ū(x, y, z) c wu d r e U 3νx c w Ud Re U,d 4νx 3x r U e 4νx. (3.5.4) Dies ist Gleichung (.5) auf Seite 338 im Buch von Schlichting und Gersten [48]. Dort steht allerdings ein Druckfehler: Der Faktor π auf der rechten Seite muss gestrichen werden. (Auch in der vorangehenden Gleichung (.5) ist leider ein Druckfehler: Im Nenner muss dort πl /4 stehen anstelle von πl.) Der c W -Wert einer flachen, tangential angeströmten Platte der dimensionslosen Länge l l /L B : L K und Breite B lautet nach dem Blasius schen Widerstandsgesetz (s. (.5.4)): c w, 38. (3.5.5) Ul ν wobei als Bezugsfläche S K Bl für den einseitigen bzw. S K Bl für den beidseitigen Plattenwiderstand gewählt ist. Der asymptotische Nachlauf einer beidseitig umströmten Platte ergibt sich

80 7 Asymptotische Nachlauf-Strömung einer tangential angeströmten, flachen Platte, Re x6 y x6 y x. x u v x 5 Abbildung 3.: u(x, y), x, 5,..., 6 Abbildung 3.3: v(x, y), x, 5,..., 6 demnach gemäß (3.5.), (3.5.3) als: ( ) U 3 / ū(x, y) c W L K e Uy, 38 4νx 6πνx, 664 l U π Uy x e ( ) U 3 / v(x, y) c W L K 64πνx 3 y e Uy, 38 4νx, 33 l y U π x Ul ν ( ) U 3 / l e Uy 4νx 6πνx 4νx (3.5.6) Uy x e Ul ν ( ) U 3 / l 64πνx 3 y e Uy 4νx 4νx. (3.5.7) Gleichung (3.5.6) ist die Gleichung für u in der Originalarbeit von Tollmien auf Seite 69 (Zeile 7 von unten). Die asymptotische Platten-Nachlauf-Strömung ist für U, l, Re 6 ν in den Abbildungen 3. und 3.3 dargestellt. Die Abbildung 3.4 zeigt den parabolischen Verlauf des Nachlauf- Durchmessers d δ (x) y δ (x), wobei als durchmesserdefinierende Abweichung δ : 5 gewählt wurde (vgl. (3.4.5)):, 664 l Uy δ (x) δ ū(x, y δ (x)) U π x e 4νx ( y δ (x) ± 4νx ) U ln, 664U l. (3.5.8) δ πx

81 y δ x Abbildung 3.4: parabolische Entwicklung des Nachlauf-Durchmessers [ū(x, y δ ) δ 5 ] 3.6 Nachlauf-Fernfeld-Gleichungen höherer Ordnung für zweidimensionale achsensymmetrische Strömungen Wie in der Einleitung angegeben, werden hier die Ergebnisse des Artikels [55] von Ting Teil. Two Dimensional Symmetric Wake dargestellt, ohne dabei an dessen knapp formuliertem Text zu kleben, d.h. Aufbau, Notation und Beweise wurden teils geändert bzw. ausführlicher gestaltet. Inhalt ist die Herleitung von asymptotischen, zweidimensionalen, achsensymmetrischen Nachlauf- Fernfeld-Gleichungen höherer Ordnung. Die in den vorangehenden Abschnitten angegebenen zweidimensionalen Nachlauf-Fernfeld-Gleichungen werden sich in diesem Kontext als Gleichungen erster Ordnung herausstellen. Letztendlich werden jedoch nur Nachlauf-Fernfeld-Gleichungen bis zur Ordnung drei und hier auch nur die führenden Terme konkret berechnet. Der Grund hierfür ist, dass sich diese Terme vollständig mithilfe des Widerstandsbeiwertes des umströmten Körpers ohne genaue Kenntnis eines Anfangsströmungsprofiles hinter dem Körper angeben lassen. Höhere Ordnungen würden in praktischen Anwendungen meist nicht verfügbare Zusatzinformationen (die Kenntnis höherer Momente) zu einem solchen Anfangsströmungsprofil erfordern. Ausgangspunkt sind die Prandtl schen Grenzschichtgleichungen in von Mises-Koordinaten, wobei der Druckgradient p x als vernachlässigbar angenommen wird (s..4.4): u x ν(uu ψ ) ψ (3.6.) Lu Ting ist emeritierter Professor am Courant Institute of Mathematical Sciences der Universität New York. Sein mathematischer Stammbaum ist: Lu Ting F. Ludloff Ludwig Prandtl August Föppl (Föppl-Klammer) Christian Otto Mohr (Mohr scher Spannungskreis).

82 7 mit den Randbedingungen u(ψ, x ) U( ǫf(ψ)) für alle ψ R (3.6.) lim u(ψ, x) U für alle x x (3.6.3) ψ u ψ (, x) für alle x x. (3.6.4) Dabei beschreibt f aus (3.6.) wie in den vorangehenden Abschnitten in leicht abgewandelter Form ein vorgegebenes Anfangsprofil an einer zunächst nicht näher bestimmten Anfangsposition x >. Diese kann als freier Parameter der Modellierung betrachtet werden. Auf eine geeignete konkrete Wahl von x wird jedoch erst in Abschnitt 3.7 eingegangen. Der als klein angesehene Parameter ǫ soll die geringfügige Abweichung von u von der Anströmung U in hinreichend weiter Entfernung hinter dem Hindernis modellieren. Er korrespondiert mit ε α /U aus dem Ansatz (3..). Die Randbedingung (3.6.3) drückt aus, dass u auf der Symmetrieachse des Körpers - das ist in diesem Fall die (ψ )-Stromlinie - ein Minimum annimmt, weswegen die partielle Ableitung nach ψ Null sein muss. Bezüglich des Parameters ǫ soll u asymptotisch entwickelt werden. Ting macht den Ansatz u(ψ, x, ǫ) U( ǫ i u (i) (ψ, x)). (3.6.5) Die rechte Seite von (3.6.5) setzt man in (3.6.) ein und ordnet die Summanden nach ǫ-potenzen: ( ) ( ) u x ν(uu ψ ) ψ U( ǫ i u (i) ) ν U( ǫ i u (i) )(U( ǫ i u (i) )) ψ U U U U i i i ǫ i u (i) x + νu (( ǫ i u (i) x i i x ǫ i u (i) ) + νu ǫ i u (i) ψ i i ǫ i u (i) x + νu ǫ i u (i) ψ ǫ(u () x νuu() i ψψ ) + i ǫ i u (i) x i i ǫ i i i ǫ i u (i) ψ j ǫ i i ) ψ i u (j) u (i j) ψ ψ (u (j) u (i j) ) ψ j νuu(i) ψ i ψψ + νu i ( u (j) u (i j) ) ψψ. (3.6.6) Die Faktoren vor den einzelnen ǫ-potenzen in (3.6.6) müssen bei einer korrekten Asymptotik verschwinden, so dass man folgendes System partieller Differentialgleichungen erhält: j ψ D-Nachlauf-Fernfeld-Gleichungen höherer Ordnung u (i) x νuu(i) ψψ νu i ( u (j) u (i j) ) ψψ : F (i) für i N. (3.6.7) j Die Randbedingungen für die Funktionen u (i) ergeben sich unmittelbar aus denen von u (wiederum durch Einsetzen der rechten Seite von (3.6.5) in (3.6.), (3.6.3), (3.6.4) und Ordnen nach

83 73 ǫ-potenzen): u () (ψ, x ) f(ψ) für alle ψ R (3.6.8) u (i) (ψ, x ) für alle i, ψ R (3.6.9) lim ψ u(i) (ψ, x) für alle i, x x (3.6.) u ψ (, x) für alle i, x x. (3.6.) Gleichung (3.6.) ist für i wegen F () eine homogene und für i eine inhomogene Wärmeleitungsgleichung, wobei sich die Inhomogenität F (i) der Ordnung i aus Lösungen u (k), k < i, der vorangehenden Gleichungen zusammensetzt, weswegen eine iterative Lösung des Systems möglich ist. Den Ansatz (3.6.5) kann man natürlich auch für kartesische oder Zylinder-Koordinaten machen, was in der Literatur auch häufig getan wird. Die Prandtl schen Grenzschichtgleichungen in solchen Koordinaten unter Vernachlässigung des Druckgradienten liefern dann für u ebenfalls ein System von partiellen Differentialgleichungen, das (3.6.) entspricht. Allerdings treten dann für Ordnungen i auf der rechten Seite der (3.6.) entsprechenden Gleichung Terme auf, die Vertikal-/Radialgeschwindigkeiten v (j), j < i, enthalten. Diese müssen in jedem Iterationsschritt mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung berechnet werden. Algorithmisch ist das sicherlich kein Problem, für analytische Untersuchungen ist dieses Zweischrittverfahren jedoch hinderlich. Die von Mises-Variablen liefern gerade die für diese Iteration geeignete Entkopplung von der Kontinuitätsgleichung. Die Gleichungen (3.6.) bis (3.6.6) sollen nun in Ähnlichkeitsvariablen transformiert werden. Hierfür sind zunächst zwei Tabellen angegeben, welche die Korrespondenzen zwischen der Wärmeleitungs-Notation aus dem Kapitel und der hier verwendeten Nachlauf-Notation übersichtlich auflisten. Variablen-Korrespondenzen Wärmeleitung Bedeutung Nachlauf Bedeutung x Raumvariable ψ Stromfunktion t Zeitvariable x axiale Raumvariable t > Startzeitpunkt x > Anfangsposition a Temperaturleitfähigkeit a : νu U/Re U: Anströmgeschwindigkeit x : a x skalierte Raumvariable ψ : ψ.4. a ψ x : x (.4.4) 4t x 4at Ähnlichkeitsvariable ξ : ψ : ψ νu 4ax ψ 4νUx Re: Reynoldszahl

84 74 Funktionskorrespondenzen Wärmeleitung Nachlauf u(x, t) u (i) (ψ, x) ũ( x, t) ũ (i) (ξ, x) u t au xx F (.4.6) u (i) x νuu (i) (i) ψψ F 4tũ t ũ x x xũ x 4t F(x, t) 4xũ (i) x ũ (i) ξξ ξũ(i) ξ 4xF (i) (ψ, x) (3.6.) ( i j ũ(j) ũ (i j) ) ξξ : F (i) (ξ, x) f(ψ) f( ψ) : f( νu ψ) f(x) f( x) f( a x) f( x) : f( 4t x) f( 4at x) f(ξ) : f( 4νUx ξ) (.4.7) D-Nachlauf-Fernfeld-Gleichungen höherer Ordnung in Ähnlichkeitsvariablen ũ (i) ξξ + ξũ(i) ξ 4xũ (i) x i ( ũ (j) ũ (i j) ) ξξ F (i) für i N (3.6.) j ũ () (ξ, x ) f( 4νUx ξ) : f(ξ) für alle ξ R (3.6.3) ũ (i) (ξ, x ) für alle i, ξ R (3.6.4) ξ ũ(i) lim (ξ, x) für alle i, x x (3.6.5) ũ ξ (, x) für alle i, x x. (3.6.6) 3.6. Rekursionsformel Das Differentialgleichungssystem (3.6.),...,(3.6.6) soll iterativ gelöst werden mit dem Ziel, eine asymptotische Entwicklung von ũ für x zu erhalten. In der Literatur wird diese häufig als Potenzreihe in x / antizipiert, d.h. im Sprachgebrauch von Definition (..4) wird der Ansatz einer asymptotischen Entwicklung mit einer asymptotischen Amplitudenfolge a n (x) x n/ versucht. Das geht bei der konkreten Berechnung für einige Anfangsglieder gut, scheitert dann aber und es werden künstlich sogenannte logarithmische Terme eingeführt, d.h.: es wird nachträglich die asymptotische Amplitudenfolge geändert. Der Grund ist letztendlich, dass man bei diesem Ansatz unmittelbar dazu verleitet wird, summandenweise inhomogene Fehlerfunktion-Differentialgleichungen y n + ξy n + ny n h n zu lösen und die Lösungen nach dem Prinzip der separierten Variablen zu einer Lösung y n (ξ)x n/ der inhomogenen Wärmeleitungsgleichung v n,ξξ + ξv n,ξ 4xv n,x h n zusammenzusetzen, um schließlich mittels Superposition eine Gesamtlösung einer inhomogenen Wärmeleitungsgleichung ũ (i) ξξ + ξũ(i) i,ξ 4xu(i) i,x F (i) (s. (3.6.)) zu erhalten. Wie bereits erwähnt beschreibt die Fehlerfunktion-Differentialgleichung aber eine linear gedämpfte Schwingung. Ist die Inhomogenität h Φ n eine Eigenschwingung so tritt Resonanz ein, so dass die Gesamtlösung nicht mehr das gewünschte Abklingverhalten für ξ besitzt. Man wird daher gezwungen, die Strategie zu

85 75 ändern, wodurch oben erwähnte logarithmische Terme ins Spiel kommen. Statt direkt mit einem Ansatz einer asymptotischen Entwicklung für x zu starten, werden im Folgenden stets Reihenentwicklungen betrachtet, welche schlicht die Basisdarstellungen in der orthogonalen Schauder-Basis (Φ n ) n N des L (µ) sind. Insbesondere wird damit implizit angenommen, dass man sich während der Iteration stets im Raum L (µ) befindet, so dass solche Basisdarstellungen stets möglich und wohldefiniert sind. Abschließend wird eine Umsortierung der Summanden vorgenommen, so dass man eine asymptotische Entwicklung für x erhält. Dieses Prinzip wird von Ting Normalbasenmethode (engl.: method of normal modes ) genannt, für die er auf das bekannte Werk [] Methods of Mathematical Physics von Courrant und Hilbert verweist, in dem dieses Vorgehen jedoch nicht als besondere Methode proklamiert wird (s. Kapitel V Abschnitt, S.8). Die benötigte Notation ist etwas umfangreich aber dafür exakt. Wir beginnen mit den Bezeichnungen für die Basisdarstellungen in (Φ n ) n N : ũ (i) (ξ, x) v (i) n v (i) n (x)φ n (ξ) (3.6.7) n (x) : ũ(i) (, x), Φ n µ / Φ n µ (3.6.8) F (i) (ξ, x) h (i) n (x)φ n(ξ) (3.6.9) n h (i) n (x) : F (i) (, x), Φ n µ / Φ n µ (3.6.) (3.6.7) i (ũ (j) ũ (i j) ) ξξ (x, )), Φ n µ / Φ n µ j i k,l j k,l v (j) k (x)v(i j) l (x) (Φ k Φ l ), Φ n µ / Φ n µ } {{ } :α kln R α kln i j v (j) k (x)v(i j) l (x). (3.6.) Man beachte, dass die Koeffizienten α kln vom konkreten Problem unabhängige Konstanten sind, für die α kln α lkn und nach Lemma.3.5 c) α kln für gerades k + l + n oder n (3.6.) gilt. Nun setzt man die rechten Seiten von (3.6.7) und (3.6.9) in die Differentialgleichung (3.6.) ein n v n (i) (x)(φ n (ξ) + ξφ n (ξ)) 4xv(i) n (x)φ n(ξ) und schließt durch Koeffizientenvergleich nv (i) n (x) 4xv(i) n (x) h(i) n (x) v(i) n ( nv (i) (x) (x))φ 4xv(i) n(ξ) n n n h (i) n (x)φ n (ξ) (x) + n x v(i) n (x) n 4x h(i) n (x) (3.6.)

86 76 für alle n N und x ], [. Diese gewöhnlichen, inhomogenen Differentialgleichungen erster Ordnung haben auf dem Intervall [x, [ die Lösungen v n (i) (x) e x n x t (v dt n (i) (x ) ( ) n ( x v n (i) x (x ) 4x (3.6.) ( x x ) n v (i) n (x ) 8 x n x x 4t h(i) x t n x n (t)e ( t h (i) n (t) x x k,l s ds dt i x α kln j ) ) n ) dt x (v (j) k v(i j) l )(t)t n dt. (3.6.3) Gleichung (3.6.3) stellt eine Rekursionsformel zur Berechnung der Funktionen v (i) n dar. Für i liegen gemäß (3.6.4) homogene Anfangsbedingungen vor, so dass v (i) n (x) (3.6.) 8 x n k,l i x α kln j x (v (j) k v(i j) l )(t)t n dt für i. (3.6.4) Nach diesen allgemeinen Überlegungen beginnen wir die konkrete Berechnung. Man sieht bereits, dass es für beliebige Iterationsstufen aussichtslos ist, übersichtliche, geschlossene Formeln anzugeben. Wir beschränken uns deshalb auf die Berechnung der ersten drei und geben anschließend einen Ausblick auf die nachfolgenden Berechnung von ũ () Gemäß Satz.4.7 c) und der aus diesem resultierenden asymptotischen Entwicklung (.4.43) macht man den folgenden Lösungsansatz für ũ () (vgl. [55], Gleichungen (.8)-(.)) : ũ () (ξ, x) A n A A 3 ( ) n/ x A n Φ n (ξ) (3.6.5) x n ( ) n ( ) ψ n+ (n )! f( x ψ)h n d ψ 4x ( ) n n+ (n )! f( ( ) ψ νu x ψ)h n d ψ 4x ( ) n ( ) n+ (n )! ψ f(ψ)h n dψ (3.6.6) νux 4νUx 4 f(ψ) dψ [H ] (3.6.7) νux ( ) ψ 3 f(ψ) dψ [H 4x ]. (3.6.8) νux νux Aus (3.6.5) und (3.6.7) erhält man insbesondere ( ) n/ x v n () (x) A n. (3.6.9) Für achsensymmetrische Strömungen ist auch das Anfangsprofil f achsensymmetrisch, d.h. f ist eine gerade Funktion: f(ψ) f( ψ). Weil H n nach (..) eine ungerade Funktion ist, verschwindet das Integral auf der rechten Seite von (3.6.6), weswegen x A n für alle n N. (3.6.3)

87 77 Dies bedeutet aber: (x) für alle n N (3.6.3) ( ) (n+)/ x ũ () (ξ, x) A n+ Φ n+ (ξ) (3.6.3) x v () n Berechnung von ũ () n 4 νux νux f(ψ) dψ Φ (ξ) + O(x 3/ ) (3.6.33) f(ψ) dψ Φ (ξ) + O(x 3/ ). (3.6.34) Einsetzen von (3.6.9) in (3.6.4) ergibt v () n (x) (3.6.) (3.6.9) 8 x n 8 x n 8 x n 8 x n 8 x α kln k,l k,l m k (v () k v() l x α kln A k A l x k+l m m m k m m k x )(t)t n dt t n (k+l) dt x α k(m k)n A k A m k x m x x t n m dt α k(m k)n A k A m k x m α k(m k)n A k A m k ( n m ( ln ( ( x ) n x x n m ) x x ) m x ( ln ( x n m x n m ) x x ( ) n x x ) ), m n, m n, m n, m n. (3.6.35) Für ein ungerades m N und ein k {,...,m } ist entweder k oder m k gerade, so dass nach (3.6.3) A k A m k gilt. Folglich braucht in (3.6.35) nur über gerade m summiert werden. Sind m, n gerade und k {,...,m }, so ist auch k + (m k) + n m + n gerade und damit α k(m k)n gemäß (3.6.). Insbesondere ist v n () für gerades n und für ungerades n wird in (3.6.35) der Fall m n eliminiert, der einen logarithmischen Term enthält. Zusammenfassend ergibt sich also für alle n N: v () n (3.6.36) ( m ( ) α k,(m k)+,n A k A m ( ) n+ ) (m k)+ x x 8(m n) + 4 v () n (x) m k } {{ } :β mn ( ) n+ x ( ) m x β mn x m m m β mn } {{ } :γ n x β mn ( x x ) m γ n ( x x ) n+. (3.6.37) x x

88 78 Hieraus erhält man folgende Darstellung von ũ () : ũ () (ξ, x) n v () n (x)φ n (ξ) ( n m m n ( ) m ( ) n+ ) x x β mn γ n Φ n (ξ) x x ( ) ( ) m x ( ) n+ x β mn Φ n (ξ) γ n Φ n (ξ). (3.6.38) x x n Wir berechnen nun wieder den führenden Term dieser Entwicklung. Zuerst zeigen wir γ : α ij (3.6.) β m (3.6.37) γ (3.6.37) (Φ k Φ l ), Φ µ / Φ µ (3.6.) m α k,(m k)+, A k A (m k)+ 8(m ) + 4 k β m. (3.6.39) m Als nächstes wird n β nφ n (ξ) A (Φ (ξ)+φ (ξ)erf(ξ)) bewiesen. Es gehen zwei Detailrechnungen voraus ( ± : ±, ± :, Φ j : : H j für j ): Φ, Φ k Φ Φ k (Φ e ξ )dξ (.3.) Φ }{{} Φ k dξ π erf [erfφ k π ] + erfφ k π dξ } {{ } (erfφ )Φ k dξ (erfφ )( ) k H k dξ (.3.) π [(erfφ )( ) k (k ) π H k ] + } {{ } (erfφ ) k+ H k dξ (k ) } {{ } π } {{ } (.3.) Φ +erfφ ( ) Φ k e ξ + (erfφ ) ( ) k (k ) π H k dξ (Φ (k ) + erfφ )Φ k e ξ dξ (k ) Φ + erfφ, Φ k µ für alle k N 3 (3.6.4) (Φ ), Φ k 4( k) Φ k µ.3.5c) (.3.7) (.3.7) Φ, Φ k 4( k) Φ k µ 8(k )(k ) Φ + erfφ, Φ k µ Φ k µ (3.6.4) Φ + erfφ, Φ k µ π k (k 3)! Φ + erfφ, Φ k µ 8(k )(k ) Φ k µ Φ + erfφ, Φ k µ π k+ (k )! für alle k N 3 (3.6.4)

89 79 n β n Φ n (3.6.37) (3.6.) n k 4(3 n) α,,n A Φ n (3.6.) 4( k) k (Φ ), Φ k µ Φ k A Φ k µ (3.6.4).3.5 b),c) 4(3 k ) α,,ka Φ k A k Φ + erfφ, Φ k µ Φ k Φ k µ A (Φ + erfφ ). (3.6.4) Setzt man abschließend (3.6.39) und (3.6.4) in (3.6.38) ein, so erhält man: ũ () (ξ, x) ( ) x A (Φ (ξ) + Φ (ξ)erf(ξ)) + O(x 3 ). (3.6.43) x Berechnung von ũ (3) Begonnen wird wieder mit der Rekursinsformel (3.6.4) zur Berechnung von v (3) n (x): v (3) n (x) 8 x n x α kln (v () k v() l + v () k v() l )(t)t n dt. (3.6.44) x k,l Wegen v () n (3.6.3) (3.6.36) v() n und α k,l,n α k,l, für alle n, k, l N (3.6.) (3.6.) sieht man sofort, dass wiederum v (3) n für alle n N (3.6.45) v (3). (3.6.46) Es folgt nun die etwas längere Berechnung von v (3) n (x):

90 8 v (3) n (x) 8 x n+ (3.6.9) (3.6.37) 8 x n+ x + x x α k,l,n k,l k,l α k,l,n ( ( ) k+ ( t A k x m ( ( ) m ( t t β mk γ k m x p k l x (v () k v() l + v() k v() l )(t)tn 3 dt. ( ) m ( t t β ml γ l x x ) k+ ) x A l ( t x ) l+ ) ) l+ ( p 4 x n+ α k,l,n A k β p k,l x p p α k,(p k),n A k γ p k x p p k p p k l p n n α k,l,n A k β p k,l 4(p n) } {{ } :δ pn k l α k,l,n A k β n k,l 4 } {{ } :η n p p k p p n α k,(p k),n A k γ p k 4(p n) + ( ( x ( x } {{ } :κ pn p3 x x x t n p x ) p+ ) n+ ( ( x x p p n x ) t n 3 dt t n p dt x ) dt ( ) n+ ) x x ln ( x x ( ) p+ x ( ) p+ x δ pn κ pn ( δ pn x x ) ) p+ ( ) n+ ) x x p ( ) n+ x κ pn ) x (3.6.47) ( ) n+ x ( x ) η n ln. (3.6.48) x x In der zweiten Summe beginnt die Summierung bei p 3, da κ n wegen γ gemäß (3.6.39). In (3.6.48) treten erstmals nicht verschwindende logarithmische Terme auf. Durch Umsortieren

91 8 erhält man folgende Darstellung von ũ (3) : ũ (3) (ξ, x) n v (3) n (x)φ n (ξ) [v (3), s.(3.6.46)] ( ) ( x δ pn Φ n (ξ) p p n n n ( δ pn p p n ( x η Φ 3 (ξ) x p Abschließend wird der Term η bestimmt: x ) p+ ( ) ( x κ pn Φ n (ξ) p3 n ( ) n+ x κ pn )Φ n (ξ) x n x ) p+ ( ) n+ ( ) x x η n Φ n (ξ) ln x x ) 3 ln ( x x ) + O(x 3 ). (3.6.49) η (3.6.47) (.3.9) (3.6.4) (.3.7).3.5a) 4 A 3 4 A 3 4 l l l A 3 8 Φ µ A 3 α,l,3 A β,l (3.6.37) 4 (Φ Φ l ), Φ 3 µ Φ 3 µ Φ Φ l, Φ µ Φ µ l A 3 π 3 Φ, l l α,l,3 α,,l 4(3 l) (Φ ), Φ l µ 4(3 l) Φ l µ Φ + erfφ, Φ l µ Φ l µ Φ, Φ l µ Φ Φ l + erfφ Φ l, µ µ Φ l µ Φ l Φ l µ µ Φ l Φ l µ, Φ + erfφ, l Φ l Φ l µ µ Φ l Φ l µ µ A 3 π 3 Φ, Φ + erfφ µ (3.6.5) Φ, Φ µ Φ, erfφ µ 8 π Φ 4 eξ dξ 6 π Φ erfφ e ξ dξ 4 π 3/ e 3ξ dξ 8 3π e 3ξ dξ 6 e z dz 6 (3.6.5) 3π 3π 3/ erf(ξ)( 4ξe ξ )dξ 4 Φ π 3/ (ξ)e ξ dξ e z dz 8. (3.6.5) 3π 3/ Einsetzen von (3.6.5), (3.6.5) in (3.6.5) ergibt: ( ) η A3 π A3 3π 3/ 3π 3/ 4 3π ( ) 3 ( ) ũ (3) (ξ, x) A3 x 4 3π Φ x 3(ξ) ln + O(x 3 ) x x A3 4 3π Φ 3(ξ) ( x x ) 3 ln(x) + O(x 3 ). (3.6.53)

92 Prinzipielle Gestalt von ũ (i), i > 3 In diesem Abschnitt soll - wie in der Einleitung angegeben - die prinzipielle Form der asymptotischen Entwicklungen der Funktionen ũ (i) (ξ, x) n v (i) n (x)φ n (ξ) für x beschrieben werden. Wir beschränken uns dabei auf eine tabellarische Angabe der x-amplitudenterme in den Funktionen v (i) n (x), i, n N. Dazu sei noch einmal deren rekursive Definition wiederholt (s. (3.6.9), (3.6.3), (3.6.4), (3.6.)): v () n (x) (3.6.54) ( ) n+ x (3.6.55) v () n (x) A n v (i) n (x) 8 x n x k,l i x α kln j x (v (j) k v(i j) l )(t)t n dt für i (3.6.56) α kln für gerades k + l + n oder n. (3.6.57) Aus (3.6.54), (3.6.56) und (3.6.57) folgt v (i) v (i) n für alle i, (3.6.58) wobei sich die rechte Seite dieser Gleichung mittels einer kurzen Induktion über i mit Induktionsanfang (3.6.54) ergibt. Die Rekursion (3.6.56) lautet demnach für i n: v (i) n (x) 8 x n+ k,l i x α k,l,n j x (v (j) k v(i j) l )(t)tn 3 dt. (3.6.59) Die x-amplituden in den Summanden dieser Reihendarstellung von v (i) n (x) sind gemäß dieser Rekursion in der nachfolgenden Tabelle 3. dargestellt. Für die Stufen i,, 3 sind in der Referenz- Spalte die genauen Referenzen angegeben, aus denen das Auftreten der in der x-amplituden-spalte angegebenen Ausdrücke hervorgeht. Für die Stufen i 4, 5,... wurden die x-amplituden durch Integration aller x-amplituden-produkte p der Stufen j und i j für j,...,i gemäß Gleichung (3.6.59) mittels x n+ x x p(x)x n dx 3 gewonnen. In der Spalte führende Ordnung ist der insge- samt führende Term der jeweiligen Stufe unterstrichen. Auf eine ausführliche Angabe der zugehörigen, einfachen aber schreibaufwendigen Rechnungen wurde verzichtet, da deren mathematischer Gehalt gering ist und hier lediglich ein Eindruck vom Fortschreiten der logarithmischen Terme in den Lösungen ũ (i) (ξ, x) für höhere Ordnungen i vermittelt werden soll.

93 83 Stufe x-amplituden führende Ordnung Referenzen v () n, n x n+ n : x (3.6.9) v () n, n x m, m m : x (3.6.37), (3.6.39) x n+ n : x 3 v (3) n, n x m+, m m : x 3 (3.6.48) x m, m m : x x n+ ln(x) n : x 3 ln(x) v (4) n, n x n+ ) n : x 3 x m, m m : x x m+, m 3 m 3: x 5 x m ln(x), m m : x ln(x) x n+ ln(x), n 3 n 3: x 5 ln(x) v (5) n, n x n+ ) n : x 3 x m, m m : x x m+, m 3 m 3: x 5 x m+ ln(x), m 3 x m ln(x), m 3 m 3: x 5 ln(x) m 3: x 3 ln(x) x n+ ln(x), n 3 n 3: x 5 ln(x) v (i) n, n s. Lemma 3.6. > x 3 i > 5 Tabelle 3.: logarithmische Terme ) Ting deutet in [55] S.9 letzte Zeile etwas ungenau (ohne Beweis) an:... the contribution of the higher order perturbation on ǫ4 u (4) are at most of the order ǫ 4 x 3/ or ǫ 4 x 5/ ln(x)... Später im Abschnitt.3 Logarithmic Terms in Higher Order Solutions auf Seite 3 ergänzt er noch (ohne Beweis): In the ǫ4 terms there are terms of type x n/ ln(x)φ λ (ξ) where n is any integer due to the product of u () and u (3) and the square of u () in the inhomogeneos part. Stewartson [5] S.79 schreibt ab Zeile 9 von oben (ohne Beweis), dass bei der Ordnung i 4 Terme x log(x) und x auftreten. Alle genannten Terme findet man auch in der Tabelle für die Stufe 4 wieder. ) Ting [55] weist im Abschnitt.3 S.3 für die Stufe 5 auf Terme x λ/ ln(x) Φ λ (x), λ N 3, hin (λ n in der hier verwendeten Notation). Stewartson [5] S.79 gibt für die Stufe 5 zusätzliche (führende) Terme log(x) x 5, x 5 log(x) und x 5 an. Wiederum findet man all diese Terme auch in der Tabelle für die Stufe 5.

94 84 Das folgende abschließende Lemma gibt grob die Menge an, in der alle x-amplituden der Stufen i 4 enthalten sind. Lemma 3.6. Alle x-amplitudenterme der Funktionen v (i) n, i N 4, n N, sind in der Menge enthalten, d.h. v (i) n (x) lässt sich als Reihe M : {x a ln(x) b ; a N 4, b N } {x 3 } (3.6.6) v (i) n (x) a j m j (x) mit geeigneten a j R und m j (x) M darstellen. Insbesondere gilt für i N 4 : j v (i) n (x) O(x 3 ), x. (3.6.6) Beweis: Vorbereitend seien folgende Stammfunktionen angegeben, von deren Gültigkeit man sich leicht durch Ableiten überzeugt: x ln(x) s dx ln(x)s+ für s R\{ } (3.6.6) s + s x r ln(x) s dx x r+ ( ) l s! (s l)!(r + ) l+ ln(x)s l für r R\{ }, s N.(3.6.63) l Der Beweis des Lemmas erfolgt durch Induktion über i N 4, wobei der Induktionsbeginn aus Tabelle (3.) für die Stufe 4 folgt, so dass wir direkt zum Induktionsschritt übergehen. Sei dazu i 5 und die Behauptung gelte für alle i,...,i. Es seien j {,..., i } und k : i j {,...,i }. Wegen i j + k 5 gilt j 3 oder k 3, so dass wir aus Symmetriegründen der nachfolgenden Argumentationen j 3 annehmen können. Es seien p(x) und q(x) x-amplitudenterme der Stufe j bzw. k. Nach Induktionsannahme und Tabelle (3.) haben sie die Gestalt p(x) x a ln(x) b, a N 3, b N q(x) x c ln(x) d, c N, d N. Setze r : n a+c+3, s : b + d. Gemäß der Rekursionsgleichung (3.6.59) erhält man alle x- Amplitudenterme z(x) von v (i) n (x) durch eine Integration der Form x x x z(x) x n+ p(t)q(t)t n 3 dt x n+ t n a+c+3 ln(t) b+d dt x n+ t r ln(t) s dt. x x x Im Fall r ist und aus (3.6.6) folgt, dass n a + c + 3 z(x) x n+ [ ln(t) s+ s + + r a + c + 3 ] x x x n+ 7 5 ( ln(x) s+ s + ln(x ) s+ ) s +

95 85 eine Linearkombination von zwei Elementen aus M ist im Fall r folgt aus (3.6.63): [ ] x s z(x) x n+ t r+ ( ) l s! ln(t)s l (s l)!(r + ) l+ l x s x n+ +r+ ( ) l s! s (s l)!(r + ) l+ ln(x)s l x n+ x r+ ( ) l s! (s l)!(r + ) l+ ln(x ) s l l l } {{ } :α x a+c s l ( ) l s! (s l)!(r + ) l+ ln(x)s l αx n. Wegen a + c 4 und n 3 ist z(x) wiederum eine Linearkombination von Elementen aus M. Damit ist der Induktionsschritt abgeschlossen. Die Abschätzung (3.6.6) folgt nun mit der Regel von de l Hospital, denn für b N gilt ln(x) b (ln(x) lim b ) lim x x x ( ln(x) x) b lim b x x Ist nun a N 4, so folgt hieraus: x a ln(x) b x a b b! lim. x x ln(x) b x O(x a ) O(x 3 ), x Zusammenfassung der Ergebnisse Aus den vorangehenden Abschnitten erhält man folgende asymptotische Entwicklung von ũ(ξ, x, ǫ) für x bzw. ǫ (s. (3.6.5), (3.6.33), (3.6.43), (3.6.53), (3.6.6)): ( ( x ũ(ξ, x, ǫ) U ǫa Φ (ξ) x ) ( ) x ǫ A (Φ (ξ) + Φ (ξ)erf(ξ)) x + ǫ3 A 3 ( ) 3 ) x 4 3π Φ 3(ξ) ln(x) + O(ǫx 3 ). (3.6.64) x Diese Formel kann man jetzt wieder mit Hilfe der Widerstandskraft W des umströmten Körpers anstelle von A ausdrücken. In der Literatur wird häufig eine zu W proportionale Konstante A eingeführt: A ( x ) : ǫa π U νuπ (3.6.7) νuπ ǫf(ψ)dψ (3.6.) νuπ (U u(ψ(x, y), x )) ψ(x, y) y } {{ } u(x,y) U (U u(x, y))u(x, y)dy νuπ U u(ψ, x ) dψ U dψ U (U u(x, y))u(x, y)dy νuπ W ρu νuπ. (3.6.65) [ In dem Artikel von Ting [55] S. 3 ist bei der Bestimmung von A beim Übergang von Zeile 7 auf Zeile 8 ein Faktor U verloren gegangen, so dass dort A D ρ νuπ steht, wobei D W.] Setzt

96 86 man (3.6.65) in (3.6.64) ein, so ergibt sich: ( π ũ(ξ, x) U AΦ (ξ)x π 8 A (Φ (ξ) + Φ (ξ)erf(ξ))x ) π A3 Φ 3 (ξ)x 3 ln(x) + O(x 3 ). (3.6.66) Wegen Φ () Φ () + Φ ()erf() } {{ } 4 π π Φ 3 () 4 π lautet Gleichung (3.6.66) auf der Symmetrieachse ξ hinter dem Körper: ( ũ(, x) U Ax A x ) 8 3 A3 x 3 ln(x) + O(x 3 ). (3.6.67) Dies ist das letztendliche Ergebnis aus [55] S.3 Zeile 5 bzw. [3] S. 74 Zeile Umrechnung in kartesische Koordinaten Die Darstellung des Strömungsfeldes in von Mises-Variablen (x, ψ) wurde wie bereits erwähnt deswegen gewählt, weil man in ihnen aufgrund der Entkopplung von der Kontinuitätsgleichung besser analytisch strukturell argumentieren kann, als es in kartesischen Koordinaten (x, y) der Fall ist. In praktischen Anwendungen möchte man ein Strömungsbild jedoch meist in den vertrauten kartesischen Koordinaten und nicht in von Mises-Variablen sehen, weswegen die Berechnung der kartesischen y-koordinate mittels der Formel (.4.5) auf Seite y y(x, ψ) ψ u(x, ψ) dψ durchgeführt werden muss, wobei u(x, ψ) die horizontale Komponente der Nachlauf-Fernfeld- Strömung in von Mises-Variablen ist, wie sie in den vorangehenden Abschnitten asymptotisch für x bis zur Stufe 3 berechnet wurde. Diese Integration ist für die komplizierte Funktion u(x, ψ) kaum analytisch möglich, so dass numerisch integriert werden muss, was eine zusätzliche Fehlerquelle darstellt. Für praktische Anwendung ist daher eine analytisch exakte Asymptotik für x in kartesischen Koordinaten (ebenfalls bis zur Stufe 3) vorzuziehen. Bis zur Stufe inklusive der Vertikalkomponente wurde eine solche Asymptotik von Goldstein [] auf Seite 553 in den Gleichungen der Textziffer (7) angegeben. Stewartson berechnet in [5] S.78 Textziffer (.6) den zusätzlichen Term der dritten Stufe. Crane [3] korrigiert einen kleinen Fehler in Stewartsons Rechnung. In Stewartson und Crane geben, obwohl sie eigentlich alles bereitgestellt haben, im Text explizit nur die Horizontalkomponente der Strömung auf der Symmetrieachse y hinter dem Hindernis für den Fall einer flachen tangential angeströmten Platte an. Dies ist für den an Theorie weniger interessierten Praktiker, der gern eine formelmäßig kompakte Darstellung hätte, wie sie beispielsweise Goldstein anbietet, etwas hinderlich.

97 87 dem Buch von Berger [3] sind die Ergebnisse von Goldstein und Stewartson (ohne Cranes Korrektur) in den Abschnitten. und.3 auf den Seiten direkt übernommen. Im Folgenden soll die vollständige Asymptotik bis zur Stufe 3 in kartesischen Koordinaten aus Tings Ergebnis (3.6.66) in von Mises-Variablen abgeleitet werden, welches hier übersichtlichkeitshalber noch einmal wiederholt wird: ( πa ũ(ξ, x) U x Φ (ξ) πa πa 3 ) 8x (Φ (ξ) + Φ ln(x) (ξ)erf(ξ)) + 3 Φ 3x 3 3 (ξ) + O(x 3 ) U ( x A e ξ A x (e ξ ) πξe ξ erf(ξ)) + A3 ln(x) 8 (ξ )e ξ + O(x 3 3x 3 ) ξ ψ 4νUx. (3.6.68) Die gesuchte Nachlauf-Strömung in kartesischen Koordinaten sei deutlichkeitshalber mit v kart (u kart, v kart ) bezeichnet, wobei wie üblich u kart die Horizontal- und v kart die Vertikalkomponente sei. Die möglicherweise neue aber naheliegende Idee ist nun, die von Mises-Ähnlichkeitsvariable ξ ihrerseits asymptotisch in Koordinaten (x, η) zu entwickeln, wobei η c y x, c R, eine geeignete kartesische Ähnlichkeitsvariable mit noch zu bestimmendem Faktor c ist. Hat man eine solche Asymptotik ξ ξ(x, η) von hinreichend hoher Stufe gefunden, so erhält man u kart durch Einsetzen in (3.6.68) als u kart (x, η) ũ(ξ(x, η), x) und v kart errechnet sich aus der Kontinuitätsgleichung. In -ter Näherung (Asymptotik -ter Stufe) stimmt die Nachlauf-Strömung mit der konstanten Anströmung U überein, so dass man den Ansatz u kart (x, η) U + O(x ) machen kann, wobei die Annahme einer Asymptotik O(x ) auf der Tatsache beruht, dass u kart und ũ auf der Symmetrie-Achse y ξ übereinstimmen und ũ gemäß (3.6.68) dort eine solche Asymptotik besitzt. Hieraus erhält man ψ ξ y ψ y dy y x Uη + O() c ψ 4νUx x u kart (x, y) dy c U 4ν c η + O(x ). η x u kart (x, η) dη c η U + O(x ) dη

98 88 Wählt man nun c : U 4ν, so bedeutet dies η c y U x 4νx y ξ(x, η) η + O(x ) (3.6.69) ξ η + ηo(x ) + O(x ) η + O(x ) e ξ exp( η + O(x )) exp( η )exp(o(x )) exp( η )( + O(x )) exp( η ) + O(x ) ( e ξ e ξ) e η + O(x ) k erf k erf erf(ξ) x k ()ξk k! erf() x k () k! (η + O(x )) k k k k k erf x k () k! ηk + O(x ) erf(η) + O(x ). Einsetzen von (3.6.69) in (3.6.68) ergibt demnach: u kart (x, η) ũ(ξ(x, η), x) U ( A x e η ) + O(x ). Diese Asymptotik erster Stufe für u kart (x, η) benutzt man nun wiederum, um eine Asymptotik höherer Stufe für ξ(x, η) herzuleiten: ψ ξ y u kart (x, y) dy 4νx U η U ( A x e η ) + O(x ) dη 4νUx (η A η e η dη + O(x )) 4νUx (η x ψ 4νUx η πa x erf(η) + O(x )) πa x erf(η) + O(x ). (3.6.7) Erneut setzt man (3.6.7) in (3.6.68) ein und bekommt mit zwei vorbereitenden Rechnungen: πa ξ η ηerf(η) + O(x ) x πa πa e ξ exp( η ηerf(η) + O(x )) e η exp( ηerf(η) + O(x )) x x πa πa e η ( ηerf(η) + O(x )) e η ηe η erf(η) + O(x ) x x

99 u kart (x, η) (3.6.68) U U ( x A e ξ A x (e ξ ) πe ξ erf(ξ)) + A3 ln(x) 8 (ξ )e ξ 3x 3 +O(x 3 ) ( A x [ e η ] πa ηe η erf(η) + O(x ) x ] ([e A η + O(x ) ]) π [η + O(x ) ][e η + O(x ) ][erf(η) + O(x ) x + A3 ln(x) ][ ] [η ) 8 + O(x 3x 3 ) e η + O(x ) + O(x 3 ) U ( x A e η A x (e η + ) πηe η erf(η)) + A3 ln(x) 8 (η )e η 3x 3 +O(x 3 ) (3.6.7) 89 Man erhält also nicht nur - wie vielleicht zu erwarten war - eine Asymptotik zweiter Stufe für u kart, sondern bereits die gesuchte Asymptotik dritter Stufe und eine Fortführung der bisherigen Iteration würde zu keiner Ergebnisverbesserung führen. Nun wird die Vertikalkomponente v kart bestimmt. Vorbereitend benötigt man die partielle Ableitung von u kart (x, η) nach x: η x x η x (u kart(x, η)) (u kart ) x (x, η) + η x (u kart ) η (x, η) ( A U e η + A (3.6.7) x 3 x (e η + πηe η erf(η)) + A3 ( 3 ln(x)) ) 8 (η )e η + O(x 5 3x 5 ) ( x ηu x A e η A x (e η + ) πηe η erf(η)) + A3 ln(x) 8 (η )e η + O(x 3 3x 3 ) η ( A U e η + A x 3 x (e η + ) πηe η erf(η)) A3 3ln(x) (η )e η + O(x 5 6x 5 ) ( A +ηu e η + A x 3 4x (e η + ) πηe η erf(η)) A3 ln(x) 6 (η )e η + O(x 5 3x 5 ). η (3.6.7) Unter Berücksichtigung der Haftebedingung v kart (x, ) berechnet man v kart durch (partielle)

100 9 Integration von (3.6.7): v kart (x, y) (3.6.7) y νu [ η ( A η x e η + A x 3 η (v kart ) y (x, y) dy A x e η A x 3 4νx U η x (u kart(x, η)) dη (e η + πηe η erf(η)) + A3 3ln(x) 8x (η )e η dη ) (e η + πηe η erf(η)) A3 ln(x) 8 3x (η )e η A + x e η + A (e η + πηe η erf(η)) A3 ln(x) x 3 8 3x (η )e η dη [ η νu A (e η (e η πηe η erf(η))) + A3 ln(x) x 3 4 3x (η )e η ( A η x e η + A (e η + πηe η erf(η)) A3 ln(x) 8 3x (η )e η [ A x 3 ( π erf( η) ) π e η erf(η) A3 ln(x) 4 3x ηe η νu x 3 ( A η x e η + A (e η + πηe η erf(η)) A3 ln(x) x 3 νu [ Ax ( ηe η + A π ( η )e η erf(η) ηe η x 3 + A3 ln(x) 8 3x (η 3)ηe η Das Ergebnis wird noch einmal übersichtlich zusammengefasst. 8 3x (η )e η π erf( η) ] + O(x ) dη )] + O(x ) )] + O(x ) ] + O(x ). (3.6.73) ) D-Nachlauf-Fernfeld, achsensymmetrisch, Asymptotik dritter Stufe in kartesischen Kordinaten u kart U [ x A e η A x (e η + ] πηe η erf(η)) + A3 ln(x) 8 (η )e η + O(x 3 3x 3 ) v kart νu [ Ax ( ηe η + A π ( η )e η erf(η) ηe η η A + A3 ln(x) x 3 8 3x (η 3)ηe η U 4νx y W ρu νuπ ) π erf( η) (3.6.74) ] + O(x ). (3.6.75) (3.6.76). (3.6.77) Dieses Resultat soll nun (bis zur zweiten Stufe) mit denjenigen von Goldstein und Stewartson/Crane in Einklang gebracht werden, was nicht ganz trivial ist, weil Goldstein eine andere Entdimensionierung vorgenommen hat, welche auch von Stewartson/Crane übernommen wurde. Im Folgenden werden deshalb Goldsteins Bezeichnungen stets mit einem Index G (für Goldstein) gekennzeichnet, um Verwechslungen oder Überschneidungen mit der hier verwendeten Notation zu vermeiden. Goldsteins Variablen werden in die hier verwendeten transformiert, so dass ein Vergleich der Ergebnisse möglich wird.

101 9 d G L B ρ G ρ ν G ν X G x Y G y U G U U G u kart V G v kart x G X G x d g L x B UG (U /UB y G Y G )U B L B ν G d G ν y L B U Re y Uy ν u G U G u kart /U B U G U /UB u kart U dg L v G V G B ν G U G ν U v kart η G y G xg Uy η νx (3.6.76) D G W /L B (s. [] Seite 55 Zeile ) D G A G ρ G πνg d G U G U G W /(ρ B (L B U B ) ) ρ πνu U L B U B ν (U /U B ) v kart U B W /L B ρ πν L B U U W /F B ρ πνu U u G A G x G e η G A G x G W ρ πνu U v kart νu W /L B ρ ρ ρ B π ν B L B U (L B B U B ) U UB A. (3.6.65) Goldsteins Asymptotik zweiter Stufe lautet ([] Seite 553 Ziffer (7)): [ e η G + ( v G A G x G η G e η G + A G (x G ) 3/ Einsetzen der oben angegebenen Variablenkonvertierungen liefert: u kart [ Ax e η A x U v kart A νu x ηe η + A (x) 3/ π) ηg e η G erf(ηg / ] ) [ ( π) ( η G )e η G erf(ηg / ) U U B U B (3.6.78) ] η G e η G π erf(ηg ). (3.6.79) ] e η + π ηe η erf(η) [ ( π) ( η )e η erf(η) ηe η (3.6.8) π erf( η) ]. (3.6.8) Dies stimmt wie gewünscht (bis zur zweiten Stufe) mit (3.6.74) und (3.6.75) überein. Der in (3.6.78) fehlende Term u 3 für eine Asymptotik dritter Stufe u G u u u 3 wird von Stewartson[5]

102 9 S. 78 Textziffern (.3), (.6) als G(η G ) u 3 log x x 3 G(η G ) + O(x 3 ) A S ( η G )e η G AS ( η)e η angegeben, wobei A S eine eindeutig bestimmte, für den allgemeinen Fall aber von Stewartson nicht konkretisierte Konstante ist. Nach (3.6.74) muss A S A3 8 3 gelten. Im Fall einer flachen tangential angeströmten Platte der dimensionslosen Breite B B L B und Länge l l L l B B lässt sich die Konstante A A Platte mit dem Plattenwiderstandsgesetz (.5.4) auf Seite näher bestimmen: A Platte W Platte ρu νuπ,38 ρ Ul U Bl l ν ρu, 664 νuπ π. (3.6.8) [Die Konstante A Platte ist die Konstante α bei Stewartson[5] S.79.] Die Abbildungen 3.5 bis 3. auf den Seiten 93 und 94 enthalten einen Vergleich der Asymptotiken erster, zweiter und dritter Stufe für für den Fall l. Mit wachsender Entfernung nehmen die Unterschiede natürlich ab (man beachte die unterschiedliche Skalierung der horizontalen Achsen) und die Asymptotik erster Stufe dominiert. Abschließende Bemerkungen. In Abschnitt 3.4 auf Seite 6 wurde elementar das zweidimensionale, asymptotische Nachlauf-Fernfeld bestimmt (s. (3.4.3) auf Seite 66). Dieses stellt sich in dem hier betrachteten Kontext als Asymptotik erster Stufe dar.. Goldstein [] weist auf Seite 553 unten darauf hin, dass die Vertikalkomponente v kart in zweiter Näherung aufgrund des Termes π erf( η) für η nicht verschwindet und einen negativen Wert anstrebt, was bei der ersten Näherung nicht der Fall ist. Es tritt also in zweiter Näherung auch im Nachlauf-Fernfeld ein seitlicher Einsaugeffekt (engl.: entrainment) ein. Dies steht im Gegensatz zu den Ausführungen von Schlichting und Gersten [48] S. 9, wo nur die erste Approximation betrachtet wird. 3. Bei der Herleitung einer Asymptotik vierter Stufe mit Termen der Form x 3 G 4 (η) treten Konstanten auf, die sich nicht allein durch den Widerstand des Körpers beschreiben lassen, wie es für die Konstante A möglich war. Jene Konstanten hängen, wie bereits im Wärmeleitungskapitel angesprochen wurde, von Momenten höherer Ordnung eines Anfangsprofiles ab, welches in praktischen Anwendungen meist nicht bekannt ist. Aus diesem Grund ist die hergeleitete Asymptotik dritter Stufe für praktische Anwendungen eigentlich nicht mehr zu verbessern. Es macht aber auch deutlich, dass in dieser Modellierung zwei völlig verschiedenartige Hindernisse - beispielsweise eine flache tangential angeströmte Platte und ein querangeströmter Kreiszylinder - asymptotisch für x das gleiche Nachlauf-Fernfeld besitzen, sofern sie nur den gleichen Widerstand erzeugen.

103 93 3. Näherung. Näherung 3. Näherung 3. Näherung. Näherung 3. Näherung η(u/(4ν x)) / y η(u/(4ν x)) / y uu kart /U vv /(ν U) / kart Abbildung 3.5: u kart (x, η), x Abbildung 3.6: v kart (x, η), x 3. Näherung. Näherung 3. Näherung 3. Näherung. Näherung 3. Näherung η(u/(4ν x)) / y η(u/(4ν x)) / y uu kart /U vv /(ν U) / kart Abbildung 3.7: u kart (x, η), x 3 Abbildung 3.8: v kart (x, η), x 3

104 94 3. Näherung. Näherung 3. Näherung 3. Näherung. Näherung 3. Näherung η(u/(4ν x)) / y η(u/(4ν x)) / y uu kart /U vv /(ν U) / kart Abbildung 3.9: u kart (x, η), x 5 Abbildung 3.: v kart (x, η), x Ursprung- und Startpunktbestimmung der asymptotischen Nachlauf-Fernfeld-Lösungen Die bisherigen theoretischen Überlegungen haben keine Aussagen zum konkreten (räumlichen) Gültigkeitsbereich gemacht, in dem die hergeleiteten Fernfeld-Lösungen (3.6.74), (3.6.75) einsetzbar sind. Der Anwender fragt sich dann natürlich zu Recht, was man mit jenen überhaupt praktisch anfangen kann. Es sind also Antworten auf folgende Fragen nötig:. Wo auf der Körpersymmetrieachse liegt der Koordinatenursprung in Relation zum Körper?. Wenn ein Koordinatenursprung bestimmt ist, ab welcher Entfernung x > liefern die Fernfeld-Lösungen brauchbare - sprich realitätsnahe - Ergebnisse? Die erste Frage könnte ein gewisses Unverständnis hervorrufen, da man üblicherweise als erstes ein Koordinatensystem festlegt und dann die Theorie darauf aufbaut. Man sollte doch wie üblich frei in der Wahl eines Ursprunges sein. Prinzipiell ist diese Kritik an der bisherigen Vorgehensweise berechtigt; eine andere - d.h. die feste Wahl eines Ursprunges zu Beginn aller Überlegungen - hätte aber aus folgenden Gründen kaum einen Vorteil gebracht bzw. das Problem nur verlagert: a) Die hergeleiteten Fernfeld-Lösungen dritter Stufe sind asymptotisch für x unabhängig von der Wahl des Ursprunges, denn eine Translation x + c der x-werte um eine Konstante c (das entspricht einer Verschiebung des Ursprunges auf der Symmetrieachse) hat die Ordnung O(x 3 ) und beeinflusst daher erst eine Asymptotik vierter Stufe, wie die folgende verkürzte Rechnung

105 95 mittels Taylor-Entwicklung um einen festen Punkt (x, y) zeigt: U v y (x, y) v η (x, η)η y 4νx v η(x, η) (3.6.75) O(x 3 ) u(x + c, y) u(x, y) + u x (x, y)c + u(x, y) v y (x, y)c + u(x, y) + O(x 3 ). In der dritten und letzten abschließenden Bemerkung des vorangehenden Abschnittes wurde deutlich darauf hingewiesen, dass eine Asymptotik vierter Stufe zusätzliche Eigenschaften eines Anfangsprofiles des Nachlauf-Fernfeldes erfordert. Dieses möchte der Anwender aber gerade bestimmen, so dass sich der Kreis schließt. [Der weiter unten genauer besprochene Ansatz von Ting und Chen [54] zur Bestimmung eines geeigneten Ursprunges zielt trotzdem gerade auf diesen Einfluss auf die vierte Stufe ab.] b) Im Gegensatz zum Nachlauf-Fernfeld weiß man beim Nachlauf-Nahfeld genau, wo dieses beginnt, nämlich direkt an der aus Anströmungssicht hinteren Kante des Körpers. Der Nahfeld-Ursprung liegt also auf natürliche Weise fest. Hat man nun eine Modellierung des Nachlauf-Nahfeldes hergeleitet, so sollte dieses möglichst glatt und stetig für große horizontale Abstände vom Hindernis in die Fernfeld-Lösung übergehen. Hätte man wie oben angegeben von vornherein den Fernfeld-Ursprung festgelegt, so hätte man sich damit unnötig eines Freiheitsgrades beraubt, der einen glatten Übergang von Nah- in Fernfeld-Lösung ermöglicht, bzw. die Bestimmung eines unnatürlichen Nahfeld-Ursprunges erzwungen. Die Ausführungen in b) implizieren bereits eine numerische Vorgehensweise zur Bestimmung eines Fernfeld-Ursprunges und eines Startpunktes x, falls das Nahfeld bekannt ist: Ausgehend vom Ursprung des Nahfeldes an der Körperhinterkante wähle man schrittweise in (kleinen) Abständen links und rechts davon einen potentiellen Fernfeld-Ursprung und berechne das diesbezügliche Fernfeld. Derjenige Punkt, bei dem ein annehmbar glatter Übergang stattfindet, ist der gesuchte Fernfeld-Ursprung und das Ende des Übergangsbereiches von Nah- in Fernfeldlösung ist der gesuchte Startpunkt x. Diese aufwendige Strategie wurde sowohl von Tollmien[56] als auch von Goldstein[] aufbauend auf Goldsteins Nahfeld-Lösung für die flache Platte [] durchgeführt. Tollmien schreibt auf Seite 69 (Zeile 6 von unten):.... Diese asymptotische Formel gilt von x l 3 ab gut. Dabei ist l die Plattenlänge. Er gibt dabei leider nicht den Ursprung an, so dass man nicht recht weiß, wo er sich bewegt. Dies wird in der später erschienenen Literatur wiederholt bemängelt. Interessanterweise ist Tollmiens bezugslose Angabe von Schlichting und Gersten [48] S.9 (Zeile von oben) in allen mir bekannten Auflagen kommentarlos übernommen. Goldstein [] kommt in Abschnitt 3 S unter Angabe konkreter Zahlentafeln zu folgendem genaueren Ergebnis: Regel 3.7. (Goldstein) a) Der Ursprung des Nachlauf-Fernfeldes einer tangential angeströmten flachen Platte der dimensionsbehafteten Länge l liegt aus Anströmungssicht, 5 l vor der Plattenhinterkante und damit ungefähr in der Plattenmitte. b) Das reine Nachlauf-Nahfeld endet etwa, 36 l hinter der Hinterkante.

106 96 c) Ab, 5 l hinter der Hinterkante besitzt das Fernfeld bereits einen starken Einfluss. d) Ab, l hinter der Hinterkante liegt die reine Fernfeld-Lösung vor. Gemäß c) und d) kann man also grob, l (, 5 +.5) l x (, 5 +, ) l, 7 l (3.7.) (gemessen vom Fernfeld-Ursprung) abschätzen. M. Nishioka und T. Miyagi [45] haben Goldsteins theoretisches Ergebnis experimentell überprüft. Ihre Notation sei deutlichkeitshalber mit einem Index NM gekennzeichnet: ν NM ν ν G U,NM U U,G U NM u U G l NM l R NM U,NMl NM ν NM U l lre ν x NM x, 5 l X G, 5 l (x NM ist der Abstand von der Plattenhinterkante) y NM y Y G. Sie betrachten Reynoldszahlen R NM zwischen und 3 mit dem Ergebnis, dass Goldsteins Nahfeld-Lösung eine weniger gute Übereinstimmung mit der Realität zeigt, die Fernfeld-Lösung hingegen in guter Näherung mit den Messungen übereinstimmt, wobei für sie das Fernfeld bereits bei, 5 l hinter der Hinterkante beginnt, auch wenn dort eigentlich erst der Beginn des Übergangsbereiches ist (s c)). In der aus ihrem Artikel entnommenen Graphik 3. auf Seite 97 sind die Messergebnisse für die Reynoldszahlen R NM,, 4, 3 im Vergleich zu Goldsteins Fernfeld-Lösung zweiter Sufe (3.6.78) aufgetragen (man nehme dabei auch die geringfügig abweichenden Interpolationswerte aus [] S. 559 Tabelle III für x NM /l NM x /l, 5 und x NM /l NM x /l, zur Kenntnis). Die durchgezogene Kurve (a) für x NM /l NM ist die Blasius-Lösung.

107 Abbildung 3.: Messergebnisse von M. Nishioka und T.Miyagi 97

108 98 Als nächstes wird das klassissche Beispiel eines quer angeströmten Kreiszylinders betrachtet. Nishioka und Sato [43], [44] haben ausführliche Geschwindigkeitsmessungen im Nachlauf-Nah- und Fernfeld für (Durchmesser-)Reynoldszahlen zwischen und 8 durchgeführt. In dem Artikel [44] geben sie Messwerte für die Reynoldszahlen und 4 bis maximal 7 Durchmesser hinter dem Zylinder in den Abbildungen Figure 8 und 9 auf den Seiten 4 und 5 an. Der schwieriger erhältliche Artikel [43] umfasst Messwerte für die Reynoldszahlen, 5,, 3, 4, 5 ebenfalls bis maximal 7 Durchmesser hinter dem Zylinder in den Abbildungen Figure 5 bis auf den Seiten und. In diesem Artikel werden auch Geschwindigkeiten auf der Symmetrieachse (y ) für größere Abstände bis Durchmesser hinter dem Zylinder für die Reynoldszahlen, 5,, 3, 4 in den Abbildungen Figure 4 (a) bis (e) auf Seite 5 aufgeführt. In Anlehnung an das Experiment von Nishioka und Sato wurde eine numerische Simulation mit dem CFD-Programm ANSYS CFX. für die Reynoldszahlen, 5,, 3, 4, 5 durchgeführt. Für Entfernungen bis maximal Durchmesser hinter der Hinterkante des Zylinders wurden dann die CFX-Ergebnisse mit denen der asymptotischen Lösung dritter Stufe und - soweit vohanden - mit den Messungen von Nishioka und Sato in MATLAB zu einem Vergleich zusammengeführt. Die zwölf Seiten bis 3 enthalten 48 Grafiken, wobei jede der sechs Doppelseiten acht Graphiken einer der sechs betrachteten Reynoldszahlen für die Abstände,,...,8 zeigt. Auf den Seiten 4 und 5 findet ein Vergleich der Geschwindigkeitsentwicklung auf der Symmetrieachse bis Durchmesser hinter dem Zylinder statt. Die Bilder enthalten jeweils folgende Kurven: die numerische CFX-Lösung die Messwerte von Nishioka und Sato (soweit vorhanden) die asymptotische Lösung dritter Stufe (3.6.74) mit Ursprung an der Hinterkante des Zylinders die asymptotische Lösung dritter Stufe mit Ursprung, 8 Durchmesser vor der Hinterkante des Zylinders. Die Geometrie für die CFX-Simulation wurde mit dem Programm ANSYS ICEM CFD. erzeugt und besteht aus einem Kreiszylinder mit d 4mm Durchmesser, der von einem dünnen quaderförmigen Kontrollvolumen umgeben ist. Die z-achse des Koordinatensystems verläuft parallel zur Zylinderachse, so dass sein Kreisquerschnitt in der x,y-ebene liegt. Die Anströmung ist parallel zur x-achse und der Ursprung wurde auf die Hinterkante gelegt, so dass der Kreisquerschnittsmittelpunkt die Koordinaten (x, y ) ( mm, mm) besitzt. In CFX wurde als Löser das Upwind-Verfahren gewählt. Besonders hevorgehoben sei noch, dass die beiden Randflächen des quaderförmigen Simulationsgitters, die normal zur y-achse verlaufen und durch welche eine Verdrängung bzw. ein Einsaugeffekt stattfinden soll, die Randbedingung Opening Pressure for Entrainment erhalten haben. Der CFX Physics Report mit allen vorgenommenen Einstellungen ist beispielhaft für Re in Tabelle 3. angegeben. Das strömende Medium ist Luft bei 5 C, dessen dynamische Viskosität in CFX mit ν, 83 5 kg ms voreingestellt ist. Bei einer ebenfalls fest eingestellten Dichte ρ, 85 kg m 3 ergibt sich

109 99 Domain Physics: Location Type Materials Models KONTROLL- Fluid Air at 5 C Heat Transfer Model Isothermal VOLUMEN Turbulence Model Laminar Buoyancy Model Non Buoyant Domain Motion Stationary Boundary Physics: Name Location Type Settings Einlauf EINLAUF Inlet Flow Regime Subsonic Normal Speed.386 [m s ] Mass And Momentum Normal Speed SeitenOU SEITENOU Opening Flow Regime Subsonic Mass And Momentum Opening Pressure for Entrainment Relative Pressure [Pa] Auslauf AUSLAUF Outlet Flow Regime Subsonic Mass And Momentum Static Pressure Relative Pressure [Pa] SeitenLR ZYLINDER Wall Wall Influence On Flow No Slip Tabelle 3.: CFX Physics Report

110 Re d U [ m s ] c W,386,75 5,579,5,773,94 3,59,56 4,545,5 5,93,38 Tabelle 3.3: Anströmgeschwindigkeiten und Widerstandsbeiwerte für Re d,..., 6 eine kinematische Viskosität ν µ ρ 54, 548 daher die zugehörige Anströmgeschwindigkeit 7 m s. Zu vorgegebener Reynoldszahl lautet U Re d ν d Re d 54, m s, 4m Re d 3, m s. Die Tabelle 3.3 enthält die Anströmgeschwindigkeiten, welche in CFX in den Randbedingungungen des Einlaufes eingegeben wurden. Zusätzlich enthält diese Tabelle auch den jeweiligen Widerstandsbeiwert des Kreiszylinders, der zur Berechnung der Asymptotik dritter Stufe benötigt wird und ebenfalls dem Artikel von Nishioka und Sato entnommen wurde (s. [44] S.7, Figure ). Die beiden farbigen Contour-Plots für die langsamste Anströmung bei Re d und die schnellste bei Re d 5 in den Abbildungen 3., 3.3 dienen der qualitativen Veranschaulichung des Strömungsfeldes (und sind die einzigen bunten Bilder in dieser Arbeit). Man sieht an den rot gefärbten Bereichen ober- und unterhalb des Zylinders, dass dort die Geschwindigkeiten größer sind als die Anströmgeschwindigkeit. Dieser Geschwindigkeitsüberschuss (engl.: velocity overshot) pflanzt sich an den Rändern des Nachlaufs stromabwärts abnehmend fort. Dieses Phänomen wird mit den asymptotischen Entwicklungen nicht erfasst.

111 Abbildung 3.: u-geschwindigkeit bei Re d Abbildung 3.3: u-geschwindigkeit bei Re d 5